Grunnlaget for den logaritmiske identiteten. Grunnleggende logaritmisk identitet

(fra gresk λόγος - "ord", "relasjon" og ἀριθμός - "tall") tall b basert på en(log α b) kalles et slikt tall c, Og b= en c, dvs. registrerer log α b=c Og b=ac er likeverdige. Logaritmen gir mening hvis a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Med andre ord logaritme tall b basert på EN formulert som en eksponent som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x= log α b, er ekvivalent med å løse ligningen a x =b.

For eksempel:

log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 .

La oss understreke at den angitte formuleringen av logaritmen gjør det mulig å bestemme umiddelbart logaritmeverdi, når tallet under logaritmetegnet fungerer som en viss potens av grunntallet. Formuleringen av logaritmen gjør det faktisk mulig å rettferdiggjøre at hvis b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til temaet potenser av et tall.

Å beregne logaritmen kalles logaritme. Logaritme er den matematiske operasjonen ved å ta en logaritme. Når du tar logaritmer, transformeres produkter av faktorer til sum av ledd.

Potensering er den inverse matematiske operasjonen til logaritmen. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet transformeres summen av ledd til et produkt av faktorer.

Ganske ofte brukes reelle logaritmer med grunntall 2 (binær), Eulers tall e ≈ 2,718 (naturlig logaritme) og 10 (desimal).

På dette stadiet er det tilrådelig å vurdere logaritmeprøver logg 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Og oppføringene lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 gir ikke mening, siden i den første av dem er et negativt tall plassert under logaritmetegnet, i det andre - et negativt tall i basen, og i den tredje - både et negativt tall under logaritmetegnet og en enhet i basen.

Betingelser for å bestemme logaritmen.

Det er verdt å vurdere separat betingelsene a > 0, a ≠ 1, b > 0. som vi får under definisjon av logaritme. La oss vurdere hvorfor disse begrensningene ble tatt. En likhet på formen x = log α vil hjelpe oss med dette b, kalt den grunnleggende logaritmiske identiteten, som følger direkte av definisjonen av logaritme gitt ovenfor.

La oss ta tilstanden a≠1. Siden én til en hvilken som helst potens er lik én, så er likheten x=log α b kan bare eksistere når b=1, men log 1 1 vil være et hvilket som helst reelt tall. For å eliminere denne tvetydigheten tar vi a≠1.

La oss bevise nødvendigheten av tilstanden a>0. På a=0 i henhold til formuleringen av logaritmen kan eksistere bare når b=0. Og følgelig da logg 0 0 kan være et hvilket som helst reelt tall som ikke er null, siden null til en potensiell ikke-null er null. Denne tvetydigheten kan elimineres av tilstanden a≠0. Og når en<0 vi må avvise analysen av rasjonelle og irrasjonelle verdier av logaritmen, siden en grad med en rasjonell og irrasjonell eksponent er definert bare for ikke-negative baser. Det er av denne grunn at vilkåret er fastsatt a>0.

OG siste tilstand b>0 følger av ulikhet a>0, siden x=log α b, og verdien av graden med positivt grunnlag en alltid positiv.

Funksjoner av logaritmer.

Logaritmer preget av særegne egenskaper, noe som førte til utbredt bruk for å forenkle møysommelige beregninger betydelig. Når man beveger seg «inn i logaritmenes verden», transformeres multiplikasjon til en mye enklere addisjon, divisjon blir transformert til subtraksjon, og eksponentiering og rotekstraksjon transformeres til henholdsvis multiplikasjon og divisjon av eksponenten.

Formulering av logaritmer og tabell over deres verdier (for trigonometriske funksjoner) ble først utgitt i 1614 av den skotske matematikeren John Napier. Logaritmiske tabeller, forstørret og detaljert av andre forskere, ble mye brukt i vitenskapelige og tekniske beregninger, og forble relevante inntil elektroniske kalkulatorer og datamaskiner ble brukt.

Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregne logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først vil vi forstå beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter, la oss se på hvordan verdiene til logaritmer blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter dette vil vi fokusere på å beregne logaritmer gjennom de opprinnelig spesifiserte verdiene til andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker logaritmetabeller. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.

Sidenavigering.

Beregning av logaritmer per definisjon

I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre ganske raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen skjer.

Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, tilsvarer følgende kjede av likheter å finne logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så, å beregne en logaritme per definisjon kommer ned til å finne et tall c slik at a c = b, og tallet c i seg selv er den ønskede verdien av logaritmen.

Når du tar i betraktning informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under logaritmetegnet er gitt av en viss potens av logaritmebasen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den er lik eksponenten. La oss vise løsninger på eksempler.

Eksempel.

Finn log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritmen til tallet e 5,3.

Løsning.

Definisjonen av logaritmen lar oss umiddelbart si at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lik base 2 til −3 potens.

På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.

Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er spesifisert som en potens av basen til logaritmen, må du se nøye etter om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under logaritmetegnet er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmene log 5 25 , og .

Løsning.

Det er lett å se at 25=5 2, dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

La oss gå videre til å beregne den andre logaritmen. Tallet kan representeres som en potens av 7: (se om nødvendig). Derfor, .

La oss omskrive den tredje logaritmen inn følgende skjema. Nå kan du se det , hvorfra vi konkluderer med at . Derfor, ved definisjonen av logaritme .

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når under logaritmetegnet er det en tilstrekkelig stor naturlig tall, så ville det ikke skade å ta det inn i hovedfaktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor beregne denne logaritmen per definisjon.

Eksempel.

Finn verdien av logaritmen.

Løsning.

Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en og egenskapen til logaritmen til et tall som er lik grunntallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1. Det vil si at når det under fortegnet til logaritmen er et tall 1 eller et tall a lik basen til logaritmen, så er logaritmene i disse tilfellene lik henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hva er logaritmer og log10 lik?

Løsning.

Siden , så følger det fra definisjonen av logaritme .

I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmetegnet sammen med grunntallet, så desimallogaritmen på ti er lik én, det vil si lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OG lg10=1 .

Merk at beregningen av logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p, som er en av egenskapene til logaritmer.

I praksis, når et tall under logaritmetegnet og basen av logaritmen lett kan representeres som en potens av et bestemt tall, er det veldig praktisk å bruke formelen , som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. La oss se på et eksempel på å finne en logaritme som illustrerer bruken av denne formelen.

Eksempel.

Regn ut logaritmen.

Løsning.

Svar:

Egenskaper til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregninger, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.

Finne logaritmer gjennom andre kjente logaritmer

Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer når de beregnes. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss gi et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963, så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til et produkt. Imidlertid er det mye oftere nødvendig å bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen gjennom de gitte.

Eksempel.

Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis du vet at log 60 2=a og log 60 5=b.

Løsning.

Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27 = 3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til potensens logaritme, kan skrives om til 3·log 60 3 .

La oss nå se hvordan du uttrykker log 60 3 i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar oss skrive likhetsloggen 60 60=1. På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgang til en ny base av logaritmen til formen . Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, ved å bruke overgangsformelen, flytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som lar verdiene deres beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste avsnitt skal vi vise hvordan dette gjøres.

Logaritmetabeller og deres bruk

For omtrentlig beregning av logaritmeverdier kan brukes logaritmetabeller. Den mest brukte base 2-logaritmetabellen er tabellen naturlige logaritmer og en tabell med desimallogaritmer. Når du arbeider i desimaltallsystemet, er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer basert på grunntallet ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.

Den presenterte tabellen lar deg finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1000 til 9999 (med tre desimaler) med en nøyaktighet på en ti tusendel. Vi vil analysere prinsippet for å finne verdien av en logaritme ved å bruke en tabell med desimallogaritmer i spesifikt eksempel– Det er tydeligere på den måten. La oss finne log1.256.

I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Det tredje sifferet i tallet 1.256 (siffer 5) finnes i den første eller siste linjen til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn med rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (siffer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er omringet med en grønn linje). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet oransje). Summen av de markerte tallene gir den ønskede verdien av desimallogaritmen nøyaktig til fjerde desimal, det vil si, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmer av tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, så vel som de som går utover området fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.

La oss beregne lg102.76332. Først må du skrive ned nummer i standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Etter dette skal mantissen avrundes til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrent lik logaritmen til det resulterende tallet, det vil si at vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nå bruker vi egenskapene til logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 fra tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke en tabell med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.

La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgang til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

Logaritme av tallet b (b > 0) til grunntall a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent som tallet a må heves til for å oppnå b.

Grunntallet 10 logaritmen til b kan skrives som logg(b), og logaritmen til base e (naturlig logaritme) er ln(b).

Ofte brukt når du løser problemer med logaritmer:

Egenskaper til logaritmer

Det er fire hoved egenskapene til logaritmer.

La a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.

Egenskap 1. Logaritme av produktet

Logaritme av produktet lik summen av logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritme av kvotienten

Logaritme av kvotienten lik forskjellen av logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Maktlogaritme

Logaritme av grad lik produktet av potensen og logaritmen:

Hvis basen til logaritmen er i graden, gjelder en annen formel:

Egenskap 4. Logaritme av roten

Denne egenskapen kan fås fra egenskapen til logaritmen til en potens, siden den n-te roten av potensen er lik potensen 1/n:

Formel for å konvertere fra en logaritme i en base til en logaritme i en annen base

Denne formelen brukes også ofte når du løser ulike oppgaver på logaritmer:

Spesielt tilfelle:

Sammenligning av logaritmer (ulikheter)

La oss ha 2 funksjoner f(x) og g(x) under logaritmer med samme base og mellom dem er det et ulikhetstegn:

For å sammenligne dem, må du først se på bunnen av logaritmene a:

Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hvordan løse problemer med logaritmer: eksempler

Problemer med logaritmer inkludert i Unified State Examination i matematikk for klasse 11 i oppgave 5 og oppgave 7, kan du finne oppgaver med løsninger på nettsiden vår i de aktuelle seksjonene. Også oppgaver med logaritmer finnes i matematikkoppgavebanken. Du finner alle eksemplene ved å søke på nettstedet.

Hva er en logaritme

Logaritmer har alltid vært vurdert komplekst tema i et skolematematikkkurs. Det er mange ulike definisjoner logaritme, men av en eller annen grunn bruker de fleste lærebøker de mest komplekse og mislykkede av dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og tydelig. For å gjøre dette, la oss lage en tabell:

Så vi har to krefter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hvordan løses

Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve to til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Grunnlaget a til argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å oppnå tallet x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grunntallet, x er argumentet, b er det logaritmen faktisk er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Med samme suksess, log 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles. Så la oss legge til en ny linje i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer beregnet så lett. Prøv for eksempel å finne log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på intervallet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at en logaritme er et uttrykk med to variabler (grunnlaget og argumentet). Til å begynne med forvirrer mange hvor grunnlaget er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser, se bare på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen må bygges inn i for å få et argument. Det er basen som er hevet til en kraft – den er uthevet med rødt på bildet. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller elevene mine denne fantastiske regelen allerede i første leksjon – og det oppstår ingen forvirring.

Hvordan telle logaritmer

Vi har funnet ut definisjonen - det gjenstår bare å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, som definisjonen av en logaritme reduseres til.
Basen må være forskjellig fra en, siden en i noen grad fortsatt forblir en. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles region akseptable verdier (ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på tallet b (verdien av logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne VA til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av forfatterne av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DL-krav bli obligatoriske. Tross alt kan grunnlaget og argumentasjonen inneholde svært sterke konstruksjoner som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

La oss nå vurdere generell ordning beregne logaritmer. Den består av tre trinn:

Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minimum mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimaler;
Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette være synlig allerede i første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært viktig: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Samme med desimaler: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer ved å bruke spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Vi fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Vi fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Vi fikk svaret: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke representeres som en potens av syv, siden 7 1< 14 < 7 2 ;
Fra forrige avsnitt følger det at logaritmen ikke teller;
Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til det siste eksemplet. Hvordan kan du være sikker på at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Det er veldig enkelt - bare ta det inn i hovedfaktorer. Hvis utvidelsen har minst to forskjellige faktorer, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om tallene er nøyaktige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksakt grad, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en eksakt potens, siden det er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksakt grad;
35 = 7 · 5 - igjen ikke en eksakt potens;
14 = 7 · 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Merk også at selve primtallene alltid er eksakte potenser av seg selv.

Desimal logaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og symbol.

av argumentet x er logaritmen til base 10, dvs. Potensen som tallet 10 må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i en lærebok, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er en desimallogaritme. Men hvis du ikke er kjent med denne notasjonen, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen betegnelse. På noen måter er det enda viktigere enn desimal. Vi snakker om den naturlige logaritmen.

av argumentet x er logaritmen til basen e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x.

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette irrasjonelt tall, hans eksakt verdi umulig å finne og registrere. Jeg vil bare gi de første tallene:
e = 2,718281828459 …

Vi vil ikke gå i detalj om hva dette nummeret er og hvorfor det er nødvendig. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, for en: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.

Se også:

Logaritme. Egenskaper til logaritmen (styrken til logaritmen).

Hvordan representere et tall som en logaritme?

Vi bruker definisjonen av logaritme.

En logaritme er en eksponent som grunntallet må heves til for å få tallet under logaritmetegnet.

For å representere et visst tall c som en logaritme til grunntall a, må du derfor sette en potens med samme grunntall som logaritmen under fortegnet til logaritmen, og skrive dette tallet c som eksponent:

Absolutt ethvert tall kan representeres som en logaritme - positiv, negativ, heltall, brøk, rasjonell, irrasjonell:

For ikke å forveksle a og c under stressende forhold ved en test eller eksamen, kan du bruke følgende memoreringsregel:

det som er under går ned, det som er over går opp.

For eksempel må du representere tallet 2 som en logaritme til grunntallet 3.

Vi har to tall - 2 og 3. Disse tallene er grunntallet og eksponenten, som vi skal skrive under logaritmens fortegn. Det gjenstår å bestemme hvilke av disse tallene som skal skrives ned, til bunnen av graden, og hvilke – opp til eksponenten.

Grunntallet 3 i notasjonen til en logaritme er nederst, noe som betyr at når vi representerer to som en logaritme til grunntallet 3, vil vi også skrive 3 ned til grunntallet.

2 er høyere enn tre. Og i notasjon av graden to skriver vi over de tre, det vil si som en eksponent:

Logaritmer. Første nivå.

Logaritmer

Logaritme positivt tall b basert på en, Hvor a > 0, a ≠ 1, kalles eksponenten som tallet må heves til en, For å oppnå b.

Definisjon av logaritme kan kort skrives slik:

Denne likestillingen gjelder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Det kalles vanligvis logaritmisk identitet.
Handlingen med å finne logaritmen til et tall kalles ved logaritme.

Egenskaper til logaritmer:

Logaritme av produktet:

Logaritme av kvotienten:

Bytte ut logaritmebasen:

Logaritme for grad:

Logaritme av roten:

Logaritme med potensbase:

Desimal og naturlige logaritmer.

Desimal logaritme tall kaller logaritmen til dette tallet til base 10 og skriver lg b
Naturlig logaritme tall kalles logaritmen til det tallet til grunntallet e, Hvor e- et irrasjonelt tall omtrent lik 2,7. Samtidig skriver de ln b.

Andre notater om algebra og geometri

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Logg 6 4 + logg 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene viser de seg ganske normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekker ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet til logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logg a x gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base.

I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok bare kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

log a a = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
log a 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

La oss begynne med egenskapene til logaritmen til en. Formuleringen er som følger: logaritmen av enhet er lik null, det vil si, logg a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke vanskelig: siden a 0 =1 for enhver a som tilfredsstiller betingelsene ovenfor a>0 og a≠1, følger likhetsloggen a 1=0 som skal bevises umiddelbart fra definisjonen av logaritmen.

La oss gi eksempler på bruken av den vurderte egenskapen: log 3 1=0, log1=0 og .

La oss gå videre til til følgende eiendom: logaritmen til et tall lik grunntall er lik en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, siden a 1 =a for enhver a, så logaritmen logaritmen a a = 1 per definisjon av logaritmen.

Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er likhetene log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: log a (x y)=logg a x+log a y, a>0, a≠1. La oss bevise egenskapen til logaritmen til et produkt. På grunn av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og siden ved den logaritmiske hovedidentiteten a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Dermed en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, følger likheten som bevises.

La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til logaritmen til et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan generaliseres til produktet av et endelig antall n av positive tall x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denne likheten kan bevises uten problemer.

For eksempel kan den naturlige logaritmen til produktet erstattes av summen av tre naturlige logaritmer av tallene 4, e og.

Logaritme av kvotienten til to positive tall x og y er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene. Egenskapen til logaritmen til en kvotient tilsvarer en formel på formen , der a>0, a≠1, x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist, så vel som formelen for logaritmen til et produkt: siden , da per definisjon av en logaritme.

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: .

La oss gå videre til egenskapen til potensens logaritme. Logaritmen til en grad er lik produktet av eksponenten og logaritmen til modulen til basisen til denne graden. La oss skrive denne egenskapen til logaritmen til en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskapen for positiv b. Den grunnleggende logaritmiske identiteten tillater oss å representere tallet b som en log a b , deretter er b p =(a log a b) p , og det resulterende uttrykket, på grunn av egenskapen makt, er lik en p·log a b . Så vi kommer til likheten b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definisjonen av en logaritme konkluderer med at log a b p =p·log a b.

Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negativ b. Her legger vi merke til at uttrykket log a b p for negativ b gir mening bare for like eksponenter p (siden verdien av graden b p må være større enn null, ellers vil ikke logaritmen gi mening), og i dette tilfellet b p =|b| s. Deretter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel, og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger av forrige eiendom egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til den n-te roten er lik produktet av brøken 1/n ved logaritmen til det radikale uttrykket, det vil si, , hvor a>0, a≠1, n er et naturlig tall større enn én, b>0.

Beviset er basert på likheten (se), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskapen til potensens logaritme: .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: .

La oss nå bevise formel for å flytte til en ny logaritmebase snill . For å gjøre dette er det nok å bevise gyldigheten av likhetsloggen c b=log a b·log c a. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter log c b=log c a log a b . Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: log c a log a b =logg a b log c a. Dette beviser likhetsloggen c b=log a b·log c a, noe som betyr at formelen for overgang til en ny base av logaritmen også er bevist.

La oss vise et par eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer: og .

Formelen for å flytte til en ny base lar deg gå videre til å jobbe med logaritmer som har en "praktisk" base. Den kan for eksempel brukes til å gå til naturlige eller desimale logaritmer slik at du kan beregne verdien av en logaritme fra en tabell med logaritmer. Formelen for å flytte til en ny logaritmebase tillater også, i noen tilfeller, å finne verdien av en gitt logaritme når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.

Brukes ofte spesielt tilfelle formler for overgang til en ny base av logaritmen med c=b av formen . Dette viser at log a b og log b a – . f.eks. .

Formelen brukes også ofte , som er praktisk for å finne logaritmeverdier. For å bekrefte ordene våre, vil vi vise hvordan det kan brukes til å beregne verdien av en logaritme av formen . Vi har . For å bevise formelen det er nok å bruke formelen for overgang til en ny base av logaritmen a: .

Det gjenstår å bevise egenskapene til sammenligning av logaritmer.

La oss bevise at for alle positive tall b 1 og b 2, b 1 log a b 2 , og for a>1 – ulikheten log a b 1

Til slutt gjenstår det å bevise den siste av de listede egenskapene til logaritmer. La oss begrense oss til beviset for dens første del, det vil si at vi vil bevise at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b>log a 2 b . De resterende utsagnene om denne egenskapen til logaritmer er bevist i henhold til et lignende prinsipp.

La oss bruke den motsatte metoden. Anta at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b≤log a 2 b . Basert på egenskapene til logaritmene kan disse ulikhetene omskrives som Og henholdsvis, og av dem følger det at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Deretter, i henhold til egenskapene til potenser med samme base, må likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 holde, det vil si a 1 ≥a 2. Så vi kom til en motsetning til betingelsen en 1

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

Bruksanvisning

Skriv det gitte logaritmiske uttrykket. Hvis uttrykket bruker logaritmen til 10, blir notasjonen forkortet og ser slik ut: lg b er desimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som base, så skriv uttrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er forstått at resultatet av en hvilken som helst er potensen som grunntallet må heves til for å oppnå tallet b.

Når du skal finne summen av to funksjoner, trenger du bare å skille dem én etter én og legge til resultatene: (u+v)" = u"+v";
Når du finner den deriverte av produktet av to funksjoner, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den første funksjonen med den andre og legge til den deriverte av den andre funksjonen multiplisert med den første funksjonen: (u*v)" = u"*v +v"*u;
For å finne den deriverte av kvotienten til to funksjoner, er det nødvendig å trekke fra produktet av den deriverte av utbyttet multiplisert med divisorfunksjonen produktet av den deriverte av divisoren multiplisert med funksjonen til utbyttet, og dividere alt dette med divisorfunksjonen i annen. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Hvis en kompleks funksjon er gitt, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den interne funksjonen og den deriverte av den eksterne. La y=u(v(x)), så y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved å bruke resultatene ovenfor, kan du skille nesten hvilken som helst funksjon. Så la oss se på noen eksempler:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Det er også problemer med å beregne den deriverte på et punkt. La funksjonen y=e^(x^2+6x+5) gis, du må finne verdien av funksjonen i punktet x=1.
1) Finn den deriverte av funksjonen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Beregn verdien av funksjonen ved et gitt punkt y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydelig.

Kilder:

avledet av en konstant

Så, hva er forskjellen mellom en irrasjonell ligning og en rasjonell? Hvis den ukjente variabelen er under kvadratrottegnet, anses ligningen som irrasjonell.

Bruksanvisning

Hovedmetoden for å løse slike ligninger er metoden for å konstruere begge sider ligninger inn i en firkant. Derimot. dette er naturlig, det første du må gjøre er å bli kvitt skiltet. Denne metoden er ikke teknisk vanskelig, men noen ganger kan den føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved å kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. Å løse en slik ligning er ikke vanskelig; x=1. Men tallet 1 vil ikke bli gitt ligninger. Hvorfor? Bytt inn en inn i ligningen i stedet for verdien av x. Og høyre og venstre side vil inneholde uttrykk som ikke gir mening, altså. Denne verdien er ikke gyldig for en kvadratrot. Derfor er 1 en fremmed rot, og derfor har denne ligningen ingen røtter.

Så en irrasjonell ligning løses ved å bruke metoden for å kvadrere begge sidene. Og etter å ha løst ligningen, er det nødvendig å kutte av fremmede røtter. For å gjøre dette, erstatte de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Vurder en annen.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligningen løses ved å bruke samme ligning som den forrige. Flytt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrot, til høyre og bruk deretter kvadraturmetoden. løse den resulterende rasjonelle ligningen og røttene. Men også en annen, mer elegant. Skriv inn en ny variabel; vх=y. Følgelig vil du motta en ligning på formen 2y2+y-3=0. Det vil si en vanlig andregradsligning. Finn dens røtter; y1=1 og y2=-3/2. Deretter løser du to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den andre ligningen har ingen røtter; fra den første finner vi at x=1. Ikke glem å sjekke røttene.

Å løse identiteter er ganske enkelt. For å gjøre dette er det nødvendig å utføre identiske transformasjoner til det fastsatte målet er oppnådd. Dermed, ved hjelp av enkle aritmetiske operasjoner, vil problemet som stilles bli løst.

Du vil trenge

- papir;
- penn.

Bruksanvisning

Den enkleste av slike transformasjoner er algebraiske forkortede multiplikasjoner (som kvadratet av summen (differansen), forskjellen av kvadrater, sum (forskjellen), terningen av summen (forskjellen)). I tillegg er det mange trigonometriske formler, som i hovedsak er de samme identitetene.

Faktisk er kvadratet av summen av to ledd lik kvadratet av det første pluss to ganger produktet av det første med det andre og pluss kvadratet av det andre, det vil si (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Forenkle begge deler
Generelle prinsipper for løsningen
Gjenta fra en lærebok om matematisk analyse eller høyere matematikk hva en bestemt integral er. Som kjent er løsningen til et bestemt integral en funksjon hvis deriverte vil gi en integrand. Denne funksjonen kalles antiderivat. Basert på dette prinsippet er hovedintegralene konstruert.
Bestem etter typen av integranden hvilken av tabellintegralene som er egnet i dette tilfellet. Det er ikke alltid mulig å fastslå dette umiddelbart. Ofte blir tabellformen merkbar først etter flere transformasjoner for å forenkle integranden.
Variabel erstatningsmetode
Hvis integranden er en trigonometrisk funksjon hvis argument er et polynom, prøv å bruke metoden for endring av variabler. For å gjøre dette, bytt ut polynomet i argumentet til integranden med en ny variabel. Basert på forholdet mellom de nye og gamle variablene, bestemme de nye grensene for integrasjon. Ved å differensiere dette uttrykket, finn den nye differensialen i . Dermed vil du få en ny form av det forrige integralet, nær eller til og med tilsvarende en tabell.
Løse integraler av den andre typen
Hvis integralet er et integral av den andre typen, en vektorform av integraden, må du bruke reglene for overgangen fra disse integralene til skalære. En slik regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne loven lar oss bevege oss fra rotorfluksen til en viss vektorfunksjon til trippelintegralet over divergensen til et gitt vektorfelt.
Substitusjon av integrasjonsgrenser
Etter å ha funnet antiderivatet, er det nødvendig å erstatte grensene for integrasjon. Bytt først verdien av den øvre grensen inn i uttrykket for antiderivatet. Du vil få et nummer. Deretter trekker du fra det resulterende tallet et annet tall hentet fra den nedre grensen til antideriverten. Hvis en av grensene for integrasjon er uendelig, er det nødvendig å gå til grensen og finne hva uttrykket har en tendens til når du erstatter det med antiderivatfunksjonen.
Hvis integralet er todimensjonalt eller tredimensjonalt, må du representere grensene for integrasjon geometrisk for å forstå hvordan du skal evaluere integralet. Faktisk, i tilfelle av for eksempel et tredimensjonalt integral, kan grensene for integrasjon være hele plan som begrenser volumet som integreres.