În trigonometrie, multe formule sunt mai ușor de dedus decât de memorat. Cosinusul unui unghi dublu este o formulă minunată! Vă permite să obțineți formulele de reducere și formulele de jumătate de unghi.
Deci, avem nevoie de cosinusul unghiului dublu și unitatea trigonometrică:
Ele sunt chiar similare: în formula cosinusului unui unghi dublu - diferența dintre pătratele cosinusului și sinusului, iar în unitatea trigonometrică - suma lor. Dacă exprimăm cosinusul din unitatea trigonometrică:
și înlocuiți-l în cosinusul unghiului dublu, obținem:
Aceasta este o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:
Această formulă este cheia pentru obținerea formulei de reducere:
Deci, formula pentru scăderea gradului sinusului este:
Dacă în el unghiul alfa este înlocuit cu o jumătate de unghi alfa în jumătate, iar unghiul dublu doi alfa este înlocuit cu unghiul alfa, atunci obținem formula pentru jumătate de unghi pentru sinus:
Acum, din unitatea trigonometrică, exprimăm sinusul:
Înlocuiți această expresie în formula pentru cosinusul unui unghi dublu:
Avem o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:
Această formulă este cheia pentru găsirea formulei de reducere a cosinusului și a formulei semiunghiului cosinus.
Astfel, formula pentru scăderea gradului de cosinus este:
Dacă înlocuim α cu α/2 în el și 2α cu α, atunci obținem formula pentru jumătatea argumentului pentru cosinus:
Deoarece tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, formula tangentei este:
Cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus. Deci formula cotangentei este:
Desigur, în procesul de simplificare a expresiilor trigonometrice, nu are rost să derivăm formule cu jumătate de unghi sau să scădem gradul de fiecare dată. Este mult mai ușor să pui o foaie de formule în fața ta. Și simplificarea va avansa mai repede, iar memoria vizuală se va activa pentru memorare.
Dar tot merită să derivam aceste formule de mai multe ori. Atunci vei fi absolut sigur că în timpul examenului, când nu există nicio modalitate de a folosi o foaie de cheat, le poți obține cu ușurință dacă este nevoie.
Valorile sinusului sunt în intervalul [-1; 1], adică -1 ≤ sin α ≤ 1. Prin urmare, dacă |a| > 1, atunci ecuația sin x = a nu are rădăcini. De exemplu, ecuația sin x = 2 nu are rădăcini.
Să trecem la câteva sarcini.
Rezolvați ecuația sin x = 1/2.
Decizie.
Rețineți că sin x este ordonata punctului cercului unitar, care se obține ca urmare a rotației punctului Р (1; 0) cu unghiul x în jurul originii.
O ordonată egală cu ½ este prezentă în două puncte ale cercului M 1 și M 2.
Deoarece 1/2 \u003d sin π / 6, atunci punctul M 1 se obține din punctul P (1; 0) prin rotirea prin unghiul x 1 \u003d π / 6, precum și prin unghiurile x \u003d π / 6 + 2πk, unde k \u003d +/-1, +/-2, …
Punctul M 2 se obține din punctul P (1; 0) ca urmare a rotării prin unghiul x 2 = 5π/6, precum și prin unghiurile x = 5π/6 + 2πk, unde k = +/- 1, +/-2, ... , adică la unghiurile x = π – π/6 + 2πk, unde k = +/-1, +/-2, ….
Deci, toate rădăcinile ecuației sin x = 1/2 pot fi găsite prin formulele x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, unde k € Z.
Aceste formule pot fi combinate într-una singură: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, unde n € Z (1).
Într-adevăr, dacă n este un număr par, i.e. n = 2k, atunci din formula (1) se obține х = π/6 + 2πk, iar dacă n este un număr impar, i.e. n = 2k + 1, apoi din formula (1) obținem х = π – π/6 + 2πk.
Răspuns. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, unde n € Z.
Rezolvați ecuația sin x = -1/2.
Decizie.
Ordonatele -1/2 au două puncte ale cercului unitar M 1 și M 2, unde x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Prin urmare, toate rădăcinile ecuației sin x = -1/2 pot fi găsite prin formulele x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Putem combina aceste formule într-una: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Într-adevăr, dacă n = 2k, atunci prin formula (2) obținem x = -π/6 + 2πk, iar dacă n = 2k – 1, atunci prin formula (2) găsim x = -5π/6 + 2πk.
Răspuns. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Astfel, fiecare dintre ecuațiile sin x = 1/2 și sin x = -1/2 are un număr infinit de rădăcini.
Pe segmentul -π/2 ≤ x ≤ π/2, fiecare dintre aceste ecuații are o singură rădăcină:
x 1 \u003d π / 6 - rădăcina ecuației sin x \u003d 1/2 și x 1 \u003d -π / 6 - rădăcina ecuației sin x \u003d -1/2.
Numărul π/6 se numește arcsinus al numărului 1/2 și se scrie: arcsin 1/2 = π/6; numărul -π/6 se numește arcsinus al numărului -1/2 și scriu: arcsin (-1/2) = -π/6.
În general, ecuația sin x \u003d a, unde -1 ≤ a ≤ 1, pe segmentul -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 are o singură rădăcină. Dacă a ≥ 0, atunci rădăcina este închisă în interval; în cazul în care un< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Astfel, arcsinusul numărului a € [–1; 1] un astfel de număr se numește € [–π/2; π/2], al cărui sinus este a.
arcsin a = α dacă sin α = a și -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
De exemplu, arcsin √2/2 = π/4, deoarece sin π/4 = √2/2 și – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, deoarece sin (-π/3) = -√3/2 și – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
La fel ca la rezolvarea problemelor 1 și 2, se poate demonstra că rădăcinile ecuației sin x = a, unde |a| ≤ 1 sunt exprimate prin formula
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
De asemenea, putem demonstra că pentru orice a € [-1; 1] formula arcsin (-a) = -arcsin a este valabilă.
Din formula (4) rezultă că rădăcinile ecuației
sin x \u003d a pentru a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 poate fi găsit folosind formule mai simple:
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
|BD| - lungimea arcului de cerc centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.
Tangenta ( tgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .
Cotangent ( ctgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .
Tangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.
Graficul funcției tangente, y = tg x
Cotangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, cotangenta se notează după cum urmează:
.
De asemenea, a fost adoptată următoarea notație:
;
;
.
Graficul funcției cotangente, y = ctg x
Proprietățile tangentei și cotangentei
Periodicitate
Funcțiile y= tg xși y= ctg x sunt periodice cu perioada π.
Paritate
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.
Domenii de definiție și valori, crescător, descendent
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | ||
| Gama de valori | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ascendent | - | |
| Descendentă | - | |
| Extreme | - | - |
| Zerouri, y= 0 | ||
| Puncte de intersecție cu axa y, x = 0 | y= 0 | - |
Formule
Expresii în termeni de sinus și cosinus
;
;
;
;
;
Formule pentru tangente și cotangente a sumei și diferenței
Restul formulelor sunt ușor de obținut, de exemplu
Produsul tangentelor
Formula pentru suma și diferența tangentelor
Acest tabel arată valorile tangentelor și cotangentelor pentru unele valori ale argumentului. 
Expresii în termeni de numere complexe
Expresii în termeni de funcții hiperbolice
;
;
Derivate
; .
.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangente > > > ; pentru cotangent >> >>
Integrale
Extinderi în serie
Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xși cos xși împărțiți aceste polinoame unele în altele , . Rezultă următoarele formule.
La .
la .
Unde B n- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei Laplace: 
Funcții inverse
Funcțiile inverse la tangentă și cotangentă sunt arctangentă și, respectiv, arctangentă.
Arctangent, arctg
, Unde n- întreg.
Arc tangentă, arcctg
, Unde n- întreg.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru cercetători și ingineri, 2012.
Cele mai simple identități trigonometrice
Coeficientul împărțirii sinusului unghiului alfa la cosinusul aceluiași unghi este egal cu tangentei acestui unghi (Formula 1). Vezi și dovada corectitudinii transformării celor mai simple identități trigonometrice.
Coeficientul de împărțire a cosinusului unghiului alfa la sinusul aceluiași unghi este egal cu cotangentei aceluiași unghi (Formula 2)
Secanta unui unghi este egală cu una împărțită la cosinusul aceluiași unghi (Formula 3)
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu (Formula 4). vezi și demonstrația sumei pătratelor cosinusului și sinusului.
Suma unității și tangentei unghiului este egală cu raportul unității la pătratul cosinusului acestui unghi (Formula 5)
Unitatea plus cotangenta unghiului este egal cu câtul împărțirii unității la pătratul sinus al acestui unghi (Formula 6)
Produsul tangentei și cotangentei aceluiași unghi este egal cu unu (Formula 7).
Conversia unghiurilor negative ale funcțiilor trigonometrice (pare și impare)
Pentru a scăpa de valoarea negativă a gradului de măsură a unghiului la calcularea sinusului, cosinusului sau tangentei, puteți utiliza următoarele transformări trigonometrice (identități) bazate pe principiile funcțiilor trigonometrice pare sau impare.
Așa cum se vede, cosinus iar secanta este chiar funcția, sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare.
Sinusul unui unghi negativ este egal cu valoarea negativă a sinusului aceluiași unghi pozitiv (minus sinusul alfa).
Cosinusul „minus alfa” va da aceeași valoare ca și cosinusul unghiului alfa.
Tangenta minus alfa este egală cu minus tangenta alfa.
Formule de reducere a unghiului dublu (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi dublu)
Dacă trebuie să împărțiți unghiul la jumătate sau invers, treceți de la un unghi dublu la unul singur, puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
Conversie cu unghi dublu (unghi dublu sinus, unghi dublu cosinus și unghi dublu tangente) într-unul singur are loc după următoarele reguli:
Sinusul unui unghi dublu este egal cu dublul produsului dintre sinus și cosinus al unui singur unghi
Cosinusul unui unghi dublu este egală cu diferența dintre pătratul cosinusului unui singur unghi și pătratul sinusului acestui unghi
Cosinusul unui unghi dublu egal cu dublul pătratului cosinusului unui singur unghi minus unu
Cosinusul unui unghi dublu este egal cu unu minus pătratul dublu sinus al unui singur unghi
Tangenta cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este de două ori tangenta unui singur unghi și al cărei numitor este egal cu unu minus tangentei pătratului unui singur unghi.
Cotangentă cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este pătratul cotangentei unui singur unghi minus unu, iar numitorul este egal cu dublul cotangentei unui singur unghi
Formule universale de substituție trigonometrică
Formulele de conversie de mai jos pot fi utile atunci când trebuie să împărțiți argumentul funcției trigonometrice (sin α, cos α, tg α) la două și să aduceți expresia la valoarea jumătate a unghiului. Din valoarea lui α obținem α/2 .Aceste formule sunt numite formule ale substituției trigonometrice universale. Valoarea lor constă în faptul că expresia trigonometrică cu ajutorul lor se reduce la expresia tangentei unei jumătăți de unghi, indiferent de ce funcții trigonometrice (sin cos tg ctg) au fost inițial în expresie. După aceea, ecuația cu tangenta unei jumătăți de unghi este mult mai ușor de rezolvat.
Identități trigonometrice de transformare semiunghi
Următoarele sunt formulele pentru conversia trigonometrică a jumătate din valoarea unui unghi în valoarea sa întreagă.Valoarea argumentului funcției trigonometrice α/2 se reduce la valoarea argumentului funcției trigonometrice α.
Formule trigonometrice pentru adăugarea unghiurilor
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangenta și cotangenta sumei unghiurilor alfa și beta pot fi convertite în conformitate cu următoarele reguli pentru conversia funcțiilor trigonometrice:
Tangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție, al cărei numărător este suma tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi, iar numitorul este unu minus produsul tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi.
Diferența de unghi tangentă este egal cu o fracție, al cărei numărător este egal cu diferența dintre tangentei unghiului redus și tangentei unghiului de scăzut, iar numitorul este unu plus produsul tangentelor acestor unghiuri.
Cotangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul cotangentelor acestor unghiuri plus unu, iar numitorul este egal cu diferența dintre cotangentei celui de-al doilea unghi și cotangentei primului unghi.
Cotangente a diferenței de unghi este egal cu o fracție al cărei numărător este produsul cotangentelor acestor unghiuri minus unu, iar numitorul este egal cu suma cotangentelor acestor unghiuri.
Aceste identități trigonometrice sunt convenabile de utilizat atunci când trebuie să calculați, de exemplu, tangenta de 105 grade (tg 105). Dacă este reprezentat ca tg (45 + 60), atunci puteți utiliza transformările identice date ale tangentei sumei unghiurilor, după care pur și simplu înlocuiți valorile tabulare ale tangentei lui 45 și tangentei. de 60 de grade.
Formule pentru conversia sumei sau diferențelor funcțiilor trigonometrice
Expresiile reprezentând suma formei sin α + sin β pot fi convertite folosind următoarele formule:
Formule cu unghi triplu - convertiți sin3α cos3α tg3α în sinα cosα tgα
Uneori este necesar să convertiți valoarea triplă a unghiului astfel încât unghiul α să devină argumentul funcției trigonometrice în loc de 3α.În acest caz, puteți utiliza formulele (identitățile) pentru transformarea unghiului triplu:
Formule pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice
Dacă devine necesar să convertiți produsul sinusurilor diferitelor unghiuri ale cosinusurilor diferitelor unghiuri sau chiar produsul dintre sinus și cosinus, atunci puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
În acest caz, produsul funcțiilor sinus, cosinus sau tangentă ale diferitelor unghiuri va fi convertit într-o sumă sau diferență.
Formule de reducere a funcţiilor trigonometrice
Trebuie să utilizați tabelul de distribuție după cum urmează. În linie, selectați funcția care ne interesează. Coloana este un unghi. De exemplu, sinusul unghiului (α+90) la intersecția primului rând și a primei coloane, aflăm că sin (α+90) = cos α .
Se încarcă...