Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică” cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă o variabilă (același x) pătrat și nu trebuie să existe x în al treilea grad (sau mai mare).

Soluția multor ecuații se reduce la soluția ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că avem o ecuație pătratică și nu alta.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen din ecuație cu

Mutați totul spre stânga și aranjați termenii în ordinea descrescătoare a gradelor lui x

Acum putem spune cu încredere că această ecuație este pătratică!

Exemplul 2.

Să înmulțim părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătrată!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

De frică? Gradul al patrulea și al doilea ... Totuși, dacă facem o înlocuire, atunci vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vedeți, s-a micșorat - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

Matematicienii împart în mod condiționat toate ecuațiile pătratice în următoarea formă:

• Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber cu nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete, există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

• Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar în ecuație trebuie să existe întotdeauna un x pătrat !!! Altfel, nu va mai fi un pătrat, ci o altă ecuație.

De ce ai venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire se datorează metodelor de soluție. Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai ușoare!

Ecuațiile patratice incomplete sunt de următoarele tipuri:

1. , în această ecuație coeficientul este.
2. , în această ecuație termenul liber este.
3. , în această ecuație coeficientul și intersecția sunt egale.

1.și. Deoarece știm să luăm rădăcina pătrată, să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Numărul la pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau a două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum rămâne să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. Îți amintești cum să extragi rădăcinile?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile negative !!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Ai! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să luăm factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom lipsi de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât cele date.

Tine minte, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Restul metodelor te vor ajuta să faci asta mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi învață soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind discriminantul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are o rădăcină Trebuie să acordați o atenție deosebită pasului. Discriminantul () ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula din pasul va fi redusă la. Astfel, ecuația va avea întreaga rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina din discriminant la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Deci ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Prin urmare, ecuația este prezentată în forma standard Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Deci ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Prin urmare, ecuația este prezentată în forma standard Pasul 1 ocolire.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Prin urmare, nu vom putea extrage rădăcina din discriminant. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: Fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există acest tip de ecuații care se numesc reduse (când coeficientul a este egal):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal cu.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea folosind teorema lui Vieta, deoarece ...

Suma rădăcinilor ecuației este, i.e. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație cuadratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde este necunoscutul, sunt unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primele cote ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

De ce? Pentru că dacă, ecuația va deveni imediat liniară, deoarece dispărea.

Mai mult, și poate fi egal cu zero. În acest scaun, ecuația se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

Pentru început, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Se pot distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și intersecția sunt egale.

II. , în această ecuație coeficientul este.

III. , în această ecuație termenul liber este.

Acum să ne uităm la o soluție pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă, avem două rădăcini

Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată rădăcinile negative!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a înregistra pe scurt că problema nu are soluții, folosim pictograma set goală.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Scoateți factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Factorizați partea stângă a ecuației și găsiți rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina discriminantului în formula rădăcinii? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce sa fac? Este necesar să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcină:
• Dacă, atunci ecuația are aceeași rădăcină, dar de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce există un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

În cazul special, care este o ecuație pătratică,. Și aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. Este posibil ca parabola să nu intersecteze axa deloc sau să o intersecteze într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă - atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Deci nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere, al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este al doilea coeficient, luată cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul # 1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea folosind teorema lui Vieta, deoarece ... Alți coeficienți:; ...

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; ...

Exemplul # 2:

Soluţie:

Să selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: se da suma.

si: se da suma. Pentru a obține, este suficient doar să schimbați semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, munca.

Răspuns:

Exemplul # 3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ, ceea ce înseamnă că produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este diferența dintre modulele lor.

Să selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

si: - nu se potriveste;

si: - nu se potriveste;

și: - se potrivește. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina trebuie să fie negativă în valoare absolută:. Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ, ceea ce înseamnă că produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal, apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă un semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul # 5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt cu semnul minus.

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal cu:

Evident, numerele și sunt rădăcinile.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și grăbi găsirea rădăcinilor. Pentru a-l folosi profitabil, trebuie să aduci acțiunile la automatism. Și pentru aceasta, decideți-vă asupra încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi discriminantul! Doar teorema lui Vieta:

Soluții pentru sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

După teorema lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu o piesă:

Nu este potrivit, deoarece suma;

: suma este ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; ...

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: suma ar trebui să funcționeze, dar produsul este egal.

Dar din moment ce nu ar trebui să existe, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; ...

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Este necesar să transferați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Așa că oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile de mai sus. Deci mai întâi trebuie să aduceți ecuația. Dacă nu o puteți aduce în discuție, renunțați la această afacere și rezolvați-o într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a aduce o ecuație pătratică înseamnă a face coeficientul de conducere egal cu:

Amenda. Atunci suma rădăcinilor este egală, iar produsul.

Este ușor de luat aici: până la urmă - un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; ...

Sarcina 4.

Termenul liber este negativ. Ce este atât de special? Și faptul că rădăcinile vor fi de semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența modulelor lor: această diferență este egală, ci produsul.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; ...

Sarcina 5.

Care este primul lucru de făcut? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că cu un minus va exista o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; ...

A rezuma:

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu există o singură pereche adecvată de multiplicatori de termeni liberi, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să rezolvați într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formulele de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci, după modificarea variabilelor, ecuația poate fi reprezentată ca o ecuație pătratică incompletă de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația:.

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația:.

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu seamănă cu nimic? Acesta este un discriminant! Așa e, avem formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Ecuație cuadratică este o ecuație de forma, unde este necunoscuta, sunt coeficienții ecuației pătratice, este termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuație în care coeficientul, adică:.

Ecuație cuadratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația are forma:,
• dacă termenul liber, ecuația are forma:,
• dacă și, ecuația are forma:.

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul:,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. Ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Scoateți factorul comun din paranteze:,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. Ecuație pătratică incompletă de formă, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:.

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție discriminantă

1) Să aducem ecuația la forma standard:,

2) Calculăm discriminantul prin formula:, care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuații de formă, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Soluție pătrată completă

Problemele pentru ecuația pătratică sunt studiate în programa școlară și în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c = 0, unde X - variabilă, a, b, c - constante; A<>0. Sarcina este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) ecuației pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa absciselor (x). Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau mai jos cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își dobândește valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la gradele variabilelor se pot trage concluzii interesante despre amplasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Mutați constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula pentru discriminantul și rădăcinile unei ecuații pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului Dacă este pozitivă atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care poate fi obținută cu ușurință din formula de mai sus când D = 0. Când discriminantul este negativ, ecuația nu are rădăcini reale. Cu toate acestea, se găsesc soluții ale unei ecuații pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Teorema lui Vieta rezultă ușor din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Notația formală a celor de mai sus va arăta ca Dacă în ecuația clasică constanta a este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație cu ea și apoi să aplicați teorema lui Vieta.

Programați o ecuație pătratică pentru factori

Lasă sarcina să fie stabilită: să factorizezi o ecuație pătratică. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). Apoi, înlocuim rădăcinile găsite în formula de expansiune pentru ecuația pătratică, ceea ce va rezolva problema.

Probleme cu ecuații cuadratice

Obiectivul 1. Găsiți rădăcinile unei ecuații cuadratice

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Soluție: notăm coeficienții și îi înlocuim în formula discriminantă

Rădăcina acestei valori este 14, este ușor să o găsiți cu un calculator sau să o amintiți cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi adesea găsite în astfel de sarcini.
Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină

și primim

Obiectivul 2. Rezolvați ecuația

2x 2 + x-3 = 0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


Folosind formulele binecunoscute, găsim rădăcinile ecuației pătratice

Obiectivul 3. Rezolvați ecuația

9x 2 -12x + 4 = 0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem un caz când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. Rezolvați ecuația

x ^ 2 + x-6 = 0.

Rezolvare: În cazurile în care există coeficienți mici la x, este indicat să se aplice teorema lui Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții (-3; 2), (3; -2). Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt egale

Problema 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul lui este de 18 cm și aria lui este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul dreptunghiului este suma laturilor adiacente. Să notăm x - partea mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria dreptunghiului este egală cu produsul acestor lungimi:
x (18-x) = 77;
sau
x 2 -18x + 77 = 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculați rădăcinile ecuației

Dacă x = 11, atunci 18 = 7, dimpotrivă, este și adevărat (dacă x = 7, atunci 21-x = 9).

Problema 6. Factorizați ecuațiile 10x 2 -11x + 3 = 0 pătrate.

Rezolvare: Calculăm rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuiți valoarea găsită în formula rădăcină și calculați

Aplicam formula pentru extinderea unei ecuatii patratice in radacini

Lărgând parantezele, obținem o identitate.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a = 3, vedem că nu are soluție. În continuare, vom folosi faptul că pentru discriminant zero ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați-l cu zero

Am obținut o ecuație pătratică pentru parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut prin teorema lui Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3,4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a = 3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a = 4. Astfel, pentru a = 4 ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a = 0 și a = -3. Când a = 0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9 = 0; x = 3/2 și va fi o rădăcină. Pentru a = -3 obținem identitatea 0 = 0.
Calculăm discriminantul

și găsiți valorile lui a la care este pozitiv

Din prima condiție, obținem a> 3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a = 0 se obtine 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3), funcția este negativă. Nu uitați ideea a = 0, care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă dați seama singur sarcinile și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Învață bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt adesea necesare în calcule în diverse probleme și științe.

Descriere bibliografica: Gasanov A.R., Kuramshin A.A., El'kov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Metode pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice // Young Scientist. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Proiectul nostru este dedicat modalităților de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Scopul proiectului: să învețe cum să rezolvi ecuațiile pătratice în moduri care nu sunt incluse în programa școlară. Sarcină: găsiți toate modalitățile posibile de rezolvare a ecuațiilor pătratice și învățați cum să le utilizați singur și prezentați colegilor aceste metode.

Ce sunt „ecuațiile pătratice”?

Ecuație cuadratică- o ecuație a formei topor2 + bx + c = 0, Unde A, b, c- unele numere ( a ≠ 0), X- necunoscutul.

Numerele a, b, c sunt numite coeficienți ai ecuației pătratice.

• a se numește primul coeficient;
• b se numește al doilea coeficient;
• c - membru liber.

Și cine a fost primul care a „inventat” ecuațiile pătratice?

Unele tehnici algebrice pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și pătratice erau cunoscute acum 4000 de ani în Babilonul Antic. Tăblițele vechi de lut babiloniene găsite, datate undeva între 1800 și 1600 î.Hr., sunt cele mai vechi dovezi ale studiului ecuațiilor pătratice. Metodele de rezolvare a unor tipuri de ecuații pătratice sunt prezentate pe aceleași tablete.

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II chiar și în antichitate a fost cauzată de necesitatea de a rezolva problemele asociate cu găsirea unor zone de teren și terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei. și matematica însăși.

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile expuse sub formă de rețete, fără instrucțiuni despre modul în care au fost găsite. În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

matematicienii babilonieni din aproximativ secolul al IV-lea î.Hr a folosit metoda complementului pătratului pentru a rezolva ecuații cu rădăcini pozitive. În jurul anului 300 î.Hr Euclid a venit cu o metodă de soluție geometrică mai generală. Primul matematician care a găsit soluții la o ecuație cu rădăcini negative sub forma unei formule algebrice a fost un om de știință indian. Brahmagupta(India, secolul VII d.Hr.).

Brahmagupta a subliniat regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, redusă la o singură formă canonică:

ax2 + bx = c, a> 0

În această ecuație, coeficienții pot fi negativi. Regula Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

În India, competiția publică pentru probleme dificile era obișnuită. Una dintre cărțile indiene antice spune următoarele despre astfel de competiții: „Așa cum soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, tot așa un om învățat va eclipsa gloria în adunările populare, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Problemele erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Într-un tratat algebric Al-Khwarizmi se dă clasificarea ecuaţiilor liniare şi pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 = bx.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 = c.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 + c = bx.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ax2 + bx = c.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c == ax2.

Pentru Al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt aditivi, nu scăzuți. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive cu siguranță nu sunt luate în considerare. Autorul conturează modalitățile de rezolvare a acestor ecuații, folosind tehnicile al-jabr și al-muqabal. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că atunci când rezolvă o ecuație pătratică incompletă de primul tip, Al-Khorezmi, ca toți matematicienii de până în secolul al XVII-lea, nu ia în considerare zero. soluție, probabil pentru că în sarcini practice specifice, nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, Al-Khwarizmi, folosind exemple numerice particulare, stabilește regulile pentru rezolvarea lor și apoi dovezile geometrice ale acestora.

Formele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui Al-Khwarizmi în Europa au fost prezentate pentru prima dată în „Cartea lui Abacus”, scrisă în 1202. matematician italian Leonard Fibonacci... Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative.

Această carte a contribuit la diseminarea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din această carte au fost transferate aproape în toate manualele europene din secolele XIV-XVII. Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x2 + bх = с cu toate combinațiile posibile de semne și coeficienți b, c a fost formulată în Europa în 1544. M. Shtifel.

Vieta are o derivație generală a formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătratice, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primele din secolul al XVI-lea. luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită muncii Girard, Descartes, Newtonși alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice ia o formă modernă.

Să luăm în considerare mai multe moduri de a rezolva ecuații pătratice.

Modalități standard de rezolvare a ecuațiilor pătratice din programa școlară:

1. Factorizarea părții stângi a ecuației.
2. Metoda de selecție a pătratului complet.
3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formula.
4. Rezolvarea grafică a unei ecuații pătratice.
5. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

Să ne oprim mai în detaliu asupra soluției ecuațiilor pătratice reduse și nu reduse prin teorema lui Vieta.

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuațiile pătratice de mai sus, este suficient să găsiți două numere astfel încât produsul să fie egal cu termenul liber, iar suma să fie la al doilea coeficient cu semnul opus.

Exemplu.X 2 -5x + 6 = 0

Trebuie să găsiți numerele, al căror produs este 6, iar suma este 5. Astfel de numere vor fi 3 și 2.

Raspuns: x 1 = 2, x 2 =3.

Dar puteți folosi această metodă pentru ecuații cu primul coeficient diferit de unul.

Exemplu.3x 2 + 2x-5 = 0

Luăm primul coeficient și îl înmulțim cu termenul liber: x 2 + 2x-15 = 0

Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele, al căror produs este - 15, iar suma este - 2. Aceste numere sunt 5 și 3. Pentru a găsi rădăcinile ecuației inițiale, rădăcinile rezultate sunt împărțite la primul coeficient .

Raspuns: x 1 = -5 / 3, x 2 =1

6. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda „transferului”.

Se consideră ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0.

Înmulțind ambele părți cu a, obținem ecuația a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y / a; atunci ajungem la ecuația y 2 + prin + ac = 0, care este echivalentă cu cea dată. Găsim rădăcinile sale la 1 și la 2 folosind teorema lui Vieta.

În cele din urmă, obținem x 1 = y 1 / a și x 2 = y 2 / a.

Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” la acesta, de aceea se numește metoda „aruncare”. Această metodă este folosită atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Exemplu.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Să „aruncăm” coeficientul 2 la termenul liber și făcând înlocuirea obținem ecuația y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei inverse a lui Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Raspuns: x 1 = 2,5; NS 2 = 3.

7. Proprietăţile coeficienţilor ecuaţiei pătratice.

Fie ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 și ≠ 0.

1. Dacă a + b + c = 0 (adică suma coeficienților ecuației este egală cu zero), atunci x 1 = 1.

2. Dacă a - b + c = 0, sau b = a + c, atunci x 1 = - 1.

Exemplu.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Deoarece a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atunci x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Raspuns: x 1 = 1; NS 2 = -208/345 .

Exemplu.132x 2 + 247x + 115 = 0

pentru că a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), atunci x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Raspuns: x 1 = - 1; NS 2 =- 115/132

Există și alte proprietăți ale coeficienților unei ecuații pătratice. dar utilizarea lor este mai complicată.

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă.

Fig 1. Nomograma

Aceasta este o metodă veche și uitată în prezent de rezolvare a ecuațiilor pătratice, plasată la p.83 a colecției: Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.

Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuației z 2 + pz + q = 0... Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătratică, să se determine rădăcinile ecuației prin coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele (Fig. 1):

Presupunând OC = p, ED = q, OE = a(toate în cm), din Fig. 1 asemănarea triunghiurilor SANși CDF obținem proporția

de unde, după substituții și simplificări, urmează ecuația z 2 + pz + q = 0, iar scrisoarea zînseamnă marca oricărui punct al scării curbe.

Orez. 2 Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă

Exemple.

1) Pentru ecuație z 2 - 9z + 8 = 0 nomograma dă rădăcini z 1 = 8,0 și z 2 = 1,0

Răspuns: 8,0; 1.0.

2) Rezolvați ecuația cu ajutorul nomogramei

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Împărțiți coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma dă rădăcinile z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

Răspuns: 4; 0,5.

9. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Exemplu.NS 2 + 10x = 39.

În original, această problemă este formulată astfel: „Pătratul și zece rădăcini sunt egale cu 39”.

Luați în considerare un pătrat cu latura x, dreptunghiuri sunt construite pe laturile sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia dintre ele să fie de 2,5, prin urmare, aria fiecăruia este de 2,5x. Figura rezultată este apoi completată cu un nou pătrat ABCD, completând patru pătrate egale în colțuri, latura fiecăruia dintre ele este 2,5 și aria este 6,25

Orez. 3 Mod grafic de a rezolva ecuația x 2 + 10x = 39

Aria S a pătratului ABCD poate fi reprezentată ca suma ariilor: pătratul original x 2, patru dreptunghiuri (4 ∙ 2,5x = 10x) și patru pătrate atașate (6,25 ∙ 4 = 25), adică. S = x 2 + 10x = 25. Înlocuind x 2 + 10x cu 39, obținem că S = 39 + 25 = 64, de unde rezultă că latura pătratului este ABCD, adică. segment AB = 8. Pentru latura dorită x a pătratului inițial, obținem

10. Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Bezout.

teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului P (x) la binomul x - α este egal cu P (α) (adică valoarea lui P (x) la x = α).

Dacă numărul α este o rădăcină a polinomului P (x), atunci acest polinom este divizibil cu x -α fără rest.

Exemplu.x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0. Împărțiți P (x) la (x-1) :( x²-4x + 3) / (x-1) = x-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

x-1 = 0; x = 1, sau x-3 = 0, x = 3; Raspuns: x1 = 2, x2 =3.

Ieșire: Capacitatea de a rezolva rapid și eficient ecuații pătratice este pur și simplu necesară pentru a rezolva ecuații mai complexe, de exemplu, ecuații raționale fracționale, ecuații de grade superioare, ecuații biquadratice, iar în liceu, ecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice. După ce am studiat toate modalitățile găsite de rezolvare a ecuațiilor pătratice, putem sfătui colegii, pe lângă metodele standard, să rezolve prin metoda transferului (6) și să rezolve ecuații prin proprietatea coeficienților (7), deoarece acestea sunt mai accesibile pentru înţelegere.

Literatură:

1. Bradis V.M. Tabelele matematice din patru cifre. - M., Educaţie, 1990.
2. Algebră clasa a 8-a: manual pentru clasa a 8-a. educatie generala. instituții Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorov S. B. ed. S. A. Telyakovsky ed. a 15-a, Rev. - M .: Educație, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 % B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Un ghid pentru profesori. / Ed. V.N. Mai tanara. - M .: Educație, 1964.

Se știe că este o versiune particulară a egalității ax 2 + bx + c = o, unde a, b și c sunt coeficienți reali pentru un x necunoscut și unde a ≠ o și b și c vor fi zerouri - simultan sau separat. De exemplu, c = o, în ≠ o sau invers. Aproape ne-am amintit definiția unei ecuații pătratice.

Termenul de gradul doi este egal cu zero. Primul său coeficient a ≠ o, b și c poate lua orice valoare. Valoarea variabilei x va fi atunci când, la înlocuire, o transformă într-o egalitate numerică adevărată. Să ne oprim asupra rădăcinilor reale, deși soluțiile ecuației pot fi și Complete se numește de obicei o ecuație în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu o, dar ≠ o, în ≠ o, cu ≠ o.
Să rezolvăm un exemplu. 2x 2 -9x-5 = oh, găsim
D = 81 + 40 = 121,
D este pozitiv, deci există rădăcini, x 1 = (9 + √121): 4 = 5, iar al doilea x 2 = (9-√121): 4 = -o, 5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.

Iată o soluție pas cu pas a unei ecuații pătratice

Prin discriminant, puteți rezolva orice ecuație pe partea stângă a căreia există un trinom pătratic binecunoscut pentru a ≠ o. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 + bx + c = o)

Luați în considerare care sunt ecuațiile incomplete de gradul doi

1. ax 2 + in = o. Termenul liber, coeficientul c la x 0, este aici egal cu zero, în ≠ o.
   Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă de acest fel? Mutați x din paranteză. Amintiți-vă când produsul a doi factori este zero.
   x (ax + b) = o, aceasta ar putea fi atunci când x = o sau când ax + b = o.
   După ce am rezolvat al 2-lea, avem x = -v / a.
   Ca urmare, avem rădăcinile x 1 = 0, conform calculelor x 2 = -b / a.
2. Acum coeficientul de la x este egal cu o, iar c nu este egal cu (≠) o.
   x 2 + c = o. Transferând с în partea dreaptă a egalității, obținem x 2 = -с. Această ecuație are rădăcini reale numai atunci când -c este un număr pozitiv (c x 1 este atunci egal cu √ (-c), respectiv x 2 - -√ (-c). În caz contrar, ecuația nu are deloc rădăcini.
3. Ultima opțiune: b = c = o, adică ax 2 = o. Desigur, o astfel de ecuație simplă are o rădăcină, x = o.

Cazuri speciale

Ne-am gândit cum să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă, iar acum vom lua orice tip.

• Într-o ecuație pătratică completă, al doilea coeficient la x este un număr par.
  Fie k = o, 5b. Avem formule pentru calcularea discriminantului și a rădăcinilor.
  D / 4 = k 2 - ac, rădăcinile se calculează ca x 1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a pentru D ›o.
  x = -k / a când D = o.
  Nu există rădăcini la D ‹o.
• Sunt date ecuații pătratice, când coeficientul la x pătrat este 1, se obișnuiește să le scrieți x 2 + px + q = o. Toate formulele de mai sus se aplică lor, dar calculele sunt oarecum mai simple.
  Exemplu, x 2 -4x-9 = 0. Calculați D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2 + √13, x 2 = 2-√13.
• În plus, este ușor de aplicat celor date.Se spune că suma rădăcinilor ecuației este -p, al doilea coeficient cu minus (adică semnul opus), iar produsul acestor rădăcini va fi egal. la q, termenul liber. Verificați cât de ușor ar fi să determinați oral rădăcinile acestei ecuații. Pentru cei nereduși (pentru toți coeficienții care nu sunt egali cu zero), această teoremă este aplicabilă după cum urmează: suma x 1 + x 2 este egală cu -v / a, produsul x 1 x 2 este egal cu c / a.

Suma intersecției c și a primului coeficient a este egală cu coeficientul b. În această situație, ecuația are cel puțin o rădăcină (ușor de demonstrat), prima este neapărat egală cu -1, iar a doua -c/a, dacă există. Cum să rezolvi o ecuație pătratică incompletă, o poți verifica singur. La fel de ușor ca o plăcintă. Coeficienții pot fi în unele rapoarte între ei

• x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
• Suma tuturor coeficienților este o.
  Rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și s / a. Exemplu, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Există o serie de alte moduri de a rezolva diferite ecuații de gradul doi. Iată, de exemplu, o metodă pentru extragerea unui pătrat complet dintr-un polinom dat. Există mai multe moduri grafice. Când te ocupi adesea de astfel de exemple, vei învăța să „dai clic” pe ele ca pe niște semințe, pentru că toate metodele vin în minte automat.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 sau x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

După ce ați învățat cum să rezolvați ecuațiile de gradul întâi, desigur, doriți să lucrați cu alții, în special, cu ecuații de gradul doi, care altfel sunt numite pătratice.

Ecuațiile cuadratice sunt ecuații de tipul ax ² + bx + c = 0, unde variabila este x, numerele vor fi - a, b, c, unde a nu este egal cu zero.

Dacă într-o ecuație pătratică unul sau celălalt coeficient (c sau b) este egal cu zero, atunci această ecuație se va referi la o ecuație pătratică incompletă.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă dacă până acum studenții au reușit să rezolve doar ecuații de gradul I? Luați în considerare ecuații pătratice incomplete de diferite tipuri și modalități simple de a le rezolva.

a) Dacă coeficientul c este egal cu 0 și coeficientul b nu este egal cu zero, atunci ax² + bx + 0 = 0 se reduce la o ecuație de forma ax² + bx = 0.

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, trebuie să cunoașteți formula de rezolvare a unei ecuații pătratice incomplete, care constă în factorizarea părții stângi a acesteia și ulterior folosirea condiției de egalitate a produsului la zero.

De exemplu, 5x ² - 20x = 0. Factorizați partea stângă a ecuației, în timp ce efectuați operația matematică obișnuită: scoateți factorul comun din paranteze

5x (x - 4) = 0

Folosim condiția ca produsele să fie egale cu zero.

5 x = 0 sau x - 4 = 0

Răspunsul va fi: prima rădăcină este 0; a doua rădăcină este 4.

b) Dacă b = 0, iar termenul liber nu este egal cu zero, atunci ecuația ax² + 0x + c = 0 se reduce la o ecuație de forma ax² + c = 0. Ecuațiile se rezolvă în două moduri : a) prin extinderea polinomului ecuației din partea stângă în factori ; b) folosind proprietăţile rădăcinii pătrate aritmetice. O astfel de ecuație este rezolvată prin una dintre metodele, de exemplu:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Răspunsul este: prima rădăcină este 5/2; a doua rădăcină este - 5/2.

c) Dacă b este egal cu 0 și c este egal cu 0, atunci ax ² + 0 + 0 = 0 se reduce la o ecuație de forma ax ² = 0. Într-o astfel de ecuație, x va fi egal cu 0.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice incomplete nu pot avea mai mult de două rădăcini.