Polinomların "sütun" ("köşe") ile bölünmesi. Polinomların bir köşeye bölünmesi İfadeyi çevrimiçi ifadeye bölme

İfade

kalan eksik özel.

Yorum

$A(x)$ ve $B(x)$ ($B(x)$'ın derecesi 0'dan büyük) herhangi bir polinom için, $Q(x)$ ve $R(x)$ iddianın durumu.

1. $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinomunu $x^(2) + 1$'a böldükten sonra kalan 3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) olur +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinomunu $x^(4) + 1$'a böldükten sonra kalan 3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x olur ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinomunu $x^(6) + 1$'a böldükten sonra kalan, $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x olur ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

İfade

Herhangi iki $A(x)$ ve $B(x)$ polinomu için (burada $B(x)$ polinomunun derecesi sıfır değildir), formda $A(x)$ polinom gösterimi vardır. $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, burada $Q(x)$ ve $R(x)$ polinomdur ve $R(x)$ derecesi şundan küçüktür: $B(x).$ derecesi

Kanıt

Bu iddiayı $A(x).$ polinomunun derecesi üzerinde tümevarım yoluyla ispatlayacağız. Bunu $n$ ile gösterelim. $n = 0$ ise, ifade doğrudur: $A(x)$ $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ olarak temsil edilebilir. $n \ leqm$ dereceli polinomlar. $k= n+1.$ dereceli polinomlar için iddiayı ispatlayalım.

$B(x)$ polinomunun derecesi $m$'a eşit olsun. Üç durum düşünün: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ ve her biri için iddiayı kanıtlayın.

1. $k< m$
   $A(x)$ polinomu şu şekilde temsil edilebilir:

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   İddia yapıldı.

2. $k = m$
   $A(x)$ ve $B(x)$ polinomları şu şekilde olsun

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(nerede ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(nerede ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   $A(x)$'ı şu şekilde temsil edelim:

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Büyük).$

   $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ polinomunun derecesinin en fazla $n+1$ olduğuna dikkat edin. istenen ve iddia tatmin edilir.

3. $k > m$
   $A(x)$ polinomunu şu şekilde temsil ediyoruz:

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (nerede) \: a_(n+1) \neq 0.$

   $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ polinomunu düşünün, $A olarak gösterilebilir" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, burada $R"(x)$ polinomunun derecesi $m$'dan küçükse, o zaman $A(x) için temsil $ olarak yeniden yazılabilir

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   $xR"(x)$ polinomunun derecesinin $m+1$'dan küçük, yani $k$'dan küçük olduğuna dikkat edin. O zaman $xR"(x)$ endüktif varsayımı karşılar ve $xR olarak temsil edilebilir" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, burada $R""(x)$ polinomunun derecesi $m$'dan küçüktür. $A için gösterimi yeniden yazın (x)$ olarak

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   $R""(x) + a_(0)$ polinomunun derecesi $m$'dan küçüktür, dolayısıyla ifade doğrudur.

İddia kanıtlandı.

Bu durumda, polinom $R(x)$ olarak adlandırılır. kalan$A(x)$'ı $B(x)$'a ve $Q(x)$'a bölmekten - eksik özel.

$R(x)$'ın kalanı bir sıfır polinom ise, o zaman $A(x)$'ın $B(x)$ ile bölünebildiği söylenir.

Polinomlardan oluşan uygun olmayan bir kesrin, bir polinom ve uygun bir kesrin toplamı olarak gösterilebileceğinin bir kanıtı verilmiştir. Polinomların bir köşeye bölünmesi ve bir sütuna göre çarpma örnekleri ayrıntılı olarak analiz edilir.

İçerik

teorem

P k olsun (x), Qn (x) k ≥ n ile sırasıyla k ve n derecelerinde x değişkenindeki polinomlardır. Daha sonra polinom P k (x) sadece şu şekilde temsil edilebilir:
(1) pk (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
nerede S kn (x)- derece k-n , U n- polinomu 1(x)- derece polinomu n'den yüksek değil- 1 , veya sıfır.

Kanıt

Bir polinomun tanımı gereği:
;
;
;
,
nerede p ben , q ben - bilinen katsayılar, s ben , u ben - bilinmeyen katsayılar.

Notasyonu tanıtalım:
.
değiştir (1) :
;
(2) .
Sağ taraftaki ilk terim k dereceli bir polinomdur. İkinci ve üçüncü terimlerin toplamı en fazla k dereceli bir polinomdur - 1 . Katsayıları x k'de eşitleyin:
p k = s k-n qn .
Dolayısıyla s k-n = p k / qn .

denklemi dönüştürelim (2) :
.
Notasyonu tanıtalım: .
s k-n = p k / qn olduğundan, x k'deki katsayı sıfıra eşittir. Bu nedenle - bu en fazla k dereceli bir polinomdur - 1 , . Daha sonra önceki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
(3) .

Bu denklem, denklemle aynı forma sahiptir. (1) , sadece k değeri oldu 1 daha küçük. Bu prosedürü k-n kez tekrarlayarak denklemi elde ederiz:
,
polinomun katsayılarını belirlediğimiz U n- 1(x).

Böylece, tüm bilinmeyen katsayıları belirledik s i , u l . Ayrıca, s k-n ≠ 0 . Lemma kanıtlanmıştır.

polinomların bölünmesi

Denklemin her iki tarafını da bölmek (1) Qn'de (x), şunu elde ederiz:
(4) .
Ondalık sayılarla benzetme yaparak, S k-n (x) kesrin tamsayı kısmı veya özel olarak adlandırılır, U n- 1(x)- bölümün geri kalanı. Paydaki polinomun derecesinin paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğu bir polinom kesrine uygun kesir denir. Paydaki polinomun derecesinin paydadaki polinomun derecesine eşit veya ondan büyük olduğu polinom kesrine yanlış kesir denir.

denklem (4) polinomların herhangi bir uygunsuz fraksiyonunun, bir tamsayı kısmı ve uygun bir fraksiyonun toplamı olarak temsil edilerek basitleştirilebileceğini gösterir.

Özünde, tamsayı ondalık sayılar, değişkenin sayıya eşit olduğu polinomlardır. 10 . Örneğin 265847 sayısını alalım. Şu şekilde temsil edilebilir:
.
Yani, beşinci dereceden bir polinomdur. 10 . 2, 6, 5, 8, 4, 7 sayıları, sayının 10'un kuvvetleri cinsinden açılımının katsayılarıdır.

Bu nedenle, polinomlar için, sayıların bölünmesi için geçerli olan köşe bölme kuralını (bazen uzun bölme olarak da adlandırılır) uygulayabilirsiniz. Tek fark, polinomları bölerken dokuzdan büyük sayıları daha yüksek rakamlara dönüştürmenize gerek olmamasıdır. Belirli örnekler kullanarak polinomları bir köşeye bölme işlemini düşünün.

Polinomları bir köşeye bölme örneği

.

Burada pay, dördüncü dereceden bir polinomdur. Payda, ikinci dereceden bir polinomdur. kadarıyla 4 ≥ 2 , o zaman kesir doğru değil. Polinomları bir köşeyle (bir sütunda) bölerek tamsayı kısmını seçiyoruz:

Bölme işleminin ayrıntılı bir açıklamasını verelim. Orijinal polinomlar sol ve sağ sütunlara yazılır. Payda polinomunun altında, sağ sütunda yatay bir çizgi (köşe) çiziyoruz. Bu çizginin altında, bir açıyla, kesrin tamsayı kısmı olacaktır.

1.1 Tamsayı kısmının (köşenin altında) ilk üyesini buluyoruz. Bunu yapmak için payın en yüksek terimini paydanın en yüksek terimine böleriz: .

1.2 Çarpmak 2x2 x üzerinde 2 - 3 x + 5:
. Sonuç sol sütuna yazılır:

1.3 Sol sütundaki polinomların farkını alıyoruz:

.

Böylece, bir ara sonuç elde ettik:
.

Sağdaki kesir yanlıştır çünkü paydaki polinomun derecesi ( 3 ) paydadaki polinomun derecesinden büyük veya ona eşittir ( 2 ). Hesaplamaları tekrarlıyoruz. Sadece şimdi kesrin payı sol sütunun son satırındadır.
2.1 Payın kıdemli üyesini paydanın kıdemli üyesine bölün: ;

2.2 Payda ile çarpıyoruz: ;

2.3 Ve sol sütunun son satırından çıkarın: ;


Ara sonuç:
.

Sağ tarafta yanlış bir kesir olduğu için hesaplamaları tekrarlıyoruz.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Böylece aldık:
.
Sağ kesrin payındaki polinomun derecesi, payda polinomunun derecesinden küçüktür, 1 < 2 . Bu nedenle, kesir doğrudur.

;
2x2 - 4x+1 bütün kısımdır;
x- 8 - bölümün geri kalanı.

Örnek 2

Kesrin tamsayı kısmını seçin ve bölümün kalanını bulun:
.

Önceki örnekte olduğu gibi aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

Burada bölmenin geri kalanı sıfırdır:
.

Bir sütunla polinomların çarpımı

Tam sayıların çarpımına benzer şekilde polinomları bir sütunla da çarpabilirsiniz. Spesifik örnekleri ele alalım.

Polinomları bir sütunla çarpma örneği

Polinomların ürününü bulun:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Sonuç, x'in kuvvetleri hizalanarak bir sütuna yazılır.

3
;
;
;
.

Yalnızca katsayıların yazılabileceğine ve x değişkeninin kuvvetlerinin ihmal edilebileceğine dikkat edin. Sonra bir polinom sütunu ile çarpma şöyle görünecektir:

Örnek 2

Bir sütundaki polinomların ürününü bulun:
.

Polinomları bir sütunla çarparken, x değişkeninin aynı güçlerini alt alta yazmak önemlidir. x'in bazı katları çıkarılmışsa, bunlar sıfırla çarpılarak açık olarak yazılmalı veya boşluk bırakılmalıdır.

Bu örnekte, bazı dereceler atlanmıştır. Bu nedenle, bunları sıfırla çarparak açıkça yazıyoruz:
.
Polinomları bir sütunla çarpıyoruz.

1 Orijinal polinomları bir sütunda alt alta yazıp bir çizgi çiziyoruz.

2.1 İkinci polinomun en düşük terimini birinci polinomla çarpıyoruz:
.
Sonuç bir sütuna yazılır.

2.2 İkinci polinomun bir sonraki terimi sıfıra eşittir. Bu nedenle, birinci polinomun ürünü de sıfıra eşittir. Boş satır atlanabilir.

2.3 İkinci polinomun sonraki terimini birinci polinomla çarpıyoruz:
.
Sonuç, x'in kuvvetleri hizalanarak bir sütuna yazılır.

2.3 İkinci polinomun sonraki (en yüksek) terimini birinci polinomla çarpıyoruz:
.
Sonuç, x'in kuvvetleri hizalanarak bir sütuna yazılır.

3 İkinci polinomun tüm terimleri birinci ile çarpıldıktan sonra, bir çizgi çizip terimleri aynı x kuvvetleriyle toplarız:
.

Tek terimlinin genel görünümü

f(x)=axn, nerede:

-a- kümelerden herhangi birine ait olabilen katsayı N, Z, Q, R, C

-x- değişken

-n kümeye ait olan üs N

Aynı değişkene ve aynı üslere sahip olmaları durumunda iki monomial benzerdir.

Örnekler: 3x2 ve -5x2; ½x 4 ve 2√3x4

Birbirine benzemeyen tek terimlilerin toplamına polinom (veya polinom) denir. Bu durumda, monomialler polinomun terimleridir. İki terim içeren bir polinom, binom (veya binom) olarak adlandırılır.
Misal: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Üç terim içeren polinomlara trinom denir.

Tek değişkenli bir polinomun genel biçimi

nerede:

• bir n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 polinomun katsayılarıdır. Doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek veya karmaşık sayılar olabilirler.
• bir- en yüksek üslü terimdeki katsayı (öncü katsayı)
• - en küçük üslü terimdeki katsayı (serbest terim veya sabit)
• n- polinom derecesi

örnek 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• katsayılı üçüncü derece polinom 5, -2, 7 ve -1
• 5 - önde gelen faktör
• -1 - Ücretsiz Üye
• x- değişken

Örnek 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• katsayılı dördüncü derece polinom -2√3.½ ve -4
• -2√3 - önde gelen faktör
• -4 - Ücretsiz Üye
• x- değişken

polinom bölümü

p(x) ve q(x)- iki polinom:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Bir bölme işleminin kalanını ve bölümünü bulmak için p(x)üzerinde q(x), aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:

1. Derece p(x) daha büyük veya eşit olmalıdır q(x).
2. Her iki polinomu da azalan sırada yazmalıyız. eğer p(x) herhangi bir dereceli terim yoktur, 0 katsayısı ile eklenmelidir.
3. Ana Üye p(x) lider üyeye bölünmüş q(x), ve sonuç bölme çizgisinin altına yazılır (paydada).
4. Sonucu tüm terimlerle çarpıyoruz q(x) ve sonucu terimlerin altına zıt işaretlerle yazın p(x) karşılık gelen derecelerle.
5. Dereceleri aynı olan terimleri terim terim ekliyoruz.
6. Kalan terimleri sonuca atarız p(x).
7. Ortaya çıkan polinomun baştaki terimini polinomun ilk terimine böleriz. q(x) ve 3-6 arasındaki adımları tekrarlayın.
8. Bu prosedür, yeni elde edilen polinomun derecesinden küçük olana kadar tekrarlanır. q(x). Bu polinom bölmenin geri kalanı olacaktır.
9. Bölme çizgisinin altına yazılan polinom, bölmenin (bölüm) sonucudur.

örnek 1
Adım 1 ve 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 DUR

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Özel

Cevap: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Örnek 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) DUR

x 2 +3x+12 --> C(x) Bölümü

Cevap: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Birinci dereceden bir polinomla bölme

Bu bölme işlemi yukarıdaki algoritma kullanılarak veya Horner yöntemi kullanılarak daha hızlı yapılabilir.
Eğer bir f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, polinom olarak yeniden yazılabilir f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- birinci derece polinom ⇒ q(x)=mx+n
O zaman bölümdeki polinom bir dereceye sahip olacaktır. n-1.

Horner'ın yöntemine göre, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 = bir n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
nerede b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- özel. Kalandaki polinomun derecesi bölenin derecesinden küçük olması gerektiğinden, kalan sıfır dereceli bir polinom olacaktır.
Kalanla bölme ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r eğer $x_0=-\frac(n)(m)$ ise
Bunu not et p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Örnek 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b3 \u003d 5
b 2 \u003d 3.5-2 \u003d 13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3.43-6 \u003d 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Örnek 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Örnek 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \sol(-\frac(7)(2)\sağ)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Çözüm
Derecesi birden yüksek bir polinomla bölersek, bölümü ve kalanı bulmak için algoritmayı kullanmamız gerekir. 1-9 .
Birinci dereceden bir polinomla bölersek mx+n, sonra bölümü ve kalanı bulmak için Horner'ın yöntemini $x_0=-\frac(n)(m)$ ile kullanmanız gerekir.
Sadece bölümün geri kalanıyla ilgileniyorsak, onu bulmak yeterlidir. p(x0).
Örnek 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Gerekli olmasına izin ver

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Burada çarpım (2x 3 - 7x 2 + x + 1) ve bir faktör (2x - 1) verilmiştir, - başka bir faktör bulmanız gerekiyor. Bu örnekte, istenen, faktör veya bölümün diğerinin de bir polinom olduğu hemen açıktır (ancak bu genel olarak belirlenemez). Bu açıktır çünkü bu çarpım 4 terimdir ve bu çarpan sadece 2'dir. Ancak istenen çarpanın kaç terime sahip olduğunu önceden söylemek mümkün değildir: 2 terim, 3 terim vb. olabilir. En yüksek terim olduğunu hatırlayalım. Bir çarpanın en yüksek teriminin diğerinin en yüksek terimiyle çarpılmasından (bir polinomun bir polinomla çarpımına bakınız) her zaman çarpımından çıkıyor ve böyle terimler olamaz, eminiz ki 2x3'ün (en yüksek terimin en yüksek terimi) bu çarpım) 2x (bu faktörün en yüksek terimi) ile aranan çarpanın bilinmeyen asal terimi ile çarpılmasından elde edilecektir. Bu nedenle sonuncuyu bulmak için 2x3'ü 2x'e bölmeliyiz - x 2 elde ederiz. Bu özelin kıdemli üyesi.

Bir polinomu bir polinomla çarparken, bir polinomun her bir teriminin diğerinin her bir terimiyle çarpılması gerektiğini hatırlayın. Bu nedenle, bu ürün (2x 3 - 7x 2 + x + 1), bölen (2x - 1) ve bölümün tüm terimlerinin çarpımıdır. Ama şimdi bölenin çarpımını ve bölümün ilk (en büyük) üyesini, yani (2x - 1) ∙ x 2; 2x 3 - x 2 elde ederiz. Bölümün tüm terimleriyle bölenin çarpımını bilmek (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) ve bölümün 1. terimiyle (it = 2x 3 - x 2) bölenin çarpımını bilmek, çıkarma işlemiyle bölenin çarpımını özelin 1. üyeleri hariç diğerlerinin tümünden bulabiliriz. Almak

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Bu kalan çarpımının en büyük terimi (–6x 2), bölenin en büyük teriminin (2x) ve kalanın (1. terim hariç) en yüksek teriminin çarpımı olmalıdır. Buradan kalan bölümün kıdemli terimini buluruz. -6x 2 ÷ 2x'e ihtiyacımız var, -3x alıyoruz. Bu, istenen bölümün ikinci terimidir. Bölen (2x - 1) ve ikinci, az önce bulunan bölüm terimini, yani -3x'i tekrar bulabiliriz.

(2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x elde ederiz. Tüm bu üründen, bölümün 1. terimi ile bölenin çarpımını zaten çıkardık ve kalan -6x 2 + x + 1'i elde ettik, bu da bölenin 1. terim dışında kalanlarla çarpımıdır. bölümünden. Bundan az önce bulunan -6x 2 + 3x'i çıkararak, bölümün 1. ve 2. üyeleri hariç diğer tüm bölenin çarpımı olan kalanı elde ederiz:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Bu kalan çarpımın kıdemli terimini (–2x) bölenin kıdemli terimine (2x) bölerek, bölümün geri kalanının kıdemli terimini veya üçüncü terimini (–2x) ÷ 2x = –1, elde ederiz. bu bölümün 3. terimidir.

böleni bununla çarparsak,

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Bölenin bu ürünü, o ana kadar kalan tüm üründen bölümün 3. terimi ile çıkarılır, yani.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

Örneğimizde ürünün, bölümün daha fazla üyesi olmadığı sonucuna vardığımız bölüm = 0'ın 1., 2. ve 3. üyeleri hariç, kalanlara bölündüğünü göreceğiz, yani.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Bir öncekinden görüyoruz: 1) temettü ve bölen terimlerini azalan güçlerde düzenlemek uygundur, 2) hesaplamaları yapmak için bir tür düzen oluşturmak gerekir. Böyle uygun bir sıra, çok değerli sayıları bölerken aritmetikte kullanılan olarak kabul edilebilir. Bunu takiben, önceki tüm hesaplamaları aşağıdaki gibi düzenleriz (daha kısa açıklamalar yanda verilmiştir):

Burada yapılması gereken çıkarmalar, çıkarma işleminin terimlerinin işaretleri değiştirilerek yapılır ve bu değişken işaretler en üste yazılır.

evet yazılıyor

Bunun anlamı: çıkarma 2x 3 - x 2 idi ve işaretleri değiştirdikten sonra -2x 3 + x 2 elde ettik.

Kabul edilen hesaplama düzeninden dolayı, bölen ve bölen terimlerinin azalan kuvvetlerde düzenlenmesi ve her iki polinomdaki x harfinin derecelerinin her seferinde 1 azalması nedeniyle döndü. bu tür terimlerin birbirinin altına yazılması (örneğin: –7x 2 ve +x 2) neden onları kullanmanın kolay olduğunu. Hesaplamanın her anında temettünün tüm üyelerine ihtiyaç duyulmadığı not edilebilir. Örneğin, bölümün 2. teriminin bulunduğu anda +1 terimine ihtiyaç yoktur ve hesaplamanın bu kısmı basitleştirilebilir.

Daha fazla örnek:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

a harflerini azalan güçlerde ve temettü ve bölen olarak düzenleyin:

(Burada, temettüde 3'lü bir terim olmaması nedeniyle, ilk çıkarmada benzer terimlerin -a 2 b 2 ve -2a 3 b'nin birbirinin altında imzalanmadığı ortaya çıktı. Tabii ki, bunlar bir döneme indirgenemez ve her ikisi de kıdem satırının altına yazılır).

Her iki örnekte de benzer terimler konusunda daha dikkatli olunmalıdır: 1) benzer terimler genellikle birbirinin altına yazılmaz ve 2) bazen (örneğin, son örnekte -4a n ve -a n terimleri gibi) ilk çıkarmada) benzer terimler alt alta yazılmadan çıkar.

Polinomların bölünmesini farklı bir sırayla gerçekleştirmek mümkündür, yani: her seferinde en düşük terimi veya tam veya kalan bölümü aramak için. Bu durumda bu polinomları bazı harflerin artan güçlerinde düzenlemek uygundur. Örneğin:

Bu makale rasyonel kesirler, tamsayı bölümlerinin tahsisini ele alacaktır. Kesirler doğru ve yanlıştır. Bir kesirde pay paydadan küçük olduğunda, bu uygun bir kesirdir ve bunun tersi de geçerlidir.

Uygun kesir örneklerini düşünün: 1 2, 9 29, 8 17, yanlış: 16 3, 21 20, 301 24.

İndirgenebilecek kesirleri hesaplayacağız, yani 12 16 3 4, 21 14 3 2'dir.

Tamsayı kısmı seçilirken payın paydaya bölünmesi işlemi yapılır. Daha sonra böyle bir kesir, bir tamsayı ve kesirli kısmın toplamı olarak temsil edilebilir, burada kesirli kısım, bölmenin geri kalanının ve paydanın oranı olarak kabul edilir.

örnek 1

27'nin 4'e bölümünden kalanı bulunuz.

Karar

Bir sütunla bölme yapmak gerekiyor, o zaman şunu elde ederiz.

Yani, 27 4 \u003d tamsayı kısmı + n ve m'nin geri kalanı ve madenci \u003d 6 + 3 4

Cevap: kalan 3.

Örnek 2

Tüm parçaları 331 12 ve 41 57 seçin.

Karar

Bir köşe kullanarak paydayı paya böleriz:

Bu nedenle, 331 12 \u003d 27 + 7 12'ye sahibiz.

İkinci kesir doğrudur, yani tamsayı kısmı sıfıra eşittir.

Cevap: tamsayı parçaları 27 ve 0 .

Polinomların sınıflandırılmasını, başka bir deyişle, kesirli rasyonel bir işlevi düşünün. Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğunda doğru, aksi halde yanlış kabul edilir.

tanım 1

Bir polinomun bir polinom tarafından bölünmesi bir açıyla bölme ilkesine göre gerçekleşir ve fonksiyonun tamsayı ve kesirli kısımların toplamı olarak temsili.

Bir polinomu lineer iki terimliye bölmek için Horner şeması kullanılır.

Örnek 3

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2'yi 2 x 2 tek terimlisine bölün.

Karar

Bölme özelliğini kullanarak şunu yazıyoruz.

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Genellikle bu tür bir dönüşüm, integral alınırken gerçekleştirilir.

Örnek 4

Bir polinomu bir polinomla bölün: 2 x 3 + 3 x 3 + x.

Karar

Bölme işareti, 2 x 3 + 3 x 3 + x formunun bir kesri olarak yazılabilir. Şimdi tüm parçayı seçmeniz gerekiyor. Bunu bir sütuna bölerek yapıyoruz. anladık

Böylece, tamsayı kısmının - 2 x + 3 değerine sahip olduğunu elde ederiz, bu durumda ifadenin tamamı 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x şeklinde yazılır.

Örnek 5

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3'ü x 3 + 2 x 2 - 1'e böldükten sonra bölün ve kalanı bulun.

Karar

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 formunun bir kesirini sabitleyelim.

Payın derecesi paydanınkinden daha büyüktür, bu da yanlış bir kesirimiz olduğu anlamına gelir. Sütunla bölmeyi kullanarak tüm parçayı seçin. anladık

Bölmeyi tekrar yapalım ve şunu elde edelim:

Buradan kalanın - 65 x 2 + 10 x - 3 olduğunu elde ederiz, dolayısıyla:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Bölme sırasında kalanı ortaya çıkarmak için ek olarak bir kesir dönüşümü gerçekleştirmenin gerekli olduğu durumlar vardır. Şuna benziyor:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Bu, 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4'ü x 3 - 3'e bölerken kalanın - 3 x 2 + 6 x - 4 değerini verdiği anlamına gelir. Sonucu hızlı bir şekilde bulmak için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır.

Örnek 6

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27'yi 2 x + 3'e bölün.

Karar

Bölmeyi kesir olarak yazalım. 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 elde ederiz. Payda, ifadenin toplam küp formülü kullanılarak eklenebileceğini unutmayın. bizde var

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Verilen polinom kalansız bölünebilir.

Çözüm için daha uygun bir çözüm yöntemi kullanılır ve bir polinomun bir polinom ile bölünmesi en evrensel olarak kabul edilir, bu nedenle genellikle bir tamsayı parçası seçerken kullanılır. Son giriş, bölünmeden elde edilen polinomu içermelidir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.