Továbbra is mérlegeljük az egységes matematika államvizsgában szereplő feladatokat. Tanulmányoztunk már olyan problémákat, ahol adott a feltétel, és meg kell találni két adott pont távolságát vagy egy szöget.
A piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok háromszögek, és közös csúcsuk van.
A szabályos piramis olyan gúla, amelynek alapjában szabályos sokszög található, és csúcsa az alap közepébe vetül.
Szabályos négyszögletű gúla - az alap négyzet A piramis teteje az alap átlóinak metszéspontjába (négyzet) vetül.
ML - apothem
∠MLO – kétszög a piramis alján
∠MCO - a gúla oldalsó éle és az alapsík közötti szög
Ebben a cikkben egy szabályos piramis megoldásának problémáit vizsgáljuk meg. Meg kell találni valamilyen elemet, oldalfelületet, térfogatot, magasságot. Természetesen ismernie kell a Pitagorasz-tételt, a piramis oldalfelületének területének képletét és a piramis térfogatának meghatározására szolgáló képletet.
A cikkben A "" azokat a képleteket mutatja be, amelyek a sztereometriai problémák megoldásához szükségesek. Tehát a feladatok:
SABCD pont O- az alap közepe,S csúcs, ÍGY = 51, A.C.= 136. Keresse meg az oldalélt!S.C..
BAN BEN ebben az esetben az alap egy négyzet. Ez azt jelenti, hogy az AC és BD átlók egyenlőek, metszik egymást, és a metszéspont felezi őket. Figyeljük meg, hogy egy szabályos piramisban a tetejétől leesett magasság áthalad a piramis alapjának közepén. Tehát SO a magasság és a háromszögSOCnégyszögletes. Akkor a Pitagorasz-tétel szerint:
Hogyan lehet kinyerni a gyökeret nagyszámú.
Válasz: 85
Döntsd el magad:
Szabályos négyszög alakú piramisban SABCD pont O- az alap közepe, S csúcs, ÍGY = 4, A.C.= 6. Keresse meg az oldalélt S.C..
Szabályos négyszög alakú piramisban SABCD pont O- az alap közepe, S csúcs, S.C. = 5, A.C.= 6. Határozza meg a szakasz hosszát! ÍGY.
Szabályos négyszög alakú piramisban SABCD pont O- az alap közepe, S csúcs, ÍGY = 4, S.C.= 5. Határozza meg a szakasz hosszát! A.C..
SABC R- a borda közepe IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., S- felső. Ismeretes, hogy AB= 7, a S.R.= 16. Határozza meg az oldalfelületet!
Egy szabályos háromszög alakú gúla oldalfelületének területe megegyezik az alap kerülete és az apotém szorzatának felével (az apotém a szabályos gúla csúcsából húzott oldallapjának magassága):
Vagy mondhatjuk ezt: a piramis oldalfelületének területe egyenlő az összeggel három négyzet oldalsó élek. Egy szabályos háromszög alakú gúla oldallapjai egyenlő területű háromszögek. Ebben az esetben:
Válasz: 168
Döntsd el magad:
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC R- a borda közepe IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., S- felső. Ismeretes, hogy AB= 1, a S.R.= 2. Határozza meg az oldalfelületet!
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC R- a borda közepe IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., S- felső. Ismeretes, hogy AB= 1, és az oldalfelület területe 3. Határozza meg a szakasz hosszát S.R..
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC L- a borda közepe IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., S- felső. Ismeretes, hogy SL= 2, és az oldalfelület területe 3. Határozza meg a szakasz hosszát AB.
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC M. Egy háromszög területe ABC 25, a gúla térfogata 100. Határozza meg a szakasz hosszát KISASSZONY.
A piramis alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért Maz alap közepe, ésKISASSZONY- szabályos piramis magasságaSABC. A piramis térfogata SABC egyenlő: megoldás megtekintése
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC az alap mediánjai a pontban metszik egymást M. Egy háromszög területe ABC egyenlő 3, KISASSZONY= 1. Határozza meg a piramis térfogatát!
Szabályos háromszög alakú piramisban SABC az alap mediánjai a pontban metszik egymást M. A piramis térfogata 1, KISASSZONY= 1. Keresse meg a háromszög területét ABC.
Itt fejezzük be. Mint látható, a problémák egy vagy két lépésben megoldódnak. A jövőben más problémákkal is foglalkozunk ebből a részből, ahol a forradalom testei adottak, ne hagyd ki!
Sok sikert!
Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.
P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.
- apotém- egy szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a csúcsából húzunk (továbbá az apotém a merőleges hossza, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldalára süllyeszthető);
- oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - háromszögek, amelyek a csúcsban találkoznak;
- oldalsó bordák ( MINT , B.S. , C.S. , D.S. ) — közös szempontok oldalsó élek;
- a piramis teteje (t. S) - az oldalbordákat összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
- magasság ( ÍGY ) - a piramis tetején keresztül az alap síkjához húzott merőleges szakasz (egy ilyen szakasz vége a gúla teteje és a merőleges alapja lesz);
- a piramis átlós metszete- a piramis egy szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
- bázis (ABCD) - sokszög, amely nem tartozik a piramis csúcsához.
A piramis tulajdonságai.
1. Ha az összes oldalsó él azonos méretű, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldalbordák az alap síkjával egyenlő szöget zárnak be;
- Ráadásul ennek az ellenkezője is igaz, pl. amikor az oldalsó bordák az alap síkjával kialakulnak egyenlő szögek, vagy amikor egy kör írható le a piramis alapja közelében, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve, ami azt jelenti, hogy a gúla minden oldaléle azonos méretű.
2. Ha az oldallapok dőlésszöge az alap síkjához képest azonos értékű, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
- az oldalfelület területe egyenlő az alap kerületének és az oldalfelület magasságának szorzatával.
3. A gúla körül gömb írható le, ha a gúla alján van egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek közepén. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.
4. Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A legegyszerűbb piramis.
A szögek száma alapján a piramis alapja háromszögre, négyszögre stb.
Piramis lesz háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja egy háromszög, egy négyszög stb. A háromszög alakú piramis egy tetraéder - egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.
A tanulók jóval a geometria tanulmányozása előtt találkoznak a piramis fogalmával. A hiba a híres nagy egyiptomi világcsodákban rejlik. Ezért, amikor elkezdi tanulmányozni ezt a csodálatos poliédert, a legtöbb diák már egyértelműen elképzeli. A fent említett látnivalók mindegyike megfelelő alakú. Mi történt szabályos piramis, és hogy milyen tulajdonságai vannak, még szó lesz róla.
Kapcsolatban áll
Meghatározás
A piramisnak nagyon sok definíciója létezik. Ősidők óta nagyon népszerű volt.
Eukleidész például testalakot definiált, amely síkokból áll, amelyek az egyikből kiindulva egy bizonyos ponton konvergálnak.
Heron pontosabb megfogalmazást adott. Ragaszkodott hozzá, hogy ez az a figura van egy alapja és háromszög alakú síkjai, egy ponton konvergál.
Alapul véve modern értelmezés, a piramist térbeli poliéderként ábrázoljuk, amely egy bizonyos k-szögből és k lapos alakból áll háromszög alakú, amelynek egy közös pontja van.
Nézzük meg részletesebben, milyen elemekből áll:
- A k-gont tekintjük az ábra alapjának;
- 3-szögű formák nyúlnak ki, mint az oldalrész élei;
- a felső részt, ahonnan az oldalelemek származnak, csúcsnak nevezzük;
- minden csúcsot összekötő szakaszt élnek nevezünk;
- ha egy egyenest 90 fokos szögben leeresztünk a csúcsból az ábra síkjába, akkor a belső térben lévő része a piramis magassága;
- bármely oldalsó elemben a poliéderünk oldalára húzható egy merőleges, az úgynevezett apotém.
Az élek számát a 2*k képlet segítségével számítjuk ki, ahol k a k-szög oldalainak száma. Hány lapja van egy poliédernek, például egy piramisnak, a k+1 kifejezéssel határozhatjuk meg.
Fontos! A szabályos alakú gúla egy sztereometrikus alakzat, amelynek alapsíkja egy egyenlő oldalú k-gon.
Alaptulajdonságok
Helyes piramis számos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek csak rá jellemzőek. Soroljuk fel őket:
- Az alap egy megfelelő alakú figura.
- A piramis oldalelemeket határoló élei azonos számértékekkel rendelkeznek.
- Az oldalelemek egyenlő szárú háromszögek.
- Az ábra magasságának alapja a sokszög közepére esik, miközben egyben a beírt és körülírt középpontja is.
- Minden oldalborda ugyanabban a szögben dől az alap síkjához.
- Minden oldalfelület azonos dőlésszöggel rendelkezik az alaphoz képest.
Az összes felsorolt tulajdonságnak köszönhetően az elemszámítások elvégzése sokkal egyszerűbb. A fenti tulajdonságok alapján odafigyelünk arra két jel:
- Abban az esetben, ha a sokszög egy körbe illeszkedik, az oldallapok az alappal egyenlő szöget zárnak be.
- Ha egy sokszöget körülvevő kört írunk le, a piramis csúcsából kiinduló összes éle egyenlő hosszúságú és azonos szöget zár be az alappal.
Az alap egy négyzet
Szabályos négyszög alakú piramis - poliéder, amelynek alapja négyzet.
Négy oldallapja van, amelyek egyenlő szárúak.
A négyzet egy síkon van ábrázolva, de a szabályos négyszög összes tulajdonságán alapul.
Például, ha egy négyzet oldalát össze kell kapcsolni az átlójával, akkor használja a következő képletet: az átló egyenlő a négyzet oldalának és kettő négyzetgyökének szorzatával.
Alapja egy szabályos háromszög
Helyes háromszög alakú piramis– poliéder, amelynek alapja szabályos 3-szög.
Ha az alap szabályos háromszög, és az oldalélek egyenlőek az alap éleivel, akkor egy ilyen ábra tetraédernek nevezzük.
A tetraéder minden lapja egyenlő oldalú 3 szögű. Ebben az esetben ismernie kell néhány pontot, és nem kell rájuk időt pazarolnia a számítás során:
- a bordák bármely alaphoz viszonyított dőlésszöge 60 fok;
- az összes belső oldal mérete szintén 60 fok;
- bármely arc szolgálhat alapként;
- , az ábra belsejébe húzva, ezek egyenlő elemek.
Egy poliéder metszetei
Bármely poliéderben vannak többféle szakasz lakás. Az iskolai geometriatanfolyamokon gyakran kettővel dolgoznak:
- tengelyirányú;
- az alappal párhuzamosan.
Axiális metszetet úgy kapunk, hogy egy poliédert metszünk egy síkkal, amely átmegy a csúcson, az oldaléleken és a tengelyen. Ebben az esetben a tengely a csúcsból húzott magasság. A vágási síkot az összes lap metszésvonala korlátozza, ami egy háromszöget eredményez.
Figyelem! Egy szabályos piramisban a tengelyirányú metszet egyenlő szárú háromszög.
Ha a vágási sík párhuzamosan fut az alappal, akkor az eredmény a második lehetőség. Ebben az esetben az alaphoz hasonló keresztmetszeti ábránk van.
Például, ha van egy négyzet az alapnál, akkor az alappal párhuzamos szakasz is négyzet lesz, csak kisebb méretű.
Az ilyen feltételek melletti problémák megoldása során az ábrák hasonlóságának jeleit és tulajdonságait használják, Thalész tétele alapján. Először is meg kell határozni a hasonlósági együtthatót.
Ha a síkot párhuzamosan húzzuk az alappal és levágja felső rész poliéder, akkor az alsó részen szabályos csonka gúlát kapunk. Ekkor egy csonka poliéder alapjait hasonló sokszögeknek mondjuk. Ebben az esetben az oldallapok egyenlő szárú trapézok. A tengelymetszet is egyenlő szárú.
A csonka poliéder magasságának meghatározásához meg kell rajzolni a magasságot a tengelymetszetben, vagyis a trapézben.
Felületi területek
Az iskolai geometriatanfolyamon megoldandó fő geometriai problémák a következők a piramis felületének és térfogatának meghatározása.
Kétféle felületi érték létezik:
- az oldalsó elemek területe;
- a teljes felület területe.
Már a névből is kiderül, miről beszélünk. Az oldalfelület csak az oldalelemeket tartalmazza. Ebből az következik, hogy a megtalálásához egyszerűen össze kell adni az oldalsíkok területeit, vagyis az egyenlő szárú 3-szögűek területeit. Próbáljuk meg levezetni az oldalelemek területének képletét:
- Egy egyenlőszárú 3-szög területe Str=1/2(aL), ahol a az alap oldala, L az apotéma.
- Az oldalsíkok száma az alapnál lévő k-gon típusától függ. Például egy szabályos négyszög alakú piramisnak négy oldalsíkja van. Ezért szükséges a négy szám területét összeadni: Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. A kifejezés ily módon leegyszerűsödik, mert az érték 4a = Rosn, ahol Rosn az alap kerülete. Az 1/2*Rosn kifejezés pedig a fél kerülete.
- Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy egy szabályos piramis oldalsó elemeinek területe megegyezik az alap fél kerületének és az apotémának a szorzatával: Sside = Rosn * L.
A piramis teljes felületének területe az oldalsíkok és az alapterületek összegéből áll: Sp.p. = Sside + Sbas.
Ami az alap területét illeti, itt a képletet a sokszög típusának megfelelően használják.
Szabályos piramis térfogata egyenlő az alapsík területének és a magasság szorzatával osztva hárommal: V=1/3*Sbas*H, ahol H a poliéder magassága.
Mi a szabályos piramis a geometriában
Szabályos négyszög gúla tulajdonságai
Hipotézis:úgy gondoljuk, hogy a piramis alakjának tökéletessége az alakjában rejlő matematikai törvényeknek köszönhető.
Cél: Miután megvizsgálta a piramist mint geometriai testet, magyarázza el alakjának tökéletességét.
Feladatok:
1. Adja meg a piramis matematikai definícióját!
2. Tanulmányozza a piramist mint geometriai testet!
3. Értsd meg, milyen matematikai ismereteket építettek be az egyiptomiak piramisaiba.
Privát kérdések:
1. Mi a piramis mint geometriai test?
2. Hogyan magyarázható matematikai szempontból a piramis egyedi alakja?
3. Mi magyarázza a piramis geometriai csodáit?
4. Mi magyarázza a piramis alakjának tökéletességét?
A piramis definíciója.
PIRAMIS (a görög pyramis, gen. pyramidos) - poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig háromszögek, amelyeknek közös csúcsa van (rajz). Az alap sarkainak száma alapján a piramisokat háromszög, négyszög stb.
PIRAMIS - monumentális építmény, amelynek geometriai formája piramis (néha lépcsős vagy torony alakú is). Piramisok az ókori egyiptomi fáraók óriássírjainak elnevezése a Kr.e. 3-2. évezredben. e., valamint az ősi amerikai templomok talapzatai (Mexikóban, Guatemalában, Hondurasban, Peruban), amelyek a kozmológiai kultuszokhoz kapcsolódnak.
Lehetséges, hogy a görög „piramis” szó az egyiptomi per-em-us kifejezésből származik, vagyis a piramis magasságát jelentő kifejezésből. A kiváló orosz egyiptológus, V. Struve úgy vélte, hogy a görög „puram...j” az ókori egyiptomi „p”-mr-ből származik.
A történelemből. Miután tanulmányozta az Atanasyan szerzői „Geometria” tankönyv anyagát. Butuzov és mások, megtudtuk, hogy: Egy poliéder, amely egy n-szögű A1A2A3 ... An és n háromszögből áll, PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, piramisnak nevezzük. Az A1A2A3...An sokszög a piramis alapja, a PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 háromszögek pedig a gúla oldallapjai, P a gúla teteje, PA1, PA2,..., PAn szakaszok az oldalsó élek.
A piramisnak ez a meghatározása azonban nem mindig létezett. Például az ókori görög matematikus, a matematikáról szóló elméleti értekezések szerzője, Eukleidész, a piramist szilárd alakként határozza meg, amelyet egy síkból egy pontba konvergáló síkok határolnak.
De ezt a meghatározást már az ókorban is kritizálták. Ezért Heron a piramis következő meghatározását javasolta: „Ez egy olyan alak, amelyet egy pontban összefutó háromszögek határolnak, és amelynek alapja egy sokszög.”
Csoportunk a definíciók összehasonlítása után arra a következtetésre jutott, hogy nincs egyértelmű megfogalmazásuk az „alapítvány” fogalmáról.
Megvizsgáltuk ezeket a definíciókat, és megtaláltuk Adrien Marie Legendre definícióját, aki 1794-ben az „Elements of Geometry” című munkájában a következőképpen definiálja a piramist: „A piramis olyan szilárd alakzat, amelyet egy pontban összefutó háromszögek alkotnak, amelyek a piramis különböző oldalain végződnek. lapos alap."
Számunkra úgy tűnik, hogy az utolsó meghatározás világos képet ad a piramisról, mivel arról beszél, hogy az alap lapos. A piramis egy másik meghatározása egy 19. századi tankönyvben jelent meg: „a piramis egy térszög, amelyet egy sík metsz”.
Piramis mint geometriai test.
Hogy. A piramis egy poliéder, amelynek egyik lapja (alapja) sokszög, a többi lapja (oldalai) háromszögek, amelyeknek egy közös csúcsa van (a piramis csúcsa).
A piramis tetejétől az alap síkjához húzott merőlegest ún magasságh piramisok.
Az önkényes piramison kívül vannak helyes piramis melynek tövében egy szabályos sokszög és csonka piramis.
Az ábrán egy PABCD piramis látható, az ABCD az alapja, a PO a magassága.
Teljes felület A piramis az összes lapja területének összege.
Sfull = Sside + Smain, Ahol Oldal– az oldallapok területének összege.
A piramis térfogata képlettel találjuk meg:
V=1/3Sbas. h, ahol Sbas. - alapterület, h- magasság.
 |
|
Az Apothem ST egy szabályos gúla oldallapjának magassága.
A szabályos gúla oldalsó felületének területét a következőképpen fejezzük ki: Oldal. =1/2P h, ahol P az alap kerülete, h- az oldallap magassága (egy szabályos piramis apotémája). Ha a piramist az alappal párhuzamos A’B’C’D’ sík metszi, akkor:
1) az oldalbordákat és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;
2) keresztmetszetben egy A’B’C’D’ sokszöget kapunk, hasonlóan az alaphoz;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Csonka piramis alapjai– hasonló ABCD és A`B`C`D` sokszögek, az oldallapok trapéz alakúak.
Magasság csonka piramis - az alapok közötti távolság.
Csonka kötet A piramist a következő képlettel találjuk meg:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete a következőképpen van kifejezve: Sside. = ½(P+P') h, ahol P és P’ az alapok kerülete, h- az oldalfelület magassága (egy szabályos csonka pirami apotémája
Egy piramis metszetei.
A piramis csúcsán áthaladó síkok metszetei háromszögek.
A gúla két nem szomszédos oldalélén áthaladó szakaszt nevezzük átlós szakasz.
Ha a szakasz egy ponton halad át az oldalélen és az alap oldalán, akkor a gúla alapjának síkjához vezető nyoma ez az oldal lesz.
A gúla lapján fekvő ponton áthaladó metszet és az alapsíkon egy adott metszetnyom, akkor a konstrukciót a következőképpen kell elvégezni:
· keresse meg egy adott lap síkjának metszéspontját és a gúla metszetének nyomát, és jelölje ki;
· szerkeszteni egy adott ponton átmenő egyenest és az ebből eredő metszéspontot;
· ismételje meg ezeket a lépéseket a következő arcokra.
, ami egy derékszögű háromszög szárainak arányának felel meg 4:3. Ez a lábak aránya megfelel a jól ismert 3:4:5 oldalú derékszögű háromszögnek, amelyet „tökéletes”, „szent” vagy „egyiptomi” háromszögnek neveznek. A történészek szerint az „egyiptomi” háromszög mágikus jelentést kapott. Plutarkhosz azt írta, hogy az egyiptomiak a világegyetem természetét egy „szent” háromszöghöz hasonlították; szimbolikusan hasonlították a függőleges lábat a férjhez, a talpat a feleséghez, a hipotenuszt pedig ahhoz, amely mindkettőből születik.
A 3:4:5 arányú háromszögre igaz az egyenlőség: 32 + 42 = 52, ami a Pitagorasz-tételt fejezi ki. Nem ezt a tételt akarták az egyiptomi papok fenntartani egy piramis felállításával a 3:4:5 háromszög alapján? Nehéz sikeresebb példát találni a Pitagorasz-tétel illusztrálására, amelyet az egyiptomiak már jóval Pitagorasz felfedezése előtt ismertek.
Így a zseniális alkotók egyiptomi piramisok tudásuk mélységével igyekeztek ámulatba ejteni a távoli leszármazottakat, és ezt úgy érték el, hogy a Kheopsz-piramis „fő geometriai ötletének” az „arany”-ot választották. derékszögű háromszög, és a Khafre piramis esetében - a „szent” vagy „egyiptomi” háromszög.
Kutatásaik során a tudósok nagyon gyakran használják az aranyarány arányú piramisok tulajdonságait.
A matematikában enciklopédikus szótár Az Aranymetszet alábbi definíciója - ez egy harmonikus felosztás, szélsőséges és átlagos arányú osztás - az AB szakaszt két részre osztva úgy, hogy a nagyobbik AC része a teljes AB szakasz és a szegmens átlaga arányos. kisebb rész ÉK.
Szakasz aranymetszetének algebrai meghatározása AB = a redukálja az a: x = x: (a – x) egyenlet megoldására, amelyből x megközelítőleg egyenlő 0,62a-val. Az x arány 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 törtként fejezhető ki, ahol 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-számok.
Az AB szakasz aranymetszetének geometriai felépítése a következőképpen történik: a B pontban helyreállítjuk az AB-re merőlegest, ráfektetjük a BE = 1/2 AB szakaszt, A és E összekapcsoljuk, DE = BE elbocsátjuk és végül AC = AD, akkor teljesül az AB egyenlőség: CB = 2:3.
aranymetszés gyakran használják műalkotásokban, építészetben és megtalálhatók a természetben. Élénk példák Apollo Belvedere szobra, a Parthenon. A Parthenon építése során az épület magasságának és hosszának arányát használták, ez az arány 0,618. A körülöttünk lévő tárgyak is példát szolgáltatnak az aranyarányra, például sok könyv kötése 0,618-hoz közeli szélesség-hossz arányt mutat. Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények közös szárán, észrevehető, hogy minden két levélpár között a harmadik az Aranymetszetben található (csúszdák). Mindannyian „a kezünkben” hordjuk magunkkal az aranymetszetet - ez az ujjak falánjainak aránya.
Számos matematikai papirusz felfedezésének köszönhetően az egyiptológusok tanultak valamit az ókori egyiptomi számítási és mérési rendszerekről. A bennük foglalt feladatokat írástudók oldották meg. Az egyik leghíresebb a Rhind matematikai papirusz. E problémák tanulmányozása során az egyiptológusok megtudták, hogyan kezelték az ókori egyiptomiak a tömeg-, hossz- és térfogatmértékek kiszámításakor felmerülő különböző mennyiségeket, amelyek gyakran törtszámokat tartalmaztak, valamint hogyan kezelték a szögeket.
Az ókori egyiptomiak egy olyan módszert alkalmaztak a szögszámításra, amely a magasság és a derékszögű háromszög alapja arányán alapult. Bármilyen szöget kifejeztek a színátmenet nyelvén. A lejtő gradienst egész számarányként fejeztük ki, amelyet "szekednek" neveztek. Richard Pillins a Mathematics in the Age of the Pharaohs című művében kifejti: „Egy szabályos piramis hajlásszöge a négy háromszöglap bármelyikének dőlése az alap síkjához képest, a vízszintes egységek n-edik számával mérve függőleges emelkedési egységenként. . Így ez a mértékegység megegyezik a dőlésszög modern kotangensével. Ezért az egyiptomi "szeked" szó rokon a miénkkel modern szó"gradiens"".
A piramisok numerikus kulcsa magasságuk alapjához viszonyított arányában rejlik. Gyakorlatilag ez a legegyszerűbb módja a megfelelő dőlésszög folyamatos ellenőrzéséhez szükséges sablonok elkészítésének a piramis építése során.
Az egyiptológusok szívesen meggyőznének bennünket arról, hogy minden fáraó vágyott arra, hogy kifejezze egyéniségét, ebből adódik az egyes piramisok dőlésszögeinek különbsége. De lehet más oka is. Talán mindannyian más-más arányban rejtőzködő szimbolikus asszociációkat akartak megtestesíteni. A Khafre-piramis szöge azonban (a háromszög alapján (3:4:5) megjelenik a Rhind matematikai papirusz piramisai által bemutatott három feladatban). Tehát ezt a hozzáállást jól ismerték az ókori egyiptomiak.
Hogy igazságosak legyünk az egyiptológusokkal szemben, akik azt állítják, hogy az ókori egyiptomiak nem voltak tudatában a 3:4:5-ös háromszögnek, az 5-ös hipotenusz hosszát soha nem említették. De a piramisokkal kapcsolatos matematikai problémákat mindig a szekeda szög - a magasság és az alap aránya - alapján oldják meg. Mivel a hypotenus hosszát soha nem említették, arra a következtetésre jutottak, hogy az egyiptomiak soha nem számították ki a harmadik oldal hosszát.
A gízai piramisokban használt magasság-alap arányokat az ókori egyiptomiak kétségtelenül ismerték. Lehetséges, hogy ezeket az összefüggéseket minden piramishoz önkényesen választották ki. Ez azonban ellentmond a számszimbolikának tulajdonított fontosságnak az egyiptomi nyelv minden típusában vizuális művészetek. Nagyon valószínű, hogy az ilyen kapcsolatok azért voltak jelentősek, mert konkrét vallási elképzeléseket fejeztek ki. Más szóval, az egész gízai komplexum egy koherens tervezésnek volt alárendelve, amely egy bizonyos isteni témát tükrözött. Ez megmagyarázná, hogy a tervezők miért választottak különböző szögeket a három piramishoz.
Az Orion rejtélyében Bauval és Gilbert meggyőző bizonyítékokat mutatott be a gízai piramisok és az Orion csillagkép között, különösen az Orion öv csillagai között. Ugyanez a csillagkép van jelen Ízisz és Ozirisz mítoszában is, és van okunk megfontolni. minden piramis a három fő istenség – Ozirisz, Ízisz és Hórusz – egyikének ábrázolása.
"GEOMETRIAI" CSODÁK.
Egyiptom grandiózus piramisai között különleges hely veszi Kheopsz fáraó nagy piramisa (Khufu). Mielőtt elkezdenénk elemezni a Kheopsz-piramis alakját és méretét, emlékeznünk kell arra, milyen mértékrendszert alkalmaztak az egyiptomiak. Az egyiptomiaknak három hosszegységük volt: egy „könyök” (466 mm), ami hét „tenyérrel” (66,5 mm) volt egyenlő, ami viszont négy „ujjjal” (16,6 mm).
Elemezzük a Kheopsz-piramis méreteit (2. ábra), az ukrán tudós Nyikolaj Vaszjutyinszkij „Az aranyarány” (1990) csodálatos könyvében megfogalmazott érvek alapján.
A legtöbb kutató egyetért abban, hogy például a piramis alapja oldalának hossza GF egyenlő L= 233,16 m. Ez az érték majdnem pontosan 500 „könyök”-nek felel meg. Az 500 „könyök” teljes betartása akkor következik be, ha a „könyök” hosszát 0,4663 m-nek tekintjük.
A piramis magassága ( H) a kutatók 146,6-148,2 m-re becsülik, és a piramis elfogadott magasságától függően a geometriai elemeinek összes kapcsolata megváltozik. Mi az oka a piramis magasságára vonatkozó becslések különbségeinek? A helyzet az, hogy szigorúan véve a Kheopsz-piramis csonka. Felső platformja ma hozzávetőlegesen 10 × 10 méter, egy évszázaddal ezelőtt viszont 6 × 6 m. Nyilvánvaló, hogy a piramis tetejét leszerelték, és nem felel meg az eredetinek.
A piramis magasságának értékelésekor ezt figyelembe kell venni fizikai tényező, mint a szerkezet „tervezete”. Mögött hosszú idő kolosszális nyomás hatására (az alsó felület 1 m2-én elérve az 500 tonnát) a piramis magassága csökkent az eredeti magassághoz képest.
Mekkora volt a piramis eredeti magassága? Ezt a magasságot a piramis alapvető "geometriai ötletének" megtalálásával lehet újra létrehozni.
2. ábra.
1837-ben G. Wise angol ezredes megmérte a piramis lapjainak dőlésszögét: az egyenlőnek bizonyult. a= 51°51". Ezt az értéket a legtöbb kutató még ma is felismeri. A megadott szögérték megfelel az érintőnek (tg a), egyenlő: 1,27306. Ez az érték megfelel a piramis magasságának arányának AC az alapja feléig C.B.(2. ábra), azaz A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
És itt nagy meglepetés várt a kutatókra!.png" width="25" height="24">= 1,272. Ezt az értéket összehasonlítva a tg értékkel a= 1,27306, azt látjuk, hogy ezek az értékek nagyon közel állnak egymáshoz. Ha a szöget vesszük a= 51°50", azaz csökkentse csak egy ívperccel, majd az érték a egyenlő lesz 1,272-vel, azaz egybeesik az értékkel. Megjegyzendő, hogy 1840-ben G. Wise megismételte méréseit, és tisztázta, hogy a szög értéke a=51°50".
Ezek a mérések a következő nagyon érdekes hipotézishez vezették a kutatókat: a Kheopsz-piramis ACB háromszöge az AC reláción alapult / C.B. = = 1,272!
Tekintsük most a derékszögű háromszöget ABC, amelyben a lábak aránya A.C. / C.B.= (2. ábra). Ha most a téglalap oldalainak hossza ABCáltal kijelölni x, y, z, és azt is vegyük figyelembe, hogy az arány y/x= , akkor a Pitagorasz-tételnek megfelelően a hossz z képlettel lehet kiszámítani:
Ha elfogadjuk x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
3. ábra."Arany" derékszögű háromszög.
Egy derékszögű háromszög, amelyben az oldalak egymáshoz kapcsolódnak t:arany" derékszögű háromszög.
Ekkor, ha azt a hipotézist vesszük alapul, hogy a Kheopsz-piramis fő „geometriai elképzelése” egy „arany” derékszögű háromszög, akkor innen könnyen kiszámíthatjuk a Kheopsz-piramis „tervezési” magasságát. Ez egyenlő:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Vezessünk most le néhány további összefüggést a Kheopsz-piramisra, amelyek az „arany” hipotézisből következnek. Különösen meg fogjuk találni a piramis külső területének és az alapterületének arányát. Ehhez vesszük a láb hosszát C.B. egységenként, azaz: C.B.= 1. De akkor a gúla alapjának oldalának hossza GF= 2, és az alap területe EFGH egyenlő lesz SEFGH = 4.
Számítsuk ki most a Kheopsz-piramis oldallapjának területét SD. Mert a magasság AB háromszög AEF egyenlő t, akkor az oldalfelület területe egyenlő lesz SD = t. Ekkor a piramis mind a négy oldalsó felületének összterülete 4 lesz t, és a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszet! Az az ami - a Kheopsz-piramis fő geometriai rejtélye!
A Kheopsz-piramis „geometriai csodáinak” csoportja a piramis különböző dimenziói közötti kapcsolatok valós és távoli tulajdonságait tartalmazza.
Általában bizonyos „konstansok”, különösen a „pi” (Ludolfo-szám) keresése során nyerik őket, amely 3,14159...; okokból természetes logaritmusok"e" (Neper-szám), egyenlő: 2,71828...; az "F" szám, az "aranymetszet" száma, ami például 0,618... stb.
Megnevezheti például: 1) Hérodotosz tulajdona: (Magasság)2 = 0,5 art. alapvető x Apothem; 2) V. tulajdona Ár: Magasság: 0,5 art. alap = "F" négyzetgyöke; 3) M. Eist tulajdonsága: Az alap kerülete: 2 Magasság = "Pi"; más értelmezésben - 2 evőkanál. alapvető : Magasság = "Pi"; 4) G. él tulajdonságai: A beírt kör sugara: 0,5 art. alapvető = "F"; 5) Kleppisch K. tulajdona: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. alap X Apothem) + (art. alap)2). Stb. Sok ilyen tulajdonsággal találkozhat, különösen, ha két szomszédos piramist köt össze. Például „A. Arefjev tulajdonságaiként” megemlíthető, hogy a Kheopsz piramis és Khafre piramis térfogatának különbsége megegyezik Mikerin piramisának kétszeresével...
Sok érdekes rendelkezések Különösen a piramisok „aranymetszés” szerinti felépítését írja le D. Hambidge „Dinamikus szimmetria az építészetben” és M. Gick „Az arány esztétikája a természetben és a művészetben” című könyvében. Emlékezzünk vissza, hogy az „aranymetszés” egy szakasz olyan arányban való felosztása, hogy A rész annyiszor nagyobb, mint B rész, A hányszor kisebb, mint a teljes A + B szakasz. Az A/B arány egyenlő az „F” számmal == 1,618. .. Az „aranymetszés” használata nemcsak az egyes piramisokban, hanem a gízai piramisok teljes komplexumában is szerepel.
A legkülönösebb azonban az, hogy egy és ugyanaz a Kheopsz-piramis egyszerűen „nem tud” ennyi csodálatos tulajdonságot tartalmazni. Egyes tulajdonságokat egyenként véve „illeszthető”, de nem fér el mindegyik egyszerre - nem esnek egybe, ellentmondanak egymásnak. Ezért, ha például az összes tulajdonság ellenőrzésekor kezdetben a piramis alapjának ugyanazt az oldalát vesszük (233 m), akkor a különböző tulajdonságú piramisok magassága is eltérő lesz. Más szavakkal, van egy bizonyos piramiscsalád, amely külsőleg hasonlít Kheopszhoz, de megfelel különböző tulajdonságok. Ne feledje, hogy a „geometriai” tulajdonságokban nincs semmi különösebben csodálatos – sok minden tisztán automatikusan, magának az alaknak a tulajdonságaiból fakad. „Csodának” csak olyasmit szabad tekinteni, ami nyilvánvalóan lehetetlen volt az ókori egyiptomiak számára. Ide tartoznak különösen a „kozmikus” csodák, amelyekben a Kheopsz-piramis vagy a gízai piramiskomplexum méréseit összevetik néhány csillagászati méréssel, és „páros” számokat jeleznek: milliószor kevesebb, egymilliárdszor kevesebb, ill. hamar. Nézzünk néhány „kozmikus” kapcsolatot.
Az egyik állítás: "ha elosztod a piramis alapjának oldalát az év pontos hosszával, akkor a Föld tengelyének pontosan 10 milliomod részét kapod." Számítsuk ki: 233-at elosztunk 365-tel, 0,638-at kapunk. A Föld sugara 6378 km.
Egy másik állítás valójában az előző ellentéte. F. Noetling rámutatott, hogy ha az általa feltalált „egyiptomi könyököt” használjuk, akkor a piramis oldala „a napév legpontosabb időtartamának felel meg, a nap egymilliárd részével kifejezve” - 365,540. 903.777.
P. Smith nyilatkozata: "A piramis magassága pontosan egymilliárd része a Föld és a Nap közötti távolságnak." Bár a magasságot általában 146,6 m-nek vették, Smith 148,2 m-nek vette, a modern radarmérések szerint a Föld keringésének fél-főtengelye 149 597 870 + 1,6 km. Ez a Föld és a Nap közötti átlagos távolság, de a perihéliumban 5 000 000 kilométerrel kisebb, mint az aphelionnál.
Egy utolsó érdekes kijelentés:
"Hogyan magyarázhatjuk meg, hogy Kheopsz, Khafre és Mykerinus piramisainak tömegei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a Föld, Vénusz és Mars bolygók tömegei?" Számoljunk. A három piramis tömege: Khafre - 0,835; Kheopsz - 1000; Mikerin - 0,0915. A három bolygó tömegének aránya: Vénusz - 0,815; Föld - 1000; Mars - 0,108.
Tehát a szkepticizmus ellenére megjegyezzük az állítások felépítésének jól ismert harmóniáját: 1) a piramis magassága, mint egy „űrbe menő” vonal, megfelel a Föld és a Nap távolságának; 2) a piramis alapjának „a szubsztrátumhoz”, azaz a Földhöz legközelebb eső oldala felelős a Föld sugaráért és a Föld keringéséért; 3) a piramis térfogata (értsd - tömegek) megfelel a Földhöz legközelebb eső bolygók tömegeinek arányának. Hasonló „rejtjel” nyomon követhető például a Karl von Frisch által elemzett méhnyelvben is. Ennek az ügynek a kommentálásától azonban egyelőre tartózkodunk.
PIRAMIS ALAKÚ
A piramisok híres tetraéderes alakja nem jelent meg azonnal. A szkíták földes dombok - halmok - formájában temették el. Az egyiptomiak kőből "dombokat" építettek - piramisokat. Erre először Felső- és Alsó-Egyiptom egyesülése után, a Kr.e. 28. században került sor, amikor a harmadik dinasztia alapítója, Djoser (Zoser) fáraó szembesült azzal a feladattal, hogy megerősítse az ország egységét.
És itt a történészek szerint a király „új istenítési koncepciója” fontos szerepet játszott a központi hatalom erősítésében. Bár a királyi temetkezéseket nagyobb pompa jellemezte, elvileg nem különböztek az udvari nemesek sírjaitól, ugyanazok az építmények - mastabák. A múmiát tartalmazó szarkofággal ellátott kamra fölé egy kis kövekből álló téglalap alakú dombot öntöttek, ahol egy nagy kőtömbökből álló kis épületet - egy „mastaba”-t (arabul - „pad”) helyeztek el. Dzsoser fáraó állította fel az első piramist elődje, Sanakht masztabája helyén. Lépcsőzetes volt, és látható átmeneti szakasz volt az egyik építészeti formától a másikig, a masztabától a piramisig.
Ily módon „nevelte fel” a fáraót a bölcs és Imhotep építész, akit később varázslónak tartottak, és a görögök Aszklépiosz istennel azonosítottak. Mintha hat mastabát állítottak volna fel egymás után. Ezenkívül az első piramis 1125 x 115 méteres területet foglalt el, becsült magassága 66 méter (az egyiptomi szabványok szerint - 1000 „tenyér”). Az építész először egy masztabát tervezett, de nem hosszúkás, hanem négyzet alakú alaprajzú. Később kibővítették, de mivel a hosszabbítást lejjebb tették, úgy tűnt, két lépcső van.
Ez a helyzet nem elégítette ki az építészt, és a hatalmas lapos masztaba felső emelvényén Imhotep további hármat helyezett el, fokozatosan csökkenve a teteje felé. A sír a piramis alatt volt.
Több lépcsős piramis is ismert, de később az építők áttértek a számunkra ismerősebb tetraéder piramisok építésére. De miért nem háromszögletű vagy mondjuk nyolcszögletű? Közvetett választ ad az a tény, hogy szinte minden piramis tökéletesen orientált a négy fő irány mentén, és ezért négy oldala van. Ezenkívül a piramis egy „ház”, egy négyszögletes sírkamra héja volt.
De mi határozta meg az arcok dőlésszögét? A „Az arányok elve” című könyvben egy egész fejezetet szentelnek ennek: „Mi határozhatta meg a piramisok dőlésszögét?” Különösen azt jelzik, hogy „a kép, amelyhez az Óbirodalom nagy piramisai gravitálnak, egy háromszög, amelynek csúcsa derékszögű.
A térben ez egy féloktaéder: egy piramis, amelyben az alap élei és oldalai egyenlőek, lapjai egyenlő oldalú háromszögek Hambidge, Gick és mások könyvei tartalmaznak bizonyos megfontolásokat ebben a témában.
Mi az előnye a féloktaéder szögének? A régészek és történészek leírása szerint egyes piramisok saját súlyuk alatt összeomlottak. Amire szükség volt, az egy „hosszú élettartamú szög”, egy energetikailag legmegbízhatóbb szög. Pusztán empirikusan ezt a szöget egy omladozó száraz homokhalom csúcsszögéből lehet kivenni. De a pontos adatokhoz modellt kell használni. Négy szilárdan rögzített golyót véve rájuk kell egy ötödik, és meg kell mérni a dőlésszögeket. Itt azonban hibázhatunk, így egy elméleti számítás segít: a golyók középpontját érdemes vonalakkal összekötni (mentálisan). Az alap egy négyzet lesz, amelynek oldala a sugár kétszeresével egyenlő. A négyzet csak az alapja lesz a piramisnak, amelynek éleinek hossza is megegyezik a sugár kétszeresével.
Így a golyók 1:4-hez hasonló szoros összepakolása szabályos féloktaédert ad.
De miért nem tartja meg sok piramis, amely hasonló alakzat felé húzódik? A piramisok valószínűleg elöregedtek. Ellentétben a híres mondással:
„A világon minden fél az időtől, és az idő fél a piramisoktól”, a piramisok épületeinek el kell öregedniük, nem csak külső mállási folyamatok fordulhatnak elő és kell bennük, hanem belső „zsugorodási” folyamatok is. a piramisok alacsonyabbak lehetnek. A zsugorodás azért is lehetséges, mert D. Davidovits munkája szerint az ókori egyiptomiak a mészforgácsból, más szóval „betonból” tömbök készítésének technológiáját alkalmazták. Pontosan hasonló folyamatok magyarázhatják a Kairótól 50 km-re délre található Medum piramis pusztulásának okát. 4600 éves, az alap mérete 146 x 146 m, magassága 118 m. „Miért olyan elcsúfított?” – teszi fel a kérdést V. Zamarovszkij. „Az idő pusztító hatására és a „kő más épületekhez való felhasználására” való szokásos utalások itt nem megfelelőek.
Hiszen a legtöbb tömb és homloklap a mai napig a helyén maradt, a lábánál romokban." Amint látni fogjuk, számos rendelkezés még arra is gondol, hogy a híres Kheopsz-piramis is "összezsugorodott". mindenesetre minden ősi képen a piramisok hegyesek...
A piramisok formáját utánzással is előállíthatták: néhány természetes minta, „csodatökéletesség”, mondjuk néhány kristály oktaéder formájában.
Hasonló kristályok lehetnek a gyémánt és az arany kristályok. Jellegzetes nagyszámú„átfedő” jelek olyan fogalmakra, mint a fáraó, nap, arany, gyémánt. Mindenhol - nemes, ragyogó (zseniális), nagyszerű, kifogástalan stb. A hasonlóságok nem véletlenek.
A napkultusz, mint ismeretes, a vallás fontos részét képezte Az ókori Egyiptom. „Nem számít, hogyan fordítjuk a piramisok közül a legnagyobb nevét” – jegyzi meg az egyik modern kézikönyv, „The Sky of Khufu” vagy „The Skyward Khufu”, ez azt jelentette, hogy a király a nap. Ha Khufu hatalmának ragyogásában a második napnak képzelte magát, akkor fia, Djedef-Ra lett az egyiptomi királyok közül az első, aki „Ra fiának”, azaz a Nap fiának nevezte magát. A napot szinte minden népnél a „szoláris fém”, az arany jelképezte. „Egy nagy fényes aranykorong” – így hívták az egyiptomiak a mi napfényünket. Az egyiptomiak tökéletesen ismerték az aranyat, ismerték az őshonos formáit, ahol az aranykristályok oktaéderek formájában jelenhetnek meg.
A „napkő” – a gyémánt – itt is érdekes, mint „alakminta”. A gyémánt neve pontosan az arab világból származik, „almas” - a legkeményebb, legkeményebb, elpusztíthatatlan. Az ókori egyiptomiak jól ismerték a gyémántot és annak tulajdonságait. Egyes szerzők szerint még bronzcsöveket is használtak gyémántvágókkal a fúráshoz.
Jelenleg a gyémánt fő szállítója Dél-Afrika, de Nyugat-Afrika is gazdag gyémántban. A Mali Köztársaság területét még „Gyémántföldnek” is nevezik. Eközben Mali területén él a dogon, akivel a paleo-látogatás hipotézisének hívei sok reményt fűznek (lásd alább). A gyémánt nem lehetett az oka az ókori egyiptomiak kapcsolatainak ezzel a vidékkel. Azonban így vagy úgy lehetséges, hogy az ókori egyiptomiak éppen a gyémánt- és aranykristályok oktaédereinek másolásával istenítették a fáraókat, akik „elpusztíthatatlanok”, mint a gyémánt és „ragyogóak”, mint az arany, a Nap fiait, amelyek csak összehasonlíthatók. a természet legcsodálatosabb alkotásaihoz.
Következtetés:
A piramis mint geometriai test tanulmányozása, elemeinek és tulajdonságainak megismerése után meggyőződtünk a piramis alakjának szépségéről alkotott vélemény érvényességéről.
Kutatásunk eredményeként arra a következtetésre jutottunk, hogy az egyiptomiak a legértékesebb matematikai tudást összegyűjtve piramisban testesítették meg. Ezért a piramis valóban a természet és az ember legtökéletesebb alkotása.
BIBLIOGRÁFIA
"Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamra. Általános oktatás intézmények\ stb - 9. kiadás - M.: Oktatás, 1999
A matematika története az iskolában, M: „Prosveshchenie”, 1982.
Geometria 10-11 évfolyam, M: „Felvilágosodás”, 2000
Peter Tompkins „Kheopsz nagy piramisának titkai”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.
Internetes források
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Betöltés...