Kaip rasti kvadratinės funkcijos parabolės viršūnės koordinates. Parabolė – kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Formos kur funkcija yra vadinama kvadratinė funkcija.

Kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė.

Panagrinėkime atvejus:

I CASE, KLASIKINĖ PARABOLĖ

Tai yra , ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėkite taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. koordinačių plokštumoje (kuo mažesniu žingsniu darome x reikšmes (in tokiu atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x reikšmių imsime, tuo sklandesnė kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad jei paimtume atvejį , , , tai yra, gautume parabolę, kuri yra simetriška ašiai (oh). Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, „a“ SKIRIASI NUO VIENETAS

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgsena? Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, esant toms pačioms reikšmėms, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai mąstome ir 2 ir 3 paveikslėlių atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“ už parabolę:

Apibendrinkime:

1)Koeficiento ženklas lemia šakų kryptį. Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliučioji vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“ ir „suspaudimą“. Kuo didesnė , tuo siauresnė parabolė; kuo mažesnė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS, ATSIRODA „C“.

Dabar įveskime į žaidimą (tai yra, apsvarstykime atvejį, kai), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė pasislinks aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATSIRODA „b“.

Kada parabolė „atitrūks“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kada nustos būti lygus?

Čia reikia sukurti parabolę viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šioje vietoje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0;0)) pastatysime parabolę, kurią jau galime padaryti. Jei nagrinėjame atvejį, tai nuo viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, vieną į viršų, - gautas taškas yra mūsų (panašiai žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tai iš viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, du – į viršų ir t.t.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės modelį, nes mūsų atveju.

Statant parabolę suradus viršūnės koordinates labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė tikrai praeis per tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė yra . Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta ordinatę taške , nes .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome jį simetriškai parabolės simetrijos ašies atžvilgiu, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (oh). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Ankstesniame pavyzdyje mūsų diskriminanto šaknis nėra sveikasis skaičius; konstruojant mums nėra prasmės rasti šaknis, tačiau aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su ašimi (oh) (nuo title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi išsiaiškinkime

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 – aukštyn, a<0 – вниз)

2) parabolės viršūnės koordinates randame naudodami formulę , .

3) randame parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) naudodami laisvąjį terminą, sukonstruokite šiam taškui simetrišką tašką parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (reikia pastebėti, kad pasitaiko, kad žymėti neapsimoka Pavyzdžiui, šis taškas, nes vertė yra didelė... šį tašką praleidžiame...)

4) Rastame taške - parabolės viršūnėje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0;0)) konstruojame parabolę. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus randame (jei jie dar „nepavirtę“) išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes jau gavome viršūnės koordinates. Kodėl?

Paimkime kvadratinį trinarį ir išskirkime jame visą kvadratą: Žiūrėkite, mes gavome, kad , . Jūs ir aš anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra, dabar.

Pavyzdžiui, . Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykiškai). Tai yra, atliekame 1 punktus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

Užrašas 2. Jei parabolė pateikiama panašia į šią forma (ty pateikiama kaip dviejų tiesinių veiksnių sandauga), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su ašimi (jautis). Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusioje dalyje mes veikiame pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

Tikriausiai visi žino, kas yra parabolė. Tačiau toliau pažiūrėsime, kaip teisingai ir kompetentingai jį naudoti sprendžiant įvairias praktines problemas.

Pirmiausia apibūdinkime pagrindines sąvokas, kurias algebra ir geometrija suteikia šiam terminui. Apsvarstykime viską galimi tipaišią diagramą.

Išsiaiškinkime visas pagrindines šios funkcijos savybes. Supraskime kreivės konstravimo (geometrijos) pagrindus. Sužinokime, kaip rasti šio tipo grafiko aukščiausias ir kitas pagrindines reikšmes.

Išsiaiškinkime: kaip teisingai sukonstruoti norimą kreivę naudojant lygtį, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažiūrėkime pagrindus praktinis naudojimasši unikali vertybė žmogaus gyvenime.

Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo?

Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.

Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:

Kanoninė parabolės lygtis

Paveiksle pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema (XOY), ekstremumas, funkcijos šakų kryptis, brėžiama išilgai abscisių ašies.

Kanoninė lygtis yra tokia:

y 2 = 2 * p * x,

kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.

Algebroje jis bus parašytas kitaip:

y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).

Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos abscisių ašies reikšmės.

Funkcijos reikšmių diapazonas – (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.

Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos

Norėdami iš išraiškos rasti tokio tipo kreivės kryptį, turite nustatyti ženklą prieš pirmąjį algebrinės išraiškos parametrą. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti į viršų. Jei yra atvirkščiai, žemyn.

Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę

Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetiniai skaičiuotuvai, bet geriau tai padaryti patiems.

Kaip tai nustatyti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.

Formulės viršūnei rasti:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Pavyzdys.

Yra funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.

Tokiai eilutei:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).

Parabolės poslinkis

Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai lygūs 0, o = 1 – viršūnė yra taške (0; 0).

Judėjimą išilgai abscisių arba ordinačių ašių lemia atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimai. Linija plokštumoje bus paslinkta tiksliai tiek vienetų, kiek parametro vertė.

Pavyzdys.

Turime: b = 2, c = 3.

Tai reiškia kad klasikinis vaizdas kreivė pasislinks 2 vienetais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.

Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę naudojant nurodytus parametrus.

Analizuodami išraiškas ir lygtis, galite pamatyti šiuos dalykus:

Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę, lygią c.
Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.

Be to, susikirtimo taškus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):

D = (b 2 - 4 * a * c).

Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.

Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:

D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.

Gauname parabolės konstravimo algoritmą:

nustatyti šakų kryptį;
rasti viršūnės koordinates;
rasti sankirtą su ordinačių ašimi;
raskite sankirtą su x ašimi.

1 pavyzdys.

Duota funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukonstruoti parabolę. Mes laikomės algoritmo:

a = 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
kertasi su ordinačių ašimi reikšme y = 4;
raskime diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
Ieškau šaknų:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

2 pavyzdys.

Funkcijai y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal pateiktą algoritmą:

a = 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
susikirs su y ašimi reikšme y = -1;
Raskime diskriminantą: D = 4 + 12 = 16. Taigi šaknys yra:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Naudodami gautus taškus galite sukonstruoti parabolę.

Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys

Remiantis kanonine lygtimi, F židinys turi koordinates (p/2, 0).

Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jo lygtis yra x = -p/2.

Ekscentriškumas (pastovi) = 1.

Išvada

Apžvelgėme temą, kuria mokosi moksleiviai vidurinė mokykla. Dabar žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, į kurią pusę bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.

Kvadratinės funkcijos grafikas vadinamas parabole. Ši linija turi didelę fizinę reikšmę. Kai kurie juda palei paraboles dangaus kūnai. Parabolės formos antena fokusuoja spindulius, einančius lygiagrečiai parabolės simetrijos ašiai. Kampu aukštyn mesti kūnai pasiekia viršutinis taškas ir nukristi, taip pat apibūdinant parabolę. Matyt, visada pravartu žinoti šio judėjimo viršūnės koordinates.

Instrukcijos

1. Kvadratinė funkcija visame kame bendras vaizdas parašyta lygtimi: y = kirvis? + bx + c. Šios lygties grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn (jeigu a > 0) arba žemyn (jei a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в kvadratinė lygtis, gauti y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Žmonės, susipažinę su išvestiniu vaizdavimu, gali lengvai pastebėti parabolės viršūnę. Nepriklausomai nuo parabolės šakų vietos, jos viršus yra ekstremumo taškas (minimalus, jei šakos nukreiptos į viršų, arba didžiausias, kai šakos nukreiptos žemyn). Norint rasti bet kurios funkcijos tariamus kraštutinius taškus, reikia apskaičiuoti pirmąją jos išvestinę ir prilyginti ją nuliui. Apskritai kvadratinės funkcijos išvestinė yra lygi f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Prilyginus nuliui, gauname 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Parabolė yra simetriška linija. Simetrijos ašis eina per parabolės viršūnę. Žinodami parabolės susikirtimo taškus su X koordinačių ašimi, galite lengvai rasti viršūnės x0 abscisę. Tegul x1 ir x2 yra parabolės šaknys (vadinamieji parabolės susikirtimo taškai su abscisių ašimi, nes šios reikšmės kvadratinę lygtį ax? + bx + c paverčia nuliu). Tuo pat metu tegul |x2| > |x1|, tada parabolės viršūnė yra viduryje tarp jų ir ją galima rasti iš tolesnės išraiškos: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Parabolė yra kvadratinės funkcijos grafikas, paprastai parabolės lygtis rašoma y=aх^2+bх+с, kur a?0. Tai universali antrosios eilės kreivė, apibūdinanti daugybę gyvenimo reiškinių, tarkime, mesto ir krentančio kūno judėjimą, vaivorykštės formą, taigi ir žinias aptikti. parabolė Tai gali praversti realiame gyvenime.

Jums reikės

– kvadratinės lygties formulė;
– popieriaus lapas su koordinačių tinkleliu;
– pieštukas, trintukas;
– kompiuteris ir Excel programa.

Instrukcijos

1. Pirmiausia suraskite parabolės viršūnę. Norėdami rasti šio taško abscisę, paimkite eksponentą prieš x, padalykite jį iš dvigubo laipsnio prieš x^2 ir padauginkite iš -1 (formulė x=-b/2a). Raskite ordinates pakeisdami gautą reikšmę į lygtį arba naudodami formulę y=(b^2-4ac)/4a. Gavote parabolės viršūnės taško koordinates.

2. Parabolės viršūnė taip pat gali būti aptikta naudojant kitą metodą. Kadangi viršūnė yra funkcijos ekstremumas, norėdami ją apskaičiuoti, apskaičiuokite pirmąją išvestinę ir prilyginkite ją nuliui. Bendrąja forma gausite formulę f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Ir prilyginę jį nuliui, prieite prie tos pačios formulės - x = -b/2a.

3. Sužinokite, ar parabolės šakos nukreiptos aukštyn ar žemyn. Norėdami tai padaryti, pažiūrėkite į indikatorių priešais x^2, ty a. Jei a>0, tai šakos nukreiptos į viršų, jei a

4. Sukurkite parabolės simetrijos ašį; ji kerta parabolės viršūnę ir yra lygiagreti y ašiai. Visi parabolės taškai bus vienodu atstumu nuo jos, todėl galima sukonstruoti tik vieną dalį, o vėliau ją simetriškai atvaizduoti parabolės ašies atžvilgiu.

5. Nubrėžkite parabolės liniją. Norėdami tai padaryti, pakeiskite kelis taškus skirtingos reikšmės x į lygtis ir spręsdami lygybę. Patogu aptikti susikirtimą su ašimis, kad tai padarytumėte, lygybėje pakeiskite x=0 ir y=0. Pakeldami vieną pusę, atspindėkite ją simetriškai apie ašį.

6. Leidžiama statyti parabolė su pagalba Excel programas. Norėdami tai padaryti, atidarykite naują dokumentą ir jame pasirinkite du stulpelius: x ir y=f(x). Pirmajame stulpelyje užrašykite pasirinkto segmento x reikšmes, o antrame stulpelyje užrašykite formulę, tarkime, =2B3*B3-4B3+1 arba =2B3^2-4B3+1. Kad šios formulės nerašytumėte kiekvieną kartą, „ištempkite“ ją prie kiekvieno stulpelio, spustelėdami mažą kryželį apatiniame dešiniajame kampe ir vilkdami žemyn.

7. Kai turėsite lentelę, spustelėkite meniu „Įterpti“ – „Diagrama“. Pasirinkite sklaidos diagramą, spustelėkite Pirmyn. Atsidariusiame lange pridėkite eilutę spustelėdami mygtuką „Pridėti“. Norėdami pasirinkti reikiamus langelius, po vieną spustelėkite toliau esančius raudonai ovalo formos mygtukus, tada pasirinkite stulpelius su reikšmėmis. Paspaudę mygtuką „Atlikta“, įvertinkite rezultatą – baigta parabolė .

Video tema

Ieškant kvadratinės funkcijos, kurios grafikas yra parabolė, viename iš taškų reikia rasti koordinates viršūnės parabolės. Kaip tai padaryti analitiškai naudojant parabolei pateiktą lygtį?

Instrukcijos

1. Kvadratinė funkcija yra y=ax^2+bx+c formos funkcija, kur a yra pirmaujantis rodiklis (jis turi būti griežtai ne nulis), b yra mažiausias rodiklis, c yra laisvasis narys. Ši funkcija suteikia savo grafikui parabolę, kurios šakos nukreiptos aukštyn (jei a>0) arba žemyn (jei<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Raskime koordinatę x0 viršūnės parabolės. Jis randamas pagal formulęx0=-b/a.

3. y0=y(x0).Norėdami aptikti koordinatę y0 viršūnės parabolės, aptiktą reikšmę x0 reikia pakeisti į funkciją vietoj x. Apskaičiuokite, kam lygus y0.

4. Koordinatės viršūnės buvo atrastos parabolės. Užrašykite jas kaip vieno taško koordinates (x0,y0).

5. Statydami parabolę atminkite, kad ji yra simetriška parabolės simetrijos ašiai, kuri vertikaliai eina per parabolės viršūnę, nes kvadratinė funkcija yra lygi. Vadinasi, iš taškų pakanka sukonstruoti tik vieną parabolės atšaką, o kitą užbaigti simetriškai.

Video tema

Funkcijoms (tiksliau jų grafikams) naudojamas didžiausios reikšmės atvaizdavimas, įskaitant vietinį maksimumą. „Viršūnės“ idėja labiau siejama su geometrinėmis formomis. Maksimalus lygiųjų funkcijų (turinčių išvestinę) taškus lengva nustatyti naudojant pirmosios išvestinės nulius.

Instrukcijos

1. Taškuose, kuriuose funkcija nediferencijuojama, o pastovi, didžiausia intervalo reikšmė gali būti galo formos (pavyzdžiui, y=-|x|). Tokiais taškais į grafiką funkcijas galima nubrėžti tiek liestinių, kiek norima, o išvestinė jai nelengva egzistuoja. Sami funkcijasšio tipo paprastai nurodomi segmentuose. Taškai, kuriuose išvestinė funkcijas lygūs nuliui arba neegzistuoja vadinami skeptiškais.

2. Pasirodo, kad rasti maksimalius balus funkcijas y=f(x) būtina: - aptikti skeptiškus taškus; - norint pasirinkti maksimalų tašką, būtina aptikti išvestinės ženklą šalia skeptiškojo taško. Jei pravažiuojant tašką ženklas keičiasi nuo „+“ iki „-“, tada atsiranda maksimumas.

3. Pavyzdys. Raskite didžiausias vertes funkcijas(žr. 1 pav.).y=x+3 x?-1 ir y=((x^2)^(1/3)) –x, kai x>-1.

4. Rheaning. y=x+3, kai x?-1, ir y=((x^2)^(1/3)) –x, jei x>-1. Funkcija segmentuose nurodoma sąmoningai, nes tokiu atveju tikslas yra viską atvaizduoti viename pavyzdyje. Nesunku patikrinti, ar esant x=-1 funkcija išlieka pastovi. y'=1, kai x?-1 ir y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)), kai x>-1. y'=0, kai x=8/27. y' neegzistuoja, kai x=-1 ir x= 0. Šiuo atveju y'>0, jei x

Video tema

Parabolė yra viena iš antros eilės kreivių, jos taškai pakelti pagal kvadratinę lygtį. Pagrindinis dalykas kuriant šį įstrižą yra aptikti viršuje parabolės. Tai galima padaryti keliais būdais.

Instrukcijos

1. Norėdami rasti viršūnės koordinates parabolės, naudokite šią formulę: x = -b/2a, kur a yra rodiklis prieš x kvadratą, o b yra rodiklis prieš x. Įjunkite savo vertes ir apskaičiuokite jų vertę. Po to lygtyje pakeiskite gautą reikšmę x ir apskaičiuokite viršūnės ordinates. Tarkime, jei jums duota lygtis y=2x^2-4x+5, tada abscisę raskite tokiu būdu: x=-(-4)/2*2=1. Lygtyje pakeitę x=1, apskaičiuokite viršūnės y reikšmę parabolės: y=2*1^2-4*1+5=3. Taigi viršus parabolės turi koordinates (1;3).

2. Ordinatės reikšmė parabolės galima aptikti iš anksto neapskaičiavus abscisės. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę y=-b^2/4ac+c.

3. Jei esate susipažinę su išvestiniu vaizdavimu, atraskite viršuje parabolės naudojant išvestines, pasinaudojant tolimesne kiekvienos funkcijos savybe: pirmoji funkcijos išvestinė, lygi nuliui, nurodo ekstremumo taškus. Kadangi viršuje parabolės, nepriklausomai nuo to, ar jo šakos nukreiptos aukštyn ar žemyn, yra ekstremumo taškas, apskaičiuokite savo funkcijos išvestinę. Bendra forma atrodys taip f(x)=2ax+b. Prilyginkite jį nuliui ir gaukite viršūnės koordinates parabolės, atitinkantis jūsų funkciją.

4. Pabandykite atrasti viršuje parabolės, pasinaudojant tokia savybe kaip simetrija. Norėdami tai padaryti, suraskite susikirtimo taškus parabolės su x ašimi, prilyginant funkciją nuliui (pakeičiant y = 0). Kai išspręsite kvadratinę lygtį, rasite x1 ir x2. Kadangi parabolė yra simetriška einančios krypties atžvilgiu viršuje, šie taškai bus vienodu atstumu nuo viršūnės abscisių. Norėdami jį aptikti, atstumą tarp taškų padaliname per pusę: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Jei kuris nors iš eksponentų yra nulis (be a), apskaičiuokite viršūnės koordinates parabolės naudojant supaprastintas formules. Tarkime, jei b = 0, tai yra, lygtis turi formą y = ax^2 + c, tai viršūnė bus oy ašyje ir jos koordinatės bus lygios (0; c). Jei ne tik rodiklis b=0, bet ir c=0, tai viršūnė parabolės yra pradiniame taške (0;0).

Video tema

Pradedant nuo vieno taško, tiesios linijos sudaro kampą, kur jų bendras taškas yra viršūnė. Teorinės algebros skyriuje dažnai kyla problemų, kai reikia rasti šio koordinates viršūnės, kad vėliau būtų nustatyta tiesės, einančios per viršūnę, lygtis.

Instrukcijos

1. Prieš pradėdami koordinačių paieškos procesą viršūnės, nuspręskite dėl pradinių duomenų. Priimti, kad norima viršūnė priklauso trikampiui ABC, kuriame žinomos kitų 2 viršūnių koordinatės, taip pat skaitines reikšmes kampus, lygus „e“ ir „k“ pusėje AB.

2. Sujungti nauja sistema koordinates vienoje iš trikampio AB kraštinių taip, kad koordinačių sistemos įžanga sutaptų su tašku A, kurio koordinatės jums žinomos. Antroji viršūnė B bus ant OX ašies, o jos koordinatės taip pat jums žinomos. Pagal koordinates nustatykite kraštinės AB ilgį išilgai OX ašies ir paimkite jį lygų "m".

3. Nuleiskite statmeną nuo nepažįstamų viršūnės C atitinkamai į OX ašį ir į trikampio AB kraštinę. Gautas aukštis „y“ nustato vienos iš koordinačių reikšmę viršūnės C išilgai OY ašies. Tarkime, kad aukštis „y“ padalija kraštinę AB į dvi atkarpas, lygias „x“ ir „m – x“.

4. Nes tu žinai visų reikšmes kampus trikampis, o tai reiškia, kad jų liestinių reikšmės taip pat žinomos. Paimkite liestinės vertes kampus, greta trikampio AB kraštinės, lygi tan(e) ir tan(k).

5. Įveskite 2 eilučių, einančių atitinkamai išilgai AC ir BC, lygtis: y = tan(e) * x ir y = tan(k) * (m – x). Tada raskite šių tiesių sankirtą taikydami transformuotas tiesių lygtis: tan(e) = y/x ir tan(k) = y/(m – x).

6. Jei darysite prielaidą, kad tan(e)/tan(k) yra lygus (y/x) /(y/ (m – x)) arba vėliau sutrumpinsite „y“ – (m – x) / x, gausite norimos reikšmės koordinatės, lygios x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ir y = x * tan(e).

7. Pakaitinės vertės kampus(e) ir (k), taip pat aptikta kraštinės AB = m reikšmė į lygtis x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ir y = x * tan(e) ).

8. Konvertuokite naują koordinačių sistemą į pradinę koordinačių sistemą, nes tarp jų buvo nustatytas vienas su vienu atitikimas, ir gaukite norimas koordinates viršūnės trikampis ABC.

Video tema

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, matematikos mokytoja MAOU „Licėjaus Nr. 1“ Berezniki mieste.

Projektas algebros pamoka 9 klasėje(humanitarinis profilis).

„Giliausią pėdsaką palieka tai, ką žmogus atrado pats“ (D. Poya.)

Pamokos tema:„Parabolės viršūnės koordinačių skaičiavimo formulių išvedimas“.

Pamokos tikslai: edukacinis :

Tikėtinas rezultatas:

- studentų problemos suvokimas, priėmimas ir sprendimas;

Naujų žinių gavimo būdų formavimas lyginant ir sugretinant faktus, metodas nuo konkretaus iki bendro;

Išmokti formules, kaip rasti parabolės viršūnės ir simetrijos ašies koordinates y = ax 2 +bx+c formos funkcijoms.

Pamokos tipas: inscenizacijos pamoka edukacinė užduotis. Mokymo metodai– vaizdinis ir iliustratyvus, žodinis, mokymasis bendradarbiaujant, probleminis, kritinio mąstymo technologijos elementai.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, demonstracinis ekranas, pristatymo skaidrės tema: „Parabolės viršūnės koordinačių radimo formulė“; A3 formato lapai; spalvoti žymekliai.

Technologijos- sistemos veiklos metodas.

Pamokos žingsniai:

Psichologinė nuotaika (motyvacija).

Atnaujinti bendros žinios(sukurti sėkmės situaciją).

Problemos formulavimas.

Pamokos temos ir tikslo formulavimas.

Problemos sprendimas.

Problemos sprendimo eigos analizė.

Problemų sprendimo rezultatų taikymas tolesnėje veikloje.

Pamokos apibendrinimas (santrauka mokinio „akimis“, santrauka mokytojo „akimis“).

Namų darbai.

Užsiėmimų metu:

Psichologinė nuotaika.

Užduotis: Išmokite spręsti bendra užduotis ir dirbti komandoje (darbas grupėmis po 5 žmones).

Vaikinai, per paskutines keturias pamokas mes studijavome kvadratinę funkciją, tačiau mūsų žinios dar nėra visiškai išbaigtos, todėl toliau studijuojame kvadratinę funkciją, kad sužinotume ką nors naujo apie šią funkciją.

Motyvuoti mokinius savarankiškai nustatyti pamokos temą ir tikslą.

Funkcija
ir jos tvarkaraštis.

;
;

Ar be grafinių funkcijų galime atsakyti į klausimus:

Kas yra funkcijų grafikas?

Kuri linija yra simetrijos ašis (jei ji yra)?

3. Ar yra viršūnė, kokios jos koordinatės?

Aš noriu žinoti

Lentelė pildoma vykstant pamokai.

Mokinių pagrindinių žinių ir įgūdžių atnaujinimas.Apšilimas. 1. Iš skliaustų įrašykite didžiausią koeficientą: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2. Pasirinkite dvigubą produktą: ab; kirvis; b/a. 3. Kvadratavimas: b/2; c 2/a; 2a/3b. 4.Pateikite kaip algebrinę sumą: a – c; x – (- b/2a).

Paaiškinkite, kaip, žinant funkcijos grafiko tipąy =ƒ( x ) , sudaryti funkcijų grafikus:

A ) y =ƒ(x - a) , - naudojant lygiagretųjį vertimą a vienetais į dešinę išilgai ašies X;

b) y =ƒ(x) + b, - naudojant lygiagretus vertimo b vienetus aukštyn išilgai ašies y;

V) y =ƒ(x- a) +b, ↔ įjungta A vienetai, ↕ pagal b vienetai;

d) Kaip nubraižyti funkciją y = (x - 2) 2 + 3 ? Koks jos grafikas?

Pavadinkite parabolės viršūnę.
Grafikas yra parabolė y = x 2 su viršūne taške (2; 3 ).

Nurodykite parabolės viršūnės koordinates: y=x - 4x + 5 ( problema). Kodėl pagal funkcijos tipą neįmanoma nustatyti parabolės viršūnės koordinačių?(kvadratinė funkcija turi skirtingą formą).

Studentų veikla:

Sukurkite kalbos struktūras naudodami funkcinę terminiją.

Atsakymų aptarimas. Jie lygina, lygina su anksčiau ištirtomis funkcijomis, atrenka ir lentoje užrašo žinias ir įgūdžius, kurių jiems gali prireikti skiltyje „ŽINAU“ sprendžiant problemą:

Stulpelyje „Noriu žinoti“: viršūnė, parabolės simetrijos ašis
.

Mokiniai gali rašyti funkcijas stulpeliuose „ŽINAU“ ir „NORIU ŽINOTI“ tiek bendrais, tiek ypatingais atvejais. Ugdomosios problemos teiginys: raskite parabolės viršūnės koordinates, jei kvadratinė funkcija pateikta bendra forma y = kirvis + bx + c. Mokiniai suformuluoja ir į sąsiuvinį surašo pamokos temą ir tikslą.(Parabolės viršūnės koordinačių skaičiavimo formulių išvedimas. Išmok rasti parabolės viršūnės koordinates nauju būdu – naudojant formules).

Problemos sprendimas.

Studentų veikla: Lyginant „senas“ žinias su naujomis žiniomis, mokinių prašoma paryškinti visą kvadratą. Įjungta konkrečių pavyzdžių
;
ir atitinkamai gauti
;
. Raskite viršūnės koordinates ir simetrijos ašies lygtį.Jie supranta, kad susidorojo su užduotimi, nes atnešė nauja funkcija pažįstamam žvilgsniui.

Mokiniai nustato visą funkcijos kvadratą.
; , palyginkite gautą rezultatą, pagal šią funkciją padarykite išvadą. Raskite viršūnės ir simetrijos ašies koordinates.

Ar galite pavadinti parabolės viršūnę ir ašį, jei funkcija pateikta bendra forma
neišryškinant visos aikštės? Kaip elgsitės šiuo atveju? O kaip pritaikyti savo ankstesnę patirtį ieškant parabolės viršūnės ir ašies?

Studentų veikla:

Remdamiesi turimomis žiniomis ir patirtimi, mokiniai pradeda suprasti, kad reikia eiti toliau, nuo konkretaus prie bendro, ir atlikti įrodymus bendra forma.

Atsiranda naujų sunkumų. Sprendimas pasirodo grupėse: . Problemos sprendimo eigos analizė. Išklausomas po vieną atstovą iš kiekvienos grupės.

Palyginkite ir analizuokite įrašus
Ir
, į sąsiuvinį užrašomas vienas bendras iškeltos uždavinio sprendimas - parabolės viršūnės koordinačių formulės
.

Mokiniai daro išvadą: funkcijos viršūnės ir parabolės ašies koordinates
galima rasti racionaliai.

Problemos sprendimo rezultatų taikymas tolesnėje veikloje.

Studentų veikla:

Užduočių sprendimas iš vadovėlio Nr.121; 123. Nauju racionaliu būdu raskite parabolės viršūnės koordinates. Užrašykite tiesės, kuri yra parabolės simetrijos ašis, lygtį.

Apibendrinimas (apmąstymas) švietėjiška veikla pamokoje).

Grįžkime prie lentelės ir užpildykime stulpelį „SUŽINOTI“.

Pamokos santrauka mokinių akimis:

AŠ NORIU ŽINOTI

5. Žinau, kaip pavaizduoti šias funkcijas

6. Žinau, kaip rasti šių parabolių viršūnių koordinates ir parabolės ašį

7. viso kvadrato parinkimo būdas

8. kaip rasti parabolės viršūnių koordinates, ašį.

2. parabolės simetrijos ašies lygtis

1. parabolės viršūnės koordinatės

2.kaip išvesti formulę

3. racionalus būdas rasti parabolės ašį ir parabolės viršūnės koordinates

Rezultatas „mokytojo akimis“:

Pamokos tikslas pasiektas.

Mokiniai suprato, priėmė ir išsprendė problemą.

Spręsdami ugdymo problemą mokiniai ne tik įgijo naujų žinių: kvadratinio trinalio koeficientų priklausomybę ir parabolės viršūnės koordinates, simetrijos ašies lygtį, bet ir svarbiausią dalyką. pamoka – tai apibendrintų naujų žinių įgijimo būdų formavimas, savarankiškai analizuojant problemą ir ieškant nežinomybės.

Namų darbai: 7 punktas Nr.122 ;127(b) ;128.

P.S. Pristatyta pamoka vyko 2014 m. spalio 15 d. kaip miesto seminaro matematikos mokytojams dalis tema „UDL formavimas matematikos pamokose“.

Etape „Rezultatų taikymas...“ sprendžiant uždavinius iš vadovėlio kai kurie mokiniai pradėjo suprasti savo „atradimo“ vertę: daugiau paprastas būdas viršūnės koordinačių ir simetrijos ašies lygties radimas, o kiti neslėpė džiaugsmo, nes nereikėjo „kankintis“ izoliuojant pilną kvadratą. Bet svarbiausia, kad viską padarėme patys!

Parabolė yra matematikos, fizikos ir kitų mokslų pasaulyje. Dirbtiniai palydovai juda parabolės trajektorija ir linkę palikti saulės sistema, kamuolys žaidžiant tinklinį taip pat apibūdina jo trajektoriją. Turite mokėti sukonstruoti parabolę. Ir kad tai būtų lengva, turite žinoti, kaip rasti parabolės viršūnę.

Funkcijos y = ax 2 + bx + c grafikas, kur a – pirmasis koeficientas, b – antrasis koeficientas, c – laisvasis narys, vadinamas parabole. Tačiau atkreipkite dėmesį į tai, kad a ≠0.

Kiekvienas parabolės taškas turi simetriškas jai, išskyrus vieną tašką, ir šis taškas vadinamas viršūne. Norėdami rasti tašką, kuris yra viršūnė, turite nuspręsti, kas yra taškas grafike. Taškas grafike yra konkreti koordinatė išilgai abscisių ir ordinačių ašių. Jis žymimas kaip (x; y). Išsiaiškinkime, kaip rasti brangius skaičius.

Pirmas būdas

Jei norite žinoti, kaip teisingai apskaičiuoti viršūnės koordinates, tereikia išmokti formulę x0 = -b/2a. Pakeisdami gautą skaičių į funkciją, gauname y0.

Pavyzdžiui, y =x 2 –8 x +15;

rasti pirmąjį, antrąjį koeficientus ir laisvąjį terminą;

a = 1, b = -8, c = 15;

formulėje pakeiskite a ir b reikšmes;

x0=8/2=4;

apskaičiuoti y reikšmes;

y0 = 16–32+15 = -1;

Tai reiškia, kad viršūnė yra taške (4;-1).

Parabolės šakos yra simetriškos simetrijos ašiai, kuri eina per parabolės viršūnę. Žinodami lygties šaknis, galite lengvai apskaičiuoti parabolės viršūnės abscises. Tarkime, kad k ir n yra kvadratinės lygties šaknys. Tada taškas x0 yra vienodu atstumu nuo taškų k ir n, ir jį galima apskaičiuoti pagal formulę: x0 = (k + n)/2.

Pažiūrėkime į pavyzdį y =x 2 –6x+5

1) Prilygsta nuliui:

x 2 –6x+5=0.

2) Raskite diskriminantą naudodami formulę: D = b 2 –4 ac:

D =36–20=16.

3) Raskite lygties šaknis naudodami formulę (-b±√ D)/2a:

1 - pirmoji šaknis;
5 yra antroji šaknis.

4) Apskaičiuokite:

x0 =(5+1)/2=3

Antras būdas

Užpildymas iki viso kvadrato yra puikus būdas sužinoti, kur yra viršūnė. Naudodami šį metodą, galite apskaičiuoti taškus x ir y vienu metu, nereikės pakeisti x į pradinį pavyzdį. Panagrinėkime šį metodą naudodami funkcijos pavyzdį: y=x 2 +8 x +10.

1. Pirmiausia reikia prilyginti išraišką su kintamuoju 0. Tada perkelkite c į dešinioji pusė Su priešingas ženklas, tai yra, gauname išraišką x 2 + 8x = -10.

2. Dabar kairėje pusėje reikia padaryti visą kvadratą. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite (b/2) 2 ir padidinkite abi lygties rezultato puses. Šiuo atveju vietoj b reikia pakeisti 8.

Gauname 16. Dabar pridėkite šį skaičių prie abiejų lygties pusių:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Matyti, kad gauta išraiška yra tobulas kvadratas. Jis gali būti pavaizduotas tokia forma: (x + 4) 2 = 6.

4. Šia išraiška raskite parabolės viršūnės koordinates. Norėdami apskaičiuoti x, turite jį prilyginti 0. Gauname x = -4. Y koordinatė yra lygi tam, kas yra dešinėje, tai yra, y = 6. Šios lygties parabolės viršūnė yra (-4, 6).

Trečias būdas

Jei žinote, kas yra išvestinė priemonė, tada jums yra kita formulė. Nepriklausomai nuo to, kur taškas parabolės „ragai“, jos viršūnė yra ekstremumo taškas. Šiam metodui reikia naudoti sekantis algoritmas:

1. Pirmosios išvestinės radimas naudojant formulę f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Išvestinės prilyginimas 0. Gaunate 0 = 2ax + b, iš čia galite rasti tai, kas mus domina.

Panagrinėkime šį metodą išsamiau.

Duota funkcija y = 4x²+16x-17;

Išvestinę užrašome ir prilyginame nuliui.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

Sunkiausias dalykas konstruojant yra teisingai rasti funkcijos taškus. Dėl detalios konstrukcijos reikia apskaičiuoti 5–7 balus (to pakanka mokyklos kursui). Norėdami tai padaryti, pasirinkite tam tikrą reikšmę x ir pakeiskite ją šia funkcija. Skaičiavimų rezultatas bus taškų skaičius išilgai ordinačių ašies. Po to gautus taškus dedame į koordinačių plokštumą. Dėl to gauname parabolę.

Pažvelkime atidžiau į taškų, kuriuos reikia pažymėti, radimo klausimą. Pavyzdžiui, paimkime funkciją y =-x 2 +11 x -24 su viršūne taške (5.5;-6.25).

1) Pastatykite stalą

Teisingai raskite koeficientus.

Tarpinius skaičiavimus parašykite ant popieriaus. Tai ne tik padės lengviau surasti viršūnę, bet ir padės rasti savo klaidas.

Darykite viską žingsnis po žingsnio. Sekite algoritmą.

Prašau Pasižymėk tai:

Turite patikrinti, ar jūsų sprendimas yra teisingas.
Reikia nusiraminti. Norint išspręsti bet kokią matematikos problemą, reikia patirties. Tiesiog reikia tai išsiaiškinti Ši tema, ir tada jums tikrai pasiseks.

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės sužinoti, kaip rasti parabolės viršūnę

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.