Šioje pamokoje mes pažvelgsime į įvairius demonstracinius nelygybę ir išmokti juos nuspręsti, remiantis paprasčiausios demonstracinės nelygybės sprendimo būdu
1. Orientacinės funkcijos apibrėžimas ir savybės
Prisiminkite orientacinės funkcijos apibrėžimą ir pagrindines savybes. Tai yra savybių, kad visų orientacinių lygčių ir nelygybės sprendimas yra pagrįstas.
Eksponentinė funkcija - tai yra formos, kai laipsnio pagrindas ir čia yra nepriklausomas kintamasis, argumentas; Y - priklausomas kintamasis, funkcija.
Fig. 1. Suplanuokite orientacinę funkciją
Grafikas rodo didėjančius ir mažėjančius dalyvius, iliustruojančius orientacinę funkciją didesnio vieneto ir mažesnio vieneto pagrindu, bet dideliais nuliais, atitinkamai.
Abi kreivės praeina per tašką (0; 1)
Orientacinės funkcijos savybės:
Domenas: ;
Vertės plotas:;
Monotonos funkcija, didėja, sumažėja.
Monotono funkcija užima kiekvieną savo vertę vienintelė argumento vertė.
Kai argumentas didėja nuo minuso iki plius begalybės, funkcija didėja nuo nulio, neįskaito iki begalybės, t. Y., su šiais argumentų vertėmis turime monotoniškai didėjančią funkciją (). Priešingai, kai argumentas padidėja nuo minuso iki plius begalybės, funkcija mažėja nuo begalybės iki nulio nėra įskaičiuota, t. Y., su šiomis argumento vertybėmis turime monotoniškai mažėjančią funkciją ().
2. Paprasčiausias demonstracinis nelygybė, sprendimų technika, pavyzdys
Remiantis tuo, kas išdėstyta, mes pateikiame paprasčiausią demonstracinės nelygybės sprendimo būdą:
Nekalumo sprendimų metodai:
Išlyginkite laipsnių pagrindus;
Palyginkite rodiklius, taupymą ar keitimą į priešingą nelygybės požymį.
Sudėtingų demonstracinių nelygybės sprendimas yra kaip taisyklė, jų informacija yra paprasčiausias orientacinė nelygybė.
Laipsnio pagrindas yra didesnis už vienetą, tai reiškia, kad nelygybės požymis yra palaikoma:
Mes paverame dešinę pusę pagal laipsnio ypatybes:
Laipsnio pamatas yra mažesnis už vienetą, nelygybės ženklas turi būti pakeistas į priešingą:
Norėdami išspręsti kvadratinį nelygybę, išspręsta atitinkama kvadratinė lygtis:
"Vieta" teorema suranda šaknis:
Parabola filialai yra nukreipti.
Taigi mes turime nelygybės sprendimą:
Tai lengva atspėti, kad tinkama dalis gali būti atstovaujama kaip laipsnis su nuliniu rodikliu:
Laipsnio pagrindas yra vieningos, nelygybės ženklas nesikeičia, mes gauname:
Prisiminkite tokių nelygybės sprendimo būdą.
Mes manome, kad frakcinė racionali funkcija:
Rasti apibrėžimo sritį:
Mes randame funkcijos šaknis:
Funkcija turi vienintelę šaknį, 
Pasirinkite suderinimo intervalus ir nustatykite funkcijos požymius kiekviename intervale:
Fig. 2. Signalo intervalai
Taigi jie gavo atsakymą.
Atsakymas: 
3. Tipinių orientacinių nelygybės sprendimas
Apsvarstykite nelygybę su tais pačiais rodikliais, bet įvairiais bazėmis.
Vienas iš orientacinės funkcijos savybių - ji trunka griežtai teigiamas vertybes su jokių argumentų vertėmis, tai reiškia, kad galima suskirstyti orientacinę funkciją. Atlikti tam tikros nelygybės padalijimą į dešinę jo dalį:
Laipsnio įkūrimas yra vienintelis, išsaugomas nelygybės ženklas.
Mes iliustruojame sprendimą:
6.3 pav. Parodomi funkcijų grafikai ir. Akivaizdu, kad kai argumentas yra didesnis nei nulis, funkcijų grafikas yra aukščiau, ši funkcija yra didesnė. Kai argumento vertės yra neigiamos, funkcija eina žemiau, tai yra mažesnė. Funkcijos argumento vertė yra lygi, tai reiškia, kad šis taškas taip pat yra nustatytos nelygybės sprendimas.
Fig. 3. 4 pavyzdys iliustracija
Mes konvertuojame iš anksto nustatytą nelygybę pagal laipsnio ypatybes:
Mes suteikiame panašius narius:
Mes padalijome abi dalis:
Dabar mes ir toliau sprendžiame analogiškai į 4 pavyzdį, mes padalijame abi dalis:
Laipsnio įkūrimas yra vienintelis, nelygybės ženklas yra prižiūrimas:
4. orientacinių nelygybės grafinis sprendimas
6 pavyzdys - išspręskite nelygybę grafiškai:
Apsvarstykite funkcijas kairėje ir dešinėje dalyje ir sukurti kiekvieno iš jų tvarkaraštį.
Funkcija yra eksponentas, didėja per visą savo apibrėžimo sritį, t. Y., su visomis galiojančiomis argumento vertybėmis.
Funkcija yra linijinė, mažėja per visą savo apibrėžimo sritį, t. Y. su visomis galiojančiomis argumento vertybėmis.
Jei šios funkcijos susikerta, tai yra, sistema turi tirpalą, tada toks sprendimas yra vienintelis ir lengva atspėti. Norėdami tai padaryti, eikite per sveikus skaičius ()
Tai lengva pamatyti, kad šios sistemos šaknis yra:
Taigi funkcijų grafikai susikerta tašku, su argumentu lygi vienai.
Dabar jums reikia gauti atsakymą. Nurodytos nelygybės reikšmė yra ta, kad eksponentas turėtų būti didesnis arba lygus linijinei funkcijai, tai yra didesnė arba sutapo su ja. Akivaizdus atsakymas: (6.4 pav.)
Fig. 4. 6 pavyzdys iliustracija
Taigi, mes apsvarstėme įvairių tipiškų orientacinių nelygybės sprendimą. Be to, mes atliekame sudėtingesnius demonstravimo nelygybę.
Bibliografija
Mordkovich A. G. Algebra ir pradėjo matematinę analizę. - m.: Mnemozin. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra ir pradėjo matematinę analizę. - m.: Lašas. Kolmogorov A.N., Abramovas A. M., Dudnitsyn Yu. P. ir kiti. Algebra ir pradėjo matematinę analizę. - m.: Apšvietimas.
Matematika. Md. Matematikos pakartojimas. Com. Diffur. kemsu. Ru.
Namų darbai
1. Algebra ir pradinė analizė, 10-11 klasė (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, Nr. 472, 473;
2. Išspręskite nelygybę:
3. Išspręskite nelygybę.
Orientacinės lygtys ir nelygybė mano, kad tokios lygtys ir nelygybė, kurioje nežinoma yra laipsnio rodikliu.
Orientacinių lygčių sprendimas dažnai yra sumažintas iki išspręstos X lygties \u003d A B, kur A\u003e 0, ir ≠ 1, X - nežinoma. Ši lygtis turi vienintelę šaknį x \u003d b, nes ši teorinė yra tiesa:
Teorema. Jei a\u003e 0, a ≠ 1 ir a x 1 \u003d a x 2, tada x 1 \u003d x 2.
Pateisina laikomą patvirtinimą.
Tarkime, kad lygybė x 1 \u003d x 2 nėra atlikta, t.y. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, tada turėtų būti atlikta orientacinė funkcija Y \u003d x padidėjimas ir todėl nelygybė ir x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > ir x 2. Abiem atvejais mes gavome prieštaravimo sąlygą a x 1 \u003d a x 2.
Apsvarstykite kelias užduotis.
Išspręskite 4 ∙ 2 x \u003d 1 lygybę.
Sprendimas.
Mes parašytume lygtį 2 2 ∙ 2 x \u003d 2 0 - 2 x + 2 \u003d 2 0, iš kur gausime x + 2 \u003d 0, i.e. x \u003d -2.
Atsakymas. x \u003d -2.
Išspręskite 2 3x ∙ 3 x \u003d 576 lygybę.
Sprendimas.
Nuo 2 3 x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, lygtis gali būti parašyta kaip 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 arba 24 x \u003d 24 2 forma.
Iš čia mes gauname x \u003d 2.
Atsakymas. x \u003d 2.
Išspręskite 3 x + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bx - 2 \u003d 25.
Sprendimas.
Kairėje skliausteliuose pusėje, bendras daugiklis 3 x - 2, mes gauname 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
kur 3 x - 2 \u003d 1, t.y. X - 2 \u003d 0, X \u003d 2.
Atsakymas. x \u003d 2.
Išspręskite 3 x x \u003d 7 x lygybę.
Sprendimas.
Nuo 7 x ≠ 0, lygtis gali būti parašyta 3 x / 7 x \u003d 1, iš kur (3/7) x \u003d 1, x \u003d 0.
Atsakymas. x \u003d 0.
Išspręskite 9 x lygtį - 4 ∙ 3 x - 45 \u003d 0.
Sprendimas.
3 x \u003d ir ši lygtis sumažinama iki kvadratinės lygties A 2 - 4A - 45 \u003d 0.
Šios lygties sprendimas, mes randame savo šaknis: 1 \u003d 9 ir 2 \u003d -5, iš kur 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
3 lygtis x \u003d 9 turi šaknį 2, o 3 lygtis x \u003d -5 neturi šaknų, nes orientacinė funkcija negali priimti neigiamų verčių.
Atsakymas. x \u003d 2.
Orientacinių nelygybės sprendimas dažnai sumažinamas iki nelygybės sprendimo a x\u003e a b arba a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Apsvarstykite kai kurias užduotis.
Išspręskite 3 x nelygybę< 81.
Sprendimas.
Mes rašome nelygybę 3 x forma< 3 4 . Так как 3 > 1, tada funkcija y \u003d 3 x didėja.
Todėl X< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Taigi, x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 X.< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Atsakymas. H.< 4.
Išspręskite nelygybę 16 x +4 x - 2\u003e 0.
Sprendimas.
Žymi 4 x \u003d t, tada mes gauname kvadratinę nelygybę t2 + t - 2\u003e 0.
Ši nelygybė atliekama t< -2 и при t > 1.
Nuo t \u003d 4 x, mes gauname dvi nelygybę 4 x< -2, 4 х > 1.
Pirmoji nelygybė nėra sprendimai, nuo 4 x\u003e 0 visiems x € R.
Antroji nelygybė užfiksuojama 4 x\u003e 4 0, kur x\u003e 0.
Atsakymas. x\u003e 0.
Grafiškai išspręskite lygtį (1/3) x \u003d x - 2/3.
Sprendimas.
1) Sukūrėme funkcijų grafikus Y \u003d (1/3) x ir y \u003d x - 2/3.
2) Remiantis mūsų brėžiniu, galima daryti išvadą, kad laikomų funkcijų grafikai susikerta taške su abscisa x ≈ 1. Patikrina tai
x \u003d 1 - šios lygties šaknis:
(1/3) 1 \u003d 1/3 ir 1 - 2/3 \u003d 1/3.
Kitaip tariant, mes radome vieną iš lygties šaknų. 
3) Radome kitas šaknis arba įrodyti, kad nėra tokių. Funkcija (1/3) x sumažėjimas, o funkcija y \u003d x - 2/3 didėja. Todėl, X\u003e 1, pirmosios funkcijos vertės yra mažesnės nei 1/3, o antrasis yra didesnis nei 1/3; x.< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 ir H.< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Atsakymas. x \u003d 1.
Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant šią problemą, visų pirma, tai reiškia, kad nelygybė (1/3) x\u003e X - 2/3 atliekama x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
svetainė, visiškai arba dalinis kopijavimas medžiagos nuoroda į pradinį šaltinį reikalingas.
Daugelis mano, kad demonstracinės nelygybės yra toks sudėtingas ir nesuprantamas. Ir ką išmokti juos nuspręsti - beveik dideli menai, kurie gali būti tik suvokti ...
Visas breech! Orientacinė nelygybė yra lengva. Ir jie visada išsprendžiami. Na, beveik visada. :)
Šiandien mes analizuosime šią temą kartu ir visoje. Ši pamoka bus labai naudinga tiems, kurie tik pradeda suprasti šį mokyklos matematikos dalį. Pradėkime nuo paprastų užduočių ir mes pereisime prie sudėtingesnių problemų. Šiandien nebus alavo, bet tai, ką jūs dabar perskaitysite, kad būtų galima išspręsti daugumą bet kokio kontrolės ir savarankiško darbo. Ir ant šio egzamino taip pat.
Kaip visada, pradėkime nuo apibrėžimo. Orientacinė nelygybė yra bet kokia nelygybė, kurioje yra orientacinė funkcija. Kitaip tariant, jis visada gali būti sumažintas iki rūšies nelygybės
[(a) ^ (x)) \\ t
Jei $ B $ vaidmuo gali būti bendras skaičius, o gal kažkas kita. Pavyzdžiai? Taip prašau:
[pradžia (suderinimas) ir ((2) ^ (x)) \\ t4; \\ t ((2) ^ (x - 1)) \\ l le frac (1) (\\ t \\ t Quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ t 16; Ir (0,1) ^ (1-x)) \\ t 0,01; quad ((2) ^ (frac (x) (2)) \\ l lt ((4) ^ (FRAC (4) (\\ t x)). Pabaiga (derinti) \\ t
Manau, kad reikšmė yra aiški: yra orientacinė funkcija $ (a) ^ (x)) $, palyginti su kažkuo, ir tada paprašyta rasti $ x $. Ypač klinikiniai atvejai, o ne kintamasis $ x $, kai funkcija $ f (x teisinga) $ ir taip tampa šiek tiek nelygybė. :)
Žinoma, kai kuriais atvejais nelygybė gali atrodyti sunkesnė. Pavyzdžiui:
[(9) ^ (x)) + 8 gt ((3) ^ (x + 2)) \\ t
Ar net čia:
Apskritai tokių nelygybės sudėtingumas gali būti labiausiai skirtingi, tačiau galų gale jie vis dar sumažinami iki paprasto $ (a) ^ (x)) \\ t Ir su tokiu dizainu, mes kažkaip suprantame (ypač klinikinių atvejų, kai nieko ateina, logaritmai padės mums). Todėl dabar mes paminsime tokius paprastus dizainus.
Paprasčiausios demonstracinės nelygybės sprendimas
Apsvarstykite viską gana paprasta. Pavyzdžiui, tai yra:
[((2) ^ (x)) \\ t4 \\ t
Akivaizdu, kad dešinės numeris gali būti perrašytas kaip dviejų laipsnių forma: $ 4 \u003d ((2) ^ (2)) $. Taigi pradinė nelygybė perrašoma labai patogia forma:
[((2) ^ (x)) \\ t ((2) ^ (2)) \\ t
Ir dabar rankos bus subraižyti "kirsti", kad "Twos" stovi laipsnių pagrindu, kad gautumėte atsakymą $ x gt $ 2. Bet prieš tai, kas ten apgauti, prisiminkime laipsnius:
[((2) ^ (1)) \u003d 2; quad (((2) ^ (2)) \u003d 4; quad ((2) ^ (3)) \u003d 8; quad ((2) ^ (4) \u003d 16; ... \\ t
Kaip matome, tuo didesnis skaičius yra rodikliu, tuo daugiau numerio išėjimo. "Ačiū, dangtelis!" - išsiaiškinkite ką nors iš mokinių. Ar tai skiriasi? Deja, tai atsitinka. Pavyzdžiui:
[((((1) (2)))) ^ (1)) \u003d frac (1) (2); \\ t \\ t Dešinėje)) ^ (2)) \u003d frac (1) (4); \\ quad (((paliekamas (kairėn ((1) (2))) ^ (3)) \u003d \\ t ); ... \\ t
Čia taip pat viskas yra logiška: kuo daugiau laipsnių, tuo daugiau kartų skaičius 0,5 yra padaugintas savaime (tai yra, jis yra padalintas į pusę). Taigi, gauta numerių seka mažėja, o skirtumas tarp pirmojo ir antrojo sekos susideda tik į bazę:
- Jei laipsnis $ 1 GT $ 1, tada, kai rodiklis auga $ N $ numeris $ ((a) ^ (n)) $ taip pat augs;
- Ir priešingai, jei $ 0 Lt $ 1 $, nes indikatorius auga $ n $ numeris $ ((a) ^ (n)) $ sumažės.
Apibendrinant šiuos faktus, mes gauname svarbiausią pareiškimą, kuriuo remiamasi visų orientacinių nelygybės sprendimas yra įkurta:
Jei $ a $ 1, tada nelygybė $ (a) ^ (x)) gt (a) ^ (n)) $ yra lygiavertis nelygybai apie $ x gt n $. Jei $ 0 Lt 1 $, tada nelygybė yra $ ((a) ^ (x)) \\ t (a) ^ (n)) $ yra lygiavertis nelygybė $ x \\ lt n $.
Kitaip tariant, jei pagrindas yra didesnis už vienetą, jis gali būti tiesiog pašalintas - nelygybės ženklas nepasikeis. Ir jei pagrindas yra mažesnis nei vienas, jis taip pat gali būti pašalintas, tačiau tuo pačiu metu turite pakeisti nelygybės ženklą.
Atkreipkite dėmesį: mes nematome galimybių $ a \u003d 1 $ ir $ a 0 $. Kadangi šiais atvejais atsiranda neapibrėžtumas. Tarkime, kaip išspręsti tipo nelygybę ((1) ^ (x)) \\ t3 $? Įrenginys bet kokiu mastu duos vienetą - mes niekada negausime trigubo ar daugiau. Tie. Nėra sprendimų.
Su neigiamais priežastimis vis dar įdomiau. Apsvarstykite tokią nelygybę:
[(kairėje (-2 (-2)) ^ (x)) \\ t
Iš pirmo žvilgsnio viskas yra paprasta:
Tiesa? Ir čia nėra! Pakanka pakeisti vietoj $ x $ pora paruoštas ir pora nelyginių skaičių, kad įsitikintumėte, jog sprendimas yra neteisingas. Pažiūrėk:
[pradžia (sulygiu) & x \u003d 4 riedarrow ((kairėje (-2 (-2)) ^ (4)) \u003d 16 gt 4; \\\\ & x \u003d 5 \\ jungčių ((kairėje (-2 dešinėje)) ^ (5)) \u003d - 32 Lt; \\\\ & x \u003d 6 riedarrow ((kairėje (-2 (-2)) ^ (6)) \u003d 64 gt 4; \\\\ & x \u003d 7 \\ jungčių ((kairėje (-2 (-2)) ^ (7)) \u003d - 128 Lt. \\ t
Kaip matote, ženklai pakaitiniai. Tačiau yra daugiau dalinių laipsnių ir kitų alavo. Kaip, pavyzdžiui, norėdami suskaičiuoti $ ((kairėje (-2 (-2)) ^ (SQRT (7))) $ (minus du kartus į septynių šaknų laipsnį)? Taip, nieko!
Todėl tikrumo, manoma, kad visose orientacinėse nelygybės (ir lygtys, beje, taip pat) $ 1 ne a 0 $. Ir tada viskas išspręsta labai:
[(a) ^ (x)) gt (a) ^ (n)) \\ t liko [pradžia (sulygiu) & x \\ t lifto (a \\ t 1 teisinga), "Quad" kairėn (0 \\ LT 1 į dešinę). End (derinti) teisingai. \\ T
Apskritai, dar kartą prisiminkite pagrindinę taisyklę: jei orientacinės lygties pagrindas yra didesnis nei vienas, jis gali būti tiesiog pašalintas; Ir jei bazė yra mažesnė nei viena, ji taip pat gali būti pašalinta, bet nelygybės požymis pasikeis.
Sprendimų pavyzdžiai.
Taigi, apsvarstykite keletą paprastų demonstracinių nelygybės:
[pradžia (suderinimas) ir ((2) ^ (x - 1)) \\ l le frac (1) (\\ t \\ t (2)); Ir (0,1) ^ (1-x)) \\ l LT 0,01; \\\\ & (2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ t 16; Ir (0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ t "GE" (1) (25). Pabaiga (derinti) \\ t
Pagrindinė užduotis visais atvejais yra tas pats: sumažinti nelygybę paprasčiausiai tipo $ (a) ^ (x)) gt (a) ^ (n)) $. Tai yra tai, ką mes dabar darome su kiekviena nelygybė, ir tuo pačiu metu mes pakartoti laipsnių savybes ir orientacinę funkciją. Taigi eikime!
[((2) ^ (x - 1)) \\ l le frac (1) (\\ t \\ t (2)) \\ t
Ką aš galiu padaryti čia? Na, kairėje, mes turime demonstracinę išraišką, tai nėra būtina nieko keisti. Bet dešinėje yra tam tikras šūdas: frakcija ir net vardiklio root!
Tačiau prisiminkime taisykles dėl darbo su frakcijomis ir laipsniais:
[pradžia (suderinimas) ir (1) ((a) ^ (n)) \u003d (a) ^ (- n)); sqrt [k] (a) \u003d (a) ^ (1) (1) (k))). Pabaiga (derinti) \\ t
Ką tai reiškia? Pirma, mes galime lengvai atsikratyti frakcijos, paversti jį į laipsnį su neigiamu rodikliu. Ir, antra, nes šaknų stendai vardiklyje būtų malonu paversti jį į laipsnį - šį kartą su daliniu rodikliu.
Šiuos veiksmus nuosekliai taikyti į dešinę nelygybės pusę ir pažiūrėkite, kas vyksta:
[Frac (1) (SQRT (2)) \u003d ((kairėje ((į kairę (\\ t))) ^ (- 1)) \u003d ((kairėje ((((2) ^) (((2) ^) 1) (3)))))) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (frac (1) (3) \\ t liko (-1 į dešinę)) \u003d ((2) ^ (- 1) (1) (3)) \\ t
Nepamirškite, kad pastatydami laipsnį šių laipsnių rodiklių laipsnį pridėti. Apskritai, dirbant su orientacinėmis lygtimis ir nelygybe, būtina žinoti bent paprasčiausias taisykles dėl darbo su laipsniais:
[pradžia (sulygiu) ir (a) ^ (x)) cbot ((a) ^ (y)) \u003d (a) ^ (x + y)); Frac ((a) ^ (x))) ((a) ^ (y)) \u003d (a) ^ (x-y)); \\\\ & (((((A) ^ (x))))) ^ (y)) \u003d (a) ^ (x cdot y)). Pabaiga (derinti) \\ t
Tiesą sakant, paskutinė taisyklė mes tiesiog taikėme. Todėl mūsų pradinė nelygybė bus perrašyta taip:
[((2) ^ (x - 1)) \\ l le frac (1) ((1) ((2)) ((2) ^ (x - 1)) \\ l le ((2) ^ (- \\ t Frac (1) (3)) \\ t
Dabar atsikratykite dviejų pagrindo. Nuo 2\u003e 1, nelygybės ženklas išliks tas pats:
[pradžia (derinti) & x-1 le - frac (1) (3) \\ l le 1- (1) (3) \u003d frac (2) (3); \\\\ į kairėn (- aibty; frac (2) (3) teisinga]. \\ T
Tai visas sprendimas! Pagrindiniai sunkumai visai nėra poveikio funkcijai, tačiau kompetentinga originalios išraiškos transformacija: jums reikia atidžiai ir maksimaliai padidinti jį į paprasčiausią protą.
Apsvarstykite antrąją nelygybę:
[((0,1) ^ (1-x)) \\ LT 0,01] \\ t
Taip. Čia mes laukiame dešimtainių frakcijų. Kaip jau daug kartų kalbėjau bet kokiomis raidėmis su laipsniais, turėtumėte atsikratyti dešimtainių frakcijų - dažnai galima pamatyti greitą ir paprastą sprendimą. Taigi mes atsikratysime:
[pradžia (sulygiu) ir 0,1 \u003d frac (1) (10); quad 0,01 \u003d frac (1) (100) \u003d ((kairėje (kairė (1 frac (1) (10) \\ t ) ^ (2)); Ir (0,1) ^ (1-x)) \\ l lt 0,01 riedarrow (((paliekamas (kairėn ((1) (10))) ^ (1-x)) \\ l Frac (1) (10))) ^ (2)). Pabaiga (derinti) \\ t
Neseniai buvo paprasčiausia nelygybė ir net su 1/10, t.y. Mažai vienetų. Na, mes pašaliname pamatų, perduodame ženklą su "mažiau" į "daugiau", ir mes gauname:
[pradžia (suderinkite) ir 1-x gt 2; 2-1 gt; 1 GT 1; & x \\ LT -1. Pabaiga (derinti) \\ t
Gavęs galutinis atsakymas: $ x į kairę (- 000; -1 dešinę) $. Atkreipkite dėmesį: atsakymas yra būtent rinkinys ir jokiu būdu nėra XIX $ dizainas. Kadangi formaliai toks dizainas nėra daug, ir nelygybė, palyginti su $ x $ kintamąjį. Taip, tai yra labai paprasta, tačiau tai nėra atsakymas!
Svarbi pastaba. Ši nelygybė galėtų būti išspręsta kitaip - pateikiant abi dalis su laipsniu su pagrindu, dideliu vienetu. Pažiūrėk:
[1) (1) (10) \u003d (((10) ^ (- 1)) \\ riedarrow (((((10) ^ (- 1))))) ^ (1-x)) \\ t \\ L ((kairėje (((10) ^ (- 1))))) ^ (2)) ((10) ^ (- 1 cdot)) \\ t Lt ((10) ^ (- 1 cdot 2) \\ t
Po tokios transformacijos vėl gauname demonstracinę nelygybę, bet su baze 10\u003e 1. Ir tai reiškia, kad galite tiesiog kirsti dešimtuką - nelygybės požymių nepasikeis. Mes gauname:
[pradžia (sulygiu) ir -1 cdot liko (1-x teisinga) \\ lt -1 cdot 2; & x-1 Lt -2; & x \\ LT -2 + 1 \u003d -1; & x \\ LT -1. Pabaiga (derinti) \\ t
Kaip matote, atsakymas pasirodė esąs tas pats. Tuo pačiu metu išgelbėjome save nuo poreikio pakeisti ženklą ir paprastai prisiminti kai kurias taisykles. :)
[((2) ^ ((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ 7 LT 16 \\ t
Tačiau tegul tai bijo. Taigi, kad taip pat nėra rodiklių, pati sprendžiant nelygybę technologija išlieka tokia pati. Todėl mes atkreipiame dėmesį į tai, kad pradėsime nuo 16 \u003d 2 4. Aš perrašau originalią nelygybę, atsižvelgiant į šį faktą:
[pradžia (sulygiu) ir ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) Lt ((2) ^ (4)); ir (x) ^ (2)) - 7x + 14 Lt; ir (x) ^ (2)) - 7x + 10 Lt 0. \\ t
Hooray! Mes turime įprastą kvadratinę nelygybę! Ženklas nepasikeitė niekur, nes prie pagrindo yra du kartus - skaičius, daugiau vienetų.
Nulinės funkcijos skaitmeniniame tiesioginiame
Mes nustatėme FUNKCIJOS PUNKTAI $ F (x)) \u003d ((x) ^ (2)) - 7x + $ 10 - akivaizdu, kad tai bus parabolį su šakomis, todėl bus "pliusai". . Mes esame suinteresuoti toje vietovėje, kurioje funkcija yra mažesnė nei nulis, t.y. $ X į kairę (2; 5 teisinga) $ yra atsakymas į pradinę užduotį.
Galiausiai, apsvarstykite kitą nelygybę:
[((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ t "GE" (1) (25) \\ t
Vėlgi matome orientacinę funkciją su dešimtainė frakcija prie pagrindo. Perkelkite šią frakciją į įprastą:
[Pradžia (sulygiu) ir 0,2 \u003d frac (2) (10) \u003d \\ t frac (1) (5) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ revieni (0, 2 \\ t ) ^ (1 + ((x) ^ (2))) \u003d (((((5) ^ (- 1))))) ^ (1 + (((1 + (((1 +) )) \u003d ((5) ^ (- 1 cdot į kairę (1 + ((x) ^ (2))))))) \\ t
Šiuo atveju, mes pasinaudojome anksčiau pateiktomis pastabomis - bazė buvo sumažinta iki numerio 5\u003e 1 supaprastinti tolesnį sprendimą. Taip pat ir su teisinga dalimi:
[Frac (1) (25) \u003d ((kairėje ((1) (1) (5))) ^ (2)) \u003d (((((5) ^ (- 1)) \\ t Dešinėje)) ^ (2)) \u003d ((5) ^ (- 1 cdot 2)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\ t
Aš perrašau originalią nelygybę, atsižvelgiant į abi transformacijas:
[((0,2) ^ ((1 + ((x) ^ (2)))) \\ t "GE" (1) (25) \\ DEUNARROW ((5) ^ (- 1 cdot (1+ (1+ (1+ ( (x) ^ (2))))))) \\ tE ((5) ^ (- 2)) \\ t
Abiejų pusių pagrindai yra tokie patys ir pranašesni. Ant dešinėje ir kairėje nėra jokių kitų terminų, todėl jie tiesiog "sugriežtinkite" penkis ir gauti paprastą išraišką:
[pradžia (suderinimas) ir -1 cdot į kairę (1 + ((x) ^ (2)) \\ ge -2; & -1 - ((x) ^ (2)) \\ ge -2; \\ We & (x) ^ (2)) \\ ge -2 + 1; \\\\ &- (x) ^ (2)) \\ t liko | "Fabot" kairėje (-1 dešinėje). ir (x) ^ (2)) \\ lE 1. \\ t
Čia būtina būti atsargūs. Daugelis studentų mėgsta tiesiog išgauti kvadratinę šaknį savo abiejų nelygybės dalių ir parašyti kažką į $ X LE 1 DUNECARROW X \\ t liko (- 100; -1 į dešinę] $. Norėdami tai padaryti Jokiu būdu, nes tikslios aikštės šaknis yra modulis, o jokiu būdu nėra originalus kintamasis:
[Sqrt (((x) ^ (2)) \u003d liko | X teisinga | \\ t
Tačiau darbas su moduliais nėra maloniausia profesija, tiesa? Taigi mes neveiksime. Ir vietoj to mes tiesiog perkame visas sąlygas į kairę ir išspręstume įprastą intervalų nelygybę:
$ pradžia (sulygiu) ir ((x) ^ (2)) - 1 LE 0; kairėn (x-1 į dešinę) į kairę (x + 1 į dešinę) \\ LE 0 \\ l (x) _ (1)) \u003d 1; quad ((x) _ (2)) \u003d \u003d -1; Pabaiga (derinti) $
Mes vėl atkreipiame dėmesį į taškus, gautus skaitmeniniame tiesiai ir žiūrėti ženklus:
Pastaba: taškai yra nudažyti Kadangi išsprendėme neįtikėtiną nelygybę, visi grafiko taškai yra nudažyti. Todėl atsakymas bus toks: $ x į kairę [-1; 1 teisingai] $ - ne intervalas, būtent segmentas.
Apskritai norėčiau pastebėti, kad nėra nieko sudėtinga orientacinėje nelygybėje. Visų mūsų atliktų transformacijų reikšmė yra sumažinta iki paprasto algoritmo:
- Raskite pagrindą, į kurią išspręsime visi laipsniai;
- Švelniai atlikti konversiją taip, kad nevienodas $ (a) ^ (x)) gt (a) ^ (n)) $ yra gaunamas. Žinoma, vietoj $ x $ ir $ n $ kintamųjų, daug sudėtingų funkcijų gali stovėti, tačiau jis nebus pakeistas iš jo;
- Streikuoti laipsnių pagrindą. Tuo pačiu metu nelygybės ženklas gali pasikeisti, jei bazė yra $ 1 Lt $ 1.
Iš esmės tai yra visuotinis algoritmas visoms tokiems nelygybei spręsti. Ir viskas, ką jums pasakysite šia tema - tik konkretūs metodai ir gudrybės, leidžiantys supaprastinti ir pagreitinti transformaciją. Čia kalbėsime apie vieną iš šių metodų. :)
Racionalizavimo metodas
Apsvarstykite kitą nelygybės partiją:
[pradžia (sulygiu) ir ((teksto (teksto () \\ m. \\ t) Tekstas ()) ^ (x + 7)) gt ((tekstas (tekstas (tekstas () \\ n ! \\ NĖRA ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\\\ & (kairėje (2 (2) (3) -3)) ^ ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ l LT 1; ir (kairė (kairė (1) (3))) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ t \\ t ((kairė (kairė (1 frac (1) (9) Teisinga) ^ (16-x)); \\\\ & (3-2 (2-2) į dešinę)) ^ (3x - ((x) (((x) ^ (2)))))).
Taigi, kas jiems taip ypatinga? Jie yra plaučiai. Nors, sustabdykite! Numeris π yra pastatytas į bet kokį laipsnį? Kokia nesąmonė?
Ir kaip sukurti daugiau nei 2 JAV dolerius (3) -3 $? Arba $ 3-2 SQRT (2) $? Prieš sėdėdami darbui, akivaizdžiai kovojo su "Hawthorn". :)
Iš tiesų šiose užduotyse nieko baisaus. Leiskite jums priminti: orientacinė funkcija vadinama tipo $ (a) ^ (x)) $, kur bazė $ A $ yra bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vienetą. Numeris π teigiamai yra mes taip pat žinome. Numbers 2 USD (3) -3 $ ir $ 3-2 SQRT (2) $ taip pat yra teigiamas - lengva įsitikinti, ar lyginate juos su nuliu.
Pasirodo, kad visos šios "bauginančios" nelygybės nesiskiria nuo paprasto, aptartos pirmiau? Ir yra išspręstos taip pat? Taip, gerai. Tačiau jų pavyzdžiu norėčiau apsvarstyti vieną priėmimą, kad labai taupo laiką savarankiškam darbui ir egzaminams. Tai bus apie racionalizavimo metodą. Taigi, dėmesys:
Bet orientacinė nelygybė tipo $ ((a) ^ (x)) gt ((a) ^ (n)) $ yra lygiavertis $ $ kairėn (xn teisinga) \\ t liko (A-1 Teisinga) \\ t0 $.
Tai visas metodas. :) Ir jūs manote, kad būtų kito žaidimo? Nieko panašaus! Tačiau šis paprastas faktas užregistruotas vienoje eilutėje labai supaprastins JAV darbą. Pažiūrėk:
[pradžia (matrica) ((tekstas (tekstas () \\ m. \\ t) Tekstas ()) ^ (x + 7)) gt ((tekstas (tekstas () ! \\ T TEKSTAS ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ t -3x + 2 į dešinę) \\ t liko cbot (Tekstas ()!! \\ M. \\ T Tekstas () -1 į dešinę) \\ t0 \\ t 0 \\ t
Taigi ne daugiau orientacinių funkcijų! Ir nepamirškite: ženklas pasikeičia, ar ne. Tačiau atsiranda nauja problema: ką daryti su baimės koeficientu [liko (tekstas (tekstas () ... \\ m.) \\ T \\ t tekstas () -1 teisingas)? Mes nežinome, kas yra lygi tiksliam numerio π vertei. Tačiau kapitonas yra akivaizdus, \u200b\u200bkaip ir užuomina:
(Tekstas () \\ m. \\ T Tekstas () maždaug 3,14 ... \\ t3 \\ t liekomendacijos tekstas () \\ N! \\ N! ) -1 gt 3-1 \u003d 2]
Apskritai, tiksli vertė π yra ypač skirtinga, o ne tai, ar tai yra tik svarbu mums suprasti, kad bet kuriuo atveju $ € () \\ N! -1 GT $ 2, t .. Tai yra teigiamas pastovus, ir mes galime suskirstyti abi nelygybės dalį:
[pradžia (sulygiu) liko (x + 7- "kairėn (((x) ^ (2)) - 3x + 2) \\ t lifto (Tekstas () \\ t PI! Tekstas () -1 dešinėn) \\ t 0 \\\\ & x + 7- į kairę (((x) ^ (2)) - 3x + 2 teisinga) \\ t 0; ir x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 gt 0; \\ We & - (x) ^ (2)) + 4x + 5 gt 0; \\ t "Fabot" kairėje (-1 dešinėje). ir (x) ^ (2)) - 4x-5 Lt; "Left" (x-5 dešinėn) likti (x + 1 į dešinę) \\ l lt 0. \\ t
Kaip matote, tam tikru momentu turėjau padalyti vienetą atėmus - tuo pačiu metu pasikeitė nelygybės ženklas. Galų gale, aš suskaidau kvadratinį trigubą Vieta teorem - akivaizdu, kad šaknys yra lygios $ ((x) _ (1)) \u003d 5 $ ir $ ((x) _ (2)) \u003d - $ 1. Toliau viskas išspręsta klasikiniu intervalo metodu:
Išspręskite nelygybę intervalais Visi taškai yra klausiama, nes pradinė nelygybė yra griežta. Mes esame suinteresuoti plotas su neigiamomis vertėmis, todėl atsakymas yra: $ x į kairę (-1; 5 teisingai) $. Tai yra visas sprendimas. :)
Pasukkime kitą užduotį:
[((kairėje (2 (2) (3) -3)) ^ ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ t \\ t
Čia viskas yra paprasta, nes teisė yra verta vieneto. Ir mes prisimename, kad įrenginys yra bet koks skaičius iki nulio. Net jei šis skaičius yra neracionali išraiška, stovi kairės apačioje:
[pradžia (sulygiu) ir ((kairėje (2 (2) (3) -3)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \\ l. 2 (3) -3 į dešinę)) ^ (0)); (kairėn (2) (2) (3) -3)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ t Lt ((paliekamas (kairėn (2 (2) (2) (2 \\ t Dešinėje) ^ (0)); Pabaiga (derinti) \\ t
Na, mes atliekame racionalizavimą:
[pradžia (sulygiu) liko (((x) ^ (2)) - 2x-0) \\ t fabot (2) (2) (2) (3) -3-1) \\ l LT 0; į kairę (((x) ^ (2)) - 2x-0) \\ t fabot (2) (2) (2) (3) -4) \\ l lt 0; Kairėje ((x) ^ (2)) - 2x-0 (dešinėn)) \\ t liquot ((x)) \\ t
Jis lieka tik su ženklais. $ 2 kairiojo daugiklio (SQRT (3) -2 į dešinę) $ nėra kintamas $ x $ yra tik pastovus, ir mes turime išsiaiškinti savo ženklą. Norėdami tai padaryti, atkreipiame dėmesį į:
[pradžia (matrica) \\ t \\ t \\ t \\ t \\ t \\ t \\ t 2 \\ sHROWARROW \\ l liko (qrt (3) -2 į dešinę) \\ lt 2 \\ t liko (2 \\ t -2 į dešinę) \u003d 0 \\ t pabaigoje (matrica) \\ t
Pasirodo, kad antrasis veiksnys yra ne tik pastovus, bet ir neigiamas pastovus! Ir kai dalijant į jį, pradinės nelygybės ženklas pasikeis į priešingą:
[pradžia (suderinimas) į kairę (((x) ^ (2)) - 2x-0) \\ t fantazijos 2 kairėn (\\ t (3) (3) -2) \\ lt 0; ir (x) ^ (2)) - 2x-0 gt 0; Ėlapio kairė (x-2 į dešinę) \\ t 0. \\ t
Dabar viskas tampa visiškai akivaizdu. Kvadratinio trigubo, stovinčio dešinėje, šaknys: $ (x) _ (1)) \u003d 0 $ ir $ ((x) _ (2)) \u003d $ 2. Atkreipiame dėmesį į skaitmeninį tiesų ir pamatyti funkcija $ f (x teisinga) \u003d x kairėn (x-2 teisinga) $:
Byla yra, kai mes esame suinteresuoti šoniniais intervalais Mes esame suinteresuoti intervalais, pažymėtus "plius" ženklu. Tik lieka rašyti atsakymą:
Eikite į šį pavyzdį:
[((((1) (3)))) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ t \\ t Dešinėje)) ^ (16-x)) \\ t
Na, viskas yra visiškai akivaizdi čia: pagrindais yra to paties numerio laipsniai. Todėl aš trumpai parašysiu viską:
[pradžia (matrica) (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)); \\ t frac (1) (9) \u003d frac (1) ((1) ((1) 2)) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\ sHARrow \\\\ (((((3) ^ (- 1)))) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) gt ((((3) ^ (- 2))))) ^ (16-x)) \\\\\\ galo (matrica) \\ t
[pradžia (sulygiu) ir ((3) ^ (- 1 cdot (((x) ^ (2)) + 2x))))))))))))))))) \\ t \\ t \\ t ((3) ^ (- 2 cdot \\ t kairėje (16-x teisingi)); Ir (3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); Kairėje (- (x) ^ (2)) - 2x- liekomenduojami (-32 + 2x į dešinę) \\ t liko (3-1 į dešinę) \\ t 0; \\ We & (x) ^ (2)) - 2x + 32-2x gt 0; \\ We & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 gt 0; quad \\ t "Fabot" kairėje (-1 dešinėje). ir (x) ^ (2)) + 4x-32 Lt; "Left" (X + 8 į dešinę) liko (x-4 į dešinę) \\ l lt 0. \\ t
Kaip matote, transformacijų procese turėjau padauginti neigiamą skaičių, todėl buvo pakeistas nelygybės ženklas. Pabaigoje aš pakartotinai kreipiau į Vietos teoriją, kad suskaidytų kvadratinių trigubo daugiklių. Kaip rezultatas, atsakymas bus šie: $ X į kairę (-8; 4 teisingai) $ - tiems, kurie nori įsitikinti, kad piešdami skaitmeninį tiesioginį, pažymėdamas taškų ir skaičiavimo ženklus. Ir tuo tarpu mes kreipiamės į paskutinę nelygybę iš mūsų "rinkinio":
[((kairėje (((3-2) (2)))) ^ (3x - ((x) ((x) ^ (2)))))) \\ t \\ t
Kaip matote, apačioje vėl yra neracionalus numeris, o vienetas vėl stovi ant dešinės. Todėl mes perrašome savo orientacinę nelygybę taip:
[((kairėje (3-2 (2-2) į dešinę)) ^ (3x - ((x) (((x) ^ (2)))) ((kairėn (3-2 (2) \\ t Dešinėje)) ^ (0)) \\ t
Mes taikome racionalizavimą:
[pradžia (suderinimas) liko (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ t lifto (3-2 (2) -1) \\ l LT 0; Kairėje (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ t liko (2-2 (2-2)) \\ l lt 0; Kairėje (3x - ((x) ^ (2)) - 0) \\ t fabot 2 liko (1- \\ t a (2) į dešinę) \\ l 0 \\\\ 0 \\ t
Tačiau tai yra gana akivaizdu, kad $ 1 - SQRT (2) Lt 0 $, nuo $ sqrt (2) maždaug 1.4 ... GT $ 1. Todėl antrasis veiksnys yra naujai neigiamas pastovumas, už kurį galima suskirstyti abi nelygybės dalį:
[pradžia (matrica) į kairę (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ t liko cbot 2 (1-sqrt (2) į dešinę) \\ lt 0 \\ nugarro \\ l Pabaiga (matrica) \\ t
[pradžia (sulygiu) ir 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ t 0; & 3x - ((x) ^ (2)) \\ t 0; "Fabot" kairėje (-1 dešinėje). \\\\ & (x) ^ (2)) - 3x; Ėlapio kairė (x-3 į dešinę) \\ l lt 0. \\ t
Perėjimas prie kitos bazės
Atskira problema sprendžiant orientacinę nelygybę yra "teisingo" bazės paieška. Deja, ne visada, kai aš pirmą kartą pažvelgiu į užduotį, akivaizdu, kad imtis fondo ir ką daryti šio fondo laipsnį.
Tačiau nesijaudinkite: nėra jokios magijos ir "slaptos" technologijos. Matematikoje, bet kokie įgūdžiai, kurie negali būti algoritmizuoti, gali būti lengvai sukurta praktika. Tačiau dėl to turės išspręsti skirtingų sudėtingumo lygių problemas. Pavyzdžiui, čia yra:
[pradžia (sulygiu) ir ((2) ^ (frac (x) (2))) \\ l lt ((4) ^ (frac (4) (x))); \\\\ & ((į kairę (frac (1) (3))) ^ ((3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)); ir (kairėje (kairėje (0.16)) ^ (1 + 2x)) CDOT ((paliekamas (kairėn (6.25)) ^ (x)) \\ t \\\\ & (frac (27) ((27)))) ^ (- x)) \\ t ((9) ^ (4-2x)) \\ t Pabaiga (lygi) \\ t
Sudėtinga? Baugus? Taip, tai yra lengviau nei vištienos ant asfalto! Pabandykime. Pirmoji nelygybė:
[(2) ^ (frac (x) (2))) \\ l lt ((4) ^ (frac (4) (x)) \\ t
Na, manau, kad čia viskas yra aiški čia:
Mes perrašome originalią nelygybę, mažinant viską į "dvi" bazę:
[((2) ^ (frac (x) (2))) \\ l ((2) ^ (frac (8) (x))) \\ eilutė (frac (x) (2) - FRAC (8) (x) į dešinę) \\ t liko (2-1 dešinėn) \\ l LT 0 \\]
Taip, taip, jūs visi supratote viską: aš tiesiog taikiau pirmiau aprašytą racionalizavimo metodą. Dabar reikia kruopščiai dirbti: mes turėjome dalinį racionalią nelygybę (tai yra toks kintamasis vardiklyje), todėl prieš lyginant kažką į nulį, būtina viską atnešti į bendrą vardiklį ir atsikratyti pastovaus daugiklio.
[pradžia (sulygiu) ir į kairę (frac (x) (2) - frac (8) (x) į dešinę) \\ t liko (2-1 į dešinę) \\ lt 0; į kairę (((x) ^ (2)) - 16) (2x) teisinga) \\ t cdot 1 lt 0; FRAC ((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ l 0. \\ t
Dabar mes naudojame standartinį intervalo metodą. Nutrifier Zeros: $ x \u003d 4 $ 4. Denominatorius reiškia nulį tik X \u003d 0 $. Iš viso trijų taškų, kurie turėtų būti pažymėti skaitmeninėje tiesioje linijoje (visi otkolino taškai, nes nelygybės ženklas yra griežtas). Mes gauname:
Sunkiau: trys šaknys Kadangi tai nėra sunku atspėti, perinti pažymima tie intervalai, kai išraiška kairėje yra neigiamos vertės. Todėl galutinis atsakymas bus per du intervalus:
Intervalų pabaiga neatsako, nes pradinė nelygybė buvo griežta. Nereikalaujama jokių papildomų patikrinimų. Šiuo atžvilgiu orientacinė nelygybė yra daug lengviau nei logaritminė: nėra jokių apribojimų ir kt.
Eikite į kitą užduotį:
[((((1) (3))) ^ (frac (3) (x))) \\ TE ((3) ^ (2 + x)) \\ t
Čia taip pat nėra jokių problemų, nes mes jau žinome, kad $ frac (1) (3) \u003d (((3) ^ (- 1)) $, todėl visa nelygybė gali būti perrašyta taip: \\ t
[pradžia (sulygiu) ir ((((3) ^ (- 1))))) ^ (frac (3) (x)) \\ ge ((3) ^ (2 + x) )) ((3) ^ (- frac (3) (x))) ge ((3) ^ (2 + x)); kairėn (- frac (3) (x) - kairė (2 + x teisinga) \\ t liko (3-1 į dešinę) \\ g 0; "FREC" (- (3) (x) -2-x teisinga) \\ t, \\ t : Liko (-2 dešinėn). Frac (3) (x) + 2 + x \\ l le 0; Frac ((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) le 0. \\ t
Atkreipkite dėmesį: trečiojoje eilutėje nusprendžiau ne gerai ir nedelsiant padalinti viską (-2). Pirmasis laikiklis praėjo (dabar yra pliusai visur), o du sumažėjo pastoviu veiksniu. Būtent tai būtina veikti atliekant realius skaičiavimus dėl nepriklausomų ir bandymų darbų - nebūtina dažyti kiekvieną veiksmą ir transformaciją.
Be to, atvyksta intervalo metodas. Numerolo nuliai: ir jie nėra. Nes diskriminant bus neigiamas. Savo ruožtu, denominatorius yra atstatytas tik $ x \u003d 0 $ - kaip paskutinį kartą. Na, aišku, kad į dešinę nuo $ x \u003d 0 $ frakcija imsis teigiamų verčių, o kairė yra neigiama. Kadangi mes esame suinteresuoti tiksliai neigiamomis vertėmis, tada galutinis atsakymas: $ x į kairę (- ° °: 0) $.
[((kairėje ((0.16)) ^ (1 + 2x)) CDOT ((kairėje (6.25)) ^ (x)) \\ t
Ir kas turėtų būti padaryta su dešimtainėmis dalimis orientacinėmis nelygybe? Teisė: atsikratykite jų, verčiant į įprastą. Taigi mes perkeliame:
[pradžia (sulygiu) ir 0,16 \u003d \\ t frac (16) (100) \u003d \\ t frac (4) (25) \\ riedarrow ((paliekama (kairė (kairė (0,16)) \u003d ( Kairė (4) (25) teisinga)) ^ (1 + 2x)); & 6,25 \u003d frac (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ jungčių ((paliekama (kairėn (6.25 \\ t 25) (4))) ^ (x)). Pabaiga (derinti) \\ t
Taigi, ką mes patekome į orientacines funkcijas? Ir mes gavome du abipusiškai atvirkštinius numerius:
[FRAC (25) (4) \u003d ((((FRAC) ((4) (25))) ^ (- 1)) \\ t Dešinėje) ^ (x)) \u003d ((((((((() ((((4) (25))))) ^ (x)) \u003d ((kairėje) (Frac (4) (25))) ^ (- x)) \\ t
Taigi pradinė nelygybė gali būti perrašyta taip:
[Pradžia (sulygiu) ir ((kairė (kairė ((4) (25))) ^ (1 + 2x)) \\ tBOT ((kairė (kairė (4) ((4) (25) \\ t ) ^ (- x)) \\ ge 1; ir (kairė (lifto (4) (25))) ^ (1 + 2x + liko (-X (-s))) \\ ge ((paliekama (kairė (4) (25 ))) ^ (0)); (kairė (4) (25) į dešinę)) ^ (x + 1)) ge ((kairė (kairė ((4) (25))) ^ (0)) . Pabaiga (derinti) \\ t
Žinoma, dauginant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai yra sulankstyti, kurie įvyko antroje eilutėje. Be to, mes pristatėme vienetą, stovintį dešinėje, taip pat laipsnio forma, pagrįsta 4/25. Tik vykdyti racionalizavimą:
[((((FRAC (FRAC (4) (25))) ^ (x + 1)) "GE" ((paliekamas (kairėn ((4) (4) (25))) ^ (0)) Į kairę (x + 1-0 į dešinę) \\ t liko (frac (4) (25) -1 į dešinę) \\ t
Atkreipkite dėmesį, kad $ frac (4) (25) -1 \u003d FRAC (4-25) (25) \\ l LT 0 $, t.e. Antrasis veiksnys yra neigiamas pastovus, ir kai jis dalijasi, nelygybės ženklas pasikeis:
[pradžia (derinti) & x + 1-0 \\ l le 0 \\ l le -1; "Fir" kairėje (- egty; -1 į dešinę]. \\\\\\ Pabaiga (lygi) \\ t
Galiausiai paskutinė nelygybė iš dabartinio "rinkinio":
[((((FRAC) ((27) (qrt (3)))) ^ (- x)) \\ 7 LT ((9) ^ (4-2x)) \\ t
Iš esmės, sprendimo idėja taip pat aišku: visos orientacinės funkcijos, įtrauktos į nelygybę turi būti sumažintos pagal "3" pagrindu. Tačiau dėl to turės Tinker su šaknimis ir laipsniais:
[pradžia (suderinimas) (27) (27) ((27)) \u003d FRAC (((3) ^ (3))) ((3) ^ (1) (1) (3))) ) \u003d (3) ^ (3- (1) (3))) \u003d ((3) ^ (8) (3)); & 9 \u003d ((3) ^ (2)); quad 81 \u003d ((3) ^ (4)). Pabaiga (derinti) \\ t
Atsižvelgiant į šiuos faktus, pradinė nelygybė gali būti perrašyta taip:
[pradžia (sulygiu) ir (((((3) ^) ((8) (3)))))) ^ (- x)) \\ l lt ((kairėje ((((3)) ^ (2)))) ^ (4-2x)) "CDOT" ((3) ^ (4)); \\\\ ((3) ^ (- 8x) (3))) \\ l lt ((3) ^ (8-4x)) \\ t cdot ((3) ^ (4)); Ir (3) ^ (- frac (8x) (3))) \\ l lt ((3) ^ (8-4x + 4)); Ir (3) ^ (- frac (8x) (3))) \\ l lt ((3) ^ (4-4x)). Pabaiga (derinti) \\ t
Atkreipkite dėmesį į antrą ir trečiąjį skaičiavimų liniją: prieš tai darydami su nelygybe, būtinai atneškite jį į tą patį dalyką apie tai, apie kurią kalbėjomės nuo pat pamokos pradžios: $ (a) ^ (x)) \\ t (a) ^ (n)) $. Tol, kol turite į kairę arba į dešinę, yra keletas kairiųjų daugiklių, papildomų konstantų ir kt. nėra racionalizavimo ir "šlifavimo" priežastis negali būti atlikta! Nesuskaičiuojamos užduotys buvo netinkamai dėl šio paprasto fakto nesusipratimo. Aš nuolat stebiu šią problemą savo studentams, kai tiesiog pereisime orientacinės ir logaritminės nelygybės analizės.
Bet grįžkime prie mūsų užduoties. Pabandykime šį kartą daryti be racionalizavimo. Mes prisimename: laipsnio bazė yra daugiau nei vienetas, todėl trejetas gali tiesiog keisti - nelygybės požymis nepasikeis. Mes gauname:
[pradžia (sulygiu) ir - (8x) (3) \\ l LT 4-4X; & 4x- \\ frac (8x) (3) \\ l LT 4; (4x) (3) 8 Lt; & 4x; \\\\ 3. \\ t 3 pabaiga (lygi) \\ t
Tai viskas. Galutinis atsakymas: $ x į kairę (- airty; 3 teisingai) $.
Stabilios išraiškos pasirinkimas ir kintamojo keitimas
Apibendrinant, siūlau išspręsti dar keturis demonstracinius nelygybę, kuri jau yra visiškai sudėtinga nepasiruošusiems studentams. Norėdami susidoroti su jais, turite prisiminti darbo su laipsniais taisykles. Visų pirma, bendrųjų skliaustų veiksnių išdavimas.
Tačiau svarbiausia yra išmokti suprasti: ką tiksliai galima išimti iš skliaustų. Tokia išraiška vadinama stabili - ją galima žymėti nauju kintamąjį ir taip atsikratyti orientacinės funkcijos. Taigi, pažvelkime į užduotis:
[pradžia (sulygiu) ir ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ t Ir (3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90; \\\\ & (25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ t 2500; (kairėn (0,5)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ t 768. \\ t
Pradėkime nuo pirmos eilutės. Mes užrašome šią nelygybę atskirai:
[((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ t
Atkreipkite dėmesį, kad $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d (((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\ t - iš dalies gali perrašyti:
Atkreipkite dėmesį, kad nėra kitų orientacinių funkcijų, išskyrus $ ((5) ^ (x + 1)) $, nėra nelygybės. Ir apskritai niekur kitur nėra jokio kintamo $ x $, todėl pristatome naują kintamąjį: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d t $. Mes gauname šį dizainą:
[pradžia (suderinti) ir 5t + t 6; & 6t \\ ge 6; "Eb" (derinimas) \\ t
Grįžtame į pradinį kintamąjį ($ t \u003d (((5) ^ (x + 1)) $), o tuo pačiu metu prisiminame, kad 1 \u003d 5 0. Mes turime:
[pradžia (sulygiu) ir ((5) ^ (x + 1)) ge ((5) ^ (0)); & x + 1 GE 0; "GE -1". Pabaiga (derinti) \\ t
Tai visas sprendimas! Atsakymas: $ x į kairę [-1; + 100 į dešinę) $. Eikite į antrą nelygybę:
[(3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ t
Čia yra vienodi. Atkreipkite dėmesį, kad $ (3) ^ (x + 2)) \u003d ((3) ^ (x)) cbot (((3) ^ (2)) \u003d 9 cdot ((3) ^ (x)) $. Tada kairė dalis gali būti perrašyta:
[Pradžia (sulygiu) ir ((3) ^ (x)) + 9 cdot ((3) ^ (x)) \\ t 9 quad \\ t kairėje | ((3) ^ (x)) \u003d t. "& T + 9T" GE 90; & 10t ge 90; "Dimyarrow" ((3) ^ (x)) \\ ge 9 riedarrow ((3) ^ (x)) ge ((3) ^ (2)); "GE 2" DEUNARROW X į kairę [2; + 100 į dešinę). Pabaiga (derinti) \\ t
Taip yra būtina priimti sprendimą dėl realios kontrolės ir savarankiško darbo.
Na, pabandykime kažką sudėtingiau. Pavyzdžiui, čia yra nelygybė:
[(25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ t 2500 \\ t
Kokia problema čia? Visų pirma, iš orientacinių funkcijų, stovinčių kairėje, skirtingi: 5 ir 25. Tačiau 25 \u003d 5 2, todėl pirmąjį terminą galima konvertuoti:
[pradžia (sulygiu) ir ((25) ^ (x + 1.5)) \u003d (((((5) ^ (2))))) ^ (x + 1.5)) \u003d ((5 \\ t ) ^ (2x + 3)); Ir (5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ tbot 5. \\ t \\ T
Kaip matome, mes visi vedėme į tą pačią bazę, o tada pastebėjau, kad pirmasis terminas lengvai pasiekiamas iki antrojo - tiesiog skaidyti rodiklį. Dabar galite saugiai įvesti naują kintamąjį: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d T $, ir visa nelygybė perrašys:
[pradžia (sulygiu) ir 5t-t); & 4t GE 2500; "GE 625 \u003d ((5) ^ (4)); Ir (5) ^ (2x + 2)) ge ((5) ^ (4)); & 2x + 2; & 2x ge 2; "Eb" (derinimas) \\ t
Ir vėl jokių sunkumų! Galutinis Atsakymas: $ x į kairę [1; + ai į dešinę) $. Eikite į galutinę nelygybę šiandieninėje pamokoje:
[((kairėje (kairėje (0,5)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ t 768 \\ t
Pirmas dalykas, kurį reikia atkreipti dėmesį į tai, žinoma, dešimtainė dalis pirmojo laipsnio pagrindu. Būtina atsikratyti jo, ir tuo pačiu metu pareikšti visas orientacines funkcijas į tą pačią bazę - skaičius "2":
[pradžia (suderinimas) ir 0,5 \u003d frac (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ riedarrow ((kairėje (kairėje (0.5)) ^ (- 4x- 8)) \u003d \u003d ((kairėje (((2) ^ (- 1))))) ^ (- 4x-8)) \u003d ((2) ^ (4x + 8)); & 16 \u003d ((2) ^ (4)) ((16) ^ (x + 1.5)) \u003d ((kairėje ((((2) ^ (4))))) ^ (x + 1.5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); Ir (2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ t 768. \\ t
Puikus, mes padarėme pirmąjį žingsnį - viskas lėmė tą patį pagrindą. Dabar būtina skirti stabilią išraišką. Atkreipkite dėmesį, kad $ ((2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)) "CDOT $ 4". Jei įvesite naują kintamąjį $ ((2) ^ (4x + 6)) \u003d t $, tada pradinė nelygybė gali būti perrašyta taip:
[pradžia (suderinti) ir 4t-t 768; Ir 3t 768; 256 \u003d ((2) ^ (8)); Ir (2) ^ (4x + 6)) gt ((2) ^ (8)); & 4x + 6 gt 8; & 4x gt 2; \\ T frac (1) (2) \u003d 0,5. Pabaiga (derinti) \\ t
Žinoma, gali kilti klausimas: kaip mes pastebėjome, kad 256 \u003d 2 8? Deja, jums reikia žinoti laipsnio atskaitymus (ir tuo pačiu trigubo ir penkių laipsnio). Na, arba padalinkite 256-2 (galima padalinti, nuo 256 taškų numerio), kol gausime rezultatą. Tai atrodys taip:
[Pradžia (sulygiu) ir 256 \u003d 128 cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 cdot 2 cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 a \\ T cdot 2 cdot 2 \u003d \\ t \\ t \\ t2 \\ t \\ t "CDOT 2 \\ t" CDOT 2 \\ t "CDOT 2 \\ t" CDOT 2 \\ t "CDOT 2 \\ t Cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 acto 2 cdot 2 \u003d ((2) ^ (8)). ]
Tas pats su trigubu (9, 27, 81 ir 243 yra jos laipsniai) ir su septyniais (49 ir \u200b\u200b343 numeriai, taip pat būtų gerai prisiminti). Na, o viršūnės taip pat turi "gražų" laipsnius žinoti:
[pradžia (sulygiu) ir ((5) ^ (2)) \u003d 25; Ir (5) ^ (3)) \u003d 125; Ir (5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & (5) ^ (5)) \u003d 3125. Pabaiga (derinti) \\ t
Žinoma, visi šie numeriai gali būti atkurta proto, jei pageidaujama, tiesiog padauginkite juos vieni kitiems. Tačiau, kai jūs turite išspręsti keletą demonstracinių nelygybės, ir kiekvienas kitas yra sudėtingesnis nei ankstesnis, tada pastaroji, ką noriu galvoti - tai yra tam tikri skaičiai. Ir šia prasme šios užduotys yra sudėtingesnės nei "klasikinis" nelygybė, išspręsta intervalo metodu.
ir x \u003d b yra paprasčiausia orientacinė lygtis. Jam a. Daugiau nulio I. bet Nėra lygus vienam.
Orientacinių lygčių sprendimas
Nuo orientacinės funkcijos savybių žinome, kad jo vertybių plotas riboja teigiamų realių skaičių. Tada, jei b \u003d 0, lygtis neturi sprendimų. Ta pati situacija vyksta lygtyje, kur b
Dabar mes įdėjome, kad b\u003e 0. Jei orientacinėje funkcijoje a. Daugiau vienetų, funkcija bus didėja visoje apibrėžimo srityje. Jei orientacinė bazės funkcija bet Užbaigta ši sąlyga 0 Remiantis tuo ir taikant teoremo ant šaknies, mes gauname, kad a x \u003d b lygtis turi vieną šaknį su b\u003e 0 ir teigiamų a. Nėra lygus vienam. Norėdami jį rasti, būtina atstovauti B formoje B \u003d a c. Apsvarstykite tokį pavyzdį: išspręskite 5 lygtį (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 25. Įsivaizduokite 25 kaip 5 2, mes gauname: 5 (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 5 2. Arba kas yra lygi: x 2 - 2 * x - 1 \u003d 2. Mes išsprendžiame gautą kvadratinę lygtį bet kuriuo iš žinomų metodų. Mes gauname dvi šaknis x \u003d 3 ir x \u003d -1. Atsakymas: 3; -1. Aš išsprendžiu 4 x - 5 * 2 x + 4 \u003d 0. Mes pakeisime: t \u003d 2 x ir mes gauname šią kvadratinę lygtį: t 2 - 5 * t + 4 \u003d 0. Dabar išsprendžiame 2 x \u003d 1 ir 2 x \u003d 4 lygtį. Atsakymas: 0; 2. Paprasčiausios demonstracinės nelygybės sprendimas taip pat grindžiamas didėjančios ir mažėjančios funkcijos savybėmis. Jei pagrindinė funkcija A yra didesnė už įrenginį, funkcija padidės visoje apibrėžimo srityje. Jei orientacinė bazės funkcija bet Atliekama ši sąlyga 0 Apsvarstykite pavyzdį: išspręsti nelygybę (0,5) (7 - 3 * x)< 4. Atkreipkite dėmesį, kad 4 \u003d (0,5) 2. Tada nelygybė bus forma (0,5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Mes gauname: 7 - 3 * x\u003e -2. Taigi: H.<3. Atsakymas: H.<3. Jei nelygybė, bazė buvo daugiau vieningos, tada pristatant iš žemės, nelygybės ženklas nebūtų reikalingas.
Tada tai akivaizdu nuo. Tai bus X lygties lygtis \u003d a c.
Išspręsime šią lygtį bet kuriam žinomiems metodams. Mes gauname šaknis t1 \u003d 1 t2 \u003d 4Orientacinių nelygybės sprendimas
Įkeliama ...