Împărțirea polinoamelor după „coloană” („colț”). Împărțirea polinoamelor după un colț Împărțiți expresia prin expresie online

Afirmație

rest privat incomplet.

cometariu

Pentru orice polinoame $A(x)$ și $B(x)$ (gradul lui $B(x)$ este mai mare decât 0) există polinoame unice $Q(x)$ și $R(x)$ din condiția afirmației.

  1. Restul după împărțirea polinomului $x^(4) + 3x^(3) +5$ la $x^(2) + 1$ este $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
  2. Restul după împărțirea polinomului $x^(4) + 3x^(3) +5$ la $x^(4) + 1$ este $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
  3. Restul după împărțirea polinomului $x^(4) + 3x^(3) +5$ la $x^(6) + 1$ este $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Afirmație

Pentru oricare două polinoame $A(x)$ și $B(x)$ (unde gradul polinomului $B(x)$ este diferit de zero), există o reprezentare polinomială $A(x)$ sub forma $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, unde $Q(x)$ și $R(x)$ sunt polinoame și gradul $R(x)$ este mai mic decât gradul de $B(x).$

Dovada

Vom demonstra afirmatia prin inductie asupra gradului polinomului $A(x).$ Se noteaza cu $n$. Dacă $n = 0$, afirmația este adevărată: $A(x)$ poate fi reprezentată ca $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Acum, să fie demonstrată afirmația pentru polinoame de grad $n \ leqm$. Să demonstrăm afirmația pentru polinoame de gradul $k= n+1.$

Fie gradul polinomului $B(x)$ egal cu $m$. Luați în considerare trei cazuri: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ si dovedeste afirmatia pentru fiecare dintre ele.

  1. $k< m$
    Polinomul $A(x)$ poate fi reprezentat ca

    $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

    Afirmația a fost făcută.

  2. $k = m$
    Fie polinoamele $A(x)$ și $B(x)$ să aibă forma

    $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(unde ) \: a_(n+1) \neq 0;$

    $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(unde ) \: b_(n+1) \neq 0.$

    Să reprezentăm $A(x)$ ca

    $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

    Rețineți că gradul polinomului $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ este de cel mult $n+1$, atunci această reprezentare este dorită și afirmația este satisfăcută.

  3. $k > m$
    Reprezentăm polinomul $A(x)$ sub forma

    $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (unde) \: a_(n+1) \neq 0.$

    Luați în considerare polinomul $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ poate fi reprezentat ca $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, unde gradul polinomului $R"(x)$ este mai mic decât $m$, atunci reprezentarea pentru $A(x) $ poate fi rescris ca

    $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

    Rețineți că gradul polinomului $xR"(x)$ este mai mic decât $m+1$, adică mai mic decât $k$. Atunci $xR"(x)$ satisface ipoteza inductivă și poate fi reprezentat ca $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, unde gradul polinomului $R""(x)$ este mai mic decât $m$. Rescrieți reprezentarea pentru $A (x)$ ca

    $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

    $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

    Gradul polinomului $R""(x) + a_(0)$ este mai mic decât $m$, deci afirmația este adevărată.

Afirmația a fost dovedită.

În acest caz, se numește polinomul $R(x)$ rest de la împărțirea $A(x)$ la $B(x)$ și $Q(x)$ - privat incomplet.

Dacă restul $R(x)$ este un polinom zero, atunci $A(x)$ se spune că este divizibil cu $B(x)$.

Se demonstrează că o fracție improprie compusă din polinoame poate fi reprezentată ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii. Sunt analizate în detaliu exemple de împărțire a polinoamelor printr-un colț și înmulțire cu o coloană.

Conţinut

Teorema

Lasă Pk (X), Qn (X) sunt polinoame în variabila x de grade k și respectiv n , cu k ≥ n . Atunci polinomul P k (X) poate fi reprezentat doar în felul următor:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
unde S k-n (X)- polinom de gradul k-n , U n- 1(x)- polinom de grad nu mai mare de n- 1 , sau zero.

Dovada

Prin definiția unui polinom:
;
;
;
,
unde p i , q i - coeficienți cunoscuți, s i , u i - coeficienți necunoscuți.

Să introducem notația:
.
Înlocuiește în (1) :
;
(2) .
Primul termen din partea dreaptă este un polinom de gradul k. Suma celui de-al doilea și al treilea termen este un polinom de grad de cel mult k - 1 . Echivalează coeficienții la x k :
p k = s k-n q n .
Prin urmare s k-n = p k / q n .

Să transformăm ecuația (2) :
.
Să introducem notația: .
Deoarece s k-n = p k / q n , atunci coeficientul de la x k este egal cu zero. Prin urmare - acesta este un polinom de grad cel mult k - 1 , . Apoi ecuația anterioară poate fi rescrisă ca:
(3) .

Această ecuație are aceeași formă ca și ecuația (1) , doar valoarea lui k a devenit 1 mai mici. Repetând această procedură de k-n ori, obținem ecuația:
,
din care determinăm coeficienții polinomului U n- 1(x).

Deci, am determinat toți coeficienții necunoscuți s i , u l . Mai mult, s k-n ≠ 0 . Lema este dovedită.

Împărțirea polinoamelor

Împărțirea ambelor părți ale ecuației (1) pe Q n (X), primim:
(4) .
Prin analogie cu numerele zecimale, S k-n (X) se numește partea întreagă a fracției sau privat, U n- 1(x)- restul diviziei. O fracție de polinoame în care gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor se numește fracție proprie. O fracție de polinoame în care gradul polinomului din numărător este mai mare sau egal cu gradul polinomului din numitor se numește fracție improprie.

Ecuația (4) arată că orice fracție improprie de polinoame poate fi simplificată reprezentând-o ca sumă a unei părți întregi și a unei fracții proprii.

La baza lor, numerele zecimale întregi sunt polinoame, în care variabila este egală cu numărul 10 . De exemplu, să luăm numărul 265847. Acesta poate fi reprezentat ca:
.
Adică este un polinom de gradul al cincilea din 10 . Numerele 2, 6, 5, 8, 4, 7 sunt coeficienții de extindere a numărului în puteri ale lui 10.

Prin urmare, polinoamele pot fi aplicate regulii împărțirii printr-un colț (uneori numită împărțire printr-o coloană), care se aplică împărțirii numerelor. Singura diferență este că, atunci când împărțiți polinoame, nu trebuie să convertiți numere mai mari de nouă în cifre mai mari. Luați în considerare procesul de împărțire a polinoamelor la un colț folosind exemple specifice.

Un exemplu de împărțire a polinoamelor la un colț


.

Aici numărătorul este un polinom de gradul al patrulea. Numitorul este un polinom de gradul doi. În măsura în care 4 ≥ 2 , atunci fracția nu este corectă. Selectăm partea întreagă împărțind polinoamele cu un colț (într-o coloană):



Să oferim o descriere detaliată a procesului de divizare. Polinoamele originale sunt scrise în coloanele din stânga și din dreapta. Sub polinomul numitorului, în coloana din dreapta, trasăm o linie orizontală (colț). Sub această linie, la un unghi, va exista o parte întreagă a fracției.

1.1 Găsim primul membru al părții întregi (sub colț). Pentru a face acest lucru, împărțim termenul cel mai mare al numărătorului la cel mai mare termen al numitorului: .

1.2 Multiplica 2x2 pe x 2 - 3 x + 5:
. Rezultatul este scris în coloana din stânga:

1.3 Luăm diferența de polinoame din coloana din stânga:

.



Deci, avem un rezultat intermediar:
.

Fracția din partea dreaptă este incorectă deoarece gradul polinomului din numărător ( 3 ) este mai mare sau egal cu gradul polinomului din numitor ( 2 ). Repetăm ​​calculele. Abia acum numărătorul fracției se află în ultimul rând al coloanei din stânga.
2.1 Împărțiți membrul senior al numărătorului la membrul senior al numitorului: ;

2.2 Înmulțim cu numitorul: ;

2.3 Și scade din ultima linie a coloanei din stânga: ;


Rezultat intermediar:
.

Repetăm ​​calculele din nou, deoarece există o fracție improprie în partea dreaptă.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Deci avem:
.
Gradul polinomului în numărătorul fracției din dreapta este mai mic decât gradul polinomului numitorului, 1 < 2 . Prin urmare, fracția este corectă.

;
2 x 2 - 4 x + 1 este întreaga parte;
X- 8 - restul diviziei.

Exemplul 2

Selectați partea întreagă a fracției și găsiți restul diviziunii:
.

Efectuăm aceleași acțiuni ca în exemplul anterior:

Aici restul diviziunii este zero:
.

Înmulțirea polinoamelor cu o coloană

De asemenea, puteți înmulți polinoamele cu o coloană, similar înmulțirii numerelor întregi. Să luăm în considerare exemple specifice.

Un exemplu de înmulțire a polinoamelor cu o coloană

Aflați produsul polinoamelor:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Rezultatul este scris într-o coloană, aliniind puterile lui x.

3
;
;
;
.

Rețineți că numai coeficienții pot fi notați, iar puterile variabilei x pot fi omise. Apoi, înmulțirea cu o coloană de polinoame va arăta astfel:

Exemplul 2

Găsiți produsul polinoamelor dintr-o coloană:
.

Când înmulțiți polinoamele cu o coloană, este important să scrieți aceleași puteri ale variabilei x una sub alta. Dacă unele puteri ale lui x sunt omise, atunci acestea ar trebui scrise explicit prin înmulțirea cu zero sau lăsați spații.

În acest exemplu, unele grade sunt omise. Prin urmare, le scriem explicit, înmulțite cu zero:
.
Înmulțim polinoamele cu o coloană.

1 Scriem polinoamele originale unul sub celălalt într-o coloană și trasăm o linie.

2.1 Înmulțim termenul cel mai mic al celui de-al doilea polinom cu primul polinom:
.
Rezultatul este scris într-o coloană.

2.2 Următorul termen al celui de-al doilea polinom este egal cu zero. Prin urmare, produsul său prin primul polinom este, de asemenea, egal cu zero. Linia nulă poate fi omisă.

2.3 Înmulțim următorul termen al celui de-al doilea polinom cu primul polinom:
.
Rezultatul este scris într-o coloană, aliniind puterile lui x.

2.3 Înmulțim următorul termen (cel mai mare) al celui de-al doilea polinom cu primul polinom:
.
Rezultatul este scris într-o coloană, aliniind puterile lui x.

3 După ce toți termenii celui de-al doilea polinom au fost înmulțiți cu primul, tragem o linie și adunăm termenii cu aceleași puteri x:
.

Vedere generală a monomului

f(x)=axn, Unde:

-A- coeficient care poate aparține oricăreia dintre mulțimi N, Z, Q, R, C

-X- variabil

-n exponent care aparține mulțimii N

Două monomii sunt similare dacă au aceeași variabilă și același exponent.

Exemple: 3x2și -5x2; ½x 4și 2√3x4

Suma monomiilor care nu sunt similare între ele se numește polinom (sau polinom). În acest caz, monomiile sunt termeni ai polinomului. Un polinom care conține doi termeni se numește binom (sau binom).
Exemplu: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Un polinom care conține trei termeni se numește trinom.

Forma generală a unui polinom cu o variabilă

Unde:

  • a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 sunt coeficienții polinomului. Ele pot fi numere naturale, întregi, raționale, reale sau complexe.
  • un n- coeficient la termenul cu cel mai mare exponent (coeficient de conducere)
  • un 0- coeficient la termenul cu cel mai mic exponent (termen liber sau constantă)
  • n- gradul polinom

Exemplul 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

  • polinom de gradul III cu coeficienți 5, -2, 7 și -1
  • 5 - factor conducător
  • -1 - membru gratuit
  • X- variabil

Exemplul 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

  • polinom de gradul IV cu coeficienți -2√3.½și -4
  • -2√3 - factor conducător
  • -4 - membru gratuit
  • X- variabil

Diviziunea polinomială

p(x)și q(x)-doua polinoame:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Pentru a găsi câtul și restul unei diviziuni p(x) pe q(x), trebuie să utilizați următorul algoritm:

  1. grad p(x) trebuie să fie mai mare sau egal cu q(x).
  2. Trebuie să scriem ambele polinoame în ordine descrescătoare. Dacă în p(x) nu există termen cu vreun grad, trebuie adăugat cu un coeficient de 0.
  3. Membru principal p(x)împărțit în membru conducător q(x), iar rezultatul se scrie sub linia de despărțire (la numitor).
  4. Înmulțim rezultatul cu toți termenii q(x)și scrieți rezultatul cu semne opuse sub termeni p(x) cu gradele corespunzătoare.
  5. Adăugăm termen cu termen termenii cu aceleași grade.
  6. Atribuim termenii rămași rezultatului p(x).
  7. Împărțim termenul principal al polinomului rezultat la primul termen al polinomului q(x)și repetați pașii 3-6.
  8. Această procedură se repetă până când polinomul nou obținut are un grad mai mic decât q(x). Acest polinom va fi restul diviziunii.
  9. Polinomul scris sub linia despărțitoare este rezultatul împărțirii (coeficientului).

Exemplul 1
Pasul 1 și 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privat

Răspuns: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Exemplul 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) Coeficient

Răspuns: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Împărțirea cu un polinom de gradul I

Această împărțire se poate face folosind algoritmul de mai sus, sau chiar mai rapid folosind metoda lui Horner.
În cazul în care un f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, polinomul poate fi rescris ca f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- polinom de gradul I ⇒ q(x)=mx+n
Atunci polinomul din coeficient va avea un grad n-1.

Conform metodei lui Horner, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 = a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
Unde b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privat. Restul va fi un polinom de grad zero, deoarece gradul polinomului din rest trebuie să fie mai mic decât gradul divizorului.
Împărțire cu rest ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r dacă $x_0=-\frac(n)(m)$
Rețineți că p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Exemplul 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Exemplul 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Exemplul 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Săgeată la dreapta 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Concluzie
Dacă împărțim la un polinom de grad mai mare decât unu, trebuie să folosim algoritmul pentru a găsi câtul și restul 1-9 .
Dacă împărțim la un polinom de gradul I mx+n, apoi pentru a găsi coeficientul și restul, trebuie să utilizați metoda lui Horner cu $x_0=-\frac(n)(m)$.
Dacă ne interesează doar restul diviziunii, este suficient să găsim p(x0).
Exemplul 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Să fie cerută

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Aici sunt date produsul (2x 3 - 7x 2 + x + 1) și un factor (2x - 1), - trebuie să găsiți un alt factor. În acest exemplu, este imediat clar (dar acest lucru nu poate fi stabilit în general) că celălalt, dorit, factor sau coeficient, este de asemenea un polinom. Acest lucru este clar pentru că acest produs are 4 termeni, iar acest multiplicator este doar 2. Cu toate acestea, este imposibil să spunem în prealabil câți termeni are multiplicatorul dorit: pot fi 2 termeni, 3 termeni etc. Ținând minte că cel mai mare termen a produsului rezultă întotdeauna din înmulțirea termenului cel mai mare al unui factor cu cel mai mare termen al altuia (vezi înmulțirea unui polinom cu un polinom) și că nu pot exista termeni ca acesta, suntem siguri că 2x 3 (cel mai mare termen al acest produs) va proveni din înmulțirea de 2x (cel mai mare termen al acestui factor) cu termenul principal necunoscut al multiplicatorului căutat. Prin urmare, pentru a-l găsi pe ultimul, trebuie să împărțim 2x 3 la 2x - obținem x 2 . Acesta este membrul senior al privatului.

Amintiți-vă atunci că atunci când înmulțiți un polinom cu un polinom, fiecare termen al unui polinom trebuie înmulțit cu fiecare termen al celuilalt. Prin urmare, acest produs (2x 3 - 7x 2 + x + 1) este produsul divizorului (2x - 1) și toți termenii coeficientului. Dar acum putem găsi produsul dintre divizor și primul (cel mai mare) membru al coeficientului, adică (2x - 1) ∙ x 2; obținem 2x 3 - x 2 . Cunoscând produsul divizorului prin toți termenii câtului (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) și cunoașterea produsului divizorului prin primul termen al câtului (it = 2x 3 - x 2), prin scădere putem găsi produsul divizorului prin toate celelalte, cu excepția primei, membri ai privatului. obține

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Cel mai mare termen (–6x 2) al acestui produs rămas trebuie să fie produsul dintre cel mai mare termen al divizorului (2x) și cel mai mare termen din restul (cu excepția primului termen) al coeficientului. De aici găsim termenul senior al coeficientului rămas. Avem nevoie de –6x 2 ÷ 2x, obținem –3x. Acesta este al doilea termen al coeficientului dorit. Putem găsi din nou produsul divizorului (2x - 1) și al doilea termen de coeficient, tocmai găsit, adică -3x.

Obținem (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Din întregul produs, am scăzut deja produsul divizorului cu primul termen al coeficientului și am obținut restul -6x 2 + x + 1, care este produsul divizorului cu restul, cu excepția primului termen. al coeficientului. Scăzând din el produsul tocmai găsit -6x 2 + 3x, obținem restul, care este produsul divizorului cu toți ceilalți, cu excepția primului și al doilea, membrii câtului:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Împărțind termenul senior al acestui produs rămas (–2x) la termenul senior al divizorului (2x), obținem termenul senior al restului coeficientului sau al treilea termen, (–2x) ÷ 2x = –1, acesta este al 3-lea termen al coeficientului.

Înmulțind divizorul cu acesta, obținem

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Scăzând acest produs al divizorului cu al 3-lea termen al coeficientului din întregul produs rămas până acum, i.e.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

vom vedea că în exemplul nostru produsul este împărțit în restul, cu excepția celor 1, 2 și 3, membri ai câtului = 0, din care concluzionăm că câtul nu mai are membri, adică.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Din cele precedente vedem: 1) este convenabil să se aranjeze termenii dividendului și divizorului în puteri descrescătoare, 2) este necesar să se stabilească un fel de ordine pentru efectuarea calculelor. O astfel de ordine convenabilă poate fi considerată cea care este folosită în aritmetică la împărțirea numerelor cu mai multe valori. După aceasta, aranjam toate calculele anterioare după cum urmează (în lateral sunt date mai multe explicații succinte):

Acele scăderi care sunt necesare aici se efectuează prin schimbarea semnelor termenilor subtraendului, iar aceste semne variabile sunt scrise deasupra.

Da, este scris

Aceasta înseamnă: subtraendul a fost 2x 3 - x 2, iar după schimbarea semnelor, am obținut -2x 3 + x 2.

Datorită aranjamentului acceptat al calculelor, datorită faptului că termenii dividendului și divizorului sunt aranjați în puteri descrescătoare și datorită faptului că gradele literei x în ambele polinoame scad de fiecare dată cu 1, s-a transformat că astfel de termeni sunt scriși unul sub celălalt (de exemplu: –7x 2 și +x 2) de ce este ușor să-i aruncați. Se poate observa că nu toți membrii dividendului sunt necesari în fiecare moment al calculului. De exemplu, termenul +1 nu este necesar în momentul în care a fost găsit al 2-lea termen al coeficientului, iar această parte a calculului poate fi simplificată.


Mai multe exemple:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Aranjați literele a în puteri descrescătoare și dividendul și divizorul:


(Rețineți că aici, din cauza absenței unui termen cu un 3 în dividend, la prima scădere s-a dovedit că termeni nu similari -a 2 b 2 și -2a 3 b sunt semnați unul sub celălalt. Desigur, ei nu poate fi redusă la un singur mandat și ambele sunt scrise sub rând în vechime).


În ambele exemple, ar trebui să fiți mai atenți la termeni similari: 1) termenii care nu sunt asemănători adesea se scriu unul sub celălalt și 2) uneori (ca, de exemplu, în ultimul exemplu, termenii -4a n și -a n la prima scădere) termeni similari ies scrisi nu unul sub altul.

Este posibil să se efectueze împărțirea polinoamelor într-o ordine diferită și anume: de fiecare dată să se caute termenul cel mai mic sau întregul sau coeficientul rămas. Este convenabil în acest caz să aranjați aceste polinoame în puteri crescătoare ale unei litere. De exemplu:


Acest articol va lua în considerare fracțiile raționale, selecția sa de părți întregi. Fracțiile sunt corecte și greșite. Când numărătorul este mai mic decât numitorul într-o fracție, este o fracție proprie și invers.

Luați în considerare exemple de fracții proprii: 1 2, 9 29, 8 17, improprii: 16 3, 21 20, 301 24.

Vom calcula fracții care pot fi reduse, adică 12 16 este 3 4, 21 14 este 3 2.

La selectarea părții întregi, se efectuează procesul de împărțire a numărătorului la numitor. Atunci o astfel de fracție poate fi reprezentată ca suma unui număr întreg și a unei părți fracționale, unde partea fracțională este considerată raportul dintre restul diviziunii și numitorul.

Exemplul 1

Aflați restul când 27 este împărțit la 4.

Decizie

Este necesar să facem o împărțire după o coloană, apoi obținem asta

Deci, 27 4 \u003d parte întreagă + restul n și m și miner \u003d 6 + 3 4

Răspuns: restul 3.

Exemplul 2

Selectați părți întregi 331 12 și 41 57 .

Decizie

Împărțim numitorul la numărător folosind un colț:

Prin urmare, avem acel 331 12 \u003d 27 + 7 12.

A doua fracție este corectă, ceea ce înseamnă că partea întreagă este egală cu zero.

Răspuns: părți întregi 27 și 0 .

Luați în considerare clasificarea polinoamelor, cu alte cuvinte, o funcție rațională fracțională. Se consideră corectă atunci când gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, altfel este considerat incorect.

Definiția 1

Împărțirea unui polinom cu un polinom are loc conform principiului împărțirii printr-un unghi, iar reprezentarea funcției ca sumă a părților întregi și fracționale.

Pentru a împărți un polinom într-un binom liniar, se folosește schema lui Horner.

Exemplul 3

Împărțiți x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 la monomul 2 x 2.

Decizie

Folosind proprietatea diviziunii, scriem că

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Adesea, acest tip de transformare se realizează atunci când se iau integrale.

Exemplul 4

Împărțiți un polinom la un polinom: 2 x 3 + 3 la x 3 + x.

Decizie

Semnul diviziunii poate fi scris ca o fracție de forma 2 x 3 + 3 x 3 + x. Acum trebuie să selectați întreaga parte. Facem acest lucru împărțind la o coloană. Înțelegem asta

Deci, obținem că partea întreagă are valoarea - 2 x + 3, atunci întreaga expresie este scrisă ca 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Exemplul 5

Împărțiți și găsiți restul după împărțirea 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 la x 3 + 2 x 2 - 1 .

Decizie

Să fixăm o fracție de forma 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului, ceea ce înseamnă că avem o fracție improprie. Folosind împărțirea pe o coloană, selectați întreaga parte. Înțelegem asta

Să facem din nou împărțirea și să obținem:

De aici avem că restul este - 65 x 2 + 10 x - 3, deci:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Există cazuri în care este necesar să se efectueze suplimentar o conversie a fracțiunii pentru a putea dezvălui restul la împărțire. Arata cam asa:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Aceasta înseamnă că restul la împărțirea 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 la x 3 - 3 dă valoarea - 3 x 2 + 6 x - 4. Pentru a găsi rapid rezultatul, se folosesc formule de înmulțire abreviate.

Exemplul 6

Împărțiți 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 la 2 x + 3 .

Decizie

Să scriem împărțirea ca fracție. Obținem că 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Rețineți că la numărător, expresia poate fi adăugată folosind formula cubului sumei. Avem asta

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Polinomul dat este divizibil fără rest.

Pentru soluție, se utilizează o metodă de soluție mai convenabilă, iar împărțirea unui polinom cu un polinom este considerată a fi cea mai universală, prin urmare, este adesea folosită la selectarea unei părți întregi. Intrarea finală trebuie să conțină polinomul rezultat din împărțire.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Se încarcă...Se încarcă...