O figură mărginită de graficul unei funcții nenegative continue $f(x)$ pe segmentul $$ și dreptele $y=0, \ x=a$ și $x=b$ se numește trapez curbiliniu.

Aria trapezului curbiliniu corespunzător se calculează cu formula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Vom împărți în mod condiționat problemele pentru a găsi aria unui trapez curbiliniu în tipuri de $4$. Să ne uităm la fiecare tip mai detaliat.

Tipul I: un trapez curbat este specificat în mod explicit. Apoi aplicați imediat formula (*).

De exemplu, găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=4-(x-2)^(2)$ și liniile $y=0, \ x=1$ și $x =3$.

Să desenăm acest trapez curbat.

Folosind formula (*), găsim aria acestui trapez curbiliniu.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).

Tipul II: se specifica implicit trapezul curbat.În acest caz, liniile drepte $x=a, \ x=b$ nu sunt de obicei specificate sau parțial specificate. În acest caz, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale funcțiilor $y=f(x)$ și $y=0$. Aceste puncte vor fi punctele $a$ și $b$.

De exemplu, găsiți aria unei figuri mărginite de graficele funcțiilor $y=1-x^(2)$ și $y=0$.

Să găsim punctele de intersecție. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile din dreapta ale funcțiilor.

Astfel, $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm acest trapez curbat.

Să găsim aria acestui trapez curbat.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).

Tipul III: aria unei figuri limitată de intersecția a două funcții continue nenegative. Această cifră nu va fi un trapez curbat, ceea ce înseamnă că nu puteți calcula aria sa folosind formula (*). Cum să fii? Se pare că aria acestei figuri poate fi găsită ca diferență între ariile trapezelor curbilinii mărginite de funcția superioară și $y=0$ ($S_(uf)$), și funcție inferioarăşi $y=0$ ($S_(lf)$), unde rolul lui $x=a, \ x=b$ este jucat de coordonatele $x$ ale punctelor de intersecţie ale acestor funcţii, adică.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Cel mai important lucru atunci când se calculează astfel de zone este să nu „rată” cu alegerea funcțiilor superioare și inferioare.

De exemplu, găsiți aria unei figuri delimitate de funcțiile $y=x^(2)$ și $y=x+6$.

Să găsim punctele de intersecție ale acestor grafice:

Conform teoremei lui Vieta,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Adică $a=-2,\b=3$. Să desenăm o figură:

Astfel, funcția de sus este $y=x+6$, iar funcția de jos este $y=x^(2)$. În continuare, găsim $S_(uf)$ și $S_(lf)$ folosind formula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unități$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unități$^(2)$).

Să înlocuim ceea ce am găsit în (**) și să obținem:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unități$^(2)$).

Tip IV: aria unei figuri delimitată de o funcție (funcții) care nu îndeplinește condiția de non-negativitate. Pentru a găsi aria unei astfel de figuri, trebuie să fiți simetric față de axa $Ox$ ( cu alte cuvinte, puneți „minusuri” în fața funcțiilor) afișați zona și, folosind metodele prezentate în tipurile I – III, găsiți zona zonei afișate. Această zonă va fi zona necesară. În primul rând, poate fi necesar să găsiți punctele de intersecție ale graficelor funcției.

De exemplu, găsiți aria unei figuri delimitate de graficele funcțiilor $y=x^(2)-1$ și $y=0$.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcției:

acestea. $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm zona.

Să arătăm zona simetric:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Rezultă un trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=1-x^(2)$ și $y=0$. Aceasta este o problemă pentru a găsi un trapez curbat de al doilea tip. Am rezolvat deja. Răspunsul a fost: $S= 1\frac(1)(3)$ (unități $^(2)$). Aceasta înseamnă că aria trapezului curbiliniu necesar este egală cu:

$S=1\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).

Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită

Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să mai spunem una fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egal cu suprafata trapezul curbat corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. În primul rând și cel mai important moment soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct, tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință.

Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi umbri trapezul curbat; aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. ÎN în acest caz,„prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbat complet situat sub ax, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine să nu utilizați această metodă, dacă este posibil.

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți functii elementare . Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment există vreo funcție continuă mai mare sau egal cu o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), si care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este caz special formule . Deoarece axa este specificată de ecuație și graficul funcției este situat sub axă, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a dat peste cap umilul tău servitor de mai multe ori. Aici caz real din viata:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Mai întâi să facem un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea că trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util deoarece calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct:

Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

Prin urmare, .

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne; calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.

Pentru a desena un desen punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general util de știut grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici; acestea decurg direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecție Integrale din funcții trigonometrice . Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.

(2) Folosiți elementul de bază identitate trigonometrică la fel de

(3) Să schimbăm variabila, apoi:

Noi domenii de integrare:

Oricine este cu adevărat rău cu înlocuirile, vă rugăm să ia o lecție. Metoda de înlocuire în integrală nedefinită . Pentru cei care nu prea înțeleg algoritmul de înlocuire într-o integrală definită, vizitați pagina Integrala definita. Exemple de soluții.

În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.

Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

Abilitatea de a realiza desene competente;
Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind renumită formulă Newton-Leibniz;
Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum va fi mai convenabil să efectuați integrarea într-un caz sau altul? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor unul cu celălalt și vedem dacă solutie grafica cu analitice.

3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Sa luam in considerare exemple diferite la găsirea ariei unei figuri folosind integrale.

3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În plus, această cifră nu este negativă și nu este situată sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Exemplul 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 – 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. Apoi, date drepte x = 1Și x = 3, care sunt paralele cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.

3.2. În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.

Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

În acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine din axă OH, Drept x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

Exemplul 1 . Calculați aria figurii delimitată de liniile: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi figura) Construim o dreaptă x + 2y – 4 = 0 folosind două puncte A(4;0) și B(0;2). Exprimând y prin x, obținem y = -0,5x + 2. Folosind formula (1), unde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, găsim

S = = [-0,25=11,25 sq. unitati

Exemplul 2. Calculați aria figurii delimitată de liniile: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 și y = 0.

Soluţie. Să construim figura.

Să construim o dreaptă x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C - de o linie dreaptă

Pentru triunghiul AMN avem: ; y = 0,5x + 2, adică f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, trebuie să calculați aria unui trapez curbat mărginit de parabola y = x 2 , linii drepte x = 2 și x = 3 și axa Ox (vezi figura) Utilizând formula (1) găsim aria trapezului curbiliniu

= = 6 mp. unitati

Exemplul 4. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - x 2 + 4 și y = 0

Să construim figura. Aria necesară este închisă între parabola y = - x 2 + 4 și axa Ox.

Să găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa Ox. Presupunând y = 0, găsim x = Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul obținut: = +4x]sq. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5. Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici trebuie să calculați aria unui trapez curbiliniu delimitat de ramura superioară a parabolei 2 = x, axa Ox și linii drepte x = 1 și x = 4 (vezi figura)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități pătrate.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Suprafața necesară este limitată de semi-undă a sinusoidei și de axa Ox (vezi figura).

Avem - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unitati

Exemplul 7. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - 6x, y = 0 și x = 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi figura).

Prin urmare, găsim aria sa folosind formula (3)

= =

Exemplul 8. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = și x = 2. Construiți curba y = din puncte (vezi figura). Astfel, găsim aria figurii folosind formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria cuprinsă de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc cu raza r cu centrul la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone luând limitele integrării de la 0

inainte de; avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10. Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y= x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y = x 2 iar dreapta y = 2x (vezi figura) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }