Studējot matemātiku, skolēni sāk iepazīt dažāda veida ģeometriskās formas. Šodien mēs runāsim par dažāda veida trijstūriem.
Definīcija
Ģeometriskās figūras, kas sastāv no trim punktiem, kas neatrodas vienā taisnē, sauc par trijstūriem.
Segmentus, kas savieno punktus, sauc par malām, bet punktus sauc par virsotnēm. Virsotnes ir norādītas ar lielu ar latīņu burtiem, piemēram: A, B, C.
Malas ir apzīmētas ar divu punktu nosaukumiem, no kuriem tās sastāv - AB, BC, AC. Krustojoties, malas veido leņķus. Apakšējā puse tiek uzskatīta par figūras pamatni.
Rīsi. 1. Trijstūris ABC.
Trīsstūru veidi
Trijstūri tiek klasificēti pēc leņķiem un malām. Katram trīsstūra veidam ir savas īpašības.
Stūros ir trīs veidu trīsstūri:
- akūts leņķis;
- taisnstūrveida;
- strupleņķa.
Visi leņķi akūts leņķis trijstūri ir asi, tas ir, katra pakāpes mērs nav lielāks par 90 0.
Taisnstūrveida trijstūrī ir taisns leņķis. Pārējie divi leņķi vienmēr būs asi, jo pretējā gadījumā trijstūra leņķu summa pārsniegs 180 grādus, un tas nav iespējams. Pusi, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu, bet pārējās divas sauc par kājām. Hipotenūza vienmēr ir lielāka par kāju.
Stulbs trijstūrī ir neass leņķis. Tas ir, leņķis, kas lielāks par 90 grādiem. Pārējie divi leņķi šādā trīsstūrī būs asi.
Rīsi. 2. Trīsstūru veidi stūros.
Pitagora trīsstūris ir taisnstūris, kura malas ir 3, 4, 5.
Turklāt lielākā puse ir hipotenūza.
Šādus trīsstūrus bieži izmanto vienkāršu ģeometrijas uzdevumu konstruēšanai. Tāpēc atcerieties: ja trijstūra divas malas ir vienādas ar 3, tad trešā noteikti būs 5. Tas vienkāršos aprēķinus.
Trīsstūru veidi sānos:
- vienādmalu;
- vienādsānu;
- daudzpusīgs.
Vienādmalu trijstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas. Visi šāda trīsstūra leņķi ir vienādi ar 60 0, tas ir, tas vienmēr ir akūts.
Vienādsānu trijstūris - trīsstūris, kuram ir tikai divas vienādas malas. Šīs malas sauc par sāniem, bet trešo sauc par pamatni. Turklāt leņķi vienādsānu trīsstūra pamatnē ir vienādi un vienmēr asi.
Daudzpusīgs vai patvaļīgs trīsstūris ir trijstūris, kurā visi garumi un visi leņķi nav vienādi viens ar otru.
Ja problēma nesatur nekādus precizējumus par figūru, tad ir vispārpieņemts, ka mēs runājam par patvaļīgu trīsstūri.
Rīsi. 3. Trīsstūru veidi sānos.
Visu trīsstūra leņķu summa neatkarīgi no tā veida ir 1800.
Pretī lielākajam leņķim ir lielākā puse. Un arī jebkuras malas garums vienmēr ir mazāks par tā pārējo divu malu summu. Šīs īpašības apstiprina trijstūra nevienādības teorēma.
Ir zelta trīsstūra jēdziens. Šis vienādsānu trīsstūris, kurā divas malas ir proporcionālas pamatnei un vienādas ar noteiktu skaitli. Šādā attēlā leņķi ir proporcionāli attiecībai 2:2:1.
Uzdevums:
Vai ir trīsstūris, kura malas ir 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Risinājums:
Lai atrisinātu šo uzdevumu, jāizmanto nevienlīdzība a
Ko mēs esam iemācījušies?
No šī materiāla no 5. klases matemātikas kursa uzzinājām, ka trijstūri tiek klasificēti pēc to malām un leņķu izmēra. Trijstūriem ir noteiktas īpašības, kuras var izmantot problēmu risināšanai.
Trīsstūris ir daudzstūris ar 3 malām (vai 3 leņķiem). Trijstūra malas bieži norāda ar maziem burtiem, kas atbilst lielie burti, kas apzīmē apgrieztās virsotnes.
Akūts trīsstūris sauc par trīsstūri, kurā visi trīs leņķi ir asi.
Strups trīsstūris sauc par trīsstūri, kurā viens no leņķiem ir neass.
Taisns trīsstūris sauc par trīsstūri, kurā viens no leņķiem ir taisnleņķis, citiem vārdiem sakot, vienāds ar 90°; tiek sauktas malas a, b, kas veido taisnu leņķi kājas; tiek saukta mala c, kas ir pretī taisnajam leņķim hipotenūza.
Vienādsānu trīsstūris sauc par trijstūri, kura abas malas ir vienādas (a = c); šīs vienādās puses sauc sānu, tiek izsaukta trešā puse trijstūra pamatne.
Vienādmalu trīsstūris sauc par trijstūri, kura visas malas ir vienādas (a = b = c). Tādā gadījumā trijstūrī neviena no tā malām (abc) nav vienāda, tad šis vienādmalu trīsstūris.
Trīsstūru galvenās īpašības
Jebkurā trīsstūrī:
Trīsstūru vienādības zīmes
Trijstūri ir kongruenti, un tādā gadījumā tie ir attiecīgi vienādi:
Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes
Divi taisnleņķa trīsstūri ir vienādi, un tādā gadījumā tiek izpildīts viens no šiem kritērijiem:
Augstumstrīsstūris ir perpendikuls, kas nomests no jebkuras virsotnes uz otrā puse(vai tā turpinājums). Šo pusi sauc trijstūra pamatne. Trīs trīsstūra augstumi vienmēr krustojas vienā punktā, ko sauc trijstūra ortocentrs.
Akūta trijstūra ortocentrs atrodas trijstūra iekšpusē, bet strupā trijstūra ortocentrs atrodas ārpusē; Taisnleņķa trijstūra ortocentrs sakrīt ar taisnā leņķa virsotni.
Mediāna- šis ir segments, kas savieno katru trijstūra virsotni ar reversās puses vidu. Trīs trīsstūra mediānas krustojas vienā punktā, kas vienmēr atrodas trijstūra iekšpusē un ir tā masas centrs. Šis punkts dala katru mediānu proporcijā 2:1, skaitot no virsotnes.
Bisektors- tas ir leņķa no virsotnes līdz krustojuma punktam ar reverso pusi bisektrise. Trīs trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā, kas vienmēr atrodas trīsstūra iekšpusē un ir ierakstītā apļa centrs. Bisektrise sadala reverso pusi daļās, kas ir proporcionālas blakus esošajām malām.
Vidējais perpendikulārs- tas ir perpendikuls, kas novilkts no segmenta (malas) viduspunkta. Trīs trijstūra vidējie perpendikuli krustojas vienā punktā, kas ir apļveida loka centrs.
IN akūts trīsstūrisšis punkts atrodas trīsstūra iekšpusē, strupā trijstūrī - ārpusē, taisnstūrveida trīsstūrī - hipotenūzas vidū. Ortocentrs, masas centrs, ierobežotā apļa centrs un ierakstītā apļa centrs sakrīt tikai vienādmalu trīsstūrī.
Pitagora aksioma
IN taisnleņķa trīsstūris Hipotenūzas garuma kvadrāts ir vienāds ar kāju garumu kvadrātu summu.
Pitagora aksiomas apstiprinājums
Konstruēsim kvadrātu AKMB, kā malu izmantojot hipotenūzu AB. Tad turpinām taisnleņķa trijstūra ABC malas tā, lai iegūtu kvadrātu CDEF, kura mala ir vienāda ar a + b. Tagad ir skaidrs, ka kvadrāta CDEF laukums ir vienāds ar (a + b) 2. No otras puses, šis laukums ir vienāds ar četru taisnleņķa trīsstūru un kvadrāta AKMB laukumu summu, citos gadījumos vārdi,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
un mums ir:
c 2 = a 2 + b 2 .
Malu attiecība nejaušā trīsstūrī
IN vispārējs gadījums(nejaušam trīsstūrim) mums ir:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
kur C ir leņķis starp malām a un b.
Papildus vietnē:
Šodien dodamies uz Ģeometrijas valsti, kur iepazīsimies ar dažāda veida trijstūriem.
Apsveriet ģeometriskas figūras un atrodiet starp tiem “papildu” (1. att.).
Rīsi. 1. Piemēram, ilustrācija
Mēs redzam, ka skaitļi Nr. 1, 2, 3, 5 ir četrstūri. Katrai no tām ir savs nosaukums (2. att.).
Rīsi. 2. Četrstūri
Tas nozīmē, ka “papildu” figūra ir trīsstūris (3. att.).
Rīsi. 3. Piemēram, ilustrācija
Trijstūris ir figūra, kas sastāv no trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, un trīs segmentiem, kas savieno šos punktus pa pāriem.
Punkti tiek saukti trijstūra virsotnes, segmenti - viņa ballītēm. Trijstūra malas veidojas Trīsstūra virsotnēs ir trīs leņķi.
Trijstūra galvenās iezīmes ir trīs malas un trīs stūri. Atbilstoši leņķa izmēram trijstūri ir akūts, taisnstūrveida un strups.
Trijstūri sauc par akūtu leņķi, ja visi trīs tā leņķi ir asi, tas ir, mazāki par 90° (4. att.).
Rīsi. 4. Akūts trīsstūris
Trijstūri sauc par taisnstūri, ja viens no tā leņķiem ir 90° (5. att.).
Rīsi. 5. Taisns trīsstūris
Trijstūri sauc par neasu, ja viens no tā leņķiem ir neass, tas ir, lielāks par 90° (6. att.).
Rīsi. 6. Strups trīsstūris
Pamatojoties uz vienādu malu skaitu, trijstūri ir vienādmalu, vienādsānu, skala.
Vienādsānu trīsstūris ir tāds, kura divas malas ir vienādas (7. att.).
Rīsi. 7. Vienādsānu trīsstūris
Šīs puses sauc sānu, trešā puse - pamata. Vienādsānu trijstūrī pamata leņķi ir vienādi.
Ir vienādsānu trīsstūri akūts un truls(8. att.) .
Rīsi. 8. Akūti un strupi vienādsānu trīsstūri
Vienādmalu trīsstūris ir tāds, kurā visas trīs malas ir vienādas (9. att.).
Rīsi. 9. Vienādmalu trīsstūris
Vienādmalu trīsstūrī visi leņķi ir vienādi. Vienādmalu trijstūri Vienmēr akūts leņķis.
Skalēna ir trīsstūris, kura visām trim malām ir dažādi garumi (10. att.).
Rīsi. 10.Skalēnas trīsstūris
Pabeidziet uzdevumu. Sadaliet šos trīsstūrus trīs grupās (11. att.).
Rīsi. 11. Uzdevuma ilustrācija
Pirmkārt, sadalīsim atbilstoši leņķu lielumam.
Akūtie trīsstūri: Nr.1, Nr.3.
Taisni trīsstūri: Nr.2, Nr.6.
Strupi trīsstūri: Nr.4, Nr.5.
Mēs sadalīsim tos pašus trīsstūrus grupās pēc vienādu malu skaita.
Mēroga trīsstūri: Nr.4, Nr.6.
Vienādsānu trijstūri: Nr.2, Nr.3, Nr.5.
Vienādmalu trīsstūris: Nr.1.
Apskatīt bildes.
Padomājiet par to, no kāda stieples gabala tika izgatavots katrs trīsstūris (12. att.).
Rīsi. 12. Uzdevuma ilustrācija
Jūs varat domāt šādi.
Pirmais stieples gabals ir sadalīts trīs vienādās daļās, tāpēc no tā varat izveidot vienādmalu trīsstūri. Viņš attēlā redzams trešais.
Otrais stieples gabals ir sadalīts trīs dažādās daļās, tāpēc to var izmantot skalēna trīsstūra veidošanai. Attēlā tas ir parādīts pirmais.
Trešais stieples gabals ir sadalīts trīs daļās, kur divām daļām ir vienāds garums, kas nozīmē, ka no tā var izveidot vienādsānu trīsstūri. Attēlā viņš ir parādīts otrais.
Šodien klasē mācījāmies par dažāda veida trijstūriem.
Bibliogrāfija
- M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. - M.: “Apgaismība”, 2012.g.
- M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. - M.: “Apgaismība”, 2012.g.
- M.I. Moro. Matemātikas nodarbības: Vadlīnijas skolotājam. 3. klase. - M.: Izglītība, 2012.
- Normatīvais dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un novērtēšana. - M.: “Apgaismība”, 2011. gads.
- "Krievijas skola": programmas priekš pamatskola. - M.: “Apgaismība”, 2011. gads.
- S.I. Volkova. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. klase. - M.: Izglītība, 2012.
- V.N. Rudņicka. Pārbaudes. - M.: "Eksāmens", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Mājasdarbs
1. Pabeidziet frāzes.
a) Trijstūris ir figūra, kas sastāv no ..., kas neatrodas uz vienas taisnes, un ..., kas savieno šos punktus pa pāriem.
b) Punkti tiek izsaukti … , segmenti - viņa … . Trijstūra malas veidojas trijstūra virsotnēs ….
c) Pēc leņķa lieluma trijstūri ir ... , ... , ... .
d) Pamatojoties uz vienādu malu skaitu, trijstūri ir ... , ... , ... .
2. Zīmēt
a) taisnleņķa trīsstūris;
b) akūts trīsstūris;
c) strups trīsstūris;
d) vienādmalu trīsstūris;
e) skalēnas trīsstūris;
e) vienādsānu trīsstūris.
3. Izveidojiet uzdevumu saviem draugiem par nodarbības tēmu.
Varbūt visvienkāršākā, vienkāršākā un interesantākā figūra ģeometrijā ir trīsstūris. Es zinu vidusskola tiek pētītas tā pamatīpašības, taču dažreiz zināšanas par šo tēmu ir nepilnīgas. Trīsstūru veidi sākotnēji nosaka to īpašības. Taču šis viedoklis joprojām ir pretrunīgs. Tāpēc tagad aplūkosim šo tēmu nedaudz sīkāk.
Trīsstūru veidi ir atkarīgi no leņķu pakāpes. Šie skaitļi ir asi, taisnstūrveida un strupi. Ja visi leņķi nepārsniedz 90 grādus, tad skaitli var droši saukt par akūtu. Ja vismaz viens trijstūra leņķis ir 90 grādi, tad jums ir darīšana ar taisnstūra apakšsugu. Attiecīgi visos pārējos gadījumos aplūkojamo sauc par neasu leņķi.
Akūtā leņķa apakštipiem ir daudz problēmu. Atšķirīga iezīme ir bisektoru, mediānu un augstumu krustošanās punktu iekšējā atrašanās vieta. Citos gadījumos šis nosacījums var nebūt izpildīts. Nav grūti noteikt trīsstūra figūras veidu. Pietiek zināt, piemēram, katra leņķa kosinusu. Ja kādas vērtības mazāks par nulli, kas nozīmē, ka trijstūris jebkurā gadījumā ir neass. Nulles indikatora gadījumā skaitlim ir taisns leņķis. Visas pozitīvās vērtības garantē, ka jūs skatāties uz leņķisko skatu.
Nav iespējams neteikt par taisnleņķa trīsstūris. Šis ir ideālākais skats, kur sakrīt visi mediānu, bisektriču un augstumu krustošanās punkti. Tajā pašā vietā atrodas arī ierakstītā un norobežotā apļa centrs. Lai atrisinātu problēmas, jums jāzina tikai viena puse, jo leņķi sākotnēji tiek doti jums, bet pārējās divas puses ir zināmas. Tas ir, skaitli norāda tikai viens parametrs. Tie pastāv galvenā iezīme- divu malu un leņķu vienādība pie pamatnes.
Dažreiz rodas jautājums, vai pastāv trīsstūris ar noteiktām malām. Jūs patiešām jautājat, vai sniegtais apraksts atbilst galvenajai sugai. Piemēram, ja divu malu summa ir mazāka par trešo, tad patiesībā šāds skaitlis vispār nepastāv. Ja uzdevumā tiek prasīts atrast trijstūra leņķu kosinusus ar malām 3,5,9, tad acīmredzamo var izskaidrot bez sarežģītiem matemātiskajiem paņēmieniem. Pieņemsim, ka vēlaties nokļūt no punkta A līdz punktam B. Attālums taisnā līnijā ir 9 kilometri. Jūs taču atcerējāties, ka veikalā jāiet uz punktu C. Attālums no A līdz C ir 3 kilometri, bet no C līdz B ir 5. Tādējādi sanāk, ka, pārvietojoties pa veikalu, noietu par kilometru mazāk. Bet, tā kā punkts C neatrodas taisnē AB, jums būs jāiet papildu attālums. Šeit ir pretruna. Tas, protams, ir nosacīts skaidrojums. Matemātika zina vairāk nekā vienu veidu, kā pierādīt, ka visu veidu trīsstūri pakļaujas pamatidentitātei. Tajā teikts, ka divu malu summa ir lielāka par trešās malas garumu.
Jebkuram veidam ir šādas īpašības:
1) Visu leņķu summa ir 180 grādi.
2) Vienmēr ir ortocentrs - visu trīs augstumu krustošanās punkts.
3) Visas trīs vidusdaļas, kas novilktas no iekšējo leņķu virsotnēm, krustojas vienuviet.
4) Ap jebkuru trīsstūri var apvilkt apli. Varat arī ierakstīt apli tā, lai tam būtu tikai trīs saskares punkti un tas nepārsniegtu ārējās malas.
Tagad jūs esat iepazinies ar galvenajām viņu īpašībām Dažādi trijstūri. Nākotnē ir svarīgi saprast, ar ko jūs saskaraties, risinot problēmu.
Trīsstūri
Trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, un trīs segmentiem, kas savieno šos punktus pa pāriem. Punkti tiek saukti virsotnes trīsstūris, un segmenti ir tā ballītēm.
Trīsstūru veidi
Trijstūri sauc vienādsānu, ja tā abas puses ir vienādas. Šīs vienādās puses sauc sāniem, un tiek izsaukta trešā puse pamata trīsstūris.
Tiek saukts trīsstūris, kurā visas malas ir vienādas vienādmalu vai pareizi.
Trijstūri sauc taisnstūrveida, ja tam ir taisns leņķis, tad ir 90° leņķis. Tiek saukta taisnleņķa trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim hipotenūza, pārējās divas puses sauc kājas.
Trijstūri sauc akūts, ja visi trīs tā leņķi ir asi, tas ir, mazāki par 90°.
Trijstūri sauc stulbs, ja viens no tā leņķiem ir neass, tas ir, lielāks par 90°.
Trijstūra pamatlīnijas
Mediāna
Mediāna Trīsstūra ir segments, kas savieno trijstūra virsotni ar šī trijstūra pretējās malas vidu. 
Trīsstūra mediānu īpašības
Mediāna sadala trīsstūri divos vienāda laukuma trīsstūros.
Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā, kas dala katru no tām proporcijā 2:1, skaitot no virsotnes. Šo punktu sauc smaguma centrs trīsstūris.
Viss trīsstūris ir sadalīts pēc tā mediānām sešos vienādos trīsstūros.
Bisektors
Leņķa bisektrise ir stars, kas izplūst no tā augšdaļas, iet starp tā malām un sadala uz pusēm noteiktu leņķi. Trijstūra bisektrise sauc par trijstūra leņķa bisektora segmentu, kas savieno virsotni ar punktu šī trijstūra pretējā pusē. 
Trijstūra bisektoru īpašības
Augstums
Augstums trijstūra ir perpendikuls, kas novilkts no trijstūra virsotnes uz līniju, kas satur šī trijstūra pretējo malu. 
Trīsstūra augstumu īpašības
IN taisnleņķa trīsstūris augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, sadala to divos trīsstūros, līdzīgi oriģināls.
IN akūts trīsstūris tā divi augstumi nogriezti no tā līdzīgi trijstūri.
Vidējais perpendikulārs
Tiek saukta taisna līnija, kas iet caur segmenta vidu, kas ir perpendikulāra tai perpendikulāra bisektrise uz segmentu .
Trijstūra perpendikulāru bisektriņu īpašības
Katrs segmenta perpendikulārās bisektrise punkts atrodas vienādā attālumā no šī posma galiem. Ir arī otrādi: katrs punkts, kas atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, atrodas uz tai perpendikulāras bisektriseles.
Perpendikulāro bisektoru krustpunkts, kas novilkts uz trijstūra malām, ir centrs šī trijstūra aplis.
vidējā līnija
Trijstūra vidējā līnija sauc par segmentu, kas savieno tā abu malu viduspunktus.
Trijstūra viduslīnijas īpašība
Trijstūra viduslīnija ir paralēla vienai no tā malām un vienāda ar pusi no šīs malas.
Formulas un attiecības
Trīsstūru vienādības zīmes
Divi trīsstūri ir vienādi, ja tie ir attiecīgi vienādi:
divas malas un leņķis starp tām;
divi stūri un tiem blakus esošā puse;
trīs puses.
Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes
Divas taisnleņķa trīsstūris ir vienādi, ja tie ir attiecīgi vienādi: 
hipotenūza un asu leņķi;
kāju un pretējais leņķis;
kāju un blakus esošais leņķis;
divi kāju;
hipotenūza Un kāju.
Trīsstūru līdzība
Divi trīsstūri līdzīgi ja tiek saukts kāds no šiem nosacījumiem līdzības pazīmes:
divi viena trijstūra leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem leņķiem;
viena trijstūra divas malas ir proporcionālas cita trijstūra divām malām, un leņķi, ko veido šīs malas, ir vienādi;
viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi proporcionālas otra trīsstūra trim malām.
Līdzīgos trīsstūros atbilstošās līnijas ( augstumi, mediānas, bisektori utt.) ir proporcionālas.
Sinusu teorēma
Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem, un proporcionalitātes koeficients ir vienāds ar diametrs
trijstūra ierobežots aplis:
Kosinusa teorēma
Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu divkāršs un starp tām esošā leņķa kosinuss:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Trijstūra laukuma formulas
Bezmaksas trīsstūris
a, b, c - sāni; - leņķis starp malām a Un b;- pusperimetrs; R- ierobežota apļa rādiuss; r- ierakstītā apļa rādiuss; S- kvadrāts; h a - augstums novilkts uz sāniem a.
Notiek ielāde...