İki ifadenin toplamının karesi
Bir polinomun bir polinomla çarpımının büyük ölçüde basitleştirilebildiği birkaç durum vardır. Örneğin, durum böyledir (2 x+ 3y) 2 .
İfade (2 x+ 3y) 2, her biri (2'ye eşit olan iki polinomun çarpımıdır.) x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Bir polinomun bir polinomla çarpımını elde ettik. Hadi yürütelim:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Yani, ifade (2 x+ 3y) 2 eşittir 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Daha basit olan benzer bir örneği çözelim:
(a+b) 2
İfade ( a+b) 2, her biri () değerine eşit olan iki polinomun çarpımıdır. a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Bu çarpma işlemini yapalım:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
ifade budur (a+b) 2 eşittir a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Görünen o ki, durum ( a+b) 2 herhangi biri için uzatılabilir a ve b. Çözdüğümüz ilk örnek, yani (2 x+ 3y) 2 kimlik kullanılarak çözülebilir (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Bunu yapmak için değişkenler yerine ikame etmeniz gerekir. a ve b ifadeden karşılık gelen terimler (2 x+ 3y) 2. Bu durumda değişken a maç çük 2 x, ve değişken b maç çük 3 y
a = 2x
b = 3y
Ve sonra kimliği kullanabiliriz (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , ancak değişkenler yerine a ve b ifadeleri değiştirmen gerekiyor 2 x ve 3 y sırasıyla:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Geçen seferki gibi, bir polinomumuz var 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Çözüm genellikle daha kısa yazılır ve tüm temel dönüşümleri zihinde gerçekleştirir:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Kimlik (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 iki ifadenin toplamının karesi için formül denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:
İki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci ifadenin karesi artı ikinci ifadenin karesine eşittir.
(2 + 3) 2 ifadesini ele alalım. İki şekilde hesaplanabilir: parantez içinde toplama yapın ve sonucun karesini alın veya iki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanın.
İlk yol:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
İkinci yol:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Örnek 2. İfadeyi dönüştür (5 a+ 3) 2'yi bir polinom haline getirin.
İki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanalım:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5bir + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 bir × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Anlamına geliyor, (5bir + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Bu örneği toplam kare formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu almalıyız:
(5bir + 3) 2 = (5bir + 3)(5bir + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
İki ifadenin toplamının karesi formülü geometrik bir anlama sahiptir. Bir karenin alanını hesaplamak için kenarını ikinci güce yükseltmeniz gerektiğini hatırlıyoruz.
Örneğin, bir kenarı olan karenin alanı a eşit olacak a 2. Karenin kenarını arttırırsanız b, o zaman alan ( a+b) 2
Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:
Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının arttığını hayal edin. b. Karenin tüm kenarları eşittir. Eğer tarafı arttırılırsa b, o zaman diğer taraflar da artacak b
Sonuç, öncekinden daha büyük olan yeni bir karedir. İyi görmek için eksik tarafları tamamlayalım:
Bu karenin alanını hesaplamak için içinde bulunan kareleri ve dikdörtgenleri ayrı ayrı hesaplayabilir, ardından sonuçları ekleyebilirsiniz.
İlk önce, bir kenarı olan bir kare hesaplayabilirsiniz. a- alanı şuna eşit olacak a 2. Sonra kenarları olan dikdörtgenleri hesaplayabilirsiniz. a ve b- eşit olacaklar ab. Sonra bir kenarı olan bir kare hesaplayabilirsiniz. b
Sonuç, aşağıdaki alanların toplamıdır:
a 2 + ab+ab + b 2
Özdeş dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 2 ile çarpılarak değiştirilebilir. ab, kelimenin tam anlamıyla "ab dikdörtgeninin alanını iki kez tekrarlayın" . Cebirsel olarak, bu benzer terimlerin indirgenmesiyle elde edilir. ab ve ab. Sonuç bir ifadedir a 2 + 2ab+ b 2 , iki ifadenin toplamının karesi için formülün sağ tarafı:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
İki ifadenin farkının karesi
İki ifadenin farkının karesi için formül aşağıdaki gibidir:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
İki ifadenin farkının karesi, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.
İki ifadenin farkının karesi formülü, iki ifadenin toplamının karesi formülüyle aynı şekilde elde edilir. İfade ( a-b) 2, her biri () değerine eşit olan iki polinomun ürünüdür. a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Bu çarpma işlemini yaparsanız, bir polinom elde edersiniz. a 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
örnek 1. İfadeyi dönüştür (7 x− 5) 2'yi bir polinom haline getirin.
İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanalım:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Anlamına geliyor, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Bu örneği fark kare formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu almalıyız:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
İki ifadenin farkının karesi formülü de geometrik bir anlama sahiptir. Bir kenarı olan karenin alanı ise a eşittir a 2 , daha sonra kenarı azaltılan karenin alanı b, eşit olacaktır ( a-b) 2
Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:
Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının b. Karenin tüm kenarları eşittir. Bir taraf azaltılırsa b, o zaman diğer taraflar da azalır b
Sonuç, öncekinden daha küçük olan yeni bir karedir. Şekilde sarı ile vurgulanmıştır. onun tarafı a− b eski taraftan beri a tarafından azaltılmış b. Bu karenin alanını hesaplamak için karenin orijinal alanını kullanabilirsiniz. a 2 eski karenin kenarlarını küçültme işleminde elde edilen dikdörtgenlerin alanlarını çıkarın. Bu dikdörtgenleri gösterelim:
O zaman şu ifadeyi yazabiliriz: eski alan a 2 eksi alan ab eksi alan ( a-b)b
a 2 − ab − (a-b)b
İfadedeki parantezleri genişletin ( a-b)b
a 2 − ab - ab + b 2
İşte benzer terimler:
a 2 − 2ab + b 2
Sonuç bir ifadedir a 2 − 2ab + b 2 , iki ifadenin farkının karesi için formülün sağ tarafı:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Toplamın karesi ve farkın karesi için formüllere genellikle denir. kısaltılmış çarpma formülleri. Bu formüller, polinomları çarpma sürecini önemli ölçüde basitleştirmenize ve hızlandırmanıza olanak tanır.
Daha önce bir polinomun bir üyesini ayrı ayrı ele alırken, onun önünde bulunan işaret ile birlikte düşünülmesi gerektiğini söylemiştik.
Ancak kısaltılmış çarpma formülleri uygulanırken orijinal polinomun işareti bu terimin kendisinin işareti olarak düşünülmemelidir.
Örneğin, ifade verildiğinde (5 x − 2y) 2 ve formülü kullanmak istiyoruz (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , o zaman yerine b 2'yi değiştirmen gerek y, değil -2 y. Bu, formüllerle çalışmanın unutulmaması gereken bir özelliğidir.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
-2 yerine koyarsak y, o zaman bu, orijinal ifadenin parantezlerindeki farkın toplamla değiştirildiği anlamına gelir:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
ve bu durumda farkın karesi formülünü değil, toplamın karesi formülünü uygulamak gerekir:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Bir istisna, formun ifadeleri olabilir (x− (−y)) 2 . Bu durumda formül kullanılarak (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 yerine b değiştirilmelidir (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Ancak formun kareleme ifadeleri x − (−y), çıkarmayı toplama ile değiştirmek daha uygun olacaktır. x+y. Daha sonra orijinal ifade ( x +y) 2 ve farkın değil, toplamın karesinin formülünü kullanmak mümkün olacaktır:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Toplam Küp ve Fark Küpü
İki ifadenin toplamının küpü ve iki ifadenin farkının küpü için formüller aşağıdaki gibidir:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
İki ifadenin toplamının küpü formülü şu şekilde okunabilir:
İki ifadenin toplamının küpü, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesi çarpı ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpım çarpı ikincinin karesi artı ikincinin küpüne eşittir. ifade.
Ve iki ifadenin farkının küpü formülü şu şekilde okunabilir:
İki ifadenin farkının küpü, birinci ifadenin küpü eksi üç çarpı birinci ifadenin karesinin çarpımına ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katına ve ikinci eksi küpün karesine eşittir. ikinci ifadeden.
Problemleri çözerken bu formülleri ezbere bilmek arzu edilir. Hatırlamıyorsanız, endişelenmeyin! Onları kendi başınıza çıkarabilirsiniz. Nasıl olduğunu zaten biliyoruz.
Toplam küp formülünü kendi başımıza türetelim:
(a+b) 3
İfade ( a+b) 3, her biri () değerine eşit olan üç polinomun çarpımıdır. a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Ama ifade ( a+b) 3 olarak da yazılabilir (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Bu durumda, faktör ( a+ b) 2, iki ifadenin toplamının karesidir. Toplamın bu karesi ifadeye eşittir a 2 + 2ab + b 2 .
Sonra ( a+b) 3 olarak yazılabilir (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Ve bu bir polinomun bir polinomla çarpımıdır. Hadi yürütelim:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Benzer şekilde, iki ifadenin farkının küpünün formülünü de türetebilirsiniz:
(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
örnek 1. ifadeyi dönüştürün ( x+ 1) 3'ü bir polinom haline getirin.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Bu örneği iki ifadenin toplamının küp formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım.
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Örnek 2. ifadeyi dönüştür (6a 2 + 3b 3) 3 bir polinom içine.
İki ifadenin toplamı için küp formülünü kullanalım:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9
Örnek 3. ifadeyi dönüştür ( n 2 − 3) 3'ü bir polinom haline getirin.
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Örnek 4. ifadeyi dönüştür (2x 2 − x 3) 3 bir polinom içine.
İki ifadenin farkının küp formülünü kullanalım:
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
İki ifadenin farkını toplamları ile çarpma
İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmanın gerekli olduğu problemler var. Örneğin:
(a-b)(a+b)
Bu ifadede iki ifadenin farkı a ve b aynı iki ifadenin toplamı ile çarpılır. Bu çarpma işlemini yapalım:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
ifade budur (a-b)(a+b) eşittir a 2 − b 2
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarptığımızda bu ifadelerin karelerinin farkını elde ettiğimizi görüyoruz.
İki ifadenin farkı ile toplamının çarpımı, bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir.
Olay (a-b)(a+b) herhangi birine uzatılabilir a ve b. Basitçe söylemek gerekirse, bir problem çözerken iki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak gerekiyorsa, bu çarpma bu ifadelerin karelerinin farkı ile değiştirilebilir.
örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x − 5)(2x + 5)
Bu örnekte, ifade farkı 2'dir. x ve 5 aynı ifadelerin toplamı ile çarpılır. Daha sonra formüle göre (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 sahibiz:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Sağ tarafı hesaplıyoruz, 4 alıyoruz x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Bu örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Aynı sonucu alacağız 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
Örnek 3. çarpma işlemini gerçekleştir (2a+ 3b)(2a− 3b)
İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(2bir + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Bu örnekte, terimlerin toplamı 2'dir. a ve 3 b bu terimlerin farkı daha erken bulunur. Ve formülde (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 fark daha erken bulunur.
Faktörlerin nasıl düzenlendiği önemli değildir ( a-b) içinde ( a+b) formülünde bulunur. olarak yazılabilirler (a-b)(a+b) , ve (a+b)(a-b) . Sonuç yine de olacak a 2 − b 2, çünkü çarpım faktörlerin bir permütasyonundan değişmez.
Yani bu örnekte, faktörler (2 bir + 3b) ve 2 a- 3b) şeklinde yazılabilir. (2bir + 3b)(2a- 3b) , ve (2a- 3b)(2bir + 3b) . Sonuç yine de 4 olacak. a 2 − 9b 2 .
Örnek 3. çarpma işlemini gerçekleştir (7 + 3x)(3x − 7)
İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Örnek 4. çarpma işlemini gerçekleştir (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
Örnek 5. çarpma işlemini gerçekleştir (−5x− 3y)(5x− 3y)
ifadesinde (-5 x− 3y) -1'i çıkarırsak, orijinal ifade aşağıdaki formu alacaktır:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Çalışmak (5x + 3y)(5x − 3y) kareler farkıyla değiştirin:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Kareler farkı parantez içine alındı. Bu yapılmazsa, -1'in sadece (5 ile çarpıldığı ortaya çıkacaktır. x) 2. Bu da bir hataya yol açacak ve orijinal ifadenin değerini değiştirecektir.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Şimdi parantez içindeki ifadeyle -1'i çarpın ve nihai sonucu alın:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
İki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpma
İki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpmanın gerekli olduğu problemler var. Bu parça şuna benziyor:
(a-b)(a 2 + ab + b 2)
İlk polinom ( a-b) iki ifadenin farkı ve ikinci polinom (a 2 + ab + b 2) bu iki ifadenin toplamının eksik karesidir.
Toplamın eksik karesi, formun bir polinomudur. a 2 + ab + b 2 . Toplamın normal karesine benzer a 2 + 2ab + b 2
Örneğin, ifade 4x 2 + 6xy + 9y 2 2 ifadesinin toplamının tamamlanmamış bir karesidir x ve 3 y .
Nitekim, ifadenin ilk terimi 4x 2 + 6xy + 9y 2 , yani 4 x 2, ifade 2'nin karesidir x, beri (2 x) 2 = 4x 2. İfadenin üçüncü terimi 4x 2 + 6xy + 9y 2 , yani 9 y 2, 3'ün karesidir y, çünkü (3 y) 2 = 9y 2. orta çük 6 xy, ifadelerin ürünüdür 2 x ve 3 y.
Öyleyse farkı çarpalım ( a-b) toplamın tamamlanmamış bir karesi ile a 2 + ab + b 2
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
ifade budur (a-b)(a 2 + ab + b 2) eşittir a 3 − b 3
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Bu özdeşliğe, iki ifadenin farkını toplamlarının eksik karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:
İki ifadenin farkı ile toplamlarının eksik karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin farkına eşittir.
örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Birinci polinom (2 x − 3y) iki ifadenin farkı 2 x ve 3 y. ikinci polinom 4x 2 + 6xy + 9y 2 iki ifadenin toplamının eksik karesi 2 x ve 3 y. Bu, formülü uzun hesaplamalar yapmadan kullanmamızı sağlar. (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Bizim durumumuzda, çarpma (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) küp farkı 2 ile değiştirilebilir x ve 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (3 − x)(9 + 3x + x 2)
İlk polinom (3 − x) iki ifadenin farkıdır ve ikinci polinom bu iki ifadenin toplamının eksik karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar. (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
İki ifadenin toplamını farklarının eksik karesiyle çarpma
İki ifadenin toplamını, farklarının eksik karesiyle çarpmanın gerekli olduğu problemler vardır. Bu parça şuna benziyor:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
İlk polinom ( a+b (a 2 − ab + b 2) bu iki ifadenin farkının eksik bir karesidir.
Farkın eksik karesi, formun bir polinomudur. a 2 − ab + b 2 . Her zamanki kare farka benzer a 2 − 2ab + b 2 bunun dışında birinci ve ikinci ifadelerin çarpımı iki katına çıkmaz.
Örneğin, ifade 4x 2 − 6xy + 9y 2 ifadeler farkının eksik bir karesidir 2 x ve 3 y.
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Orijinal örneğe geri dönelim. toplamı çarpalım a+b farkın eksik karesi ile a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 - ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
ifade budur (a+b)(a 2 − ab + b 2) eşittir a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Bu özdeşliğe, iki ifadenin toplamını, farklarının eksik karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:
İki ifadenin toplamının ve farklarının eksik karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir.
örnek 1. çarpma işlemini gerçekleştir (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Birinci polinom (2 x + 3y) iki ifadenin toplamıdır 2 x ve 3 y, ve ikinci polinom 4x 2 − 6xy + 9y 2 bu ifadelerin farkının eksik karesidir. Bu, formülü uzun hesaplamalar yapmadan kullanmamızı sağlar. (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Bizim durumumuzda, çarpma (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) küplerin toplamı 2 ile değiştirilebilir x ve 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
Örnek 2. çarpma işlemini gerçekleştir (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Birinci polinom (2 x+ y) iki ifadenin toplamıdır ve ikinci polinom (4x 2 − 2xy + y 2) bu ifadelerin farkının eksik bir karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Aynı sonucu alıyoruz, ancak çözüm uzuyor:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Bağımsız çözüm için görevler
Dersi beğendin mi?
Yeni Vkontakte grubumuza katılın ve yeni ders bildirimlerini almaya başlayın
Bu derste, toplamın karesi ve farkın karesi için formüllerle tanışacağız ve bunları türeteceğiz. Toplamın karesinin formülünü geometrik olarak ispatlayalım. Ayrıca bu formülleri kullanarak birçok farklı örnek çözeceğiz.
Toplamın karesi için formülü düşünün:
Böylece, toplamın karesi için formülü türettik:
Sözlü olarak bu formül şu şekilde ifade edilir: Toplamın karesi, birinci sayının karesi artı birinci sayının ikinci ile çarpımının iki katı artı ikinci sayının karesine eşittir.
Bu formülün geometrik olarak temsil edilmesi kolaydır.
Kenarı olan bir kare düşünün:
Kare alan.
Öte yandan, aynı kare, kenar a ve b'ye bölünerek farklı şekilde gösterilebilir (Şekil 1).
Pirinç. 1. Kare
Daha sonra karenin alanı, alanların toplamı olarak temsil edilebilir:
Kareler aynı olduğundan, alanları eşittir, yani:
Böylece, toplamın karesinin formülünü geometrik olarak kanıtlamış olduk.
Örnekleri düşünün:
Yorum:örnek, toplam kare formülü kullanılarak çözülmüştür.
Farkın karesi için formülü türetiyoruz:
Böylece, farkın karesi için formülü türettik:
Sözel olarak, bu formül şu şekilde ifade edilir: farkın karesi, birinci sayının karesi eksi birinci sayının çarpımının iki katı artı ikinci sayının karesine eşittir.
Örnekleri düşünün:
Toplamın karesi ve farkın karesi için formüller hem soldan sağa hem de sağdan sola çalışabilir. Soldan sağa kullanıldığında bunlar kısaltılmış çarpım formülleri olacaktır, örnekler hesaplanırken ve dönüştürülürken kullanılırlar. Ve sağdan sola kullanıldığında - çarpanlara ayırma formülleri.
Toplamın karesi ve farkın karesi için formülleri kullanarak belirli bir polinomu faktörlere ayırmanız gereken örnekleri düşünün. Bunu yapmak için polinoma çok dikkatli bakmanız ve onu doğru bir şekilde nasıl genişleteceğinizi tam olarak belirlemeniz gerekir.
Yorum: Bir polinomu çarpanlarına ayırmak için bu ifadede neyin temsil edildiğini belirlemeniz gerekir. Böylece birliğin karesini ve karesini görüyoruz. Şimdi çift çarpımı bulmamız gerekiyor - bu . Yani, gerekli tüm unsurlar orada, sadece bunun toplamın mı yoksa farkın karesi mi olduğunu belirlemeniz gerekiyor. İki katına çıkan çarpımdan önce bir artı işareti var, bu da toplamın karesine sahip olduğumuz anlamına geliyor.
Kısaltılmış çarpma formülleri.
Kısaltılmış çarpma formüllerini incelemek: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin karelerinin farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamı ve farkı.
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart bir forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Ezbere bilmeniz gereken kısaltılmış çarpma formülleri.
a, b R olsun. O zaman:
1. İki ifadenin toplamının karesi birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. İki ifadenin farkının karesi birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. kareler farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ile toplamlarının çarpımına eşittir.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. toplam küp iki ifadenin toplamı, birinci ifadenin küpü artı üç çarpı birinci ifadenin karesi çarpı ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpımı çarpı ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpüne eşittir.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. fark küpü iki ifadenin toplamı, birinci ifadenin küpü eksi üç çarpı birinci ifadenin karesinin çarpımına ve ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpımına ve ikinci ifadenin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamının, bu ifadelerin farkının eksik karesiyle çarpımına eşittir.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. küp farkı iki ifadenin toplamı, bu ifadelerin toplamının eksik karesi ile birinci ve ikinci ifadelerin farkının ürününe eşittir.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
örnek 1
Hesaplamak
a) İki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanarak,
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) İki ifadenin kare farkının formülünü kullanarak,
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Örnek 2
Hesaplamak
İki ifadenin karelerinin farkı için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 3
İfadeyi Basitleştirin
(x - y) 2 + (x + y) 2
İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi için formülleri kullanırız
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Bir tabloda kısaltılmış çarpma formülleri:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Ayrıca, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.
Kısaltılmış çarpma formülleri, ifadelerin aynı dönüşümlerini gerçekleştirmenize izin verir - polinomlar. Onların yardımıyla polinomlar çarpanlara ayrılabilir ve formülleri ters sırada kullanarak binomların, karelerin ve küplerin ürünleri polinomlar olarak temsil edilebilir. Kısaltılmış çarpma için genel olarak kabul edilen tüm formülleri, bunların türetilmesini, bu formülleri kullanarak ifadelerin özdeş dönüşümleri için ortak görevleri ve ayrıca ev ödevlerini (cevaplar bağlantılarla açılır) ele alalım.
toplam kare
Toplamın karesi için formül eşitliktir
(iki sayının toplamının karesi, birinci sayının karesi artı birinci sayının çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci sayının karesine eşittir).
Yerine a ve b herhangi bir sayı bu formüle ikame edilebilir.
Toplam kare formülü genellikle hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır. Örneğin,
Toplam kare formülü kullanılarak, polinom çarpanlara ayrılabilir, yani iki özdeş faktörün bir ürünü olarak temsil edilebilir.
örnek 1
.
Örnek 2 Bir polinom ifadesi olarak yazın
Karar. Toplamın karesi formülü ile elde ederiz
Farkın karesi
Farkın karesi formülü eşitliktir.
(iki sayı arasındaki farkın karesi, birinci sayının karesi eksi birinci sayının çarpımının iki katı ile ikinci sayının karesi artı ikinci sayının karesine eşittir).
Kare fark formülü genellikle hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır. Örneğin,
Fark kare formülü kullanılarak, polinom çarpanlara ayrılabilir, yani iki özdeş faktörün bir ürünü olarak temsil edilebilir.
Formül, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralından gelir:
Örnek 5 Bir polinom ifadesi olarak yazın
Karar. Farkın karesi formülü ile şunu elde ederiz:
.
Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün
Tam kare seçimi
Genellikle ikinci dereceden bir polinom, toplamın veya farkın karesini içerir, ancak gizli bir biçimde bulunur. Tam kareyi açıkça elde etmek için polinomu dönüştürmeniz gerekir. Bunu yapmak için, kural olarak, polinomun terimlerinden biri bir çift çarpım olarak temsil edilir ve daha sonra aynı sayı polinomdan toplanır ve çıkarılır.
Örnek 7
Karar. Bu polinom aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:
Burada sunduk 5 x 5/2'lik bir çift çarpım şeklinde x, polinoma eklendi ve aynı sayıdan çıkarıldı, ardından binom için toplam kare formülünü uyguladı.
eşitliği ispatladık yani
,
tam kare artı sayıya eşittir.
Örnek 8İkinci dereceden bir polinom düşünün
Karar. Üzerinde aşağıdaki dönüşümleri yapalım:
Burada sunduk 8 xçift ürün şeklinde x 4'e kadar, polinoma eklendi ve aynı sayı 4²'den çıkarıldı, binom için fark kare formülünü uyguladı x − 4 .
eşitliği ispatladık yani
,
ikinci dereceden bir polinom olduğunu gösteren
tam kare artı -16 sayısına eşittir.
Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün
toplam küp
Toplam küp formülü eşitliktir
(iki sayının toplamının küpü, birinci sayının küpü artı birinci sayının karesinin üç katı çarpı ikinci artı birinci sayının üç katı çarpı ikincinin karesinin artı küpüne eşittir) ikinci sayı).
Toplam küp formülü aşağıdaki gibi elde edilir:
Örnek 10 Bir polinom ifadesi olarak yazın
Karar. Toplam küp formülüne göre,
Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün
fark küpü
Fark küpü formülü eşitliktir
(iki sayının farkının küpü, birinci sayının küpü eksi birinci ve ikinci sayının karesinin üç katı artı birinci sayının ve ikinci sayının karesinin eksi küpünün üç katına eşittir. ikinci sayı).
Toplam küp formülü yardımıyla, polinom faktörlere ayrılabilir, yani üç özdeş faktörün bir ürünü olarak gösterilebilir.
Fark küpü formülü şu şekilde elde edilir:
Örnek 12. Bir polinom ifadesi olarak yazın
Karar. Fark küpü formülünü kullanarak,
Kısaltılmış çarpma formülünü kendiniz uygulayın ve ardından çözümü görün
kareler farkı
Kareler farkının formülü eşitliktir.
(iki sayının karelerinin farkı, bu sayıların toplamı ve farkının çarpımına eşittir).
Toplam küp formülünü kullanarak, formun herhangi bir polinomu çarpanlara ayrılabilir.
Formülün kanıtı, polinomlar için çarpma kuralı kullanılarak elde edildi:
Örnek 14Ürünü bir polinom olarak yazın
.
Karar. Kareler formülünün farkıyla,
Örnek 15çarpanlara ayır
Karar. Açık bir biçimde bu ifade hiçbir kimliğe uymaz. Ancak 16 sayısı 4 tabanıyla bir kuvvet olarak temsil edilebilir: 16=4². O zaman orijinal ifade farklı bir biçim alacaktır:
,
ve bu, kareler farkının formülüdür ve bu formülü uygulayarak şunu elde ederiz:
Yükleniyor...