Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.
Jasno je da se površina takvog geometrijskog tijela sastoji od zbira površina baze i cijele njegove bočne površine.
Izračunavanje površine osnove piramide
Izbor formule za izračunavanje zavisi od oblika poligona koji leži ispod naše piramide. Može biti pravilna, odnosno sa stranicama iste dužine, ili nepravilna. Hajde da razmotrimo obe opcije.
Osnova je pravilan poligon
Iz školskog kursa znamo:
- površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
- Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenoj sa 4 i pomnoženoj sa Kvadratni korijen od tri.
Ali postoji i opšta formula, da biste izračunali površinu bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti obim ovog poligona (P) s polumjerom kružnice upisane u njega (r), a zatim rezultat podijeliti sa dva: Sn= 1/2P*r.
U osnovi je nepravilan poligon
Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a*h (gdje je a osnova trokuta, h visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.
Bočna površina piramide
Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih bočnih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.
- Neka nam je proizvoljna piramida, tj. jedan sa nepravilnim poligonom u osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica posebno i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se vrši pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
- Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.
Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njegove osnove sa površinom cijele bočne površine.
Primjeri
Na primjer, hajde da algebarski izračunamo površine nekoliko piramida.
Površina trouglaste piramide
U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Koristeći formulu So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Istu formulu koristimo za pronalaženje površine svakog lica piramide, koje također ima trokutastog oblika, i dobijamo 3 oblasti: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Sabiranjem površina stranica i osnove dobijamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.
Površina četvorougaone piramide
Površina bočne površine je zbir 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.
Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dešavaju se različite vrste i oblike, što znači da će formula za proračun za geometrijske oblike biti drugačija.
piramida - geometrijska figura , koji označava i predstavlja nekoliko lica. U suštini, ovo je isti poliedar, u čijem se dnu nalazi poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:
- ispravan;
- skraćeno.
U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.
U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je poprečni presjek formiran paralelno s bazom.
Uslovi i simboli
Ključni pojmovi:
- Pravilan (jednakostranični) trougao- figura sa tri identična ugla i jednake strane. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
- Vertex– najviše gornja tačka, gdje se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja se proteže od vrha do osnove piramide.
- Edge– jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnje piramide.
- Odjeljak- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba ga brkati sa sekcijom, jer sekcija takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
- Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je takođe visina lica na kojoj se nalazi druga tačka visine. Ova definicija važi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. IN u ovom slučaju visina ovog trougla će postati apotema.
Formule površine
Pronađite bočnu površinu piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon sa različite strane, onda je u ovom slučaju lakše izračunati ukupna površina površine kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.
Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule različitim slučajevima takođe će imati razlike.
U slučaju da prava figura Pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve ispisati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunilo i zbunilo.
Osnovna formula za proračun bočna površina pravilne piramide će imati sljedeći pogled:
S=½ Pa (P je obim baze i apotema)
Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Pošto je svih pet lica baze jednakih, možete je pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.
Bočna površina je ispravna trouglasta piramida najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:
S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom ivicom od 8 cm Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.
Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, i apotema. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četvorougaoni lik dimenzije stranica osnova 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.
Ovdje prvo trebate pronaći perimetre baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.
Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ovi proračuni sa ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako i dalje trebate to učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.
Video
Ovaj video će vam pomoći da konsolidujete informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.
Tipični geometrijski problemi na ravni i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različite figure. U ovom članku predstavljamo formulu za bočnu površinu pravilne četverokutne piramide.
Šta je piramida?
Hajde da damo strogu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da imamo poligon sa n strana i n uglova. Odaberimo proizvoljnu tačku u prostoru koja neće biti u ravni navedenog n-ugla i spojimo je sa svakim vrhom poligona. Dobit ćemo figuru određene zapremine, koja se zove n-kutna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažemo kako izgleda petougaona piramida.
Dva važan element bilo koje piramide je njena osnova (n-ugao) i vrh. Ovi elementi su međusobno povezani sa n trouglova, koji u opšti slučaj nisu jednake jedna drugoj. Okomita koja se spušta od vrha do baze naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom centru (poklapa se sa centrom mase poligona), tada se takva piramida naziva prava linija. Ako je, pored ovog uslova, osnova pravilan poligon, onda se cijela piramida naziva pravilnom. Slika ispod prikazuje kako izgledaju pravilne piramide sa trouglastim, četverouglastim, peterokutnim i šesterokutnim osnovama.
Površina piramide
Prije nego što pređemo na pitanje bočne površine pravilne četverokutne piramide, trebali bismo se detaljnije zadržati na konceptu same površine.
Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida je formirana skupom lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n strana su trouglovi. Površina cijele figure je zbir površina svake njene strane.
Pogodno je proučavati površinu na primjeru razvoja figure. Razvoj pravilne četvorougaone piramide prikazan je na slikama ispod.
Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.
Ukupna površina svih trokuta koji čine stranice figure obično se naziva bočna površina. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četverougaonu piramidu.
Bočna površina četvorougaone pravilne piramide
Da bismo izračunali bočnu površinu naznačene figure, ponovo se okrećemo gore navedenom razvoju. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trougla ima osnovu dužine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kursa geometrije znamo da je površina S t trougla jednaka umnošku osnove i visine koju treba podijeliti na pola. To je:
Gdje je h b - visina jednakokraki trougao, povučen na osnovu a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje da se dobijeni izraz pomnoži sa 4 da bi se dobila površina S b bočne površine za dotičnu piramidu:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je ovo drugo poznato u većini problematičnih uslova, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračunavanje apoteme h b za dva slučaja:
- kada je poznata dužina bočnog rebra;
- kada je poznata visina piramide.
Ako dužinu bočne ivice (strane jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h b određena formulom:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorine teoreme na trokut bočne površine.
Ako je visina h piramide poznata, onda se apotema h b može izračunati na sljedeći način:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Takođe nije teško dobiti ovaj izraz ako pogledamo unutar piramide pravougaonog trougla, formiran od krakova h i a/2 i hipotenuze h b.
Pokazat ćemo kako primijeniti ove formule rješavanjem dvije zanimljivih zadataka.
Problem sa poznatom površinom
Poznato je da je površina bočne površine četverokutnika 108 cm 2. Potrebno je izračunati dužinu njene apoteme h b ako je visina piramide 7 cm.
Napišimo formulu za površinu S b bočne površine u smislu visine. Imamo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b. Kvadirajmo obje strane jednadžbe:
S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.
Da bismo pronašli vrijednost a, vršimo promjenu varijabli:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Zamenimo sada poznate vrednosti i odluči kvadratna jednačina:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Zapisali smo samo pozitivan korijen ove jednačine. Tada će stranice osnove piramide biti jednake:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Da biste dobili dužinu apoteme, samo koristite formulu:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Bočna površina Keopsove piramide
Odredimo vrijednost bočne površine za najveći Egipatska piramida. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa dužinom stranice od 230.363 metara. Visina konstrukcije je prvobitno bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b, dobićemo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.
Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 fudbalskih terena.
Učitavanje...