Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” demonstrează material educativ să stăpânească subiectul. În timpul lecției video sunt descrise materialul teoretic necesar formulării conceptului de ecuație a unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat, un algoritm pentru găsirea unei astfel de tangente și exemple de rezolvare a problemelor folosind materialul teoretic studiat. .
Tutorialul video folosește metode care îmbunătățesc claritatea materialului. Prezentarea conține desene, diagrame, comentarii vocale importante, animație, evidențiere și alte instrumente.
Lecția video începe cu o prezentare a subiectului lecției și o imagine a unei tangente la graficul unei funcții y=f(x) în punctul M(a;f(a)). Se știe că coeficientul unghiular al tangentei trasate la grafic într-un punct dat este egal cu derivata funcției f΄(a) în acest punct. Tot din cursul de algebră cunoaștem ecuația dreptei y=kx+m. Schematic este prezentată soluția problemei găsirii ecuației tangentei într-un punct, ceea ce se reduce la găsirea coeficienților k, m. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând graficului funcției, putem găsi m substituind valoarea coordonatei în ecuația tangentei f(a)=ka+m. Din el găsim m=f(a)-ka. Astfel, cunoscând valoarea derivatei într-un punct dat și coordonatele punctului, putem reprezenta ecuația tangentei în acest fel y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Următorul este un exemplu de compunere a unei ecuații tangente după diagramă. Având în vedere funcția y=x 2 , x=-2. Luând a=-2, găsim valoarea funcției la un punct dat f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinăm derivata funcției f΄(x)=2x. În acest moment, derivata este egală cu f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pentru alcătuirea ecuației s-au găsit toți coeficienții a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, deci ecuația tangentei este y=4+(-4)(x+2). Simplificand ecuația, obținem y = -4-4x.
Următorul exemplu sugerează construirea unei ecuații pentru tangenta de la origine la graficul funcției y=tgx. La un punct dat a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Deci ecuația tangentei arată ca y=x.
Ca o generalizare, procesul de alcătuire a unei ecuații tangente la graficul unei funcții la un anumit punct este formalizat sub forma unui algoritm format din 4 pași:
- Introduceți denumirea a pentru abscisa punctului tangent;
- f(a) se calculează;
- Se determină f΄(x) și se calculează f΄(a). Valorile găsite ale lui a, f(a), f΄(a) sunt substituite în formula ecuației tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Exemplul 1 are în vedere alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y=1/x în punctul x=1. Pentru a rezolva problema folosim un algoritm. Pentru o funcție dată la punctul a=1, valoarea funcției f(a)=-1. Derivată a funcției f΄(x)=1/x 2. La punctul a=1 derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Cu ajutorul datelor obținute se întocmește ecuația tangentei y=-1+(x-1), sau y=x-2.
În exemplul 2, este necesar să găsim ecuația tangentei la graficul funcției y=x 3 +3x 2 -2x-2. Condiția principală este paralelismul tangentei și dreptei y=-2x+1. În primul rând, găsim coeficientul unghiular al tangentei, egal cu coeficientul unghiular al dreptei y=-2x+1. Deoarece f΄(a)=-2 pentru o linie dată, atunci k=-2 pentru tangenta dorită. Găsim derivata funcției (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Știind că f΄(a)=-2, găsim coordonatele punctului 3a 2 +6a-2=-2. După ce am rezolvat ecuația, obținem un 1 =0 și 2 =-2. Folosind coordonatele găsite, puteți găsi ecuația tangentei folosind un algoritm binecunoscut. Găsim valoarea funcției în punctele f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Valoarea derivatei în punctul f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituind valorile găsite în ecuația tangentei, obținem pentru primul punct a 1 =0 y=-2x-2, iar pentru al doilea punct a 2 =-2 ecuația tangentei y=-2x-22.
Exemplul 3 descrie compoziția ecuației tangentei pentru trasarea acesteia în punctul (0;3) la graficul funcției y=√x. Rezolvarea se face folosind un algoritm binecunoscut. Punctul tangent are coordonatele x=a, unde a>0. Valoarea funcției în punctul f(a)=√x. Derivata funcției f΄(х)=1/2√х, deci la un punct dat f΄(а)=1/2√а. Înlocuind toate valorile obținute în ecuația tangentei, obținem y = √a + (x-a)/2√a. Transformând ecuația, obținem y=x/2√а+√а/2. Știind că tangenta trece prin punctul (0;3), găsim valoarea lui a. Găsim a de la 3=√a/2. Prin urmare √a=6, a=36. Găsim ecuația tangentei y=x/12+3. Figura prezintă graficul funcției luate în considerare și tangenta dorită construită.
Elevilor li se reamintesc egalitățile aproximative Δy=≈f΄(x)Δx și f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Luând x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obținem f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deci f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
În exemplul 4, este necesar să găsim valoarea aproximativă a expresiei 2.003 6. Deoarece este necesar să găsim valoarea funcției f(x) = x 6 în punctul x = 2,003, putem folosi formula binecunoscuta, luând f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivată în punctul f΄(2)=192. Prin urmare, 2,003 6 ≈65-192·0,003. După ce am calculat expresia, obținem 2,003 6 ≈64,576.
Lecția video „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții” este recomandată pentru utilizare într-o lecție tradițională de matematică la școală. Pentru un profesor care predă de la distanță, materialul video va ajuta la explicarea subiectului mai clar. Videoclipul poate fi recomandat studenților să-l revizuiască independent, dacă este necesar, pentru a-și aprofunda înțelegerea subiectului.
DECODIFICAREA TEXTULUI:
Știm că dacă un punct M (a; f(a)) (em cu coordonatele a și ef din a) aparține graficului funcției y = f (x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe abscisa axei, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a) (eff prim din a).
Să fie date o funcție y = f(x) și un punct M (a; f(a)) și se știe de asemenea că f´(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul unei funcții date la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m (y este egal cu ka x plus em), deci sarcina este de a găsi valorile lui coeficienții k și m. (ka și em)
Coeficientul unghiului k= f"(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)). Aceasta înseamnă că dacă înlocuim coordonatele lui punctul M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă : f(a) = ka+m, de unde aflăm că m = f(a) - ka.
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților ki și m în ecuația dreptei:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(A)+ f"(A) (X- A). ( y este egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu x minus a).
Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.
Dacă, să spunem, y = x 2 și x = -2 (adică a = -2), atunci f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, ceea ce înseamnă f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (atunci ef a lui a este egal cu patru, ef a primului lui x este egal cu doi x, ceea ce înseamnă ef prim din a este egal cu minus patru)
Înlocuind valorile găsite a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 în ecuație, obținem: y = 4+(-4)(x+2), adică y = -4x -4.
(E este egal cu minus patru x minus patru)
Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tgx(greacă egal cu tangenta x) la origine. Avem: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , ceea ce înseamnă f"(0) = l. Înlocuind valorile găsite a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 în ecuație, obținem: y=x.
Să rezumam pașii noștri în găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții în punctul x folosind un algoritm.
ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFUL FUNCTIEI y = f(x):
1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2) Calculați f(a).
3) Aflați f´(x) și calculați f´(a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f´(a) în formulă y= f(A)+ f"(A) (X- A).
Exemplul 1. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = - in
punctul x = 1.
Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Înlocuiți cele trei numere găsite: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 în formula. Se obține: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Răspuns: y = x-2.
Exemplul 2. Având în vedere funcția y = x 3 +3x 2 -2x-2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x), paralelă cu dreapta y = -2x +1.
Folosind algoritmul de alcătuire a ecuației tangentei, ținem cont că în acest exemplu f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, dar abscisa punctului tangent nu este indicată aici.
Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = -2x+1. Și liniile paralele au coeficienți unghiulari egali. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: k tangentă. = -2. Hok cas. = f"(a). Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f ´(a) = -2.
Să găsim derivata funcției y=f(X):
f"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f„(a)= 3a 2 +6a-2.
Din ecuația f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 găsim a 1 =0, a 2 =-2. Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 0, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți urma algoritmul.
1) a 1 =0 și 2 =-2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Înlocuind valorile a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 în formulă, obținem:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Înlocuind valorile a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 în formula, obținem:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Răspuns: y=-2x-2, y=-2x+2.
Exemplul 3. Din punctul (0; 3) trageți o tangentă la graficul funcției y = . Soluţie. Sa folosim algoritmul de alcatuire a ecuatiei tangentei, tinand cont ca in acest exemplu f(x) = . Rețineți că aici, ca în exemplul 2, abscisa punctului tangent nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.
1) Fie x = a abscisa punctului de tangență; este clar că un >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Înlocuind valorile lui a, f(a) = , f"(a) = în formula
y=f (a) +f "(a) (x-a), primim:
Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 3). Înlocuind valorile x = 0, y = 3 în ecuație, obținem: 3 = , iar apoi =6, a =36.
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =36 în ecuație, obținem: y=+3
În fig. Figura 1 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: se construiește un grafic al funcției y =, se trasează o linie dreaptă y = +3.
Răspuns: y = +3.
Știm că pentru o funcție y = f(x), care are o derivată în punctul x, egalitatea aproximativă este valabilă: Δyf´(x)Δx (delta y este aproximativ egal cu eff prim al lui x înmulțit cu delta x)
sau, mai detaliat, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff din x plus delta x minus ef din x este aproximativ egal cu ef prim din x prin delta x).
Pentru comoditatea discuțiilor ulterioare, să schimbăm notația:
în loc de x vom scrie A,
în loc de x+Δx vom scrie x
În loc de Δx vom scrie x-a.
Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff din x este aproximativ egal cu ef dintr-un plus ef prim din a, înmulțit cu diferența dintre x și a).
Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 2.003 6.
Soluţie. Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 6 în punctul x = 2,003. Să folosim formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ținând cont că în acest exemplu f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 și, prin urmare, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Ca rezultat obținem:
2,003 6 64+192· 0,003, i.e. 2,003 6 =64,576.
Dacă folosim un calculator, obținem:
2,003 6 = 64,5781643...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Articolul oferă o explicație detaliată a definițiilor, semnificația geometrică a derivatei cu notații grafice. Ecuația unei linii tangente va fi luată în considerare cu exemple, se vor găsi ecuațiile unei tangente la curbele de ordinul 2.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1
Unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b se numește unghi α, care se măsoară de la direcția pozitivă a axei x la dreapta y = k x + b în direcția pozitivă.
În figură, direcția x este indicată printr-o săgeată verde și un arc verde, iar unghiul de înclinare printr-un arc roșu. Linia albastră se referă la linia dreaptă.
Definiția 2
Panta dreptei y = k x + b se numește coeficient numeric k.
Coeficientul unghiular este egal cu tangentei dreptei, cu alte cuvinte k = t g α.
- Unghiul de înclinare al unei drepte este egal cu 0 numai dacă este paralelă în jurul lui x și panta este egală cu zero, deoarece tangenta lui zero este egală cu 0. Aceasta înseamnă că forma ecuației va fi y = b.
- Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este acut, atunci condițiile 0 sunt îndeplinite< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 și există o creștere a graficului.
- Dacă α = π 2, atunci locația dreptei este perpendiculară pe x. Egalitatea este specificată de x = c, valoarea c fiind un număr real.
- Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este obtuz, atunci corespunde condițiilor π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
O secantă este o dreaptă care trece prin 2 puncte ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, o secanta este o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte din graficul unei anumite funcții.
Figura arată că A B este o secante, iar f (x) este o curbă neagră, α este un arc roșu, indicând unghiul de înclinare al secantei.
Când coeficientul unghiular al unei drepte este egal cu tangenta unghiului de înclinare, este clar că tangenta unui triunghi dreptunghic A B C poate fi găsită prin raportul laturii opuse față de cea adiacentă.
Definiția 4
Obținem o formulă pentru găsirea unei secante de forma:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, unde abscisele punctelor A și B sunt valorile x A, x B și f (x A), f (x B) sunt funcțiile de valori în aceste puncte.
Evident, coeficientul unghiular al secantei este determinat folosind egalitatea k = f (x B) - f (x A) x B - x A sau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , iar ecuația trebuie scrisă ca y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) sau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Secanta împarte graficul vizual în 3 părți: la stânga punctului A, de la A la B, la dreapta lui B. Figura de mai jos arată că există trei secante care sunt considerate coincidente, adică sunt stabilite folosind un ecuație similară.
Prin definiție, este clar că o linie dreaptă și secanta ei în în acest caz, se potrivesc.
O secanta poate intersecta graficul unei funcții date de mai multe ori. Dacă există o ecuație de forma y = 0 pentru o secantă, atunci numărul de puncte de intersecție cu sinusoida este infinit.
Definiția 5
Tangenta la graficul functiei f (x) in punctul x 0 ; f (x 0) este o dreaptă care trece printr-un punct dat x 0; f (x 0), cu prezența unui segment care are multe valori x apropiate de x 0.
Exemplul 1
Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de mai jos. Atunci este clar că linia definită de funcția y = x + 1 este considerată tangentă la y = 2 x în punctul cu coordonatele (1; 2). Pentru claritate, este necesar să luați în considerare graficele cu valori apropiate de (1; 2). Funcția y = 2 x este afișată cu negru, linia albastră este linia tangentă, iar punctul roșu este punctul de intersecție.
Evident, y = 2 x se îmbină cu linia y = x + 1.
Pentru a determina tangentei, ar trebui să luăm în considerare comportamentul tangentei A B pe măsură ce punctul B se apropie la infinit de punctul A. Pentru claritate, prezentăm un desen.
Secanta A B, indicată de linia albastră, tinde spre poziția tangentei însăși, iar unghiul de înclinare al secantei α va începe să tinde spre unghiul de înclinare al tangentei însăși α x.
Definiția 6
Tangenta la graficul funcției y = f (x) în punctul A este considerată a fi poziția limită a secantei A B, deoarece B tinde spre A, adică B → A.
Acum să trecem la considerarea semnificației geometrice a derivatei unei funcții într-un punct.
Să trecem la considerarea secantei A B pentru funcția f (x), unde A și B cu coordonatele x 0, f (x 0) și x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) și ∆ x este notat ca increment al argumentului . Acum funcția va lua forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pentru claritate, să dăm un exemplu de desen.
Să luăm în considerare rezultatul triunghi dreptunghic A B C. Folosim definiția tangentei pentru a rezolva, adică obținem relația ∆ y ∆ x = t g α . Din definiția unei tangente rezultă că lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Conform regulii derivatei într-un punct, avem că derivata f (x) în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, unde ∆ x → 0 , atunci o notăm f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Rezultă că f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, unde k x este notat ca panta tangentei.
Adică, constatăm că f' (x) poate exista în punctul x 0, și ca tangente la un grafic dat al funcției în punctul de tangență egal cu x 0, f 0 (x 0), unde valoarea lui panta tangentei în punctul este egală cu derivata în punctul x 0 . Atunci obținem că k x = f " (x 0) .
Sensul geometric derivată a unei funcții într-un punct este că este dat conceptul existenței unei tangente la graficul în același punct.
Pentru a scrie ecuația oricărei drepte pe un plan, este necesar să existe un coeficient unghiular cu punctul prin care trece. Notația sa este considerată x 0 la intersecție.
Ecuația tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul x 0, f 0 (x 0) ia forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Aceasta înseamnă că valoarea finală a derivatei f „(x 0) poate determina poziția tangentei, adică pe verticală, cu condiția lim x → x 0 + 0 f „(x) = ∞ și lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ sau absență deloc în condiția lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Locația tangentei depinde de valoarea coeficientului ei unghiular k x = f "(x 0). Când este paralelă cu axa o x, obținem că k k = 0, când paralel cu o y - k x = ∞ și forma ecuația tangentă x = x 0 crește cu k x > 0, scade pe măsură ce k x< 0 .
Exemplul 2
Alcătuiți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 în punctul cu coordonatele (1; 3) și determinați unghiul de înclinare.
Soluţie
Prin condiție, avem că funcția este definită pentru toate numerele reale. Constatăm că punctul cu coordonatele specificate de condiția, (1; 3) este un punct de tangență, atunci x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Este necesar să găsiți derivata în punctul cu valoarea - 1. Înțelegem asta
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Valoarea lui f' (x) în punctul de tangență este panta tangentei, care este egală cu tangentei pantei.
Atunci k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Rezultă că α x = a r c t g 3 3 = π 6
Răspuns: ecuația tangentei ia forma
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Pentru claritate, dăm un exemplu într-o ilustrație grafică.
Culoarea neagră este folosită pentru graficul funcției originale, culoarea albastră este imaginea tangentei, iar punctul roșu este punctul de tangență. Figura din dreapta arată o vedere mărită.
Exemplul 3
Determinați existența unei tangente la graficul unei funcții date
y = 3 · x - 1 5 + 1 în punctul cu coordonatele (1 ; 1) . Scrieți o ecuație și determinați unghiul de înclinare.
Soluţie
Prin condiție, avem că domeniul de definire al unei funcții date este considerat a fi mulțimea tuturor numerelor reale.
Să trecem la găsirea derivatei
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Dacă x 0 = 1, atunci f' (x) este nedefinit, dar limitele sunt scrise ca lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ și lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ceea ce înseamnă existența tangentă verticală în punctul (1; 1).
Răspuns: ecuația va lua forma x = 1, unde unghiul de înclinare va fi egal cu π 2.
Pentru claritate, să-l descriem grafic.
Exemplul 4
Aflați punctele de pe graficul funcției y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, unde
- Nu există tangentă;
- Tangenta este paralelă cu x;
- Tangenta este paralelă cu dreapta y = 8 5 x + 4.
Soluţie
Este necesar să se acorde atenție domeniului de aplicare al definiției. Prin condiție, avem că funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Extindem modulul și rezolvăm sistemul cu intervale x ∈ - ∞ ; 2 şi [-2; + ∞). Înțelegem asta
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Este necesar să se diferențieze funcția. Avem asta
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Când x = − 2, atunci derivata nu există deoarece limitele unilaterale nu sunt egale în acel punct:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Calculăm valoarea funcției în punctul x = - 2, de unde obținem asta
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, adică tangenta în punctul ( - 2; - 2) nu va exista.
- Tangenta este paralelă cu x când panta este zero. Atunci k x = t g α x = f "(x 0). Adică, este necesar să se găsească valorile unui astfel de x atunci când derivata funcției o transformă la zero. Adică, valorile lui f ' (x) vor fi punctele de tangență, unde tangenta este paralelă cu x .
Când x ∈ - ∞ ; - 2, atunci - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, iar pentru x ∈ (- 2; + ∞) obținem 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Calculați valorile funcției corespunzătoare
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Prin urmare - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sunt considerate a fi punctele necesare ale graficului funcției.
Sa luam in considerare imagine grafică solutii.
Linia neagră este graficul funcției, punctele roșii sunt punctele de tangență.
- Când liniile sunt paralele, coeficienții unghiulari sunt egali. Apoi este necesar să căutați puncte pe graficul funcției unde panta va fi egală cu valoarea 8 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație de forma y "(x) = 8 5. Atunci, dacă x ∈ - ∞; - 2, obținem că - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, iar dacă x ∈ ( - 2 ; + ∞), atunci 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Prima ecuație nu are rădăcini, deoarece discriminantul mai putin de zero. Să scriem asta
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
O altă ecuație are două rădăcini reale, deci
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Să trecem la găsirea valorilor funcției. Înțelegem asta
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Puncte cu valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sunt punctele în care tangentele sunt paralele cu dreapta y = 8 5 x + 4.
Răspuns: linie neagră – graficul funcției, linie roșie – graficul lui y = 8 5 x + 4, linie albastră – tangente în puncte - 1; 4 15, 5; 8 3.
Poate exista un număr infinit de tangente pentru funcții date.
Exemplul 5
Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor disponibile ale funcției y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, care sunt situate perpendicular pe dreapta y = - 2 x + 1 2.
Soluţie
Pentru a compila ecuația tangentei, este necesar să se găsească coeficientul și coordonatele punctului tangente, pe baza condiției de perpendicularitate a dreptelor. Definiția este următoarea: produsul coeficienților unghiulari care sunt perpendiculari pe liniile drepte este egal cu - 1, adică scris ca k x · k ⊥ = - 1. Din condiția avem că coeficientul unghiular este situat perpendicular pe dreapta și este egal cu k ⊥ = - 2, atunci k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Acum trebuie să găsiți coordonatele punctelor de atingere. Trebuie să găsiți x și apoi valoarea lui pentru o funcție dată. Rețineți că din sensul geometric al derivatei la punct
x 0 obținem că k x = y "(x 0). Din această egalitate găsim valorile lui x pentru punctele de contact.
Înțelegem asta
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Această ecuație trigonometrică va fi folosită pentru a calcula ordonatele punctelor tangente.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk sau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z este o mulțime de numere întregi.
au fost găsite x puncte de contact. Acum trebuie să treceți la căutarea valorilor lui y:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 sau y 0 = - 4 5 + 1 3
Din aceasta obținem că 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sunt punctele de tangență.
Răspuns: ecuaţiile necesare se vor scrie ca
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Pentru o reprezentare vizuală, luați în considerare o funcție și o tangentă pe o dreaptă de coordonate.
Figura arată că funcţia este situată pe intervalul [ - 10 ; 10 ], unde linia neagră este graficul funcției, liniile albastre sunt tangente, care sunt situate perpendicular pe dreapta dată de forma y = - 2 x + 1 2. Punctele roșii sunt puncte de atingere.
Ecuațiile canonice ale curbelor de ordinul 2 nu sunt funcții cu o singură valoare. Ecuațiile tangente pentru ele sunt compilate conform schemelor cunoscute.
Tangent la un cerc
A defini un cerc cu centru în punctul x c e n t e r ; y c e n t e r şi raza R, aplicaţi formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Această egalitate poate fi scrisă ca o unire a două funcții:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Prima funcție este situată în partea de sus, iar a doua în partea de jos, așa cum se arată în figură.
Pentru a compila ecuația unui cerc în punctul x 0; y 0 , care este situat în semicercul superior sau inferior, ar trebui să găsiți ecuația graficului unei funcții de forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r la punctul indicat.
Când în punctele x c e n t e r ; y c e n t e r + R și x ce n t e r ; y c e n t e r - R tangente pot fi date de ecuațiile y = y c e n t e r + R și y = y c e n t e r - R , iar în punctele x c e n t e r + R ; y c e n t e r şi
x c e n t e r - R ; y c e n t e r va fi paralel cu o y, atunci obținem ecuații de forma x = x c e n t e r + R și x = x c e n t e r - R .
Tangent la o elipsă
Când elipsa are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r cu semiaxele a și b, atunci poate fi specificat folosind ecuația x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.
O elipsă și un cerc pot fi notate prin combinarea a două funcții, și anume semielipsa superioară și inferioară. Atunci obținem asta
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Dacă tangentele sunt situate la vârfurile elipsei, atunci ele sunt paralele cu x sau despre y. Mai jos, pentru claritate, luați în considerare figura.
Exemplul 6
Scrieți ecuația tangentei la elipsa x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 în punctele cu valorile lui x egale cu x = 2.
Soluţie
Este necesar să găsiți punctele tangente care corespund valorii x = 2. Substituim în ecuația existentă a elipsei și aflăm că
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Apoi 2; 5 3 2 + 5 și 2; - 5 3 2 + 5 sunt punctele tangente care aparțin semielipsei superioare și inferioare.
Să trecem la găsirea și rezolvarea ecuației elipsei în raport cu y. Înțelegem asta
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Evident, semielipsa superioară este specificată folosind o funcție de forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, iar jumătatea inferioară y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Să aplicăm un algoritm standard pentru a crea o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții într-un punct. Să scriem că ecuația pentru prima tangentă la punctul 2; 5 3 2 + 5 vor arăta ca
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Constatăm că ecuația celei de-a doua tangente cu o valoare în punct
2; - 5 3 2 + 5 ia forma
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Grafic, tangentele sunt desemnate după cum urmează:
Tangenta la hiperbola
Când o hiperbolă are un centru în x c e n t e r ; y c e n t e r şi vârfuri x c e n t e r + α ; y c e n t e r şi x c e n t e r - α ; y c e n t e r , are loc inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, dacă cu vârfuri x c e n t e r ; y c e n t e r + b și x c e n t e r ; y c e n t e r - b , atunci este specificat folosind inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
O hiperbolă poate fi reprezentată ca două funcții combinate ale formei
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r sau y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e · r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
În primul caz avem că tangentele sunt paralele cu y, iar în al doilea sunt paralele cu x.
Rezultă că pentru a găsi ecuația tangentei la o hiperbolă este necesar să aflăm cărei funcție îi aparține punctul de tangență. Pentru a determina acest lucru, este necesar să se substituie în ecuații și să se verifice identitatea.
Exemplul 7
Scrieți o ecuație pentru tangentei la hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 la punctul 7; - 3 3 - 3 .
Soluţie
Este necesar să se transforme înregistrarea soluției pentru găsirea unei hiperbole folosind 2 funcții. Înțelegem asta
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 și y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Este necesar să se identifice cărei funcție îi aparține un punct dat cu coordonatele 7; - 3 3 - 3 .
Evident, pentru a verifica prima funcție este necesar y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, atunci punctul nu aparține graficului, întrucât egalitatea nu se menține.
Pentru a doua funcție avem că y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ceea ce înseamnă că punctul aparține graficului dat. De aici ar trebui să găsiți panta.
Înțelegem asta
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Răspuns: ecuaţia tangentei poate fi reprezentată ca
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Este clar descris astfel:
Tangent la o parabolă
Pentru a crea o ecuație pentru tangenta la parabola y = a x 2 + b x + c în punctul x 0, y (x 0), trebuie să utilizați un algoritm standard, apoi ecuația va lua forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). O astfel de tangentă la vârf este paralelă cu x.
Ar trebui să definiți parabola x = a y 2 + b y + c ca uniunea a două funcții. Prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația pentru y. Înțelegem asta
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Înfățișat grafic ca:
Pentru a afla dacă un punct x 0, y (x 0) aparține unei funcții, procedați ușor conform algoritmului standard. O astfel de tangentă va fi paralelă cu o y față de parabolă.
Exemplul 8
Scrieți ecuația tangentei la graficul x - 2 y 2 - 5 y + 3 când avem un unghi de tangentă de 150 °.
Soluţie
Începem soluția reprezentând parabola ca două funcții. Înțelegem asta
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Valoarea pantei este egală cu valoarea derivatei în punctul x 0 al acestei funcții și este egală cu tangentei unghiului de înclinare.
Primim:
k x = y „(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
De aici determinăm valoarea x pentru punctele de contact.
Prima funcție va fi scrisă ca
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Evident, nu există rădăcini reale, deoarece am primit o valoare negativă. Concluzionăm că nu există o tangentă cu un unghi de 150° pentru o astfel de funcție.
A doua funcție va fi scrisă ca
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Avem că punctele de contact sunt 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Răspuns: ecuația tangentei ia forma
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Să o reprezentăm grafic astfel:
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a). Avem deja folosit aceasta de mai multe ori. De exemplu, în § 33 s-a stabilit că graficul funcției y = sin x (sinusoid) la origine formează un unghi de 45° cu axa x (mai precis, tangenta la graficul de la origine formează un unghi de 45° cu direcția pozitivă a axei x), iar în exemplul 5 § 33 de puncte au fost găsite în programul dat funcții, în care tangenta este paralelă cu axa x. În exemplul 2 din § 33, s-a întocmit o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = x 2 în punctul x = 1 (mai precis, la punctul (1; 1), dar mai des doar valoarea abscisei este indicat, crezând că dacă se cunoaște valoarea abscisei, atunci valoarea ordonatei poate fi găsită din ecuația y = f(x)). În această secțiune vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații tangente la graficul oricărei funcții.
Să fie date funcția y = f(x) și punctul M (a; f(a)) și se știe, de asemenea, că f"(a) există. Să compunem o ecuație pentru tangenta la graficul unui funcție dată la un punct dat. Această ecuație este ca ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor are forma y = kx+m, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și m.
Nu există probleme cu coeficientul unghiular k: știm că k = f "(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)) Aceasta înseamnă că dacă înlocuim punctul de coordonate M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă: f(a) = ka+m, din care aflăm că m = f(a) - ka.
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților kit-ului în ecuația Drept:
Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.
Dacă, să zicem,
Înlocuind valorile găsite a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 în ecuația (1), obținem: y = 1+2(x-f), adică y = 2x-1.
Comparați acest rezultat cu cel obținut în exemplul 2 din § 33. Desigur, același lucru s-a întâmplat.
Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tan x la origine. Avem: 
aceasta înseamnă cos x f"(0) = 1. Înlocuind valorile găsite a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 în ecuația (1), obținem: y = x.
De aceea am trasat tangentoidul în § 15 (vezi Fig. 62) prin originea coordonatelor la un unghi de 45° față de axa absciselor.
Când am rezolvat aceste exemple destul de simple, am folosit de fapt un anumit algoritm, care este conținut în formula (1). Să explicăm acest algoritm.
ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFICUL FUNCTIEI y = f(x)
1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2) Calculați 1 (a).
3) Aflați f"(x) și calculați f"(a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), (a) în formula (1).
Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul x = 1.
Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu
În fig. 126 este reprezentată o hiperbolă, se construiește o linie dreaptă y = 2.
Desenul confirmă calculele de mai sus: într-adevăr, linia y = 2 atinge hiperbola în punctul (1; 1).
Răspuns: y = 2- x.
Exemplul 2. Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta y = 4x - 5.
Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Acest lucru este logic, deoarece dacă o persoană a fost capabilă să creeze o ecuație pentru o tangentă, atunci este puțin probabil să aibă dificultăți în construirea unei linii drepte pe planul de coordonate folosind ecuația acesteia.
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont de faptul că în acest exemplu Dar, spre deosebire de exemplul anterior, există o ambiguitate: abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit.
Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = 4x-5. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: 
Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f"(a) = 4.
Avem: 
Din ecuație Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți urma algoritmul.
Exemplul 3. Din punctul (0; 1) trageți o tangentă la graficul funcției
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont că în acest exemplu, Rețineți că aici, ca și în exemplul 2, abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.
Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 1). Înlocuind valorile x = 0, y = 1 în ecuația (2), obținem: 
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =4 în ecuația (2), obținem:
În fig. 127 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: este trasat un grafic al funcției
În § 32 am observat că pentru o funcție y = f(x) având o derivată la un punct fix x, egalitatea aproximativă este valabilă:
Pentru comoditatea unui raționament suplimentar, să schimbăm notația: în loc de x vom scrie a, în loc de x, și, în consecință, în loc de x-a. Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:
Acum uitați-vă la fig. 128. Se trasează o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M (a; f (a)). Punctul x este marcat pe axa x aproape de a. Este clar că f(x) este ordonata graficului funcției în punctul x specificat. Ce este f(a) + f"(a) (x-a)? Aceasta este ordonata tangentei corespunzătoare aceluiași punct x - vezi formula (1). Care este sensul egalității aproximative (3)? Faptul că Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției, luați valoarea ordonată a tangentei.
Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 1,02 7.
Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 7 în punctul x = 1,02. Să folosim formula (3), ținând cont de faptul că în acest exemplu
Ca rezultat obținem:
Dacă folosim un calculator, obținem: 1,02 7 = 1,148685667...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Răspuns: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a
Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală
Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrateInstrucțiuni
Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).
Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.
Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.
Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a”.
Luați ecuația tangentei generale, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a) și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f "(a) în ea. Ca rezultat, soluția graficului va fi găsită și tangentă.
Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceasta, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.
Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții, la coordonatele din punctul „a”. Înlocuiți valoarea corespunzătoare în ecuația tangentei și rezolvați funcția.
Să fie dată o funcție f, care la un punct x 0 are o derivată finită f (x 0). Atunci linia dreaptă care trece prin punctul (x 0 ; f (x 0)), având un coeficient unghiular f ’(x 0), se numește tangentă.
Ce se întâmplă dacă derivata nu există în punctul x 0? Există două opțiuni:
- Nu există nici tangentă la grafic. Exemplu clasic- funcția y = |x | în punctul (0; 0).
- Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π /2).
Ecuația tangentei
Orice dreaptă neverticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Tangenta nu face excepție și pentru a-și crea ecuația la un punct x 0 este suficient să cunoaștem valoarea funcției și derivata în acest punct.
Deci, să fie dată o funcție y = f (x), care are o derivată y = f ’(x) pe segment. Atunci în orice punct x 0 ∈ (a ; b) se poate trasa o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Aici f ’(x 0) este valoarea derivatei în punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.
Sarcină. Având în vedere funcția y = x 3 . Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 2.
Ecuație tangentă: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punctul x 0 = 2 ne este dat, dar valorile f (x 0) și f ’(x 0) vor trebui calculate.
Mai întâi, să găsim valoarea funcției. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum să găsim derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Inlocuim x 0 = 2 in derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
În total obținem: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Aceasta este ecuația tangentei.
Sarcină. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f (x) = 2sin x + 5 în punctul x 0 = π /2.
De data aceasta nu vom descrie fiecare acțiune în detaliu - vom indica doar pașii cheie. Avem:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Ecuația tangentei:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
În acest din urmă caz, linia dreaptă s-a dovedit a fi orizontală, deoarece coeficientul său unghiular k = 0. Nu este nimic greșit în asta - tocmai am dat peste un punct extremum.
Se încarcă...