Kā atrast kvadrātfunkcijas parabolas virsotnes koordinātas. Parabola - kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Formas kur funkcija tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.

Kvadrātfunkcijas grafiks - parabola.


Apskatīsim gadījumus:

I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA

Tas ir , ,

Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:


Atzīmē punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (in šajā gadījumā solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemsim, jo ​​vienmērīgāka būs līkne), mēs iegūstam parabolu:


Ir viegli saprast, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, mēs iegūstam parabolu, kas ir simetriska pret asi (oh). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:


II GADĪJUMS, “a” ATŠĶIRAS NO VIENOTĪBAS

Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


Pirmajā attēlā (skatīt augstāk) ir skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi mēs domājam arī 2. un 3. attēla gadījumā.

Un kad parabola “kļūst platāka” par parabolu:


Apkoposim:

1)Koeficienta zīme nosaka zaru virzienu. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos” un “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola, jo mazāka |a|, jo platāka parabola.

III LIETAS, PARĀDĀS "C".

Tagad ievadīsim spēli (tas ir, apsvērsim gadījumu, kad), mēs apsvērsim formas parabolas. Nav grūti uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola virzīsies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:



IV LIETAS, PARĀDĀS “b”.

Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstās būt vienāds?

Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .

Tātad šajā punktā (tāpat kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) būvēsim parabolu, ko jau varam izdarīt. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.

Piemēram, parabolas virsotne:

Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas parauga, jo mūsu gadījumā.

Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordināšu atrašanas ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:

1) parabola noteikti izies cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas ar asi (oy) krustošanās punkta ordināta ir . Mūsu piemērā (iepriekš), parabola šķērso ordinātu punktā , jo .

2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs nekavējoties ņemam punktu (0; -2) un izveidojam to simetriski attiecībā pret parabolas simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.

3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (oh). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mūsu diskriminanta sakne nav vesels skaitlis, konstruējot, mums nav lielas jēgas atrast saknes, bet mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar asi (oh) (kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tātad, pieņemsim to ārā

Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā

1) noteikt zaru virzienu (a>0 – uz augšu, a<0 – вниз)

2) mēs atrodam parabolas virsotnes koordinātas, izmantojot formulu , .

3) atrodam parabolas krustpunktu ar asi (oy), izmantojot brīvo terminu, konstruējam punktu, kas ir simetrisks šim punktam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka gadās, ka atzīmēt ir neizdevīgi šis punkts, piemēram, jo ​​vērtība ir liela... mēs izlaižam šo punktu...)

4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) konstruējam parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu

1. piemērs


2. piemērs


1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to konstruēt būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?

Ņemsim kvadrātveida trinomu un izolēsim tajā visu kvadrātu: Skaties, mēs sapratām, ka , . Mēs ar jums iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.

Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (attiecībā pret ). Tas ir, mēs veicam 1. punktu; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).

2. piezīme. Ja parabolu uzrāda līdzīgā formā (tas ir, uzrāda kā divu lineāru faktoru reizinājumu), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Šajā gadījumā – (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.

Droši vien visi zina, kas ir parabola. Bet tālāk mēs apskatīsim, kā to pareizi un kompetenti izmantot, risinot dažādas praktiskas problēmas.

Vispirms aprakstīsim pamatjēdzienus, ko algebra un ģeometrija piešķir šim terminam. Apsvērsim visu iespējamie veidišī diagramma.

Noskaidrosim visas šīs funkcijas galvenās īpašības. Izpratīsim līknes uzbūves (ģeometrijas) pamatus. Uzzināsim, kā atrast šāda veida diagrammas augstākās un citas pamatvērtības.

Noskaidrosim: kā pareizi izveidot vēlamo līkni, izmantojot vienādojumu, kam jāpievērš uzmanība. Apskatīsim pamatus praktiska izmantošanašo unikālo vērtību cilvēka dzīvē.

Kas ir parabola un kā tā izskatās?

Algebra: šis termins attiecas uz kvadrātiskās funkcijas grafiku.

Ģeometrija: šī ir otrās kārtas līkne, kurai ir vairākas specifiskas iezīmes:

Kanoniskais parabolas vienādojums

Attēlā parādīta taisnstūra koordinātu sistēma (XOY), ekstrēma, funkcijas atzaru virziens, kas zīmēts pa abscisu asi.

Kanoniskais vienādojums ir:

y 2 = 2 * p * x,

kur koeficients p ir parabolas (AF) fokusa parametrs.

Algebrā tas tiks rakstīts citādi:

y = a x 2 + b x + c (atpazīstams modelis: y = x 2).

Kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Funkcijai ir simetrijas ass un centrs (ekstrēmums). Definīcijas joma ir visas abscisu ass vērtības.

Funkcijas vērtību diapazons – (-∞, M) vai (M, +∞) ir atkarīgs no līknes atzaru virziena. Parametrs M šeit nozīmē funkcijas vērtību rindas augšpusē.

Kā noteikt, kur ir vērsti parabolas zari

Lai no izteiksmes atrastu šāda veida līknes virzienu, pirms algebriskās izteiksmes pirmā parametra ir jānosaka zīme. Ja a ˃ 0, tad tie ir vērsti uz augšu. Ja ir otrādi, uz leju.

Kā atrast parabolas virsotni, izmantojot formulu

Ekstrēma atrašana ir galvenais solis daudzu praktisku problēmu risināšanā. Protams, jūs varat atvērt īpašu tiešsaistes kalkulatori, bet labāk to izdarīt pašam.

Kā to noteikt? Ir īpaša formula. Ja b nav vienāds ar 0, mums ir jāmeklē šī punkta koordinātas.

Formulas virsotnes atrašanai:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Piemērs.

Ir funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Atradīsim šīs funkcijas virsotnes.

Šādai rindai:

  • x = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Mēs iegūstam virsotnes koordinātas (-2, -41).

Parabolas nobīde

Klasiskais gadījums ir, kad kvadrātfunkcijā y = a x 2 + b x + c otrais un trešais parametrs ir vienāds ar 0 un = 1 - virsotne atrodas punktā (0; 0).

Kustība pa abscisu vai ordinātu asīm ir saistīta ar attiecīgi parametru b un c izmaiņām. Līnija plaknē tiks nobīdīta tieši par vienību skaitu, kas vienāds ar parametra vērtību.

Piemērs.

Mums ir: b = 2, c = 3.

Tas nozīmē, ka klasisks izskats līkne nobīdīsies par 2 vienības segmentiem pa abscisu asi un par 3 pa ordinātu asi.

Kā izveidot parabolu, izmantojot kvadrātvienādojumu

Skolēniem ir svarīgi iemācīties pareizi uzzīmēt parabolu, izmantojot norādītos parametrus.

Analizējot izteiksmes un vienādojumus, jūs varat redzēt sekojošo:

  1. Vēlamās taisnes krustpunktam ar ordinātu vektoru būs vērtība, kas vienāda ar c.
  2. Visi diagrammas punkti (gar x asi) būs simetriski attiecībā pret funkcijas galveno galējību.

Turklāt krustošanās punktus ar OX var atrast, zinot šādas funkcijas diskriminantu (D):

D = (b 2 - 4 * a * c).

Lai to izdarītu, izteiksme ir jāpielīdzina nullei.

Parabolas sakņu klātbūtne ir atkarīga no rezultāta:

  • D ˃ 0, tad x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, tad x 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, tad nav krustošanās punktu ar vektoru OX.

Mēs iegūstam parabolas konstruēšanas algoritmu:

  • noteikt zaru virzienu;
  • atrast virsotnes koordinātas;
  • atrast krustpunktu ar ordinātu asi;
  • atrodiet krustojumu ar x asi.

1. piemērs.

Dota funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Nepieciešams konstruēt parabolu. Mēs sekojam algoritmam:

  1. a = 1, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
  2. galējās koordinātas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. krustojas ar ordinātu asi pie vērtības y = 4;
  4. atradīsim diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
  5. meklēju saknes:
  • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

2. piemērs.

Funkcijai y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 jums ir jākonstruē parabola. Mēs rīkojamies saskaņā ar doto algoritmu:

  1. a = 3, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
  2. galējās koordinātas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. krustosies ar y asi pie vērtības y = -1;
  4. Atradīsim diskriminantu: D = 4 + 12 = 16. Tātad saknes ir:
  • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Izmantojot iegūtos punktus, jūs varat izveidot parabolu.

Virziens, ekscentriskums, parabolas fokuss

Pamatojoties uz kanonisko vienādojumu, F fokusam ir koordinātas (p/2, 0).

Taisnā līnija AB ir virziens (noteikta garuma parabolas akords). Tā vienādojums: x = -p/2.

Ekscentriskums (konstante) = 1.

Secinājums

Apskatījām tēmu, kurā mācās skolēni vidusskola. Tagad, aplūkojot parabolas kvadrātfunkciju, jūs zināt, kā atrast tās virsotni, kurā virzienā tiks virzīti zari, vai ir nobīde pa asīm, un, izmantojot konstruēšanas algoritmu, varat uzzīmēt tās grafiku.

Kvadrātfunkcijas grafiku sauc par parabolu. Šai līnijai ir būtiska fiziska nozīme. Daži pārvietojas pa parabolām debess ķermeņi. Parabolas formas antena fokusē starus, kas darbojas paralēli parabolas simetrijas asij. Ķermeņi, kas izmesti uz augšu leņķī, sniedzas augšējais punkts un nokrist, aprakstot arī parabolu. Acīmredzot vienmēr ir noderīgi zināt šīs kustības virsotnes koordinātas.

Instrukcijas

1. Kvadrātiskā funkcija visā vispārējs skats uzrakstīts ar vienādojumu: y = cirvis? + bx + c. Šī vienādojuma grafiks ir parabola, kuras atzari ir vērsti uz augšu (ja > 0) vai uz leju (ja a)< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в kvadrātvienādojums, iegūt y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Cilvēki, kas pārzina atvasināto attēlojumu, var viegli pamanīt parabolas virsotni. Neatkarīgi no parabolas zaru atrašanās vietas, tās augšdaļa ir galējības punkts (minimālais, ja zari ir vērsti uz augšu, vai maksimums, ja zari ir vērsti uz leju). Lai atrastu jebkuras funkcijas iespējamos ekstremālos punktus, jums jāaprēķina tās pirmais atvasinājums un jāpielīdzina nullei. Kopumā kvadrātfunkcijas atvasinājums ir vienāds ar f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Pielīdzinot nullei, jūs iegūstat 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Parabola ir simetriska līnija. Simetrijas ass iet caur parabolas virsotni. Zinot parabolas krustošanās punktus ar X koordinātu asi, jūs varat viegli atrast virsotnes x0 abscisu. Lai x1 un x2 ir parabolas saknes (tā sauktie parabolas krustošanās punkti ar abscisu asi, jo šīs vērtības pagriež kvadrātvienādojumu ax? + bx + c uz nulli). Tajā pašā laikā pieņemsim |x2| > |x1|, tad parabolas virsotne atrodas pa vidu starp tām un atrodama no tālākās izteiksmes: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Parabola ir kvadrātiskās funkcijas grafiks, parabolas vienādojumu raksta y=aх^2+bх+с, kur a?0; Šī ir universāla otrās kārtas līkne, kas apraksta daudzas dzīves parādības, piemēram, izmesta un pēc tam krītoša ķermeņa kustību, varavīksnes formu un līdz ar to arī zināšanas, ko atklāt. parabola Tas varētu noderēt reālajā dzīvē.

Jums būs nepieciešams

  • – kvadrātvienādojuma formula;
  • – papīra lapa ar koordinātu režģi;
  • – zīmulis, dzēšgumija;
  • – datorprogramma un Excel programma.

Instrukcijas

1. Vispirms atrodiet parabolas virsotni. Lai atrastu šī punkta abscisu, ņem eksponentu pirms x, dala to ar divkāršu eksponentu pirms x^2 un reizini ar -1 (formula x=-b/2a). Atrodiet ordinātas, aizstājot iegūto vērtību vienādojumā vai izmantojot formulu y=(b^2-4ac)/4a. Jūs esat ieguvis parabolas virsotnes koordinātas.

2. Parabolas virsotni var noteikt arī ar citu metodi. Tā kā virsotne ir funkcijas galējais punkts, lai to aprēķinātu, aprēķiniet pirmo atvasinājumu un pielīdziniet to nullei. Vispārīgā formā jūs iegūsit formulu f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Un, pielīdzinot to nullei, jūs nonāksit pie tās pašas formulas - x = -b/2a.

3. Uzziniet, vai parabolas zari ir vērsti uz augšu vai uz leju. Lai to izdarītu, skatiet indikatoru x^2 priekšā, tas ir, a. Ja a>0, tad zari ir vērsti uz augšu, ja a

4. Izveidojiet parabolas simetrijas asi, kas šķērso parabolas virsotni un ir paralēla y asij. Visi parabolas punkti būs vienādā attālumā no tās, tāpēc ir iespējams konstruēt tikai vienu daļu un pēc tam to simetriski attēlot attiecībā pret parabolas asi.

5. Uzzīmējiet parabolas līniju. Lai to izdarītu, atrodiet vairākus punktus, aizstājot dažādas nozīmes x vienādojumos un atrisinot vienādību. Lai to izdarītu, ir ērti noteikt krustojumu ar asīm, vienādībā aizstājiet ar x=0 un y=0. Paceļot vienu pusi, atspoguļojiet to simetriski ap asi.

6. Atļauts būvēt parabola ar palīdzību Excel programmas. Lai to izdarītu, atveriet jauno dokumentu un atlasiet tajā divas kolonnas: x un y=f(x). Pirmajā kolonnā pierakstiet x vērtības atlasītajā segmentā, bet otrajā kolonnā pierakstiet formulu, piemēram, =2B3*B3-4B3+1 vai =2B3^2-4B3+1. Lai šo formulu nerakstītu katru reizi, “izstiepiet” to līdz katrai kolonnai, noklikšķinot uz mazā krustiņa apakšējā labajā stūrī un velkot uz leju.

7. Kad esat ieguvis tabulu, noklikšķiniet uz izvēlnes "Ievietot" - "Diagramma". Atlasiet izkliedes diagrammu, noklikšķiniet uz Tālāk. Parādītajā logā pievienojiet rindu, noklikšķinot uz pogas "Pievienot". Lai atlasītu vajadzīgās šūnas, noklikšķiniet pa vienai uz pogām, kas tālāk apzīmētas sarkanā ovālā, pēc tam atlasiet kolonnas ar vērtībām. Noklikšķinot uz pogas “Gatavs”, novērtējiet rezultātu – pabeigts parabola .

Video par tēmu

Meklējot kvadrātfunkciju, kuras grafiks ir parabola, vienā no punktiem jāatrod koordinātas virsotnes parabolas. Kā to izdarīt analītiski, izmantojot parabolai doto vienādojumu?

Instrukcijas

1. Kvadrātfunkcija ir funkcija formā y=ax^2+bx+c, kur a ir vadošais eksponents (tam stingri jāatšķiras no nulles), b ir zemākais eksponents, c ir brīvs loceklis. Šī funkcija piešķir savam grafikam parabolu, kuras atzari ir vērsti vai nu uz augšu (ja a>0) vai uz leju (ja<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Atradīsim koordinātu x0 virsotnes parabolas. To nosaka pēc formulas0=-b/a.

3. y0=y(x0).Lai noteiktu koordinātu y0 virsotnes parabolas, funkcijā x vietā ir jāaizstāj noteiktā vērtība x0. Aprēķiniet, ar ko y0 ir vienāds.

4. Koordinātas virsotnes ir atklātas parabolas. Pierakstiet tās kā viena punkta koordinātas (x0,y0).

5. Konstruējot parabolu, jāatceras, ka tā ir simetriska pret parabolas simetrijas asi, kas vertikāli iet cauri parabolas virsotnei, jo kvadrātiskā funkcija ir pāra. Līdz ar to pietiek no punktiem konstruēt tikai vienu parabolas atzaru, bet otru pabeigt simetriski.

Video par tēmu

Funkcijām (vai drīzāk to grafikiem) tiek izmantots lielākās vērtības attēlojums, ieskaitot vietējo maksimumu. Ideja par “virsotni”, visticamāk, ir saistīta ar ģeometriskām formām. Gludo funkciju (ar atvasinājumu) maksimālos punktus ir viegli noteikt, izmantojot pirmā atvasinājuma nulles.

Instrukcijas

1. Punktiem, kuros funkcija nav diferencējama, bet nemainīga, lielākajai vērtībai intervālā var būt gals (piemēram, y=-|x|). Tādos punktos uz grafiku funkcijas ir iespējams uzzīmēt tik daudz tangenšu, cik vēlas, un tam nav viegli izveidot atvasinājumu. Sami funkcijasšāda veida parasti norāda uz segmentiem. Punkti, kuros atvasinājums funkcijas vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par skeptiskiem.

2. Izrādās, ka, lai atrastu maksimālo punktu skaitu funkcijas y=f(x) nepieciešams: - noteikt skeptiskos punktus - lai dotu priekšroku maksimālajam punktam, ir nepieciešams noteikt atvasinājuma zīmi skeptiskā punkta tuvumā; Ja, ejot garām punktam, zīme mainās no “+” uz “-”, tad notiek maksimums.

3. Piemērs. Atrodiet lielākās vērtības funkcijas(sk. 1. att.).y=x+3 ja x?-1 un y=((x^2)^(1/3)) –x ja x>-1.

4. Rheaning. y=x+3 x?-1 un y=((x^2)^(1/3)) –x, ja x>-1. Segmentiem funkcija ir norādīta apzināti, jo šajā gadījumā mērķis ir visu attēlot vienā piemērā. Ir viegli pārbaudīt, vai pie x=-1 funkcija paliek nemainīga y'=1 pie x?-1 un y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-. 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) ja x=8/27 y' neeksistē x=-1 un x= 0. Šajā gadījumā y'>0, ja x

Video par tēmu

Parabola ir viena no otrās kārtas līknēm, kuras punkti ir pacelti saskaņā ar kvadrātvienādojumu. Galvenais, veidojot šo slīpumu, ir atklāt tops parabolas. To var izdarīt vairākos veidos.

Instrukcijas

1. Lai atrastu virsotnes koordinātas parabolas, izmantojiet šādu formulu: x = -b/2a, kur a ir rādītājs pirms x kvadrātā, un b ir rādītājs pirms x. Pievienojiet savas vērtības un aprēķiniet tās vērtību. Pēc tam vienādojumā aizstājiet iegūto vērtību ar x un aprēķiniet virsotnes ordinātu. Pieņemsim, ja jums ir dots vienādojums y=2x^2-4x+5, tad atrodiet abscisu šādā veidā: x=-(-4)/2*2=1. Vienādojumā aizstājot x=1, aprēķiniet virsotnes y vērtību parabolas: y=2*1^2-4*1+5=3. Tātad augšā parabolas ir koordinātas (1;3).

2. Ordinātu vērtība parabolas var noteikt, iepriekš nerēķinot abscisu. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu y=-b^2/4ac+c.

3. Ja esat iepazinies ar atvasināto attēlojumu, atklājiet tops parabolas izmantojot atvasinājumus, izmantojot katras funkcijas turpmāko īpašību: pirmais funkcijas atvasinājums, kas vienāds ar nulli, norāda galējos punktus. Jo top parabolas, neatkarīgi no tā, vai tā atzari ir vērsti uz augšu vai uz leju, ir galējais punkts, aprēķiniet savas funkcijas atvasinājumu. Vispārīgā formā tas izskatīsies šādi f(x)=2ax+b. Pielīdziniet to nullei un iegūstiet virsotnes koordinātas parabolas, kas atbilst jūsu funkcijai.

4. Mēģiniet atklāt tops parabolas, izmantojot tā īpašību, piemēram, simetriju. Lai to izdarītu, atrodiet krustojuma punktus parabolas ar x asi, pielīdzinot funkciju nullei (aizvietojot y = 0). Atrisinot kvadrātvienādojumu, jūs atradīsit x1 un x2. Tā kā parabola ir simetriska attiecībā pret virzienu, kas iet cauri tops, šie punkti atradīsies vienādā attālumā no virsotnes abscisas. Lai to noteiktu, attālumu starp punktiem dalām uz pusēm: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Ja kāds no eksponentiem ir nulle (izņemot a), aprēķiniet virsotnes koordinātas parabolas izmantojot vienkāršotas formulas. Pieņemsim, ja b = 0, tas ir, vienādojumam ir forma y = ax^2 + c, tad virsotne atradīsies uz oy ass un tās koordinātas būs vienādas ar (0; c). Ja ne tikai eksponents b=0, bet arī c=0, tad virsotne parabolas atrodas sākuma punktā (0;0).

Video par tēmu

Sākot no viena punkta, taisnas līnijas veido leņķi, kur to kopējais punkts ir virsotne. Teorētiskās algebras sadaļā bieži rodas problēmas, kad jāatrod šī koordinātas virsotnes, lai pēc tam noteiktu taisnes vienādojumu, kas iet caur virsotni.

Instrukcijas

1. Pirms sākat koordinātu atrašanas procesu virsotnes, izlemiet par sākotnējiem datiem. Pieņemt, ka vēlamā virsotne pieder trijstūrim ABC, kurā ir zināmas pārējo 2 virsotņu koordinātas, kā arī skaitliskās vērtības stūriem, vienāds ar “e” un “k” pusē AB.

2. Apvienot jauna sistēma koordinātas vienā no trijstūra AB malām tā, lai koordinātu sistēmas priekšvārds sakristu ar punktu A, kura koordinātas tev ir zināmas. Otrā virsotne B atradīsies uz OX ass, un tās koordinātas arī jums ir zināmas. Nosakiet malas AB garumu pa OX asi pēc koordinātām un ņemiet to vienādu ar “m”.

3. Nolaidiet perpendikulu no nepazīstamā virsotnes C attiecīgi uz OX asi un trijstūra AB malu. Iegūtais augstums “y” nosaka vienas koordinātas vērtību virsotnes C pa OY asi. Pieņemsim, ka augstums “y” sadala malu AB divos segmentos, kas vienādi ar “x” un “m – x”.

4. Jo jūs zināt visu nozīmi stūriem trijstūris, kas nozīmē, ka ir zināmas arī to pieskares vērtības. Ņemiet pieskares vērtības stūriem, blakus trijstūra AB malai, vienāds ar tan(e) un tan(k).

5. Ievadiet vienādojumus 2 līnijām, kas iet attiecīgi gar malām AC un BC: y = tan(e) * x un y = tan(k) * (m – x). Pēc tam atrodiet šo līniju krustpunktu, izmantojot transformētos taisnvienādojumus: tan(e) = y/x un tan(k) = y/(m – x).

6. Ja pieņemat, ka tan(e)/tan(k) ir vienāds ar (y/x) /(y/ (m – x)) vai vēlāk saīsināt “y” – (m – x) / x, jūs iegūsit vēlamās vērtības koordinātas, kas vienādas ar x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​un y = x * tan(e).

7. Aizstājvērtības stūriem(e) un (k), kā arī konstatētā malas vērtība AB = m vienādojumos x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​un y = x * tan(e) ).

8. Pārveidojiet jauno koordinātu sistēmu par sākotnējo koordinātu sistēmu, jo starp tām ir izveidota savstarpēja atbilstība, un iegūstiet vēlamās koordinātas virsotnes trīsstūris ABC.

Video par tēmu

Video par tēmu

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, matemātikas skolotāja MAOU “Licejs Nr. 1” Berezņiku pilsētā.

Projekts algebras stunda 9.klasē(humanitārais profils).

"Dziļākās pēdas atstāj tas, ko cilvēks atklājis pats." (D. Poija)

Nodarbības tēma:"Parabolas virsotnes koordinātu aprēķināšanas formulu atvasinājums."

Nodarbības mērķi: izglītojošs :

Gaidāmais Rezultāts:

- studentu problēmas apzināšanās, pieņemšana un risināšana;

Veidu veidošana, kā iegūt jaunas zināšanas, salīdzinot un salīdzinot faktus, metodi no konkrētā uz vispārīgo;

Apgūstiet formulas parabolas virsotnes un simetrijas ass koordinātu atrašanai funkcijām, kuru forma ir y = ax 2 +bx+c.

Nodarbības veids: iestudējuma nodarbība mācību uzdevums. Mācību metodes– vizuālā un ilustratīvā, verbālā, sadarbībā balstīta mācīšanās, uz problēmām balstīta, kritiskās domāšanas tehnoloģijas elementi.

Aprīkojums: dators, multimediju projektors, demonstrācijas ekrāns, prezentācijas slaidi par tēmu: “Formula parabolas virsotnes koordināšu atrašanai”; A3 loksnes; krāsaini marķieri.

Tehnoloģija- sistēmas darbības pieeja.

Nodarbības soļi:

    Psiholoģiskā noskaņa (motivācija).

    Atjaunināt priekšzināšanas(radot veiksmes situāciju).

    Problēmas formulēšana.

    Nodarbības tēmas un mērķa formulēšana.

    Problēmas risinājums.

    Problēmas risināšanas progresa analīze.

    Problēmu risināšanas rezultātu pielietošana turpmākajās aktivitātēs.

    Nodarbības apkopošana (kopsavilkums ar skolēna “acīm”, kopsavilkums ar skolotāja “acīm”).

    Mājasdarbs.

Nodarbību laikā:

    Psiholoģiskais noskaņojums.

Uzdevums: iemācīties atrisināt kopīgs uzdevums un strādāt komandā (darbs grupās pa 5 cilvēkiem).

Puiši, pēdējās četrās stundās mēs pētījām kvadrātfunkciju, taču mūsu zināšanas vēl nav pilnībā pabeigtas, tāpēc turpinām pētīt kvadrātfunkciju, lai uzzinātu ko jaunu par šo funkciju.

Motivēt skolēnus patstāvīgi noteikt stundas tēmu un mērķi.

Funkcija
un viņas grafiks.

;
;

Vai bez grafiskām funkcijām mēs varam atbildēt uz jautājumiem:

    Kas ir funkciju grafiks?

    Kura taisne ir simetrijas ass (ja tāda pastāv)?

3. Vai ir virsotne, kādas ir tās koordinātas?

ES gribu zināt

Tabula tiek aizpildīta nodarbības gaitā.

    Studentu pamatzināšanu un prasmju atjaunošana.Iesildīties. 1. Novietojiet augstāko koeficientu ārpus iekavām: 5x 2 + 25x -5; cirvis 2 + bx + c. 2. Izvēlieties dubultproduktu: ab; cirvis; ba. 3.Kvadrātvērtība: b/2; c 2/a; 2a/3b. 4.Uzrādīt kā algebrisku summu: a – c; x – (- b/2a).

Paskaidrojiet, kā, zinot funkcijas grafika veiduy =ƒ( x ) , veidojiet funkciju grafikus:

A ) y =ƒ(x - a) , - izmantojot paralēlo tulkošanu ar vienībām pa labi pa asi X;

b) y =ƒ(x) + b, - izmantojot paralēlās translācijas b vienības uz augšu pa asi y;

V) y =ƒ(x- a) +b, ↔ ieslēgts A vienības, ↕ pēc b vienības;

d) Kā izveidot funkcijas grafiku y = (x - 2) 2 + 3 ? Kāds ir viņas grafiks?

Nosauciet parabolas virsotni.
Grafiks ir parabola y = x 2 ar virsotni punktā (2; 3 ).

Norādiet parabolas virsotnes koordinātas: y=x - 4x + 5 ( problēma). Kāpēc nav iespējams noteikt parabolas virsotnes koordinātas pēc funkcijas veida?(kvadrātiskajai funkcijai ir cita forma).

Studentu aktivitātes:

Izveidojiet runas struktūras, izmantojot funkcionālo terminoloģiju.

Atbilžu apspriešana. Viņi salīdzina, salīdzina ar iepriekš pētītajām funkcijām, izvēlas un uz tāfeles ieraksta zināšanas un prasmes, kas viņiem varētu būt nepieciešamas, lai atrisinātu problēmu kolonnā “ES ZINU”:

2.

3.

4.

Kolonnā “Es gribu zināt”: virsotne, parabolas simetrijas ass
.

Skolēni var rakstīt funkcijas ailē “ES ZINU” un “GRIBAS ZINĀT” gan vispārīgi, gan īpašos gadījumos. Izglītības problēmas formulējums: atrodiet parabolas virsotnes koordinātas, ja kvadrātfunkcija ir dota vispārīgā formā y = cirvis + bx + c. Skolēni formulē un pieraksta kladē stundas tēmu un mērķi.(Atvasinātās formulas parabolas virsotnes koordināšu aprēķināšanai. Iemācīties atrast parabolas virsotnes koordinātas jaunā veidā - izmantojot formulas).

Problēmas risinājums.

Studentu aktivitātes: Salīdzinot “vecās” zināšanas ar jaunajām zināšanām, skolēni tiek aicināti izcelt pilnu kvadrātu. Ieslēgts konkrētus piemērus
;
un attiecīgi saņem
;
. Atrodi virsotnes koordinātas un simetrijas ass vienādojumu Viņi saprot, ka ir tikuši galā ar uzdevumu, jo atveda jauna funkcija uz pazīstamu izskatu.

Studenti nosaka pilnu kvadrātu funkcijai.
; , salīdziniet iegūto rezultātu, izdariet secinājumu, pamatojoties uz šo funkciju. Atrodiet virsotnes un simetrijas ass koordinātas.

Vai varat nosaukt parabolas virsotni un asi, ja funkcija ir dota vispārīgā formā
neizceļot visu laukumu? Kā jūs rīkosities šajā gadījumā? Un kā pielietot savu iepriekšējo pieredzi parabolas virsotnes un ass atrašanā?

Studentu aktivitātes:

Balstoties uz esošajām zināšanām un pieredzi, skolēni sāk saprast, ka jāiet tālāk, no konkrētā uz vispārīgo, un jāveic pierādījumi vispārīgā formā.

Parādās jaunas grūtības. Atrisinājums parādās grupās: . Problēmas risināšanas progresa analīze. No katras grupas tiek uzklausīts viens pārstāvis.

Salīdziniet un analizējiet ierakstus
Un
, piezīmju grāmatiņā tiek ierakstīts viens vispārīgs uzdotā uzdevuma risinājums - formulas parabolas virsotnes koordinātām
.

Studenti izdara secinājumu: funkcijas virsotnes koordinātas un parabolas ass
var atrast racionālā veidā.

Problēmas risināšanas rezultātu pielietošana turpmākajās darbībās.

Studentu aktivitātes:

Uzdevumu risināšana no mācību grāmatas Nr.121; 123. Jaunā racionālā veidā atrast parabolas virsotnes koordinātas. Pierakstiet taisnes vienādojumu, kas ir parabolas simetrijas ass.

Rezumējot (pārdomas) izglītojošas aktivitātes nodarbībā).

Atgriezīsimies pie tabulas un aizpildīsim sleju “APMĀCĪTIS”.

Nodarbības kopsavilkums ar skolēnu acīm:

ES GRIBU ZINĀT

2.

3.

4.

5. Es zinu, kā grafiski šīs funkcijas

6. Protu atrast šo parabolu virsotņu koordinātas un parabolas asi

7. pilnīga kvadrāta izvēles metode

8. kā atrast parabolas virsotņu koordinātas, asi.


2. parabolas simetrijas ass vienādojums

1. parabolas virsotnes koordinātas

2.kā iegūt formulu

3. racionāls veids, kā atrast parabolas asi un parabolas virsotnes koordinātas

Rezultāts “ar skolotāja acīm”:

    Nodarbības mērķis ir sasniegts.

    Studenti saprata, pieņēma un atrisināja problēmu.

    Izglītības problēmas risināšanas procesā skolēni ne tikai ieguva jaunas zināšanas: kvadrātiskā trinoma koeficientu un parabolas virsotnes koordinātu atkarību, simetrijas ass vienādojumu, bet arī svarīgāko. nodarbība ir vispārinātu jaunu zināšanu iegūšanas veidu veidošana, patstāvīgi analizējot problēmu un atrodot nezināmo.

Mājasdarbs: 7. punkts Nr.122;127(b);128.

P.S. Prezentētā nodarbība notika 2014. gada 15. oktobrī pilsētas semināra ietvaros matemātikas skolotājiem par tēmu “UDL veidošanās matemātikas stundās”.

Posmā “Rezultātu pielietošana...”, risinot uzdevumus no mācību grāmatas, daži skolēni sāka saprast sava “atklājuma” vērtību: vairāk vienkāršs veids virsotnes koordināšu un simetrijas ass vienādojuma atrašana, savukārt citi neslēpa savu prieku, jo nevajadzēja “ciest” ar pilnīga kvadrāta izolēšanu. Bet pats galvenais, ka visu darījām paši!

Parabola ir sastopama matemātikas, fizikas un citu zinātņu pasaulē. Mākslīgie pavadoņi pārvietojas pa parabolas trajektoriju un mēdz atstāt to Saules sistēma, bumba spēlējot volejbolu arī raksturo tās trajektoriju. Jums ir jāspēj konstruēt parabolu. Un, lai tas būtu viegli, jums jāzina, kā atrast parabolas virsotni.

Funkcijas y = ax 2 + bx + c grafiku, kur a ir pirmais koeficients, b ir otrais koeficients, c ir brīvais termins, sauc par parabolu. Bet pievērsiet uzmanību tam, ka a ≠0.

Katram parabolas punktam ir simetrisks tam, izņemot vienu punktu, un šo punktu sauc par virsotni. Lai atrastu punktu, kas ir virsotne, jums jāizlemj, kāds punkts ir grafikā. Punkts grafikā ir noteikta koordināta gar abscisu un ordinātu asi. Tas ir apzīmēts kā (x; y). Izdomāsim, kā atrast vērtīgos skaitļus.

Pirmais veids

Ja vēlaties uzzināt, kā pareizi aprēķināt virsotnes koordinātas, jums tikai jāapgūst formula x0 = -b/2a. Aizvietojot iegūto skaitli funkcijā, mēs iegūstam y0.

Piemēram, y =x 2 –8 x +15;

atrast pirmo, otro koeficientu un brīvo termiņu;

  • a = 1, b = -8, c = 15;

aizstāt a un b vērtības formulā;

  • x0=8/2=4;

aprēķināt y vērtības;

  • y0 = 16–32+15 = -1;

Tas nozīmē, ka virsotne atrodas punktā (4;-1).

Parabolas zari ir simetriski pret simetrijas asi, kas iet cauri parabolas virsotnei. Zinot vienādojuma saknes, jūs varat viegli aprēķināt parabolas virsotnes abscisu. Pieņemsim, ka k un n ir kvadrātvienādojuma saknes. Tad punkts x0 atrodas vienādā attālumā no punktiem k un n, un to var aprēķināt, izmantojot formulu: x0 = (k + n)/2.

Apskatīsim piemēru y =x 2 –6x+5

1) Vienāds ar nulli:

  • x 2 –6x+5=0.

2) Atrodiet diskriminantu, izmantojot formulu: D = b 2 –4 ac:

  • D =36–20=16.

3) Atrodiet vienādojuma saknes, izmantojot formulu (-b±√ D)/2a:

  • 1 - pirmā sakne;
  • 5 ir otrā sakne.

4) Aprēķiniet:

  • x0 =(5+1)/2=3

Otrais veids

Aizpildīšana līdz pilnam kvadrātam ir lielisks veids, kā noskaidrot, kur atrodas virsotne. Izmantojot šo metodi, jūs varat aprēķināt punktus x un y vienlaicīgi, neaizstājot x sākotnējā piemērā. Apskatīsim šo metodi, izmantojot funkcijas piemēru: y=x 2 +8 x +10.

1. Vispirms jums ir jāpielīdzina izteiksme ar mainīgo ar 0. Pēc tam pārvietojiet c uz labā puse Ar pretēja zīme, tas ir, mēs iegūstam izteiksmi x 2 + 8x = -10.

2. Tagad kreisajā pusē jums ir jāizveido pilns kvadrāts. Lai to izdarītu, aprēķiniet (b/2) 2 un palieliniet vienādojuma rezultāta abas puses. Šajā gadījumā jums ir jāaizstāj ar 8, nevis b.

Mēs iegūstam 16. Tagad pievienojiet šo skaitli abām vienādojuma pusēm:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Var redzēt, ka iegūtā izteiksme ir ideāls kvadrāts. To var attēlot šādā formā: (x + 4) 2 = 6.

4. Izmantojiet šo izteiksmi, lai atrastu parabolas virsotnes koordinātas. Lai aprēķinātu x, jums tas jāpielīdzina 0. Mēs iegūstam x = -4. Y koordināta ir vienāda ar to, kas atrodas labajā pusē, tas ir, y =6. Šī vienādojuma parabolas virsotne ir (-4, 6).

Trešais ceļš

Ja jūs zināt, kas ir atvasinājums, tad jums ir cita formula. Neatkarīgi no tā, kur atrodas parabolas “ragi”, tās virsotne ir galējais punkts. Šai metodei ir jāizmanto nākamais algoritms:

1. Pirmā atvasinājuma atrašana, izmantojot formulu f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Atvasinājuma pielīdzināšana 0. Rezultātā jūs iegūstat 0 = 2ax + b, no šejienes jūs varat atrast to, kas mūs interesē.

Apsvērsim šo metodi sīkāk.

Dota funkcija y = 4x²+16x-17;

  • Mēs pierakstām atvasinājumu un pielīdzinām to nullei.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

Visgrūtākais konstruēšanas laikā ir pareizi atrast funkcijas punktus. Detalizētai konstrukcijai jāaprēķina 5–7 punkti (skolas kursam ar to pietiek). Lai to izdarītu, atlasiet kādu vērtību x un aizstājiet to ar šo funkciju. Aprēķinu rezultāts būs punktu skaits gar ordinātu asi. Pēc tam iegūtos punktus ievietojam koordinātu plaknē. Rezultātā mēs iegūstam parabolu.

Sīkāk aplūkosim jautājumu par atzīmējamo punktu atrašanu. Piemēram, ņemsim funkciju y =-x 2 +11 x -24 ar virsotni punktā (5.5;-6.25).

1) Izveidojiet galdu

Pareizi atrodiet izredzes.

Uzrakstiet starpaprēķinus uz papīra. Tas ne tikai atvieglos topu atrašanu, bet arī palīdzēs atrast kļūdas.

Dariet visu soli pa solim. Izpildiet algoritmu.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka:

  • Jums ir jāpārbauda, ​​vai jūsu lēmums ir pareizs.
  • Vajag nomierināties. Jebkura matemātikas uzdevuma risināšanai ir nepieciešama pieredze. Tas tikai jāizstrādā šī tēma, un tad jums noteikti izdosies.

Video

Šis video palīdzēs jums uzzināt, kā atrast parabolas virsotni

Vai nesaņēmāt atbildi uz savu jautājumu? Iesakiet tēmu autoriem.

Notiek ielāde...Notiek ielāde...