Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula valoarea rădăcinii pătrate. Astfel de probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol vă vom prezenta metoda eficienta calculele rădăcini pătrateși folosiți-l atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.
Ce este o rădăcină pătrată?
În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a fost folosit pentru prima dată în prima jumătate a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că simbolul specificat este o transformare Literă latină r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).
Rădăcina oricărui număr este egală cu valoarea al cărei pătrat corespunde expresiei radicalului. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x = y, dacă y 2 = x.
Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este, de asemenea, un număr pozitiv (y > 0), dar dacă luați rădăcina unui număr negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Iată două exemple simple:
√9 = 3, deoarece 3 2 = 9; √(-9) = 3i, deoarece i 2 = -1.
Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea valorilor rădăcinilor pătrate
Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calcularea rădăcinilor din ele nu este dificilă. Încep să apară dificultăți la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca un pătrat numar natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesar să se găsească rădăcini pentru numere non-întregi: de exemplu √(12,15), √(8,5) și așa mai departe.
În toate cazurile de mai sus, trebuie utilizată o metodă specială pentru calcularea rădăcinii pătrate. În prezent, sunt cunoscute mai multe astfel de metode: de exemplu, extinderea seriei Taylor, împărțirea coloanelor și altele. Dintre toate metode cunoscute Poate că cea mai simplă și mai eficientă este să folosiți formula iterativă a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană de determinare a rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).
Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea vedere:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), unde lim n->∞ (a n) => x.
Să descifrăm această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un anumit număr a 0 (poate fi arbitrar, dar pentru a obține rapid rezultatul, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a 0) 2 să fie cât mai aproape posibil de x. Apoi înlocuiți-l în formula indicată pentru calcularea rădăcinii pătrate și obțineți un număr nou, 1, care va fi deja mai aproape de valoarea dorită. După aceasta, trebuie să înlocuiți un 1 în expresie și să obțineți un 2. Această procedură trebuie repetată până la momentul necesar. se obține acuratețea.
Un exemplu de utilizare a formulei iterative a lui Heron
Algoritmul descris mai sus pentru obținerea rădăcinii pătrate a unui număr dat poate părea destul de complicat și confuz pentru mulți, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă se alege un număr de succes un 0) .
Să dăm un exemplu simplu: trebuie să calculați √11. Să alegem un 0 = 3, deoarece 3 2 = 9, care este mai aproape de 11 decât 4 2 = 16. Înlocuind în formulă, obținem:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am constatat că un 2 și un 3 încep să difere doar la a 5-a zecimală. Astfel, a fost suficient să aplicați formula doar de 2 ori pentru a calcula √11 cu o precizie de 0,0001.
În zilele noastre, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.
Ecuații de ordinul doi
Înțelegerea a ceea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Aceste ecuații se numesc egalități cu o necunoscută, a cărei formă generală este prezentată în figura de mai jos.
Aici c, b și a reprezintă unele numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv egale cu zero.
Orice valoare a lui x care satisface egalitatea indicată în figură se numește rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare este de ordinul 2 (x 2), atunci nu poate exista mai mult de două rădăcini pentru ea. Să privim mai departe în articol cum să găsim aceste rădăcini.
Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)
Această metodă de rezolvare a tipului de egalități luate în considerare se mai numește și metoda universală, sau metoda discriminantă. Poate fi folosit pentru orice ecuație pătratică. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:
Arată că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calculul lui x 1 diferă de calculul lui x 2 doar prin semnul din fața rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b 2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității în cauză. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este egal cu zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale și, în sfârșit, un discriminant negativ duce la două rădăcini complexe x 1 și x 2.
Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi
La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, un francez, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Din punct de vedere matematic, ele pot fi scrise astfel:
x 1 + x 2 = -b / a și x 1 * x 2 = c / a.
Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de oricine; pentru a face acest lucru, trebuie doar să efectuați operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute prin formula cu discriminantul.
Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza un discriminant. Aici trebuie remarcat faptul că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valabile, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație doar dacă aceasta poate fi factorizată.
Sarcina de a consolida cunoștințele dobândite
Să rezolvăm o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13 și suma este 4.
Această condiție ne amintește imediat de teorema lui Vieta; folosind formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Dacă presupunem că a = 1, atunci b = -4 și c = -13. Acești coeficienți ne permit să creăm o ecuație de ordinul doi:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Să folosim formula cu discriminantul și să obținem următoarele rădăcini:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Adică, problema a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68 = 4 * 17, atunci, folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68 = 2√17.
Acum să folosim formula rădăcină pătrată considerată: a 0 = 4, apoi:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Nu este nevoie să calculați un 3, deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68 = 8,246. Înlocuindu-l în formula pentru x 1,2, obținem:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 și x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
După cum putem vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr egală cu 4, dar dacă găsim produsul lor, atunci acesta va fi egal cu -12,999, ceea ce satisface condițiile problemei cu o precizie de 0,001.
Continuăm să studiem subiectul " rezolvarea ecuatiilor" Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și trecem la cunoștință ecuații pătratice.
În primul rând, ne vom uita la ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții înrudite. După aceasta, vom folosi exemple pentru a examina în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, vom trece la rezolvarea ecuațiilor complete, vom obține formula rădăcinii, vom face cunoștință cu discriminantul unei ecuații pătratice și vom analiza soluții la exemple tipice. În cele din urmă, să urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.
Navigare în pagină.
Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor
Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem o conversație despre ecuațiile pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile aferente. După aceasta, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.
Definiție și exemple de ecuații pătratice
Definiție.
Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, iar a este diferit de zero.
Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.
Definiția menționată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.
Definiție.
Numerele a, b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul lui x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul lui x și c este termenul liber .
De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x −3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este egal cu −2, iar termenul liber este egal cu −3. Vă rugăm să rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x−3=0 , mai degrabă decât 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .
Este demn de remarcat faptul că atunci când coeficienții a și/sau b sunt egali cu 1 sau −1, de obicei nu sunt prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, ceea ce se datorează particularităților scrierii astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0 coeficientul principal este unu, iar coeficientul lui y este egal cu −1.
Ecuații patratice reduse și nereduse
În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.
Definiție.
Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică dată. În caz contrar, ecuația pătratică este neatins.
Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etc. – dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. A 5 x 2 −x−1=0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1.
Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul principal, se poate trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca ea, nu are rădăcini.
Să ne uităm la un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.
Exemplu.
Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.
Soluţie.
Trebuie doar să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, astfel încât să putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, care este același, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 și apoi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de unde . Așa am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.
Răspuns:
Ecuații pătratice complete și incomplete
Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a≠0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c = 0 să fie pătratică, deoarece atunci când a = 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c = 0.
În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât individual, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.
Definiție.
Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.
La randul lui
Definiție.
Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.
Asemenea nume nu au fost date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din discuțiile următoare.
Dacă coeficientul b este zero, atunci ecuația pătratică ia forma a·x 2 +0·x+c=0 și este echivalentă cu ecuația a·x 2 +c=0. Dacă c=0, adică ecuația pătratică are forma a·x 2 +b·x+0=0, atunci poate fi rescrisă ca a·x 2 +b·x=0. Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.
Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete, iar x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete
Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
- a·x 2 =0, îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
- a x 2 +c=0 când b=0;
- şi a·x 2 +b·x=0 când c=0.
Să examinăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.
a x 2 =0
Să începem cu rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin faptul că pentru orice număr p diferit de zero este valabilă inegalitatea p 2 >0, ceea ce înseamnă că pentru p≠0 egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.
Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.
Ca exemplu, dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 =0, singura sa rădăcină este x=0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.
O soluție scurtă în acest caz poate fi scrisă după cum urmează:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.
a x 2 +c=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete în care coeficientul b este zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:
- mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
- și împărțim ambele părți cu a, obținem .
Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6, atunci ), nu este egal cu zero , deoarece prin condiția c≠0. Să ne uităm la cazuri separat.
Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.
Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre , atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă; este numărul, deoarece . Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. Hai să o facem.
Să notăm rădăcinile ecuației tocmai anunțate ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2, diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice corecte, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 −x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea rezultată rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0, care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 =−x 1. Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Aceasta demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și .
Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația care
- nu are rădăcini dacă,
- are două rădăcini și , dacă .
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0.
Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0. După mutarea termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Din moment ce în partea dreaptă s-a dovedit un număr negativ, atunci această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7=0 nu are rădăcini.
Să rezolvăm o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Mutăm cele nouă în partea dreaptă: −x 2 =−9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.
a x 2 +b x=0
Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0. Ecuațiile pătratice incomplete de forma a x 2 + b x = 0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0. Și această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații x=0 și a·x+b=0, cea din urmă fiind liniară și având rădăcina x=−b/a.
Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 +b·x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.
Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția la un exemplu concret.
Exemplu.
Rezolvați ecuația.
Soluţie.
Scotând x din paranteze rezultă ecuația . Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvăm ecuația liniară rezultată: , și împărțim numărul mixt la fracție comună, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .
După dobândirea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:
Răspuns:
x=0, .
Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zisul discriminant al unei ecuații pătratice. Intrarea înseamnă în esență că .
Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este utilizată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.
Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:
- Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, rezultând următoarea ecuație pătratică.
- Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceasta, ecuația va lua forma .
- În această etapă, este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
- Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .
Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0.
Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele precedente, când am examinat. Acest lucru vă permite să faceți urmatoarele concluzii referitor la rădăcinile ecuației:
- dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
- dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
- dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.
Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4·a 2 este întotdeauna pozitiv, adică de semnul expresiei b 2 −4·a·c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminant al unei ecuații pătraticeși desemnat prin scrisoare D. De aici, esența discriminantului este clară - pe baza valorii și semnului său, ei ajung la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.
Să revenim la ecuație și să o rescriem folosind notația discriminantă: . Și tragem concluzii:
- daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
- în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care pot fi rescrise sub forma sau, iar după extinderea și aducerea fracțiilor la un numitor comun obținem.
Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4·a·c.
Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii, corespunzătoare unei soluții unice a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, ceea ce ne duce dincolo de sfera de aplicare și curiculumul scolar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor
În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.
Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.
Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0, trebuie să:
- folosind formula discriminantă D=b 2 −4·a·c, calculați valoarea acesteia;
- concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
- calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
- găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.
Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, puteți folosi și formula; aceasta va da aceeași valoare ca .
Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice
Să considerăm soluții la trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce s-a ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Sa incepem.
Exemplu.
Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2·x−6=0.
Soluţie.
În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1, b=2 și c=−6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul; pentru a face acest lucru, înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină, obținem , aici puteți simplifica expresiile rezultate făcând deplasarea multiplicatorului dincolo de semnul rădăcinii urmată de reducerea fracției:
Răspuns:
Să trecem la următorul exemplu tipic.
Exemplu.
Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .
Soluţie.
Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică
Răspuns:
x=3,5.
Rămâne de luat în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.
Exemplu.
Rezolvați ecuația 5·y 2 +6·y+2=0.
Soluţie.
Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5, b=6 și c=2. Substituim aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.
Dacă trebuie să specificați rădăcini complexe, atunci utilizați formula binecunoscuta rădăcinile unei ecuații pătratice și efectuați operatii cu numere complexe:
Răspuns:
nu există rădăcini reale, rădăcini complexe sunt: .
Să remarcăm încă o dată că, dacă discriminantul unei ecuații pătratice este negativ, atunci la școală de obicei notează imediat un răspuns în care indică că nu există rădăcini reale și nu se găsesc rădăcini complexe.
Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D=b 2 −4·a·c vă permite să obțineți o formulă de formă mai compactă, permițându-vă să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par pentru x (sau pur și simplu cu o coeficient având forma 2·n, de exemplu, sau 14·ln5=2·7·ln5). Hai să o scoatem afară.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x+c=0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), și apoi folosim formula rădăcină:
Să notăm expresia n 2 −a c ca D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 n va lua forma 
, unde D 1 =n 2 −a·c.
Este ușor de observat că D=4·D 1, sau D 1 =D/4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.
Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient 2·n, aveți nevoie
- Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
- Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
- Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.
Să luăm în considerare rezolvarea exemplului folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.
Exemplu.
Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x −32=0 .
Soluţie.
Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică inițială sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aici a=5, n=−3 și c=−32 și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină adecvată:
Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui efectuată mai multă muncă de calcul.
Răspuns:
Simplificarea formei ecuațiilor pătratice
Uneori, înainte de a începe să calculați rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule, nu strică să puneți întrebarea: „Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?” De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x−6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0.
De obicei, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior a fost posibilă simplificarea ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100.
O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0.
Și înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se realizează prin numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6, atunci aceasta va lua forma mai simplă x 2 +4·x−18=0.
În concluzia acestui punct, observăm că ei scapă aproape întotdeauna de minus la cel mai mare coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei se trece de la ecuația pătratică −2 x 2 −3 x+7=0 la soluția 2 x 2 +3 x−7=0 .
Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.
Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema lui Vieta sunt de forma și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 = 0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este egală cu 7/3, iar produsul rădăcinilor este egal cu 22 /3.
Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții ei: .
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
„, adică ecuații de gradul I. În această lecție ne vom uita ceea ce se numește ecuație pătratică si cum sa o rezolvi.
Ce este o ecuație pătratică?
Important!
Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.
Dacă puterea maximă în care necunoscuta este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.
Exemple de ecuații pătratice
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Important! Forma generală a unei ecuații pătratice arată astfel:
A x 2 + b x + c = 0
„a”, „b” și „c” sunt date numere.- „a” este primul sau cel mai mare coeficient;
- „b” este al doilea coeficient;
- „c” este un termen liber.
Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.
Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.
| Ecuația | Cote | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Cum se rezolvă ecuații cuadratice
Spre deosebire de ecuațiile liniare, se folosește o metodă specială pentru a rezolva ecuațiile pătratice. formula pentru găsirea rădăcinilor.
Tine minte!
Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:
- reduce ecuația pătratică la aspectul general„ax 2 + bx + c = 0”. Adică, doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;
- utilizați formula pentru rădăcini:
Să ne uităm la un exemplu de utilizare a formulei pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm o ecuație pătratică.
X 2 − 3x − 4 = 0
Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.
Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.
În formula „x 1;2 = ” expresia radicală este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” pentru litera „D” și se numește discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.
Să ne uităm la un alt exemplu de ecuație pătratică.
x 2 + 9 + x = 7x
În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să reducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Răspuns: x = 3
Există momente când ecuațiile pătratice nu au rădăcini. Această situație apare atunci când formula conține un număr negativ sub rădăcină.
Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.
Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.
Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.
D = b 2 – 4ac.
În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.
Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.
Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),
atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.
De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Raspuns: 2.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Răspuns: fără rădăcini.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Răspuns: – 3,5; 1.
Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.
Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom al formei standard
A x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că
a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).
Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi un membru liber Cu.
Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă, al doilea termen are un coeficient par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.
O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egală cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru rezolvare sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A, stând la x 2 .
Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus 
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.
Exemplu. Rezolvați ecuația
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3
Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație este un număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figurii D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă. 
ecuații figura 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.
După cum vedem, la rezolvarea acestei ecuații prin diverse formule am primit acelasi raspuns. Prin urmare, după ce ați stăpânit temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0.
Să aplicăm trinomului pătratic ax 2 + bx + c aceleași transformări pe care le-am efectuat în § 13, când am demonstrat teorema că graficul funcției y = ax 2 + bx + c este o parabolă.
Avem
De obicei, expresia b 2 - 4ac se notează cu litera D și se numește discriminantul ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0 (sau discriminantul trinomului pătratic ax + bx + c).
Prin urmare
Aceasta înseamnă că ecuația pătratică ax 2 + them + c = O poate fi rescrisă sub forma
Orice ecuație pătratică poate fi transformată în forma (1), ceea ce este convenabil, așa cum vom vedea acum, pentru a determina numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice și pentru a găsi aceste rădăcini.
Dovada. Daca D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время partea stanga ecuația (1) ia valori nenegative pentru orice valoare a lui x. Aceasta înseamnă că nu există o singură valoare a lui x care să satisfacă ecuația (1) și, prin urmare, ecuația (1) nu are rădăcini.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Soluţie. Aici a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Din moment ce D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Dovada. Dacă D = 0, atunci ecuația (1) ia forma
este singura rădăcină a ecuației.
Nota 1.
Vă amintiți că x = - este abscisa vârfului parabolei, care servește ca grafic al funcției y = ax 2 + ei + c? De ce asta
valoarea sa dovedit a fi singura rădăcină a ecuației pătratice ax 2 + them + c - 0? „Sicriul” se deschide simplu: dacă D este 0, atunci, așa cum am stabilit mai devreme,
Graficul aceleiași funcții 
este o parabolă cu un vârf într-un punct (vezi, de exemplu, Fig. 98). Aceasta înseamnă că abscisa vârfului parabolei și singura rădăcină a ecuației pătratice pentru D = 0 sunt același număr.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Soluţie. Aici a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
Deoarece D = 0, atunci prin teorema 2 această ecuație pătratică are o rădăcină. Această rădăcină se găsește prin formula
Răspuns: 2.5.
Nota 2.
Rețineți că 4x 2 - 20x +25 este un pătrat perfect: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Dacă am fi observat acest lucru imediat, am fi rezolvat astfel ecuația: (2x - 5) 2 = 0, ceea ce înseamnă 2x - 5 = 0, din care obținem x = 2,5. În general, dacă D = 0, atunci
ax 2 + bx + c = - am notat acest lucru mai devreme în Observația 1.
Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini, care se găsesc prin formulele
Dovada. Să rescriem ecuația pătratică ax 2 + b x + c = 0 în forma (1)
Sa punem 
Prin condiție, D > 0, ceea ce înseamnă că partea dreaptă a ecuației este un număr pozitiv. Apoi din ecuația (2) obținem că
Deci, ecuația pătratică dată are două rădăcini:
Nota 3.
În matematică, rareori se întâmplă ca termenul introdus să nu aibă, la figurat vorbind, un fundal cotidian. Să luăm ceva nou
concept – discriminant. Amintiți-vă de cuvântul „discriminare”. Ce înseamnă? Înseamnă umilirea unora și înălțarea altora, adică. atitudine diferită
ţie către diverse persoane. Ambele cuvinte (discriminant și discriminare) provin din latinescul discriminans - „discriminator”. Discriminantul distinge ecuațiile pătratice după numărul de rădăcini.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Soluţie. Aici a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Deoarece D > 0, atunci prin teorema 3 această ecuație pătratică are două rădăcini. Aceste rădăcini se găsesc după formule (3)
De fapt, am dezvoltat următoarea regulă:
Regula pentru rezolvarea ecuației
ax 2 + bx + c = 0
Această regulă este universală; se aplică atât ecuațiilor pătratice complete, cât și incomplete. Cu toate acestea, ecuațiile pătratice incomplete nu sunt de obicei rezolvate folosind această regulă; este mai convenabil să le rezolvăm așa cum am făcut în paragraful anterior.
Exemplul 4. Rezolvarea ecuațiilor:
a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.
Rezolvare a) Aici a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.
Deoarece D > 0, această ecuație pătratică are două rădăcini. Găsim aceste rădăcini folosind formulele (3)
B) După cum arată experiența, este mai convenabil să se ocupe de ecuații pătratice în care coeficientul de conducere este pozitiv. Prin urmare, mai întâi înmulțim ambele părți ale ecuației cu -1, obținem
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Aici a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Deoarece D = 0, această ecuație pătratică are o rădăcină. Această rădăcină se găsește prin formula x = -. Mijloace,
Această ecuație ar putea fi rezolvată diferit: întrucât
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, atunci obținem ecuația (Зх - I) 2 = 0, de unde găsim Зх - 1 = 0, adică x = .
c) Aici a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Deoarece D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matematicienii sunt oameni practici, economici. De ce, spun ei, folosiți o regulă atât de lungă pentru a rezolva o ecuație pătratică, este mai bine să scrieți imediat o formulă generală:
Dacă se dovedește că discriminantul D = b 2 - 4ac este un număr negativ, atunci formula scrisă nu are sens (sub semnul rădăcinii pătrate există un număr negativ), ceea ce înseamnă că nu există rădăcini. Dacă se dovedește că discriminantul este egal cu zero, atunci obținem
Adică o rădăcină (de asemenea, ei spun că ecuația pătratică în acest caz are două rădăcini identice:
În cele din urmă, dacă se dovedește că b 2 - 4ac > 0, atunci obținem două rădăcini x 1 și x 2, care sunt calculate folosind aceleași formule (3) ca cele indicate mai sus.
Numărul în sine în acest caz este pozitiv (ca oricare Rădăcină pătrată dintr-un număr pozitiv), iar semnul dublu din fața lui înseamnă că într-un caz (când se găsește x 1) acest număr pozitiv este adăugat la numărul - b, iar într-un alt caz (când se găsește x 2) acest număr pozitiv este îndepărtat
citiți din numărul - b.
Ai libertatea de a alege. Doriți să rezolvați în detaliu ecuația pătratică folosind regula formulată mai sus; Dacă doriți, notați formula (4) imediat și folosiți-o pentru a trage concluziile necesare.
Exemplul 5. Rezolvarea ecuațiilor:
Soluție, a) Desigur, puteți folosi formulele (4) sau (3), ținând cont de faptul că în în acest caz, 
Dar de ce să faci lucruri cu fracții când este mai ușor și, cel mai important, mai plăcut să faci față numerelor întregi? Să scăpăm de numitori. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12, adică cu cel mai mic numitor comun al fracțiilor care servesc drept coeficienți ai ecuației. Primim
de unde 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Acum să folosim formula (4)
B) Avem din nou o ecuație cu coeficienți fracționali: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu 100, apoi obținem o ecuație cu coeficienți întregi:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
În continuare, folosim formula (4):
Un calcul simplu arată că discriminantul (expresia radicală) este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ecuația nu are rădăcini.
Exemplul 6. Rezolvați ecuația 
Soluţie. Aici, spre deosebire de exemplul anterior, este de preferat să se acționeze conform regulii, mai degrabă decât după formula prescurtată (4).
Avem a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Deoarece D > 0, ecuația pătratică are două rădăcini, pe care le vom căuta folosind formulele (3)
Exemplul 7. Rezolvați ecuația
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0
Soluţie. Această ecuație pătratică diferă de toate ecuațiile pătratice considerate până acum prin aceea că coeficienții nu sunt numere specifice, ci expresii cu litere. Astfel de ecuații se numesc ecuații cu coeficienți de litere sau ecuații cu parametri. În acest caz, parametrul (litera) p este inclus în al doilea coeficient și termenul liber al ecuației.
Să găsim discriminantul:
Exemplul 8. Rezolvați ecuația px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Soluţie. Aceasta este, de asemenea, o ecuație cu parametrul p, dar, spre deosebire de exemplul anterior, nu poate fi rezolvată imediat folosind formulele (4) sau (3). Cert este că formulele indicate sunt aplicabile ecuațiilor pătratice, dar încă nu putem spune acest lucru despre o ecuație dată. Într-adevăr, ce se întâmplă dacă p = 0? Apoi
ecuația va lua forma 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, adică x - 1 = 0, din care obținem x = 1. Acum, dacă știți sigur că , atunci puteți aplica formulele pentru rădăcinile pătraticei ecuaţie:
Se încarcă...