Trigonometrijoje daug formulių lengviau išskaityti nei įsiminti. Dvigubo kampo kosinusas yra nuostabi formulė! Tai leidžia jums gauti redukcijos formules ir pusės kampo formules.
Taigi, mums reikia dvigubo kampo kosinuso ir trigonometrinio vieneto:
Jie netgi panašūs: dvigubo kampo kosinuso formulėje - skirtumas tarp kosinuso ir sinuso kvadratų, o trigonometriniame vienete - jų suma. Jei kosinusą išreiškiame iš trigonometrinio vieneto:
ir pakeiskite jį į dvigubo kampo kosinusą, gauname:
Tai dar viena dvigubo kampo kosinuso formulė:
Ši formulė yra raktas į mažinimo formulę:
Taigi, sinuso laipsnio mažinimo formulė yra tokia:
Jei jame kampas alfa pakeičiamas pusiau kampu alfa per pusę, o dvigubas kampas du alfa pakeičiamas kampu alfa, tada gauname sinuso pusės kampo formulę:
Dabar iš trigonometrinio vieneto išreiškiame sinusą:
Pakeiskite šią išraišką dvigubo kampo kosinuso formule:
Gavome dar vieną dvigubo kampo kosinuso formulę:
Ši formulė yra raktas ieškant kosinuso redukcijos ir pusės kampo formulės kosinusui.
Taigi kosinuso laipsnio mažinimo formulė yra tokia:
Jei jame α pakeisime α/2, o 2α - α, gausime kosinuso pusės argumento formulę:
Kadangi liestinė yra sinuso ir kosinuso santykis, tangento formulė yra tokia:
Kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis. Taigi kotangento formulė yra tokia:
Žinoma, trigonometrinių išraiškų supaprastinimo procese nėra prasmės kaskart išvesti pusės kampo formules ar mažinti laipsnį. Daug lengviau prieš save padėti formulių lapą. Supaprastinimas vyks greičiau, o vaizdinė atmintis įsijungs.
Bet vis tiek verta šias formules išvesti kelis kartus. Tada būsite visiškai tikri, kad per egzaminą, kai nėra galimybės naudoti cheat sheet, prireikus lengvai juos gausite.
Sinuso reikšmės yra [-1; 1], t.y. -1 ≤ sin α ≤ 1. Todėl jei |a| > 1, tada lygtis sin x = a neturi šaknų. Pavyzdžiui, lygtis sin x = 2 neturi šaknų.
Pereikime prie kai kurių užduočių.
Išspręskite lygtį sin x = 1/2.
Sprendimas.
Atkreipkite dėmesį, kad sin x yra vienetinio apskritimo taško ordinatė, kuri gaunama pasukus tašką Р (1; 0) kampu x aplink pradžios tašką.
Ordinatė, lygi ½, yra dviejuose apskritimo taškuose M 1 ir M 2.
Kadangi 1/2 \u003d sin π / 6, tada taškas M 1 gaunamas iš taško P (1; 0), pasukus per kampą x 1 \u003d π / 6, taip pat per kampus x \u003d π / 6 + 2πk, kur k \u003d +/-1, +/-2, …
Taškas M 2 gaunamas iš taško P (1; 0), pasukus per kampą x 2 = 5π/6, taip pat per kampus x = 5π/6 + 2πk, kur k = +/- 1, +/-2, ... , t.y. kampuose x = π – π/6 + 2πk, kur k = +/-1, +/-2, ….
Taigi visas lygties sin x = 1/2 šaknis galima rasti pagal formules x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, kur k € Z.
Šios formulės gali būti sujungtos į vieną: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kur n € Z (1).
Išties, jei n yra lyginis skaičius, t.y. n = 2k, tai iš (1) formulės gauname х = π/6 + 2πk, o jei n yra nelyginis skaičius, t.y. n = 2k + 1, tada iš (1) formulės gauname х = π – π/6 + 2πk.
Atsakymas. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kur n € Z.
Išspręskite lygtį sin x = -1/2.
Sprendimas.
Ordinatės -1/2 turi du vienetinio apskritimo taškus M 1 ir M 2, kur x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Todėl visas lygties sin x = -1/2 šaknis galima rasti pagal formules x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Šias formules galime sujungti į vieną: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Iš tiesų, jei n = 2k, tai pagal (2) formulę gauname x = -π/6 + 2πk, o jei n = 2k – 1, tai pagal (2) formulę randame x = -5π/6 + 2πk.
Atsakymas. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Taigi kiekviena iš lygčių sin x = 1/2 ir sin x = -1/2 turi begalinį šaknų skaičių.
Atkarpoje -π/2 ≤ x ≤ π/2 kiekviena iš šių lygčių turi tik vieną šaknį:
x 1 \u003d π / 6 - lygties sin x \u003d 1/2 ir x 1 \u003d -π / 6 - lygties sin x šaknis \u003d -1/2.
Skaičius π/6 vadinamas skaičiaus 1/2 arcsinusu ir rašomas: arcsin 1/2 = π/6; skaičius -π/6 vadinamas skaičiaus -1/2 arcsinusu ir jie rašo: arcsin (-1/2) = -π/6.
Apskritai lygtis sin x \u003d a, kur -1 ≤ a ≤ 1, atkarpoje -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 turi tik vieną šaknį. Jei a ≥ 0, tada šaknis yra įtraukta į intervalą; jeigu< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Taigi skaičiaus a arcsinusas € [–1; 1] toks skaičius vadinamas € [–π/2; π/2], kurio sinusas yra a.
arcsin a = α, jei sin α = a ir -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Pavyzdžiui, arcsin √2/2 = π/4, nes sin π/4 = √2/2 ir – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, nes sin (-π/3) = -√3/2 ir – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Panašiai kaip tai buvo daroma sprendžiant 1 ir 2 uždavinius, galima parodyti, kad lygties šaknys sin x = a, kur |a| ≤ 1 išreiškiami formule
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Taip pat galime įrodyti, kad už bet kurį € [-1; 1] formulė arcsin (-a) = -arcsin a galioja.
Iš (4) formulės išplaukia, kad lygties šaknys
sin x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 galima rasti naudojant paprastesnes formules:
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
|BD| - apskritimo, kurio centras yra taške A, lanko ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.
Tangentas ( tgα) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp stačiojo trikampio hipotenuzės ir kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .
Kotangentas ( ctgα) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp stačiojo trikampio hipotenuzės ir kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .
Tangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje liestinė žymima taip:
.
;
;
.
Tangentinės funkcijos grafikas, y = tg x
Kotangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat buvo priimtas toks užrašas:
;
;
.
Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x
Tangento ir kotangento savybės
Periodiškumas
Funkcijos y= tg x ir y= ctg x yra periodiniai su periodu π.
Paritetas
Funkcijos liestinė ir kotangentas yra nelyginės.
Apibrėžimo ir vertybių sritys, kylančios, mažėjančios
Funkcijos tangentas ir kotangentas yra ištisinės savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- sveikasis skaičius).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Taikymo sritis ir tęstinumas | ||
| Vertybių diapazonas | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Kylantis | - | |
| Mažėjantis | - | |
| Kraštutinumai | - | - |
| Nuliai, y= 0 | ||
| Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0 | y= 0 | - |
Formulės
Išraiškos sinuso ir kosinuso terminais
;
;
;
;
;
Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės
Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti
Tangentų sandauga
Tangentų sumos ir skirtumo formulė
Šioje lentelėje parodytos kai kurių argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės. 
Išraiškos kompleksiniais skaičiais
Išraiškos pagal hiperbolines funkcijas
;
;
Dariniai
; .
.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > formulių išvedimas ; kotangentui >>>
Integralai
Išplėtimas į serijas
Norėdami gauti x laipsnių liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi laipsnių eilutėje nuodėmė x ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni į kitus , . Dėl to gaunamos tokios formulės.
Prie .
adresu .
kur B n- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
kur .
Arba pagal Laplaso formulę: 
Atvirkštinės funkcijos
Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arctangentas ir arkotangentas.
Arktangentas, arktg
, kur n- visas.
Lanko liestinė, arcctg
, kur n- visas.
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas tyrėjams ir inžinieriams, 2012 m.
Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės
Kampo alfa sinuso dalijimosi iš to paties kampo kosinuso koeficientas yra lygus šio kampo tangentei (1 formulė). Taip pat žiūrėkite paprasčiausių trigonometrinių tapatybių transformacijos teisingumo įrodymą.
Kampo alfa kosinuso dalijimosi iš to paties kampo sinuso koeficientas yra lygus to paties kampo kotangentui (2 formulė)
Kampo sekantas yra lygus vienam, padalytam iš to paties kampo kosinuso (3 formulė)
To paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi vienetui (4 formulė). taip pat žr. kosinuso ir sinuso kvadratų sumos įrodymą.
Vieneto ir kampo liestinės suma lygi vieneto ir šio kampo kosinuso kvadrato santykiui (5 formulė)
Vienetas ir kampo kotangentas yra lygus vieneto dalijimosi iš šio kampo sinuso kvadrato koeficientui (6 formulė)
To paties kampo liestinės ir kotangento sandauga lygi vienetui (7 formulė).
Trigonometrinių funkcijų neigiamų kampų konvertavimas (lyginis ir nelyginis)
Norėdami atsikratyti neigiamos kampo laipsnio matavimo reikšmės apskaičiuojant sinusą, kosinusą ar liestinę, galite naudoti šias trigonometrines transformacijas (tapatybes), pagrįstus lyginių arba nelyginių trigonometrinių funkcijų principais.
Kaip matyta, kosinusas o sekantas yra lygi funkcija, sinusas, tangentas ir kotangentas yra nelyginės funkcijos.
Neigiamojo kampo sinusas yra lygus neigiamai to paties teigiamo kampo sinuso vertei (atėmus alfa sinusą).
Kosinusas „minusas alfa“ duos tokią pat reikšmę kaip ir kampo alfa kosinusas.
Tangentas minus alfa yra lygus minus tangentas alfa.
Dvigubo kampo mažinimo formulės (dvigubo kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas)
Jei reikia padalyti kampą per pusę arba atvirkščiai, iš dvigubo kampo pereiti prie vieno, galite naudoti šiuos trigonometrinius tapatumus:
Dvigubo kampo konversija (dvigubo kampo sinusas, dvigubo kampo kosinusas ir dvigubo kampo liestinė) į vieną įvyksta pagal šias taisykles:
Dvigubo kampo sinusas yra lygus vieno kampo sinuso ir kosinuso sandaugai
Dvigubo kampo kosinusas yra lygus skirtumui tarp vieno kampo kosinuso kvadrato ir šio kampo sinuso kvadrato
Dvigubo kampo kosinusas lygus vieno kampo kosinuso kvadratui, atėmus vieną, du kartus
Dvigubo kampo kosinusas lygus vienetui atėmus vieno kampo dvigubo sinuso kvadratą
Dvigubo kampo liestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra du kartus didesnis už vieno kampo liestinę, o vardiklis lygus vienetui, atėmus vieno kampo kvadrato liestinę.
Dvigubo kampo kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra vieno kampo kotangento atėmus vienetą kvadratas, o vardiklis lygus dvigubam vieno kampo kotangentui
Universalios trigonometrinės pakeitimo formulės
Žemiau pateiktos konvertavimo formulės gali būti naudingos, kai reikia padalyti trigonometrinės funkcijos argumentą (sin α, cos α, tg α) iš dviejų ir išraišką padidinti iki pusės kampo vertės. Iš α reikšmės gauname α/2 .Šios formulės vadinamos universalaus trigonometrinio pakeitimo formulės. Jų vertė slypi tame, kad trigonometrinė išraiška jų pagalba sumažinama iki pusės kampo liestinės išraiškos, neatsižvelgiant į tai, kokios trigonometrinės funkcijos (sin cos tg ctg) iš pradžių buvo išraiškoje. Po to lygtį su pusės kampo liestine išspręsti daug lengviau.
Trigonometrinės pusės kampo transformacijos tapatybės
Toliau pateikiamos pusės kampo vertės trigonometrinio konvertavimo į sveikąjį skaičių formulės.Trigonometrinės funkcijos α/2 argumento reikšmė sumažinama iki trigonometrinės funkcijos α argumento reikšmės.
Trigonometrinės formulės kampams pridėti
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Kampų sumos liestinė ir kotangentas alfa ir beta versijas galima konvertuoti pagal šias trigonometrinių funkcijų konvertavimo taisykles:
Kampų sumos liestinė yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra pirmojo ir antrojo kampo liestinės suma, o vardiklis yra vienas atėmus pirmojo kampo liestinės ir antrojo kampo liestinės sandaugą.
Kampų skirtumo liestinė yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis lygus skirtumui tarp sumažinto kampo liestinės ir atimamo kampo liestinės, o vardiklis yra vienas plius šių kampų liestinių sandauga.
Kampų sumos kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis lygus šių kampų kotangentų sandaugai plius vienas, o vardiklis lygus antrojo kampo kotangento ir pirmojo kampo kotangento skirtumui.
Kampų skirtumo kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra šių kampų kotangentų sandauga atėmus vieną, o vardiklis lygus šių kampų kotangentų sumai.
Šiuos trigonometrinius tapatumus patogu naudoti, kai reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, 105 laipsnių liestinę (tg 105). Jei jis pavaizduotas kaip tg (45 + 60), tuomet galite naudoti pateiktas identiškas kampų sumos liestinės transformacijas, po kurių tiesiog pakeiskite 45 liestinės ir liestinės lentelės reikšmes. 60 laipsnių.
Trigonometrinių funkcijų sumos arba skirtumo konvertavimo formulės
Išraiškos, vaizduojančios formos sin α + sin β sumą, gali būti konvertuojamos naudojant šias formules:
Trigubos kampo formulės – sin3α cos3α tg3α konvertuokite į sinα cosα tgα
Kartais reikia paversti trigubą kampo reikšmę, kad kampas α taptų trigonometrinės funkcijos argumentu, o ne 3α.Šiuo atveju trigubo kampo transformavimui galite naudoti formules (tapatybes):
Trigonometrinių funkcijų sandaugos transformavimo formulės
Jei reikia konvertuoti skirtingų kampų skirtingų kampų sinusų sandaugą arba net sinuso ir kosinuso sandaugą, galite naudoti šiuos trigonometrinius tapatumus:
Šiuo atveju skirtingų kampų sinuso, kosinuso arba liestinės funkcijų sandauga bus paversta suma arba skirtumu.
Trigonometrinių funkcijų mažinimo formulės
Liejimo lentelę turite naudoti taip. Eilutėje pasirinkite mus dominančią funkciją. Stulpelis yra kampas. Pavyzdžiui, kampo sinusas (α+90) pirmosios eilutės ir pirmo stulpelio sankirtoje, sužinome, kad sin (α+90) = cos α .
Įkeliama...