Sayıyı 12 ile bölünebilir yapmak için. Bilimden başlayın. Sayı aralığı

Doğal sayıların bölünmesini basitleştirmek için, bir bölümde birleştirilen ilk on ve 11, 25 sayılarına bölme kuralları türetilmiştir. doğal sayıların bölünebilme işaretleri. Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya bölmeden çözümlemenin, bir doğal sayı olup olmadığı 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 ve biraz birim?

İlk basamağı 2,4,6,8,0 ile biten (biten) doğal sayılara çift denir.

Sayıların 2 ile bölünebilme işareti

Tüm çift doğal sayılar 2'ye bölünebilir, örneğin: 172, 94.67 838, 1670.

Sayıların 3 ile bölünebilme işareti

Tüm doğal sayılar, rakamları toplamı 3'ün katı olan 3'e bölünebilir. Örneğin:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Sayıların 4 ile bölünebilme işareti

Tüm doğal sayılar, son iki basamağı sıfır veya 4'ün katı olan 4'e bölünebilir. Örneğin:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Sayıların 5 ile bölünebilme işareti

Sayıların 6 ile bölünebilme işareti

Aynı anda hem 2 hem de 3 ile bölünebilen doğal sayılar 6 ile bölünebilir (3 ile bölünebilen tüm çift sayılar). Örneğin: 126 (b - çift, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Sayıların 9 ile bölünebilme işareti

Bu doğal sayılar, rakamları toplamı 9'un katı olan 9'a bölünebilir. Örneğin:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Sayıların 10'a bölünebilme işareti

Sayıların 11'e bölünebilme işareti

Sadece bu doğal sayılar 11 ile bölünebilir, bu sayılarda çift yerleri işgal eden rakamların toplamı tek yerleri işgal eden rakamların toplamına veya tek yerlerin rakamlarının toplamı ile çift yerlerin rakamlarının toplamı arasındaki farka eşittir. 11'in katıdır. Örneğin:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ve 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ve 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Sayıların 25 ile bölünebilme işareti

Bu doğal sayılar, son iki basamağı sıfır veya 25'in katı olan 25 ile bölünebilir. Örneğin:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Sayıların bit birimine bölünebilme işareti

Bu doğal sayılar, sıfır sayısının bit biriminin sıfır sayısından büyük veya ona eşit olduğu bir bit birimine bölünür. Örneğin: 12.000, 10, 100 ve 1000 ile bölünebilir.

Bölünebilirlik işaretleri üzerine bir dizi makale devam ediyor 3 ile bölünebilme işareti. Bu makale önce 3 ile bölünebilme kriterinin formülasyonunu verir ve verilen tamsayılardan hangilerinin 3 ile bölünebildiğini ve hangilerinin bölünemediğini bulmada bu kriterin uygulanmasına örnekler verir. Ayrıca 3 ile bölünebilme testinin ispatı verilmiştir. Bazı ifadelerin değeri olarak verilen sayıların 3 ile bölünebilirliğini kurma yaklaşımları da dikkate alınır.

Sayfa gezintisi.

3 ile bölünebilme işareti, örnekler

İle başlayalım 3 ile bölünebilme testinin formülasyonları: bir tamsayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa 3'e tam bölünür, rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa sayının kendisi 3'e tam bölünemez.

Yukarıdaki formülasyondan, 3'e bölünebilme işaretinin, doğal sayıların eklenmesini gerçekleştirme yeteneği olmadan kullanılamayacağı açıktır. Ayrıca, 3 ile bölünebilme işaretinin başarılı bir şekilde uygulanması için, tüm tek basamaklı doğal sayıların 3, 6 ve 9 sayılarının 3'e ve 1, 2, 4, 5 sayılarına bölünebildiğini bilmeniz gerekir. 7 ve 8 3'e tam bölünemez.

Şimdi en basitini düşünebiliriz 3 ile bölünebilme testi uygulama örnekleri. Sayının 3?42 ile tam bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunu yapmak için 42 sayısının rakamları toplamı 4+2=6'dır. 6, 3'e bölünebildiğine göre, 3'e bölünebilme işaretinden hareketle, 42 sayısının da 3'e tam bölünebildiği söylenebilir. Ancak 71 pozitif tamsayı 3'e bölünemez, çünkü basamaklarının toplamı 7+1=8'dir ve 8 de 3'e bölünemez.

0, 3'e bölünebilir mi? Bu soruyu cevaplamak için, 3'e bölünebilirlik testine gerek yoktur, burada sıfırın herhangi bir tam sayıya bölünebileceğini belirten bölünebilirliğin karşılık gelen özelliğini hatırlamamız gerekir. Yani 0, 3'e bölünebilir.

Bazı durumlarda, belirli bir sayının 3'e bölünebilme özelliğinin olup olmadığını göstermek için, 3'e bölünebilme testi arka arkaya birkaç kez uygulanmalıdır. Bir örnek alalım.

907444812 sayısının 3 ile tam bölünebildiğini gösteriniz.

907444812'nin rakamları toplamı 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39'dur. 39'un 3'e bölünüp bölünemeyeceğini bulmak için basamaklarının toplamını hesaplıyoruz: 3+9=12 . 12'nin 3'e tam bölünüp bölünemeyeceğini bulmak için 12 sayısının rakamları toplamını buluruz, 1+2=3 elde ederiz. 3 ile bölünebilen 3 sayısını elde ettiğimize göre, 3 ile bölünebilme işareti nedeniyle 12 sayısı 3 ile bölünebilir. Bu nedenle 39 sayısı 3'e bölünebilir, çünkü rakamlarının toplamı 12'dir ve 12 de 3'e bölünebilir. Son olarak, 907333812 3'e bölünebilir çünkü rakamları toplamı 39 ve 39'u 3'e bölünebilir.

Malzemeyi pekiştirmek için başka bir örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Sayı 3 ile bölünebilir mi? 543 205?

Bu sayının rakamları toplamını hesaplayalım: 5+4+3+2+0+5=19 . 19 sayısının rakamları toplamı 1+9=10, 10 sayısının rakamları toplamı 1+0=1 olur. 3'e tam bölünemeyen 1 sayısını elde ettiğimize göre, 3'e bölünebilme kriterinden 10'un 3'e tam bölünemeyeceği sonucu çıkar. Bu nedenle 19, 3'e bölünemez, çünkü rakamları toplamı 10'dur ve 10, 3'e bölünemez. Bu nedenle, orijinal sayı?543205 3'e bölünemez, çünkü 19'a eşit olan rakamları toplamı 3'e bölünemez.

Belirli bir sayının 3'e doğrudan bölünmesinin, verilen sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceği sonucuna varmamıza da izin verdiğini belirtmekte fayda var. Bununla, 3 ile bölünebilme işareti lehine bölmenin ihmal edilmemesi gerektiğini söylemek istiyoruz. Son örnekte, 543 205'i bir sütuna 3'e bölerek, 543 205'in 3'e tam bölünemeyeceğini garanti ederdik, bundan da 543 205'in 3'e bölünemez olduğunu söyleyebiliriz.

3 ile bölünebilme testinin ispatı

A sayısının aşağıdaki temsili, 3 ile bölünebilme işaretini kanıtlamamıza yardımcı olacaktır. Herhangi bir a doğal sayısını basamaklara ayırabiliriz, bunun ardından 10, 100, 1000 ile çarpma kuralı a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ biçiminin bir temsilini elde etmemize izin verir. a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , burada a n , a n?1 , …, a 0 a sayısında soldan sağa rakamlardır. Açıklık sağlamak için, böyle bir gösterime bir örnek veriyoruz: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Şimdi oldukça açık bir dizi eşitlik yazalım: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 vb.

Denklemin içine a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 yerine 10 , 100 , 1 000 vb. ifadeler 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 vb.
.

Doğal sayıların toplama özellikleri ve doğal sayıların çarpma özellikleri, elde edilen eşitliğin aşağıdaki gibi yeniden yazılmasına izin verir:

İfade a'nın rakamları toplamıdır. Kısa ve kullanışlı olması için A harfi ile belirtelim, yani kabul ediyoruz. Daha sonra, 3 ile bölünebilirlik testini kanıtlamak için kullanacağımız formun a sayısının bir temsilini elde ederiz.

Ayrıca, 3 ile bölünebilirlik testini kanıtlamak için aşağıdaki bölünebilirlik özelliklerine ihtiyacımız var:

bir a tamsayının b tamsayısına bölünebilmesi için a'nın modülünün b'nin modülüne bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir;
a=s+t eşitliğinde, biri hariç tüm terimler bir b tamsayısına bölünebiliyorsa, bu terim b ile de bölünebilir.

Artık tamamen hazırız ve gerçekleştirebiliriz 3 ile bölünebilme kanıtı, kolaylık olması açısından bu özelliği 3 ile bölünebilme için gerekli ve yeterli koşul olarak formüle ediyoruz.

Bir a tamsayının 3'e tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'e tam bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

a=0 için teorem açıktır.

a sıfırdan farklıysa, o zaman a'nın modülü doğal bir sayıdır, o zaman a'nın basamaklarının toplamı olan bir temsil mümkündür.

Tamsayıların toplamı ve çarpımı bir tamsayı olduğundan, o zaman bir tamsayıdır, bu durumda bölünebilirlik tanımına göre, ürün herhangi bir a 0 , a 1 , …, an n için 3'e bölünebilir.

a sayısının rakamları toplamı 3'e tam bölünüyorsa, yani A 3'e tam bölünürse, teoremden önce belirtilen bölünebilme özelliğinden dolayı 3'e bölünür, dolayısıyla a 3'e tam bölünür. Bu yeterliliğini kanıtlıyor.

Eğer a 3'e bölünebiliyorsa, 3'e de bölünebilir, bu durumda aynı bölünebilme özelliğinden dolayı A sayısı 3'e bölünür, yani a sayısının rakamları toplamı 3'e bölünür. Bu gerekliliği kanıtlıyor.

3 ile bölünebilmenin diğer halleri

Bazen tamsayılar açıkça belirtilmez, ancak değişkenin belirli bir değeri için değişkenli bir ifadenin değeri olarak belirtilir. Örneğin, bazı doğal n için bir ifadenin değeri doğal bir sayıdır. Bu sayıların atanmasıyla, 3'e doğrudan bölmenin, bunların 3'e bölünebilmelerini sağlamaya yardımcı olmayacağı ve 3'e bölünebilme işaretinin her zaman uygulanamayacağı açıktır. Şimdi bu tür sorunları çözmek için çeşitli yaklaşımları ele alacağız.

Bu yaklaşımların özü, orijinal ifadeyi birkaç faktörün bir ürünü olarak temsil etmektir ve faktörlerden en az biri 3'e bölünebilirse, karşılık gelen bölünebilirlik özelliği nedeniyle, tüm ürünün olduğu sonucuna varmak mümkün olacaktır. 3 ile bölünebilir.

Bazen bu yaklaşım Newton'un iki terimi kullanılarak uygulanabilir. Örnek bir çözüm düşünelim.

Herhangi bir doğal n için ifadenin değeri 3'e bölünebilir mi?

Eşitlik açıktır. Newton'un binom formülünü kullanalım:

Son ifadede, parantezlerin 3'ünü alabiliriz ve elde ederiz. Elde edilen ürün 3'e bölünebilir, çünkü bir faktör 3 içerir ve doğal n için parantez içindeki ifadenin değeri doğal bir sayıdır. Bu nedenle, herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilir.

Çoğu durumda, 3'e bölünebilirlik matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlanabilir. Bir örnek çözerek uygulamasını analiz edelim.

Herhangi bir doğal n için ifadenin değerinin 3'e bölünebildiğini kanıtlayın.

Kanıt için matematiksel tümevarım yöntemini kullanıyoruz.

n=1 için, ifadenin değeri 'dir ve 6, 3'e bölünebilir.

n=k olduğunda ifadenin değerinin 3'e bölünebildiğini, yani 3'e bölünebildiğini varsayalım.

3 ile bölünebildiğini göz önünde bulundurarak, n=k+1 ifadesinin değerinin 3 ile bölünebildiğini göstereceğiz, yani 3 ile bölünebilir.

Bazı dönüşümler yapalım:

İfade 3'e bölünür ve ifade 3'e bölünebilir, yani toplamları 3'e bölünebilir.

Böylece matematiksel tümevarım yöntemi, herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilirliği kanıtladı.

3 ile bölünebilirliğin ispatına bir yaklaşım daha gösterelim. n=3 m , n=3 m+1 ve n=3 m+2 için, burada m isteğe bağlı bir tam sayıdır, bazı ifadelerin (n değişkenli) değerinin 3 ile bölünebildiğini gösterirsek, bu kanıtlanacaktır. ifadenin herhangi bir tamsayı için 3'e bölünebilirliği n . Önceki örneği çözerken bu yaklaşımı göz önünde bulundurun.

Herhangi bir doğal n için neyin 3'e bölünebileceğini gösterin.

n=3 m için elimizde. Elde edilen ürün 3'e bölünebilir çünkü 3'e bölünebilen bir faktör içerir.

Ortaya çıkan ürün de 3'e bölünebilir.

Ve bu ürün 3 ile bölünebilir.

Bu nedenle, herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilir.

Sonuç olarak, bir örneğin daha çözümünü sunuyoruz.

İfadenin değeri 3'e bölünebilir mi? bazı doğal n için

n=1 için elimizde. Ortaya çıkan sayının rakamları toplamı 3'tür, bu nedenle 3'e bölünebilme işareti, bu sayının 3'e bölünebildiğini iddia etmemizi sağlar.

n=2 için elimizde. Rakamlar ve bu sayının toplamı 3 olduğundan 3'e tam bölünür.

Başka herhangi bir doğal n için rakamları toplamı 3 olan sayılara sahip olacağımız açıktır, bu nedenle bu sayılar 3'e bölünebilir.

Böylece, herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilir.

www.cleverstudents.ru

Matematik, 6. sınıf, eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematik, 6. sınıf, eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Ders kitabındaki teorik materyal, öğretmenin öğretime probleme dayalı bir yaklaşım uygulayabileceği şekilde sunulur. Notasyon sisteminin yardımıyla, dört karmaşıklık seviyesindeki alıştırmalar ayırt edilir. Her paragrafta, öğrencilerin matematik eğitimi standardı seviyesine ulaşmak için neleri bilmeleri ve başarabilmeleri gerektiğine dayalı olarak kontrol görevleri formüle edilmiştir. Ders kitabının sonunda ev testleri ve cevapları bulunmaktadır. Renkli çizimler (çizimler ve diyagramlar) yüksek düzeyde eğitim materyali netliği sağlar.
GEF LLC'nin gereksinimlerine uygundur.

Görevler.

4. Bir ABC üçgeni çizin ve bunun dışında bir O noktası işaretleyin (Şekil 11'deki gibi). O noktasına göre ABC üçgenine simetrik bir şekil oluşturun.

5. KMN üçgenini çizin ve bu üçgene göre simetrik bir şekil oluşturun:
a) köşeleri - M noktaları;
b) O noktaları - MN tarafının orta noktaları.

6. Simetrik bir şekil oluşturun:
a) O noktasına göre OM ışını; hangi noktanın O noktasına simetrik olduğunu yazın;
b) OM ışını, bu ışına ait olmayan keyfi bir A noktasına göre;
c) O noktasına göre AB düz çizgisi, bu çizgiye ait değil;
d) AB doğrusuna göre bu doğruya ait O noktasına göre; Hangi noktanın O noktasına simetrik olduğunu yazın.
Her durumda, merkezi simetrik şekillerin göreli konumunu tanımlayın.

İçindekiler
Bölüm I. Pozitif ve negatif sayılar. koordinatlar
§ 1. Dönme ve merkezi simetri
§ 2. Pozitif ve negatif sayılar. koordinat çizgisi
§ 3. Sayı modülü. Zıt sayılar
§ 4. Sayıların karşılaştırılması
§ 5. Çizgilerin paralelliği
§ 6. "+", "-" işaretlerini içeren sayısal ifadeler
§ 7. Cebirsel toplam ve özellikleri
§ 8. İki sayının cebirsel toplamının değerini hesaplama kuralı
§ 9. Koordinat çizgisinin noktaları arasındaki mesafe
§ 10. Eksenel simetri
§ 11. Sayı boşlukları
§ 12. Pozitif ve negatif sayıların çarpımı ve bölünmesi
§ 13. Koordinatlar
§ 14. Koordinat düzlemi
§ 15. Sıradan kesirlerin çarpımı ve bölünmesi
§ 16. Kombinatoryal problemler için çarpma kuralı
Bölüm II. Değişmez ifadeleri dönüştürme
§ 17. Braket genişletmesi
§ 18. İfadelerin sadeleştirilmesi
§ 19. Denklemlerin çözümü
§ 20. Denklemleri derlemek için problem çözme
§ 21. Kesirlerle ilgili iki ana problem
§ 22. Daire. çevre
§ 23. Daire. Bir dairenin alanı
§ 24. Top. küre
Bölüm III. Doğal sayıların bölünebilirliği
§ 25. Bölenler ve Katlar
§ 26. Bir eserin bölünebilirliği
§ 27. Sayıların toplamının ve farkının bölünebilirliği
§ 28. 2, 5, 10, 4 ve 25 ile bölünebilme işaretleri
§ 29. 3 ve 9 ile bölünebilme işaretleri
§ 30. Asal sayılar. Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma
§ 31. En Büyük Ortak Bölen
§ 32. Asal sayılar. Bir ürün tarafından bölünebilirlik işareti. En küçük ortak Kat
Bölüm IV. Çevremizdeki matematik
§ 33. İki sayının oranı
§ 34. Diyagramlar
§ 35. Miktarların orantılılığı
§ 36. Oranları kullanarak problem çözme
§ 37. Çeşitli görevler
§ 38. "Olasılık" kavramıyla ilk tanışma
§ 39. Olasılığın hesaplanmasıyla ilk tanışma
Ev testleri
Proje faaliyetleri için konular
Yanıtlar

Uygun bir formatta ücretsiz e-kitabı indirin ve okuyun:

Matematik

1-6 SINIFLAR İÇİN MATEMATİK İLE İLGİLİ REFERANS MATERYAL.

Sevgili ebeveynler!Çocuğunuz için matematik öğretmeni arıyorsanız bu ilan tam size göre. Skype dersi veriyorum: OGE'ye hazırlık, Birleşik Devlet Sınavı, bilgi eksikliklerinin giderilmesi. Avantajlarınız açık:

1) Çocuğunuz evde ve siz onun için sakin olabilirsiniz;

2) Dersler çocuk için uygun bir zamanda yapılır ve hatta bu derslere katılabilirsiniz. Her zamanki okul panosunda basit ve net bir şekilde açıklarım.

3) Skype derslerinin diğer önemli avantajlarını kendiniz düşünebilirsiniz!

Bana şu adresten yazın: veya beni hemen Skype'tan ekleyin, her konuda anlaşacağız. Fiyatlar uygun.

not Dersler 2-4 kişilik gruplar halinde verilmektedir.

Saygılarımla, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko bu sitenin yazarıdır.

Sevgili arkadaşlar!

için ücretsiz matematik referans materyallerini indirmenizi teklif etmekten memnuniyet duyuyorum. 5. sınıf. Buradan indirin!

Sevgili arkadaşlar!

Bazı çocukların çarpma ve uzun bölme işlemlerinde zorluk yaşadıkları bir sır değil. Çoğu zaman bu, çarpım tablosunun yetersiz bilgisinden kaynaklanmaktadır. Loto yardımıyla çarpım tablosunu öğrenmeyi öneriyorum. Daha fazlasını burada görün. Lotoyu buradan indirin.

Sevgili arkadaşlar! Yakında karar verme ihtiyacıyla yüzleşeceksiniz (veya zaten karşılaşacaksınız) ilgi görevleri. Bu tür problemler 5. sınıfta çözülmeye başlar ve biter. ama yüzdeler için problem çözmeyi bitirmezler! Bu görevler hem kontrolde hem de sınavlarda bulunur: hem devredilebilir hem de OGE ve Birleşik Devlet Sınavı. Ne yapalım? Bu sorunları nasıl çözeceğimizi öğrenmemiz gerekiyor. Yüzdelerle Problemler Nasıl Çözülür kitabım bu konuda size yardımcı olacaktır. Ayrıntılar burada!

Sayıların eklenmesi.

a+b=c, burada a ve b terimdir, c toplamdır.
Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Sayıların çıkarılması.

a-b=c, burada a eksi, b çıkan sayı, c farktır.
Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkan farkı farka eklemeniz gerekir.
Bilinmeyen çıkarımı bulmak için, eksiden farkı çıkarmanız gerekir.

Sayıların çarpımı.

bir b=c, a ve b'nin faktörler olduğu yerde, c çarpımdır.
Bilinmeyen faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Sayıların bölünmesi.

a:b=c, burada a temettü, b bölen, c bölümdür.
Bilinmeyen payı bulmak için böleni bölümle çarpmanız gerekir.
Bilinmeyen bir bölen bulmak için temettü bölümünü bölüme bölmeniz gerekir.

Ekleme yasaları.

a+b=b+a(yer değiştirme: toplam, terimlerin yeniden düzenlenmesinden değişmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(çağrışımsal: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için, birinci sayıya ikinci ve üçüncünün toplamını ekleyebilirsiniz).

Ekleme tablosu.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Çarpma yasaları.

bir b=b bir(yer değiştirme: faktörlerin permütasyonu ürünü değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleştirici: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).
(a+b) c=a c+b c(toplamaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, her terimi bu sayı ile çarpabilir ve sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çıkarmaya göre çarpmanın dağıtım yasası: İki sayının farkını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, bu sayının indirgenmiş ve ayrı ayrı çarpılması ve ikincisini ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).

Çarpım tablosu.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Bölenler ve katlar.

bölücü doğal sayı a hangi doğal sayıyı adlandırın a kalansız bölünür. (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayıları 24 sayısının bölenleridir, çünkü 24 her biri ile kalansız bölünebilir) Herhangi bir doğal sayının 1-bölüneni. Herhangi bir sayının en büyük böleni sayının kendisidir.
çoklu doğal sayı b kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır b. (24, 48, 72, ... sayıları 24'ün katlarıdır, çünkü 24'e kalansız bölünürler). Herhangi bir sayının en küçük katı sayının kendisidir.

Doğal sayıların bölünebilirlik işaretleri.

Nesneleri sayarken kullanılan sayılara (1, 2, 3, 4, ...) doğal sayılar denir. Doğal sayılar kümesi harfle gösterilir N.
sayılar 0, 2, 4, 6, 8 aranan Bile sayılar. Sonu çift rakamlarla biten sayılara çift sayılar denir.
sayılar 1, 3, 5, 7, 9 aranan garip sayılar. Sonu tek rakamlarla biten sayılara tek sayı denir.
2 ile bölünebilme işareti. Sonu çift bir rakamla biten tüm doğal sayılar 2'ye tam bölünür.
5 sayısı ile bölünebilme işareti. 0 veya 5 ile biten tüm doğal sayılar 5'e tam bölünür.
10 sayısı ile bölünebilme işareti. Sonu 0 ile biten tüm doğal sayılar 10'a tam bölünür.
3 ile bölünebilme işareti. Bir sayının rakamları toplamı 3'e tam bölünüyorsa o sayının kendisi 3'e tam bölünür.
9 sayısı ile bölünebilme işareti. Bir sayının rakamları toplamı 9'a tam bölünüyorsa o sayı 9'a tam bölünür.
4 ile bölünebilme işareti. Bir sayının son iki basamağından oluşan sayı 4'e tam bölünüyorsa o sayı 4'e tam bölünür.
11 sayısına bölünebilme işareti. Tek yerlerdeki rakamların toplamı ile çift yerlerdeki rakamların toplamı arasındaki fark 11'e bölünüyorsa, sayı 11'e tam bölünür.

Asal sayı, yalnızca iki böleni olan bir sayıdır: bir ve sayının kendisi.
Bileşik sayı, ikiden fazla böleni olan sayılardır.
1 sayısı asal veya bileşik sayı değildir.
Bileşik bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmak, bir bileşik sayıyı asal çarpanlara ayırmaya denir. Herhangi bir bileşik sayı, asal faktörlerin bir ürünü olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Verilen doğal sayıların en büyük ortak böleni, bu sayıların bölünebildiği en büyük doğal sayıdır.
Bu sayıların en büyük ortak böleni, bu sayıların açılımlarında ortak asal çarpanların çarpımına eşittir. Örnek. OBEB(24, 42)=2 3=6, 24=2 2 2 3, 42=2 3 7 olduğundan ortak asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Doğal sayıların yalnızca bir ortak böleni varsa - bir, o zaman bu sayılara asal denir.

Verilen doğal sayıların en küçük ortak katı, verilen sayıların her birinin katı olan en küçük doğal sayıdır. Örnek. LCM(24, 42)=168. Hem 24 hem de 42 ile bölünebilen en küçük sayıdır.
Verilen birkaç doğal sayının LCM'sini bulmak için gereklidir: 1) verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırmak; 2) sayıların en büyüğünün açılımını yazın ve diğer sayıların açılımlarından eksik çarpanlarla çarpın.
İki asal sayının en küçük katı bu sayıların çarpımına eşittir.

b- bir kesrin paydası, kaç eşit parçanın bölündüğünü gösterir;

a- kesrin payı, bu tür kaç parçanın alındığını gösterir. Kesirli çubuk, bölme işareti anlamına gelir.

Bazen yatay bir kesirli çizgi yerine eğik çizgi koyarlar ve sıradan bir kesir şöyle yazılır: a/b.

saat uygun kesir pay paydadan küçüktür.
saat uygun olmayan kesir pay paydadan büyük veya paydaya eşittir.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse ona eşit bir kesir elde edilir.

Bir kesrin hem payını hem de paydasını ortak bölenlerinin birinden farklı olanlarına bölme işlemine kesir indirgeme denir.

Bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşan sayılara karışık sayı denir.
Yanlış bir kesri karışık sayı olarak gösterebilmek için, kesrin payını paydaya bölmek gerekir, o zaman eksik bölüm karışık sayının tamsayı kısmı, kalan kısım kesirli kısmın payı olacaktır. , ve payda aynı kalacaktır.
Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermek için, karışık sayının tamsayı kısmını payda ile çarpmanız, kesirli kısmın payını sonuca ekleyip yanlış kesrin payına yazmanız ve paydayı bırakmanız gerekir. aynısı.

Işın ey noktasında orijin ile Ö, hangi tek kesim ve yön, aranan koordinat ışını.
Koordinat ışınının noktasına karşılık gelen sayıya denir. koordinat bu nokta. Örneğin , Bir(3). Okuyun: A noktası, koordinat 3 ile.

En küçük ortak payda ( NOZ) bu indirgenemez kesirlerin en küçük ortak katıdır ( NOC) bu kesirlerin paydaları.
Kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için: 1) bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulmalısınız, en küçük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydayı her kesrin paydasına böldüğümüz kesirlerin her biri için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek çarpanıyla çarpın.

Paydaları aynı olan iki kesirden payı büyük olan büyük, payı küçük olan kesir daha küçüktür.
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan büyük, paydası büyük olan ise daha küçüktür.
Farklı paylara ve farklı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmak için, kesirleri en küçük ortak paydaya indirmeniz ve ardından aynı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmanız gerekir.

Adi kesirler üzerinde işlemler.

Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını toplamanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Farklı paydalara sahip kesirler eklemeniz gerekiyorsa, önce kesirleri en küçük ortak paydaya indirin ve ardından aynı paydalara sahip kesirleri ekleyin.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikinci kesrin payı birinci kesrin payından çıkarılır ve payda aynı kalır.
Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmanız gerekiyorsa, bunlar önce ortak bir paydaya getirilir, ardından paydaları aynı olan kesirler çıkarılır.
Karışık sayılarda toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken bu işlemler tamsayılı kısımlar ve kesirli kısımlar için ayrı ayrı yapılır ve sonuç karışık sayı olarak yazılır.

İki sıradan kesrin çarpımı, payı payların çarpımına eşit olan bir kesre eşittir ve payda, verilen kesirlerin paydalarının ürünüdür.
Sıradan bir kesri doğal bir sayı ile çarpmak için, kesrin payını bu sayı ile çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Çarpımı bire eşit olan iki sayıya karşılıklı sayılar denir.
Karışık sayılar çarpılırken, önce uygun olmayan kesirlere dönüştürülürler.
Bir sayının kesirini bulmak için o sayıyı o kesirle çarpmanız gerekir.

Ortak bir kesri ortak bir kesre bölmek için, bölenin tersi ile böleni çarpmanız gerekir.
Karışık sayıları bölerken, önce uygun olmayan kesirlere dönüştürülürler.
Sıradan bir kesri doğal bir sayıya bölmek için, kesrin paydasını bu doğal sayı ile çarpmanız ve payı aynı bırakmanız gerekir. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
Bir sayıyı kesre göre bulmak için, ona karşılık gelen sayıyı bu kesre bölmeniz gerekir.

Ondalık kesir, ondalık sistemde yazılmış ve basamakları birden küçük olan bir sayıdır. (3.25; 0.1457 vb.)
Ondalık noktadan sonraki ondalık basamaklara ondalık basamak denir.
Ondalık kesrin sonuna sıfırlar eklenirse veya atılırsa ondalık kesir değişmez.

Ondalık kesirler eklemek için şunları yapmanız gerekir: 1) bu kesirlerdeki ondalık basamak sayısını eşitleyin; 2) virgül altına virgül gelecek şekilde alt alta yazın; 3) Toplama kesirlerinde virgül dikkate alınmadan toplama işlemi yapılır ve virgüllerin altına virgül konur.

Ondalık kesirlerin çıkarılmasını gerçekleştirmek için yapmanız gerekenler: 1) eksi ve çıkarmadaki ondalık basamak sayısını eşitlemek; 2) virgülün virgülün altında olması için eksiltilenin altında imzalayın; 3) virgülü yok sayarak çıkarma işlemini gerçekleştirin ve sonuç olarak, virgülü eksi ve çıkarılan virgüllerin altına koyun.

Bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarpmak için, virgülü yok sayarak bu sayı ile çarpmanız ve elde edilen üründe, verilen kesirdeki ondalık noktadan sonra olduğu kadar sağdaki basamağı ayırmanız gerekir.
Bir ondalık kesri diğeriyle çarpmak için, çarpma işlemini virgülleri yok sayarak yapmanız ve ortaya çıkan sonuçta, her iki faktörde de virgüllerden sonra olduğu kadar çok basamağı sağda virgülle ayırmanız gerekir.
Bir ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmak için ondalık noktayı 1, 2, 3 vb. basamaklarla sağa kaydırmanız gerekir.
Bir ondalık sayıyı 0.1 ile çarpmak için; 0.01; 0.001 vb., virgülü 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırmanız gerekir.

Bir ondalık kesri doğal bir sayıya bölmek için kesri bu sayıya bölmeniz gerekir, çünkü doğal sayılar bölünür ve bütün parçanın bölünmesi bittiğinde özel virgül konur.
Bir ondalık basamağı 10, 100, 1000 vb. ile bölmek için virgülü 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırmanız gerekir.

Bir sayıyı ondalık sayıya bölmek için, bölen ve bölendeki virgülleri, bölendeki ondalık noktadan sonra oldukları kadar sağa kaydırmanız ve ardından doğal bir sayıya bölmeniz gerekir.
Bir ondalık sayıyı 0,1'e bölmek için; 0.01; 0.001 vs., virgülü 1, 2, 3 vb. hanelerle sağa kaydırmanız gerekir. (Bir ondalık sayıyı 0,1; 0,01; 0,001 vb. ile bölmek, o ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmakla aynıdır.)

Bir sayıyı belirli bir basamağa yuvarlamak için, bu basamağın basamağının altını çizeriz ve ardından altı çizili olanın arkasındaki tüm basamakları sıfırlarla değiştiririz ve ondalık noktadan sonraysa atarız. İlk sıfır değiştirilen veya atılan basamak 0, 1, 2, 3 veya 4 ise, altı çizili basamak değişmeden bırakılır. Sıfır ile değiştirilen veya atılan ilk rakam 5, 6, 7, 8 veya 9 ise, altı çizili rakam 1 artırılır.

Birkaç sayının aritmetik ortalaması.

Birkaç sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesinin bölümüdür.

Bir dizi sayının aralığı.

Veri serisinin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farka sayı serisinin aralığı denir.

sayı serisi moda.

Serilerin verilen sayıları arasında en büyük sıklıkta meydana gelen sayıya sayı dizisinin modu denir.

Yüzde birine yüzde denir. "Yüzde sorunlarının nasıl çözüleceğini" öğreten bir kitap satın alın.
Yüzdeleri kesir veya doğal sayı olarak ifade etmek için yüzdeyi %100'e bölmeniz gerekir. (%4=0.04; %32=0.32).
Bir sayıyı yüzde olarak ifade etmek için %100 ile çarpmanız gerekir. (0,65=0,65 %100=%65; 1,5=1,5 %100=%150).
Bir sayının yüzdesini bulmak için, yüzdeyi adi veya ondalık kesir olarak ifade etmeniz ve elde edilen kesri verilen sayı ile çarpmanız gerekir.
Bir sayıyı yüzdesine göre bulmak için yüzdeyi adi veya ondalık kesir olarak ifade etmeniz ve verilen sayıyı bu kesre bölmeniz gerekir.
İkinciden ilk sayının yüzdesini bulmak için ilk sayıyı ikinciye bölmeniz ve sonucu %100 ile çarpmanız gerekir.

İki sayının bölümüne bu sayıların oranı denir. a:b veya a/b a ve b sayılarının oranıdır, ayrıca a önceki terimdir, b sonraki terimdir.
Bu ilişkinin terimleri yeniden düzenlenirse, ortaya çıkan ilişkiye bu ilişkinin tersi denir. b/a ve a/b bağıntıları karşılıklı olarak terstir.
Oranın her iki terimi de sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılırsa veya bölünürse oran değişmez.

İki oranın eşitliğine orantı denir.
a:b=c:d. Bu orantıdır. Okumak: a için geçerlidir b, nasıl c atıfta bulunur d. a ve d sayıları oranın uç elemanları olarak adlandırılır ve b ve c sayıları oranın orta elemanlarıdır.

Bir oranın uç terimlerinin çarpımı, orta terimlerinin çarpımına eşittir. orantı için a:b=c:d veya a/b=c/d ana özellik şöyle yazılır: bir d=b c.
Oranın bilinmeyen uç terimini bulmak için, oranın ortalama terimlerinin çarpımını bilinen uç terime bölmeniz gerekir.
Oranın bilinmeyen orta terimini bulmak için, oranın aşırı terimlerinin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir. Orantılı görevler.

değeri olsun y boyutuna bağlıdır X. bir artış ile ise X boyutunun birkaç katı de aynı faktör tarafından artar, daha sonra bu tür değerler X ve de doğru orantılı denir.

İki miktar doğru orantılıysa, o zaman birinci miktarın iki keyfi değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Haritadaki parçanın uzunluğunun, yerdeki karşılık gelen mesafenin uzunluğuna oranına harita ölçeği denir.

değeri olsun de boyutuna bağlıdır X. bir artış ile ise X boyutunun birkaç katı de aynı faktör tarafından azalır, daha sonra bu tür değerler X ve de ters orantılı denir.

İki miktar ters orantılıysa, bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, diğer miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.

Küme, bazı genel özelliklere veya yasalara göre derlenmiş bazı nesnelerin veya sayıların bir koleksiyonudur (bir sayfada çok sayıda harf, paydası 5 olan çok sayıda düzenli kesir, gökyüzünde çok sayıda yıldız vb.).
Kümeler elemanlardan oluşur ve ya sonlu ya da sonsuzdur. Herhangi bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve şu şekilde gösterilir: ey
Bir çok AT kümenin bir alt kümesi olarak adlandırılır ANCAK kümenin tüm elemanları ise AT kümenin elemanlarıdır ANCAK.
Kavşağı ayarla ANCAK ve AT elemanları kümeye ait olan kümedir ANCAK ve birçok AT.
kümelerin birliği ANCAK ve AT Elemanları verilen kümelerden en az birine ait olan kümedir. ANCAK ve AT.

Sayı kümeleri.

N– doğal sayılar kümesi: 1, 2, 3, 4,…
Z– tam sayılar kümesi: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q kesir olarak gösterilebilen rasyonel sayılar kümesidir ay/n, nerede m- tüm, n– doğal (-2; 3/5; v9; v25, vb.)

Koordinat çizgisi, üzerinde pozitif bir yön, bir referans noktası (O noktası) ve bir birim parça verilen düz bir çizgidir.
Koordinat çizgisi üzerindeki her nokta, bu noktanın koordinatı olarak adlandırılan belirli bir sayıya karşılık gelir. Örneğin, bir(5). Okuyun: A noktası, koordinat beş. 3'TE). Okuyun: koordinat eksi üç olan B noktası.

a sayısının modülü (yazınız |a|) verilen sayıya karşılık gelen noktadan orijine olan uzaklığa denir. a. Herhangi bir sayının modül değeri negatif değildir. |3|=3; |-3|=3, çünkü orijinden -3 sayısına ve 3 sayısına olan mesafe üç birim parçaya eşittir. |0|=0 .
Bir sayının modülünün tanımına göre: |a|=a, eğer bir?0 ve |a|=-a, eğer bir b.
a ve b sayıları karşılaştırılırken aradaki fark a-b negatif bir sayıdır, o zaman a , o zaman bunlara katı eşitsizlikler denir.
Eşitsizlikler işaretlerle yazılırsa? veya ?, o zaman bunlara katı olmayan eşitsizlikler denir.

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri.

G) x?a biçiminde bir eşitsizlik. Cevap:

Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerin organizasyonu için gerekli ana fikir ve kavramlar. 1. Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerin organizasyonuna genel yaklaşımlar. 1.1 Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerinin düzenlenmesi için gerekli temel fikir ve kavramlar. 1.2. Gönüllüler için yasal çerçeve […]

Muna Yasası Manu Yasaları, "Aryanların yasası" veya "Aryanların onur kuralları" olarak da adlandırılan dini, ahlaki ve sosyal görev (dharma) için eski bir Hint reçeteleri koleksiyonudur. Manavadharmashastra, yirmi dharmashastradan biridir. İşte seçilmiş parçalar (Georgy Fedorovich tarafından çevrilmiş […]

"Bir İmalat İşletmesinin Yönetimi ve Optimizasyonu" ÖZET İş görgü kurallarının temel kavramları verilmiştir. Şu anda, yerli işletmeler ve kuruluşlar gezegenin çeşitli bölgelerinin ekonomik yaşamına entegre edilirken, ticari iletişim kurallarının özel dikkat gerektirdiği gösterilmiştir. Testler verilir […]

m ve n bir tam sayı var k ve nk= m, ardından sayı m bölü n

Bölünebilirlik becerilerinin kullanılması, hesaplamaları basitleştirir ve uygulama hızlarını orantılı olarak artırır. Ana özelliği ayrıntılı olarak analiz edelim bölünebilme özellikleri.

bölünebilirlik için en basit kriter birimler: Bütün sayılar bire bölünür. Aynı derecede basit ve bölünebilirlik işaretleri ile iki, beş, on. Çift sayı ikiye veya son basamağı 0 olan bir sayı, beşe bölünebilir - son basamağı 5 veya 0 olan bir sayı. Yalnızca son basamağı 0 olan sayılar ona bölünür, 100 - yalnızca son iki basamağı sıfır olan sayılar, 1000 - sadece son üç sıfırı olanlar.

Örneğin:

79516 sayısı çift sayı olan 6 ile bittiği için 2'ye bölünebilir; 9651 2 ile bölünemez, çünkü 1 tek sayıdır; 1790 2 ile bölünebilir çünkü son rakam sıfırdır. 3470, 5'e bölünecektir (son rakam 0'dır); 1054, 5'e bölünemez (son 4). 7800, 10 ve 100'e bölünür; 542000, 10, 100, 1000 ile bölünebilir.

Daha az bilinen, ancak kullanımı çok kolay bir özellik bölünebilme özellikleriüzerinde 3 ve 9 , 4 , 6 ve 8, 25 . Bölünebilmenin karakteristik özellikleri de vardır. 7, 11, 13, 17, 19 vb., ancak pratikte çok daha az kullanılırlar.

3 ve 9'a bölmenin karakteristik bir özelliği.

Üzerinde üç ve/veya üzerinde dokuz kalansız, bu sayılar bölünecektir, bunun için rakamları toplamanın sonucu üç ve / veya dokuzun katıdır.

Örneğin:

156321 sayısı, 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 toplamasının sonucu sırasıyla 3'e bölünecek ve 9'a bölünecek, sayının kendisi 3 ve 9'a bölünebilir. 79123 sayısı olmaz. 3 veya 9'a bölünür, çünkü (22) rakamları bu sayılara tam bölünemez.

4, 8, 16 ve benzeri ile bölmenin karakteristik bir özelliği.

Bir sayı kalansız bölünebilir dört, son iki basamağı sıfırsa veya 4'e bölünebilen bir sayıysa. Diğer tüm durumlarda, kalansız bölme mümkün değildir.

Örneğin:

75300 sayısı 4'e bölünebilir, çünkü son iki basamağı sıfırdır; 48834 4'e tam bölünemez çünkü son iki basamak 34'ü verir ki bu 4'e tam bölünemez; 35908 4 ile bölünebilir, çünkü 08'in son iki basamağı 4'e bölünebilen 8 sayısını verir.

Benzer bir ilke, bölünebilme kriteri için de geçerlidir. sekiz. Son üç basamağı sıfırsa veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa, bir sayı sekize bölünür. Aksi takdirde, bölme işleminden elde edilen bölüm tam sayı olmayacaktır.

Bölme için aynı özellikler 16, 32, 64 vb., ancak günlük hesaplamalarda kullanılmazlar.

6 ile bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

sayı ile bölünebilir altı, hem ikiye hem de üçe bölünebiliyorsa, diğer seçeneklerle birlikte kalansız bölme imkansızdır.

Örneğin:

126 6 ile bölünebilir, çünkü hem 2'ye (son çift sayı 6'dır) hem de 3'e bölünebilir (1 + 2 + 6 = 9 rakamları toplamı üçe bölünebilir)

7 ile bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

sayı ile bölünebilir Yedi son iki katı ile "son basamağı olmadan kalan sayının" farkı yediye bölünüyorsa, sayı yediye tam bölünür.

Örneğin:

Sayı 296492. Son basamağı "2" alın, ikiye katlayın, 4 çıkıyor. 29649 - 4 = 29645 çıkarın. 7'ye bölünüp bölünemeyeceğini bulmak sorunlu, bu nedenle tekrar analiz ediliyor. Sonra son basamağı "5"i ikiye katlıyoruz, 10 çıkıyor. 2964 - 10 = 2954 çıkarıyoruz. Sonuç aynı, 7'ye tam bölünüp bölünmediği belli değil o yüzden analize devam ediyoruz. Son rakam olan "4" ile analiz ediyoruz, iki katına çıkıyor, 8 çıkıyor. 295 - 8 = 287'yi çıkarıyoruz. İki yüz seksen yediyi karşılaştırıyoruz - 7 ile bölünemez, bununla bağlantılı olarak aramaya devam ediyoruz. Benzer şekilde, iki katına çıkan son rakam "7" 14 çıkıyor. 28 - 14 \u003d 14'ü çıkarın. 14 sayısı 7'ye bölünebilir, bu nedenle orijinal sayı 7'ye bölünebilir.

11 ile bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

Üzerinde on bir sadece tek yerlere yerleştirilen rakamların toplanmasının sonucunun çift yerlere yerleştirilen rakamların toplamına eşit olduğu veya on bir ile bölünebilen bir sayıdan farklı olduğu sayılar bölünebilir.

Örneğin:

103.785 sayısı 11'e tam bölünür, çünkü tek yerlerdeki rakamların toplamı, 1 + 3 + 8 = 12, çift yerlerdeki rakamların toplamına eşittir, 0 + 7 + 5 = 12. 9.163.627 sayısı 11 ile bölünebilir, çünkü tek yerlerdeki rakamların toplamı 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ve çift yerlerdeki rakamların toplamı 1 + 3 + 2 = 6'dır; 28 ile 6 arasındaki fark 22'dir ve bu sayı 11'e tam bölünür. 461,025 sayısı 11'e tam bölünemez çünkü 4+1+2=7 ve 6+0+5=11 sayıları birbirine eşit değildir. 11 - 7 = 4 arasındaki fark 11'e tam bölünemez.

25 ile bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

Üzerinde yirmi beş son iki basamağı sıfır olan sayıları böler veya yirmi beşe bölünebilen bir sayı oluşturur (yani 00, 25, 50 veya 75 ile biten sayılar). Diğer durumlarda, sayı tamamen 25'e bölünemez.

Örneğin:

9450 25 ile bölünebilir (50 ile biter); 5085, 25'e tam bölünemez.

bölünebilirlik işareti

bölünebilirlik işareti- gerçek bölme işlemini gerçekleştirmeden bir sayının önceden belirlenmiş bir sayının katı olup olmadığını nispeten hızlı bir şekilde belirlemenize izin veren bir kural. Kural olarak, bir konumsal sayı sisteminde (genellikle ondalık) bir sayının gösteriminden elde edilen rakamların bir kısmı ile eylemlere dayanır.

Ondalık sayı sisteminde bir sayının küçük bölenlerini bulmanızı sağlayan birkaç basit kural vardır:

2 ile bölünebilme işareti

3 ile bölünebilme işareti

4 işaretiyle bölünebilme

5 ile bölünebilme işareti

6 ile bölünebilme işareti

7 ile bölünebilme işareti

8 ile bölünebilme işareti

9 ile bölünebilme işareti

10 ile bölünebilme işareti

11 ile bölünebilme işareti

12 ile bölünebilme işareti

13 ile bölünebilme işareti

14 ile bölünebilme işareti

15 ile bölünebilme işareti

17 ile bölünebilme işareti

19 ile bölünebilme işareti

23 ile bölünebilme işareti

25 ile bölünebilme işareti

99 ile bölünebilme işareti

Sayıyı sağdan sola 2 basamaklı gruplara ayırıyoruz (en soldaki grup bir basamaklı olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayılar olarak kabul ederek buluyoruz. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 99'a bölünebiliyorsa 99'a bölünebilir.

101 ile bölünebilme işareti

Sayıyı sağdan sola 2 basamaklı gruplara ayırıyoruz (en soldaki grup bir basamaklı olabilir) ve bu grupların değişken işaretli toplamını iki basamaklı sayı olarak kabul ederek buluyoruz. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 101'e bölünebiliyorsa 101'e bölünebilir. Örneğin, 590547 101'e bölünebilir, çünkü 59-05+47=101 101'e bölünebilir.

2 ile bölünebilme işareti n

Bir sayı, ancak ve ancak son n basamağından oluşan sayı aynı kuvvete bölünebiliyorsa, ikinin n'inci kuvvetine bölünebilir.

5 ile bölünebilme işareti n

Bir sayı, ancak ve ancak son n basamağından oluşan sayı aynı kuvvete bölünebiliyorsa, 5'in n'inci kuvvetine bölünebilir.

10 ile bölünebilme işareti n − 1

Sayıyı sağdan sola n basamaklı gruplara böleriz (en soldaki grup 1'den n'e kadar basamak içerebilir) ve bu grupların toplamını n basamaklı sayılar olarak kabul ederek buluruz. Bu miktar 10'a bölünür. n− 1, ancak ve ancak sayının kendisi 10'a bölünebiliyorsa n − 1 .

10 ile bölünebilme işareti n

Bir sayı, ancak ve ancak son n basamağı ise on'un n'inci kuvvetine bölünebilir.