Studijuodami matematiką, mokiniai pradeda susipažinti su įvairiomis geometrinių formų rūšimis. Šiandien mes kalbėsime apie skirtingus trikampių tipus.
Apibrėžimas
Geometrinės figūros, sudarytos iš trijų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, vadinami trikampiais.
Taškus jungiančios linijos atkarpos vadinamos kraštinėmis, o taškai – viršūnėmis. Viršūnės pažymėtos dideliais su lotyniškomis raidėmis, pavyzdžiui: A, B, C.
Kraštinės pažymėtos dviejų taškų, iš kurių jie susideda, pavadinimais - AB, BC, AC. Susikerta, šonai sudaro kampus. Apatinė pusė laikoma figūros pagrindu.
Ryžiai. 1. Trikampis ABC.
Trikampių tipai
Trikampiai skirstomi pagal kampus ir kraštines. Kiekvienas trikampio tipas turi savo savybes.
Kampuose yra trijų tipų trikampiai:
- smailaus kampo;
- stačiakampis;
- bukas.
Visi kampai smailaus kampo trikampiai yra smailūs, tai yra, kiekvieno laipsnio matas yra ne didesnis kaip 90 0.
Stačiakampis trikampyje yra stačiakampis. Kiti du kampai visada bus smailūs, nes kitaip trikampio kampų suma viršys 180 laipsnių, o tai neįmanoma. Pusė, esanti priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse, o kitos dvi kojos. Hipotenuzė visada yra didesnė už koją.
bukas trikampyje yra bukas kampas. Tai yra, kampas didesnis nei 90 laipsnių. Kiti du kampai tokiame trikampyje bus smailūs.
Ryžiai. 2. Trikampių tipai kampuose.
Pitagoro trikampis yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 3, 4, 5.
Be to, didesnė pusė yra hipotenuzė.
Tokie trikampiai dažnai naudojami paprastiems geometrijos uždaviniams sudaryti. Todėl atminkite: jei dvi trikampio kraštinės yra 3, tai trečioji tikrai bus 5. Tai supaprastins skaičiavimus.
Trikampių tipai šonuose:
- lygiakraštis;
- lygiašonis;
- universalus.
Lygiakraščiai trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios. Visi tokio trikampio kampai lygūs 60 0, tai yra, jis visada yra smailusis.
Lygiašonis trikampis yra trikampis, turintis tik dvi lygias kraštines. Šios pusės vadinamos šoninėmis, o trečiosios – baze. Be to, lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs ir visada smailūs.
Universalus arba savavališkas trikampis yra trikampis, kurio visi ilgiai ir visi kampai nėra lygūs vienas kitam.
Jei užduotyje nėra paaiškinimų apie figūrą, tada visuotinai priimta, kad kalbame apie savavališką trikampį.
Ryžiai. 3. Trikampių tipai šonuose.
Visų trikampio kampų suma, nepaisant jo tipo, yra 1800.
Priešingai didesniam kampui yra didesnė pusė. Be to, bet kurios kraštinės ilgis visada yra mažesnis už kitų dviejų kraštinių sumą. Šias savybes patvirtina trikampio nelygybės teorema.
Yra auksinio trikampio samprata. Tai lygiašonis trikampis, kurio dvi kraštinės yra proporcingos pagrindui ir lygios tam tikram skaičiui. Tokiame paveiksle kampai proporcingi santykiui 2:2:1.
Užduotis:
Ar yra trikampis, kurio kraštinės yra 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Sprendimas:
Norėdami išspręsti šią užduotį, turite naudoti nelygybę a
Ko mes išmokome?
Iš šios 5 klasės matematikos kurso medžiagos sužinojome, kad trikampiai skirstomi pagal kraštines ir kampus. Trikampiai turi tam tikrų savybių, kurias galima panaudoti sprendžiant uždavinius.
Trikampis yra daugiakampis su 3 kraštinėmis (arba 3 kampais). Trikampio kraštinės dažnai žymimos mažomis raidėmis, kurios atitinka Didžiosios raidėsžyminčios atvirkštines viršūnes.
Ūmus trikampis Trikampis vadinamas, jei visi trys kampai yra smailieji.
bukas trikampis Vadinamas trikampis, kurio vienas iš kampų yra bukas.
taisyklingas trikampis vadinamas trikampiu, kuriame vienas iš kampų yra stačiakampis, kitaip tariant, lygus 90 °; vadinamos stačią kampą sudarančios kraštinės a, b kojos; vadinama kraštinė c, priešinga stačiajam kampui hipotenuzė.
Lygiašonis trikampis vadinamas trikampiu, kuriame dvi jo kraštinės yra lygios (a \u003d c); šios lygios pusės vadinamos šoninis, vadinama 3-ioji pusė trikampio pagrindas.
lygiakraštis trikampis vadinamas trikampiu, kuriame visos jo kraštinės yra lygios (a \u003d b \u003d c). Tokiu atveju nė viena jo kraštinė (abc) nėra lygi trikampyje, tai yra nelygus trikampis.
Pagrindinės trikampių charakteristikos
Bet kuriame trikampyje:
Trikampių lygybės ženklai
Trikampiai yra kongruentiški, tokiu atveju jie yra atitinkamai lygūs:
Stačiųjų trikampių lygybės ženklai
Du stačiakampiai trikampiai yra lygūs, tokiu atveju gaunamas vienas iš šių kriterijų:
Aukštistrikampis yra statmenas, numestas iš bet kurios viršūnės išvirkščia pusė(arba jo tęsinys). Ši pusė vadinama trikampio pagrindas. Trys trikampio aukščiai visada susikerta viename taške, vadinamame trikampio ortocentras.
Smailaus trikampio stačiakampis dedamas į trikampio vidų, o bukojo trikampio stačiakampis – išorėje; Stačiojo trikampio ortocentras sutampa su stačiojo kampo viršūne.
Mediana yra atkarpa, jungianti bet kurią trikampio viršūnę su atvirkštinės pusės vidurio tašku. Trys trikampio medianos susikerta viename taške, kuris visada yra trikampio viduje ir yra jo masės centras. Šis taškas padalija kiekvieną medianą 2:1 nuo viršaus.
Bisektorius- tai kampo nuo viršūnės iki susikirtimo su galine puse taško bisektoriaus segmentas. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, kuris visada yra trikampio viduje ir yra įbrėžto apskritimo centras. Bisektorius dalija atvirkštinę pusę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms.
Mediana statmena yra statmenas, nubrėžtas iš atkarpos (kraštinės) vidurio. Trys trikampio viduriniai statmenys susikerta viename taške, kuris yra apibrėžtojo apskritimo centras.
IN aštrus trikampisšis taškas yra trikampio viduje, bukas trikampis - išorėje, stačiakampis - hipotenuzės viduryje. Stačiakampis, masės centras, apibrėžtojo apskritimo centras ir įbrėžto apskritimo centras sutampa tik lygiakraštyje trikampyje.
Pitagoro aksioma
IN taisyklingas trikampis hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai.
Pitagoro aksiomos patvirtinimas
Sukurkite kvadratą AKMB, kraštinę naudodami hipotenuzę AB. Tada tęsiame stačiojo trikampio ABC kraštines, kad gautume kvadratą CDEF, kurio kraštinė yra a + b. Dabar aišku, kad kvadrato CDEF plotas yra (a + b) 2. Kita vertus, šis plotas yra lygus keturių stačiųjų trikampių ir kvadrato AKMB plotų sumai, kitaip tariant,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
ir mes turime:
c 2 = a 2 + b 2 .
Kraštinių santykis atsitiktiniame trikampyje
IN bendras atvejis(atsitiktiniam trikampiui) turime:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
kur C yra kampas tarp kraštinių a ir b.
Papildomai prie svetainės:
Šiandien vykstame į Geometrijos šalį, kur susipažinsime su įvairių tipų trikampiais.
Apsvarstykite geometrines figūras ir rasti tarp jų „papildomą“ (1 pav.).
Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija
Matome, kad skaičiai Nr. 1, 2, 3, 5 yra keturkampiai. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą (2 pav.).
Ryžiai. 2. Keturkampiai
Tai reiškia, kad „papildoma“ figūra yra trikampis (3 pav.).
Ryžiai. 3. Pavyzdžiui, iliustracija
Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.
Taškai vadinami trikampio viršūnės, segmentai - jo vakarėliams. Susiformuoja trikampio kraštinės Trikampio viršūnėse yra trys kampai.
Pagrindinės trikampio savybės yra trys šonai ir trys kampai. Trikampiai klasifikuojami pagal kampą aštrus, stačiakampis ir bukas.
Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° (4 pav.).
Ryžiai. 4. Smailus trikampis
Trikampis vadinamas stačiu kampu, jei vienas jo kampas yra 90° (5 pav.).
Ryžiai. 5. Statusis trikampis
Trikampis vadinamas buku, jei vienas iš jo kampų yra bukas, t.y. didesnis nei 90° (6 pav.).
Ryžiai. 6. Bukas trikampis
Pagal lygių kraštinių skaičių trikampiai yra lygiakraščiai, lygiašoniai, skalės.
Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės lygios (7 pav.).
Ryžiai. 7. Lygiašonis trikampis
Šios pusės vadinamos šoninis, Trečioji pusė - pagrindu. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.
Lygiašoniai trikampiai yra ūmus ir bukas(8 pav.) .
Ryžiai. 8. Smailieji ir bukieji lygiašoniai trikampiai
Vadinamas lygiakraštis trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios (9 pav.).
Ryžiai. 9. Lygiakraštis trikampis
Lygiakraščiame trikampyje visi kampai lygūs. Lygiakraščiai trikampiai visada smailaus kampo.
Universaliu vadinamas trikampis, kurio visos trys kraštinės yra skirtingo ilgio (10 pav.).
Ryžiai. 10. Skaleninis trikampis
Atlikite užduotį. Padalinkite šiuos trikampius į tris grupes (11 pav.).
Ryžiai. 11. Užduoties iliustracija
Pirma, paskirstykime pagal kampų dydį.
Smailūs trikampiai: Nr.1, Nr.3.
Statieji trikampiai: #2, #6.
Bukieji trikampiai: #4, #5.
Šie trikampiai skirstomi į grupes pagal lygių kraštinių skaičių.
Skaleniniai trikampiai: Nr.4, Nr.6.
Lygiašoniai trikampiai: Nr.2, Nr.3, Nr.5.
Lygiakraštis trikampis: Nr. 1.
Peržiūrėkite brėžinius.
Pagalvokite, iš kokios vielos gabalo pagamintas kiekvienas trikampis (12 pav.).
Ryžiai. 12. Užduoties iliustracija
Galite ginčytis taip.
Pirmasis vielos gabalas padalintas į tris lygias dalis, todėl iš jo galite padaryti lygiakraštį trikampį. Paveiksle jis parodytas trečias.
Antroji vielos dalis yra padalinta į tris skirtingas dalis, todėl iš jos galite padaryti skaleno trikampį. Nuotraukoje jis parodytas pirmiausia.
Trečias vielos gabalas padalintas į tris dalis, kur dvi dalys yra vienodo ilgio, todėl iš jos galite padaryti lygiašonį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas antras.
Šiandien pamokoje susipažinome su įvairių tipų trikampiais.
Bibliografija
- M.I. Moro, M.A. Bantova ir kt.. Matematika: vadovėlis. 3 klasė: iš 2 dalių, 1 dalis. - M .: "Švietimas", 2012 m.
- M.I. Moro, M.A. Bantova ir kt.. Matematika: vadovėlis. 3 klasė: iš 2 dalių, 2 dalis. - M .: "Švietimas", 2012 m.
- M.I. Moreau. Matematikos pamokos: Gairės už mokytoją. 3 klasė - M.: Švietimas, 2012 m.
- Reguliavimo dokumentas. Mokymosi rezultatų stebėjimas ir vertinimas. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
- „Rusijos mokykla“: programos pradinė mokykla. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
- S.I. Volkovas. Matematika: Patikrinimo darbai. 3 klasė - M.: Švietimas, 2012 m.
- V.N. Rudnickaja. Testai. - M.: „Egzaminas“, 2012 m.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Namų darbai
1. Užbaikite frazes.
a) Trikampis yra figūra, sudaryta iš ..., esanti ne vienoje tiesėje, ir ..., jungianti šiuos taškus poromis.
b) Taškai vadinami … , segmentai - jo … . Trikampio kraštinės susidaro trikampio viršūnėse ….
c) Pagal kampo dydį trikampiai yra ..., ..., ....
d) Pagal lygių kraštinių skaičių trikampiai yra ..., ..., ....
2. Pieškite
a) stačiakampis trikampis
b) smailusis trikampis;
c) bukas trikampis;
d) lygiakraštis trikampis;
e) skalės trikampis;
e) lygiašonis trikampis.
3. Pamokos tema padarykite užduotį savo bendražygiams.
Turbūt pati paprasčiausia, paprasčiausia ir įdomiausia geometrijos figūra yra trikampis. Aš žinau vidurinė mokykla tiriamos pagrindinės jo savybės, tačiau kartais žinios šia tema susiformuoja nepilnos. Trikampių tipai iš pradžių nustato jų savybes. Tačiau šis požiūris išlieka prieštaringas. Taigi dabar pažvelkime į šią temą atidžiau.
Trikampių tipai priklauso nuo kampų laipsnio. Šios figūros yra aštrios, stačiakampės ir bukos. Jei visi kampai neviršija 90 laipsnių, figūrą galima drąsiai vadinti smailiu kampu. Jei bent vienas trikampio kampas yra 90 laipsnių, tada jūs susiduriate su stačiakampiu porūšiu. Atitinkamai, visais kitais atvejais nagrinėjamasis vadinamas bukukampiu.
Yra daug užduočių, skirtų ūmaus kampo porūšiams. skiriamasis ženklas yra pusiausvyros, medianų ir aukščių susikirtimo taškų vidinė vieta. Kitais atvejais ši sąlyga gali būti neįvykdyta. Nustatyti figūros tipą „trikampis“ nėra sunku. Pakanka žinoti, pavyzdžiui, kiekvieno kampo kosinusą. Jei kokių nors vertybių mažiau nei nulis, todėl trikampis bet kuriuo atveju yra bukas. Nulinio rodiklio atveju figūra turi stačią kampą. Visos teigiamos vertės garantuoja, kad turite aštrų vaizdą.
Apie tai negalima pasakyti taisyklingas trikampis. Tai pats idealiausias vaizdas, kuriame sutampa visi medianų, pusiausvyrų ir aukščių susikirtimo taškai. Toje pačioje vietoje taip pat yra įbrėžto ir apibrėžto apskritimų centras. Norėdami išspręsti problemas, turite žinoti tik vieną pusę, nes kampai iš pradžių nustatomi jums, o kitos dvi pusės yra žinomos. Tai yra, skaičius pateikiamas tik vienu parametru. Yra Jų Pagrindinis bruožas- dviejų kraštinių ir kampų lygybė prie pagrindo.
Kartais kyla klausimas, ar yra trikampis su nurodytomis kraštinėmis. Jūs iš tikrųjų klausiate, ar šis aprašymas atitinka pagrindines rūšis. Pavyzdžiui, jei dviejų kraštinių suma yra mažesnė už trečiąją, tai iš tikrųjų tokios figūros iš viso nėra. Jei užduotyje prašoma rasti trikampio, kurio kraštinės yra 3,5,9, kampų kosinusus, tai čia akivaizdu galima paaiškinti be sudėtingų matematinių triukų. Tarkime, kad norite patekti iš taško A į tašką B. Atstumas tiesia linija yra 9 kilometrai. Tačiau prisiminėte, kad parduotuvėje reikia eiti į tašką C. Atstumas nuo A iki C yra 3 kilometrai, o nuo C iki B - 5. Taip išeina, kad judant per parduotuvę nueisite vienu kilometru mažiau. Bet kadangi taškas C nėra tiesėje AB, turėsite nuvažiuoti papildomą atstumą. Čia iškyla prieštaravimas. Tai, žinoma, hipotetinis paaiškinimas. Matematika žino daugiau nei vieną būdą įrodyti, kad visų rūšių trikampiai paklūsta pagrindinei tapatybei. Sakoma, kad dviejų kraštinių suma yra didesnė už trečiosios ilgį.
Kiekvienas tipas turi šias savybes:
1) Visų kampų suma yra 180 laipsnių.
2) Visada yra ortocentras – visų trijų aukščių susikirtimo taškas.
3) Visos trys medianos, nubrėžtos iš vidinių kampų viršūnių, susikerta vienoje vietoje.
4) Aplink bet kurį trikampį galima apibrėžti apskritimą. Taip pat galima įbrėžti apskritimą taip, kad jis turėtų tik tris sąlyčio taškus ir neišeitų už išorinių kraštų.
Dabar esate susipažinę su pagrindinėmis savybėmis Skirtingos rūšys trikampiai. Ateityje svarbu suprasti, su kuo susiduriate spręsdami problemą.
trikampiai
trikampis Figūra vadinama figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis. Taškai vadinami viršūnės trikampis, o atkarpos – jo vakarėliams.
Trikampių tipai
Trikampis vadinamas lygiašoniai jei abi jo kraštinės lygios. Šios lygios pusės vadinamos šonai, o trečioji šalis vadinama pagrindu trikampis.
Vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios lygiakraštis arba teisinga.
Trikampis vadinamas stačiakampis, jei jis turi stačią kampą, tada yra 90° kampas. Stačiojo trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė kitos dvi pusės vadinamos kojos.
Trikampis vadinamas smailaus kampo jei visi trys jo kampai yra smailūs, tai yra, mažesni nei 90 °.
Trikampis vadinamas bukas, jei vienas iš jo kampų yra bukas, t.y. didesnis nei 90°.
Pagrindinės trikampio linijos
Mediana
Mediana trikampis yra atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos šio trikampio kraštinės vidurio tašku. 
Trikampio medianos savybės
Mediana padalija trikampį į du to paties ploto trikampius.
Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų padalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus. Šis taškas vadinamas gravitacijos centras trikampis.
Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.
Bisektorius
Kampo bisektorius yra spindulys, kuris ateina iš jo viršūnės, eina tarp jo kraštinių ir dalija nurodytą kampą pusiau. Trikampio bisektorius Vadinama trikampio, jungiančio viršūnę su tašku, esančiu priešingoje trikampio pusėje, kampo pusiausvyros atkarpa. 
Trikampio bisektoriaus savybės
Aukštis
Aukštis trikampis vadinamas statmenu, nubrėžtu iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga šio trikampio kraštinė. 
Trikampio aukščio savybės
IN taisyklingas trikampis aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašus originalus.
IN aštrus trikampis nuo jo nukirsti du jo aukščiai panašus trikampiai.
Mediana statmena
Tiesė, einanti per jai statmenos atkarpos vidurio tašką, vadinama statmenas bisektoriusį segmentą .
Trikampio statmenų pusiausvyros savybės
Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų. Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant jo statmenos pusės.
Vidurio statmenų, nubrėžtų į trikampio kraštines, susikirtimo taškas yra centras apie šį trikampį apibrėžtas apskritimas.
vidurinė linija
Vidurinė trikampio linija Atkarpa, jungianti dviejų jos kraštinių vidurio taškus, vadinama.
Trikampio vidurio linijos savybė
Trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei tos kraštinės.
Formulės ir santykiai
Trikampių lygybės ženklai
Du trikampiai yra lygiaverčiai, jei jie yra atitinkamai sutapę:
dvi pusės ir kampas tarp jų;
du kampai ir šalia jų esanti pusė;
tris puses.
Stačiųjų trikampių lygybės ženklai
Du taisyklingas trikampis yra lygūs, jei jie yra atitinkamai lygūs: 
hipotenuzė ir smailus kampas
koja ir priešingas kampas;
koja ir gretimas kampas;
du koja;
hipotenuzė Ir koja.
trikampių panašumas
Du trikampiai yra panašūs jei tenkinama viena iš toliau nurodytų sąlygų, skambinama panašumo požymiai:
du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams;
dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms, o šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs;
vieno trikampio trys kraštinės yra atitinkamai proporcingos kito trikampio trims kraštinėms.
Panašiuose trikampiuose atitinkamos linijos ( aukščių, medianos, bisektorius ir tt) yra proporcingi.
Sinuso teorema
Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams, o proporcingumo koeficientas yra skersmuo
apskritimas, apibrėžtas apie trikampį:
Kosinuso teorema
Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus du kartus tų kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso:
a 2 = b 2 + c 2 - 2pr. Kr cos
Trikampio ploto formulės
Savavališkas trikampis
a, b, c -šonai; - kampas tarp šonų a Ir b; - pusiau perimetras; R- apibrėžto apskritimo spindulys; r-įbrėžto apskritimo spindulys; S- plotas; h a - aukštis į šoną a.
Įkeliama...