Bazen hayatta, uzun süredir unutulmuş okul bilgisini aramak için hafızanızı araştırmanız gereken durumlar vardır. Örneğin, üçgen bir arsanın alanını belirlemeniz gerekiyor veya bir apartman dairesinde veya özel evde başka bir yenileme zamanı geldi ve yüzey için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulacağını hesaplamanız gerekiyor. üçgen şekli. Böyle bir problemi birkaç dakika içinde çözebileceğiniz bir zaman vardı, ama şimdi umutsuzca bir üçgenin alanını nasıl belirleyeceğinizi hatırlamaya mı çalışıyorsunuz?
Endişelenmeyin! Sonuçta, bir kişinin beyninin uzun süredir kullanılmayan bilgiyi bir yere uzak bir köşeye aktarmaya karar vermesi oldukça normaldir ve bazen onu çıkarmak o kadar kolay değildir. Böyle bir sorunu çözmek için unutulmuş okul bilgilerini aramakla uğraşmanıza gerek kalmaması için bu makale şunları içerir: çeşitli metodlarüçgenin gerekli alanını bulmayı kolaylaştırır.
Bir üçgenin mümkün olan en az kenar sayısıyla sınırlı bir çokgen türü olduğu iyi bilinmektedir. Prensip olarak, herhangi bir çokgen, köşelerini kenarlarıyla kesişmeyen bölümlere bağlayarak birkaç üçgene bölünebilir. Bu nedenle üçgeni bilerek neredeyse her şeklin alanını hesaplayabilirsiniz.
Hepsinin arasından olası üçgenler Hayatta karşılaşılanlar arasında aşağıdaki özel türler ayırt edilebilir: ve dikdörtgen.
Bir üçgenin alanını hesaplamanın en kolay yolu, açılarından birinin dik olması, yani dik üçgen olması durumundadır. Yarım dikdörtgen olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla alanı birbirine dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.
Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen yüksekliğini ve taban denilen bu kenarın uzunluğunu bilirsek alan, yükseklik ile tabanın çarpımının yarısı kadar hesaplanır. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yazılmıştır:
S = 1/2*b*h, burada
S üçgenin gerekli alanıdır;
b, h - sırasıyla üçgenin yüksekliği ve tabanı.
Alanı hesaplamak çok kolay ikizkenar üçgençünkü yükseklik karşı tarafı ikiye böleceğinden kolaylıkla ölçülebilir. Alanın belirlenmesi durumunda dik açı oluşturan kenarlardan birinin uzunluğunun yükseklik olarak alınması uygun olur.
Bütün bunlar elbette güzel ama bir üçgenin açılarından birinin doğru olup olmadığı nasıl belirlenecek? Figürümüzün boyutu küçükse inşaat açısı, çizim üçgeni, kartpostal veya dikdörtgen şekilli başka bir nesne kullanabiliriz.
Peki ya bir üçgenimiz varsa arsa? Bu durumda şu şekilde ilerleyin: bir tarafta varsayılan dik açının tepesinden itibaren 3'ün katları olan mesafeyi (30 cm, 90 cm, 3 m) sayın ve diğer tarafta aynı şekilde 4'ün katları olan mesafeyi ölçün. orantı (40 cm, 160 cm, 4 m). Şimdi aradaki mesafeyi ölçmeniz gerekiyor. uç noktalar bu iki bölüm. Sonuç 5'in katı ise (50 cm, 250 cm, 5 m) açının doğru olduğunu söyleyebiliriz.
Şeklimizin üç tarafının her birinin uzunluğu biliniyorsa, üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak belirlenebilir. Daha basit bir forma sahip olması için yarı çevre adı verilen yeni bir değer kullanılır. Bu, üçgenimizin tüm kenarlarının toplamının ikiye bölünmesidir. Yarı çevre hesaplandıktan sonra aşağıdaki formülü kullanarak alanı belirlemeye başlayabilirsiniz:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))), burada
sqrt- Kare kök;
p - yarı çevre değeri (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - üçgenin kenarları (yanları).
Peki ya üçgenin şekli düzensizse? Burada iki olası yol var. Birincisi böyle bir rakamı ikiye bölmeye çalışmaktır. dik üçgen, alanların toplamı ayrı ayrı hesaplanır ve sonra eklenir. Veya iki kenar arasındaki açı ve bu kenarların boyutu biliniyorsa aşağıdaki formülü uygulayın:
S = 0,5 * ab * sinC, burada
a,b - üçgenin kenarları;
c bu kenarlar arasındaki açının boyutudur.
İkinci durum pratikte nadirdir, ancak yine de hayatta her şey mümkündür, bu nedenle yukarıdaki formül gereksiz olmayacaktır. Hesaplamalarınızda iyi şanslar!
Üçgen, zaten bildiğimiz en yaygın geometrik şekillerden biridir. ilkokul. Geometri derslerinde her öğrenci üçgenin alanının nasıl bulunacağı sorusuyla karşı karşıya kalır. Peki, belirli bir şeklin alanını bulmanın hangi özellikleri tanımlanabilir? Bu yazıda böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formüllere bakacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.
Üçgen türleri
Bir üçgenin alanını kesinlikle bulabilirsiniz Farklı yollarÇünkü geometride üç açı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:
- Geniş.
- Eşkenar (doğru).
- Sağ üçgen.
- İkizkenar.
Mevcut üçgen türlerinin her birine daha yakından bakalım.
Bu geometrik şekil, geometrik problemleri çözerken en yaygın olanı olarak kabul edilir. Rastgele bir üçgen çizme ihtiyacı ortaya çıktığında bu seçenek kurtarmaya gelir.
Dar üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180°'ye eşittir.
Bu üçgen türü de çok yaygındır, ancak dar üçgenden biraz daha az yaygındır. Örneğin, üçgenleri çözerken (yani, birkaç tarafı ve açısı bilinir ve kalan elemanları bulmanız gerekir), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekir. Kosinüs negatif bir sayıdır.
B, açılardan birinin değeri 90°'yi aştığı için geri kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin 15° hatta 3°).
Bir üçgenin alanını bulmak için bu türden, daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekiyor.
Düzenli ve ikizkenar üçgenler
Düzgün çokgen, n tane açı içeren, kenarları ve açıları birbirine eşit olan bir şekildir. Normal üçgen budur. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan her üç açısı da 60° olur.
Özelliği nedeniyle düzenli üçgene eşkenar şekil de denir.
Ayrıca normal bir üçgenin içine yalnızca bir daire yazılabileceğini, çevresinde yalnızca bir dairenin tanımlanabileceğini ve merkezlerinin aynı noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.
Eşkenar tipine ek olarak, ondan biraz farklı olan ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (bitişik olan) eşit açılar) tabandır.
Şekilde D ve F açıları eşit ve DF tabanı olan DEF ikizkenar üçgeni gösterilmektedir.
Sağ üçgen
Dik üçgen, açılarından biri dik, yani 90°'ye eşit olduğu için bu şekilde adlandırılmıştır. Diğer iki açının toplamı 90° olur.
Böyle bir üçgenin 90°'lik açının karşısında yer alan en büyük tarafı hipotenüs, geri kalan iki tarafı ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:
Bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Şekilde hipotenüs AC ve kenarları AB ve BC olan bir BAC dik üçgeni gösterilmektedir.
Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bilmeniz gerekenler sayısal değerler bacakları.
Belirli bir şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.
Alanı bulmak için temel formüller
Geometride çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun iki formül vardır; yani dar, geniş, düzenli ve ikizkenar üçgenler için. Her birine bakalım.
Yan ve yüksekliğe göre
Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:
burada A belirli bir üçgenin kenarıdır ve H üçgenin yüksekliğidir.
Örneğin alanı bulmak için dar üçgen ACB, AB tarafını CD yüksekliğiyle çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.
Ancak üçgenin alanını bu şekilde bulmak her zaman kolay olmuyor. Örneğin, bu formülü geniş bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birini uzatmanız ve ancak bundan sonra ona bir yükseklik çizmeniz gerekir.
Pratikte bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.
Her iki tarafta ve köşede
Bu formül, önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamında, bir üçgenin alanını ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani söz konusu formül bir önceki formülden kolaylıkla türetilebilir. Formülasyonu şuna benzer:
S = ½*sinO*A*B,
burada A ve B üçgenin kenarlarıdır ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.
Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V. M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görülebileceğini hatırlayalım.
Şimdi yalnızca istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.
Dik üçgenin alanı
Bir üçgende yüksekliği bulma ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarından bulunabilir.
Böylece, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarının çarpımının yarısı kadardır veya:
burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.
Düzenli üçgen
Bu tip geometrik şekiller, alanının yalnızca bir tarafının belirtilen değeriyle bulunabilmesi bakımından farklılık gösterir (çünkü tüm kenarlar düzgün üçgen eşittir). Dolayısıyla, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma" göreviyle karşı karşıya kaldığınızda aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:
S = A 2 *√3 / 4,
burada A eşkenar üçgenin kenarıdır.
Heron'un formülü
Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron formülüdür. Bunu kullanabilmek için şeklin üç tarafının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
burada a, b ve c belirli bir üçgenin kenarlarıdır.
Bazen problem şu şekilde verilir: "Düzgün bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunu bulmaktır." İÇİNDE bu durumda Düzenli bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmamız ve bundan kenarın (veya karesinin) değerini çıkarmamız gerekiyor:
bir 2 = 4S / √3.
Sınav görevleri
Matematikte GIA problemlerinde birçok formül bulunmaktadır. Ek olarak, çoğu zaman kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak gerekir.
Bu durumda yüksekliği şeklin kenarlarından birine çekmek, hücrelerden uzunluğunu belirlemek ve kullanmak en uygunudur. evrensel formül alanı bulmak için:
Yani makalede sunulan formülleri inceledikten sonra herhangi bir üçgenin alanını bulmakta herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.
Alan kavramı
Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için geometrik şekillerin alanları kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım.
Özellik 1: Eğer geometrik şekiller eşitse alanları da eşit olur.
Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.
Bir örneğe bakalım.
örnek 1
Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri bir dikdörtgenin köşegenidir, bir kenarının uzunluğu 5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır), diğeri $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı
O zaman üçgenin alanı eşittir
Cevap: 15$.
Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron formülünü ve eşkenar üçgenin alanını kullanarak.
Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Teorem 1
Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.
Matematiksel olarak şöyle görünüyor
$S=\frac(1)(2)αh$
burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.
$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorem kanıtlandı.
Örnek 2
Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun
Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$'dır. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Cevap: 40,5$.
Heron'un formülü
Teorem 2
Bize $α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.
Kanıt.
Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:
Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:
Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$, yani
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Üçgen herkesin aşina olduğu bir figür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, dar, ikizkenar, geniş. Her biri bir şekilde farklıdır. Ama herkes için bu gereklidir bir üçgenin alanını bulun.
Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenlerde ortak olan formüller
İçlerinde benimsenen tanımlar: taraflar - a, b, c; a, n, n ile ilgili tarafların yükseklikleri.
1. Bir üçgenin alanı, ½, bir kenar ve yüksekliğin çarpımı ile bundan çıkarılarak hesaplanır. S = ½ * a * n a. Diğer iki tarafın formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.
2. Yarı çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine genellikle küçük p harfiyle gösterilir). Yarı çevre şu şekilde hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü şu şekildedir: p = (a+b+c) / 2. O halde alanının eşitliği şekil şuna benzer: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Yarı çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenar uzunluklarını içeren bir formül yararlı olacaktır: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.
Bir üçgenin açılarını içeren genel formüller
Formülleri okumak için gereken gösterimler: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c'nin karşılıklı taraflarında bulunurlar.
1. Buna göre iki tarafın çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * sin γ. Benzer bir yolla diğer iki durumun formüllerini yazmalısınız.
2. Bir üçgenin alanı bir kenardan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Ayrıca bilinen bir kenarı ve iki komşu açısı olan bir formül de vardır. Şuna benzer: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Son iki formül en basiti değil. Bunları hatırlamak oldukça zordur.
Yazılı veya çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarının bilindiği durumlar için genel formüller
Ek tanımlar: r, R - yarıçap. Birincisi yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi anlatılanlar içindir.
1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Bunu yazmanın başka bir yolu da şudur: S = ½ r * (a + b + c).
2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenen dairenin yarıçapının dört katına bölmeniz gerekecektir. Gerçek ifadede şu şekilde görünür: S = (a * b * c) / (4R).
3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanıza olanak sağlar ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız olacaktır. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Özel durum: dik üçgen
Bu en basit durumdur çünkü yalnızca her iki bacağın uzunluğu da gereklidir. Onlar belirlenmiş Latin harfleriyle a ve c. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.
Matematiksel olarak şuna benzer: S = ½ a * b. Hatırlanması en kolay olanıdır. Dikdörtgenin alan formülüne benzediğinden yalnızca yarımı gösteren bir kesir görünür.
Özel durum: ikizkenar üçgen
İki eşit kenara sahip olduğundan, alanıyla ilgili bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki formu alır:
S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).
Eğer onu dönüştürürsen, kısalır. Bu durumda Heron'un ikizkenar üçgen formülü şu şekilde yazılır:
S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).
Kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan formülü, rastgele bir üçgene göre biraz daha basit görünür. S = ½ a 2 * sin β.
Özel durum: eşkenar üçgen
Genellikle problemlerde işin tarafı bilinir veya bir şekilde ortaya çıkarılabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:
S = (a 2 √3) / 4.
Üçgen kareli kağıt üzerinde gösteriliyorsa alanı bulma sorunları
En basit durum, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde bir dik üçgenin çizilmesidir. O zaman bacaklara sığan hücre sayısını saymanız yeterlidir. Daha sonra bunları çarpın ve ikiye bölün.
Üçgen dar veya geniş olduğunda dikdörtgene çizilmesi gerekir. Daha sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacaktır. Bunlardan biri problemde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanlarının yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak belirlenmesi gerekir. Daha sonra dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.
Üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmaması durumu çok daha karmaşık hale geliyor. Daha sonra, orijinal şeklin köşelerinin yanlarında olması için bir dikdörtgenin içine yazılması gerekir. Bu durumda üç yardımcı dik üçgen olacaktır.
Heron formülünü kullanan bir problem örneği
Durum. Bazı üçgenlerin bilinen kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler, alanını bulmanız gerekiyor.
Artık yukarıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekökün altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √(4 * 14) = 2 √(14)'tür.
Daha fazla doğruluk gerekmiyorsa, çıkarabilirsiniz Kare kök 14 üzerinden. 3,74'e eşittir. O zaman alan 7.48 olacaktır.
Cevap. S = 2 √14 cm2 veya 7,48 cm2.
Dik üçgenle ilgili örnek problem
Durum. Dik üçgenin bir bacağı ikincisinden 31 cm daha büyüktür, üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmanız gerekir.
Çözüm. İki denklemli bir sistemi çözmemiz gerekecek. Birincisi alanla ilgilidir. İkincisi problemde verilen bacakların oranıdır.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Öncelikle ilk denklemde “a” değeri yerine yazılmalıdır. Görünüşe göre: 180 = ½ (+ 31) * inç. Tek bir bilinmeyen miktarı olduğundan çözülmesi kolaydır. Parantezleri açtıktan sonra elde ederiz ikinci dereceden denklem: in 2 + 31 in - 360 = 0. "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif olamayacağından ikinci sayı cevap olarak uygun değildir. değer.
Geriye ikinci ayağı hesaplamak kalıyor: Ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin, 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlardır.
Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.
Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca bir kenar bulma problemi
Durum. Belirli bir üçgenin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30° ise bir kenarını hesaplamak gerekir.
Çözüm. Temelli kabul edilen notasyonlar, istenilen kenar “a”, bilinen kenar “b”, verilen açı “γ”. Daha sonra alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:
60 = ½ a * 15 * sin 30°. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.
Dönüşümlerden sonra “a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) değerine eşit olur. Yani 16.
Cevap. Gerekli kenar 16 cm'dir.
Dik üçgenin içine yazılan kareyle ilgili problem
Durum. Bir kenarı 24 cm olan karenin tepe noktası üçgenin dik açısına denk gelir. Diğer ikisi yanlarda yatıyor. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm'dir Dik üçgenin alanı nedir?
Çözüm. İki dik üçgen düşünün. Bunlardan ilki görevde belirtilendir. İkincisi orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak açıları vardır ve paralel çizgilerden oluşurlar.
O halde bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin kenarları 24 cm'ye (karenin kenarı) ve 18 cm'ye eşittir (42 cm'lik kenardan karenin kenarını 24 cm çıkarırız). Büyük bir üçgenin karşılık gelen bacakları 42 cm ve x cm'dir, üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu “x”tir.
18/42 = 24/x yani x = 24*42/18 = 56 (cm) olur.
Daha sonra alan 56 ile 42'nin ikiye bölünmesine, yani 1176 cm2'ye eşittir.
Cevap. Gerekli alan 1176 cm2'dir.
Yükleniyor...