Prilikom proučavanja matematike učenici počinju da se upoznaju sa različitim vrstama geometrijskih oblika. Danas ćemo govoriti o različitim vrstama trouglova.
Definicija
Geometrijske figure koje se sastoje od tri tačke koje se ne nalaze na istoj pravoj liniji nazivaju se trouglovi.
Segmenti pravih koji spajaju tačke nazivaju se stranice, a tačke se nazivaju vrhovi. Vrhovi su označeni velikim sa latiničnim slovima, na primjer: A, B, C.
Stranice su označene nazivima dviju tačaka od kojih se sastoje - AB, BC, AC. Ukrštajući se, stranice formiraju uglove. Donja strana se smatra osnovom figure.
Rice. 1. Trougao ABC.
Vrste trouglova
Trokuti se dijele prema uglovima i stranicama. Svaka vrsta trougla ima svoja svojstva.
Postoje tri vrste trouglova u uglovima:
- akutni ugao;
- pravokutni;
- tupo.
Svi uglovi oštrougao trouglovi su oštri, odnosno stepen svakog od njih nije veći od 90 0.
Pravougaona trokut sadrži pravi ugao. Druga dva ugla će uvek biti oštra, jer će inače zbir uglova trougla premašiti 180 stepeni, što je nemoguće. Strana koja je naspram pravog ugla naziva se hipotenuza, a druga dva kraka. Hipotenuza je uvijek veća od kateta.
tupo trokut sadrži tup ugao. Odnosno, ugao veći od 90 stepeni. Druga dva ugla u takvom trouglu će biti oštra.
Rice. 2. Vrste trouglova u uglovima.
Pitagorin trougao je pravougaonik čije su stranice 3, 4, 5.
Štaviše, veća strana je hipotenuza.
Takvi trokuti se često koriste za sastavljanje jednostavnih zadataka u geometriji. Stoga, zapamtite: ako su dvije strane trougla 3, onda će treća definitivno biti 5. Ovo će pojednostaviti proračune.
Vrste trouglova na stranicama:
- equilateral;
- jednakokraki;
- svestran.
Equilateral trougao je trougao u kojem su sve strane jednake. Svi uglovi takvog trougla jednaki su 60 0, odnosno uvijek je oštrouglov.
Jednakokraki trougao je trougao sa samo dve jednake stranice. Ove strane se nazivaju bočne, a treća - baza. Osim toga, uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki i uvijek oštri.
Svestran ili proizvoljan trougao je trougao u kojem sve dužine i svi uglovi nisu međusobno jednaki.
Ako nema pojašnjenja o figuri u problemu, onda je općenito prihvaćeno da govorimo o proizvoljnom trouglu.
Rice. 3. Vrste trouglova na stranicama.
Zbir svih uglova trougla, bez obzira na njegovu vrstu, je 1800.
Nasuprot većeg ugla je veća strana. A takođe, dužina bilo koje strane je uvek manja od zbira njene druge dve strane. Ova svojstva su potvrđena teoremom o nejednakosti trougla.
Postoji koncept zlatnog trougla. Ovo je jednakokraki trougao, čije su dvije strane proporcionalne osnovici i jednake određenom broju. U takvoj slici uglovi su proporcionalni omjeru 2:2:1.
Zadatak:
Postoji li trougao čije su stranice 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Odluka:
Da biste riješili ovaj zadatak, trebate koristiti nejednakost a
Šta smo naučili?
Iz ovog gradiva iz predmeta matematika 5. razreda saznali smo da se trouglovi dijele po stranicama i uglovima. Trokuti imaju određena svojstva koja se mogu koristiti prilikom rješavanja problema.
Trougao je poligon sa 3 strane (ili 3 ugla). Stranice trougla su često označene malim slovima, što odgovara velika slova označavajući obrnute vrhove.
Akutni trougao Trokut se naziva ako su sva tri ugla oštra.
tupougaonog trougla Trokut se naziva u kojem je jedan od uglova tup.
pravougaonog trougla naziva se trokut u kojem je jedan od uglova pravi, drugim riječima jednak je 90 °; strane a, b koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge; strana c, suprotna od pravog ugla, naziva se hipotenuza.
Jednakokraki trougao naziva se trokut u kojem su dvije njegove strane jednake (a \u003d c); ove jednake strane se nazivaju bočno, zove se 3. strana osnovicu trougla.
jednakostranični trougao naziva se trokut u kojem su sve strane jednake (a \u003d b \u003d c). U tom slučaju, nijedna od njegovih stranica (abc) nije jednaka u trokutu, onda je ovo nejednak trougao.
Glavne karakteristike trouglova
U bilo kom trouglu:
Znakovi jednakosti trouglova
Trokuti su podudarni, u kom slučaju su jednaki:
Znaci jednakosti pravokutnih trougla
Dva pravokutna trokuta su jednaka, u tom slučaju se proizvodi jedan od sljedećih kriterija:
Visinatrougao je okomica ispuštena iz bilo kojeg vrha na poleđina(ili njegov nastavak). Ova strana se zove osnovicu trougla. Tri visine trougla se uvek seku u jednoj tački, tzv ortocentar trougla.
Ortocentar oštrouglog trougla je smešten unutar trougla, a ortocentar tupouglog trougla je postavljen izvan; Ortocentar pravouglog trougla poklapa se sa vrhom pravog ugla.
Medijan je segment koji povezuje bilo koji vrh trougla sa središtem naličja. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i predstavlja njegovo središte mase. Ova tačka dijeli svaku medijanu 2:1 od vrha.
Simetrala- ovo je segment simetrale ugla od vrha do tačke preseka sa zadnjom stranom. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i centar je upisane kružnice. Simetrala dijeli obrnutu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
Srednja okomita je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri srednje okomice trougla seku se u jednoj tački, koja je centar opisane kružnice.
AT oštar trougao ova tačka leži unutar trougla, u tupouglom trokutu - spolja, u pravougaonom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, centar mase, centar opisane kružnice i centar upisane kružnice poklapaju se isključivo u jednakostraničnom trokutu.
Pitagorin aksiom
AT pravougaonog trougla kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.
Potvrda Pitagorinog aksioma
Konstruirajte kvadrat AKMB koristeći hipotenuzu AB kao stranicu. Zatim nastavljamo stranice pravouglog trougla ABC tako da dobijemo kvadrat CDEF čija je stranica a + b. Sada je jasno da je površina kvadrata CDEF (a + b) 2. S druge strane, ova površina je jednaka zbiru površina četiri pravokutna trougla i kvadrata AKMB, drugim riječima,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
i imamo:
c 2 = a 2 + b 2 .
Omjer stranica u slučajnom trouglu
AT opšti slučaj(za slučajni trougao) imamo:
c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
gdje je C ugao između stranica a i b.
Dodatak sajtu:
Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati sa različitim vrstama trouglova.
Razmislite geometrijske figure i među njima pronađite „ekstra“ (slika 1).
Rice. 1. Ilustracija na primjer
Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četvorouglovi. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).
Rice. 2. Četvorouglovi
To znači da je "dodatna" figura trougao (slika 3).
Rice. 3. Ilustracija na primjer
Trougao je figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru.
Tačke se zovu vrhovima trougla, segmenti - njegovi stranke. Stranice trougla se formiraju U vrhovima trougla postoje tri ugla.
Glavne karakteristike trougla su tri strane i tri ugla. Trokuti se klasifikuju prema uglu oštre, pravougaone i tupe.
Trougao se naziva oštrouglim ako su sva tri njegova ugla oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).
Rice. 4. Oštri trougao
Trougao se naziva pravouglim ako mu je jedan od uglova 90° (slika 5).
Rice. 5. Pravokutni trokut
Trokut se naziva tupougao ako mu je jedan od uglova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).
Rice. 6. Tupokutni trokut
Prema broju jednakih stranica trouglovi su jednakostranični, jednakokračni, skalasti.
Jednakokraki trougao je trougao u kome su dve strane jednake (slika 7).
Rice. 7. Jednakokraki trougao
Ove strane se zovu bočno, treća strana - osnovu. U jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki.
Jednakokraki trouglovi su akutna i tupa(sl. 8) .
Rice. 8. Oštar i tupokraki trokut
Naziva se jednakostranični trougao u kojem su sve tri strane jednake (slika 9).
Rice. 9. Jednakostranični trougao
U jednakostranični trokut svi uglovi su jednaki. Jednakostranični trouglovi uvijek oštrougao.
Trougao se naziva svestranim, u kojem sve tri strane imaju različite dužine (slika 10).
Rice. 10. Skalirani trokut
Dovršite zadatak. Podijelite ove trouglove u tri grupe (slika 11).
Rice. 11. Ilustracija za zadatak
Prvo, rasporedimo prema veličini uglova.
Oštri trouglovi: br. 1, br. 3.
Pravokutni trouglovi: #2, #6.
Tupouglovi trouglovi: #4, #5.
Ovi trokuti su podijeljeni u grupe prema broju jednakih stranica.
Skalirani trouglovi: br. 4, br. 6.
Jednakokraki trouglovi: br. 2, br. 3, br. 5.
Jednakostranični trougao: br. 1.
Pregledajte crteže.
Razmislite od kojeg komada žice je napravljen svaki trougao (slika 12).
Rice. 12. Ilustracija za zadatak
Možete se ovako raspravljati.
Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazano kao treće.
Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da od njega možete napraviti skalasti trokut. Prvo je prikazano na slici.
Treći komad žice je podeljen na tri dela, pri čemu su dva dela iste dužine, tako da od njega možete napraviti jednakokraki trougao. Prikazano je drugo na slici.
Danas smo se u lekciji upoznali sa različitim vrstama trouglova.
Bibliografija
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. - M.: "Prosvjeta", 2012.
- M.I. Moreau. Lekcije matematike: Smjernice za nastavnika. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- "Ruska škola": Programi za osnovna škola. - M.: "Prosvjeta", 2011.
- S.I. Volkov. matematika: Posao verifikacije. Ocjena 3 - M.: Obrazovanje, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Zadaća
1. Završite fraze.
a) Trougao je lik koji se sastoji od ..., koji ne leži na istoj pravoj liniji, i ..., koji povezuje ove tačke u paru.
b) Tačke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trougla formiraju se u vrhovima trougla ….
c) Prema veličini ugla trouglovi su ..., ..., ....
d) Prema broju jednakih stranica trouglovi su ..., ..., ....
2. Draw
a) pravougli trougao
b) oštar trougao;
c) tupougli trokut;
d) jednakostranični trougao;
e) skalirani trougao;
e) jednakokraki trougao.
3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje drugove.
Možda najosnovnija, jednostavna i najzanimljivija figura u geometriji je trokut. Znam srednja škola proučavaju se njegova glavna svojstva, ali se ponekad znanje o ovoj temi formira nepotpuno. Tipovi trouglova u početku određuju njihova svojstva. Ali ovaj stav je i dalje pomiješan. Dakle, hajde da pobliže pogledamo ovu temu.
Vrste trouglova zavise od stepena mere uglova. Ove figure su oštre, pravokutne i tupe. Ako svi uglovi ne prelaze 90 stepeni, tada se figura može sa sigurnošću nazvati oštrouglom. Ako je barem jedan ugao trokuta 90 stepeni, onda imate posla s pravokutnom podvrstom. Shodno tome, u svim ostalim slučajevima, razmatrani se naziva tupokutnim.
Postoji mnogo zadataka za podvrste sa oštrim uglom. žig je unutrašnja lokacija presječnih točaka simetrala, medijana i visina. U drugim slučajevima ovaj uslov možda neće biti ispunjen. Određivanje vrste figure "trokut" nije teško. Dovoljno je znati, na primjer, kosinus svakog ugla. Ako bilo kakve vrijednosti manje od nule, pa je trokut u svakom slučaju tupokut. U slučaju eksponenta nula, figura ima pravi ugao. Sve pozitivne vrijednosti garantovano će vam reći da imate pogled pod oštrim uglom.
Ne može se reći o tome pravougaonog trougla. Ovo je najidealniji pogled, gdje se sve točke presjeka medijana, simetrala i visina poklapaju. Središte upisanog i opisanog kruga također leži na istom mjestu. Da biste riješili probleme, morate znati samo jednu stranu, pošto su vam uglovi inicijalno postavljeni, a druge dvije strane su poznate. Odnosno, brojku daje samo jedan parametar. Tu su oni glavna karakteristika- jednakost dviju stranica i uglova pri osnovici.
Ponekad se postavlja pitanje postoji li trokut sa datim stranicama. Ono što zaista pitate je da li ovaj opis odgovara glavnoj vrsti. Na primjer, ako je zbroj dviju strana manji od treće, onda u stvarnosti takva brojka uopće ne postoji. Ako zadatak traži pronalaženje kosinusa uglova trokuta sa stranicama 3,5,9, onda se očito može objasniti bez složenih matematičkih trikova. Pretpostavimo da želite doći od tačke A do tačke B. Udaljenost u pravoj liniji je 9 kilometara. Međutim, sjetili ste se da morate ići do tačke C u prodavnici. Udaljenost od A do C je 3 kilometra, a od C do B - 5. Tako se ispostavlja da ćete pri kretanju kroz radnju hodati jedan kilometar manje. Ali pošto se tačka C ne nalazi na liniji AB, morat ćete prijeći dodatnu udaljenost. Ovdje nastaje kontradikcija. Ovo je, naravno, hipotetičko objašnjenje. Matematika zna više od jednog načina da dokaže da se sve vrste trouglova povinuju osnovnom identitetu. Kaže da je zbir dviju strana veći od dužine treće.
Svaki tip ima sljedeća svojstva:
1) Zbir svih uglova je 180 stepeni.
2) Uvek postoji ortocentar - tačka preseka sve tri visine.
3) Sve tri medijane povučene iz vrhova unutrašnjih uglova seku se na jednom mestu.
4) Krug se može opisati oko bilo kojeg trougla. Također je moguće upisati krug tako da ima samo tri dodirne točke i da ne ide dalje od vanjskih strana.
Sada ste upoznati sa glavnim svojstvima koja različite vrste trouglovi. U budućnosti je važno razumjeti sa čime se suočavate kada rješavate problem.
trouglovi
trougao Figura se naziva figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru. Tačke se zovu vrhovi trougao, a segmenti - njegov stranke.
Vrste trouglova
Trougao se zove jednakokraki ako su njegove dvije strane jednake. Ove jednake strane se nazivaju strane, i treća strana se poziva osnovu trougao.
Trougao u kojem su sve strane jednake naziva se equilateral ili ispravan.
Trougao se zove pravougaoni, ako ima pravi ugao, onda postoji ugao od 90°. Strana pravouglog trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza druge dvije strane se zovu noge.
Trougao se zove oštrougao ako su sva tri njegova ugla oštra, odnosno manja od 90°.
Trougao se zove tupo, ako je jedan od njegovih uglova tup, tj. veći od 90°.
Glavne linije trougla
Medijan
Medijan trougao je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane ovog trougla. 
Svojstva medijane trougla
Medijan dijeli trokut na dva trougla iste površine.
Medijane trougla se sijeku u jednoj tački, koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova tačka se zove centar gravitacije trougao.
Cijeli trokut podijeljen je svojim medijanama na šest jednakih trouglova.
Simetrala
Simetrala ugla je zrak koji dolazi iz njegovog vrha, prolazi između njegovih stranica i prepolovi dati ugao. Simetrala trougla Segment simetrale ugla trougla koji povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani trougla naziva se. 
Svojstva simetrale trokuta
Visina
Visina trokut naziva se okomica povučena iz vrha trougla na pravu koja sadrži suprotnu stranu ovog trougla. 
Svojstva visine trougla
AT pravougaonog trougla visina povučena iz vrha pravog ugla dijeli ga na dva trokuta, slično original.
AT oštar trougao njegove dvije visine odsječene od njega slično trouglovi.
Srednja okomita
Zove se prava koja prolazi središtem segmenta okomitog na nju okomita simetrala segmentu .
Svojstva simetrala okomitog trougla
Svaka tačka simetrale okomite na segment jednako je udaljena od krajeva ovog segmenta. Obrnuta tvrdnja je također tačna: svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na nju.
Točka presjeka srednjih okomica povučenih na stranice trokuta je centar krug opisan oko ovog trougla.
srednja linija
Srednja linija trougla Odsječak prave koji spaja sredine dvije njegove stranice naziva se.
Svojstvo srednje linije trougla
Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je polovini te stranice.
Formule i omjeri
Znakovi jednakosti trouglova
Dva trokuta su podudarna ako su kongruentna:
dvije strane i ugao između njih;
dva ugla i jedna strana uz njih;
tri strane.
Znaci jednakosti pravokutnih trougla
Dva pravougaonog trougla su jednaki ako su respektivno jednaki: 
hipotenuza i oštri ugao
nogu i suprotni ugao;
nogu i susedni ugao;
dva nogu;
hipotenuza i nogu.
sličnost trouglova
Dva trougla su slični ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova, tzv znakovi sličnosti:
dva ugla jednog trougla jednaka su dva ugla drugog trougla;
dvije stranice jednog trougla su proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla, a uglovi koje te stranice formiraju su jednaki;
tri strane jednog trougla su proporcionalne trima stranicama drugog trougla.
U sličnim trokutima, odgovarajuće linije ( visine, medijane, simetrale itd.) su proporcionalni.
Sinusni teorem
Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova, a koeficijent proporcionalnosti je prečnika
krug opisan oko trougla:
Kosinus teorema
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki proizvod tih stranica puta kosinus ugla između njih:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Formule površine trougla
Proizvoljni trougao
a, b, c - strane; - ugao između stranica a i b- poluperimetar; R- poluprečnik opisane kružnice; r- poluprečnik upisane kružnice; S- kvadrat; h a - visina na stranu a.
Učitavanje...