Trigonometride, birçok formülün çıkarılması ezberlemekten daha kolaydır. Çift açının kosinüsü harika bir formüldür! İndirgeme formüllerini ve yarım açı formüllerini almanızı sağlar.
Yani, çift açının kosinüsüne ve trigonometrik birimine ihtiyacımız var:
Hatta benzerler: bir çift açının kosinüs formülünde - kosinüs ve sinüs kareleri arasındaki fark ve trigonometrik birimde - bunların toplamı. Kosinüsü trigonometrik birimden ifade edersek:
ve onu çift açının kosinüsünde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
Bu, bir çift açının kosinüsü için başka bir formüldür:
Bu formül, indirgeme formülünü almanın anahtarıdır:
Dolayısıyla sinüsün derecesini düşürmenin formülü şudur:
İçinde alfa açısı yarı yarı yarıya alfa ile değiştirilirse ve iki alfa çift açısı alfa açısı ile değiştirilirse, sinüs için yarım açı formülünü alırız:
Şimdi trigonometrik birimden sinüsü ifade ediyoruz:
Bu ifadeyi bir çift açının kosinüsü formülünde değiştirin:
Çift açının kosinüsü için başka bir formülümüz var:
Bu formül, kosinüs için kosinüs azaltma ve yarım açı formülünü bulmanın anahtarıdır.
Böylece, kosinüs derecesini düşürme formülü şu şekildedir:
İçinde α'yı α/2 ve 2α'yı α ile değiştirirsek, kosinüs için yarım argüman formülünü elde ederiz:
Tanjant, sinüsün kosinüs oranına oranı olduğundan, tanjant formülü şöyledir:
Kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır. Yani kotanjant formülü:
Elbette trigonometrik ifadeleri sadeleştirme sürecinde her seferinde yarım açı formülleri çıkarmanın veya dereceyi düşürmenin bir anlamı yok. Önünüze bir formül sayfası koymak çok daha kolay. Ve sadeleştirme daha hızlı ilerleyecek ve ezberlemek için görsel hafıza açılacaktır.
Ancak yine de bu formülleri birkaç kez türetmeye değer. O zaman sınav sırasında kopya kağıdı kullanmanın bir yolu olmadığında, ihtiyaç duyulduğunda kolayca alabileceğinizden kesinlikle emin olacaksınız.
Sinüs değerleri [-1; 1], yani -1 ≤ sin α ≤ 1. Bu nedenle, eğer |a| > 1 ise, sin x = a denkleminin kökü yoktur. Örneğin, sin x = 2 denkleminin kökü yoktur.
Bazı görevlere dönelim.
sin x = 1/2 denklemini çözün.
Karar.
Sin x'in, Р (1; 0) noktasının orijin etrafındaki x açısı ile döndürülmesi sonucu elde edilen birim çember noktasının ordinatı olduğuna dikkat edin.
M 1 ve M 2 çemberinin iki noktasında ½'ye eşit bir ordinat mevcuttur.
1/2 \u003d sin π / 6 olduğundan, M 1 noktası, x 1 \u003d π / 6 açısının yanı sıra x \u003d π açılarından döndürülerek P (1; 0) noktasından elde edilir. / 6 + 2πk, burada k \u003d +/-1, +/-2, …
M 2 noktası, x 2 = 5π/6 açısı ve ayrıca x = 5π/6 + 2πk açıları boyunca dönmenin bir sonucu olarak P (1; 0) noktasından elde edilir, burada k = +/- 1, +/-2, ... , yani x = π – π/6 + 2πk açılarında, burada k = +/-1, +/-2, ….
Böylece, sin x = 1/2 denkleminin tüm kökleri, x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk formülleriyle bulunabilir, burada k € Z.
Bu formüller bir tanede birleştirilebilir: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, burada n € Z (1).
Gerçekten de, eğer n bir çift sayı ise, yani. n = 2k, o zaman formül (1)'den х = π/6 + 2πk elde ederiz ve n tek bir sayı ise, yani. n = 2k + 1, sonra formül (1)'den х = π – π/6 + 2πk elde ederiz.
Cevap. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, burada n € Z.
sin x = -1/2 denklemini çözün.
Karar.
-1/2 ordinatı M 1 ve M 2 birim çemberinin iki noktasına sahiptir, burada x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Bu nedenle, sin x = -1/2 denkleminin tüm kökleri, x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z formülleriyle bulunabilir.
Bu formülleri bir tanede birleştirebiliriz: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Gerçekten de, eğer n = 2k ise, o zaman formül (2) ile x = -π/6 + 2πk elde ederiz ve eğer n = 2k – 1 ise, o zaman formül (2) ile x = -5π/6 + 2πk buluruz.
Cevap. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Böylece, sin x = 1/2 ve sin x = -1/2 denklemlerinin her birinin sonsuz sayıda kökü vardır.
-π/2 ≤ x ≤ π/2 segmentinde, bu denklemlerin her birinin yalnızca bir kökü vardır:
x 1 \u003d π / 6 - sin x \u003d 1/2 ve x 1 \u003d -π / 6 denkleminin kökü - sin x \u003d -1/2 denkleminin kökü.
π/6 sayısına 1/2 sayısının arksinüsü denir ve şöyle yazılır: arcsin 1/2 = π/6; -π/6 sayısına -1/2 sayısının arksinüsü denir ve şöyle yazarlar: arksin (-1/2) = -π/6.
Genel olarak, -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 segmentinde -1 ≤ a ≤ 1 olan sin x \u003d a denkleminin yalnızca bir kökü vardır. a ≥ 0 ise, kök aralık içine alınır; Eğer bir< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Böylece, a € [–1; 1] böyle bir sayıya € [–π/2 denir; sinüsü a olan π/2].
arcsin a = α eğer sin α = a ve -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Örneğin, arcsin √2/2 = π/4, çünkü sin π/4 = √2/2 ve – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, çünkü günah (-π/3) = -√3/2 ve – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
1 ve 2. problemleri çözerken nasıl yapıldığına benzer şekilde, sin x = a denkleminin köklerinin |a| olduğu gösterilebilir. ≤ 1 formülle ifade edilir
x \u003d (-1) n arksin a + πn, n € Z (4).
Ayrıca herhangi bir € için [-1; 1] arcsin (-a) = -arcsin a formülü geçerlidir.
Formül (4)'ten denklemin köklerinin
sin x \u003d a için a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 daha basit formüller kullanılarak bulunabilir:
günah x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
günah x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
günah x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
|BD| - A noktasında ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.
teğet ( tga) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan, karşı ayağın uzunluğunun oranına |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .
kotanjant ( ctgα) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan, bitişik ayağın uzunluğunun oranına |AB| eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. karşı bacağın uzunluğuna |BC| .
Teğet
Neresi n- tüm.
Batı literatüründe teğet şu şekilde ifade edilir:
.
;
;
.
Tanjant fonksiyonunun grafiği, y = tg x
Kotanjant
Neresi n- tüm.
Batı literatüründe, kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki gösterim de kabul edilmiştir:
;
;
.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x
Tanjant ve kotanjantın özellikleri
periyodiklik
fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.
parite
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları tektir.
Tanım ve değer alanları, artan, azalan
Tanjant ve kotanjant işlevleri tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Tanjant ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( n- tamsayı).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Kapsam ve süreklilik | ||
| Değer aralığı | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| artan | - | |
| Azalan | - | |
| aşırılıklar | - | - |
| sıfırlar, y= 0 | ||
| y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0 | y= 0 | - |
formüller
Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler
;
;
;
;
;
Toplam ve farkın tanjantı ve kotanjantı için formüller
Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin
teğetlerin çarpımı
Teğetlerin toplamı ve farkı için formül
Bu tablo, argümanın bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir. 
Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler
Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler
;
;
türevler
; .
.
Fonksiyonun x değişkenine göre n. mertebenin türevi:
.
Tanjant için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >
integraller
Seri genişletmeler
Teğetin x'in kuvvetleriyle açılımını elde etmek için, fonksiyonlar için bir kuvvet serisindeki açılımın birkaç terimini almanız gerekir. günah x ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.
.
.
nerede ben- Bernoulli sayıları. Bunlar, yineleme bağıntısından belirlenir:
;
;
nerede .
Veya Laplace formülüne göre: 
ters fonksiyonlar
Tanjant ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve ark kotanjanttır.
arktanjant, arktg
, nerede n- tüm.
Ark tanjantı, arkctg
, nerede n- tüm.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Araştırmacılar ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.
En basit trigonometrik kimlikler
Alfa açısının sinüsünün aynı açının kosinüsüne bölünmesinin bölümü bu açının tanjantına eşittir (Formül 1). En basit trigonometrik özdeşliklerin dönüşümünün doğruluğunun kanıtına da bakınız.
Alfa açısının kosinüsünün aynı açının sinüsüne bölünmesinin bölümü, aynı açının kotanjantına eşittir (Formül 2)
Bir açının sekantı, aynı açının kosinüsüne bölünen bire eşittir (Formül 3)
Aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı bire eşittir (Formül 4). ayrıca kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamının ispatına da bakınız.
Birimin ve açının tanjantının toplamı, birimin bu açının kosinüsünün karesine oranına eşittir (Formül 5)
Birim artı açının kotanjantı, birimi bu açının sinüs karesine bölme bölümüne eşittir (Formül 6)
Aynı açının tanjantının ve kotanjantının çarpımı bire eşittir (Formül 7).
Trigonometrik fonksiyonların negatif açılarını dönüştürme (çift ve tek)
Sinüs, kosinüs veya tanjant hesaplanırken açının derece ölçüsünün negatif değerinden kurtulmak için, çift veya tek trigonometrik fonksiyonların ilkelerine dayanan aşağıdaki trigonometrik dönüşümleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz.
Görüldüğü gibi, kosinüs ve sekant eşit işlev, sinüs, tanjant ve kotanjant tek fonksiyonlardır.
Negatif açının sinüsü, aynı pozitif açının sinüsünün negatif değerine eşittir (eksi alfa sinüsü).
Kosinüs "eksi alfa", alfa açısının kosinüsüyle aynı değeri verecektir.
Teğet eksi alfa, eksi tanjant alfaya eşittir.
Çift açı indirgeme formülleri (çift açının sinüs, kosinüs, tanjantı ve kotanjantı)
Açıyı ikiye bölmeniz veya tam tersi durumda çift açıdan tek açıya geçmeniz gerekiyorsa, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:
Çift Açı Dönüşümü (çift açılı sinüs, çift açılı kosinüs ve çift açılı tanjant) aşağıdaki kurallara göre tek tek oluşur:
Çift açının sinüsü tek bir açının sinüsü ile kosinüsünün çarpımının iki katına eşittir
Çift açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesi ile bu açının sinüsünün karesi arasındaki farka eşittir
Çift açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesinin iki katı eksi bire eşit
Çift açının kosinüsü bir eksi tek bir açının çift sinüs karesine eşittir
Çift açılı teğet payı tek bir açının tanjantının iki katı olan ve paydası bir eksi tek bir açının karesinin tanjantının eşit olduğu bir kesre eşittir.
Çift açılı kotanjant payı tek bir açının kotanjantının karesi eksi bir olan bir kesre eşittir ve payda tek bir açının kotanjantının iki katına eşittir
Evrensel Trigonometrik Yer Değiştirme Formülleri
Aşağıdaki dönüştürme formülleri, trigonometrik fonksiyonun (sin α, cos α, tg α) argümanını ikiye bölmeniz ve ifadeyi açının yarısı değerine getirmeniz gerektiğinde faydalı olabilir. α değerinden α/2 elde ederiz.Bu formüller denir evrensel trigonometrik ikame formülleri. Değerleri, yardımlarıyla trigonometrik ifadenin, ifadede orijinal olarak hangi trigonometrik fonksiyonların (sin cos tg ctg) olduğuna bakılmaksızın, yarım açının tanjantının ifadesine indirgenmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bundan sonra, yarım açının tanjantı olan denklemi çözmek çok daha kolaydır.
Trigonometrik yarım açı dönüşüm kimlikleri
Aşağıdakiler, bir açının değerinin yarısının tamsayı değerine trigonometrik dönüşümü için formüllerdir.α/2 trigonometrik fonksiyonunun argümanının değeri, trigonometrik fonksiyonun α argümanının değerine indirgenir.
Açı eklemek için trigonometrik formüller
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
günah (α + β) = günah α cos β + günah β cos α
günah (α - β) = günah α cos β - günah β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Açıların toplamının tanjantı ve kotanjantı alfa ve beta, trigonometrik fonksiyonları dönüştürmek için aşağıdaki kurallara göre dönüştürülebilir:
Açıların toplamının tanjantı payı birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının toplamı olan bir kesre eşittir ve payda bir eksi birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının çarpımıdır.
Açı farkı tanjantı payı, indirgenmiş açının tanjantı ile çıkarılacak açının tanjantı arasındaki farka eşit olan bir kesre eşittir ve payda, bir artı bu açıların tanjantlarının çarpımıdır.
açıların toplamının kotanjantı payı, bu açıların kotanjantlarının artı bir çarpımına eşit olan bir kesre eşittir ve payda, ikinci açının kotanjantı ile birinci açının kotanjantı arasındaki farka eşittir.
açı farkının kotanjantı payı, bu açıların kotanjantlarının çarpımı eksi bir olan bir kesre eşittir ve payda, bu açıların kotanjantlarının toplamına eşittir.
Bu trigonometrik kimlikler, örneğin 105 derecenin tanjantını (tg 105) hesaplamanız gerektiğinde kullanmak için uygundur. Eğer tg (45 + 60) olarak temsil edilirse, o zaman açıların toplamının tanjantının verilen özdeş dönüşümlerini kullanabilirsiniz, bundan sonra sadece 45 tanjantının ve tanjantın tablo değerlerini değiştirirsiniz. 60 derece.
Trigonometrik fonksiyonların toplamını veya farkını dönüştürmek için formüller
sin α + sin β formunun toplamını temsil eden ifadeler, aşağıdaki formüller kullanılarak dönüştürülebilir:
Üçlü açı formülleri - sin3α cos3α tg3α'yı sinα cosα tgα'ya dönüştürün
Bazen açının üçlü değerini dönüştürmek gerekir, böylece α açısı 3α yerine trigonometrik fonksiyonun argümanı olur.Bu durumda, üçlü açının dönüşümü için formülleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz:
Trigonometrik fonksiyonların çarpımını dönüştürmek için formüller
Farklı açılardaki kosinüslerin sinüslerinin çarpımını, hatta sinüs ve kosinüsün çarpımını dönüştürmek gerekirse, aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:
Bu durumda, farklı açıların sinüs, kosinüs veya tanjant fonksiyonlarının çarpımı bir toplama veya farka dönüştürülecektir.
Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller
Cast tablosunu aşağıdaki gibi kullanmanız gerekir. Satırda, bizi ilgilendiren işlevi seçin. Sütun bir açıdır. Örneğin, birinci satır ile ilk sütunun kesişim noktasındaki açının (α+90) sinüsü, sin (α+90) = cos α olduğunu buluruz.
Yükleniyor...