Cum se rezolvă ecuații cubice. Cum se rezolvă ecuații cubice Câmp de definiție, set de valori

Într-o ecuație cubică, cel mai mare exponent este 3, o astfel de ecuație are 3 rădăcini (soluții) și arată ca . Unele ecuații cubice nu sunt atât de ușor de rezolvat, dar dacă aplicați metoda potrivită (cu o bună pregătire teoretică), puteți găsi rădăcinile chiar și celei mai complexe ecuații cubice - pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice, găsiți rădăcini întregi sau calculați discriminantul.

Pași

Cum se rezolvă o ecuație cubică fără termen liber

Aflați dacă există o interceptare într-o ecuație cubică d (\displaystyle d) . Ecuația cubică are forma a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Pentru ca o ecuație să fie considerată cubică, este suficient ca numai termenul x 3 (\displaystyle x^(3))(adică este posibil să nu existe deloc alți membri).

Scoate-l din paranteze X (\displaystyle x) . Deoarece nu există un termen liber în ecuație, fiecare termen din ecuație include o variabilă x (\displaystyle x). Aceasta înseamnă că unul x (\displaystyle x) poate fi între paranteze pentru a simplifica ecuația. Astfel, ecuația se va scrie astfel: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Factorizați (prin produsul a două binoame) ecuația pătratică (dacă este posibil). Multe ecuații pătratice de forma a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) poate fi factorizat. O astfel de ecuație se va obține dacă x (\displaystyle x) pentru paranteze. În exemplul nostru:

Rezolvați o ecuație pătratică folosind o formulă specială. Faceți acest lucru dacă ecuația pătratică nu poate fi factorizată. Pentru a găsi două rădăcini ale unei ecuații, valorile coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) conectați-vă la formulă.

• În exemplul nostru, înlocuiți valorile coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) în formula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Prima rădăcină: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• A doua rădăcină: 2 - 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Utilizați zero și rădăcinile ecuației pătratice ca soluții ale ecuației cubice. Ecuațiile cuadratice au două rădăcini, în timp ce ecuațiile cubice au trei. Ați găsit deja două soluții - acestea sunt rădăcinile ecuației pătratice. Dacă puneți „x” din paranteze, a treia soluție este .

   Cum să găsiți rădăcini întregi folosind multiplicatori

   1. Asigurați-vă că ecuația cubică are o intersecție d (\displaystyle d) . Dacă într-o ecuaţie de formă a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) ai un membru gratuit d (\displaystyle d)(care nu este egal cu zero), nu va funcționa să puneți „x” din paranteze. În acest caz, utilizați metoda descrisă în această secțiune.

      Scrieți multiplicatorii coeficienților A (\displaystyle a) și membru gratuit d (\displaystyle d) . Adică găsiți factorii numărului când x 3 (\displaystyle x^(3)) iar numerele dinaintea semnului egal. Amintiți-vă că factorii unui număr sunt numerele care, atunci când sunt înmulțite împreună, dau acel număr.

      Împărțiți fiecare multiplicator A (\displaystyle a) pentru fiecare multiplicator d (\displaystyle d) . Rezultatul va fi multe fracții și mai multe numere întregi; rădăcinile unei ecuații cubice vor fi unul dintre numerele întregi sau valoarea negativă a unuia dintre numerele întregi.

      • În exemplul nostru, împărțiți factorii a (\displaystyle a) (1 și 2 ) prin factori d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 și 6 ). Vei primi: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)și . Acum adăugați valorile negative ale fracțiilor și numerelor rezultate la această listă: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))și − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Rădăcinile întregi ale ecuației cubice sunt câteva numere din această listă.

   2. Introduceți numerele întregi în ecuația cubică. Dacă se respectă această egalitate, numărul substituit este rădăcina ecuației. De exemplu, conectați la ecuație 1 (\displaystyle 1):

      Utilizați metoda împărțirii polinoamelor la Schema lui Horner pentru a găsi rapid rădăcinile unei ecuații. Faceți acest lucru dacă nu doriți să conectați manual numerele în ecuație. În schema lui Horner, numerele întregi sunt împărțite la valorile coeficienților ecuației a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)și d (\displaystyle d). Dacă numerele sunt divizibile egal (adică restul este ), întregul este rădăcina ecuației.

Număr e este o constantă matematică importantă care stă la baza logaritmului natural. Număr e aproximativ egal cu 2,71828 cu o limită (1 + 1/n)n la n tinzând spre infinit.

Introduceți valoarea lui x pentru a găsi valoarea funcției exponențiale ex

Pentru a calcula numere cu o literă E utilizați calculatorul de conversie exponențial în întreg

Raporteaza o eroare

‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend("); ), 32000); ) Te-a ajutat acest calculator?
Distribuie acest calculator cu prietenii tăi pe forum sau online.

Astfel Tu Ajutor Neîn curs de dezvoltare calculatoare noiși rafinamentul celor vechi.

Calculator algebră de calcul

Numărul e este o constantă matematică importantă care stă la baza logaritmului natural.

0,3 la puterea x înmulțit cu 3 cu puterea x sunt aceleași

Numărul e este de aproximativ 2,71828 cu o limită de (1 + 1/n)n pentru n mergând la infinit.

Acest număr se mai numește și numărul Euler sau numărul Napier.

Exponențial - O funcție exponențială f (x) = exp (x) = ex, unde e este numărul Euler.

Introduceți valoarea lui x pentru a găsi valoarea funcției exponențiale ex

Calculul valorii funcției exponențiale în rețea.

Când numărul Euler (e) ajunge la zero, răspunsul este 1.

Când ridicați la un nivel mai mare decât unu, răspunsul va fi mai mare decât originalul. Dacă viteza este mai mare decât zero, dar mai mică decât 1 (de exemplu, 0,5), răspunsul va fi mai mare decât 1, dar mai mic decât originalul (marca E). Când exponentul crește la o putere negativă, 1 trebuie împărțit la numărul e pentru o putere dată, dar cu semnul plus.

Definiții

expozant Aceasta este o funcție exponențială y (x) = e x, a cărei derivată este aceeași cu funcția însăși.

Indicatorul este marcat ca sau.

e numărul

Baza exponentului este e.

Acesta este un număr irațional. Cam la fel
e ≈ 2,718281828459045 …

Numărul e este definit în afara graniței secvenței. Aceasta este așa-numita altă limită excepțională:
.

Numărul e poate fi reprezentat și ca o serie:
.

Graficul expozantului

Graficul arată gradul eîn scenă X.
y(x) = ex
Graficul arată că crește monoton exponențial.

formulă

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu nivelul de bază e.

Exprimarea funcțiilor exponențiale cu o bază arbitrară a în sensul exponentului:
.

de asemenea, secțiunea „Funcție exponențială” >>>

valori private

Fie y (x) = e x.

5 la puterea x și este egal cu 0

Proprietăți exponențiale

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de grade e> în primul rând

Câmp de definiție, set de valori

Pentru x se determină indicele y (x) = e x.
Volumul acestuia:
— ∞ < x + ∞.
Intelesul sau:
0 < Y < + ∞.

Extreme, crește, scade

Exponentul este o funcție crescătoare monotonă, deci nu are extreme.

Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcție inversă

Reciprocul este logaritmul natural.
;
.

Derivate ale indicatorilor

derivat eîn scenă X Aceasta este eîn scenă X :
.
Ordinul N derivat:
.
Executarea formulelor > > >

integrală

de asemenea secțiunea „Tabelul integralelor nedefinite” >>>

Camere complexe

Operaţiile cu numere complexe se efectuează folosind Formula lui Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

Expresii în termeni de funcții trigonometrice

Extensie Power Series

Când x este egal cu zero?

Calculator obișnuit sau online

Calculator obișnuit

Calculatorul standard vă oferă operații simple ale calculatorului, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Puteți folosi un calculator rapid de matematică

Calculatorul științific vă permite să faceți operații mai complexe și, de asemenea, un calculator cum ar fi sinus, cosinus, sinus invers, cosinus invers care atinge, tangentă, exponent, exponent, logaritm, interes, precum și afaceri în calculatorul de memorie web.

Puteți intra direct de la tastatură, mai întâi faceți clic pe zona cu calculatorul.

Efectuează operații simple pe numere, precum și pe cele mai complexe, cum ar fi
calculator de matematică online.
0 + 1 = 2.
Iată două calculatoare:

1. Calculați mai întâi ca de obicei
2. Altul îl calculează ca inginerie

Regulile se aplică calculatorului calculat pe server

Reguli de introducere a termenilor și funcțiilor

De ce am nevoie de acest calculator online?

Calculator online - prin ce diferă de un calculator obișnuit?

În primul rând, calculatorul standard nu este potrivit pentru transport, iar în al doilea rând, acum Internetul este aproape peste tot, asta nu înseamnă că există probleme, accesați site-ul nostru web și utilizați calculatorul web.
Calculator online - prin ce diferă de calculatorul java și, de asemenea, de alte calculatoare pentru sisteme de operare?

Din nou, mobilitate. Dacă vă aflați pe un alt computer, nu trebuie să îl reinstalați
Deci, folosiți acest site!

Expresiile pot consta din funcții (scrise în ordine alfabetică):

absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau | x |) arccos(x) Funcție - Arcoxin din Xarccosh(x) Arcozina este hiperbolica Xarcsin(x) Fiu separat Xarcsinh(x) HyperX hiperbolic Xarctg(x) Funcția este arc-tangente a Xarctgh(x) Arctangent este hiperbolic Xee număr - aproximativ 2,7 exp(x) Funcție - indicator X(la fel de e^X) log(x) sau ln(x) logaritmul natural X
(Da log7(x), Trebuie să tastați log(x) / log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)= log(x) / log(10)) pi Numărul „Pi” care este aproximativ 3,14 sin(x) Funcție - Sinus Xcos(x) Funcție - Con de la Xsinh(x) Funcție - Sinus hiperbolic Xnumerar(x) Funcția – cosinus-hiperbolic Xpătrat(x) Funcția este rădăcina pătrată a lui Xsqr(x) sau x^2 Funcția - pătrat Xtg(x) Functie - Tangenta de la Xtgh(x) Funcția este o tangentă hiperbolică a Xcbrt(x) Funcția este o rădăcină cubă Xsol (x) Funcția de rotunjire X pe partea inferioară (exemplu de sol (4.5) == 4.0) simbol (x) Funcție - simbol Xerf(x) Funcția de eroare (Laplace sau integrală de probabilitate)

Următoarele operații pot fi utilizate în termeni:

Numere reale introduceți în formular 7,5 , nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- separare x^3— exponentiacija x + 7- În afară de, x - 6- numărătoare inversă

Descărcați PDF

Ecuațiile exponențiale sunt ecuații de formă

x - exponent necunoscut,

Ași b- unele numere.

Exemple de ecuații exponențiale:

Și ecuațiile:

nu va mai fi reprezentativ.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor exponențiale:

Exemplul 1
Găsiți rădăcina ecuației:

Reducem gradele la aceeași bază pentru a folosi proprietatea gradului cu un exponent real

Apoi va fi posibil să eliminați baza gradului și să treceți la egalitatea indicatorilor.

Să transformăm partea stângă a ecuației:

Să transformăm partea dreaptă a ecuației:

Folosind proprietatea gradului

Răspuns: 4.5.

Exemplul 2
Rezolvați inegalitatea:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la

Înlocuire inversă:

Răspuns: x=0.

Rezolvați ecuația și găsiți rădăcinile pe intervalul dat:

Aducem toți termenii la aceeași bază:

Înlocuire:

Căutăm rădăcinile ecuației selectând multipli ai termenului liber:

- potrivit, pentru că

egalitatea este valabilă.
- potrivit, pentru că

Cum să decizi? e^(x-3) = 0 e la puterea lui x-3

egalitatea este valabilă.
- potrivit, pentru că egalitatea este valabilă.
- nu este potrivit, pentru că egalitatea nu este îndeplinită.

Înlocuire inversă:

Un număr devine 1 dacă exponentul său este 0

Nu este potrivit, pentru că

Partea dreaptă este egală cu 1, deoarece

De aici:

Rezolvați ecuația:

Înlocuire: atunci

Înlocuire inversă:

1 ecuație:

dacă bazele numerelor sunt egale, atunci exponenții lor vor fi egali

2 ecuație:

Logaritmul ambelor părți la baza 2:

Exponentul vine înaintea expresiei, deoarece

Partea stângă este de 2x pentru că

De aici:

Rezolvați ecuația:

Să transformăm partea stângă:

Înmulțim gradele după formula:

Să simplificăm: după formula:

Să o punem sub forma:

Înlocuire:

Să transformăm fracția într-una improprie:

a2 - nu este potrivit, deoarece

Înlocuire inversă:

Să ajungem la concluzia:

În cazul în care un

Răspuns: x=20.

Rezolvați ecuația:

O.D.Z.

Să transformăm partea stângă după formula:

Înlocuire:

Calculăm rădăcina discriminantului:

a2-nu se potrivește, pentru că

nu ia valori negative

Să ajungem la concluzia:

În cazul în care un

Să pătram ambele părți:

Editori de articole: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna

Înapoi la subiecte

Traducerea articolului mare „Un ghid intuitiv pentru funcțiile exponențiale și e”

Numărul e m-a entuziasmat întotdeauna - nu ca o literă, ci ca o constantă matematică.

Ce înseamnă cu adevărat e?

Diverse cărți de matematică și chiar și iubita mea Wikipedia descriu această constantă maiestuoasă într-un jargon științific complet stupid:

Constanta matematică e este baza logaritmului natural.

Dacă sunteți interesat de ce este un logaritm natural, veți găsi următoarea definiție:

Logaritmul natural, cunoscut anterior ca logaritm hiperbolic, este un logaritm cu baza e, unde e este o constantă irațională, aproximativ egală cu 2,718281828459.

Definițiile sunt, desigur, corecte.

Dar este extrem de greu să le înțelegi. Desigur, Wikipedia nu este de vină pentru asta: de obicei, explicațiile matematice sunt seci și formale, compilate în cea mai mare măsură a științei. Din această cauză, este dificil pentru începători să stăpânească subiectul (și odată ce toată lumea era începător).

Am trecut peste! Astăzi vă împărtășesc gândurile mele extrem de intelectuale despre care este numărul e si de ce este asa tare! Lasă-ți cărțile groase și intimidante de matematică deoparte!

Numărul e nu este doar un număr

A descrie e ca „o constantă aproximativ egală cu 2,71828...” este ca și cum ai numi pi „un număr irațional aproximativ egal cu 3,1415...”.

Fără îndoială că este, dar esența încă ne scapă.

Numărul pi este raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia, același pentru toate cercurile.. Aceasta este o proporție fundamentală comună tuturor cercurilor și, prin urmare, este implicată în calcularea circumferinței, ariei, volumului și suprafeței pentru cercuri, sfere, cilindri etc.

Pi arată că toate cercurile sunt conectate, ca să nu mai vorbim de funcțiile trigonometrice derivate din cercuri (sinus, cosinus, tangentă).

Numărul e este raportul de creștere de bază pentru toate procesele în creștere continuă. Numărul e vă permite să luați o rată de creștere simplă (unde diferența este vizibilă doar la sfârșitul anului) și să calculați componentele acestui indicator, creștere normală, în care în fiecare nanosecundă (sau chiar mai rapid) totul crește cu puțin Mai Mult.

Numărul e este implicat atât în ​​sistemele de creștere exponențială, cât și în cea constantă: populație, dezintegrare radioactivă, calcul al dobânzii și multe, multe altele.

Chiar și sistemele în trepte care nu cresc uniform pot fi aproximate cu numărul e.

Așa cum orice număr poate fi gândit ca o versiune „la scară” a lui 1 (unitatea de bază), orice cerc poate fi gândit ca o versiune „la scară” a cercului unității (raza 1).

Se dă o ecuație: e la puterea lui x \u003d 0. Cu ce ​​este x egal?

Și orice factor de creștere poate fi considerat o versiune „la scară” a lui e (un factor de creștere „unic”).

Deci numărul e nu este un număr aleatoriu luat la întâmplare. Numărul e întruchipează ideea că toate sistemele în continuă creștere sunt versiuni scalate ale aceleiași valori.

Conceptul de creștere exponențială

Să începem prin a ne uita la un sistem de bază care se dublează într-o anumită perioadă de timp.

De exemplu:

• Bacteriile se împart și se „dublează” în numere la fiecare 24 de ore
• Obținem de două ori mai mulți tăiței dacă îi rupem în jumătate
• Banii tăi se dublează în fiecare an dacă obții profit 100% (noroc!)

Si arata cam asa:

Împărțirea cu doi sau dublarea este o progresie foarte simplă. Desigur, putem tripla sau cvadrupla, dar dublarea este mai convenabilă pentru explicație.

Matematic, dacă avem x diviziuni, obținem de 2^x ori mai bine decât am avut la început.

Dacă se face doar 1 partiție, obținem de 2^1 ori mai mult. Dacă există 4 partiții, obținem 2^4=16 părți. Formula generală arată astfel:

Cu alte cuvinte, o dublare este o creștere de 100%.

Putem rescrie această formulă astfel:

creştere = (1+100%)x

Aceasta este aceeași egalitate, tocmai am împărțit „2” în părțile sale componente, care în esență acest număr este: valoarea inițială (1) plus 100%. Inteligent, nu?

Desigur, putem înlocui orice alt număr (50%, 25%, 200%) în loc de 100% și obținem formula de creștere pentru acest nou raport.

Formula generală pentru x perioade ale seriei temporale va arăta astfel:

creștere = (1+creștere)x

Aceasta înseamnă pur și simplu că folosim rata de rentabilitate, (1 + creștere), „x” ori la rând.

Să aruncăm o privire mai atentă

Formula noastră presupune că creșterea are loc în pași discreti. Bacteriile noastre așteaptă și așteaptă, apoi bam!, iar în ultimul moment își dublează numărul. Profitul nostru din dobânda din depozit apare în mod magic exact după 1 an.

Pe baza formulei scrise mai sus, profiturile cresc în trepte. Punctele verzi apar brusc.

Dar lumea nu este întotdeauna așa.

Dacă mărim, putem vedea că prietenii noștri bacterii se împart în mod constant:

Puștiul verde nu iese din nimic: crește încet din părintele albastru. După 1 perioadă de timp (24 de ore în cazul nostru), prietenul verde este deja pe deplin copt. După ce s-a maturizat, el devine un membru albastru cu drepturi depline al turmei și poate crea el însuși noi celule verzi.

Aceste informații vor schimba cumva ecuația noastră?

În cazul bacteriilor, celulele verzi semiformate încă nu pot face nimic până când nu cresc și se despart complet de părinții lor albaștri. Deci ecuația este corectă.

În articolul următor, vom analiza un exemplu de creștere exponențială a banilor tăi.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce „inegalitate de pătrat”? Nu o întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și schimbați semnul din ea "=" (egal) cu orice pictogramă de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Ei bine, ai înțeles ideea...)

Am legat cu bună știință ecuații și inegalități aici. Cert este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratului - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a rezolva ecuații pătratice duce automat la o eșec complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este detaliat acolo. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: stânga - trinom pătrat ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt gata pentru o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.