თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.
პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.
თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.
ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.
რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:
- როდესაც თქვენ გაგზავნით მოთხოვნას საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.
როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:
- ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
- დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
- ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
- თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.
ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის
ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.
გამონაკლისები:
- საჭიროების შემთხვევაში - კანონის შესაბამისად, სასამართლო პროცედურებით, ქ სასამართლო პროცესი, და/ან საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
- რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.
პირადი ინფორმაციის დაცვა
ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.
თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე
თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.
მიმართებაში
შეიძლება დაისვას დავალება, რომ იპოვოთ სამი რიცხვიდან რომელიმე დანარჩენი ორიდან. თუ მოცემულია a და შემდეგ N, ისინი იპოვიან სიმძლავრის მიხედვით. თუ N და შემდეგ a მოცემულია x ხარისხის ფესვის აღებით (ან მისი ხარისხამდე აწევით). ახლა განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც a-ს და N-ის მიცემით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x.
რიცხვი N იყოს დადებითი: რიცხვი a დადებითი და არა ერთის ტოლი: .
განმარტება. N რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს N რიცხვის მისაღებად; ლოგარითმი აღინიშნება
ამგვარად, ტოლობაში (26.1) მაჩვენებლის პოვნაა, როგორც N-ის ლოგარითმი a ფუძემდე. პოსტები
აქვთ იგივე მნიშვნელობა. ტოლობას (26.1) ზოგჯერ უწოდებენ ლოგარითმების თეორიის მთავარ იდენტობას; სინამდვილეში იგი გამოხატავს ლოგარითმის ცნების განმარტებას. ავტორი ამ განმარტებას a ლოგარითმის საფუძველი ყოველთვის დადებითია და განსხვავდება ერთიანობისგან; ლოგარითმული რიცხვი N დადებითია. უარყოფით რიცხვებსა და ნულს არ აქვთ ლოგარითმები. შეიძლება დადასტურდეს, რომ მოცემული ფუძის მქონე ნებისმიერ რიცხვს აქვს კარგად განსაზღვრული ლოგარითმი. ამიტომ თანასწორობა გულისხმობს. გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აქ არსებითია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, დასკვნა არ იქნება გამართლებული, რადგან ტოლობა მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
მაგალითი 1. იპოვე
გამოსავალი. რიცხვის მისაღებად, თქვენ უნდა ააწიოთ ბაზის 2 სიმძლავრემდე.
ასეთი მაგალითების ამოხსნისას შეგიძლიათ გააკეთოთ შენიშვნები შემდეგი ფორმით:
მაგალითი 2. იპოვეთ .
გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს
მაგალითებში 1 და 2, ჩვენ ადვილად ვიპოვნეთ სასურველი ლოგარითმი ლოგარითმის რიცხვის წარმოდგენით, როგორც ფუძის სიმძლავრე რაციონალური მაჩვენებლით. IN ზოგადი შემთხვევა, მაგალითად, for და ა.შ., ეს არ შეიძლება გაკეთდეს, რადგან ლოგარითმს აქვს ირაციონალური მნიშვნელობა. ამ განცხადებასთან დაკავშირებულ ერთ საკითხს მივაქციოთ ყურადღება. მე-12 პუნქტში ჩვენ მივეცით ცნება მოცემული დადებითი რიცხვის ნებისმიერი რეალური სიმძლავრის განსაზღვრის შესაძლებლობის შესახებ. ეს აუცილებელი იყო ლოგარითმების დანერგვისთვის, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება იყოს ირაციონალური რიცხვები.
მოდით შევხედოთ ლოგარითმების რამდენიმე თვისებას.
თვისება 1. თუ რიცხვი და ფუძე ტოლია, მაშინ ლოგარითმი ერთის ტოლია და, პირიქით, თუ ლოგარითმი ერთის ტოლია, მაშინ რიცხვი და ფუძე ტოლია.
მტკიცებულება. მოდით, ლოგარითმის განმარტებით გვაქვს და საიდან
პირიქით, მოდით შემდეგ განმარტებით
თვისება 2. ერთი რომელიმე ფუძის ლოგარითმი ნულის ტოლია.
მტკიცებულება. ლოგარითმის განმარტებით (ნებისმიერი დადებითი ფუძის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის ერთს, იხ. (10.1)). აქედან
ქ.ე.დ.
საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ , მაშინ N = 1. მართლაც, გვაქვს .
ლოგარითმების შემდეგი თვისების ჩამოყალიბებამდე, შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ორი რიცხვი a და b დევს მესამე c რიცხვის ერთ მხარეს, თუ ორივე მეტია c-ზე ან c-ზე ნაკლები. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი დიდია c-ზე, ხოლო მეორე ნაკლებია c-ზე, მაშინ ვიტყვით, რომ ისინი დევს გასწვრივ. სხვადასხვა მხარეებისოფლიდან
თვისება 3. თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის ერთ მხარეს, მაშინ ლოგარითმი დადებითია; თუ რიცხვი და ფუძე დევს ერთის საპირისპირო მხარეს, მაშინ ლოგარითმი უარყოფითია.
თვისების 3-ის მტკიცებულება ემყარება იმ ფაქტს, რომ a-ს სიმძლავრე ერთზე მეტია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი დადებითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებლი უარყოფითია. სიმძლავრე ერთზე ნაკლებია, თუ ფუძე ერთზე მეტია და მაჩვენებელი უარყოფითია ან ფუძე ნაკლებია ერთზე და მაჩვენებელი დადებითია.
გასათვალისწინებელია ოთხი შემთხვევა:
ჩვენ შემოვიფარგლებით პირველის გაანალიზებით, დანარჩენს მკითხველი თავად განიხილავს.
მოდით, თანასწორობაში მაჩვენებელი არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც ნულის ტოლი, მაშასადამე, ის დადებითია, ანუ როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.
მაგალითი 3. გაარკვიეთ, რომელია ქვემოთ მოყვანილი ლოგარითმები დადებითი და რომელი უარყოფითი:
ამოხსნა, ა) ვინაიდან რიცხვი 15 და ფუძე 12 განლაგებულია ერთის ერთ მხარეს;
ბ) ვინაიდან 1000 და 2 განლაგებულია დანადგარის ერთ მხარეს; ამ შემთხვევაში, არ არის მნიშვნელოვანი, რომ ფუძე მეტი იყოს ლოგარითმულ რიცხვზე;
გ) ვინაიდან 3.1 და 0.8 დევს ერთიანობის მოპირდაპირე მხარეს;
გ) ; რატომ?
დ) ; რატომ?
შემდეგ თვისებებს 4-6 ხშირად უწოდებენ ლოგარითმაციის წესებს: ისინი საშუალებას გაძლევთ, იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ლოგარითმები, იპოვოთ მათი ნამრავლის ლოგარითმები, კოეფიციენტი და თითოეული მათგანის ხარისხი.
თვისება 4 (პროდუქტის ლოგარითმის წესი). მოცემულ ფუძეზე რამდენიმე დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების ჯამს იმავე ფუძეზე.
მტკიცებულება. მოცემული რიცხვები დადებითი იყოს.
მათი ნამრავლის ლოგარითმისთვის ჩვენ ვწერთ ტოლობას (26.1), რომელიც განსაზღვრავს ლოგარითმს:
აქედან ვიპოვით
პირველი და ბოლო გამონათქვამების მაჩვენებლების შედარებისას მივიღებთ საჭირო ტოლობას:
გაითვალისწინეთ, რომ პირობა აუცილებელია; ორი ნამრავლის ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვებიაზრი აქვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მივიღებთ
ზოგადად, თუ რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი დადებითია, მაშინ მისი ლოგარითმი უდრის ამ ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ლოგარითმების ჯამს.
თვისება 5 (რაოდენობების ლოგარითმების აღების წესი). დადებითი რიცხვების კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის დივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმებს შორის სხვაობას, რომელიც აღებულია იმავე ფუძეზე. მტკიცებულება. ჩვენ მუდმივად ვპოულობთ
ქ.ე.დ.
თვისება 6 (ძალის ლოგარითმის წესი). ნებისმიერი დადებითი რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი ტოლია ამ რიცხვის მაჩვენებელზე გამრავლებული ლოგარითმისა.
მტკიცებულება. მოდით კვლავ დავწეროთ ნომრის ძირითადი იდენტიფიკაცია (26.1):
ქ.ე.დ.
შედეგი. დადებითი რიცხვის ფესვის ლოგარითმი უდრის ფესვის მაჩვენებელზე გაყოფილი რადიკალის ლოგარითმს:
ამ დასკვნის მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს თვისების 6-ის წარმოდგენით და გამოყენებით.
მაგალითი 4. აიღეთ ლოგარითმი a-ს დასაფუძნებლად:
ა) (ვარაუდობენ, რომ ყველა მნიშვნელობა b, c, d, e დადებითია);
ბ) (ვარაუდობენ, რომ ).
გამოსავალი, ა) მოსახერხებელია ამ გამოსახულებაში წილადის ხარისხებზე გადასვლა:
ტოლობების საფუძველზე (26.5)-(26.7), ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:
შევნიშნავთ, რომ რიცხვების ლოგარითმებზე უფრო მარტივი მოქმედებები სრულდება, ვიდრე თავად რიცხვებზე: რიცხვების გამრავლებისას ემატება მათი ლოგარითმები, გაყოფისას აკლება და ა.შ.
სწორედ ამიტომ ლოგარითმები გამოიყენება გამოთვლით პრაქტიკაში (იხ. პუნქტი 29).
ლოგარითმის საპირისპირო მოქმედებას ეწოდება პოტენციაცია, კერძოდ: პოტენციაცია არის მოქმედება, რომლითაც რიცხვი თავად არის ნაპოვნი რიცხვის მოცემული ლოგარითმიდან. არსებითად, გაძლიერება არ არის რაიმე განსაკუთრებული ქმედება: ის მოდის ბაზის ძლიერებამდე ამაღლებაზე (რიცხვის ლოგარითმის ტოლი). ტერმინი „პოტენციაცია“ შეიძლება ჩაითვალოს ტერმინ „გაძლიერების“ სინონიმად.
გაძლიერებისას უნდა გამოვიყენოთ წესები ლოგარითმაციის წესების საპირისპიროდ: შეცვალეთ ლოგარითმების ჯამი ნამრავლის ლოგარითმით, ლოგარითმების სხვაობა კოეფიციენტის ლოგარითმით და ა.შ. კერძოდ, თუ წინა ფაქტორია. ლოგარითმის ნიშნის, მაშინ გაძლიერებისას უნდა გადავიდეს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი მაჩვენებლების ხარისხზე.
მაგალითი 5. იპოვეთ N, თუ ცნობილია, რომ
გამოსავალი. ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ლოგარითმების ნიშნების წინ მდგარ ფაქტორებს 2/3 და 1/3 გადავიტანთ ამ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არსებულ მაჩვენებლებში; ვიღებთ
ახლა ჩვენ ვცვლით ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმით:
ამ ტოლობის ჯაჭვში ბოლო წილადის მისაღებად, ჩვენ გავათავისუფლეთ წინა წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან (პუნქტი 25).
თვისება 7. თუ ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უფრო დიდი რაოდენობააქვს უფრო დიდი ლოგარითმი (და უფრო მცირე რიცხვს აქვს პატარა), თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მაშინ უფრო დიდ რიცხვს აქვს უფრო მცირე ლოგარითმი (და პატარა რიცხვს აქვს უფრო დიდი).
ეს თვისება ასევე ჩამოყალიბებულია უტოლობათა ლოგარითმების აღების წესით, რომელთა ორივე მხარე დადებითია:
უტოლობების ერთზე მეტ ფუძეზე ლოგარითმების შენარჩუნებისას უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია, ხოლო ერთზე ნაკლებ ფუძეზე ლოგარითმისას უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ (იხ. აგრეთვე პუნქტი 80).
მტკიცებულება ეფუძნება 5 და 3 თვისებებს. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თუ , მაშინ და ლოგარითმების აღებით მივიღებთ
(a და N/M დევს ერთიანობის ერთ მხარეს). აქედან
შემდეგ შემთხვევაში, მკითხველი თავად გაარკვევს.
ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია ლოგარითმი. აქ მივცემთ ლოგარითმის განმარტებას, ჩვენება მიღებული აღნიშვნა, მოვიყვანთ ლოგარითმების მაგალითებს და ვისაუბრებთ ბუნებრივ და ათობითი ლოგარითმებზე. ამის შემდეგ გადავხედოთ მთავარს ლოგარითმული იდენტურობა.
გვერდის ნავიგაცია.
ლოგარითმის განმარტება
ლოგარითმის ცნება წარმოიქმნება პრობლემის გადაჭრისას გარკვეული საპირისპირო გაგებით, როდესაც საჭიროა მაჩვენებლის პოვნა ცნობილი ღირებულებახარისხი და ცნობილი საფუძველი.
მაგრამ საკმარისი წინასიტყვაობა, დროა ვუპასუხოთ კითხვას "რა არის ლოგარითმი"? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.
განმარტება.
b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე, სადაც a>0, a≠1 და b>0 არის მაჩვენებელი, რომელზეც თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი a, რომ შედეგად მიიღოთ b.
ამ ეტაპზე ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმულმა სიტყვამ „ლოგარითმი“ დაუყოვნებლივ უნდა წამოჭრას ორი შემდგომი კითხვა: „რა რიცხვი“ და „რის საფუძველზე“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ არ არსებობს ლოგარითმი, არამედ მხოლოდ რიცხვის ლოგარითმი რაღაც ფუძემდე.
მაშინვე შევიდეთ ლოგარითმის აღნიშვნა: b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც log a b. b რიცხვის ლოგარითმს e ფუძემდე და ლოგარითმს 10 ფუძემდე აქვს თავისი სპეციალური აღნიშვნები lnb და logb, შესაბამისად, ანუ წერენ არა log e b, არამედ lnb და არა log 10 b, არამედ lgb.
ახლა შეგვიძლია მივცეთ: .
და ჩანაწერები 
აზრი არ აქვს, რადგან პირველში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში არის უარყოფითი რიცხვი ფუძეში, ხოლო მესამეში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ბაზა.
ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმების წაკითხვის წესები. Log a b იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". მაგალითად, log 2 3 არის ლოგარითმი სამიდან 2 ფუძემდე, და არის ლოგარითმი ორი წერტილის ორი მესამედი 2-ის ბაზაზე. Კვადრატული ფესვიხუთიდან. ლოგარითმი e-ს ბაზაზე ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lnb იკითხება "ბ-ის ბუნებრივი ლოგარითმი". მაგალითად, ln7 არის შვიდის ბუნებრივი ლოგარითმი და ჩვენ მას წავიკითხავთ, როგორც pi-ს ბუნებრივ ლოგარითმს. 10 ბაზის ლოგარითმს ასევე აქვს სპეციალური სახელი - ათობითი ლოგარითმი, და lgb იკითხება, როგორც "ბ-ის ათწილადი ლოგარითმი". მაგალითად, lg1 არის ერთის ათობითი ლოგარითმი, ხოლო lg2.75 არის ორი წერტილის შვიდი ხუთასი მეასედის ათობითი ლოგარითმი.
ცალკე ღირს შეჩერება a>0, a≠1 და b>0 პირობებზე, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმის განმარტება. მოდით განვმარტოთ, საიდან მოდის ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება ფორმის ტოლობა სახელწოდებით, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.
დავიწყოთ a≠1-ით. ვინაიდან ერთი ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის ერთს, ტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ მაშინ, როდესაც b=1, მაგრამ log 1 1 შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, ვარაუდობენ a≠1.
დავამტკიცოთ a>0 პირობის მიზანშეწონილობა. a=0-ით, ლოგარითმის განმარტებით, გვექნებოდა ტოლობა, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0-ით. მაგრამ მაშინ log 0 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან სიმძლავრემდე არის ნული. პირობა a≠0 საშუალებას გვაძლევს თავიდან ავიცილოთ ეს გაურკვევლობა. და როცა ა<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
და ბოლოს, პირობა b>0 გამომდინარეობს a>0 უტოლობიდან, რადგან , და დადებითი ფუძის მქონე სიმძლავრის მნიშვნელობა a ყოველთვის დადებითია.
ამ პუნქტის დასასრულებლად, ვთქვათ, რომ ლოგარითმის მითითებული განმარტება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი არის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე. მართლაც, ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ, რომ თუ b=a p, მაშინ b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე უდრის p. ანუ, ტოლობის ჟურნალი a a p =p არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ 2 3 =8, შემდეგ log 2 8=3. ამაზე დაწვრილებით სტატიაში ვისაუბრებთ.
ლოგარითმის განმარტება
b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს b-ის მისაღებად.
ნომერი ემათემატიკაში ჩვეულებრივია აღვნიშნოთ ის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის გამოხატვა
ნომერი ეარის ირაციონალური რიცხვი - რიცხვი ერთთან შეუდარებელია, ის ზუსტად ვერ გამოისახება როგორც მთელი რიცხვი და არც წილადი რაციონალურინომერი.
წერილი ე- ლათინური სიტყვის პირველი ასო განმხილველი- საჩვენებლად, აქედან მომდინარეობს სახელი მათემატიკაში ექსპონენციალური- ექსპონენციალური ფუნქცია.
ნომერი ეფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში და ყველა მეცნიერებაში, რომლებიც ამა თუ იმ გზით იყენებენ მათემატიკურ გამოთვლებს თავიანთი საჭიროებისთვის.
ლოგარითმები. ლოგარითმების თვისებები
განმარტება: b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი მის ფუძეზე არის c მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა გაიზარდოს რიცხვი a რიცხვის მისაღებად.
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:
7) ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა:
lna = log e a, e ≈ 2.718…
ამოცანები და ტესტები თემაზე „ლოგარითმები. ლოგარითმების თვისებები"
- ლოგარითმები - მნიშვნელოვანი თემები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის განხილვისათვის
ამ თემაზე ამოცანების წარმატებით შესასრულებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ლოგარითმის განმარტება, ლოგარითმის თვისებები, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა, ათობითი და ბუნებრივი ლოგარითმების განმარტებები. ამ თემაზე ამოცანების ძირითადი ტიპები არის პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია ლოგარითმული გამონათქვამების გამოთვლასა და ტრანსფორმაციასთან. განვიხილოთ მათი გადაწყვეტა შემდეგი მაგალითების გამოყენებით.
გამოსავალი:ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ვიღებთ
გამოსავალი:გრადუსების თვისებების გამოყენებით ვიღებთ
1) (2 2) ჟურნალი 2 5 =(2 ჟურნალი 2 5) 2 =5 2 =25
ლოგარითმების თვისებები, ფორმულირებები და მტკიცებულებები.
ლოგარითმს აქვს მრავალი დამახასიათებელი თვისება. ამ სტატიაში განვიხილავთ მთავარს ლოგარითმების თვისებები. აქ ჩვენ მივცემთ მათ ფორმულირებებს, ჩამოვწერთ ლოგარითმების თვისებებს ფორმულების სახით, ვაჩვენებთ მათი გამოყენების მაგალითებს და ასევე დავადასტურებთ ლოგარითმების თვისებებს.
გვერდის ნავიგაცია.
ლოგარითმების ძირითადი თვისებები, ფორმულები
დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივისთვის, წარმოვიდგინოთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებებიფორმულების სიის სახით. მომდევნო აბზაცში მივცემთ მათ ფორმულირებებს, მტკიცებულებებს, გამოყენების მაგალითებს და აუცილებელ განმარტებებს.
და n დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმის თვისება: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0.
, სადაც a>0, a≠1, x>0, y>0.
, სადაც a>0, a≠1, n – ბუნებრივი რიცხვი, ერთზე მეტი, b>0.
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p და q ნამდვილი რიცხვებია, q≠0 , კერძოდ b=a-სთვის გვაქვს 
.ფორმულირებები და თვისებების დადასტურება
ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების წერილობითი თვისებების ფორმულირებას და მტკიცებას. ლოგარითმის ყველა თვისება დადასტურებულია ლოგარითმის განმარტებისა და მისგან გამომდინარე ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის, აგრეთვე ხარისხის თვისებების საფუძველზე.
დავიწყოთ იმით ერთის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება არ არის რთული: ვინაიდან 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დასამტკიცებელი ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.
მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0, log1=0 და .
მოდით გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ანუ შესვლა a=1 a>0, a≠1. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.
ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია ტოლობები log 5 5=1, log 5.6 5.6 და lne=1.
რიცხვის სიმძლავრის ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ლოგარითმის ფუძის ტოლია, მაჩვენებლის ტოლია. ლოგარითმის ეს თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას შესვლა a p =p, სადაც a>0, a≠1 და p – ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან. გაითვალისწინეთ, რომ ის საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, თუ შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი რიცხვის წარმოდგენა, როგორც ფუძის სიმძლავრე; ამაზე მეტს ვისაუბრებთ ლოგარითმის გამოთვლის სტატიაში.
მაგალითად, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 და 
.
ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, და რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობის მიხედვით a log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x ·a log a y =x· y. ამრიგად, log a x+log a y =x·y, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, დადასტურებული ტოლობა გამომდინარეობს.
ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და 
.
ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს დადებითი რიცხვების n სასრული რიცხვის ნამრავლზე x 1 , x 2 , …, x n როგორც log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. ეს თანასწორობა შეიძლება დადასტურდეს უპრობლემოდ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით.
მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და რიცხვების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.
ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას , სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. დადასტურებულია ამ ფორმულის მართებულობა, ისევე როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან 
, შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით .
აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: 
.
მოდით გადავიდეთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლის და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ლოგარითმის ნამრავლის. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ლოგარითმის ეს თვისება ფორმულის სახით: log a b p =p·log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.
ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითად b. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, სიმძლავრის თვისების გამო, უდრის p·log a b. ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p·log a b, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, ვასკვნით, რომ log a b p =p·log a b.
რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი ბ. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ ლუწი მაჩვენებლებს p (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ. შემდეგ b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , საიდანაც log a b p =p·log a |b| .
Მაგალითად, 
და ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.
ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ფესვის ლოგარითმი უდრის 1/n წილადის ნამრავლს რადიკალური გამოხატვის ლოგარითმით, ანუ სადაც a>0, a≠1, n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0. .
მტკიცებულება ეფუძნება ტოლობას (იხ. მაჩვენებლის განმარტება წილადის მაჩვენებლით), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b-ისთვის და მაჩვენებლის ლოგარითმის თვისებაზე: 
.
აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: 
.
ახლა დავამტკიცოთ ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულაკეთილი 
. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b·log c a. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b =log a b·log c a . ეს ადასტურებს ტოლობის log c b=log a b·log c a, რაც ნიშნავს, რომ ასევე დადასტურებულია ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა. .
მოდით ვნახოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და 
.
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასასვლელად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა, ზოგიერთ შემთხვევაში, იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.
ხშირად გამოიყენება განსაკუთრებული შემთხვევალოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები ფორმის c=b-ით. ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a ურთიერთშებრუნებული რიცხვებია. Მაგალითად, 
.
ასევე ხშირად გამოიყენება ფორმულა, რომელიც მოსახერხებელია ლოგარითმების მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მისი გამოყენება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობის გამოსათვლელად. Ჩვენ გვაქვს 
. ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოვიყენოთ ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასასვლელად a: 
.
რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.
გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, a 2 >1 და a 1 2 და 0 1-ისთვის, log a 1 b≤log a 2 b მართალია. ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც 
და 
შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე ფუძეების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, უნდა იყოს ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2, ანუ a 1 ≥a 2 . ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში პირობასთან a 1 2. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.
ლოგარითმების ძირითადი თვისებები
- მასალა გაკვეთილისთვის
- ჩამოტვირთეთ ყველა ფორმულა
- log a x n = n · log a x ;
ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.
თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება
განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log a x და log a y. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:
მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!
ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 6 4 + log 6 9.
ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.
საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.
ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ ისინი საკმაოდ გამოდიან ნორმალური ნომრები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.
მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:
ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.
რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .
მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12
დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:
[წარწერა სურათზე]
გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:
[წარწერა სურათზე]
ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.
ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.
ახალ საძირკველზე გადასვლა
ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?
ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:
დაე, ლოგარითმი log a x იყოს მოცემული. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[წარწერა სურათზე]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:
[წარწერა სურათზე]
მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა არის „გადაბრუნებული“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.
ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.
თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.
გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;
ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:
[წარწერა სურათზე]
ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.
პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:
[წარწერა სურათზე]
ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:
[წარწერა სურათზე]
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:
- n = log a a n
-
პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.
მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.
ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.
[წარწერა სურათზე]
გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - ჩვენ უბრალოდ ავიღეთ კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:
[წარწერა სურათზე]
თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)
ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული
დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.
- log a a = 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
- log a 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.
ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.
ლოგარითმი. ლოგარითმის თვისებები (შეკრება და გამოკლება).
ლოგარითმის თვისებებიდაიცავით მისი განმარტება. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).
ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას a x =b.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია ძალაუფლების თემასთან.
ლოგარითმებით, როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გამო, რომ ლოგარითმები არ არის სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.
ავიღოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: შესვლა xდა შესვლა y. შემდეგ შესაძლებელია შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:
როგორც ვხედავთ, ლოგარითმების ჯამიუდრის პროდუქტის ლოგარითმს და განსხვავება ლოგარითმები- კოეფიციენტის ლოგარითმი. უფრო მეტიც, ეს მართალია, თუ რიცხვები ა, Xდა ზედადებითი და a ≠ 1.
მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ამ ფორმულების მთავარი ასპექტი არის იგივე საფუძვლები. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მოქმედებს!
ერთი და იგივე ფუძით ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესები იკითხება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. შედეგად, ჩვენ გვაქვს ნამრავლის ლოგარითმის თეორემები და კოეფიციენტის ლოგარითმი.
პროდუქტის ლოგარითმიორი დადებითი რიცხვი უდრის მათი ლოგარითმების ჯამს ; ამ თეორემის ხელახლა ჩამოყალიბებით მივიღებთ შემდეგს, თუ რიცხვები ა, xდა ზედადებითი და a ≠ 1, ეს:
კოეფიციენტის ლოგარითმიორი დადებითი რიცხვი უდრის დივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმებს შორის სხვაობას. სხვანაირად რომ ვთქვათ, თუ რიცხვები ა, Xდა ზედადებითი და a ≠ 1, ეს:
გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული თეორემები ამოსახსნელად მაგალითები:
თუ ნომრები xდა ზეუარყოფითია, მაშინ პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულაუაზრო ხდება. ამრიგად, აკრძალულია დაწერა:
ვინაიდან გამონათქვამები log 2 (-8) და log 2 (-4) საერთოდ არ არის განსაზღვრული (ლოგარითმული ფუნქცია ზე= ჟურნალი 2 Xგანისაზღვრება მხოლოდ დადებითი არგუმენტების მნიშვნელობებისთვის X).
პროდუქტის თეორემაგამოიყენება არა მხოლოდ ორი, არამედ შეუზღუდავი რაოდენობის ფაქტორებისთვის. ეს ნიშნავს, რომ ყოველი ბუნებრივი კდა ნებისმიერი დადებითი რიცხვი x 1 , x 2 , . . . ,x nარსებობს პირადობა:
დან ლოგარითმის კოეფიციენტის თეორემაშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად
ეს ნიშნავს, რომ არსებობს თანასწორობა:
ორი საპასუხო რიცხვის ლოგარითმებიამავე მიზეზით განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან მხოლოდ ნიშნით. Ისე:
ლოგარითმი. ლოგარითმების თვისებები
ლოგარითმი. ლოგარითმების თვისებები
განვიხილოთ თანასწორობა. შეგვატყობინეთ და და ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ ღირებულებები.
ანუ, ჩვენ ვეძებთ იმ მაჩვენებელს, რომლითაც ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ ის, რომ მივიღოთ.
დაე
ცვლადს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა, შემდეგ ცვლადებზე დაწესებულია შემდეგი შეზღუდვები: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />თუ ჩვენ ვიცით და-ს მნიშვნელობები და ჩვენ წინაშე დგას ამოცანის პოვნა უცნობი, მაშინ ამ მიზნით შემოგთავაზებთ მათემატიკური ოპერაციარომელსაც ქვია ლოგარითმი.
ვიპოვოთ ღირებულება, რომელსაც ვიღებთ რიცხვის ლოგარითმიავტორი საფუძველი :
რიცხვის ლოგარითმი მის ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც ის უნდა გაიზარდოს, რომ მიიღოთ .
ანუ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
არსებითად მათემატიკური აღნიშვნაა ლოგარითმის განმარტებები.
ლოგარითმის მათემატიკური მოქმედება არის ინვერსიული მოქმედების სიძლიერე, ასე ლოგარითმების თვისებებიმჭიდროდ არის დაკავშირებული ხარისხის თვისებებთან.
ჩამოვთვალოთ მთავარი ლოგარითმების თვისებები:
(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ სათაური=”d1″/>
4.
5.
თვისებების შემდეგი ჯგუფი საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ გამოხატვის გამოხატულება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ან ლოგარითმის ფუძეზე დგომა კოეფიციენტის სახით ლოგარითმის ნიშნის წინ:
6.
7.
8.
9.
ფორმულების შემდეგი ჯგუფი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმიდან მოცემული ფუძით ლოგარითმზე თვითნებური ფუძის მქონე ლოგარითმზე და ე.წ. ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები:
10.
12. (დასკვნა ქონების 11-დან)
შემდეგი სამი თვისება კარგად არ არის ცნობილი, მაგრამ ისინი ხშირად გამოიყენება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას ან ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამების გამარტივებისას:
13.
14.
15.
განსაკუთრებული შემთხვევები:
— ათობითი ლოგარითმი
— ბუნებრივი ლოგარითმილოგარითმების შემცველი გამონათქვამების გამარტივებისას გამოიყენება ზოგადი მიდგომა:
1. გაცნობა ათწილადებიჩვეულებრივის სახით.
2. შერეულ რიცხვებს წარმოვადგენთ არასწორ წილადებად.
3. ლოგარითმის ფუძეზე და ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არსებულ რიცხვებს ვშლით მარტივ ფაქტორებად.
4. ჩვენ ვცდილობთ შევამციროთ ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძემდე.
5. გამოიყენეთ ლოგარითმების თვისებები.
მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამების გამარტივების მაგალითებს.
მაგალითი 1.
გამოთვალეთ:
მოდით გავამარტივოთ ყველა მაჩვენებლები: ჩვენი ამოცანაა დავიყვანოთ ისინი ლოგარითმებამდე, რომელთა ფუძე იგივე რიცხვია, რაც მაჩვენებლის ფუძეს.
==(საკუთრებით 7)=(საკუთრებით 6) =
მოდით ჩავანაცვლოთ ის ინდიკატორები, რომლებიც მივიღეთ თავდაპირველ გამოხატულებაში. ჩვენ ვიღებთ:
პასუხი: 5.25
მაგალითი 2. გამოთვალეთ:
მოდით შევამციროთ ყველა ლოგარითმი 6-მდე (ამ შემთხვევაში, წილადის მნიშვნელის ლოგარითმები "მიგრირდებიან" მრიცხველზე):
მოდით დავშალოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მარტივ ფაქტორებად:
მოდით გამოვიყენოთ თვისებები 4 და 6:
წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას
ჩვენ ვიღებთ:
პასუხი: 1
ლოგარითმი . ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა.
ლოგარითმების თვისებები. ათწილადი ლოგარითმი. ბუნებრივი ლოგარითმი.
ლოგარითმი დადებითი რიცხვი N ფუძისთვის (ბ > 0, ბ 1) არის x მაჩვენებელი, რომელზეც b უნდა გაიზარდოს N-ის მისაღებად .
ეს ჩანაწერი უდრის შემდეგს: b x = N .
მაგალითები: ჟურნალი 3 81 = 4, ვინაიდან 3 4 = 81;
ჟურნალი 1/3 27 = – 3, ვინაიდან (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
ლოგარითმის ზემოაღნიშნული განმარტება შეიძლება დაიწეროს როგორც იდენტურობა:
ლოგარითმების ძირითადი თვისებები.
2) ჟურნალი 1 = 0, ვინაიდან ბ 0 = 1 .
3) პროდუქტის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს:
4) კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის დივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმებს შორის სხვაობას:
5) სიმძლავრის ლოგარითმი ტოლია მაჩვენებლისა და მისი ფუძის ლოგარითმის ნამრავლის:
ამ ქონების შედეგი შემდეგია: ფესვის ლოგარითმი უდრის რადიკალური რიცხვის ლოგარითმს გაყოფილი ფესვის ძალაზე:
6) თუ ლოგარითმის საფუძველი არის ხარისხი, მაშინ მნიშვნელობა მაჩვენებლის ინვერსია შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგის რითმის სახით:
ბოლო ორი თვისება შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:
7) გარდამავალი მოდულის ფორმულა (ანუ ერთი ლოგარითმის ბაზიდან მეორე ბაზაზე გადასვლა):
განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როცა N=aჩვენ გვაქვს:
ათწილადი ლოგარითმი დაურეკა ბაზის ლოგარითმი 10. აღინიშნება ლგ, ე.ი. ჟურნალი 10 ნ= ჟურნალი ნ. რიცხვების ლოგარითმები 10, 100, 1000, . p არის 1, 2, 3, ..., შესაბამისად, ე.ი. ბევრი დადებითი აქვს
ერთეული, რამდენი ნული არის ლოგარითმულ რიცხვში ერთის შემდეგ. რიცხვების ლოგარითმები 0.1, 0.01, 0.001, . p არის შესაბამისად –1, –2, –3, …, ე.ი. აქვს იმდენი უარყოფითი, რამდენიც არის ნულები ლოგარითმულ რიცხვში ერთის წინ (მათ შორის ნულოვანი მთელი რიცხვები). სხვა რიცხვების ლოგარითმებს აქვთ წილადი ნაწილი ე.წ მანტისა. მთელი ნაწილილოგარითმი ეწოდება დამახასიათებელი. პრაქტიკული გამოყენებისთვის, ათობითი ლოგარითმები ყველაზე მოსახერხებელია.
ბუნებრივი ლოგარითმი დაურეკა ბაზის ლოგარითმი ე. იგი აღინიშნება ln-ით, ე.ი. ჟურნალი ე ნ= ჟურნალი ნ. ნომერი ეარის ირაციონალური, მისი სავარაუდო მნიშვნელობა არის 2.718281828. ეს არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის რიცხვი (1 + 1 / ნ) ნშეუზღუდავი ზრდით ნ(სმ. პირველი მშვენიერი ლიმიტიგვერდზე "რიცხვების თანმიმდევრობის ლიმიტები").
რაც არ უნდა უცნაური იყოს, ბუნებრივი ლოგარითმები ძალიან მოსახერხებელი აღმოჩნდა ფუნქციების ანალიზთან დაკავშირებული სხვადასხვა ტიპის ოპერაციების შესრულებისას. ლოგარითმების გამოთვლა ფუძემდე ეგანხორციელდა ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე ნებისმიერი სხვა მიზეზის გამო.
- რა არის საჭირო დღეს რუსეთში ბავშვის გასაშვილებლად? რუსეთში შვილად აყვანა, პასუხისმგებელი პირადი გადაწყვეტილების გარდა, მოიცავს კანდიდატების სახელმწიფო გადამოწმების მთელ რიგ პროცედურებს. რთული შერჩევა მოსამზადებელი ეტაპიხელს უწყობს უფრო […]
- უფასო ინფორმაცია TIN-ზე ან OGRN-ზე საგადასახადო რეესტრიდან მთელ რუსეთში - ონლაინ. სახელმწიფო რეგისტრაციის შესახებ ინფორმაციის მიღება შეგიძლიათ ერთიანი საგადასახადო სერვისების პორტალზე. იურიდიული პირები, ინდივიდუალური მეწარმეები, […]
- ჯარიმა საბუთების გარეშე მართვისთვის ( მართვის მოწმობა, დაზღვევა, სტს) ხანდახან დავიწყების გამო მძღოლები მართვის მოწმობის გარეშე ჯდებიან საჭესთან და ჯარიმას იღებენ საბუთების გარეშე მართვისთვის. შეგახსენებთ, რომ ავტომოყვარული თავისით მოძრაობს სავალდებულო […]
- ყვავილები მამაკაცებისთვის. რა ყვავილები შეგიძლიათ აჩუქოთ კაცს? რა ყვავილები შეგიძლიათ აჩუქოთ კაცს? "მამრობითი" ყვავილი ბევრი არ არის, მაგრამ არის ისეთებიც, რომლებსაც ჩუქნიან მამაკაცებს. პატარა ყვავილების სია თქვენს წინაშე: ქრიზანთემები. ვარდები. მიხაკები. […]
- მემორანდუმი არის დოკუმენტის სპეციალური ფორმა, რომელიც გამოიყენება შიდა გარემოსაწარმოებს და ემსახურება სწრაფი გადაწყვეტაწარმოების მიმდინარე პრობლემები. როგორც წესი, ეს დოკუმენტი შედგენილია გარკვეული […]
- როდის და როგორ მიიღოთ თქვენი პენსიის დაფინანსებული ნაწილი სბერბანკიდან? Sberbank არის სახელმწიფო საპენსიო ფონდის პარტნიორი ბანკი. ამის საფუძველზე მოქალაქეებს, რომლებიც დარეგისტრირებულნი არიან დაგროვებითი პენსიაზე, შეუძლიათ გადარიცხონ დაფინანსებული ნაწილი […]
- ბავშვთა შეღავათები ულიანოვსკსა და ულიანოვსკის რეგიონში 2018 წელს გარდა ამისა, ფედერალური კანონმდებლობით დამტკიცებული პროგრამები მოქმედებს ყველა რეგიონში. ვნახოთ, ვის რა სარგებელის იმედი აქვს. როგორ რეგიონალური ხელისუფლება […]
- დეტალური გზამკვლევიროგორ შევადგინოთ მინდობილობა, რათა წარმოადგინოს ფიზიკური პირის ინტერესები სასამართლოში სამოქალაქო ან საარბიტრაჟო სარჩელში, ადმინისტრაციულ ან სისხლის სამართლის საქმეში, როგორც მოსარჩელის, ასევე მოპასუხის ინტერესები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ადვოკატის მიერ: [… ]
ამ ვიდეოთი ვიწყებ გაკვეთილების გრძელ სერიას ლოგარითმული განტოლებების შესახებ. ახლა თქვენ გაქვთ სამი მაგალითი, რომლის საფუძველზეც ჩვენ ვისწავლით უმარტივესი ამოცანების გადაჭრას, რომლებსაც ე.წ. პროტოზოები.
ჟურნალი 0,5 (3x − 1) = −3
ჟურნალი (x + 3) = 3 + 2 ჟურნალი 5
შეგახსენებთ, რომ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება შემდეგია:
log a f (x) = b
ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია, რომ x ცვლადი იყოს მხოლოდ არგუმენტის შიგნით, ანუ მხოლოდ f (x) ფუნქციაში. ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში არ არის x ცვლადის შემცველი ფუნქციები.
გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები
ასეთი სტრუქტურების გადაჭრის მრავალი გზა არსებობს. მაგალითად, მასწავლებლების უმეტესობა სკოლაში გვთავაზობს ამ მეთოდს: დაუყოვნებლივ გამოხატეთ ფუნქცია f (x) ფორმულის გამოყენებით ვ ( x) = ბ . ანუ, როცა უმარტივეს კონსტრუქციას წააწყდებით, მაშინვე გარეშე დამატებითი მოქმედებებიდა კონსტრუქციები შეგიძლიათ გადაჭრას გადაწყვეტაზე.
დიახ, რა თქმა უნდა, გადაწყვეტილება იქნება სწორი. თუმცა, ამ ფორმულის პრობლემა ის არის, რომ სტუდენტების უმეტესობა ვერ გავიგე, საიდან მოდის და რატომ ვზრდით a ასოს b ასოზე.
შედეგად, მე ხშირად ვხედავ ძალიან შემაწუხებელ შეცდომებს, როდესაც, მაგალითად, ამ ასოებს ცვლიან. ეს ფორმულა ან უნდა იყოს გასაგები, ან გადატვირთული, ხოლო მეორე მეთოდი იწვევს შეცდომებს ყველაზე შეუფერებელ და ყველაზე გადამწყვეტ მომენტებში: გამოცდების, ტესტების და ა.შ.
ამიტომ ყველა ჩემს მოსწავლეს ვთავაზობ, მიატოვონ სტანდარტული სასკოლო ფორმულა და გამოიყენონ მეორე მიდგომა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად, რომელსაც, როგორც სახელიდან ალბათ მიხვდით, ე.წ. კანონიკური ფორმა.
კანონიკური ფორმის იდეა მარტივია. კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს პრობლემას: მარცხნივ გვაქვს log a და ასო a-ში ვგულისხმობთ რიცხვს და არავითარ შემთხვევაში x ცვლადის შემცველ ფუნქციას. შესაბამისად, ეს წერილი ექვემდებარება ყველა შეზღუდვას, რომელიც დაწესებულია ლოგარითმის საფუძველზე. კერძოდ:
1 ≠ a > 0
მეორე მხრივ, იგივე განტოლებიდან ვხედავთ, რომ ლოგარითმი უნდა იყოს b რიცხვის ტოლი და ამ ასოზე არანაირი შეზღუდვა არ არის დაწესებული, რადგან მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა - დადებითიც და უარყოფითიც. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობებს იღებს ფუნქცია f(x).
და აქ ჩვენ გვახსოვს ჩვენი მშვენიერი წესი, რომ ნებისმიერი b რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად a-ს ფუძეზე b-ის ხარისხზე:
b = log a a b
როგორ გავიხსენოთ ეს ფორმულა? დიახ, ძალიან მარტივი. დავწეროთ შემდეგი კონსტრუქცია:
b = b 1 = b log a a
რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში ჩნდება ყველა ის შეზღუდვა, რაც თავიდანვე დავწერეთ. ახლა გამოვიყენოთ ლოგარითმის ძირითადი თვისება და გავამრავლოთ b, როგორც a-ს სიძლიერე. ჩვენ ვიღებთ:
b = b 1 = b log a a = log a a b
შედეგად, ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Სულ ეს არის. Ახალი თვისებააღარ შეიცავს ლოგარითმს და მისი ამოხსნა შესაძლებელია სტანდარტული ალგებრული ტექნიკის გამოყენებით.
რა თქმა უნდა, ახლა ვინმე გააპროტესტებს: რატომ იყო საჭირო საერთოდ რაიმე სახის კანონიკური ფორმულის გამომუშავება, რატომ უნდა შესრულდეს ორი დამატებითი არასაჭირო ნაბიჯი, თუ შესაძლებელი იყო დაუყოვნებლივ გადასულიყო ორიგინალური დიზაინიდან საბოლოო ფორმულაზე? დიახ, მხოლოდ იმიტომ, რომ სტუდენტების უმეტესობას არ ესმის, საიდან მოდის ეს ფორმულა და, შედეგად, რეგულარულად უშვებენ შეცდომებს მისი გამოყენებისას.
მაგრამ მოქმედებების ეს თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება სამი ეტაპისგან, საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ორიგინალური ლოგარითმული განტოლება, მაშინაც კი, თუ არ გესმით, საიდან მოდის საბოლოო ფორმულა. სხვათა შორის, ამ ჩანაწერს ეწოდება კანონიკური ფორმულა:
log a f (x) = log a a b
კანონიკური ფორმის მოხერხებულობა ასევე მდგომარეობს იმაში, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმული განტოლებების ძალიან ფართო კლასის გადასაჭრელად და არა მხოლოდ უმარტივესთათვის, რომლებსაც დღეს განვიხილავთ.
გადაწყვეტილებების მაგალითები
ახლა მოდით შევხედოთ რეალური მაგალითები. მაშ ასე, გადავწყვიტოთ:
ჟურნალი 0,5 (3x − 1) = −3
გადავიწეროთ ასე:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
ბევრი სტუდენტი ჩქარობს და ცდილობს დაუყოვნებლივ აიყვანოს რიცხვი 0.5 იმ სიმძლავრემდე, რომელიც ჩვენამდე მოვიდა საწყისი პრობლემისგან. მართლაც, როდესაც უკვე კარგად ხართ გაწვრთნილი ასეთი პრობლემების გადაჭრაში, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეასრულოთ ეს ნაბიჯი.
თუმცა, თუ ახლავე იწყებთ ამ თემის შესწავლას, უმჯობესია არსად იჩქაროთ, რათა შეურაცხმყოფელი შეცდომები არ დაუშვათ. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს კანონიკური ფორმა. Ჩვენ გვაქვს:
3x − 1 = 0,5 −3
ეს აღარ არის ლოგარითმული განტოლება, არამედ წრფივი x ცვლადის მიმართ. მის ამოსახსნელად ჯერ შევხედოთ რიცხვს 0,5 −3-ის ხარისხზე. გაითვალისწინეთ, რომ 0.5 არის 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას ყველა ათობითი წილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.
ჩვენ ხელახლა ვწერთ და ვიღებთ:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
ესე იგი, პასუხი მივიღეთ. პირველი პრობლემა მოგვარებულია.
მეორე დავალება
გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:
როგორც ვხედავთ, ეს განტოლება აღარ არის უმარტივესი. თუ მხოლოდ იმიტომ, რომ მარცხნივ არის განსხვავება და არა ერთი ლოგარითმი ერთ ბაზაზე.
ამიტომ, როგორმე უნდა მოვიშოროთ ეს განსხვავება. IN ამ შემთხვევაშიყველაფერი ძალიან მარტივია. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუძეებს: მარცხნივ არის რიცხვი ფესვის ქვეშ:
ზოგადი რეკომენდაცია: ყველა ლოგარითმულ განტოლებაში შეეცადეთ თავი დააღწიოთ რადიკალებს, ე.ი. ჩანაწერი მნიშვნელოვნად ამარტივებს და აჩქარებს გამოთვლებს. მოდით ჩავწეროთ ასე:
ახლა გავიხსენოთ ლოგარითმის შესანიშნავი თვისება: ძლევამოსილებების მიღება შესაძლებელია როგორც არგუმენტიდან, ასევე ფუძიდან. საფუძვლების შემთხვევაში ხდება შემდეგი:
log a k b = 1/k ლოგა ბ
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი, რომელიც იყო საბაზისო სიმძლავრეში, არის წინ წამოწეული და ამავე დროს ინვერსიული, ანუ ხდება საპასუხო რიცხვი. ჩვენს შემთხვევაში, საბაზისო ხარისხი იყო 1/2. მაშასადამე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ 2/1. ჩვენ ვიღებთ:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არავითარ შემთხვევაში არ უნდა მოიცილოთ ლოგარითმები ამ ეტაპზე. დაიმახსოვრეთ მე-4-5 კლასის მათემატიკა და მოქმედებების თანმიმდევრობა: ჯერ სრულდება გამრავლება და მხოლოდ შემდეგ შეკრება და გამოკლება. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვაკლებთ ერთსა და იმავე ელემენტს 10 ელემენტს:
9 ჟურნალი 5 x = 18
ჟურნალი 5 x = 2
ახლა ჩვენი განტოლება გამოიყურება ისე, როგორც უნდა. ეს არის უმარტივესი კონსტრუქცია და ჩვენ მას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით:
ჟურნალი 5 x = ჟურნალი 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Სულ ეს არის. მეორე პრობლემა მოგვარებულია.
მესამე მაგალითი
გადავიდეთ მესამე დავალებაზე:
ჟურნალი (x + 3) = 3 + 2 ჟურნალი 5
ნება მომეცით შეგახსენოთ შემდეგი ფორმულა:
ჟურნალი b = ჟურნალი 10 ბ
თუ რაიმე მიზეზით დაბნეული ხართ აღნიშვნით log b , მაშინ ყველა გამოთვლების შესრულებისას შეგიძლიათ უბრალოდ ჩაწეროთ log 10 b . თქვენ შეგიძლიათ იმუშაოთ ათობითი ლოგარითმებთან ისევე, როგორც სხვებთან: აიღეთ ძალა, დაამატეთ და წარმოადგინეთ ნებისმიერი რიცხვი lg 10 სახით.
სწორედ ამ თვისებებს გამოვიყენებთ პრობლემის გადასაჭრელად, რადგან ეს არ არის უმარტივესი, რაც ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში დავწერეთ.
პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტი 2 lg 5-ის წინ შეიძლება დაემატოს და ხდება 5-ის ბაზის სიმძლავრე. გარდა ამისა, თავისუფალი ტერმინი 3 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად - ამის დაკვირვება ძალიან ადვილია ჩვენი აღნიშვნით.
თავად განსაჯეთ: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჟურნალი 10-ის ბაზაზე:
3 = ჟურნალი 10 10 3 = ჟურნალი 10 3
გადავიწეროთ ორიგინალური პრობლემა მიღებული ცვლილებების გათვალისწინებით:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
ჟურნალი (x − 3) = ლოგი 25000
ჩვენ ისევ გვაქვს კანონიკური ფორმა და მივიღეთ ის ტრანსფორმაციის ეტაპის გავლის გარეშე, ანუ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება არსად არ გამოჩნდა.
ზუსტად ამაზე ვისაუბრე გაკვეთილის დასაწყისში. კანონიკური ფორმა საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ პრობლემების უფრო ფართო კლასი, ვიდრე სკოლის სტანდარტული ფორმულა, რომელსაც სკოლის მასწავლებლების უმეტესობა იძლევა.
ესე იგი, ჩვენ ვაშორებთ ათობითი ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ მარტივ წრფივ კონსტრუქციას:
x + 3 = 25000
x = 24,997
ყველა! პრობლემა მოგვარებულია.
შენიშვნა ფარგლების შესახებ
აქვე მინდა გავაკეთო მნიშვნელოვანი შენიშვნა განმარტების ასპექტთან დაკავშირებით. რა თქმა უნდა, ახლა იქნებიან სტუდენტები და მასწავლებლები, რომლებიც იტყვიან: "როდესაც ჩვენ ვხსნით გამონათქვამებს ლოგარითმებით, უნდა გვახსოვდეს, რომ არგუმენტი f (x) უნდა იყოს ნულზე დიდი!" ამასთან დაკავშირებით ჩნდება ლოგიკური კითხვა: რატომ არ მოვითხოვეთ ამ უთანასწორობის დაკმაყოფილება რომელიმე განხილულ პრობლემაში?
Არ იდარდო. ამ შემთხვევაში, ზედმეტი ფესვები არ გამოჩნდება. და ეს არის კიდევ ერთი შესანიშნავი ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააჩქაროთ გადაწყვეტა. უბრალოდ იცოდეთ, რომ თუ პრობლემაში ცვლადი x გვხვდება მხოლოდ ერთ ადგილას (უფრო სწორად, ერთი ლოგარითმის ერთ არგუმენტში) და ჩვენს შემთხვევაში სხვაგან არსად არ ჩანს ცვლადი x, მაშინ ჩამოწერეთ განმარტების დომენი. არ არის საჭიროება, რადგან ის ავტომატურად შესრულდება.
თავად განსაჯეთ: პირველ განტოლებაში მივიღეთ, რომ 3x − 1, ანუ არგუმენტი უნდა იყოს 8-ის ტოლი. ეს ავტომატურად ნიშნავს, რომ 3x − 1 იქნება ნულზე მეტი.
იგივე წარმატებით შეგვიძლია დავწეროთ, რომ მეორე შემთხვევაში x უნდა იყოს 5 2-ის ტოლი, ანუ ის, რა თქმა უნდა, მეტია ნულზე. და მესამე შემთხვევაში, სადაც x + 3 = 25,000, ანუ ისევ, აშკარად მეტია ნულზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფარგლები დაკმაყოფილებულია ავტომატურად, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ხდება მხოლოდ ერთი ლოგარითმის არგუმენტში.
ეს არის ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ უმარტივესი პრობლემების გადასაჭრელად. მარტო ეს წესი, ტრანსფორმაციის წესებთან ერთად, საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ პრობლემების ძალიან ფართო კლასი.
მაგრამ მოდით ვიყოთ გულახდილები: იმისათვის, რომ საბოლოოდ გავიგოთ ეს ტექნიკა, ვისწავლოთ თუ როგორ გამოიყენოთ ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი ვიდეო გაკვეთილის ყურება. ასე რომ, ჩამოტვირთეთ პარამეტრები ახლავე დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, რომლებიც ერთვის ამ ვიდეო გაკვეთილს და იწყებენ ამ ორი დამოუკიდებელი ნაშრომიდან ერთის მაინც ამოხსნას.
ფაქტიურად რამდენიმე წუთი დაგჭირდებათ. მაგრამ ასეთი ტრენინგის ეფექტი გაცილებით მაღალი იქნება, ვიდრე უბრალოდ ამ ვიდეო გაკვეთილის ყურება.
იმედი მაქვს, ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ ლოგარითმული განტოლებების გაგებაში. გამოიყენეთ კანონიკური ფორმა, გაამარტივეთ გამონათქვამები ლოგარითმებთან მუშაობის წესების გამოყენებით - და არ შეგეშინდებათ რაიმე პრობლემის. სულ ეს მაქვს დღეისთვის.
განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით
ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმული ფუნქციის განსაზღვრის დომენზე და როგორ მოქმედებს ეს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაზე. განვიხილოთ ფორმის კონსტრუქცია
log a f (x) = b
ასეთ გამონათქვამს უმარტივესს უწოდებენ - ის შეიცავს მხოლოდ ერთ ფუნქციას, ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში x ცვლადზე დამოკიდებული ფუნქცია. მისი მოგვარება ძალიან მარტივად შეიძლება. თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:
b = log a a b
ეს ფორმულა ლოგარითმის ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა და ჩვენს თავდაპირველ გამოსახულებაში ჩანაცვლებისას ვიღებთ შემდეგს:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
ეს ნაცნობი ფორმულაა სასკოლო სახელმძღვანელოებიდან. ბევრ სტუდენტს ალბათ გაუჩნდება შეკითხვა: რადგან თავდაპირველ გამოსახულებაში ფუნქცია f (x) არის ჟურნალის ნიშნის ქვეშ, მასზე დაწესებულია შემდეგი შეზღუდვები:
f(x) > 0
ეს შეზღუდვა მოქმედებს, რადგან უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმი არ არსებობს. მაშ, იქნებ, ამ შეზღუდვის შედეგად, უნდა დაინერგოს პასუხების შემოწმება? იქნებ წყაროში ჩასმაა საჭირო?
არა, უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებებში დამატებითი შემოწმება არასაჭიროა. და ამიტომ. შეხედეთ ჩვენს საბოლოო ფორმულას:
f (x) = a b
ფაქტია, რომ რიცხვი a ნებისმიერ შემთხვევაში 0-ზე მეტია - ამ მოთხოვნას ასევე აწესებს ლოგარითმი. რიცხვი a არის საფუძველი. ამ შემთხვევაში ბ ნომრის შეზღუდვა არ არის დაწესებული. მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან რა სიმძლავრისაც არ უნდა ავწიოთ დადებითი რიცხვი, გამომავალზე მაინც მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამრიგად, მოთხოვნა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია ავტომატურად.
რაც ნამდვილად ღირს შემოწმება არის ფუნქციის დომენი ჟურნალის ნიშნის ქვეშ. შეიძლება იყოს საკმაოდ რთული სტრუქტურები და აუცილებლად უნდა ადევნოთ თვალი გადაწყვეტის პროცესში. მოდით შევხედოთ.
პირველი დავალება:
პირველი ნაბიჯი: გადაიყვანეთ წილადი მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ ჩვეულებრივ ირაციონალურ განტოლებას:
მიღებული ფესვებიდან მხოლოდ პირველი გვიწყობს, რადგან მეორე ფესვი ნულზე ნაკლები. ერთადერთი პასუხი იქნება ნომერი 9. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია. არცერთი დამატებითი შემოწმებებიის ფაქტი, რომ ლოგარითმის ნიშნით გამოსახულება 0-ზე მეტია, არ არის საჭირო, რადგან ის არ არის მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განტოლების პირობის მიხედვით უდრის 2-ს. ამიტომ მოთხოვნა „ნულზე მეტი“ არის. დაკმაყოფილებულია ავტომატურად.
გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:
აქ ყველაფერი იგივეა. ჩვენ ხელახლა ვწერთ კონსტრუქციას, ვცვლით სამეულს:
ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშნებს და ვიღებთ ირაციონალურ განტოლებას:
შეზღუდვების გათვალისწინებით ორივე მხარეს ვასწორებთ და ვიღებთ:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას დისკრიმინანტის საშუალებით:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
მაგრამ x = −6 არ გვერგება, რადგან თუ ამ რიცხვს ჩვენს უტოლობაში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ:
−6 + 4 = −2 < 0
ჩვენს შემთხვევაში, საჭიროა, რომ იყოს 0-ზე მეტი ან როგორც ბოლო საშუალებაუდრის. მაგრამ x = −1 გვერგება:
−1 + 4 = 3 > 0
ერთადერთი პასუხი ჩვენს შემთხვევაში იქნება x = −1. ეგაა გამოსავალი. მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენი გამოთვლების საწყისს.
ამ გაკვეთილის მთავარი უპირატესობა ის არის, რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფუნქციის შეზღუდვების შემოწმება მარტივ ლოგარითმულ განტოლებებში. რადგან გადაწყვეტის პროცესში ყველა შეზღუდვა სრულდება ავტომატურად.
თუმცა, ეს არანაირად არ ნიშნავს იმას, რომ თქვენ შეგიძლიათ საერთოდ დაივიწყოთ შემოწმება. ლოგარითმულ განტოლებაზე მუშაობის პროცესში ის შესაძლოა გადაიქცეს ირაციონალურ განტოლებაში, რომელსაც ექნება თავისი შეზღუდვები და მოთხოვნები მარჯვენა მხარის მიმართ, რაც დღეს ვნახეთ ორ სხვადასხვა მაგალითში.
თავისუფლად მოაგვარეთ ასეთი პრობლემები და განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით, თუ კამათს აქვს საფუძველი.
ლოგარითმული განტოლებები სხვადასხვა ფუძით
ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და ვუყურებთ კიდევ ორ საკმაოდ საინტერესო ტექნიკას, რომლითაც მოდურია უფრო რთული კონსტრუქციების ამოხსნა. მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი პრობლემები:
log a f (x) = b
ამ ჩანაწერში a და b არის რიცხვები, ხოლო f (x) ფუნქციაში ცვლადი x უნდა იყოს წარმოდგენილი და მხოლოდ იქ, ანუ x უნდა იყოს მხოლოდ არგუმენტში. ჩვენ გარდაქმნის ასეთ ლოგარითმულ განტოლებებს კანონიკური ფორმის გამოყენებით. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ
b = log a a b
უფრო მეტიც, a b არის ზუსტად არგუმენტი. გადავიწეროთ ეს გამოთქმა შემდეგნაირად:
log a f (x) = log a a b
ეს არის ზუსტად ის, რის მიღწევასაც ვცდილობთ, რათა არსებობდეს ლოგარითმი, რომელიც დაფუძნებულია მარცხნივ და მარჯვნივ. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, გადავკვეთოთ ლოგის ნიშნები და მათემატიკური თვალსაზრისით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს:
f (x) = a b
შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ახალ გამონათქვამს, რომლის ამოხსნაც ბევრად უფრო ადვილი იქნება. გამოვიყენოთ ეს წესი ჩვენს პრობლემებზე დღეს.
ასე რომ, პირველი დიზაინი:
პირველ რიგში, მე აღვნიშნავ, რომ მარჯვნივ არის წილადი, რომლის მნიშვნელი არის log. როდესაც ხედავთ მსგავს გამონათქვამს, კარგი იდეაა გახსოვდეთ ლოგარითმების შესანიშნავი თვისება:
რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი ლოგარითმის კოეფიციენტი ნებისმიერი ფუძით c. რა თქმა უნდა 0< с ≠ 1.
ასე რომ: ამ ფორმულას აქვს ერთი შესანიშნავი განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ცვლადი c უდრის ცვლადს ბ. ამ შემთხვევაში ვიღებთ კონსტრუქციას, როგორიცაა:
ეს არის ზუსტად ის კონსტრუქცია, რომელსაც ჩვენ ვხედავთ ჩვენი განტოლების მარჯვენა ნიშნიდან. შევცვალოთ ეს კონსტრუქცია log a b-ით, მივიღებთ:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველ ამოცანასთან შედარებით, ჩვენ შევცვალეთ არგუმენტი და ლოგარითმის საფუძველი. სამაგიეროდ, წილადის შებრუნება მოგვიწია.
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ხარისხის მიღება შესაძლებელია ბაზიდან შემდეგი წესის მიხედვით:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, k კოეფიციენტი, რომელიც არის ფუძის სიმძლავრე, გამოიხატება შებრუნებული წილადის სახით. მოდით გამოვიტანოთ იგი შებრუნებულ წილადად:
წილადი ფაქტორის წინ დატოვება შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში ამ აღნიშვნას კანონიკურ ფორმად ვერ წარმოვადგენთ (ბოლოს და ბოლოს, კანონიკურ ფორმაში მეორე ლოგარითმამდე დამატებითი ფაქტორი არ არის). მაშასადამე, წილადი 1/4 დავუმატოთ არგუმენტს ხარისხად:
ახლა ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს, რომელთა საფუძვლები იგივეა (და ჩვენი საფუძვლები ნამდვილად იგივეა) და ვწერთ:
x + 5 = 1
x = −4
Სულ ეს არის. ჩვენ მივიღეთ პასუხი პირველ ლოგარითმულ განტოლებაზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თავდაპირველ პრობლემაში ცვლადი x ჩნდება მხოლოდ ერთ ჟურნალში და ის ჩნდება მის არგუმენტში. აქედან გამომდინარე, არ არის საჭირო დომენის შემოწმება და ჩვენი რიცხვი x = -4 ნამდვილად არის პასუხი.
ახლა გადავიდეთ მეორე გამოთქმაზე:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
აქ, ჩვეულებრივი ლოგარითმების გარდა, მოგვიწევს მუშაობა log f (x)-თან. როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება? მოუმზადებელი სტუდენტისთვის შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს რაღაც რთული ამოცანაა, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ელემენტარული გზით შეიძლება გადაწყდეს.
კარგად დააკვირდით ტერმინს lg 2 log 2 7. რა შეგვიძლია ვთქვათ მასზე? log-ისა და lg-ის საფუძვლები და არგუმენტები ერთი და იგივეა და ამან უნდა მოგვცეს გარკვეული იდეები. კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ, როგორ ამოღებულია ძალაუფლება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ:
log a b n = nlog a b
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის, რაც იყო b-ის ძალა არგუმენტში, ხდება ფაქტორი თავად ლოგის წინ. მოდით გამოვიყენოთ ეს ფორმულა გამონათქვამზე lg 2 log 2 7. არ შეგაშინოთ lg 2 - ეს ყველაზე გავრცელებული გამოთქმაა. თქვენ შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი შემდეგნაირად:
ყველა ის წესი, რომელიც ეხება ნებისმიერ სხვა ლოგარითმს, მოქმედებს მისთვის. კერძოდ, წინა ფაქტორი შეიძლება დაემატოს არგუმენტის ხარისხს. მოდით ჩამოვწეროთ:
ძალიან ხშირად, მოსწავლეები ამ მოქმედებას პირდაპირ ვერ ხედავენ, რადგან არ არის კარგი ერთი ჟურნალის მეორის ნიშნით შეყვანა. ფაქტობრივად, ამაში კრიმინალური არაფერია. უფრო მეტიც, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომლის გამოთვლა მარტივია, თუ გახსოვთ მნიშვნელოვანი წესი:
ეს ფორმულა შეიძლება ჩაითვალოს როგორც განმარტება, ასევე მისი ერთ-ერთი თვისება. ნებისმიერ შემთხვევაში, თუ თქვენ გარდაქმნით ლოგარითმულ განტოლებას, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს ფორმულა ისევე, როგორც ნებისმიერი რიცხვის ჟურნალის წარმოდგენა.
დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩვენ ხელახლა ვწერთ იმის გათვალისწინებით, რომ ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ პირველი წევრი უბრალოდ ტოლი იქნება lg 7-ის. გვაქვს:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
გადავიტანოთ lg 7 მარცხნივ, მივიღებთ:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
ჩვენ გამოვაკლებთ მარცხნივ გამოსახულებებს, რადგან მათ აქვთ იგივე საფუძველი:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს მიერ მიღებულ განტოლებას. ის პრაქტიკულად კანონიკური ფორმაა, მაგრამ მარჯვნივ არის −3 ფაქტორი. მოდით დავამატოთ ის lg-ის სწორ არგუმენტს:
log 8 = log (x + 4) −3
ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ამიტომ გადავკვეთთ lg ნიშნებს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Სულ ეს არის! ჩვენ ამოვხსენით მეორე ლოგარითმული განტოლება. ამ შემთხვევაში დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან თავდაპირველ პრობლემაში x მხოლოდ ერთ არგუმენტში იყო წარმოდგენილი.
ნება მომეცით კიდევ ერთხელ ჩამოვთვალო ამ გაკვეთილის ძირითადი პუნქტები.
მთავარი ფორმულა, რომელიც ისწავლება ამ გვერდზე ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ყველა გაკვეთილზე, არის კანონიკური ფორმა. და არ შეგაშინოთ ის ფაქტი, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობა გასწავლით ასეთი პრობლემების სხვაგვარად გადაჭრას. ეს ინსტრუმენტი მუშაობს ძალიან ეფექტურად და საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ უფრო ფართო კლასის პრობლემები, ვიდრე უმარტივესი, რაც ჩვენ შევისწავლეთ ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში.
გარდა ამისა, ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად სასარგებლო იქნება ძირითადი თვისებების ცოდნა. კერძოდ:
- ერთ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც აბრუნებს ჟურნალს (ეს ძალიან გამოგვადგება პირველ პრობლემაში);
- ფორმულა ლოგარითმის ნიშნიდან ძალების დამატებისა და გამოკლების. აქ ბევრი სტუდენტი იჭედება და ვერ ხედავს, რომ ამოღებული და შემოღებული ხარისხი შეიძლება შეიცავდეს ჟურნალს f (x). ამაში ცუდი არაფერია. ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ერთი ლოგი მეორის ნიშნის მიხედვით და ამავდროულად მნიშვნელოვნად გავამარტივოთ პრობლემის გადაწყვეტა, რასაც ვაკვირდებით მეორე შემთხვევაში.
დასასრულს, მინდა დავამატო, რომ არ არის აუცილებელი თითოეულ ამ შემთხვევაში განსაზღვრების დომენის შემოწმება, რადგან ყველგან ცვლადი x წარმოდგენილია მხოლოდ ერთი ლოგის ნიშანში და ამავე დროს არის მის არგუმენტში. შედეგად, მოცულობის ყველა მოთხოვნა ავტომატურად სრულდება.
ცვლადი ბაზის პრობლემები
დღეს ჩვენ განვიხილავთ ლოგარითმულ განტოლებებს, რომლებიც ბევრი სტუდენტისთვის არასტანდარტულად გამოიყურება, თუ არა მთლიანად გადაუჭრელი. საუბარია არა რიცხვებზე, არამედ ცვლადებზე და ლუწი ფუნქციებზე დაფუძნებულ გამონათქვამებზე. ჩვენ მოვაგვარებთ ასეთ კონსტრუქციებს ჩვენი სტანდარტული ტექნიკის გამოყენებით, კერძოდ კანონიკური ფორმის საშუალებით.
პირველ რიგში, გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი ამოცანები, ჩვეულებრივ რიცხვებზე დაყრდნობით. ასე რომ, უმარტივესი კონსტრუქცია ე.წ
log a f (x) = b
ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
b = log a a b
ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს თავდაპირველ გამონათქვამს და ვიღებთ:
log a f (x) = log a a b
შემდეგ ვაიგივებთ არგუმენტებს, ანუ ვწერთ:
f (x) = a b
ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ჟურნალის ნიშანს და მოვაგვარებთ ჩვეულებრივ პრობლემას. ამ შემთხვევაში ამონახსნიდან მიღებული ფესვები იქნება თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების ფესვები. გარდა ამისა, ჩანაწერს, როდესაც მარცხენა და მარჯვენა ერთსა და იმავე ლოგარითმშია ერთი და იგივე ფუძით, ზუსტად კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ ასეთ რეკორდს შევეცდებით დღევანდელი დიზაინის შემცირებას. მაშ, წავიდეთ.
პირველი დავალება:
ჟურნალი x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
ჩაანაცვლეთ 1 ჟურნალით x − 2 (x − 2) 1 . ხარისხი, რომელსაც ჩვენ ვაკვირდებით არგუმენტში, არის რიცხვი b, რომელიც იდგა ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ. ამდენად, გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა. ჩვენ ვიღებთ:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
რას ვხედავთ? ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავაიგივოთ არგუმენტები. ჩვენ ვიღებთ:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
მაგრამ გამოსავალი ამით არ მთავრდება, რადგან ეს განტოლება არ არის ორიგინალის ექვივალენტური. ყოველივე ამის შემდეგ, შედეგად მიღებული კონსტრუქცია შედგება ფუნქციებისგან, რომლებიც განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე და ჩვენი თავდაპირველი ლოგარითმები არ არის განსაზღვრული ყველგან და არა ყოველთვის.
ამიტომ, ჩვენ ცალკე უნდა ჩავწეროთ განმარტების დომენი. მოდით, თმა არ გავიყოთ და ჯერ ჩამოვწეროთ ყველა მოთხოვნა:
პირველი, თითოეული ლოგარითმის არგუმენტი უნდა იყოს 0-ზე მეტი:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
მეორეც, ბაზა უნდა იყოს არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განსხვავებული 1-ისგან:
x − 2 ≠ 1
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:
მაგრამ არ ინერვიულოთ: ლოგარითმული განტოლებების დამუშავებისას, ასეთი სისტემა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს.
თავად განსაჯეთ: ერთი მხრივ, ჩვენგან მოეთხოვებათ, რომ კვადრატული ფუნქცია იყოს ნულზე მეტი, ხოლო მეორე მხრივ, ეს კვადრატული ფუნქცია უტოლდება გარკვეულ წრფივ გამოსახულებას, რომელიც ასევე საჭიროა, რომ ის იყოს ნულზე მეტი.
ამ შემთხვევაში, თუ მოვითხოვთ, რომ x − 2 > 0, მაშინ მოთხოვნა 2x 2 − 13x + 18 > 0 ავტომატურად დაკმაყოფილდება. შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გადავკვეთოთ უტოლობა, რომელიც შეიცავს კვადრატული ფუნქცია. ამრიგად, ჩვენს სისტემაში შემავალი გამონათქვამების რაოდენობა სამამდე შემცირდება.
რა თქმა უნდა, იგივე წარმატებით შეგვიძლია გადავკვეთოთ წრფივი უტოლობა, ანუ გადავკვეთოთ x − 2 > 0 და მოვითხოვოთ, რომ 2x 2 − 13x + 18 > 0. მაგრამ დამეთანხმებით, რომ უმარტივესი წრფივი უტოლობის ამოხსნა ბევრად უფრო სწრაფია. და უფრო მარტივი, ვიდრე კვადრატული, თუნდაც იმ პირობით, რომ მთელი ამ სისტემის ამოხსნის შედეგად მივიღებთ იგივე ფესვებს.
ზოგადად, შეეცადეთ გათვლების ოპტიმიზაცია შეძლებისდაგვარად. ხოლო ლოგარითმული განტოლებების შემთხვევაში გადაკვეთეთ ურთულესი უტოლობა.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი სისტემა:
აქ არის სამი გამონათქვამის სისტემა, რომელთაგან ორი ჩვენ, ფაქტობრივად, უკვე განვიხილეთ. ცალკე დავწეროთ კვადრატული განტოლებადა მოვაგვაროთ:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
ჩვენს წინაშე არის შემცირებული კვადრატული ტრინომიალი და, შესაბამისად, შეგვიძლია ვიეტას ფორმულების გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს სისტემას და აღმოვაჩენთ, რომ x = 2 არ გვერგება, რადგან ჩვენ გვჭირდება, რომ x იყოს მკაცრად 2-ზე მეტი.
მაგრამ x = 5 მშვენივრად გვერგება: რიცხვი 5 მეტია 2-ზე და ამავე დროს 5 არ არის 3-ის ტოლი. ამიტომ, ამ სისტემის ერთადერთი გამოსავალი იქნება x = 5.
ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია, მათ შორის ODZ-ის გათვალისწინებით. გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე. უფრო საინტერესო და ინფორმაციული გამოთვლები გველოდება აქ:
პირველი ნაბიჯი: წინა ჯერის მსგავსად, მთელი ეს საკითხი კანონიკურ ფორმამდე მივყავართ. ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ რიცხვი 9 შემდეგნაირად:
თქვენ არ უნდა შეეხოთ ფუძეს ფესვთან, მაგრამ უმჯობესია არგუმენტის გარდაქმნა. მოდით გადავიდეთ ძირიდან ძალაზე რაციონალური მაჩვენებლით. მოდით დავწეროთ:
ნება მომეცით არ გადავწერო მთელი ჩვენი დიდი ლოგარითმული განტოლება, მაგრამ დაუყოვნებლივ გავაიგივოთ არგუმენტები:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
ჩვენს წინაშე არის ახლად შემცირებული კვადრატული ტრინომიალი, გამოვიყენოთ ვიეტას ფორმულები და დავწეროთ:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფესვები, მაგრამ არავინ გვაძლევს გარანტიას, რომ ისინი მოერგება თავდაპირველ ლოგარითმულ განტოლებას. ბოლოს და ბოლოს, ჟურნალის ნიშნები აწესებს დამატებით შეზღუდვებს (აქ უნდა ჩამოგვეწერა სისტემა, მაგრამ მთელი სტრუქტურის შრომატევადი ხასიათის გამო გადავწყვიტე ცალკე გამოვთვალო განმარტების დომენი).
პირველ რიგში, გახსოვდეთ, რომ არგუმენტები უნდა იყოს 0-ზე მეტი, კერძოდ:
ეს არის მოთხოვნები, რომლებიც აწესებს განმარტების ფარგლებს.
დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ვინაიდან სისტემის პირველ ორ გამონათქვამს ერთმანეთს ვაიგივებთ, შეგვიძლია რომელიმე მათგანის გადაკვეთა. მოდი გადავკვეთოთ პირველი, რადგან ის უფრო საშიში ჩანს, ვიდრე მეორე.
გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ მეორე და მესამე უტოლობების ამონახსნი იქნება იგივე სიმრავლე (ზოგიერთი რიცხვის კუბი ნულზე მეტია, თუ ეს რიცხვი თავად არის ნულზე მეტი; ანალოგიურად, მესამე ხარისხის ფესვით - ეს უტოლობა სრულიად ანალოგიურია, ამიტომ შეგვიძლია გადავკვეთოთ).
მაგრამ მესამე უთანასწორობით ეს არ იმუშავებს. მოვიშოროთ მარცხნივ რადიკალური ნიშანი ორივე ნაწილის კუბამდე აწევით. ჩვენ ვიღებთ:
ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მოთხოვნებს:
− 2 ≠ x > −3
რომელი ჩვენი ფესვები: x 1 = −3 ან x 2 = −1 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს? ცხადია, მხოლოდ x = −1, რადგან x = −3 არ აკმაყოფილებს პირველ უტოლობას (რადგან ჩვენი უტოლობა მკაცრია). ასე რომ, ჩვენს პრობლემას დავუბრუნდეთ, მივიღებთ ერთ ფესვს: x = −1. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.
კიდევ ერთხელ, ამ ამოცანის ძირითადი პუნქტები:
- მოგერიდებათ გამოიყენოთ და ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები კანონიკური ფორმის გამოყენებით. სტუდენტები, რომლებიც აკეთებენ ასეთ აღნიშვნას, ნაცვლად იმისა, რომ პირდაპირ გადავიდნენ ორიგინალური ამოცანიდან კონსტრუქციაზე, როგორიცაა log a f (x) = b, უშვებენ ბევრად ნაკლებ შეცდომებს, ვიდრე ისინი, ვინც სადღაც ჩქარობენ, გამოტოვებენ გამოთვლების შუალედურ საფეხურებს;
- როგორც კი ცვლადი ბაზა გამოჩნდება ლოგარითმში, პრობლემა წყვეტს უმარტივესს. ამიტომ მისი ამოხსნისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ განმარტების დომენი: არგუმენტები უნდა იყოს ნულზე მეტი, ხოლო ფუძეები არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ 1-ის ტოლიც არ უნდა იყოს.
საბოლოო მოთხოვნები შეიძლება გამოყენებულ იქნას საბოლოო პასუხებზე სხვადასხვა გზით. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ მთელი სისტემა, რომელიც შეიცავს ყველა მოთხოვნას განმარტების დომენისთვის. მეორეს მხრივ, თქვენ შეგიძლიათ ჯერ თავად მოაგვაროთ პრობლემა, შემდეგ კი დაიმახსოვროთ განმარტების დომენი, ცალკე დაამუშავოთ იგი სისტემის სახით და გამოიყენოთ იგი მიღებულ ფესვებზე.
რომელი მეთოდი აირჩიოთ კონკრეტული ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას თქვენზეა დამოკიდებული. ნებისმიერ შემთხვევაში, პასუხი იგივე იქნება.
Ჩატვირთვა...