Arealer og volumer av forskjellige figurer. Hvordan finne volum i kubikkmeter

Ethvert geometrisk legeme kan karakteriseres ved overflateareal (S) og volum (V). Areal og volum er ikke det samme i det hele tatt. Et objekt kan ha en relativt liten V og en stor S, for eksempel, det er slik den menneskelige hjernen fungerer. Beregn disse indikatorene for enkel geometriske former mye enklere.

Parallelepiped: definisjon, typer og egenskaper

Et parallellepiped er et firkantet prisme med et parallellogram ved bunnen. Hvorfor trenger du kanskje en formel for å finne volumet til en figur? Bøker, pakkebokser og mye annet fra Hverdagen. Rom i bolig- og kontorbygg er vanligvis rektangulære parallellepipeder. For å installere ventilasjon, klimaanlegg og bestemme antall varmeelementer i et rom, er det nødvendig å beregne volumet av rommet.

Figuren har 6 flater - parallellogrammer og 12 kanter; to tilfeldig valgte ansikter kalles baser. Et parallellepiped kan være av flere typer. Forskjellene skyldes vinklene mellom tilstøtende kanter. Formlene for å finne V-ene til forskjellige polygoner er litt forskjellige.

Hvis de 6 flatene til en geometrisk figur er rektangler, kalles den også rektangulær. Cube er spesielt tilfelle et parallellepiped der alle 6 flatene er like firkanter. I dette tilfellet, for å finne V, må du finne ut lengden på bare én side og heve den til tredje potens.

For å løse problemer trenger du kunnskap ikke bare om ferdige formler, men også om egenskapene til figuren. Listen over grunnleggende egenskaper til et rektangulært prisme er liten og veldig lett å forstå:

De motsatte sidene av figuren er like og parallelle. Dette betyr at ribbene plassert overfor er like i lengde og helningsvinkel.
Alle sideflater av et rett parallellepiped er rektangler.
De fire hoveddiagonalene til en geometrisk figur skjærer hverandre på ett punkt og er delt i to av den.
Kvadraten til diagonalen til et parallellepiped er lik summen av kvadratene av dimensjonene til figuren (følger av Pythagoras teorem).

Pythagoras teorem sier at summen av arealene av kvadrater bygget på sidene av en rettvinklet trekant er lik arealet av en trekant bygget på hypotenusen til samme trekant.

Beviset for den siste egenskapen kan sees på bildet nedenfor. Prosessen med å løse problemet er enkel og krever ingen detaljerte forklaringer.

Formel for volumet til et rektangulært parallellepiped

Formelen for å finne for alle typer geometriske figurer er den samme: V=S*h, der V er det nødvendige volumet, S er arealet av bunnen av parallellepipedet, h er høyden senket fra motsatt toppunkt og vinkelrett på basen. I et rektangel faller h sammen med en av sidene på figuren, så for å finne volumet til et rektangulært prisme, må du multiplisere tre dimensjoner.

Volum uttrykkes vanligvis i cm3. Å kjenne alle tre verdiene til a, b og c, er ikke vanskelig å finne volumet til en figur. Den vanligste typen problem i Unified State-eksamenen er å finne volumet eller diagonalen til et parallellepiped. Løs mange typiske Unified State Exam-oppgaver Det er umulig uten formelen for volumet til et rektangel. Et eksempel på en oppgave og utformingen av dens løsning er vist i figuren nedenfor.

Merknad 1. Overflatearealet til et rektangulært prisme kan bli funnet ved å multiplisere med 2 summen av arealene til de tre flatene på figuren: basen (ab) og to tilstøtende sideflater (bc + ac).

Notat 2. Overflatearealet til sideflatene kan enkelt bestemmes ved å multiplisere omkretsen av basen med høyden på parallellepipedet.

Basert på den første egenskapen til parallellepipedene AB = A1B1, og flaten B1D1 = BD. I følge konsekvensene av Pythagoras teorem, summen av alle vinkler i høyre trekant er lik 180°, og benet som ligger motsatt vinkelen på 30° er lik hypotenusen. Ved å bruke denne kunnskapen på en trekant kan vi enkelt finne lengden på sidene AB og AD. Deretter multipliserer vi de oppnådde verdiene og beregner volumet til parallellepipedet.

Formel for å finne volumet til et skrånende parallellepiped

For å finne volumet til et skrånende parallellepiped, er det nødvendig å multiplisere arealet av bunnen av figuren med høyden senket til den gitte basen fra motsatt hjørne.

Dermed kan den nødvendige V representeres i form av h - antall ark med et basisområde S, slik at volumet av kortstokken består av V-ene til alle kortene.

Eksempler på problemløsning

Oppgavene til enkelteksamen må gjennomføres innen en viss tid. Typiske oppgaver inneholder som regel ikke stor kvantitet beregninger og komplekse brøker. Ofte blir en student spurt om hvordan man finner volumet til en uregelmessig geometrisk figur. I slike tilfeller bør du huske den enkle regelen om at det totale volumet er lik summen av V-ene til komponentdelene.

Som du kan se fra eksemplet i bildet ovenfor, er det ikke noe vanskelig å løse slike problemer. Oppgaver fra mer komplekse seksjoner krever kunnskap om Pythagoras teorem og dens konsekvenser, samt formelen for lengden på diagonalen til en figur. For å lykkes med å løse testoppgaver er det nok å gjøre deg kjent med eksempler på typiske problemer på forhånd.

Mål alle nødvendige avstander i meter. Volumet til mange tredimensjonale figurer kan enkelt beregnes ved å bruke de riktige formlene. Imidlertid må alle verdier som erstattes med formler måles i meter. Derfor, før du plugger verdier inn i formelen, sørg for at de alle er målt i meter, eller at du har konvertert andre måleenheter til meter.

1 mm = 0,001 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m

For å beregne volumet av rektangulære figurer (kuboid, terning), bruk formelen: volum = L × B × H(lengde ganger bredde ganger høyde). Denne formelen kan betraktes som produktet av overflatearealet til en av ansiktene på figuren og kanten vinkelrett på dette ansiktet.

La oss for eksempel beregne volumet til et rom med en lengde på 4 m, en bredde på 3 m og en høyde på 2,5 m. For å gjøre dette, multipliser bare lengden med bredden og med høyden:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Volumet av dette rommet er 30 m 3.
En kube er en tredimensjonal figur med alle sider like. Dermed kan formelen for å beregne volumet til en kube skrives som: volum = L 3 (eller W 3, eller H 3).

For å beregne volumet av figurer i form av en sylinder, bruk formelen: pi× R 2 × H. Å beregne volumet til en sylinder kommer ned til å multiplisere arealet av den sirkulære basen med høyden (eller lengden) på sylinderen. Finn arealet til den sirkulære basen ved å multiplisere pi (3.14) med kvadratet av sirkelens radius (R) (radius er avstanden fra sentrum av sirkelen til ethvert punkt som ligger på denne sirkelen). Multipliser deretter resultatet med høyden på sylinderen (H) og du vil finne volumet på sylinderen. Alle verdier måles i meter.

La oss for eksempel beregne volumet til en brønn med en diameter på 1,5 m og en dybde på 10 m. Del diameteren med 2 for å få radius: 1,5/2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Volumet av brønnen er 17,66 m 3.

For å beregne volumet til en ball, bruk formelen: 4/3 x pi× R3. Det vil si at du bare trenger å vite radius (R) til ballen.

La oss for eksempel beregne volumet varmluftsballong med en diameter på 10 m. Del diameteren med 2 for å få radius: 10/2=5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Volumet på ballongen er 523,6 m 3.

For å beregne volumet av kjegleformede figurer, bruk formelen: 1/3 x pi× R 2 × H. Volumet til en kjegle er lik 1/3 av volumet til en sylinder, som har samme høyde og radius.

La oss for eksempel beregne volumet til en iskrem med en radius på 3 cm og en høyde på 15 cm. Omregnet til meter får vi: henholdsvis 0,03 m og 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
- = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Volumet til en iskrem er 0,000141 m 3.

For å beregne volumet av uregelmessige former, bruk flere formler. For å gjøre dette, prøv å dele figuren i flere figurer med riktig form. Finn deretter volumet til hver slik figur og legg sammen resultatene.

La oss for eksempel beregne volumet til et lite kornmagasin. Lageret har en sylindrisk kropp med en høyde på 12 m og en radius på 1,5 m. Lageret har også et konisk tak med en høyde på 1 m. Ved å beregne volumet på taket hver for seg og volumet på kroppen separat, har vi kan finne det totale volumet av kornmagasinet:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 x (3,14) × 1,5 2 × 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Volumet av kornmagasinet er lik 87.178 m 3.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått Unified State-eksamenen i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

Og de gamle egypterne brukte metoder for å beregne arealene til forskjellige figurer, lik våre metoder.

I bøkene mine "Begynnelser" den berømte antikke greske matematikeren Euklid beskrev ganske stort antall metoder for å beregne arealene til mange geometriske former. De første manuskriptene i Rus som inneholder geometrisk informasjon ble skrevet på 1500-tallet. De beskriver reglene for å finne områdene til figurer med ulike former.

I dag med hjelp moderne metoder du kan finne arealet til enhver figur med stor nøyaktighet.

La oss vurdere en av de enkleste figurene - et rektangel - og formelen for å finne området.

Formel for rektangelareal

La oss se på en figur (fig. 1), som består av $8$ kvadrater med sider på $1$ cm. Arealet av en kvadrat med en side på $1$ cm kalles en kvadratcentimeter og skrives $1\ cm^2 $.

Arealet til denne figuren (fig. 1) vil være lik $8\cm^2$.

Arealet til en figur som kan deles inn i flere firkanter med en side på $1\ cm$ (for eksempel $p$) vil være lik $p\ cm^2$.

Med andre ord, arealet av figuren vil være lik så mange $cm^2$, i hvor mange firkanter med siden $1\ cm$ denne figuren kan deles.

La oss se på et rektangel (fig. 2), som består av $3$ striper, som hver er delt inn i $5$ kvadrater med en side på $1\ cm$. hele rektangelet består av $5\cdot 3=15$ slike firkanter, og arealet er $15\cm^2$.

Bilde 1.

Figur 2.

Området med figurer er vanligvis merket med bokstaven $S$.

For å finne arealet til et rektangel, må du multiplisere lengden med bredden.

Hvis vi angir lengden med bokstaven $a$, og bredden med bokstaven $b$, vil formelen for arealet til et rektangel se slik ut:

Definisjon 1

Figurene kalles lik hvis tallene sammenfaller når de er lagt over hverandre. Like tall har like områder og like omkrets.

Arealet til en figur kan finnes som summen av arealene til delene.

Eksempel 1

For eksempel, i figur $3$, er rektangel $ABCD$ delt inn i to deler av linjen $KLMN$. Arealet til en del er $12\ cm^2$, og den andre er $9\ cm^2$. Da vil arealet av rektangelet $ABCD$ være lik $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Finn arealet av rektangelet ved å bruke formelen:

Som du kan se, er arealene funnet ved begge metodene like.

Figur 3.

Figur 4.

Linjestykket $AC$ deler rektangelet i to like trekanter: $ABC$ og $ADC$. Dette betyr at arealet av hver trekant er lik halvparten av arealet av hele rektangelet.

Definisjon 2

Rektangel med like sider kalt torget.

Hvis vi betegner siden av et kvadrat med bokstaven $a$, vil arealet av kvadratet bli funnet av formelen:

Derav navnekvadraten til tallet $a$.

Eksempel 2

For eksempel, hvis siden av en firkant er $5$ cm, er arealet:

Volumer

Med utviklingen av handel og konstruksjon tilbake i de gamle sivilisasjonenes dager, oppsto behovet for å finne volumer. I matematikk er det en gren av geometri som omhandler studiet av romlige figurer, kalt stereometri. Omtaler av denne separate grenen av matematikk ble funnet allerede i $IV$ århundre f.Kr.

Gamle matematikere utviklet en metode for å beregne volumet av enkle figurer - en terning og et parallellepiped. Alle bygninger på den tiden var av denne formen. Men senere metoder ble funnet for å beregne volumet av figurer med mer komplekse former.

Volum av et rektangulært parallellepiped

Fyller du en form med våt sand og så snur den, får du tredimensjonal figur, som er preget av volum. Hvis du lager flere slike figurer ved hjelp av samme form, får du figurer som har samme volum. Hvis du fyller formen med vann, vil volumet av vann og volumet av sandfiguren også være like.

Figur 5.

Du kan sammenligne volumene til to kar ved å fylle den ene med vann og helle den i den andre beholderen. Hvis det andre karet er helt fylt, har karene like store volumer. Hvis vann forblir i det første, er volumet til det første karet større enn volumet til det andre. Hvis det ikke er mulig å fylle det andre karet helt når man heller vann fra det første karet, er volumet til det første karet mindre enn volumet til det andre.

Volum måles med følgende enheter:

$mm^3$ -- kubikkmillimeter,

$cm^3$ -- kubikkcentimeter,

$dm^3$ -- kubikkdesimeter,

$m^3$ -- kubikkmeter,

$km^3$ -- kubikkkilometer.