Minden képlet négyzetek és kockák. Rövidített szorzóképletek. Polinom szorzása polinommal

Lesznek majd önálló megoldási feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.

A rövidített szorzási képletek lehetővé teszik a kifejezések - polinomok - azonos átalakításait. Segítségükkel a polinomok faktorálhatók, a képleteket fordított sorrendben használva pedig a binomiálisok, négyzetek és kockák szorzatai polinomként ábrázolhatók. Tekintsük a rövidített szorzás összes általánosan elfogadott képletét, azok származtatását, a kifejezések e képletekkel történő azonos transzformációira vonatkozó gyakori feladatokat, valamint a házi feladatokat (a válaszokat hivatkozások nyitják meg).

összeg négyzet

Az összeg négyzetének képlete az egyenlőség

(két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével).

Ahelyett aés b tetszőleges szám behelyettesíthető ebbe a képletbe.

Az összeg-négyzet képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,

Az összeg-négyzet képlet segítségével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.

1. példa

2. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Döntés. Az összeg négyzetének képletével azt kapjuk, hogy

A különbség négyzete

A különbség négyzetének képlete az egyenlőség

(két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első szám és a második szám szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete).

A négyzetes különbség képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,

A különbség négyzetes képletével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.

A képlet a polinom polinommal való szorzásának szabályából következik:

5. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Döntés. A különbség négyzetének képletével azt kapjuk, hogy

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

Teljes négyzetkiválasztás

A másodfokú polinom gyakran tartalmazza az összeg vagy a különbség négyzetét, de rejtett formában tartalmazza. Ahhoz, hogy a teljes négyzetet egyértelműen megkapjuk, transzformálni kell a polinomot. Ehhez általában a polinom egyik tagját duplaszorzatként ábrázoljuk, majd ugyanazt a számot hozzáadjuk a polinomhoz, és kivonjuk belőle.

7. példa

Döntés. Ez a polinom a következőképpen alakítható át:

Itt bemutattuk az 5 x 5/2-es duplaszorzat formájában x, hozzáadjuk a polinomhoz és kivonjuk belőle ugyanazt a számot, majd alkalmazzuk a binomiális összegnégyzet képletét.

Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget

egyenlő egy teljes négyzettel plusz a számmal.

8. példa Tekintsünk egy másodfokú polinomot

Döntés. Végezzük el rajta a következő átalakításokat:

Itt mutatjuk be a 8 x kettős termék formájában x 4-gyel, hozzáadva a polinomhoz és kivonva belőle ugyanazt a számot 4², a különbség négyzet képletét alkalmazta a binomiálisra x − 4 .

Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget

megmutatja, hogy egy másodfokú polinom

egyenlő egy teljes négyzettel plusz a −16 számmal.

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

összeg kocka

Az összeg-kocka képlete az egyenlőség

(két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával plusz az első szám négyzetének háromszorosa a második négyzetével plusz az első szám szorzatának a második négyzetével, plusz a kocka szorzatával a második szám).

Az összeg-kocka képlet a következőképpen származik:

10. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Döntés. Az összegkockák képlete szerint azt kapjuk

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

különbség kocka

A különbség kocka képlete az egyenlőség

(két szám különbségének kockája egyenlő az első szám kockájával mínusz az első és a második szám négyzetének háromszorosa, plusz az első szám és a második szám négyzetének szorzatának háromszorosa mínusz a szám kockája a második szám).

Az összegkocka képlet segítségével a polinom faktorokra bontható, azaz három azonos tényező szorzataként ábrázolható.

A különbség kocka képlete a következőképpen származik:

12. példa.Írd meg polinomiális kifejezésként

Döntés. A különbségkocka képlet segítségével azt kapjuk

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

A négyzetek különbsége

A négyzetek különbségének képlete az egyenlőség

(két szám négyzetének különbsége egyenlő e számok összegének és különbségük szorzatával).

Az összeg-kocka képlet segítségével az alak bármely polinomja faktorizálható.

A képlet bizonyítását a polinomok szorzási szabályával kaptuk meg:

14. példaÍrja fel a szorzatot polinomként!

Döntés. A négyzetek különbségi képletével azt kapjuk, hogy

15. példa Tényezőkre bont

Döntés. Ez a kifejezett kifejezés semmilyen identitásra nem illeszkedik. De a 16-os szám 4-es bázisú hatványként is ábrázolható: 16=4². Ekkor az eredeti kifejezés más formát ölt:

és ez a négyzetek különbségének képlete, és ezt a képletet alkalmazva azt kapjuk

Az algebrai polinomok számításakor a számítások egyszerűsítése érdekében használjuk rövidített szorzóképletek. Összesen hét ilyen képlet létezik. Mindegyiket fejből kell ismerni.

Emlékeztetni kell arra is, hogy a képletekben az "a" és "b" helyett számok és bármilyen más algebrai polinom is szerepelhet.

A négyzetek különbsége

Emlékezik!

A négyzetek különbsége két szám egyenlő e számok különbségének és összegének szorzatával.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2, ahol 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

összeg négyzet

Emlékezik!

Két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Vegye figyelembe, hogy ezzel a csökkentett szorzóképlettel könnyen megtehető keresse meg a nagy számok négyzeteit számológép vagy hosszú szorzás nélkül. Magyarázzuk meg egy példával:

Keresse meg a 112 2 számot.

Bontsuk fel a 112-t olyan számok összegére, amelyek négyzetére jól emlékszünk.
112 = 100 + 1
A számok összegét zárójelbe írjuk, és a zárójelek fölé négyzetet teszünk.
112 2 = (100 + 12) 2
Használjuk a négyzetösszeg képletet:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Ne feledje, hogy a négyzetösszeg képlet minden algebrai polinomra is érvényes.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Figyelem!

(a + b) 2 nem egyenlő (a 2 + b 2)

A különbség négyzete

Emlékezik!

Két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első és a második szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Érdemes megjegyezni egy nagyon hasznos átalakítást is:

(a - b) 2 = (b - a) 2

A fenti képletet a zárójelek egyszerű bővítésével bizonyítjuk:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

összeg kocka

Emlékezik!

A két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával, plusz az első szám négyzetének háromszorosával, a másodikkal plusz az első szám szorzatával, a második négyzetével plusz a második kockájával.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hogyan emlékezzünk az összegkockára

Megjegyezni ezt a "szörnyű" képletet meglehetősen egyszerű.

Tanuld meg, hogy az "egy 3" az elején jön.
A középen lévő két polinom együtthatója 3.
Emlékezzünk vissza, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Könnyen belátható, hogy a képletben az "a" fok csökkenése és a "b" fok növekedése figyelhető meg. Ezt ellenőrizheti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Figyelem!

(a + b) 3 nem egyenlő a 3 + b 3-mal

különbség kocka

Emlékezik!

különbség kocka két szám egyenlő az első szám kockájával, mínusz az első szám négyzetének háromszorosa a másodikkal plusz az első szám szorzata és a második négyzete háromszorosa mínusz a második kockája.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Ezt a képletet az előzőhöz hasonlóan megjegyzik, de csak a "+" és a "-" jelek váltakozását figyelembe véve. Az „a 3” első tag előtt van egy „+” (a matematika szabályai szerint ezt nem írjuk). Ez azt jelenti, hogy a következő tag előtt „-”, majd ismét „+” stb.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kockák összege

Nem tévesztendő össze az összegkockával!

Emlékezik!

Kockák összege egyenlő két szám összegének a különbség nem teljes négyzetével való szorzatával.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

A kockák összege két zárójel szorzata.

Az első zárójel két szám összege.
A második zárójel a számok különbségének nem teljes négyzete. A különbség nem teljes négyzetét kifejezésnek nevezzük:
(a 2 − ab + b 2)
Ez a négyzet hiányos, mivel középen a duplaszorzat helyett a számok közönséges szorzata található.

A kockák különbsége

Nem tévesztendő össze a különbségkockával!

Emlékezik!

A kockák különbsége egyenlő két szám különbségének az összeg nem teljes négyzetével való szorzatával.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Legyen óvatos karakterek írásakor.

Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Emlékeztetni kell arra, hogy a fenti képleteket jobbról balra is használjuk.

A tankönyvekben található sok példa arra készült, hogy képleteket használjon a polinom visszaállításához.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Letöltheti a táblázatot a rövidített szorzás összes képletével a " szakaszban

Az egyik első olyan téma, amelyet az algebrai kurzuson tanulmányoznak, a rövidített szorzás képlete. A 7. osztályban a legegyszerűbb helyzetekben használatosak, amikor a kifejezésben fel kell ismerni az egyik képletet, és faktorozni kell a polinomot, vagy fordítva, gyorsan négyzetre vagy kockára kell vágni az összeget vagy a különbséget. A jövőben az FSU-t egyenlőtlenségek és egyenletek gyors megoldására, sőt néhány numerikus kifejezés kiszámítására is használják számológép nélkül.

Hogyan néz ki a képletek listája?

7 alapvető képlet létezik, amelyek lehetővé teszik a zárójelben lévő polinomok gyors szorzását.

Néha ez a lista egy negyedik fokú bővítést is tartalmaz, amely a bemutatott identitásokból következik, és a következő formában van:

a 4 - b 4 = (a - b) (a + b) (a² + b2).

Minden egyenlőségnek van párja (összeg - különbség), kivéve a négyzetek különbségét. A négyzetek összegére nincs képlet.

A többi egyenlőség könnyen megjegyezhető.:

Nem szabad elfelejteni, hogy az FSO-k minden esetben és bármilyen érték mellett működnek. aés b: tetszőleges számok és egész kifejezések is lehetnek.

Abban a helyzetben, amikor hirtelen nem emlékszik, melyik jel van a képletben egy vagy másik kifejezés előtt, kinyithatja a zárójeleket, és ugyanazt az eredményt kaphatja, mint a képlet használata után. Például, ha probléma merült fel a különbség kocka FSU-jának alkalmazásakor, akkor meg kell írni az eredeti kifejezést és egyenként végezze el a szorzást:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ennek eredményeként az összes ilyen tag redukálása után ugyanazt a polinomot kaptuk, mint a táblázatban. Ugyanezek a manipulációk elvégezhetők az összes többi FSO-val.

FSO alkalmazása egyenletek megoldására

Például meg kell oldania egy egyenletet, amely tartalmazza 3. fokú polinom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Az iskolai tanterv nem veszi figyelembe a kockaegyenletek megoldásának univerzális technikáit, és az ilyen feladatokat leggyakrabban egyszerűbb módszerekkel (például faktorizációval) oldják meg. Ha észreveszi, hogy az azonosság bal oldala az összeg kockájára hasonlít, akkor az egyenletet egyszerűbb formában is felírhatja:

(x + 1)³ = 0.

Egy ilyen egyenlet gyökerét szóban számítják ki: x=-1.

Az egyenlőtlenségeket hasonló módon oldják meg. Például meg tudjuk oldani az egyenlőtlenséget x³ - 6x² + 9x > 0.

Mindenekelőtt a kifejezést faktorokra kell bontani. Először ki kell venni a konzolokat x. Ezek után ügyeljen arra, hogy a zárójelben lévő kifejezés átváltható a különbség négyzetére.

Ezután meg kell találnia azokat a pontokat, ahol a kifejezés nulla értéket vesz fel, és meg kell jelölnie azokat a számegyenesen. Adott esetben ezek 0 és 3 lesznek. Ezután az intervallum módszerrel határozzuk meg, hogy x milyen intervallumokban felel meg az egyenlőtlenség feltételének.

Az FSO-k hasznosak lehetnek a végrehajtásban néhány számítás számológép segítsége nélkül:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Ezenkívül a kifejezések faktorálásával könnyedén csökkentheti a törteket és egyszerűsítheti a különféle algebrai kifejezéseket.

Példák a feladatokra a 7-8

Befejezésül két feladatot elemezünk és oldunk meg a rövidített szorzóképletek algebrában való alkalmazására.

1. feladat Egyszerűsítse a kifejezést:

(m + 3)² + (3 m + 1) (3 m - 1) - 2 m (5 m + 3).

Döntés. A feladat feltételben szükséges a kifejezés egyszerűsítése, azaz a zárójelek kinyitása, a szorzás és a hatványozás műveleteinek elvégzése, valamint az összes ilyen kifejezés behozatala. A kifejezést feltételesen három részre osztjuk (a kifejezések számának megfelelően), és egyenként nyissuk meg a zárójeleket, lehetőség szerint az FSU használatával.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(négyzetösszeg);
(3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(négyzetek különbsége);
Az utolsó tagban szorzást kell végrehajtania: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Helyettesítse az eredményeket az eredeti kifejezésben:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

A jelek figyelembevételével kinyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adunk:

m² + 6 m + 9 + 9 m² 1 - 10 m² - 6 m = 8.

2. Feladat. Oldja meg az ismeretlen k-t tartalmazó egyenletet 5 hatványára:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k3.

Döntés. Ebben az esetben az FSO-t és a csoportosítási módszert kell használni. Az utolsó és utolsó előtti kifejezést át kell vinnünk az identitás jobb oldalára.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

A közös szorzót a jobb és a bal részből veszik (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Minden átkerül az egyenlet bal oldalára, így a 0 a jobb oldalon marad:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Ismét ki kell venni a közös tényezőt:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Az első kapott tényezőből levezethetjük k. A rövid szorzási képlet szerint a második tényező azonos lesz (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

A négyzetek különbségi képletével:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Mivel a szorzat 0, ha legalább egy tényezője nulla, nem lesz nehéz megtalálni az egyenlet összes gyökerét:

k = 0;
k-1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

A szemléltető példák alapján megérthető, hogyan kell megjegyezni a képleteket, azok különbségeit, és számos gyakorlati problémát is megoldhat az FSU használatával. A feladatok egyszerűek, és nem lehet nehéz elvégezni.

Az óra tartalma

Két kifejezés összegének négyzete

Számos olyan eset van, amikor egy polinom polinommal való szorzása nagymértékben leegyszerűsíthető. Ilyen például (2 x+ 3y) 2 .

Kifejezés (2 x+ 3y) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Megkaptuk egy polinom szorzatát egy polinommal. Végezzük el:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Vagyis a kifejezés (2 x+ 3y) 2 egyenlő 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Oldjunk meg egy hasonló példát, ami egyszerűbb:

(a+b) 2

Kifejezés ( a+b) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Végezzük el ezt a szorzást:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ez a kifejezés (a+b) 2 egyenlő a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Kiderült, hogy az eset ( a+b) 2 bármelyre kiterjeszthető aés b. Az első példa, amit megoldottunk, nevezetesen (2 x+ 3y) 2 az identitás segítségével megoldható (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Ehhez a változók helyett helyettesíteni kell aés b kifejezés megfelelő kifejezései (2 x+ 3y) 2. Ebben az esetben a változó a meccs fasz 2 x, és a változó b meccs fasz 3 y

a = 2x

b = 3y

És akkor használhatjuk az identitást (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , hanem változók helyett aés b be kell cserélnie a kifejezéseket 2 xés 3 y illetőleg:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Mint legutóbb, kaptunk egy polinomot 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . A megoldást általában rövidebben írják le, minden elemi átalakítást végrehajtva az elmében:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Identitás (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 két kifejezés összege négyzetének képletének nevezzük. Ez a képlet így olvasható:

Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első kifejezés, a második és a második kifejezés négyzetének szorzatával.

Tekintsük a (2 + 3) 2 kifejezést. Kétféleképpen számítható ki: hajtsa végre az összeadást zárójelben, és négyzetesítse az eredményt, vagy használja a képletet két kifejezés összegének négyzetére.

Első út:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Második út:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

2. példa. Kifejezés konvertálása (5 a+ 3) 2 polinomba.

Használjuk a képletet két kifejezés összegének négyzetére:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5egy + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Eszközök, (5egy + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Próbáljuk meg megoldani ezt a példát az összegnégyzet képlet használata nélkül. Ugyanazt az eredményt kell kapnunk:

(5egy + 3) 2 = (5egy + 3)(5egy + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

A két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet geometriai jelentéssel bír. Emlékezzünk arra, hogy egy négyzet területének kiszámításához fel kell emelni az oldalát a második hatványra.

Például egy négyzet területe egy oldallal a egyenlő lesz a 2. Ha növeli a négyzet oldalát b, akkor a terület egyenlő lesz ( a+b) 2

Tekintsük a következő ábrát:

Képzelje el, hogy az ábrán látható négyzet oldala eggyel megnő b. Egy négyzetnek minden oldala egyenlő. Ha az oldalát megnöveljük b, akkor a többi oldal is megnő b

Az eredmény egy új négyzet, amely nagyobb, mint az előző. Hogy jól lássuk, egészítsük ki a hiányzó oldalakat:

A négyzet területének kiszámításához külön kiszámíthatja a benne szereplő négyzeteket és téglalapokat, majd hozzáadhatja az eredményeket.

Először is kiszámíthat egy négyzetet, amelynek oldala van a- területe egyenlő lesz a 2. Ezután kiszámíthatja az oldalsó téglalapokat aés b- egyenlőek lesznek ab. Ezután kiszámíthat egy négyzetet, amelynek oldala van b

Az eredmény a következő területek összege:

a 2 + ab+ab + b 2

Az egyforma téglalapok területének összege 2 szorzásával helyettesíthető ab, ami szó szerint azt jelenti "ismételje meg az ab téglalap területének kétszeresét" . Algebrailag ezt a hasonló kifejezések redukálásával kapjuk meg abés ab. Az eredmény egy kifejezés a 2 + 2ab+ b 2 , amely két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet jobb oldala:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

Két kifejezés különbségének négyzete

A két kifejezés különbségének négyzetének képlete a következő:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Két kifejezés különbségének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszerese plusz a második kifejezés négyzete.

A két kifejezés különbségének négyzetének képlete ugyanúgy származik, mint a két kifejezés összegének négyzetének képlete. Kifejezés ( a-b) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Ha ezt a szorzást végrehajtja, polinomot kap a 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

1. példa. Kifejezés konvertálása (7 x− 5) 2 polinomba.

Használjuk a két kifejezés különbségének négyzetének képletét:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Eszközök, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a különbség négyzetes képlete nélkül. Ugyanazt az eredményt kell kapnunk:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

A két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képletnek geometriai jelentése is van. Ha egy négyzet területe egy oldallal a egyenlő a 2, akkor annak a négyzetnek a területe, amelynek oldalát csökkentjük b, egyenlő lesz ( a-b) 2

Tekintsük a következő ábrát:

Képzelje el, hogy az ábrán látható négyzet oldala lecsökken b. Egy négyzetnek minden oldala egyenlő. Ha az egyik oldalt csökkentik b, akkor a többi oldal is csökkenni fog b

Az eredmény egy új négyzet, amely kisebb, mint az előző. Az ábrán sárgával van kiemelve. Az oldala az a− b a régi oldal óta a-vel csökkent b. A négyzet területének kiszámításához használhatja a négyzet eredeti területét a 2 vonja ki a téglalapok területeit, amelyeket a régi négyzet oldalainak csökkentése során kapott. Mutassuk meg ezeket a téglalapokat:

Ekkor felírhatjuk a következő kifejezést: régi terület a 2 mínusz terület ab mínusz terület ( a-b)b

a 2 − ab − (a-b)b

Bontsa ki a zárójeleket a kifejezésben ( a-b)b

a 2 − ab - ab + b 2

Itt vannak hasonló kifejezések:

a 2 − 2ab + b 2

Az eredmény egy kifejezés a 2 − 2ab + b 2 , amely a két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képlet jobb oldala:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képleteit általában ún rövidített szorzóképletek. Ezekkel a képletekkel jelentősen leegyszerűsítheti és felgyorsíthatja a polinomok szorzásának folyamatát.

Korábban azt mondtuk, hogy ha egy polinom egy tagját külön tekintjük, akkor azt az előtte elhelyezkedő jellel együtt kell figyelembe venni.

De a rövidített szorzási képletek alkalmazásakor az eredeti polinom előjelét nem szabad ennek a tagnak az előjelének tekinteni.

Például, ha az (5 x − 2y) 2 , és a képletet szeretnénk használni (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , majd ahelyett b helyettesíteni kell a 2-t y, nem -2 y. Ez a képletekkel való munka sajátossága, amelyet nem szabad elfelejteni.

(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Ha behelyettesítjük −2 y, akkor ez azt jelenti, hogy az eredeti kifejezés zárójelében lévő különbséget az összeg váltotta fel:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

és ebben az esetben nem a különbség négyzetének képletét kell alkalmazni, hanem az összeg négyzetének képletét:

(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Kivételt képezhetnek a forma kifejezései (x− (−y)) 2 . Ebben az esetben a képlet segítségével (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ahelyett b helyettesíteni kell (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

De a forma négyzetes kifejezései x − (−y), kényelmesebb lesz a kivonást összeadásra cserélni x+y. Ekkor az eredeti kifejezés a ( x +y) 2, és használhatjuk az összeg négyzetének képletét, és nem a különbséget:

(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Sum Cube és Difference Cube

A két kifejezés összegének kockájának és a két kifejezés különbségének kockájának képlete a következő:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

A két kifejezés összegének kockájának képlete a következőképpen olvasható:

A két kifejezés összegének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával, plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosával a másodikkal plusz az első kifejezés szorzatával és a második négyzetével plusz a második kockájával. kifejezés.

A két kifejezés különbségének kockájának képlete pedig a következőképpen olvasható:

A két kifejezés különbségének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a kocka a második kifejezés.

A feladatok megoldása során kívánatos ezeket a képleteket fejből tudni. Ha nem emlékszel, ne aggódj! Kiveheti őket egyedül. Már tudjuk, hogyan.

Vezessük le az összegkocka képletet magunktól:

(a+b) 3

Kifejezés ( a+b) 3 három polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

De a kifejezés ( a+b) 3 úgy is felírható (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

Ebben az esetben a tényező ( a+ b) 2 a két kifejezés összegének négyzete. Az összegnek ez a négyzete egyenlő a kifejezéssel a 2 + 2ab + b 2 .

Azután ( a+b) 3 úgy írható fel (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

Ez pedig egy polinom szorzása egy polinommal. Végezzük el:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hasonlóképpen levezetheti a képletet a két kifejezés különbségének kockájára:

(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

1. példa. Konvertálja a kifejezést ( x+ 1) 3 polinomba.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a két kifejezés összegének kockaképletének használata nélkül

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

2. példa. Kifejezés konvertálása (6a 2 + 3b 3) 3 polinomba.

Használjuk a kockaképletet két kifejezés összegére:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9

3. példa. Kifejezés konvertálása ( n 2 − 3) 3 polinomba.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

4. példa. Kifejezés konvertálása (2x 2 − x 3) 3 polinomba.

Használjuk a két kifejezés különbségének kockaképletét:

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel

Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegükkel. Például:

(a-b)(a+b)

Ebben a kifejezésben két kifejezés különbsége aés b megszorozva ugyanazon két kifejezés összegével. Végezzük el ezt a szorzást:

(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

Ez a kifejezés (a-b)(a+b) egyenlő a 2 − b 2

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

Látjuk, hogy ha két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel, megkapjuk e kifejezések négyzeteinek különbségét.

Két kifejezés különbségének és összegének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével.

Esemény (a-b)(a+b) bármelyikre kiterjeszthető aés b. Egyszerűen fogalmazva, ha egy feladat megoldása során két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegükkel, akkor ez a szorzás helyettesíthető ezen kifejezések négyzeteinek különbségével.

1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x − 5)(2x + 5)

Ebben a példában a kifejezés különbsége 2 xés 5-öt megszorozva ugyanezen kifejezések összegével. Majd a képlet szerint (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 nekünk van:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Kiszámoljuk a jobb oldalt, 4-et kapunk x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a képlet használata nélkül (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Ugyanazt az eredményt kapjuk 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

2. példa. Hajtsa végre a szorzást (4x − 5y)(4x + 5y)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

3. példa. Hajtsa végre a szorzást (2a+ 3b)(2a− 3b)

Használjuk a képletet, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(2egy + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

Ebben a példában a tagok összege 2 aés 3 b korábban található, mint e kifejezések különbsége. És a képletben (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 a különbség korábban található.

Nem mindegy, hogy a tényezők hogyan vannak elrendezve ( a-b) ban ben ( a+b) a képletben. Így írhatók (a-b)(a+b) , és (a+b)(a-b) . Az eredmény akkor is lesz a 2 − b 2, mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától.

Tehát ebben a példában a tényezők (2 egy + 3b) és 2 a- 3b) így írható (2egy + 3b)(2a- 3b) , és (2a- 3b)(2egy + 3b) . Az eredmény továbbra is 4 lesz. a 2 − 9b 2 .

3. példa. Hajtsa végre a szorzást (7 + 3x)(3x − 7)

Használjuk a képletet, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

4. példa. Hajtsa végre a szorzást (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

5. példa. Hajtsa végre a szorzást (−5x− 3y)(5x− 3y)

A kifejezésben (-5 x− 3y) kivesszük a −1-et, akkor az eredeti kifejezés a következő alakot ölti:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Munka (5x + 3y)(5x − 3y) cserélje ki a négyzetek különbségével:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

A négyzetek különbségét zárójelbe tettük. Ha ez nem történik meg, akkor kiderül, hogy −1 csak (5 x) 2. Ez hibához vezet, és megváltoztatja az eredeti kifejezés értékét.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Most megszorozzuk a −1-et a zárójelben lévő kifejezéssel, és megkapjuk a végeredményt:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegük hiányos négyzetével

Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegük hiányos négyzetével. Ez a darab így néz ki:

(a-b)(a 2 + ab + b 2)

Első polinom ( a-b) két kifejezés és a második polinom különbsége (a 2 + ab + b 2) e két kifejezés összegének nem teljes négyzete.

Az összeg nem teljes négyzete az alak polinomja a 2 + ab + b 2 . Hasonló az összeg szokásos négyzetéhez a 2 + 2ab + b 2

Például a kifejezés 4x 2 + 6xy + 9y 2 a 2 kifejezések összegének egy nem teljes négyzete xés 3 y .

Valóban, a kifejezés első tagja 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nevezetesen 4 x A 2 a 2 kifejezés négyzete x, mivel (2 x) 2 = 4x 2. A kifejezés harmadik tagja 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nevezetesen 9 y A 2 a 3 négyzete y, mert (3 y) 2 = 9y 2. középfasz 6 xy, a 2. kifejezések szorzata xés 3 y.

Tehát szorozzuk meg a különbséget ( a-b) az összeg nem teljes négyzetével a 2 + ab + b 2

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

Ez a kifejezés (a-b)(a 2 + ab + b 2) egyenlő a 3 − b 3

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Ezt az azonosságot nevezzük képletnek, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk összegük hiányos négyzetével. Ez a képlet így olvasható:

Két kifejezés különbségének és összegük hiányos négyzetének szorzata egyenlő e kifejezések kockáinak különbségével.

1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Első polinom (2 x − 3y) két kifejezés különbsége 2 xés 3 y. Második polinom 4x 2 + 6xy + 9y 2 két kifejezés összegének nem teljes négyzete 2 xés 3 y. Ez lehetővé teszi a képlet használatát hosszadalmas számítások elvégzése nélkül (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Esetünkben a szorzás (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) helyettesíthető a kockák különbségével 2 xés 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

2. példa. Hajtsa végre a szorzást (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Az első polinom (3 − x) a két kifejezés különbsége, a második polinom pedig e két kifejezés összegének nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Két kifejezés összegét megszorozzuk a különbségük hiányos négyzetével

Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés összegét meg kell szorozni a különbségük hiányos négyzetével. Ez a darab így néz ki:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

Első polinom ( a+b (a 2 − ab + b 2) e két kifejezés különbségének egy nem teljes négyzete.

A különbség nem teljes négyzete az alak polinomja a 2 − ab + b 2 . Hasonló a szokásos négyzetes különbséghez a 2 − 2ab + b 2 kivéve, hogy benne az első és a második kifejezés szorzata nem duplázódik meg.

Például a kifejezés 4x 2 − 6xy + 9y 2 a 2 kifejezések különbségének egy nem teljes négyzete xés 3 y .

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Térjünk vissza az eredeti példához. Szorozzuk meg az összeget a+b a különbség nem teljes négyzetével a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

Ez a kifejezés (a+b)(a 2 − ab + b 2) egyenlő a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Ezt az azonosságot két kifejezés összegének a különbségük hiányos négyzetével való szorzására szolgáló képletnek nevezzük. Ez a képlet így olvasható:

Két kifejezés összegének és különbségük hiányos négyzetének szorzata egyenlő e kifejezések kockáinak összegével.

1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Első polinom (2 x + 3y) két kifejezés összege 2 xés 3 y, és a második polinom 4x 2 − 6xy + 9y 2 e kifejezések különbségének nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát hosszadalmas számítások elvégzése nélkül (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Esetünkben a szorzás (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) helyettesíthető a 2 kocka összegével xés 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

Próbáljuk meg megoldani ugyanezt a példát a képlet használata nélkül (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

2. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Első polinom (2 x+ y) két kifejezés és a második polinom összege (4x 2 − 2xy + y 2) ezeknek a kifejezéseknek a különbségének egy nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Próbáljuk meg megoldani ugyanezt a példát a képlet használata nélkül (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Önálló megoldási feladatok

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

Az algebrai polinomok egyszerűsítése érdekében léteznek rövidített szorzóképletek. Nincs belőlük olyan sok, és könnyen megjegyezhetők, de emlékezned kell rájuk. A képletekben használt jelölés bármilyen formát ölthet (szám vagy polinom).

Az első rövidített szorzási képletet ún négyzetek különbsége. Ez abban rejlik, hogy az egyik szám négyzetéből kivonjuk a második szám négyzetét, amely egyenlő e számok különbségével, valamint a szorzatukkal.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Az érthetőség kedvéért elemezzük:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

A második képlet kb négyzetek összege. Úgy hangzik, hogy két érték négyzetösszege egyenlő az első érték négyzetével, ehhez hozzáadjuk az első érték kétszeres szorzatát, szorozva a másodikkal, és hozzáadjuk a második érték négyzetét.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ennek a képletnek köszönhetően sokkal könnyebbé válik a nagy szám négyzetének kiszámítása számítógépes technológia használata nélkül.

Tehát például: a 112-es négyzet lesz
1) Kezdetben a 112-t olyan számokká elemezzük, amelyek négyzetei ismerősek számunkra
112 = 100 + 12
2) A kapott értéket zárójelbe, négyzetbe írjuk
112 2 = (100+12) 2
3) A képletet alkalmazva a következőket kapjuk:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A harmadik képlet az különbség négyzet. Ami azt mondja, hogy két egymásból kivont érték négyzetével egyenlő azzal a ténnyel, hogy az első négyzetes értékből kivonjuk az első érték kétszeres szorzatát, szorozva a másodikkal, és hozzáadjuk a második érték négyzetét. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

ahol (a - b) 2 egyenlő (b - a) 2 -vel. Ennek bizonyítására (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

A negyedik rövidített szorzási képletet ún összeg kocka. Ami így hangzik: a kockában lévő érték két tagja egyenlő az 1 értékű kockával, 1 érték hármasszorzata szorozva a 2. értékkel, ezekhez hozzáadjuk az 1 érték hármasszorzatát szorozva a négyzet 2 érték, plusz a második kockás érték.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Az ötödik, ahogy már megértetted, az úgynevezett különbség kocka. Amely megtalálja az értékek közötti különbségeket, hiszen a kocka első jelöléséből kivonjuk az első megnevezés hármasszorzatát, szorozva a másodikkal, az első megjelölés hármasszorzatát szorozva a második megjelölés négyzetével. , mínusz a második jelölés a kockában.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

A hatodik ún kockák összege. A kockák összege egyenlő két tag szorzatával, megszorozva a különbség hiányos négyzetével, mivel középen nincs megduplázott érték.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Másképpen azt is mondhatjuk, hogy a kockaösszeg két zárójelben lévő szorzatnak nevezhető.

A hetedik és utolsó ún kockák különbsége(könnyű összetéveszteni a különbségkocka képlettel, de ezek más dolgok). A kockák különbsége egyenlő két érték különbségének szorzatával az összeg nem teljes négyzetével, mivel középen nincs megduplázott érték.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Így csak 7 képlet van a rövidített szorzásra, ezek hasonlítanak egymásra és könnyen megjegyezhetőek, csak az a fontos, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Fordított sorrendben is használhatóak, és jó néhány ilyen feladatot összegyűjtöttek a tankönyvek. Legyen óvatos, és sikerülni fog.

Ha kérdése van a képletekkel kapcsolatban, feltétlenül írja meg a megjegyzésekben. Örömmel válaszolunk Önnek!

Ha szülési szabadságon van, de szeretne pénzt keresni. Csak kövesse az Internetes üzlet linkjét az Oriflame-mel. Minden nagyon részletesen meg van írva és bemutatva. Érdekes lesz!