Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallseksponenter. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finner du nesten overalt hvor du trenger å forenkle tungvint multiplikasjon med enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. I et enkelt og tilgjengelig språk.
Definisjon i matematikk
En logaritme er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si at logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" til grunntallet "a" anses å være potensen "c" " som grunntallet "a" må heves til for til slutt å få verdien "b". La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en potens slik at fra 2 til den nødvendige effekten får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i hodet ditt, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi 2 i potens av 3 gir svaret som 8.
Typer logaritmer
For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre individuelle arter logaritmiske uttrykk:
- Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
- Desimal a, der grunntallet er 10.
- Logaritme av et hvilket som helst tall b til grunntall a>1.
Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en enkelt logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør du huske egenskapene deres og handlingssekvensen når du løser dem.
Regler og noen restriksjoner
I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sannheten. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut en partall rot fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:
- Grunnlaget "a" må alltid være større enn null, og ikke lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
- hvis a > 0, så a b >0, viser det seg at "c" også må være større enn null.
Hvordan løse logaritmer?
For eksempel er oppgaven gitt å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er veldig enkelt, du må velge en potens ved å heve tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.
La oss nå representere dette uttrykket i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer praktisk talt alle handlinger for å finne potensen som det er nødvendig å legge inn basisen til logaritmen til for å få et gitt tall.
For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:
Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har et teknisk sinn og kunnskap om multiplikasjonstabellen. For større verdier trenger du imidlertid et strømbord. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om kompleks matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet inneholder cellene tallverdiene som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest sanne humanist vil forstå!
Ligninger og ulikheter
Det viser seg at når visse forhold eksponenten er logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som base 3-logaritmen av 81 lik fire (log 3 81 = 4). Til negative krefter reglene er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi skal se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.
Gitt et uttrykk av følgende form: log 2 (x-1) > 3 - det er logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under tegnet til logaritmen. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til ønsket tall til base to er større enn tallet tre.
Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) innebærer ett eller flere spesifikke svar. numeriske verdier, mens ved løsning av ulikhetene er definert som regionen akseptable verdier, og bruddpunktene for denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.
Grunnleggende teoremer om logaritmer
Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det ikke sikkert dens egenskaper er kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; la oss først se på hver egenskap mer detaljert.
- Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare når a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
- Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne logaritmiske formelen, med eksempler og løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskapene til grader ), og da per definisjon: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som er det som måtte bevises.
- Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teoremet i form av en formel tar på neste visning: log a q b n = n/q log a b.
Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritme." Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss se på beviset.
La log a b = t, viser det seg a t =b. Hvis vi hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;
men siden a tn = (a q) nt/q = b n, log derfor a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.
Eksempler på problemer og ulikheter
De vanligste typene problemer på logaritmer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og er også en obligatorisk del av matematikkprøver. For opptak til universitet eller bestått opptaksprøver i matematikk må du vite hvordan du løser slike problemer riktig.
Dessverre er det ingen enkelt plan eller skjema for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først og fremst bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller føre til generelt utseende. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem raskt.
Når vi løser logaritmiske ligninger, må vi bestemme hvilken type logaritme vi har: et eksempeluttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.
Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at de må bestemme kraften som basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For å løse naturlige logaritmer må du bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.
Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger
Så, la oss se på eksempler på bruk av de grunnleggende teoremene om logaritmer.
- Egenskapen til logaritmen til et produkt kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å utvide veldig viktig tall b inn i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmepotensen, klarte vi å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.
Oppgaver fra Unified State-eksamenen
Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste prøvedelen av eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrike oppgavene). Eksamen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".
Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra offisielle Unified State Exam-alternativer. La oss se hvordan slike oppgaver løses.
Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.
- Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
- Alle uttrykk under logaritmetegnet er indikert som positive, og derfor, når eksponenten til et uttrykk som er under logaritmetegnet og som basen er tatt ut som en multiplikator, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.
Logaritmen av et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være et positivt tall som ikke er lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.
Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.
To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til null potens, får vi en.
Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.
Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f(x) og g(x) begge er mindre enn null.
Ved å transformere dette uttrykket til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til å begrense oss til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av utvalget av akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, siden det kan føre til tap av løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).
Graden kan tas ut av logaritmens fortegn
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Og igjen vil jeg gjerne be om nøyaktighet. Tenk på følgende eksempel:
Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.
Formel for å flytte til en ny stiftelse
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Det sjeldne tilfellet når ODZ ikke endres under transformasjon. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.
Velger vi tallet b som ny grunntall c, får vi en viktig spesielt tilfelle formler (8):
Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Noen enkle eksempler med logaritmer
Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.
Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).
Tabell over formler relatert til logaritmer
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
De grunnleggende egenskapene til logaritmen, logaritmegrafen, definisjonsdomene, sett med verdier, grunnleggende formler, økende og minkende er gitt. Å finne den deriverte av en logaritme vurderes. I tillegg til integral, potensserieutvidelse og representasjon ved bruk av komplekse tall.
Definisjon av logaritme
Logaritme med grunntall a er en funksjon av y (x) = log a x, invers til eksponentialfunksjonen med grunntall a: x (y) = a y.
Desimal logaritme er logaritmen til grunnen av et tall 10 : log x ≡ log 10 x.
Naturlig logaritme er logaritmen til grunnen av e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Grafen til logaritmen hentes fra grafen til eksponentialfunksjonen ved å speile den i forhold til den rette linjen y = x. Til venstre er grafer for funksjonen y (x) = log a x for fire verdier logaritmebaser: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
og en = 1/8
. Grafen viser at når en > 1
logaritmen øker monotont. Når x øker, avtar veksten betydelig. På 0
< a < 1
logaritmen avtar monotont.
Egenskaper til logaritmen
Domene, sett med verdier, økende, avtagende
Logaritmen er en monoton funksjon, så den har ingen ekstreme. Hovedegenskapene til logaritmen er presentert i tabellen.
| Domene | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Rekkevidde av verdier | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotone | monotont øker | avtar monotont |
| Null, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0 | Nei | Nei |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Private verdier
Logaritmen til base 10 kalles desimal logaritme og er betegnet som følger:
Logaritme til base e kalt naturlig logaritme
:
Grunnleggende formler for logaritmer
Egenskaper til logaritmen som oppstår fra definisjonen av den inverse funksjonen:
Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser
Formel for baseerstatning
Logaritme er den matematiske operasjonen ved å ta en logaritme. Når du tar logaritmer, konverteres produkter av faktorer til summen av ledd.
Potensering er den inverse matematiske operasjonen til logaritmen. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet blir summen av termer forvandlet til produkter av faktorer.
Bevis på grunnleggende formler for logaritmer
Formler relatert til logaritmer følger av formler for eksponentielle funksjoner og fra definisjonen av en invers funksjon.
Tenk på egenskapen til eksponentialfunksjonen
.
Deretter
.
La oss bruke egenskapen til eksponentialfunksjonen
:
.
La oss bevise basiserstatningsformelen.
;
.
Forutsatt at c = b, har vi:
Invers funksjon
Inversen av en logaritme til base a er en eksponentiell funksjon med eksponent a.
Hvis da
Hvis da
Derivert av logaritme
Derivert av logaritmen til modulen x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >
For å finne den deriverte av en logaritme må den reduseres til grunntallet e.
;
.
Integral
Integralet til logaritmen beregnes ved å integrere med deler: .
Så,
Uttrykk som bruker komplekse tall
Tenk på den komplekse tallfunksjonen z:
.
La oss uttrykke et komplekst tall z via modul r og argumentasjon φ
:
.
Deretter, ved å bruke egenskapene til logaritmen, har vi:
.
Eller
Imidlertid argumentet φ
ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
da blir det samme nummer for forskjellige n.
Derfor er logaritmen, som en funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.
Utvidelse av Power-serien
Når utvidelsen finner sted:
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).
Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også klart at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.
Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.
Legge til og subtrahere logaritmer.
La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.
Fra logaritmekvotientsetning En annen egenskap for logaritmen kan oppnås. Det er alminnelig kjent at logg en 1= 0, derfor
Logg en 1 /b=logg en 1 - logg a b= -log a b.
Dette betyr at det er en likhet:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil avvike fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:
Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Laster inn...