Tüm kare ve küp formülleri. Kısaltılmış çarpma formülleri. Bir polinomun bir polinomla çarpımı

Ayrıca, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.

Kısaltılmış çarpma formülleri, ifadelerin aynı dönüşümlerini gerçekleştirmenize izin verir - polinomlar. Onların yardımıyla polinomlar çarpanlara ayrılabilir ve formülleri ters sırada kullanarak binomların, karelerin ve küplerin ürünleri polinomlar olarak temsil edilebilir. Kısaltılmış çarpma için genel olarak kabul edilen tüm formülleri, bunların türetilmesini, bu formülleri kullanarak ifadelerin özdeş dönüşümleri için ortak görevleri ve ayrıca ev ödevlerini (cevaplar bağlantılarla açılır) ele alalım.

toplam kare

Toplamın karesi formülü eşitliktir.

(iki sayının toplamının karesi, birinci sayının karesi artı birinci sayının çarpımının iki katı ile ikinci sayının karesi artı ikinci sayının karesine eşittir).

Yerine a ve b herhangi bir sayı bu formüle ikame edilebilir.

Toplam kare formülü genellikle hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır. Örneğin,

Toplam kare formülü kullanılarak, polinom çarpanlara ayrılabilir, yani iki özdeş faktörün bir ürünü olarak temsil edilebilir.

örnek 1

Örnek 2 Bir polinom ifadesi olarak yazın

Karar. Toplamın karesi formülü ile elde ederiz

Farkın karesi

Farkın karesi formülü eşitliktir.

(iki sayı arasındaki farkın karesi, birinci sayının karesi eksi birinci sayının çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci sayının karesine eşittir).

Kare fark formülü genellikle hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır. Örneğin,

Fark kare formülü kullanılarak, polinom çarpanlara ayrılabilir, yani iki özdeş faktörün bir ürünü olarak temsil edilebilir.

Formül, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralından gelir:

Örnek 5 Bir polinom ifadesi olarak yazın

Karar. Farkın karesi formülü ile şunu elde ederiz:

Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün

Tam kare seçimi

Genellikle ikinci dereceden bir polinom, toplamın veya farkın karesini içerir, ancak gizli bir biçimde bulunur. Tam kareyi açıkça elde etmek için polinomu dönüştürmeniz gerekir. Bunu yapmak için, kural olarak, polinomun terimlerinden biri bir çift çarpım olarak temsil edilir ve daha sonra aynı sayı polinomdan toplanır ve çıkarılır.

Örnek 7

Karar. Bu polinom aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

Burada sunduk 5 x 5/2'lik bir çift çarpım şeklinde x, polinoma eklendi ve aynı sayıdan çıkarıldı, ardından binom için toplam kare formülünü uyguladı.

eşitliği ispatladık yani

tam kare artı sayıya eşittir.

Örnek 8İkinci dereceden bir polinom düşünün

Karar. Üzerinde aşağıdaki dönüşümleri yapalım:

Burada sunduk 8 xçift ürün şeklinde x 4'e kadar, polinoma eklendi ve aynı sayı 4²'den çıkarıldı, binom için fark kare formülünü uyguladı x − 4 .

eşitliği ispatladık yani

ikinci dereceden bir polinom olduğunu gösteren

tam kare artı -16 sayısına eşittir.

Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün

toplam küp

Toplam küp formülü eşitliktir

(iki sayının toplamının küpü, birinci sayının küpü artı birinci sayının karesinin üç katı çarpı ikinci artı birinci sayının üç katı çarpı ikincinin karesinin artı küpüne eşittir) ikinci sayı).

Toplam küp formülü aşağıdaki gibi elde edilir:

Örnek 10 Bir polinom ifadesi olarak yazın

Karar. Toplam küp formülüne göre,

Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün

fark küpü

Fark küpü formülü eşitliktir

(iki sayının farkının küpü, birinci sayının küpü eksi birinci ve ikinci sayının karesinin üç katı artı birinci sayının ve ikinci sayının karesinin eksi küpünün üç katına eşittir. ikinci sayı).

Toplam küp formülü yardımıyla, polinom faktörlere ayrılabilir, yani üç özdeş faktörün bir ürünü olarak gösterilebilir.

Fark küpü formülü şu şekilde elde edilir:

Örnek 12. Bir polinom ifadesi olarak yazın

Karar. Fark küpü formülünü kullanarak,

Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün

kareler farkı

Kareler farkının formülü eşitliktir.

(iki sayının karelerinin farkı, bu sayıların toplamı ve farkının çarpımına eşittir).

Toplam küp formülünü kullanarak, formun herhangi bir polinomu çarpanlara ayrılabilir.

Formülün kanıtı, polinomlar için çarpma kuralı kullanılarak elde edildi:

Örnek 14Ürünü bir polinom olarak yazın

Karar. Kareler formülünün farkıyla,

Örnek 15çarpanlara ayır

Karar. Açık bir biçimde bu ifade hiçbir kimliğe uymamaktadır. Ancak 16 sayısı 4 tabanıyla bir kuvvet olarak temsil edilebilir: 16=4². O zaman orijinal ifade farklı bir biçim alacaktır:

ve bu, kareler farkının formülüdür ve bu formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Cebirsel polinomları hesaplarken, hesaplamaları basitleştirmek için şunu kullanırız: kısaltılmış çarpma formülleri. Toplamda bu tür yedi formül vardır. Hepsinin ezbere bilinmesi gerekiyor.

Formüllerde "a" ve "b" yerine hem sayılar hem de diğer cebirsel polinomların olabileceği de unutulmamalıdır.

kareler farkı

Unutma!

kareler farkı iki sayı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2 ile 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

toplam kare

Unutma!

İki sayının toplamının karesi, birinci sayının karesi ile birinci sayının çarpımının iki katı ile ikinci sayının karesinin çarpımına eşittir.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Bu indirgenmiş çarpma formülüyle, büyük sayıların karelerini bul hesap makinesi veya uzun çarpma kullanmadan. Bir örnekle açıklayalım:

112 2'yi bulun.

112'yi karelerini iyi hatırladığımız sayıların toplamına ayıralım.
112 = 100 + 1
Sayıların toplamını parantez içine yazıyoruz ve parantezlerin üzerine bir kare koyuyoruz.
112 2 = (100 + 12) 2
Toplam kare formülünü kullanalım:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Kare toplam formülünün herhangi bir cebirsel polinom için de geçerli olduğunu unutmayın.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Uyarı!

(a + b) 2, (a 2 + b 2)'ye eşit değil

Farkın karesi

Unutma!

İki sayı arasındaki farkın karesi, birinci sayının karesi eksi birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikinci sayının karesine eşittir.

(a − b) 2 = bir 2 − 2ab + b 2

Ayrıca çok faydalı bir dönüşümü hatırlamaya değer:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Yukarıdaki formül, parantezlerin genişletilmesiyle kanıtlanmıştır:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + bir 2 = (b − a) 2

toplam küp

Unutma!

İki sayının toplamının küpü, birinci sayının küpü artı birinci sayının karesinin üç katı çarpı ikinci artı birincinin çarpımının üç çarpı ikincinin karesi artı ikincinin küpüne eşittir.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Toplam küp nasıl hatırlanır

Bu "korkunç" görünen formülü hatırlamak oldukça basittir.

Başlangıçta "a 3"ün geldiğini öğrenin.
Ortadaki iki polinomun katsayıları 3'tür.
Sıfır gücünün herhangi bir sayısının 1 olduğunu hatırlayın. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Formülde "a" derecesinde bir azalma ve "b" derecesinde bir artış olduğunu görmek kolaydır. Bunu doğrulayabilirsiniz:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Uyarı!

(a + b) 3, a 3 + b 3'e eşit değil

fark küpü

Unutma!

fark küpü iki sayının toplamı, birinci sayının küpü eksi üç çarpı birinci sayının karesi ve ikinci artı üç çarpı birinci sayının çarpımına ve ikinci sayının karesi eksi ikincinin küpüne eşittir.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Bu formül bir önceki gibi hatırlanır, ancak yalnızca "+" ve "-" işaretlerinin değişimini dikkate alır. İlk üye olan “a 3”ün önüne “+” gelir (matematiğin kurallarına göre yazmıyoruz). Bu, bir sonraki üyeden önce “-”, ardından tekrar “+” vb. geleceği anlamına gelir.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Küplerin toplamı

Toplam küp ile karıştırılmamalıdır!

Unutma!

Küplerin toplamı farkın eksik karesi ile iki sayının toplamının çarpımına eşittir.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Küplerin toplamı iki parantezin çarpımıdır.

İlk parantez iki sayının toplamıdır.
İkinci parantez, sayılar farkının eksik karesidir. Farkın eksik karesine şu ifade denir:
(a 2 - ab + b 2)
Bu kare eksik, çünkü ortada bir çift çarpım yerine sıradan bir sayılar çarpımı var.

küp farkı

Fark küpü ile karıştırılmamalıdır!

Unutma!

küp farkı toplamının eksik karesi ile iki sayının farkının çarpımına eşittir.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Karakter yazarken dikkatli olun.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması

Yukarıdaki tüm formüllerin de sağdan sola doğru kullanıldığı unutulmamalıdır.

Ders kitaplarındaki birçok örnek, polinomu geri birleştirmek için formülleri kullanmanız için tasarlanmıştır.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Kısaltılmış çarpma için tüm formülleri içeren bir tabloyu "bölümünden indirebilirsiniz.

Bir cebir dersinde işlenen ilk konulardan biri kısaltılmış çarpma formülleridir. 7. Sınıfta, ifadedeki formüllerden birini tanımanın ve polinomu çarpanlara ayırmanın veya tersine, toplamı veya farkın hızlı bir şekilde karesini veya küpünü almanın gerekli olduğu en basit durumlarda kullanılırlar. Gelecekte, FSU eşitsizlikleri ve denklemleri hızlı bir şekilde çözmek ve hatta bazı sayısal ifadeleri hesap makinesi olmadan hesaplamak için kullanılır.

Formül listesi neye benziyor?

Parantez içindeki polinomları hızla çarpmanıza izin veren 7 temel formül vardır.

Bazen bu liste, sunulan kimliklerden sonra gelen ve şu şekle sahip olan dördüncü dereceden bir genişletmeyi de içerir:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Karelerin farkı dışında tüm eşitliklerin bir çifti (toplam - fark) vardır. Karelerin toplamı için bir formül yok.

Eşitliklerin geri kalanının hatırlanması kolaydır.:

FSO'ların her durumda ve herhangi bir değer için çalıştığı unutulmamalıdır. a ve b: hem rastgele sayılar hem de tamsayı ifadeleri olabilir.

Bir veya başka bir terimin önündeki formülde hangi işaretin olduğunu aniden hatırlayamadığınız bir durumda, parantezleri açabilir ve formülü kullandıktan sonra aynı sonucu alabilirsiniz. Örneğin, fark küpünün FSU'sunu uygularken bir sorun ortaya çıkarsa, orijinal ifadeyi yazmanız ve çarpma işlemini tek tek yap:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Sonuç olarak, tüm bu terimler indirgendikten sonra, tablodakiyle aynı polinom elde edildi. Aynı manipülasyonlar diğer tüm FSO'lar ile gerçekleştirilebilir.

Denklemleri çözmek için FSO uygulaması

Örneğin, aşağıdakileri içeren bir denklemi çözmeniz gerekir: 3. derece polinom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Okul müfredatı, kübik denklemleri çözmek için evrensel teknikleri dikkate almaz ve bu tür görevler çoğunlukla daha basit yöntemlerle (örneğin, çarpanlara ayırma) çözülür. Kimliğin sol tarafının toplamın küpüne benzediğini fark ederseniz, denklem daha basit bir biçimde yazılabilir:

(x + 1)³ = 0.

Böyle bir denklemin kökü sözlü olarak hesaplanır: x=-1.

Eşitsizlikler benzer şekilde çözülür. Örneğin, eşitsizliği çözebiliriz. x³ - 6x² + 9x > 0.

Her şeyden önce, ifadeyi faktörlere ayırmak gerekir. İlk önce parantezleri çıkarmanız gerekir. x. Bundan sonra parantez içindeki ifadenin farkın karesine çevrilebileceğine dikkat etmelisiniz.

Ardından, ifadenin sıfır değer aldığı noktaları bulmanız ve sayı doğrusu üzerinde işaretlemeniz gerekir. Belirli bir durumda, bunlar 0 ve 3 olacaktır. Ardından, aralık yöntemini kullanarak, x'in eşitsizlik koşulunu hangi aralıklarda karşılayacağını belirleyin.

FSO'lar gerçekleştirilmesinde yardımcı olabilir hesap makinesi yardımı olmadan bazı hesaplamalar:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Ayrıca, ifadeleri çarpanlarına ayırarak kesirleri kolayca azaltabilir ve çeşitli cebirsel ifadeleri basitleştirebilirsiniz.

7-8. sınıflar için görev örnekleri

Sonuç olarak, cebirde kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması için iki görevi analiz edip çözeceğiz.

Görev 1. İfadeyi basitleştirin:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Karar. Ödev durumunda ifadenin sadeleştirilmesi yani parantezlerin açılması, çarpma ve üs alma işlemlerinin yapılması ve ayrıca bu terimlerin tamamının getirilmesi gerekmektedir. İfadeyi şartlı olarak üç bölüme ayırıyoruz (terim sayısına göre) ve mümkünse FSU kullanarak parantezleri tek tek açıyoruz.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(kare toplamı);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(karelerin farkı);
Son dönemde çarpma işlemi yapmanız gerekir: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Sonuçları orijinal ifadede değiştirin:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

İşaretleri dikkate alarak parantezleri açıp benzer terimler veriyoruz:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Görev 2. Bilinmeyen k üzeri 5'i içeren denklemi çözün:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Karar. Bu durumda FSO ve gruplama yöntemini kullanmak gerekir. Son ve sondan bir önceki terimleri kimliğin sağ tarafına aktarmamız gerekiyor.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ortak çarpan sağ ve sol kısımlardan alınır (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

0 sağ tarafta kalacak şekilde her şey denklemin sol tarafına aktarılır:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Yine, ortak faktörü çıkarmanız gerekir:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Elde edilen ilk faktörden, k. Kısa çarpma formülüne göre, ikinci faktör aynı şekilde eşit olacaktır. (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Kareler farkı formülünü kullanarak:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Çarpanlarından en az biri sıfır ise çarpım 0 olduğundan, denklemin tüm köklerini bulmak zor olmayacaktır:

k = 0;
k - 1 = 0; k=1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Açıklayıcı örneklere dayanarak, formüllerin nasıl hatırlanacağını, farklılıklarını anlayabilir ve ayrıca FSU kullanarak birkaç pratik problemi çözebilir. Görevler basittir ve tamamlanması zor olmamalıdır.

ders içeriği

İki ifadenin toplamının karesi

Bir polinomun bir polinomla çarpımının büyük ölçüde basitleştirilebildiği birkaç durum vardır. Örneğin, durum böyledir (2 x+ 3y) 2 .

İfade (2 x+ 3y) 2, her biri (2'ye eşit olan iki polinomun çarpımıdır.) x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Bir polinomun bir polinomla çarpımını elde ettik. Hadi yürütelim:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Yani, ifade (2 x+ 3y) 2 eşittir 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Daha basit olan benzer bir örneği çözelim:

(a+b) 2

İfade ( a+b) 2, her biri () değerine eşit olan iki polinomun çarpımıdır. a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Bu çarpma işlemini yapalım:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

ifade budur (a+b) 2 eşittir a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Görünen o ki, durum ( a+b) 2 herhangi biri için uzatılabilir a ve b. Çözdüğümüz ilk örnek, yani (2 x+ 3y) 2 kimlik kullanılarak çözülebilir (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Bunu yapmak için değişkenler yerine ikame etmeniz gerekir. a ve b ifadeden karşılık gelen terimler (2 x+ 3y) 2. Bu durumda değişken a maç çük 2 x, ve değişken b maç çük 3 y

a = 2x

b = 3y

Ve sonra kimliği kullanabiliriz (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , ancak değişkenler yerine a ve b ifadeleri değiştirmen gerekiyor 2 x ve 3 y sırasıyla:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Geçen seferki gibi, bir polinomumuz var 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Çözüm genellikle daha kısa yazılır ve tüm temel dönüşümleri zihinde gerçekleştirir:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Kimlik (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 iki ifadenin toplamının karesi için formül denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katına ve ikinci ifadenin karesine eşittir.

(2 + 3) 2 ifadesini ele alalım. İki şekilde hesaplanabilir: parantez içinde toplama yapın ve sonucun karesini alın veya iki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanın.

İlk yol:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

İkinci yol:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Örnek 2. İfadeyi dönüştür (5 a+ 3) 2'yi bir polinom haline getirin.

İki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanalım:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5bir + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 bir × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Anlamına geliyor, (5bir + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Bu örneği toplam kare formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu almalıyız:

(5bir + 3) 2 = (5bir + 3)(5bir + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

İki ifadenin toplamının karesi formülü geometrik bir anlama sahiptir. Bir karenin alanını hesaplamak için kenarını ikinci güce yükseltmeniz gerektiğini hatırlıyoruz.

Örneğin, bir kenarı olan karenin alanı a eşit olacak a 2. Karenin kenarını arttırırsanız b, o zaman alan ( a+b) 2

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının arttığını hayal edin. b. Karenin tüm kenarları eşittir. Eğer tarafı arttırılırsa b, o zaman diğer taraflar da artacak b

Sonuç, öncekinden daha büyük olan yeni bir karedir. İyi görmek için eksik tarafları tamamlayalım:

Bu karenin alanını hesaplamak için içinde bulunan kareleri ve dikdörtgenleri ayrı ayrı hesaplayabilir, ardından sonuçları ekleyebilirsiniz.

İlk önce, bir kenarı olan bir kare hesaplayabilirsiniz. a- alanı şuna eşit olacak a 2. Sonra kenarları olan dikdörtgenleri hesaplayabilirsiniz. a ve b- eşit olacaklar ab. Sonra bir kenarı olan bir kare hesaplayabilirsiniz. b

Sonuç, aşağıdaki alanların toplamıdır:

a 2 + ab+ab + b 2

Özdeş dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 2 ile çarpılarak değiştirilebilir. ab, kelimenin tam anlamıyla "ab dikdörtgeninin alanını iki kez tekrarlayın" . Cebirsel olarak, bu benzer terimlerin indirgenmesiyle elde edilir. ab ve ab. Sonuç bir ifadedir a 2 + 2ab+ b 2 , iki ifadenin toplamının karesi için formülün sağ tarafı:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

İki ifadenin farkının karesi

İki ifadenin farkının karesi için formül aşağıdaki gibidir:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

İki ifadenin farkının karesi, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.

İki ifadenin farkının karesi formülü, iki ifadenin toplamının karesi formülüyle aynı şekilde elde edilir. İfade ( a-b) 2, her biri () değerine eşit olan iki polinomun ürünüdür. a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Bu çarpma işlemini yaparsanız, bir polinom elde edersiniz. a 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

örnek 1. İfadeyi dönüştür (7 x− 5) 2'yi bir polinom haline getirin.

İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanalım:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Anlamına geliyor, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Bu örneği fark kare formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu almalıyız:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

İki ifadenin farkının karesi formülü de geometrik bir anlama sahiptir. Bir kenarı olan karenin alanı ise a eşittir a 2 , daha sonra kenarı azaltılan karenin alanı b, eşit olacaktır ( a-b) 2

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının b. Karenin tüm kenarları eşittir. Bir taraf azaltılırsa b, o zaman diğer taraflar da azalır b

Sonuç, öncekinden daha küçük olan yeni bir karedir. Şekilde sarı ile vurgulanmıştır. onun tarafı a− b eski taraftan beri a tarafından azaltılmış b. Bu karenin alanını hesaplamak için karenin orijinal alanını kullanabilirsiniz. a 2 eski karenin kenarlarını küçültme işleminde elde edilen dikdörtgenlerin alanlarını çıkarın. Bu dikdörtgenleri gösterelim:

O zaman şu ifadeyi yazabiliriz: eski alan a 2 eksi alan ab eksi alan ( a-b)b

a 2 − ab − (a-b)b

İfadedeki parantezleri genişletin ( a-b)b

a 2 − ab - ab + b 2

İşte benzer terimler:

a 2 − 2ab + b 2

Sonuç bir ifadedir a 2 − 2ab + b 2 , iki ifadenin farkının karesi için formülün sağ tarafı:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Toplamın karesi ve farkın karesi için formüllere genellikle denir. kısaltılmış çarpma formülleri. Bu formüller, polinomları çarpma sürecini önemli ölçüde basitleştirmenize ve hızlandırmanıza olanak tanır.

Daha önce bir polinomun bir üyesini ayrı ayrı ele alırken, onun önünde bulunan işaret ile birlikte düşünülmesi gerektiğini söylemiştik.

Ancak kısaltılmış çarpma formülleri uygulanırken orijinal polinomun işareti bu terimin kendisinin işareti olarak düşünülmemelidir.

Örneğin, ifade verildiğinde (5 x − 2y) 2 ve formülü kullanmak istiyoruz (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , o zaman yerine b 2'yi değiştirmen gerek y, değil -2 y. Bu, formüllerle çalışmanın unutulmaması gereken bir özelliğidir.

(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

-2 yerine koyarsak y, o zaman bu, orijinal ifadenin parantezlerindeki farkın toplamla değiştirildiği anlamına gelir:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

ve bu durumda farkın karesi formülünü değil, toplamın karesi formülünü uygulamak gerekir:

(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Bir istisna, formun ifadeleri olabilir (x− (−y)) 2 . Bu durumda formül kullanılarak (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 yerine b değiştirilmelidir (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Ancak formun kareleme ifadeleri x − (−y), çıkarmayı toplama ile değiştirmek daha uygun olacaktır. x+y. Daha sonra orijinal ifade ( x +y) 2 ve farkın değil, toplamın karesinin formülünü kullanmak mümkün olacaktır:

(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Toplam Küp ve Fark Küpü

İki ifadenin toplamının küpü ve iki ifadenin farkının küpü için formüller aşağıdaki gibidir:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

İki ifadenin toplamının küpü formülü şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamının küpü, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesi çarpı ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpım çarpı ikincinin karesi artı ikincinin küpüne eşittir. ifade.

Ve iki ifadenin farkının küpü formülü şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin farkının küpü, birinci ifadenin küpü eksi üç çarpı birinci ifadenin karesinin çarpımına ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katına ve ikinci eksi küpün karesine eşittir. ikinci ifadeden.

Problemleri çözerken bu formülleri ezbere bilmek arzu edilir. Hatırlamıyorsanız, endişelenmeyin! Onları kendi başınıza çıkarabilirsiniz. Nasıl olduğunu zaten biliyoruz.

Toplam küp formülünü kendi başımıza türetelim:

(a+b) 3

İfade ( a+b) 3, her biri () değerine eşit olan üç polinomun çarpımıdır. a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

Ama ifade ( a+b) 3 olarak da yazılabilir (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

Bu durumda, faktör ( a+ b) 2, iki ifadenin toplamının karesidir. Toplamın bu karesi ifadeye eşittir a 2 + 2ab + b 2 .

Sonra ( a+b) 3 olarak yazılabilir (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

Ve bu bir polinomun bir polinomla çarpımıdır. Hadi yürütelim:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Benzer şekilde, iki ifadenin farkının küpünün formülünü de türetebilirsiniz:

(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

örnek 1. ifadeyi dönüştürün ( x+ 1) 3'ü bir polinom haline getirin.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Bu örneği iki ifadenin toplamının küp formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım.

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Örnek 2. ifadeyi dönüştür (6a 2 + 3b 3) 3 bir polinom içine.

İki ifadenin toplamı için küp formülünü kullanalım:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9

Örnek 3. ifadeyi dönüştür ( n 2 − 3) 3'ü bir polinom haline getirin.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Örnek 4. ifadeyi dönüştür (2x 2 − x 3) 3 bir polinom içine.

İki ifadenin farkının küp formülünü kullanalım:

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

İki ifadenin farkını toplamları ile çarpma

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmanın gerekli olduğu problemler var. Örneğin:

(a-b)(a+b)

Bu ifadede iki ifadenin farkı a ve b aynı iki ifadenin toplamı ile çarpılır. Bu çarpma işlemini yapalım:

(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

ifade budur (a-b)(a+b) eşittir a 2 − b 2

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarptığımızda bu ifadelerin karelerinin farkını elde ettiğimizi görüyoruz.

İki ifadenin farkı ile toplamının çarpımı, bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir.

Olay (a-b)(a+b) herhangi birine uzatılabilir a ve b. Basitçe söylemek gerekirse, bir problem çözerken iki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak gerekiyorsa, bu çarpma bu ifadelerin karelerinin farkı ile değiştirilebilir.

örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x − 5)(2x + 5)

Bu örnekte, ifade farkı 2'dir. x ve 5 aynı ifadelerin toplamı ile çarpılır. Daha sonra formüle göre (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 sahibiz:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Sağ tarafı hesaplıyoruz, 4 elde ediyoruz x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Bu örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Aynı sonucu alacağız 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (4x − 5y)(4x + 5y)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

Örnek 3. çarpma işlemini gerçekleştir (2a+ 3b)(2a− 3b)

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(2bir + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

Bu örnekte, terimlerin toplamı 2'dir. a ve 3 b bu terimlerin farkı daha erken bulunur. Ve formülde (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 fark daha erken bulunur.

Faktörlerin nasıl düzenlendiği önemli değildir ( a-b) içinde ( a+b) formülünde bulunur. olarak yazılabilirler (a-b)(a+b) , ve (a+b)(a-b) . Sonuç yine de olacak a 2 − b 2, çünkü çarpım faktörlerin bir permütasyonundan değişmez.

Yani bu örnekte, faktörler (2 bir + 3b) ve 2 a- 3b) şeklinde yazılabilir. (2bir + 3b)(2a- 3b) , ve (2a- 3b)(2bir + 3b) . Sonuç yine 4 olacak. a 2 − 9b 2 .

Örnek 3. çarpma işlemini gerçekleştir (7 + 3x)(3x − 7)

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Örnek 4. çarpma işlemini gerçekleştir (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Örnek 5. çarpma işlemini gerçekleştir (−5x− 3y)(5x− 3y)

ifadesinde (-5 x− 3y) -1'i çıkarırsak, orijinal ifade aşağıdaki formu alacaktır:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Çalışmak (5x + 3y)(5x − 3y) kareler farkıyla değiştirin:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

Kareler farkı parantez içine alındı. Bu yapılmazsa, -1'in sadece (5 ile çarpıldığı ortaya çıkacaktır. x) 2. Bu da bir hataya yol açacak ve orijinal ifadenin değerini değiştirecektir.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Şimdi parantez içindeki ifadeyle -1'i çarpın ve nihai sonucu alın:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

İki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpma

İki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpmanın gerekli olduğu problemler var. Bu parça şuna benziyor:

(a-b)(a 2 + ab + b 2)

İlk polinom ( a-b) iki ifadenin farkı ve ikinci polinom (a 2 + ab + b 2) bu iki ifadenin toplamının eksik karesidir.

Toplamın eksik karesi, formun bir polinomudur. a 2 + ab + b 2 . Toplamın normal karesine benzer a 2 + 2ab + b 2

Örneğin, ifade 4x 2 + 6xy + 9y 2 2 ifadesinin toplamının eksik bir karesidir x ve 3 y .

Nitekim, ifadenin ilk terimi 4x 2 + 6xy + 9y 2 , yani 4 x 2, ifade 2'nin karesidir x, beri (2 x) 2 = 4x 2. İfadenin üçüncü terimi 4x 2 + 6xy + 9y 2 , yani 9 y 2, 3'ün karesidir y, çünkü (3 y) 2 = 9y 2. orta çük 6 xy, ifadelerin ürünüdür 2 x ve 3 y.

Öyleyse farkı çarpalım ( a-b) toplamın tamamlanmamış bir karesi ile a 2 + ab + b 2

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

ifade budur (a-b)(a 2 + ab + b 2) eşittir a 3 − b 3

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Bu özdeşliğe, iki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin farkı ile toplamlarının eksik karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin farkına eşittir.

örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Birinci polinom (2 x − 3y) iki ifadenin farkı 2 x ve 3 y. ikinci polinom 4x 2 + 6xy + 9y 2 iki ifadenin toplamının eksik karesidir 2 x ve 3 y. Bu, formülü uzun hesaplamalar yapmadan kullanmamızı sağlar. (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Bizim durumumuzda, çarpma (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) küp farkı 2 ile değiştirilebilir x ve 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (3 − x)(9 + 3x + x 2)

İlk polinom (3 − x) iki ifadenin farkıdır ve ikinci polinom bu iki ifadenin toplamının eksik karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar. (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

İki ifadenin toplamını farklarının eksik karesiyle çarpma

İki ifadenin toplamını, farklarının eksik karesiyle çarpmanın gerekli olduğu problemler vardır. Bu parça şuna benziyor:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

İlk polinom ( a+b (a 2 − ab + b 2) bu iki ifadenin farkının eksik bir karesidir.

Farkın eksik karesi, formun bir polinomudur. a 2 − ab + b 2 . Her zamanki kare farka benzer a 2 − 2ab + b 2 bunun dışında birinci ve ikinci ifadelerin çarpımı iki katına çıkmaz.

Örneğin, ifade 4x 2 − 6xy + 9y 2 ifadeler farkının eksik bir karesidir 2 x ve 3 y.

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Orijinal örneğe geri dönelim. toplamı çarpalım a+b farkın eksik karesi ile a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 - ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

ifade budur (a+b)(a 2 − ab + b 2) eşittir a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Bu özdeşliğe, iki ifadenin toplamını, farklarının eksik karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamının ve farklarının eksik karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir.

örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Birinci polinom (2 x + 3y) iki ifadenin toplamıdır 2 x ve 3 y, ve ikinci polinom 4x 2 − 6xy + 9y 2 bu ifadelerin farkının eksik karesidir. Bu, formülü uzun hesaplamalar yapmadan kullanmamızı sağlar. (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Bizim durumumuzda, çarpma (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) küplerin toplamı 2 ile değiştirilebilir x ve 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Birinci polinom (2 x+ y) iki ifadenin toplamıdır ve ikinci polinom (4x 2 − 2xy + y 2) bu ifadelerin farkının eksik bir karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Bağımsız çözüm için görevler

Dersi beğendin mi?
Yeni Vkontakte grubumuza katılın ve yeni ders bildirimlerini almaya başlayın

Cebirsel polinomları basitleştirmek için, kısaltılmış çarpma formülleri. Çok fazla değiller ve hatırlamaları kolay, ama onları hatırlamanız gerekiyor. Formüllerde kullanılan gösterim herhangi bir biçimde (sayı veya polinom) olabilir.

İlk kısaltılmış çarpma formülü denir kareler farkı. Bir sayının karesinden, ikinci sayının karesinin, bu sayılar ve bunların çarpımı arasındaki farka eşit olarak çıkarılması gerçeğinde yatmaktadır.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Netlik için analiz edelim:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

hakkında ikinci formül kareler toplamı. İki değerin karesinin toplamı birinci değerin karesine eşittir, birinci değerin ikinci ile çarpımının iki katı buna eklenir, ikinci değerin karesi onlara eklenir.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Bu formül sayesinde büyük bir sayının karesini bilgisayar teknolojisi kullanmadan hesaplamak çok daha kolay hale geliyor.

Yani mesela: 112'nin karesi olacak
1) Başlangıçta, kareleri bize tanıdık gelen sayılarla 112'yi analiz edeceğiz.
112 = 100 + 12
2) Alınanları köşeli parantez içinde giriyoruz
112 2 = (100+12) 2
3) Formülü uygulayarak şunları elde ederiz:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Üçüncü formül farkın karesi. Birbirinden karesi çıkarılan iki değerin, birinci değerin karesinden, birinci değerin çift çarpımını ikinciyle çarpıp ikinci değerin karesini onlara ekleyerek çıkarmamız gerçeğine eşit olduğunu söylüyor. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

burada (a - b) 2 eşittir (b - a) 2 . Bunu kanıtlamak için, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Dördüncü kısaltılmış çarpma formülü denir toplam küp. Kulağa şöyle geliyor: küpteki değerin iki terimi, 1 değerin küpüne eşittir, 1 değerin karesi çarpı 2. değerin üçlü ürünü eklenir, bunlara 1 değerin üçlü ürünü çarpı kare ile eklenir 2 değer artı ikinci değerin küpü.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Beşincisi, zaten anladığınız gibi denir fark küpü. Değerler arasındaki farkları bulan, küpteki ilk gösterimin üçlü ürününün karesini ikincisiyle çarpıp çıkardığımız gibi, birinci gösterimin üçlü ürünü çarpı ikinci gösterimin karesi ile bunlara eklenir. , eksi küpteki ikinci atama.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

altıncı denir küplerin toplamı. Küplerin toplamı, ortada iki katı bir değer olmadığından, farkın eksik karesi ile çarpılan iki terimin çarpımına eşittir.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Başka bir deyişle, küplerin toplamının iki parantez içinde çarpım olarak adlandırılabileceğini söyleyebilirsiniz.

Yedinci ve sonuncusu denir küp farkı(fark küpü formülüyle karıştırmak kolaydır ama bunlar farklı şeylerdir). Küplerin farkı, ortada ikiye katlanmış bir değer olmadığından, toplamın eksik karesi ile çarpılan iki miktarın farkının ürününe eşittir.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Ve böylece kısaltılmış çarpma için sadece 7 formül var, bunlar birbirine benziyor ve hatırlanması kolay, tek önemli şey işaretlerde kafa karıştırmamak. Aynı zamanda ters sırada kullanılmak üzere tasarlanmıştır ve ders kitaplarında toplanan bu tür birkaç görev vardır. Dikkatli ol ve başaracaksın.

Formüllerle ilgili herhangi bir sorunuz varsa, yorumlara yazmayı unutmayın. Size cevap vermekten memnuniyet duyarız!

Doğum iznindeyseniz ancak para kazanmak istiyorsanız. Sadece Oriflame ile İnternet işi bağlantısını takip edin. Her şey ayrıntılı olarak yazılır ve gösterilir. İlginç olacak!