Karakteristika prizme. Površina osnove prizme: trouglasto do poligonalno

Definicija. Prizma- ovo je poliedar čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravni, a u iste dvije ravni postoje dvije strane prizme, koje su jednaki mnogouglovi sa odgovarajućim paralelnim stranicama, i svi rubovi koji ne leže u tim ravni su paralelne.

Zovu se dva jednaka lica baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva druga lica prizme se nazivaju bočne strane(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Formiraju se sve bočne strane bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Rubovi koji ne leže u osnovama nazivaju se bočne ivice prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prism Diagonal naziva se segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na jednoj od njenih strana (AD 1).

Dužina segmenta koji spaja osnove prizme i okomito na obje baze istovremeno se naziva visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u zaobilaznom redoslijedu, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svake bočne ivice označeni su istim slovima, samo vrhovi koji leže u jednoj bazi označeni su slovima bez indeksa, au drugom - sa indeksom)

Naziv prizme je povezan s brojem uglova na slici koja leži u njenoj osnovi, na primjer, na slici 1, osnova je petougao, pa se prizma naziva pentagonalna prizma. Ali pošto takva prizma ima 7 lica, onda je heptahedron(2 lica su osnove prizme, 5 lica su paralelogrami, njene su bočne strane)

Među ravnim prizmama izdvaja se posebna vrsta: pravilne prizme.

Prava prizma se naziva ispravno, ako su njegove osnove pravilni poligoni.

Paralelepiped

kuboid- pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik.

Svojstva i teoreme:

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a - strana kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Ukupna i bočna površina prizme

S puni \u003d S strana + 2S glavni,

gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočne površine, S main- bazna površina

Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

S strana\u003d P glavni * h,

gdje S strana je površina bočne površine ravne prizme,

P glavni - obim osnove ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnoj ivici.

Prism Volume

Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Opće informacije o pravoj prizmi

Bočna površina prizme (tačnije, bočna površina) naziva se suma bočne površine lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbiru bočne površine i površina baza.

Teorema 19.1. Bočna površina ravne prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme, odnosno dužini bočne ivice.

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici. Osnove ovih pravougaonika su stranice mnogougla koji leže u osnovi prizme, a visine su jednake dužini bočnih ivica. Iz toga slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n dužine rebara osnove, p je obim osnove prizme, a I je dužina bočnih rebara. Teorema je dokazana.

Praktični zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i siječe sve bočne rubove. Pronađite bočnu površinu prizme ako je obim presjeka p, a bočne ivice l.

Rješenje. Ravan nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (sl. 411). Podvrgnimo jednu od njih paralelnom prevodu koji kombinuje osnove prizme. U ovom slučaju dobijamo ravnu prizmu, u kojoj presjek originalne prizme služi kao osnova, a bočne ivice jednake su l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina originalne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama da sumiramo temu prizme i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.

Prism Properties

Prvo, za prizmu, sve njene baze su jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestrukoj figuri kao što je prizma, sve su bočne ivice jednake;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Šta je ravna prizma?

Ako je bočna ivica prizme okomita na ravan njene osnove, tada se takva prizma naziva prava linija.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Šta je kosa prizma?

Ali ako se bočna ivica prizme ne nalazi okomito na ravninu njene baze, onda možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Šta je ispravna prizma?

Ako pravilan mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Sada se prisjetimo svojstava koja ima obična prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao osnove pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, onda su to uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako uporedimo veličine bočnih rebara, onda su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura u pravilu naziva polupravilnim poligonom.

Presjek prizme

Pogledajmo sada poprečni presjek prizme:

Zadaća

A sada pokušajmo konsolidirati proučavanu temu rješavanjem problema.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu u kojoj će razmak između ivica biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina ove prizme će biti jednaka 60 cm2. Sa ovim parametrima pronađite bočnu ivicu date prizme.

Znate li da nas geometrijske figure stalno okružuju ne samo na časovima geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji podsjećaju na jednu ili drugu geometrijsku figuru.

Svaki dom, škola ili posao ima računar čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete u ruke jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom gradskom ulicom vidimo da ispod naših nogu leži pločica koja ima oblik heksagonalne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Poligoni ABCDE i FHKMP, koji leže u paralelnim ravnima, nazivaju se osnovama prizme, okomito OO 1, ispušteno iz bilo koje tačke osnove na ravan druge, naziva se visina prizme. Paralelogrami ABHF, BCKH itd. nazivaju se bočne strane prizme, a njihove stranice CK, DM, itd., koje povezuju odgovarajuće vrhove baza, nazivaju se bočne ivice. U prizmi su sve bočne ivice jednake jedna drugoj kao segmenti paralelnih pravih zatvorenih između paralelnih ravnina.
Prizma se naziva prava linija ( sl.282,b) ili koso ( Fig.282, in) u zavisnosti od toga da li su njegove bočne ivice okomite ili nagnute na osnove. U pravoj prizmi, bočne strane su pravokutnici. Bočna ivica se može uzeti kao visina takve prizme.
Prava prizma se naziva pravilnom ako su njene osnove pravilni mnogouglovi. U takvoj prizmi, sve bočne strane su jednaki pravokutnici.
Da bi se prikazala prizma u složenom crtežu, mora se znati i biti u stanju prikazati elemente od kojih se sastoji (tačka, prava linija, ravna figura).
i njihova slika na integrisanom crtežu (Sl.283, a - i)

a) Složeni crtež prizme. Osnova prizme nalazi se na ravni projekcije P 1 ; jedna od bočnih strana prizme je paralelna sa ravninom projekcija P 2 .
b) Donja osnova prizme DEF je ravna figura - pravilan trougao koji se nalazi u ravni P 1; stranica trokuta DE je paralelna sa x-osi 12 - Horizontalna projekcija se spaja sa datom osnovom i, prema tome, jednaka je njegovoj prirodnoj veličini; frontalna projekcija se spaja sa x12 osom i jednaka je strani osnove prizme.
c) Gornja osnova prizme ABC je ravna figura - trougao koji se nalazi u horizontalnoj ravni. Horizontalna projekcija se spaja sa projekcijom donje baze i prekriva je sa sobom, budući da je prizma ravna; frontalna projekcija - ravna linija, paralelna sa x 12 osi, na udaljenosti visine prizme.
d) Bočna strana ABED prizme je ravna figura - pravougaonik koji leži u čeonoj ravni. Frontalna projekcija - pravougaonik jednak prirodnoj veličini lica; horizontalna projekcija - ravna linija, jednaka strani osnove prizme.
e) i f) Bočne strane prizme ACFD i CBEF su ravne figure - pravokutnici koji leže u horizontalno izbačenim ravnima smještenim pod uglom od 60° prema ravni projekcije P 2 . Horizontalne projekcije su ravne linije koje se nalaze pod kutom od 60° prema x-osi 12, a jednake su prirodnoj veličini stranica osnove prizme; frontalne projekcije - pravokutnici čija je slika manja od prirodne veličine: dvije strane svakog pravokutnika jednake su visini prizme.
g) Ivica AD prizme je prava prava okomita na ravan projekcija P 1. Horizontalna projekcija - tačka; frontalni - ravna linija okomita na os x 12, jednaka bočnoj ivici prizme (visina prizme).
h) Strana AB gornje osnove je prava, paralelna sa ravnima P 1 i P 2. Horizontalna i frontalna projekcija su ravne, paralelne sa x12 osi i jednake strani date osnove prizme. Frontalna projekcija je udaljena od x-ose za 12 na udaljenosti jednakoj visini prizme.
i) Vrhovi prizme. Tačka E - vrh donje baze nalazi se na ravni P 1 . Horizontalna projekcija se poklapa sa samom tačkom; frontalni - leži na osi x 12. Tačka C - vrh gornje baze - nalazi se u prostoru. Horizontalna projekcija ima dubinu; frontalni - visina jednaka visini date prizme.
Ovo implicira: Prilikom dizajniranja bilo kojeg poliedra, potrebno ga je mentalno podijeliti na njegove sastavne elemente i odrediti redoslijed njihovog predstavljanja, koji se sastoji od uzastopnih grafičkih operacija. Na (sl.284 i sl.285) prikazani su primeri sekvencijalnih grafičkih operacija pri izvođenju složenog crteža i vizuelne slike (aksonometrije) prizme.
(Sl. 284).

Dato:
1. Osnova se nalazi na ravni projekcija P 1.
2. Nijedna strana baze nije paralelna s x12 osi.
I. Integrisani crtež.
I, a. Dizajniramo donju osnovu - poligon, koji po uslovu leži u ravni P 1.
I, b. Projektiramo gornju osnovu - poligon jednak donjoj bazi sa stranicama koje su odgovarajuće paralelne donjoj bazi, udaljene od donje osnove za visinu H ove prizme.
I, c. Dizajniramo bočne ivice prizme - segmente koji se nalaze paralelno; njihove horizontalne projekcije su tačke koje se spajaju sa projekcijama vrhova baza; frontalni - segmenti (paralelni) dobiveni spajanjem ravnih linija projekcija vrhova istoimenih baza. Frontalne projekcije rebara, povučene iz projekcija vrhova B i C donje osnove, prikazane su isprekidanim linijama kao nevidljive.
Ja, g. Zadate: horizontalna projekcija F 1 tačke F na gornju osnovu i frontalna projekcija K 2 tačke K na bočnu stranu. Potrebno je odrediti mjesta njihovih drugih projekcija.
Za tačku F. Druga (frontalna) projekcija F 2 tačke F će se poklopiti sa projekcijom gornje osnove, kao tačka koja leži u ravni ove baze; njegovo mjesto je određeno vertikalnom linijom komunikacije.
Za tačku K - Druga (horizontalna) projekcija K 1 tačke K će se poklopiti sa horizontalnom projekcijom bočne strane, kao tačka koja leži u ravni lica; njegovo mjesto je određeno vertikalnom linijom komunikacije.
II. Razvijanje površine prizme- ravna figura sastavljena od bočnih strana - pravougaonika, kod kojih su dvije stranice jednake visini prizme, a druge dvije jednake odgovarajućim stranicama osnove, a od dvije međusobno jednake osnove - nepravilni poligoni.
Na projekcijama se otkrivaju prirodne dimenzije baza i strana lica, neophodne za konstruisanje zamaha; na njima i mi gradimo; na pravoj liniji, uzastopno odvajamo stranice AB, BC, CD, DE i EA poligona - osnove prizme, preuzete iz horizontalne projekcije. Na okomicama povučenim iz tačaka A, B, C, D, E i A odvojimo visinu H ove prizme uzetu iz čeone projekcije i povučemo pravu liniju kroz oznake. Kao rezultat, dobijamo razvoj bočnih strana prizme.
Ako na ovo skeniranje pričvrstimo osnove prizme, dobićemo sken pune površine prizme. Osnove prizme treba pričvrstiti na odgovarajuću bočnu stranu metodom triangulacije.
Na gornjoj bazi prizme, pomoću poluprečnika R i R 1, odredimo lokaciju tačke F, a na bočnoj strani, pomoću poluprečnika R 3 i H 1, tačku K.
III. Vizuelni prikaz prizme u dimetriji.
III, a. Donju osnovu prizme prikazujemo duž koordinata tačaka A, B, C, D i E (Sl. 284 I, a).
III, b. Gornju bazu prikazujemo paralelno s donjom, udaljenu od nje visinom H prizme.
III, c. Prikazujemo bočne rubove, za koje povezujemo odgovarajuće vrhove baza s ravnim linijama. Određujemo vidljive i nevidljive elemente prizme i ocrtavamo ih odgovarajućim linijama,
III, d Određujemo tačke F i K na površini prizme - Tačka F - na gornjoj osnovi se određuje pomoću dimenzija i i e; tačka K - na bočnoj strani pomoću i 1 i H" .
Za izometrijsku sliku prizme i određivanje položaja tačaka F i K treba slijediti isti niz.
Fig.285).

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Bočna rebra su paralelna sa ravninom P 2.
3. Nijedna strana baze nije paralelna sa x-osi 12
I. Integrisani crtež.
I, a. Projektujemo prema ovom uslovu: donja osnova je poligon koji leži u ravni P 1, a bočna ivica je segment paralelan sa ravninom P 2 i nagnut prema ravni P 1.
I, b. Dizajniramo preostale bočne ivice - segmente jednake i paralelne prvoj ivici CE.
I, c. Dizajnirajući gornju osnovu prizme kao poligon jednak i paralelan donjoj bazi, dobijamo složeni crtež prizme.
Na projekcijama otkrivamo nevidljive elemente. Čeona projekcija rebra BM i horizontalna projekcija bočne strane osnovnog CD-a prikazane su isprekidanim linijama kao nevidljive.
I, d Zadata je frontalna projekcija Q 2 tačke Q na projekciju A 2 K 2 F 2 D 2 bočne strane; morate pronaći njegovu horizontalnu projekciju. Da bismo to uradili, kroz tačku Q 2 u projekciji A 2 K 2 F 2 D 2 lica prizme povlačimo pomoćnu pravu liniju paralelnu sa bočnim ivicama ovog lica. Pronađemo horizontalnu projekciju pomoćne linije i na njoj, koristeći vertikalnu liniju komunikacije, odredimo mjesto željene horizontalne projekcije Q 1 tačke Q .
II. Skeniranje površine prizme.
Imajući prirodne dimenzije stranica postolja na horizontalnoj projekciji, a dimenzije rebara na čeonoj projekciji, moguće je izgraditi potpuni rasplet površine ove prizme.
Zakotrljaćemo prizmu, okrećući je svaki put oko bočne ivice, a zatim će svaka bočna strana prizme na ravni ostaviti trag (paralelogram) jednak njenoj prirodnoj veličini. Napravit ćemo bočno skeniranje sljedećim redoslijedom:
a) iz tačaka A 2, B 2, D 2. . . E 2 (frontalne projekcije vrhova baza) crtamo pomoćne ravne linije okomite na projekcije rebara;
b) poluprečnikom R (jednakim strani osnove CD) napravimo zarez u tački D na pomoćnoj pravoj liniji povučenoj iz tačke D 2; spajajući prave tačke C 2 i D i crtajući prave paralelne sa E 2 C 2 i C 2 D , dobijamo bočnu stranu CEFD ;
c) zatim, na sličan način pričvršćujući sljedeće bočne strane, dobijamo razvoj bočnih strana prizme. Da bismo dobili potpuni zamah površine ove prizme, pričvršćujemo je na odgovarajuća lica baze.
III. Vizuelni prikaz prizme u izometriji.
III, a. Prikazujemo donju bazu prizme i ivicu CE, koristeći koordinate prema (