Cum se calculează manual rădăcina unui număr. Lucrare de cercetare pe tema: „Extragerea rădăcinilor pătrate din numere mari fără calculator”

Atunci când rezolvă diverse probleme de la cursul de matematică și fizică, elevii și studenții se confruntă adesea cu nevoia de a extrage rădăcinile gradului al doilea, al treilea sau al n-a. Desigur, în era tehnologiei informației, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de problemă folosind un calculator. Cu toate acestea, există situații în care este imposibil să folosești un asistent electronic.

De exemplu, este interzis să aduceți electronice la multe examene. În plus, este posibil ca calculatorul să nu fie la îndemână. În astfel de cazuri, este util să cunoașteți cel puțin unele metode de calculare manuală a radicalilor.

Una dintre cele mai simple moduri de a calcula rădăcinile este folosind o masă specială... Ce este și cum să-l folosești corect?

Folosind tabelul, puteți găsi pătratul oricărui număr de la 10 la 99. În acest caz, rândurile tabelului conțin valorile zecilor, în coloane - valorile unităților. Celula de la intersecția unui rând și a unei coloane conține un pătrat de două cifre. Pentru a calcula pătratul 63, trebuie să găsiți un rând cu valoarea 6 și o coloană cu valoarea 3. La intersecție, găsim o celulă cu numărul 3969.

Deoarece extragerea unei rădăcini este opusul pătratului, pentru a efectua această acțiune, trebuie să faceți opusul: mai întâi, găsiți celula cu numărul al cărui radical doriți să îl calculați, apoi determinați răspunsul după valorile coloanei și rândului . Ca exemplu, luați în considerare calcularea rădăcinii pătrate a lui 169.

Găsim o celulă cu acest număr în tabel, pe orizontală definim zeci - 1, pe verticală găsim unități - 3. Răspuns: √169 = 13.

În mod similar, puteți calcula rădăcinile gradului cubic și al n-lea, folosind tabelele corespunzătoare.

Avantajul acestei metode este simplitatea ei și absența calculelor suplimentare. Dezavantajele sunt evidente: metoda poate fi folosită doar pentru o gamă limitată de numere (numărul pentru care se află rădăcina trebuie să fie în intervalul de la 100 la 9801). În plus, nu va funcționa dacă numărul dat nu este în tabel.

factorizare primara

Dacă tabelul de pătrate nu este la îndemână sau s-a dovedit a fi imposibil să găsiți rădăcina cu ajutorul său, puteți încerca factorizează numărul de sub rădăcină în factori primi... Factorii primi sunt cei care pot fi complet (fără rest) divizibili numai prin ei înșiși sau cu unul. Exemplele ar fi 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.

Să luăm în considerare calculul rădăcinii folosind exemplul lui √576. Să-l descompunem în factori primi. Obținem următorul rezultat: √576 = √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3². Folosind proprietatea de bază a rădăcinilor √a² = a, scăpăm de rădăcini și pătrate, după care calculăm răspunsul: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ce se întâmplă dacă vreunul dintre factori nu are o pereche? De exemplu, luați în considerare calculul lui √54. După factorizare, obținem rezultatul sub următoarea formă: √54 = √ (2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √ (2 ∙ 3) = 3√6. Partea irecuperabilă poate fi lăsată sub rădăcină. Pentru majoritatea problemelor de geometrie și algebră, acest răspuns va fi considerat final. Dar dacă este nevoie să calculați valori aproximative, puteți utiliza metodele care vor fi discutate mai jos.

metoda lui Heron

Ce să faci când trebuie să știi cel puțin aproximativ care este rădăcina extrasă (dacă este imposibil să obții o valoare întreagă)? Un rezultat rapid și destul de precis este oferit de aplicarea metodei lui Heron... Esența sa constă în utilizarea unei formule aproximative:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

unde R este numărul a cărui rădăcină trebuie calculată, a este cel mai apropiat număr a cărui valoare rădăcină este cunoscută.

Să luăm în considerare modul în care funcționează metoda în practică și să evaluăm cât de precisă este. Să calculăm ce este egal cu √111. Cel mai apropiat număr de 111, a cărui rădăcină este cunoscută - 121. Astfel, R = 111, a = 121. Înlocuiți valorile în formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Acum să verificăm acuratețea metodei:

10,55² = 111,3025.

Eroarea metodei a fost de aproximativ 0,3. Dacă trebuie crescută precizia metodei, puteți repeta pașii descriși mai devreme:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Să verificăm exactitatea calculului:

10,536² = 111,0073.

După reaplicarea formulei, eroarea a devenit foarte nesemnificativă.

Calcularea rădăcinii prin diviziune lungă

Această metodă de a găsi valoarea rădăcinii pătrate este puțin mai dificilă decât cele anterioare. Cu toate acestea, este cea mai precisă dintre alte metode de calcul fără calculator..

Să presupunem că doriți să găsiți rădăcina pătrată cu 4 zecimale. Să analizăm algoritmul de calcul folosind exemplul unui număr arbitrar 1308.1912.

1. Împărțiți foaia de hârtie în 2 părți cu o linie verticală, apoi trageți o altă linie din ea spre dreapta, puțin sub marginea de sus. Să notăm numărul din partea stângă, împărțindu-l în grupuri de 2 cifre, deplasându-ne în partea dreaptă și stângă a virgulei. Prima cifră din stânga poate fi fără pereche. Dacă semnul lipsește în partea dreaptă a numărului, atunci ar trebui să adăugați 0. În cazul nostru, obținem 13 08.19 12.
2. Să selectăm cel mai mare număr al cărui pătrat va fi mai mic sau egal cu primul grup de numere. În cazul nostru este 3. Să-l scriem în dreapta sus; 3 este prima cifră a rezultatului. În dreapta jos, indicăm 3 × 3 = 9; acest lucru va fi necesar pentru calculele ulterioare. Scădeți 9 din 13 într-o coloană, obținem un rest de 4.
3. Să adăugăm următoarea pereche de numere la restul de 4; obținem 408.
4. Numărul din dreapta sus se înmulțește cu 2 și se scrie în dreapta jos, adăugându-i _ x _ =. Obținem 6_ x _ =.
5. În loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr mai mic sau egal cu 408. Obținem 66 × 6 = 396. Scrieți 6 în dreapta sus, deoarece aceasta este a doua cifră a rezultatului. Scădeți 396 din 408 pentru a obține 12.
6. Să repetăm ​​pașii 3-6. Deoarece cifrele deduse în jos sunt în partea fracționară a numărului, este necesar să puneți o virgulă zecimală în dreapta sus după 6. Să notăm rezultatul dublat cu liniuțe: 72_ x _ =. Un număr potrivit ar fi 1: 721 × 1 = 721. Să-l notăm ca răspuns. Scădeți 1219 - 721 = 498.
7. Să executăm secvența de acțiuni prezentată în paragraful anterior de încă trei ori pentru a obține numărul necesar de zecimale. Dacă nu există suficiente semne pentru calcule ulterioare, două zerouri trebuie adăugate la numărul curent din stânga.

Ca rezultat, obținem răspunsul: √1308,1912 ≈ 36,1689. Dacă verificați acțiunea cu un calculator, vă puteți asigura că toate semnele au fost identificate corect.

Calcularea pe biți a valorii rădăcinii pătrate

Metoda este foarte precisă... În plus, este destul de înțeles și nu necesită memorarea formulelor sau un algoritm complex de acțiuni, deoarece esența metodei este selectarea rezultatului corect.

Să luăm rădăcina numărului 781. Să luăm în considerare în detaliu succesiunea acțiunilor.

1. Să aflăm care bit din valoarea rădăcinii pătrate va fi cel mai semnificativ. Pentru a face acest lucru, vom pătrata 0, 10, 100, 1000 etc. și vom afla între care dintre ele se află numărul radical. Primim acel 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Să selectăm valoarea zecilor. Pentru a face acest lucru, vom ridica pe rând la puterea 10, 20, ..., 90, până când obținem un număr care depășește 781. În cazul nostru, obținem 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. valoarea rezultatului n va fi în 20< n <30.
3. Similar cu pasul anterior, este selectată valoarea cifrei celor. Să pătram 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 7827.< n < 28.
4. Fiecare cifră ulterioară (zecimi, sutimi etc.) este calculată în același mod ca cel prezentat mai sus. Calculele sunt efectuate până când se obține precizia necesară.

Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns precis.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul radical care este pătrat.În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi extrasă o întreagă rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii lui 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factorii pătrați sunt factori care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să pătrați numărul rădăcinii.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Încercați mai întâi să pătrați 400. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Dacă împărțiți 400 la 25, obțineți 16. 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Se poate scrie astfel: √400 = √ (25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √ (a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, extrageți rădăcina lui 25 și a lui 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul radical nu se descompune în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema factorizând rădăcina numărului într-un factor pătrat și într-un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi extrasă întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale liniei numerice) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, obțineți 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul rădăcină este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Deci √35 este între 5 și 6. Deoarece √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu un calculator ne oferă o răspuns de 5,92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este factorizarea numărului radical în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi pe rând și găsiți perechi de aceiași factori. Astfel de factori pot fi eliminați dincolo de semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi luat în afara semnului rădăcinii: √45 = 3√5. Acum puteți estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori de 2; luați câteva dintre ele și plasați-le în afara semnului rădăcinii.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

   Calcularea rădăcinii pătrate manual

   Diviziune lungă

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă răspunsul exact. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi, la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radicalizat în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a lui 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și în stânga sus scrieți acest număr ca "7 80, 14". Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai aproape, dar mai mic decât prima pereche de numere (sau un număr) din stânga și extrageți rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; obțineți numărul n. Scrieți n găsit în dreapta sus și scrieți pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi numărul 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere din stânga (sau un număr). Scrieți rezultatul calculului sub scădere (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Trageți în jos a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută în pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_ × _ =" adăugat.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_ × _ =" în dreapta jos.

   5. Completați liniuțele din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă în loc de liniuțe punem numărul 8, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va face. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată necesară de 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga.Înregistrați rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și notați-o sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți separatorul (virgulă) dintre părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, trageți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și notați rezultatul în dreapta jos cu „_ × _ =" adăugat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că puneți separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți în stânga jos. Numărul dublat din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_ × _ =" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți înmulțirea din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia dorită (numărul de zecimale ).

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată se găsește ca aria unui pătrat S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L pentru care L² = S.

   Dați o literă pentru fiecare cifră din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată necesară). B va fi a doua cifră, C va fi a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b - a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Înțelegeți relația dintre această metodă și diviziunea lungă. Ca și în operația de împărțire, în care de fiecare dată ne interesează doar o cifră următoare a numărului de împărțit, la calcularea rădăcinii pătrate, lucrăm secvențial cu o pereche de cifre (pentru a obține o cifră următoare în valoarea pătratului). rădăcină).

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți-i rădăcina pătrată.În acest caz, prima cifră A a valorii rădăcinii pătrate dorite va fi o astfel de cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că doriți să împărțiți 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului de dividend 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginează-ți un pătrat a cărui suprafață trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este S. A, B, C sunt cifre din numărul L. Îl poți scrie altfel: 10A + B = L (pentru un doi- număr de cifre) sau 100A + 10B + C = L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

      • Lăsa (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... Amintiți-vă că 10A + B este un număr în care B reprezintă unități și A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A = 1 și B = 2, atunci 10A + B este egal cu 12. (10A + B) ² este aria întregului pătrat, 100A²- aria pătratului interior mare, B²- aria pătratului interior mic, 10A × B este aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adăugând zonele formelor descrise, veți găsi aria pătratului original.

Ce este rădăcina pătrată?

Atenţie!
Sunt suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care sunt „foarte egali...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, aș spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Dacă există adunare, există și scădere. Există înmulțire - există și împărțire. Există o pătrare... Deci există extragerea rădăcinii pătrate! Asta e tot. Această acțiune ( extragerea rădăcinii pătrate) în matematică este notat cu această pictogramă:

Icoana în sine este numită un cuvânt frumos " radical".

Cum extragi rădăcina? Este mai bine să luați în considerare la exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Dar cât este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problema! Ce număr la pătrat dă zero? Da, dă zero în sine! Mijloace:

Au prins ce este radacina patrata? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; unu; 4; 9; 5.

Hotărât? Într-adevăr, este mult mai ușor?!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

Omul începe să tânjească... Nu crede în simplitatea și ușurința rădăcinilor. Deși, se pare, el știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că persoana a ignorat câteva puncte importante atunci când studia rădăcinile. Atunci aceste mofturi se răzbune crunt pe teste și examene...

Primul punct. Rădăcinile trebuie recunoscute din vedere!

Cât este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că șapte? Ai pătrat pe 7 și ai obținut 49? Dreapta! Te rog noteaza asta extrage rădăcina din 49 a trebuit să facem operația inversă - la pătratul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar fi putut rata...

Aceasta este dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrat orice număr se poate face fără prea multe probleme. Înmulțiți numărul cu el însuși într-o coloană - și asta este tot. Dar pentru extragerea rădăcinii nu există o tehnologie atât de simplă și fără probleme. Trebuie sa ridica răspundeți și verificați-l pentru pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs tine minte pătrate de numere populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6 - nu adunați de 4 de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul apare imediat 24. Deși, nu toți vin cu el, da...

Pentru o lucrare liberă și de succes cu rădăcini, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult Acoloși înapoi. Acestea. ar trebui să numiți cu ușurință ambele, de exemplu, 11 pătrat și rădăcina pătrată a lui 121. Există două moduri de a realiza această memorare. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acest lucru este grozav pentru rezolvarea exemplelor. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Acest lucru vă va ajuta foarte mult să vă amintiți tabelul cu pătrate.

Și fără calculatoare! Numai în scopuri de verificare. În caz contrar, vei încetini fără milă examenul...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că este de înțeles. Acum haideți să aflăm DIN CE le puteți extrage.

Al doilea punct. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți obține rădăcini pătrate? Da, aproape orice. E mai ușor de înțeles ce este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm următoarea rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să alegeți un număr care la pătrat ne va da -4. Selectam.

Ce nu este selectat? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Deși știu astfel de numere. Dar nu vă spun). Du-te la facultate - vei afla singur.

Aceeași poveste va fi cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie cu un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. La fel de interzis ca împărțirea la zero. Amintiți-vă acest fapt în mod ironic! Sau, cu alte cuvinte:

Rădăcinile pătrate nu pot fi extrase din numere negative!

Dar din toate celelalte - poți. De exemplu, este foarte posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Ridicați fracții și pătrați-le... Nu vă faceți griji. Când ne ocupăm de proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple se vor reduce la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Ei bine, bine fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

Nimic în neregulă. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne va da doi. Doar numărul este complet inegal... Iată-l:

Interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere sunt numite iraționale. În rădăcinile pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional... Este clar că este incomod să scrii o astfel de fracție infinită tot timpul. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, în timp ce rezolvați exemplul, ajungeți cu ceva irecuperabil, cum ar fi:

apoi o lăsăm așa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar că sub pictograme

Desigur, dacă se extrage rădăcina numărului neted, trebuie sa o faci. Răspunsul la sarcină în formular, de exemplu

un răspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative pe de rost:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini dificile.

Al treilea punct. Cel mai viclean.

Principala confuzie în lucrul cu rădăcini este adusă de acest punct. El este cel care dă lipsa de încredere în propriile abilități... Să ne ocupăm de acest punct în mod corespunzător!

Pentru început, să luăm din nou rădăcina pătrată a patru dintre ele. Ce, te-am prins deja cu această rădăcină?) Nimic, acum va fi interesant!

Care este numărul din pătratul 4? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar la urma urmei minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect și răspunsul

greseala grosolana. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția unei rădăcini pătrate a patru minus doi este destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlar de matematică, se obișnuiește să se numere ca rădăcini pătrate. doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- aceasta nenegativ număr al cărui pătrat este A... Rezultatele negative la extragerea rădăcinii pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, toate rădăcinile pătrate sunt aritmetic... Deși nu este menționat în mod specific despre acest lucru.

Bine, e de înțeles. Este chiar mai bine să nu te deranjezi cu rezultatele negative... Aceasta nu este încă o confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (complet corect, de altfel) este doar o notație prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Puțin mai sus, am scris că rădăcina pătrată este un număr mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să scriem răspunsurile (doar pentru înțelegere!) Astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Am separat doar cu paranteze semne din rădăcină... Acum puteți vedea clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației... Într-adevăr, atunci când rezolvăm orice ecuație, trebuie să scriem toate x, care, atunci când este înlocuită în ecuația originală, va da rezultatul corect. Ecuația noastră se potrivește cu rădăcina lui cinci (pozitiv!) atât cu plus, cât și cu minus.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice, tu mereu obține unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați un fel de ecuație pătratică precum:

atunci mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că este soluția ecuației.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată cu punctele tale mici, te-ai dat seama. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt faddles și crusta subacvatică... scuze, pietre!)

Toate acestea sunt în următoarele lecții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Rădăcină n-a putere a unui număr natural A se numește un astfel de număr, n- al cărui grad este A... Rădăcina este desemnată după cum urmează:. Se numește simbolul √ semn rădăcină sau semn radical, număr A - numărul rădăcinii, n - exponent rădăcină.

Se numește acțiunea prin care se găsește rădăcina unui grad dat extragerea rădăcinilor.

Întrucât, conform definiției conceptului de rădăcină n- gradul

atunci extragerea rădăcinilor- acţiunea inversă de ridicare la o putere, cu ajutorul căreia, după un grad dat şi după un exponent dat, se află baza gradului.

Rădăcină pătrată

Rădăcina pătrată a unui număr A este un număr al cărui pătrat este egal cu A.

Acțiunea de a calcula rădăcina pătrată se numește rădăcină pătrată.

Extragerea rădăcinii pătrate- acțiunea inversă a pătrarii (sau ridicarea unui număr la a doua putere). La pătrat, numărul este cunoscut, trebuie să-i găsiți pătratul. La extragerea rădăcinii pătrate, pătratul numărului este cunoscut; este necesar să găsiți numărul însuși din acesta.

Prin urmare, pentru a verifica corectitudinea acțiunii efectuate, rădăcina găsită poate fi ridicată la a doua putere, iar dacă puterea este egală cu numărul radical, atunci rădăcina a fost găsită corect.

Să aruncăm o privire la extragerea unei rădăcini pătrate și să o verificăm cu un exemplu. Să calculăm sau (de obicei, exponentul rădăcinii cu valoarea 2 nu este scris, deoarece 2 este cel mai mic exponent și trebuie amintit că dacă nu există nici un exponent deasupra semnului rădăcinii, atunci exponentul 2 este implicit), pentru aceasta trebuie să găsim numărul, când îl ridicăm la secundă gradul va fi 49. Evident, acest număr este 7, deoarece

7 7 = 7 2 = 49.

Calcularea rădăcinii pătrate

Dacă numărul dat este 100 sau mai puțin, atunci rădăcina pătrată a acestuia poate fi calculată folosind tabelul înmulțirii. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 25 este 5, deoarece 5 5 = 25.

Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi rădăcina pătrată a oricărui număr fără a folosi un calculator. De exemplu, să luăm numărul 4489 și să începem să-l calculăm pas cu pas.

1. Să stabilim din ce biți ar trebui să conțină rădăcina necesară. Deoarece 10 2 = 10 10 = 100 și 100 2 = 100 100 = 10000, devine clar că rădăcina dorită trebuie să fie mai mare decât 10 și mai mică de 100, adică. constau din zeci și unități.
2. Aflați numărul de zeci de rădăcină. Din înmulțirea zecilor se obțin sute, în numărul nostru sunt 44, deci rădăcina ar trebui să conțină atât de multe zeci, încât pătratul zecilor să dea aproximativ 44 de sute. Prin urmare, la rădăcină ar trebui să fie 6 zeci, deoarece 60 2 = 3600 și 70 2 = 4900 (acest lucru este prea mult). Astfel, am aflat că rădăcina noastră conține 6 zeci și mai multe unități, deoarece este în intervalul de la 60 la 70.
3. Tabelul înmulțirii va ajuta la determinarea numărului de unități din rădăcină. Privind numărul 4489, vedem că ultima cifră din el este 9. Acum ne uităm la tabelul înmulțirii și vedem că 9 unități pot fi obținute doar când numerele 3 și 7 sunt la pătrat. Deci rădăcina numărului va fi 63 sau 67.
4. Verificăm numerele 63 și 67 pe care le-am primit punându-le la pătrat: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Să luăm în considerare acest algoritm prin exemplu. Găsi

primul pas. Împărțim numărul de sub rădăcină în două cifre fiecare (de la dreapta la stânga):

al 2-lea pas. Extragem rădăcina pătrată a primei fețe, adică din numărul 65, obținem numărul 8. Sub prima față scriem pătratul numărului 8 și scădem. Atribuim a doua fațetă restului (59):

(numărul 159 este primul rest).

al 3-lea pas. Dublam rădăcina găsită și scriem rezultatul în stânga:

al 4-lea pas. Separăm în restul (159) o cifră în dreapta, în stânga obținem numărul de zeci (este egal cu 15). Apoi împărțim 15 la prima cifră dublată a rădăcinii, adică la 16, deoarece 15 nu este divizibil cu 16, apoi în coeficient obținem zero, pe care îl scriem ca a doua cifră a rădăcinii. Deci, în coeficient, avem numărul 80, pe care îl dublem din nou și demolăm următoarea față

(numărul 15 901 este al doilea rest).

al 5-lea pas. Separați în al doilea rest o cifră din dreapta și împărțiți numărul rezultat 1590 la 160. Scrieți rezultatul (numărul 9) ca a treia cifră a rădăcinii și atribuiți-o numărului 160. Înmulțiți numărul rezultat 1609 cu 9 și găsiți următorul rest (1420):

Alte acțiuni sunt efectuate în secvența indicată în algoritm (rădăcina poate fi extrasă cu gradul de precizie necesar).

Cometariu. Dacă expresia radicală este o fracție zecimală, atunci partea sa întreagă este împărțită în două cifre de la dreapta la stânga, partea fracțională - două cifre de la stânga la dreapta, iar rădăcina este extrasă conform algoritmului specificat.

MATERIAL DIDACTIC

1. Extrageți rădăcina pătrată a numărului: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.