Équation quadratique - facile à résoudre ! *Ci-après dénommé « KU ». Mes amis, il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple en mathématiques que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions à la demande Yandex donne par mois. Voici ce qui s'est passé, regardez :

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes recherchent chaque mois cette information, qu'est-ce que cela a à voir avec l'été et que se passera-t-il pendant l'année scolaire - il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car les gars et les filles qui ont obtenu leur diplôme il y a longtemps et se préparent à l'examen d'État unifié recherchent ces informations, et les écoliers s'efforcent également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui vous expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Premièrement, je souhaite que les visiteurs viennent sur mon site en fonction de cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le sujet de « KU » sera abordé, je fournirai un lien vers cet article ; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est habituellement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients une,bet c sont des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, la matière est donnée en le formulaire suivant– les équations sont divisées en trois classes :

1. Ils ont deux racines.

2. *N'ayez qu'une seule racine.

3. Ils n’ont pas de racines. Il convient particulièrement de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment sont calculées les racines ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot « terrible » se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Il faut connaître ces formules par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre :

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cet égard, lorsque le discriminant est égal à zéro, le cours scolaire dit qu'on obtient une racine, ici elle est égale à neuf. Tout est correct, c'est vrai, mais...

Cette idée est quelque peu incorrecte. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, vous obtenez deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors la réponse devrait écrire deux racines :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l’école, vous pouvez l’écrire et dire qu’il n’y a qu’une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d’un nombre négatif ne peut pas être prise, donc les solutions dans dans ce cas Non.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Cela montre à quoi ressemble géométriquement la solution. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution à l'inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c – nombres donnés, avec a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec « y » égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est nul) et aucun (le discriminant est négatif). Détails sur fonction quadratique Vous pouvez visualiser article d'Inna Feldman.

Regardons des exemples :

Exemple 1 : Résoudre 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = –12

*Il était possible de diviser immédiatement les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire de la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons trouvé que x 1 = 11 et x 2 = 11

Il est permis d'écrire x = 11 dans la réponse.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Nous parlerons ici de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Connaissez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas ici dans les détails sur pourquoi et où ils sont apparus ni sur leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques ; c'est le sujet d'un grand article séparé.

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est ce qu'on appelle l'unité imaginaire.

a+bi – il s’agit d’un NUMÉRO UNIQUE, pas d’un ajout.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

On obtient deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient « b » ou « c » est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils peuvent être résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation devient :

Transformons :

Exemple:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation devient :

Transformons et factorisons :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x1 = 0x2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l’équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un + b+ c = 0, Que

- si pour les coefficients de l'équation UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un+ s =b, Que

Ces propriétés aident à décider un certain typeéquations

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des cotes est de 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ce qui signifie

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

L’égalité tient un+ s =b, Moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > x 1 = –une x 2 = –1/une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 – bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > X 1 = une X 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation. ax 2 + bx – c = 0 coefficient « b » est égal à (a 2 – 1), et coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = – une x 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 – bx – c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 – 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = une x 2 = – 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta doit son nom au célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, nous pouvons exprimer la somme et le produit des racines d'une KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Au total, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques immédiatement.

Le théorème de Vieta, en plus. C'est pratique car après avoir résolu une équation quadratique de la manière habituelle (par l'intermédiaire d'un discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de toujours faire cela.

MODE DE TRANSPORT

Avec cette méthode, le coefficient « a » est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de « transfert ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

En utilisant le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 = 10 x 2 = 1

Les racines résultantes de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été « jetées » depuis x 2), on obtient

x1 = 5x2 = 0,5.

Quelle est la justification ? Regardez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont égaux :

Si vous regardez les racines des équations, vous n'obtenez que des dénominateurs différents, et le résultat dépend précisément du coefficient de x 2 :

Le second (modifié) a des racines 2 fois plus grosses.

On divise donc le résultat par 2.

*Si on relance les trois, on divisera le résultat par 3, etc.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

Carré. ur-ie et examen d'État unifié.

Je vais vous parler brièvement de son importance - VOUS DEVEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et des discriminants. De nombreux problèmes inclus dans les tâches de l'examen d'État unifié se résument à la résolution d'une équation quadratique (y compris les équations géométriques).

Quelque chose à noter !

1. La forme d'écriture d'une équation peut être « implicite ». Par exemple, la saisie suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez le mettre sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. N'oubliez pas que x est une quantité inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

Description bibliographique : Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Méthodes de solution équations du second degré// Jeune scientifique. 2016. N° 6.1. P. 17-20..03.2019).

Notre projet concerne les moyens de résoudre des équations quadratiques. Objectif du projet : apprendre à résoudre des équations quadratiques d'une manière non incluse dans le programme scolaire. Tâche : tout trouver moyens possibles résoudre des équations quadratiques, apprendre à les utiliser vous-même et présenter ces méthodes à vos camarades de classe.

Que sont les « équations quadratiques » ?

Équation quadratique- équation de la forme hache2 + bx + c = 0, Où un, b, c- quelques chiffres ( une ≠ 0), X- inconnu.

Les nombres a, b, c sont appelés coefficients de l'équation quadratique.

a est appelé premier coefficient ;
b est appelé le deuxième coefficient ;
c - membre gratuit.

Qui a été le premier à « inventer » les équations quadratiques ?

Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone. La découverte d’anciennes tablettes d’argile babyloniennes, datant entre 1800 et 1600 avant JC, constitue la première preuve de l’étude des équations quadratiques. Les mêmes tablettes contiennent des méthodes pour résoudre certains types d'équations quadratiques.

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré dans les temps anciens était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones. terrains et avec terrassements de nature militaire, ainsi qu'avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes.

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés. Malgré haut niveau développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent de la notion de nombre négatif et méthodes générales résoudre des équations quadratiques.

Mathématiciens babyloniens du 4ème siècle avant JC. a utilisé la méthode du complément au carré pour résoudre des équations à racines positives. Vers 300 avant JC Euclide a proposé une méthode de solution géométrique plus générale. Le premier mathématicien qui a trouvé des solutions à des équations à racines négatives sous la forme d'une formule algébrique était un scientifique indien. Brahmagupta(Inde, 7ème siècle après JC).

Brahmagupta a exposé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ax2 + bx = c, a>0

Les coefficients de cette équation peuvent également être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants en Inde. L'un des vieux livres indiens dit ce qui suit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi homme instruitéclipsera sa gloire dans les assemblées publiques en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

Dans un traité algébrique Al-Khwarizmi une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 = bx.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ax2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax2 = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c == ax2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-mukabal. Bien entendu, sa décision ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans la pratique spécifique, cela n'a pas d'importance dans les tâches. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis leurs preuves géométriques.

Les formes de résolution d'équations quadratiques suivant le modèle d'Al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre de l'Abacus », écrit en 1202. mathématicien italien Léonard Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes de ce livre ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XIVe-XVIIe siècles. Règle générale la solution d'équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bх = с pour toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544. M. Stiefel.

Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique en vue générale Le Viet l'a, mais le Viet n'a reconnu que des racines positives. Mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. grâce aux efforts Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Examinons plusieurs façons de résoudre des équations quadratiques.

Méthodes standard pour résoudre des équations quadratiques de programme scolaire:

Factoriser le côté gauche de l’équation.
Méthode de sélection d'un carré complet.
Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule.
Solution graphiqueéquation quadratique.
Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Arrêtons-nous plus en détail sur la solution d'équations quadratiques réduites et non réduites à l'aide du théorème de Vieta.

Rappelons que pour résoudre les équations quadratiques ci-dessus, il suffit de trouver deux nombres dont le produit est égal au terme libre, et dont la somme est égale au deuxième coefficient de signe opposé.

Exemple.X 2 -5x+6=0

Vous devez trouver des nombres dont le produit est 6 et dont la somme est 5. Ces nombres seront 3 et 2.

Réponse : x 1 =2,x 2 =3.

Mais vous pouvez également utiliser cette méthode pour les équations dont le premier coefficient n'est pas égal à un.

Exemple.3x 2 +2x-5=0

Prenez le premier coefficient et multipliez-le par le terme libre : x 2 +2x-15=0

Les racines de cette équation seront des nombres dont le produit est égal à - 15 et dont la somme est égale à - 2. Ces nombres sont 5 et 3. Pour trouver les racines de l'équation originale, divisez les racines obtenues par le premier coefficient.

Réponse : x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Résoudre des équations à l'aide de la méthode du « lancer ».

Considérons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a≠0.

En multipliant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y/a ; on arrive alors à l'équation y 2 + by + ac = 0, équivalente à celle donnée. Nous trouvons ses racines pour 1 et 2 en utilisant le théorème de Vieta.

On obtient finalement x 1 = y 1 /a et x 2 = y 2 /a.

Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle la méthode « jeter ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Jetons" le coefficient 2 au terme libre et effectuons une substitution et obtenons l'équation y 2 - 11y + 30 = 0.

D'après le théorème inverse de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 ; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Réponse : x 1 =2,5 ; X 2 = 3.

7. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Si a+ b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients de l'équation est nulle), alors x 1 = 1.

2. Si a - b + c = 0, ou b = a + c, alors x 1 = - 1.

Exemple.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Puisque a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), alors x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Réponse : x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemple.132x 2 + 247x + 115 = 0

Parce que a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), alors x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Réponse : x 1 = - 1 ; X 2 =- 115/132

Il existe d'autres propriétés des coefficients d'une équation quadratique. mais leur utilisation est plus complexe.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Fig 1. Nomogramme

Il s'agit d'une méthode ancienne et actuellement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la page 83 de la collection : Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z 2 + pz + q = 0. Ce nomogramme permet, sans résoudre une équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation à partir de ses coefficients.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 1) :

Croire OS = p, ED = q, OE = a(le tout en cm), d'après la Fig. 1 similitudes des triangles SAN Et CDF on obtient la proportion

ce qui, après substitutions et simplifications, donne l'équation z 2 + pz + q = 0, et la lettre z désigne la marque de n’importe quel point sur une échelle courbe.

Riz. 2 Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme

Exemples.

1) Pour l'équation z 2 - 9z + 8 = 0 le nomogramme donne les racines z 1 = 8,0 et z 2 = 1,0

Réponse : 8,0 ; 1.0.

2) À l'aide d'un nomogramme, nous résolvons l'équation

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, nous obtenons l'équation z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne les racines z 1 = 4 et z 2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

9. Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

Exemple.X 2 + 10x = 39.

Dans l’original, ce problème est formulé comme suit : « Le carré et dix racines sont égaux à 39. »

Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de manière à ce que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, donc l'aire de chacun est de 2,5x. Le chiffre obtenu est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, en construisant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25.

Riz. 3 Méthode graphique pour résoudre l'équation x 2 + 10x = 39

L'aire S du carré ABCD peut être représentée comme la somme des aires de : le carré d'origine x 2, quatre rectangles (4∙2,5x = 10x) et quatre carrés supplémentaires (6,25∙4 = 25), soit S = x 2 + 10x = 25. En remplaçant x 2 + 10x par le nombre 39, on obtient que S = 39 + 25 = 64, ce qui signifie que le côté du carré est ABCD, c'est-à-dire segment AB = 8. Pour le côté requis x du carré d'origine, nous obtenons

10. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Bezout.

Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P(x) par le binôme x - α est égal à P(α) (c'est-à-dire la valeur de P(x) à x = α).

Si le nombre α est la racine du polynôme P(x), alors ce polynôme est divisible par x -α sans reste.

Exemple.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α : ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Divisez P(x) par (x-1) : (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0 ; x=1, ou x-3=0, x=3 ; Réponse : x1 =2,x2 =3.

Conclusion: La capacité de résoudre rapidement et rationnellement des équations quadratiques est simplement nécessaire pour résoudre davantage de problèmes. équations complexes, par exemple, des équations rationnelles fractionnaires, des équations diplômes supérieurs, les équations biquadratiques et les équations trigonométriques, exponentielles et logarithmiques au lycée. Après avoir étudié toutes les méthodes trouvées pour résoudre les équations quadratiques, nous pouvons conseiller à nos camarades de classe, en plus des méthodes standards, de résoudre par la méthode de transfert (6) et de résoudre les équations en utilisant la propriété des coefficients (7), car elles sont plus accessibles à la compréhension.

Littérature:

Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.
Algèbre 8e année : manuel pour la 8e année. enseignement général institutions Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15e éd., révisée. - M. : Éducation, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Manuel pour les enseignants. / Éd. V.N. Plus jeune. - M. : Éducation, 1964.

Juste. Selon des formules et des règles claires et simples. À la première étape

il est nécessaire de ramener l'équation donnée à une forme standard, c'est-à-dire au formulaire :

Si l’équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n’avez pas besoin de faire la première étape. Le plus important est de bien faire les choses

déterminer tous les coefficients, UN, b Et c.

Formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant . Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, nous

nous utilisons seulement a, b et c. Ceux. coefficients de équation quadratique. Il suffit de le mettre soigneusement

valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Nous remplaçons par leur panneaux!

Par exemple, dans l'équation :

UN =1; b = 3; c = -4.

On substitue les valeurs et on écrit :

L'exemple est presque résolu :

C'est la réponse.

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes un B Et Avec. Ou plutôt, avec substitution

valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Un enregistrement détaillé de la formule vient à la rescousse ici

avec des numéros précis. Si vous avez des problèmes avec les calculs, faites-le !

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Nous décrivons tout en détail, avec soin, sans rien manquer avec tous les signes et parenthèses :

Les équations quadratiques semblent souvent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs.

Premier rendez-vous. Ne sois pas paresseux avant résoudre une équation quadratique mettez-le sous forme standard.

Qu'est-ce que cela signifie?

Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c.

Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Débarrassez-vous du moins. Comment? Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple.

Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! Par Théorème de Vieta.

Pour résoudre les équations quadratiques données, c'est-à-dire si le coefficient

x 2 +bx+c=0,

Alorsx 1 x 2 =c

x 1 + x 2 =−b

Pour une équation quadratique complète dans laquelle une≠1:

x2 +bx+c=0,

diviser l'équation entière par UN:

→ →

Où x1 Et X 2 - racines de l'équation.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multiplier

équation avec un dénominateur commun.

Conclusion. Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant le X au carré, on l'élimine en multipliant le tout

équations par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le correspondant

facteur.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par

Premier niveau

Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme « équation quadratique », le mot clé est « quadratique ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x à la puissance troisième (ou supérieure).

La solution de nombreuses équations revient à résoudre des équations quadratiques.

Apprenons à déterminer qu'il s'agit d'une équation quadratique et non d'une autre équation.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplaçons tout vers la gauche et classons les termes par ordre décroissant des puissances de X

Nous pouvons désormais affirmer avec certitude que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu’elle y figurait à l’origine, n’est pas quadratique !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Effrayant? Les quatrième et deuxième degrés... Cependant, si nous effectuons un remplacement, nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Cela semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, c'est réduit - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

carré;
carré;
pas carré;
pas carré;
pas carré;
carré;
pas carré;
carré.

Les mathématiciens divisent classiquement toutes les équations quadratiques dans les types suivants :

Équations quadratiques complètes- des équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c, ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation du premier exemple est non seulement complète, mais aussi réduite !)

Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :
Ils sont incomplets car il leur manque certains éléments. Mais l'équation doit toujours contenir x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus une équation quadratique, mais une autre équation.

Pourquoi ont-ils proposé une telle division ? Il semblerait qu’il y ait un X au carré, et d’accord. Cette division est déterminée par les méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d’abord, concentrons-nous sur la résolution d’équations quadratiques incomplètes – elles sont beaucoup plus simples !

Il existe des types d'équations quadratiques incomplètes :

, dans cette équation le coefficient est égal.
, dans cette équation le terme libre est égal à.
, dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

1. je. Puisque nous savons prendre la racine carrée, exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler que cela ne peut pas être moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il ne reste plus qu'à extraire la racine des côtés gauche et droit. Après tout, vous vous souvenez comment extraire les racines ?

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Oh! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour de telles équations sans racines, les mathématiciens ont proposé une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s’écrire ainsi :

Répondre:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Répondre:

Le type le plus simple d’équations quadratiques incomplètes (même si elles sont toutes simples, n’est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Nous renoncerons ici aux exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple : l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a une racine. Attention particulière avancez d'un pas. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, l’équation est complète.

Solutions à différents types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ? Mais le discriminant peut être négatif. Ce qu'il faut faire? Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

Si, alors l'équation a des racines :
Si, alors l'équation a les mêmes racines, et en fait une seule racine :
Ces racines sont appelées racines doubles.
Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi est-ce possible différentes quantités racines? Tournons-nous vers sens géométriqueéquation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, . Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis). Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Répondre:

Répondre: .

Répondre:

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal à :
Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple n°2 :

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit simplement de changer les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple n°5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie que d’après au moins, l’une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines. Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seul le théorème de Vieta :

Solutions aux tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données. Vous devez donc d’abord donner une équation. Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez-la d’une autre manière (par exemple, par le biais d’un discriminant). Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Super. Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Tâche 4.

Le membre libre est négatif. Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ? Et le fait est que les racines auront des signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Laissez-moi résumer :

Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 2 :

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ? C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

si, alors l'équation n'a pas de solutions,
si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Mettons l'équation sous forme standard : ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

Si une équation quadratique de la forme a des racines, alors elle peut s'écrire sous la forme : .

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

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DANS la société moderne la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve la preuve dans la conception des systèmes marins et bateaux fluviaux, avions et missiles. Grâce à de tels calculs, les trajectoires de mouvement des plus différents corps, y compris les objets spatiaux. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque côté gauche l'expression se compose de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l’expression semble comporter deux termes sur le côté droit, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de mettre la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1; 3.

Racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le membre de droite est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré à côté droit, puis la racine carrée est prise des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, effectuons les transformations nécessaires, puis apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous une forme correspondant au standard spécifié précédemment, où a=1, b=16, c=-612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de retrouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine la grandeur options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18 +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.