Studijuodami algebrą vidurinė mokykla(9 klasė) vienas iš svarbiomis temomis yra skaičių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina apibrėžti nagrinėjamą progresą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios vėliau bus naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinis arba yra sutvarkytų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Pateikime pavyzdį. Ši skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17–12).

Svarbios formulės

Dabar pateiksime pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant problemas naudojant aritmetinė progresija. Simboliu pažymėkime a n n-asis terminas sekos, kur n yra sveikas skaičius. Mes pažymime skirtumą lotyniška raidė d. Tada galioja šios išraiškos:

N-ojo nario reikšmei nustatyti tinka tokia formulė: a n = (n-1)*d+a 1 .
Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n +a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su sprendimais pavyzdžius 9 klasėje, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes bet kokios nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat turėtumėte atsiminti, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1.

1 pavyzdys: nežinomo termino radimas

Pateiksime paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti norint ją išspręsti.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis terminus.

Iš uždavinio sąlygų jau išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galite paimti bet kuriuos kitus du narius, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d = a n - a n-1, tai d = a 5 - a 4, iš kurio gauname: a 5 = a 4 + d. Pakeiskime žinomos vertės: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai davė tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiama reikšmė. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas kitas narys yra mažesnis nei ankstesnis.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime problemą, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pakeiskime į ją žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) /6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, ty a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Pavyzdys Nr. 3: progresijos sudarymas

Dar labiau apsunkinkime stipresnė būklė užduotys. Dabar turime atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikiami du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina sukurti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dedami dar trys nariai.

Prieš pradėdami spręsti šią problemą, turite suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tai, ką mes čia gavome, yra ne sveikoji skirtumo reikšmė, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progreso terminus. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos sąlygomis.

Pavyzdys Nr. 4: pirmasis progresavimo terminas

Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendiniais pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar panagrinėkime kitokio tipo uždavinį: duoti du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, kuriuo skaičiumi ši seka prasideda.

Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam terminui, apie kurį turima informacija, užrašysime išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Maža paklaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

Pavyzdys Nr. 5: suma

Dabar pažvelkime į kelis pavyzdžius su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama skaitinė progresija tokio tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Plėtros dėka Kompiuterinė technologija galite išspręsti šią problemą, tai yra, sudėti visus skaičius iš eilės, o tai Skaičiavimo mašina padarys, kai tik asmuo paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Taikydami sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu tai, kad ši problema vadinama „gausišku“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, kuriam dar tik 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei sudėsite skaičius sekos galuose poromis, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

Pavyzdys Nr. 6: terminų suma nuo n iki m

Dar vieną tipinis pavyzdys aritmetinės progresijos suma yra tokia: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokiai bus jos narių suma nuo 8 iki 14.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų nedaug, šis metodas nėra gana daug darbo reikalaujantis. Nepaisant to, šią problemą siūloma išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad 2-oji suma apima ir pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad paėmę skirtumą tarp šių sumų ir prie jo pridėję terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), gausime reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n-ojo nario išraišką ir pirmųjų narių aibės sumos formulę. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendiniu Nr. 6 pavyzdyje galima būtų sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir pertrauka bendra užduotisį atskiras papildomas užduotis (in tokiu atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Sužinojome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Pamokos tikslai:

plėsti ir gilinti mokinių supratimą apie problemas, sprendžiamas naudojant aritmetinę progresiją; studentų paieškos veiklos organizavimas išvedant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę;
ugdyti gebėjimą savarankiškai įgyti naujų žinių ir panaudoti jau įgytas žinias duotai užduočiai atlikti;
ugdant norą ir poreikį apibendrinti gautus faktus, ugdant savarankiškumą.

Užduotys:

apibendrinti ir sisteminti turimas žinias tema „Aritmetinė progresija“;
išvesti formules aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti;
mokyti pritaikyti gautas formules sprendžiant įvairius uždavinius;
atkreipti mokinių dėmesį į skaitinės išraiškos reikšmės radimo tvarką.

Įranga:

kortelės su užduotimis darbui grupėse ir porose;
Vertinimo popierius;
pristatymas„Aritmetinė progresija“.

I. Pagrindinių žinių atnaujinimas.

1. Savarankiškas darbas poromis.

1 variantas:

Apibrėžkite aritmetinę progresiją. Užsirašykite pasikartojimo formulę, kuri apibrėžia aritmetinę progresiją. Pateikite aritmetinės progresijos pavyzdį ir nurodykite jo skirtumą.

2 variantas:

Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Raskite 100-ąjį aritmetinės progresijos narį ( a n}: 2, 5, 8 …
Šiuo metu du mokiniai nugaros pusė lentos ruošia atsakymus į tuos pačius klausimus.
Mokiniai vertina savo partnerio darbą pažymėdami juos lentoje. (Lakštai su atsakymais įteikiami.)

2. Žaidimo momentas.

1 pratimas.

Mokytojas. Sugalvojau kokią nors aritmetinę progresiją. Užduokite man tik du klausimus, kad po atsakymų galėtumėte greitai įvardyti 7-tą šios progresijos terminą. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Klausimai iš studentų.

Koks yra šeštasis progresavimo terminas ir koks skirtumas?
Kas yra aštuntas progresijos narys ir koks skirtumas?

Jei klausimų nebėra, tada mokytojas gali juos paskatinti - „draudimas“ (skirtumas), tai yra, negalima klausti, kam lygus skirtumas. Galite užduoti klausimus: kam lygus 6-asis progresijos narys ir kam lygus 8-asis progresijos narys?

2 užduotis.

Ant lentos parašyta 20 skaičių: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mokytojas stovi nugara į lentą. Mokiniai iškviečia numerį, o mokytojas iškart iškviečia patį numerį. Paaiškinkite, kaip aš galiu tai padaryti?

Mokytojas prisimena n-to termino formulę a n = 3n – 2 ir, pakeisdamas nurodytas reikšmes n, suranda atitinkamas reikšmes a n.

II. Mokymosi užduoties nustatymas.

Siūlau išspręsti senovinę II tūkstantmečio pr. Kr. problemą, rastą Egipto papirusuose.

Užduotis:„Tebūnie jums pasakyta: padalinkite 10 sagų miežių 10 žmonių, skirtumas tarp kiekvieno ir jo kaimyno yra 1/8 masto.

Kaip ši problema susijusi su temos aritmetine progresija? (Kiekvienas kitas žmogus gauna 1/8 priemonės daugiau, o tai reiškia, kad skirtumas yra d=1/8, 10 žmonių, o tai reiškia n=10.)
Ką, jūsų nuomone, reiškia skaičius 10? (Visų progreso sąlygų suma.)
Ką dar reikia žinoti, kad būtų lengva ir paprasta padalyti miežius pagal problemos sąlygas? (Pirmasis progresavimo laikotarpis.)

Pamokos tikslas– progresijos narių sumos priklausomybės nuo jų skaičiaus, pirmojo nario ir skirtumo gavimas bei patikrinimas, ar senovėje buvo teisingai išspręstas uždavinys.

Prieš darydami formulę, pažiūrėkime, kaip senovės egiptiečiai išsprendė problemą.

Ir jie tai išsprendė taip:

1) 10 priemonių: 10 = 1 matas – vidutinė dalis;
2) 1 matas ∙ = 2 matai – padvigubintas vidutinis Dalintis.
Padvigubinta vidutinis dalis yra 5-ojo ir 6-ojo asmens akcijų suma.
3) 2 priemonės – 1/8 priemonių = 1 7/8 priemonių – dvigubai penktojo asmens dalis.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – penktadalio dalis; ir pan., galite rasti kiekvieno ankstesnio ir paskesnio asmens dalį.

Gauname seką:

III. Problemos sprendimas.

1. Darbas grupėse

I grupė: Raskite 20 iš eilės sumą natūraliuosius skaičius: S 20 =(20+1)∙10 =210.

IN bendras vaizdas

II grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 100 (Legenda apie mažąjį Gausą).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Išvada:

III grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 21.

Sprendimas: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Išvada:

IV grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 101.

Išvada:

Šis nagrinėjamų problemų sprendimo būdas vadinamas „Gausso metodu“.

2. Kiekviena grupė lentoje pateikia problemos sprendimą.

3. Siūlomų savavališkos aritmetinės progresijos sprendinių apibendrinimas:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Raskime šią sumą naudodami panašius argumentus:

4. Ar išsprendėme problemą?(Taip.)

IV. Pirminis gautų formulių supratimas ir taikymas sprendžiant uždavinius.

1. Senovinės problemos sprendimo patikrinimas naudojant formulę.

2. Formulės taikymas sprendžiant įvairius uždavinius.

3. Pratimai, ugdantys gebėjimą taikyti formules sprendžiant uždavinius.

A) Nr. 613

Duota:( a n) – aritmetinė progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Rasti: S 1500

Sprendimas: , a 1 = 1 ir 1500 = 1500,

B) Duota: ( a n) – aritmetinė progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Rasti: n
Sprendimas:

V. Savarankiškas darbas su abipusiu patikrinimu.

Denisas pradėjo dirbti kurjeriu. Pirmą mėnesį jo atlyginimas buvo 200 rublių, kiekvieną kitą mėnesį jis didėjo 30 rublių. Kiek jis iš viso uždirbo per metus?

Duota:( a n) – aritmetinė progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Rasti: S 12
Sprendimas:

Atsakymas: Denisas už metus gavo 4380 rublių.

VI. Namų darbų instrukcija.

4.3 skyrius – išmokti formulės išvedimą.
№№ 585, 623 .
Sukurkite uždavinį, kurį galima išspręsti naudojant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę.

VII. Apibendrinant pamoką.

1. Balų lentelė

2. Tęskite sakinius

Šiandien klasėje išmokau...
Formulės išmoktos...
Aš tikiu tuo …

3. Ar galite rasti skaičių nuo 1 iki 500 sumą? Kokį metodą naudosite šiai problemai išspręsti?

Bibliografija.

1. Algebra, 9 kl. Pamoka skirta švietimo įstaigų. Red. G.V. Dorofejeva. M.: „Švietimas“, 2009 m.

Pirmas lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ dar VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip begalinė skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

Ką daryti, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:

Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Mums pateikiama aritmetinė progresija, susidedanti iš šiuos skaičius: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuosime naudodami mūsų formulę:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Tegu tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

ankstesnis progresavimo terminas yra:
kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, norėdami rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, turite jas pridėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas...

Kai Carlui Gaussei buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje paskyrė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai apžiūrėkite paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.

Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi, o panašios poros yra lygios, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
Ką tu gavai?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo užduotas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kam lygi skaičių, prasidedančių nuo th, suma ir skaičių, prasidedančių nuo th, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir didžiausias to meto statybos projektas - piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.

Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 būdas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratau? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
Laikydami rąstus, medkirčiai sukrauna juos taip, kad kiekvienas viršutinis sluoksnis yra vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
(savaitės = dienos).
Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.
Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos daliai rasti:
Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
Pakeiskime turimus duomenis į formulę:
Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.
Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
Pakeiskime duomenis į formulę:
Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

- skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:

, kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos th narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kuris? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir 3-iojo nuo galo suma yra vienoda ir t.t. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
.
Atsakymas:
Čia pateikiama: , reikia rasti.
Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
.
Pakeiskite reikšmes:
Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
(km).
Atsakymas:
Duota:. Rasti:.
Tai negali būti paprasčiau:
(trinti).
Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Pirmas lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:

Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Tegu tada:

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

ankstesnis progresavimo terminas yra:
kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
Ką tu gavai?

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų projektą – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

1 būdas.

2 būdas.

Treniruotės

Užduotys:

Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
Saugodami rąstus, kirtėjai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
(savaitės = dienos).
Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.
Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos daliai rasti:
Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
Pakeiskime turimus duomenis į formulę:
Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.
Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
Pakeiskime duomenis į formulę:
Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

- skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:

, kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos th narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kuris? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
.
Atsakymas:
Čia pateikiama: , reikia rasti.
Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
.
Pakeiskite reikšmes:
Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
(km).
Atsakymas:
Duota:. Rasti:.
Tai negali būti paprasčiau:
(trinti).
Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti ir pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Šios formulės įsiminti (arba lavinti) neužtenka. Turite suprasti jo esmę ir taikyti formulę įvairiose problemose. Ir taip pat reikiamu momentu nepamiršti, taip...) Kaip nepamiršti- Nežinau. Ir čia kaip atsiminti Jei reikės, būtinai patarsiu. Tiems, kurie baigia pamoką iki galo.)

Taigi, pažiūrėkime į aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas apskritai yra formulė? Beje, pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas tai yra n-asis terminas.

Apskritai progresą galima parašyti kaip skaičių seką:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys, a 4- ketvirtas ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtoji - s a 120.

Kaip galime tai apibrėžti bendrai? bet koks aritmetinės progresijos terminas, su bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Raidė n paslepia visus narių numerius iš karto: 1, 2, 3, 4 ir t.t.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvok, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę...

Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir išspręskite daugybę kitų progresavimo problemų. Toliau patys pamatysite.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė sujungia pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d Ir n. Visos progresavimo problemos sukasi apie šiuos parametrus.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, problema gali reikšti, kad progresą nurodo sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali būti aklavietėje... Nėra nei serijos, nei skirtumo... Bet, palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 = 5 ir d = 2.

Ir gali būti dar blogiau!) Jei laikysime tą pačią sąlygą: a n = 5 + (n-1) 2, Taip, atversti skliaustus ir atsinešti panašių? Gauname naują formulę:

a n = 3 + 2n.

Tai Tik ne bendrai, o konkrečiam progresui. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmas terminas yra penki... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Progresavimo problemose yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, kaip jūs atspėjote, progresavimo terminas „n plius pirmasis“. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei imamės kokios nors problemos a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 randami pasikartojimo formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos narį per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Kaip galime iš karto suskaičiuoti, tarkime, dvidešimtą terminą? a 20? Bet jokiu būdu!) Kol nesužinosime 19-osios kadencijos, negalime skaičiuoti 20-osios. Tai yra esminis skirtumas tarp pasikartojančios formulės ir n-ojo nario formulės. Pasikartojantys darbai tik per ankstesnis terminas, o n-ojo nario formulė yra per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos eilės tvarka.

Aritmetinėje progresijoje pasikartojančią formulę lengva paversti įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. Su tokiais uždaviniais dažnai susiduriama Valstybinėje mokslų akademijoje.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirma, pažiūrėkime tiesioginis taikymas formules. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Pateikiama aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Šią problemą galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti ir pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite nustatyti laiką.) Nuspręskime.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 = 3, d = 1/6. Belieka išsiaiškinti, kas yra lygus n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Taigi rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Mes pakeičiame visus skaičius į formulę ir apskaičiuojame:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą terminą ir tūkstantį trečią – bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir skaičiuojame.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą gudresniu būdu. Susidurkime su tokia problema:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš jums pasakysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Užsirašykite rankomis tiesiai į sąsiuvinį:

a n = a 1 + (n-1)d

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Ar tai? Jei manote, kad taip, tada problemos neišspręsite, taip...

Mes vis dar turime numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du parametrai. Tai ir septyniolikto termino reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors... ir be galvos.)

Dabar galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, pakeisime:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Tai iš esmės viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir jį apskaičiuoti. Atsakymas bus toks: a 1 = 6.

Ši technika – formulės užrašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – puikiai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos išvis nesimokyti...

Kitas populiarus galvosūkis:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pasvarstykime, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypač pabrėšiu!) n = 15. Nedvejodami pakeiskite tai į formulę:

12=2 + (15-1)d

Mes atliekame aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 Ir d nusprendė. Belieka sužinoti, kaip rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Mums žinomus kiekius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n- tai tam tikras progresijos narys su skaičiumi n...Ir mes žinome šį progresijos narį! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, Taigi šis skaičius yra tai, ką jums reikia rasti. Progresijos terminą 99 pakeičiame į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 yra aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, parametrų nėra? Hm... Kodėl mums skiriamos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos terminą? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 = -3,6. Skirtumas d Ar galite pasakyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taigi, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susitvarkyti nežinomas numeris n o nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome... Ką daryti!? Na, ką daryti, ką daryti... Įjunkite Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. parašome formulę (taip, taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą galime padaryti? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Tai yra kažkur tarp šimto pirmosios ir šimto antrosios kadencijos. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. yra teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos su rastu skaičiumi narys. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: Nr.

Užduotis, pagrįsta tikra GIA versija:

Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:

a n = -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nustatomas neįprastai. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi – mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Viskas gerai, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse problemose, mes pakeičiame n=1į šią formulę:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Dešimtojo termino ieškome taip pat:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė šias eilutes, pažadėta premija.)

Tarkime, sunkioje kovinėje valstybinio egzamino ar vieningo valstybinio egzamino situacijoje pamiršote naudingą aritmetinės progresijos n-ojo etapo formulę. Kažką prisimenu, bet kažkaip neaiškiai... Arba n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Ne itin griežtai, bet dėl pasitikėjimo ir teisingas sprendimas tikrai užtenka!) Norint padaryti išvadą, pakanka prisiminti elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir skirti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Nubrėžkite skaičių liniją ir pažymėkite joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir mes pastebime skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Ne veltui kai kuriuos žodžius paryškinu paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis).

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad tarpų skaičius, t.y. d, Visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, į skaičių n, tarpų skaičius valios n-1. Todėl formulė bus tokia (be variacijų!):

a n = a 1 + (n-1)d

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tada... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendimo prijungti visą galingą matematikos arsenalą - lygtis, nelygybes, sistemas ir kt. Negalite įterpti paveikslėlio į lygtį...

Savarankiško sprendimo užduotys.

Apšilti:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problemą galima išspręsti per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Tačiau norint įvaldyti formulę, ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta naudojant paveikslėlį ir formulę. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenorite piešti?) Žinoma! Geriau pagal formulę, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija nurodoma pasikartojančiu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktojo kadencijos... Ne visi sugeba tokiam žygdarbiui.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygas raskite progresijos mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga lygi -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) "Pirštų galiukų" metodas čia neveiks. Teks rašyti formules ir spręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės atsargiai. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ketvirtajam – fantazijos elementas, šeštajam – subtilus momentas, ir bendrieji požiūriai išspręsti bet kokias problemas, susijusias su n-ojo termino formule - viskas išrašyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.