समतुल्य समीकरण, समीकरणों का परिवर्तन। स्कूल व्याख्यान "समतुल्य समीकरण समीकरण-परिणाम समीकरण परिणाम

स्कूल व्याख्यान

“समतुल्य समीकरण। परिणाम समीकरण»

पद्धतिपरक टिप्पणियाँ. समतुल्य समीकरणों की अवधारणाएं, परिणामी समीकरण, समीकरणों की समतुल्यता पर प्रमेय समीकरणों को हल करने के सिद्धांत से संबंधित महत्वपूर्ण मुद्दे हैं।

10वीं कक्षा तक, छात्रों को समीकरण हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त हो गया है। ग्रेड 7-8 में, रैखिक और द्विघात समीकरण हल किए जाते हैं; यहां कोई असमान परिवर्तन नहीं हैं। इसके अलावा, 8वीं और 9वीं कक्षा में, तर्कसंगत और सरलतम अपरिमेय समीकरणों को हल किया जाता है, जिससे पता चलता है कि हर को हटाने और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के संबंध में, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं; इस प्रकार, नई अवधारणाओं को पेश करने की आवश्यकता है: समीकरणों की समतुल्यता, समीकरणों के समकक्ष और गैर-समतुल्य परिवर्तन, बाहरी जड़ें और जड़ों का सत्यापन। ऊपर सूचीबद्ध समीकरणों की कक्षाओं को हल करने में छात्रों द्वारा संचित अनुभव के आधार पर, समीकरणों की तुल्यता का एक नया संबंध निर्धारित करना और छात्रों के साथ मिलकर समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेयों की "खोज" करना संभव है।

पाठ, जिसका सारांश नीचे प्रस्तुत किया गया है, अपरिमेय, घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से संबंधित विषयों पर विचार करने से पहले है। इस पाठ की सैद्धांतिक सामग्री सभी वर्गों के समीकरणों को हल करने के लिए आधार के रूप में कार्य करती है। इस पाठ में, समतुल्य समीकरणों, परिणामी समीकरणों की अवधारणा को परिभाषित करना और इस प्रकार के समीकरणों की ओर ले जाने वाले परिवर्तनों पर प्रमेयों पर विचार करना आवश्यक है। विचाराधीन सामग्री, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समीकरणों के परिवर्तनों के बारे में छात्रों के ज्ञान का एक प्रकार का व्यवस्थितकरण है, यह एक निश्चित जटिलता की विशेषता है, इसलिए सबसे स्वीकार्य प्रकार का पाठ एक स्कूल व्याख्यान है; इस पाठ की ख़ासियत यह है कि इसमें निर्धारित शैक्षिक कार्य (लक्ष्य) बाद के कई पाठों (बाहरी जड़ों के अधिग्रहण और जड़ों के नुकसान के लिए अग्रणी समीकरणों पर परिवर्तनों की पहचान) में हल किए जाते हैं।

पाठ का प्रत्येक चरण इसकी संरचना में एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है।

पर अद्यतन चरणछात्रों को समीकरण से जुड़े बुनियादी सैद्धांतिक सिद्धांत याद हैं: समीकरण क्या है, समीकरण की जड़, समीकरण को हल करने का क्या मतलब है, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा (एडीवी)। विशिष्ट समीकरणों का ODZ खोजें जो पाठ में प्रमेयों की "खोज" के आधार के रूप में काम करेगा।

लक्ष्य प्रेरणा चरण- एक समस्या की स्थिति बनाएं, जिसमें प्रस्तावित समीकरण का सही समाधान ढूंढना शामिल है।

समाधान शैक्षिक कार्य (परिचालन-संज्ञानात्मक चरण)प्रस्तुत पाठ में समीकरणों की तुल्यता और उनके प्रमाण पर प्रमेयों की "खोज" करना है। सामग्री प्रस्तुत करते समय, मुख्य ध्यान समतुल्य समीकरणों, परिणामी समीकरणों की परिभाषा और समीकरणों की समतुल्यता पर प्रमेयों की "खोज" पर दिया जाता है।

शिक्षक पाठ के दौरान जो नोट्स बनाता है, उन्हें सीधे नोट्स में प्रस्तुत किया जाता है। नोटबुक में छात्र नोट्स का प्रारूपण पाठ नोट्स के अंत में दिया गया है।

पाठ सारांश

विषय।समतुल्य समीकरण. परिणाम समीकरण.

(बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए पाठ्यपुस्तक / एस.ए. अलीमोव, यू.एम. कोल्यागिन, यू.वी. सिदोरोव और अन्य - एम.: प्रोस्वेशचेनी, 2003)।

पाठ मकसद।छात्रों के साथ संयुक्त गतिविधियों में, समीकरणों के एक सेट पर तुल्यता संबंध की पहचान करें, समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेयों की "खोज" करें।

परिणामस्वरूप, छात्र

जानता है

समतुल्य समीकरणों का निर्धारण,

परिणाम समीकरण की परिभाषाएँ,

मुख्य प्रमेयों के कथन;

कर सकना

प्रस्तावित समीकरणों में से समतुल्य समीकरण और उपफल समीकरण चुनें,

मानक स्थितियों में समतुल्य समीकरणों और उपफल समीकरणों की परिभाषाएँ लागू करें;

समझता है

कौन से परिवर्तन समतुल्य समीकरणों या उपफल समीकरणों की ओर ले जाते हैं?

ऐसे परिवर्तन होते हैं जिनके परिणामस्वरूप समीकरण बाहरी जड़ें प्राप्त कर सकता है,

कि कुछ परिवर्तनों के परिणामस्वरूप जड़ों का नुकसान हो सकता है।

पाठ का प्रकार.स्कूल व्याख्यान (2 घंटे)।

पाठ संरचना.

I. प्रेरक और अभिविन्यास भाग:

ज्ञान को अद्यतन करना

प्रेरणा, सीखने का कार्य निर्धारित करना।

द्वितीय. परिचालन-संज्ञानात्मक भाग:

एक शैक्षिक और अनुसंधान समस्या का समाधान (पाठ लक्ष्य)।

तृतीय. चिंतनशील-मूल्यांकन भाग:

पाठ को सारांशित करते हुए,

होमवर्क सौंपना.

कक्षाओं के दौरान

मैं. प्रेरक एवं अभिमुखीकरण भाग.

आज कक्षा में हम समीकरणों के बारे में बात करेंगे, लेकिन हम अभी इस विषय को नहीं लिखेंगे। आइए समीकरण से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को याद करें। सबसे पहले, समीकरण क्या है?

(एक समीकरण उन तर्कों के मूल्यों को खोजने की समस्या का एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व है जिसके लिए एक फ़ंक्शन के मान दूसरे फ़ंक्शन के मानों के बराबर होते हैं)।

समीकरण के साथ अन्य कौन सी अवधारणाएँ जुड़ी हैं?

(किसी समीकरण का मूल और किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है। समीकरण का मूल एक संख्या है, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, एक सही संख्यात्मक समानता उत्पन्न होती है। एक समीकरण को हल करें - इसके सभी मूल खोजें या स्थापित करें कि मौजूद हैं कोई नहीं)।

ODZ समीकरण क्या कहलाता है?

(सभी संख्याओं का समुच्चय जिसके लिए समीकरण के बायीं और दायीं ओर के फलन एक ही समय में समझ में आते हैं)।

निम्नलिखित समीकरणों का ODZ ज्ञात कीजिए।

6)
.

समीकरण का हल बोर्ड पर लिखा है

किसी समीकरण को हल करने की प्रक्रिया क्या है?

(ऐसे परिवर्तन करना जो इस समीकरण को एक सरल रूप के समीकरण में लाते हैं, यानी, एक ऐसा समीकरण जिसके मूल खोजना मुश्किल नहीं है)।

सच है, यानी समीकरण से समीकरण तक सरलीकरण का एक क्रम है
वगैरह। को
. आइए देखें कि परिवर्तन के प्रत्येक चरण में समीकरण की जड़ों का क्या होता है। प्रस्तुत समाधान में समीकरण के दो मूल प्राप्त होते हैं
. जाँचें कि क्या संख्याएँ और संख्याएँ हैं और
मूल समीकरण की जड़ें.

(संख्या , और मूल समीकरण की जड़ें हैं, और - नहीं हैं)।

इसका मतलब यह है कि समाधान प्रक्रिया के दौरान ये जड़ें खो गईं। सामान्य तौर पर, किए गए परिवर्तनों से दो जड़ों का नुकसान हुआ
और एक बाहरी जड़ का अधिग्रहण।

आप बाहरी जड़ों से कैसे छुटकारा पा सकते हैं?

(जाँच करें)।

क्या जड़ हानि स्वीकार्य है? क्यों?

(नहीं, क्योंकि किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना)।

जड़ हानि से कैसे बचें?

(संभवतः, किसी समीकरण को हल करते समय, ऐसे परिवर्तन न करें जिससे जड़ों का नुकसान हो)।

तो, किसी समीकरण को हल करने की प्रक्रिया से सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, समीकरणों पर परिवर्तन करते समय क्या जानना महत्वपूर्ण है?

(शायद, जानें कि समीकरणों पर कौन से परिवर्तन जड़ों को संरक्षित करते हैं, जिससे जड़ों की हानि होती है या बाहरी जड़ों का अधिग्रहण होता है। जानें कि कौन से परिवर्तन उन्हें प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि जड़ों का कोई नुकसान या अधिग्रहण न हो)।

इस पाठ में हम यही करेंगे। आप आज के पाठ में आगामी गतिविधि का उद्देश्य कैसे तैयार करेंगे?

(उन समीकरणों पर परिवर्तनों की पहचान करें जो जड़ों को संरक्षित करते हैं, जड़ों की हानि या बाहरी जड़ों के अधिग्रहण का कारण बनते हैं। जानें कि कौन से परिवर्तन उन्हें प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि जड़ों का कोई नुकसान या अधिग्रहण न हो)।

द्वितीय . परिचालन-संज्ञानात्मक भाग।

आइए बोर्ड पर लिखे समीकरण को फिर से देखें। आइए जानें कि किस चरण में और किन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप दो जड़ें खो गईं और एक बाहरी व्यक्ति प्रकट हुआ। (प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर का शिक्षक संख्याएँ लिखता है)।

उन समीकरणों के नाम बताइए जिनके मूल एक ही सेट (एकाधिक) हैं।

(समीकरण , , ,
और ,).

ऐसे समीकरण कहलाते हैं समकक्ष।समतुल्य समीकरणों की परिभाषा बनाने का प्रयास करें।

(ऐसे समीकरण जिनके मूलों का समूह समान होता है, समतुल्य कहलाते हैं)।

आइए परिभाषा लिखें।

परिभाषा 1. समीकरण
और
यदि उनके मूलों का समुच्चय संपाती हो तो समतुल्य कहलाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि घोड़ों के बिना समीकरण भी समतुल्य हैं।

समतुल्य समीकरणों को इंगित करने के लिए, आप प्रतीक "" का उपयोग कर सकते हैं। एक नई अवधारणा का उपयोग करके समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस प्रकार, इस समीकरण से समतुल्य समीकरण में संक्रमण परिणामी समीकरण की जड़ों के सेट को प्रभावित नहीं करता है।

रैखिक समीकरणों को हल करते समय कौन से बुनियादी परिवर्तन किए गए?

(कोष्ठक खोलना; शब्दों को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, चिह्न को विपरीत में बदलना; समीकरण के दोनों पक्षों में एक अज्ञात युक्त अभिव्यक्ति जोड़ना)।

क्या उनकी जड़ें एक ही समय में बदल गईं?

इन परिवर्तनों में से एक के आधार पर, अर्थात्: समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करना, जबकि चिह्न को विपरीत में बदलना, 7वीं कक्षा में उन्होंने समीकरणों की संपत्ति तैयार की। एक नई अवधारणा का उपयोग करके इसे तैयार करें।

(यदि समीकरण के किसी भी सदस्य को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित किया जाता है, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा)।

आप समीकरण का अन्य कौन सा गुण जानते हैं?

(समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है।)

इस गुण को लागू करने से मूल समीकरण भी समकक्ष समीकरण से बदल जाता है। आइए फिर से बोर्ड पर लिखे समीकरण की ओर मुड़ें। समीकरणों की जड़ों के सेट की तुलना करें और ?

(एक समीकरण का मूल एक समीकरण का मूल है)।

अर्थात्, एक समीकरण से दूसरे समीकरण में संक्रमण के दौरान, यद्यपि जड़ों के सेट का विस्तार हुआ, लेकिन जड़ों का नुकसान नहीं हुआ। इस स्थिति में समीकरण कहा जाता है समीकरण का परिणाम. उस समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें जो इस समीकरण का परिणाम है।

(यदि एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाने पर जड़ों का कोई नुकसान नहीं होता है, तो दूसरे समीकरण को पहले समीकरण का परिणाम कहा जाता है)।

परिभाषा 2. किसी समीकरण को समीकरण का परिणाम कहा जाता है यदि समीकरण का प्रत्येक मूल समीकरण का मूल हो।

- किस परिवर्तन के परिणामस्वरूप आपको समीकरण से समीकरण प्राप्त हुआ?

(समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)।

इसका मतलब यह है कि यह परिवर्तन बाहरी जड़ों की उपस्थिति को जन्म दे सकता है, अर्थात। मूल समीकरण एक परिणामी समीकरण में बदल जाता है। क्या समीकरण परिवर्तनों की प्रस्तुत श्रृंखला में कोई अन्य परिणामी समीकरण हैं?

(हां, उदाहरण के लिए, एक समीकरण एक समीकरण का परिणाम है, और एक समीकरण एक समीकरण का परिणाम है)।

ये समीकरण क्या हैं?

(समकक्ष)।

समतुल्य समीकरणों की समतुल्य परिभाषा तैयार करने के लिए, परिणामी समीकरण की अवधारणा का उपयोग करके प्रयास करें।

(समीकरण समतुल्य कहलाते हैं यदि उनमें से प्रत्येक दूसरे का परिणाम हो)।

क्या समीकरण के प्रस्तावित समाधान में कोई अन्य परिणामी समीकरण हैं?

(हां, समीकरण समीकरण का परिणाम है)।

से आगे बढ़ने पर जड़ों का क्या होता है?

(दो जड़ें खो गईं)।

इससे क्या परिवर्तन हुआ?

(पहचान लागू करने में त्रुटि
)..

कार्य 1. क्या प्रत्येक समूह (ए, बी) के समीकरण समतुल्य हैं? उस परिवर्तन का नाम बताइए जिसके परिणामस्वरूप समूह का पहला समीकरण दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित हो जाता है।

ए)
बी)

मान लीजिए दो समीकरण दिए गए हैं

यदि समीकरण (2.1) का प्रत्येक मूल समीकरण (2.2) का मूल भी हो, तो समीकरण (2.2) कहलाता है समीकरण का परिणाम(2.1). ध्यान दें कि समीकरणों की समतुल्यता का अर्थ है कि प्रत्येक समीकरण दूसरे का परिणाम है।

किसी समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, अक्सर उन परिवर्तनों को लागू करना आवश्यक होता है जो एक ऐसे समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल समीकरण का परिणाम होता है। उपफल समीकरण मूल समीकरण के सभी मूलों से संतुष्ट होता है, लेकिन, उनके अतिरिक्त, उपफल समीकरण में ऐसे समाधान भी हो सकते हैं जो मूल समीकरण के मूल नहीं हैं, ये तथाकथित हैं अनजाना अनजानीजड़ें. बाहरी जड़ों की पहचान करने और उन्हें हटाने के लिए, वे आमतौर पर ऐसा करते हैं: परिणाम समीकरण की सभी पाई गई जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाता है।

यदि, किसी समीकरण को हल करते समय, हमने इसे एक परिणामी समीकरण से बदल दिया है, तो उपरोक्त जाँच समीकरण को हल करने का एक अभिन्न अंग है। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह समीकरण किन परिवर्तनों का परिणाम बनता है।

समीकरण पर विचार करें

और दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति से गुणा करें, जो सभी मूल्यों के लिए समझ में आता है। हमें समीकरण मिलता है

जिनकी जड़ें समीकरण (2.3) की जड़ें और समीकरण की जड़ें दोनों हैं। इसका मतलब है कि समीकरण (2.4) समीकरण (2.3) का परिणाम है। यह स्पष्ट है कि समीकरण (2.3) और (2.4) समतुल्य हैं यदि "बाहरी" समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

इसलिए, यदि समीकरण के दोनों पक्षों को उस अभिव्यक्ति से गुणा किया जाता है जो किसी भी मान के लिए समझ में आता है, तो हमें एक समीकरण मिलता है जो मूल समीकरण का परिणाम है। यदि समीकरण की कोई जड़ नहीं है तो परिणामी समीकरण मूल समीकरण के बराबर होगा। ध्यान दें कि उलटा परिवर्तन, यानी समीकरण (2.4) के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित करके समीकरण (2.4) से समीकरण (2.3) में संक्रमण, एक नियम के रूप में, अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है (इस मामले में, समीकरण की जड़ें हो सकता है "खो गया")। उदाहरण के लिए, एक समीकरण के दो मूल होते हैं: 3 और 4। समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने पर एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका केवल एक मूल 4 होता है, अर्थात। जड़ हानि हुई है.

आइए फिर से समीकरण (2.3) लें और दोनों पक्षों का वर्ग करें। हमें समीकरण मिलता है

जिसकी जड़ें समीकरण (2.3) की जड़ें और "बाहरी" समीकरण की जड़ें दोनों हैं, यानी समीकरण (2.5) समीकरण (2.3) का परिणाम है।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण का मूल 4 है। यदि इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग किया जाए, तो आपको एक समीकरण मिलता है जिसके दो मूल हैं: 4 और -2। इसका मतलब यह है कि समीकरण समीकरण का परिणाम है। समीकरण से समीकरण की ओर बढ़ने पर, एक बाहरी मूल -2 दिखाई दिया।

इसलिए, जब समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग किया जाता है (और सामान्य तौर पर किसी भी सम घात तक), तो हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जो मूल समीकरण का परिणाम होता है। इसका मतलब यह है कि इस परिवर्तन के साथ, बाहरी जड़ों की उपस्थिति संभव है। ध्यान दें कि समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम घात तक बढ़ाने पर दिए गए समीकरण के बराबर समीकरण बनता है।

नगर शिक्षण संस्थान

"नोवोकोलोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय"

क्रास्नेंस्की जिला, बेलगोरोड क्षेत्र

11वीं कक्षा में बीजगणित का पाठ

"एक परिणामी समीकरण की ओर ले जाने वाले कई परिवर्तनों का अनुप्रयोग"

तैयार कर क्रियान्वित किया गया

गणित शिक्षक

खार्कोव्स्काया वेलेंटीना ग्रिगोरिएवना

बीजगणित 11वीं कक्षा

विषय: परिणाम समीकरण की ओर ले जाने वाले अनेक परिवर्तनों का अनुप्रयोग।

लक्ष्य: विषय पर सामग्री को समेकित करने के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ: "एक समीकरण-परिणाम की ओर ले जाने वाले कई परिवर्तनों का अनुप्रयोग"; आरस्वतंत्रता विकसित करें, भाषण साक्षरता में सुधार करें; छात्रों के कंप्यूटिंग कौशल विकसित करना; एकीकृत राज्य परीक्षा स्तर के अनुरूप कार्यों को पूरा करें।

उपकरण: पाठ्यपुस्तक, कंप्यूटर, कार्ड

पाठ का प्रकार: ZUN के जटिल अनुप्रयोग पर पाठ

कक्षाओं के दौरान

संगठनात्मक क्षण (स्लाइड 1)

शुभ दोपहर मित्रों! इन तस्वीरों को देखें और चुनें कि आपको कौन सी तस्वीर सबसे ज्यादा पसंद आई। मैं देख रहा हूं कि आप भी मेरी तरह अच्छे मूड में कक्षा में आए थे और मुझे लगता है कि पाठ के अंत तक ऐसा ही रहेगा। मैं आपके फलदायी कार्य की कामना करना चाहता हूं।

दोस्तों, आपमें से प्रत्येक के डेस्क पर मूल्यांकन पत्रक हैं जिनमें आप पाठ के प्रत्येक चरण में अपना मूल्यांकन करेंगे।

होमवर्क की जाँच करना (स्लाइड 2)

स्लाइड पर समाधानों को हाइलाइट करें और बच्चे स्वयं को ग्रेड दें

स्व-नियंत्रण पत्रक. कोई त्रुटि नहीं - "5", यदि 1 त्रुटि - "4", 2

त्रुटियाँ - "3"। यदि आपके बहुत सारे बच्चे हैं जिनके 2 हैं

गलतियाँ, फिर इस कार्य को बोर्ड में हल करें।

पाठ के विषय की घोषणा (स्लाइड 3)। पाठ लक्ष्य निर्धारित करना

आप हमारे पाठ का विषय स्लाइड पर देख सकते हैं। आप क्या सोचते हैं?

क्या हम आज आपके साथ कक्षा में अध्ययन करने जा रहे हैं?

खैर, दोस्तों, आइए उस सामग्री को याद करें जिसे हमने कवर किया था। .

आइए मौखिक कार्य से शुरुआत करें :

मौखिक कार्य (स्लाइड 4)

किन समीकरणों को उपफल समीकरण कहा जाता है? (यदि पहले समीकरण का कोई मूल दूसरे समीकरण का मूल है, तो दूसरे समीकरण को पहले का परिणाम कहा जाता है);

उपफल समीकरण में संक्रमण को क्या कहते हैं? (एक समीकरण को दूसरे समीकरण से बदलना, जो उसका परिणाम है);

कौन से परिवर्तन परिणाम समीकरण की ओर ले जाते हैं? उदाहरण दो। (किसी समीकरण को सम घात तक बढ़ाना; लघुगणकीय समीकरण को प्रबल बनाना; समीकरण को हर से मुक्त करना; समीकरण के समान पद लाना; सूत्र लागू करना)।

समीकरण हल करें (स्लाइड 5)

(समीकरण स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं):

1) = 6; (उत्तर: 36)

2) =3; (उत्तरः 11)

3) = 4; (उत्तरः 6)

4) = - 2; (उत्तर: कोई समाधान नहीं, क्योंकि समीकरण का बायां पक्ष केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है)

5) = 9; (उत्तरः-9 एवं 9)

6) = -2; (उत्तर: कोई समाधान नहीं, क्योंकि योग दो का है

गैर-ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं)

दोस्तों, मुझे लगता है कि आपने देखा होगा कि होमवर्क और मौखिक कार्य करते समय, हमारे सामने ऐसे कार्य आए जो डेमो संस्करण, विनिर्देश और यूएसई कोडिफायर के अनुरूप थे।

4.कार्यों को पूरा करना

दोस्तों, आइए अपनी नोटबुक में काम करें:

№8.26 (ए) - ब्लैकबोर्ड पर

№8.14 (सी) - ब्लैकबोर्ड पर

आँखों के लिए व्यायाम (संगीत)

№8.8 (सी)-बोर्ड पर

№8.9-(ई)-बोर्ड पर

5.स्वतंत्र कार्य (स्लाइड 6)

स्वतंत्र कार्य के लिए समाधान (स्लाइड 7)

6. गृहकार्य: पूर्ण संख्या 8.14 (डी), एकीकृत राज्य परीक्षा बी5 कार्य विकल्प 21,23,25 में (स्लाइड 8)

7. पाठ सारांश (स्लाइड 9)

8.प्रतिबिंब (स्लाइड 10)

प्रश्नावली.

1. मैंने पाठ के दौरान काम किया

2. कक्षा I में अपने कार्य के माध्यम से

3. सबक मुझे ऐसा लगा

4. पाठ के लिए I

5. मेरा मूड

6. मेरे पास पाठ्य सामग्री थी

7. क्या आपको लगता है कि आप परीक्षा में ऐसे कार्यों का सामना कर सकते हैं?

8. होमवर्क मुझे लगता है

सक्रिय निष्क्रिय

संतुष्ट/असंतुष्ट

छोटा लंबा

थका नहीं/ थका नहीं

यह बेहतर हो गया/यह बदतर हो गया

स्पष्ट/स्पष्ट नहीं

उपयोगी निरर्थक

दिलचस्प उबाऊ

हाँ/नहीं/पता नहीं

आसान कठिन

दिलचस्प/अरुचिकर

प्रयुक्त संसाधन:

निकोलस्की एस.एम., पोटापोव के.एम.,। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत, 11वीं कक्षा एम.: प्रोस्वेशचेनिये, 2010

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह

तथाकथित बाहरी जड़ों की उपस्थिति हो सकती है। इस लेख में हम सबसे पहले विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि क्या है बाहरी जड़ें. दूसरे, आइए उनके घटित होने के कारणों के बारे में बात करें। और तीसरा, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने के मुख्य तरीकों पर विचार करेंगे, यानी, उन्हें उत्तर से बाहर करने के लिए उनके बीच बाहरी लोगों की उपस्थिति के लिए जड़ों की जाँच करना।

समीकरण की बाहरी जड़ें, परिभाषा, उदाहरण

स्कूल बीजगणित की पाठ्यपुस्तकें किसी बाहरी मूल की परिभाषा प्रदान नहीं करती हैं। वहां, निम्नलिखित स्थिति का वर्णन करके एक बाहरी जड़ का विचार बनता है: समीकरण के कुछ परिवर्तनों की सहायता से, मूल समीकरण से उपफल समीकरण में संक्रमण किया जाता है, परिणामी उपफल समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं , और पाए गए मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचा जाता है, जिससे पता चलता है कि पाए गए कुछ मूल मूल समीकरण के मूल नहीं हैं, इन मूलों को मूल समीकरण के लिए बाह्य मूल कहा जाता है।

इस आधार से शुरू करके, आप अपने लिए एक बाह्य जड़ की निम्नलिखित परिभाषा स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा

विदेशी जड़ेंपरिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त उपफल समीकरण की जड़ें हैं, जो मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए समीकरण और इस समीकरण x·(x−1)=0 के परिणाम पर विचार करें, जो अभिव्यक्ति को समान रूप से समान अभिव्यक्ति x·(x−1) के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है। मूल समीकरण का एक ही मूल 1 है। परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के दो मूल 0 और 1 हैं। इसका मतलब है कि 0 मूल समीकरण के लिए एक बाहरी जड़ है।

विदेशी जड़ों की संभावित उपस्थिति के कारण

यदि परिणाम समीकरण प्राप्त करने के लिए आप किसी "विदेशी" परिवर्तन का उपयोग नहीं करते हैं, बल्कि केवल समीकरणों के मूल परिवर्तनों का उपयोग करते हैं, तो बाहरी जड़ें केवल दो कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं:

• ODZ के विस्तार के कारण और
• समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने के कारण।

यहां यह याद रखने योग्य है कि समीकरण को बदलने के परिणामस्वरूप ओडीजेड का विस्तार मुख्य रूप से होता है

• भिन्नों को कम करते समय;
• एक या अधिक शून्य कारकों वाले उत्पाद को शून्य से प्रतिस्थापित करते समय;
• शून्य अंश वाले भिन्न को शून्य से प्रतिस्थापित करते समय;
• घातों, मूलों, लघुगणक के कुछ गुणों का उपयोग करते समय;
• कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते समय;
• जब किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से गुणा किया जाता है, तो यह उस समीकरण के लिए ODZ द्वारा गायब हो जाता है;
• समाधान प्रक्रिया में लघुगणक चिन्हों से मुक्त होने पर।

लेख के पिछले पैराग्राफ का उदाहरण ओडीजेड के विस्तार के कारण एक बाहरी जड़ की उपस्थिति को दर्शाता है, जो समीकरण से कोरोलरी समीकरण x·(x−1)=0 पर जाने पर होता है। मूल समीकरण के लिए ODZ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, शून्य के अपवाद के साथ, परिणामी समीकरण के लिए ODZ समुच्चय R है, अर्थात, ODZ को संख्या शून्य द्वारा विस्तारित किया जाता है। यह संख्या अंततः एक बाह्य मूल बन जाती है।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने के कारण एक बाहरी जड़ के प्रकट होने का उदाहरण भी देंगे। अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल 4 होता है, और इस समीकरण का परिणाम, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है, अर्थात समीकरण , की दो जड़ें 1 और 4 हैं। इससे यह स्पष्ट है कि समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने से मूल समीकरण के लिए एक बाहरी मूल सामने आया।

ध्यान दें कि ODZ का विस्तार करने और समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने से हमेशा बाहरी जड़ों की उपस्थिति नहीं होती है। उदाहरण के लिए, जब समीकरण से उपफल समीकरण x=2 की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ सभी गैर-नकारात्मक संख्याओं के सेट से सभी वास्तविक संख्याओं के सेट तक फैलता है, लेकिन कोई बाहरी जड़ें दिखाई नहीं देती हैं। 2 पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल है। साथ ही, किसी समीकरण से उपफल समीकरण की ओर बढ़ने पर कोई बाहरी मूल दिखाई नहीं देता। पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल x=16 है। इसीलिए हम बाहरी जड़ों के प्रकट होने के कारणों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि बाहरी जड़ों के संभावित प्रकट होने के कारणों के बारे में बात कर रहे हैं।

बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग क्या है?

शब्द "बाहरी जड़ों को छांटना" को केवल एक विस्तार के साथ स्थापित कहा जा सकता है; यह सभी बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह सहज है, यही कारण है कि इसका आमतौर पर उपयोग किया जाता है। बाहरी जड़ों को छांटने का क्या मतलब है, यह निम्नलिखित वाक्यांश से स्पष्ट हो जाता है: "...सत्यापन एक समीकरण को हल करने में एक अनिवार्य कदम है, जो बाहरी जड़ों का पता लगाने में मदद करेगा, यदि कोई हो, और उन्हें त्याग देगा (आमतौर पर वे कहते हैं "खरपतवार हटाओ") ")।"

इस प्रकार,

परिभाषा

बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग- यह बाहरी जड़ों का पता लगाना और उन्हें त्यागना है।

अब आप बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग के तरीकों पर आगे बढ़ सकते हैं।

बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग के तरीके

प्रतिस्थापन जाँच

बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने का मुख्य तरीका प्रतिस्थापन परीक्षण है। यह आपको बाहरी जड़ों को हटाने की अनुमति देता है जो ओडीजेड के विस्तार के कारण और समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक बढ़ाने के कारण उत्पन्न हो सकती हैं।

प्रतिस्थापन परीक्षण इस प्रकार है: उपफल समीकरण की पाई गई जड़ों को मूल समीकरण में या उसके समकक्ष किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जो सही संख्यात्मक समानता देते हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो मूल समीकरण देते हैं गलत संख्यात्मक समानता या अभिव्यक्ति मूल समीकरण की जड़ें अर्थहीन हैं, मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाएं कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों को कैसे फ़िल्टर किया जाए।

कुछ मामलों में, अन्य तरीकों का उपयोग करके बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना अधिक समीचीन होता है। यह मुख्य रूप से उन मामलों पर लागू होता है जब प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करना महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा होता है या जब एक निश्चित प्रकार के समीकरणों को हल करने की मानक विधि के लिए एक और जाँच की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग के अनुसार किया जाता है) शर्त यह है कि भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं है)। आइए बाहरी जड़ों को हटाने के वैकल्पिक तरीकों पर गौर करें।

डीएल के अनुसार

प्रतिस्थापन द्वारा परीक्षण के विपरीत, ODZ का उपयोग करके बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना हमेशा उचित नहीं होता है। तथ्य यह है कि यह विधि आपको केवल ओडीजेड के विस्तार के कारण उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने की अनुमति देती है, और यह उन बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने की गारंटी नहीं देती है जो अन्य कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, दोनों पक्षों को ऊपर उठाने के कारण समान सम घात के समीकरण का। इसके अलावा, हल किए जा रहे समीकरण के लिए OD ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। फिर भी, ओडीजेड का उपयोग करके बाहरी जड़ों को छानने की विधि सेवा में रखने लायक है, क्योंकि इसके उपयोग के लिए अक्सर अन्य तरीकों के उपयोग की तुलना में कम कम्प्यूटेशनल कार्य की आवश्यकता होती है।

ओडीजेड के अनुसार बाहरी जड़ों को छांटना इस प्रकार किया जाता है: परिणाम समीकरण की सभी पाई गई जड़ों को यह देखने के लिए जांचा जाता है कि क्या वे मूल समीकरण या उसके समकक्ष किसी समीकरण के लिए चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा से संबंधित हैं, जो ODZ से संबंधित हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो ODZ से संबंधित हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो ODZ से संबंधित नहीं हैं वे मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

प्रदान की गई जानकारी के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ओडीजेड का उपयोग करके बाहरी जड़ों को छांटना उचित है यदि एक ही समय में:

• मूल समीकरण के लिए ODZ खोजना आसान है,
• बाहरी जड़ें केवल ODZ के विस्तार के कारण उत्पन्न हो सकती हैं,
• प्रतिस्थापन परीक्षण महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा है।

हम दिखाएंगे कि व्यवहार में बाहरी जड़ों को कैसे हटाया जाता है।

डीएल की शर्तों के अनुसार

जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में कहा था, यदि बाहरी जड़ें केवल ODZ के विस्तार के कारण उत्पन्न हो सकती हैं, तो उन्हें मूल समीकरण के लिए ODZ का उपयोग करके समाप्त किया जा सकता है। लेकिन संख्यात्मक सेट के रूप में ODZ को ढूंढना हमेशा आसान नहीं होता है। ऐसे मामलों में, ओडीजेड के अनुसार नहीं, बल्कि ओडीजेड निर्धारित करने वाली शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों की जांच करना संभव है। आइए हम बताएं कि ओडीजेड की शर्तों के तहत बाहरी जड़ों को कैसे हटाया जाता है।

पाए गए मूलों को उन स्थितियों में प्रतिस्थापित किया जाता है जो मूल समीकरण या उसके समकक्ष किसी भी समीकरण के लिए ODZ निर्धारित करते हैं। जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं वे समीकरण की जड़ें हैं। और उनमें से जो कम से कम एक शर्त को पूरा नहीं करते हैं या ऐसी अभिव्यक्ति देते हैं जिसका कोई मतलब नहीं है, मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए हम ODZ की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग का एक उदाहरण दें।

समीकरण के दोनों पक्षों को एक समान घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को हटा देना

यह स्पष्ट है कि समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को मूल समीकरण में या उसके समकक्ष किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके किया जा सकता है। लेकिन इस तरह की जाँच में महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ शामिल हो सकती हैं। इस मामले में, बाहरी जड़ों को छानने की एक वैकल्पिक विधि जानना उचित है, जिसके बारे में हम अभी बात करेंगे।

अपरिमेय समीकरणों के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने पर उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों की स्क्रीनिंग करना , जहां n कुछ सम संख्या है, शर्त g(x)≥0 के अनुसार किया जा सकता है। यह एक सम डिग्री की जड़ की परिभाषा से निम्नानुसार है: एक सम डिग्री n की जड़ एक गैर-नकारात्मक संख्या है, जिसकी nवीं शक्ति मूल संख्या के बराबर है, जहां से . इस प्रकार, व्यक्त किया गया दृष्टिकोण समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि और मूल का निर्धारण करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि का एक प्रकार का सहजीवन है। यानी समीकरण , जहां n एक सम संख्या है, समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम घात तक बढ़ाकर हल किया जाता है, और अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि से ली गई शर्त g(x)≥0 के अनुसार बाहरी जड़ों को हटा दिया जाता है। जड़ का निर्धारण.

कुछ परिवर्तन हमें हल किए जा रहे समीकरण से समतुल्य समीकरणों के साथ-साथ परिणामी समीकरणों की ओर बढ़ने की अनुमति देते हैं, जो मूल समीकरण के समाधान को सरल बनाता है। इस सामग्री में हम आपको बताएंगे कि ये समीकरण क्या हैं, मूल परिभाषाएँ तैयार करेंगे, उन्हें स्पष्ट उदाहरणों के साथ चित्रित करेंगे और स्पष्ट रूप से समझाएंगे कि मूल समीकरण की जड़ों की गणना कोरोलरी समीकरण या समकक्ष समीकरण की जड़ों से कैसे की जाती है।

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समतुल्य समीकरणों की अवधारणा

परिभाषा 1

समकक्षऐसे समीकरण वे कहलाते हैं जिनकी जड़ें समान होती हैं, या वे जिनमें कोई जड़ें नहीं होती हैं।

इस प्रकार की परिभाषाएँ अक्सर विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में पाई जाती हैं। आइए कुछ उदाहरण दें.

परिभाषा 2

समीकरण f(x) = g(x) को समीकरण r(x) = s(x) के समतुल्य माना जाता है यदि उनकी जड़ें समान हों या उन दोनों की कोई जड़ न हो।

परिभाषा 3

समान मूल वाले समीकरण समतुल्य माने जाते हैं। इन्हें दो समीकरण भी माना जाता है जिनका समान रूप से कोई मूल नहीं होता।

परिभाषा 4

यदि समीकरण f (x) = g (x) के मूलों का समूह समीकरण p (x) = h (x) के समान है, तो उन्हें एक दूसरे के समतुल्य माना जाता है।

जब हम जड़ों के संपाती समुच्चय के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब यह होता है कि यदि एक निश्चित संख्या एक समीकरण का मूल है, तो यह दूसरे समीकरण के समाधान के रूप में उपयुक्त होगी। समतुल्य समीकरणों में से किसी भी समीकरण का ऐसा मूल नहीं हो सकता जो दूसरे के लिए उपयुक्त न हो।

आइए हम ऐसे समीकरणों के कई उदाहरण दें।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, 4 x = 8, 2 x = 4 और x = 2 समतुल्य होंगे, क्योंकि उनमें से प्रत्येक का केवल एक ही मूल है - दो। साथ ही x · 0 = 0 और 2 + x = x + 2 समतुल्य होंगे, क्योंकि उनके मूल कोई भी संख्या हो सकते हैं, अर्थात उनके समाधान सेट मेल खाते हैं। इसके अलावा समतुल्य समीकरण x = x + 5 और x 4 = − 1 होंगे, जिनमें से प्रत्येक का एक भी समाधान नहीं है।

स्पष्टता के लिए, गैर-समतुल्य समीकरणों के कई उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, ये x = 2 और x 2 = 4 होंगे, क्योंकि उनकी जड़ें अलग-अलग हैं। यही बात समीकरण x x = 1 और x 2 + 5 x 2 + 5 पर भी लागू होती है, क्योंकि दूसरे में समाधान कोई भी संख्या हो सकता है, और दूसरे में मूल 0 नहीं हो सकता।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ कई चर वाले समीकरणों के लिए भी उपयुक्त हैं, लेकिन उस स्थिति में जब हम दो, तीन या अधिक जड़ों के बारे में बात कर रहे हैं, तो अभिव्यक्ति "समीकरण को हल करना" अधिक उपयुक्त है। इस प्रकार, संक्षेप में कहें तो: समतुल्य समीकरण वे समीकरण हैं जिनके समाधान समान हैं या बिल्कुल भी नहीं हैं।

आइए ऐसे समीकरणों के उदाहरण लें जिनमें कई चर होते हैं और एक दूसरे के समतुल्य होते हैं। इस प्रकार, x 2 + y 2 + z 2 = 0 और 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 प्रत्येक में तीन चर शामिल हैं और तीनों मामलों में 0 के बराबर केवल एक समाधान है। और समीकरण x + y = 5 और x · y = 1 की जोड़ी एक दूसरे के बराबर नहीं होगी, उदाहरण के लिए, मान 5 और 3 पहले के लिए उपयुक्त हैं, लेकिन समाधान नहीं होंगे दूसरा: जब उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें सही समानता मिलेगी, और दूसरे में - गलत।

परिणामी समीकरणों की अवधारणा

आइए पाठ्यपुस्तकों से ली गई उपफल समीकरणों की परिभाषाओं के कई उदाहरण उद्धृत करें।

परिभाषा 5

समीकरण f (x) = g (x) का परिणाम समीकरण p (x) = h (x) होगा, बशर्ते कि पहले समीकरण का प्रत्येक मूल एक ही समय में दूसरे का मूल हो।

परिभाषा 6

यदि पहले समीकरण के मूल दूसरे के समान हैं, तो दूसरा पहले का परिणामी समीकरण होगा।

आइए ऐसे समीकरणों के कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 3

तो, x · 2 = 32, x - 3 = 0 का परिणाम होगा, क्योंकि पहले का केवल एक मूल है, तीन के बराबर, और यह दूसरे समीकरण का मूल भी होगा, इसलिए, इस परिभाषा के संदर्भ में , एक समीकरण दूसरे का परिणाम होगा। दूसरा उदाहरण: समीकरण (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 का परिणाम होगा क्योंकि दूसरे समीकरण में दो हैं जड़ें, 2 और 3 के बराबर, जो एक ही समय में पहली की जड़ें होंगी।

ऊपर दी गई परिभाषा से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी समीकरण जिसका मूल न हो, का परिणाम भी कोई समीकरण होगा। इस आलेख में तैयार किए गए सभी नियमों के कुछ अन्य परिणाम यहां दिए गए हैं:

परिभाषा 7

1. यदि एक समीकरण दूसरे के समतुल्य है, तो उनमें से प्रत्येक दूसरे का परिणाम होगा।
2. यदि दो समीकरणों में से प्रत्येक एक दूसरे का परिणाम है, तो ये समीकरण एक दूसरे के समतुल्य होंगे।
3. समीकरण एक दूसरे के संबंध में तभी समतुल्य होंगे जब उनमें से प्रत्येक एक दूसरे का परिणाम हो।

किसी उपफल समीकरण या समकक्ष समीकरण के मूल से किसी समीकरण के मूल कैसे ज्ञात करें

हमने परिभाषाओं में जो लिखा है उसके आधार पर, उस स्थिति में जब हम एक समीकरण के मूल जानते हैं, तो हम समकक्ष समीकरणों के मूल भी जानते हैं, क्योंकि वे संपाती होंगे।

यदि हम उपफल समीकरण के सभी मूल जानते हैं, तो हम उस दूसरे समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं जिसका यह परिणाम है। ऐसा करने के लिए, आपको केवल बाहरी जड़ों को हटाने की जरूरत है। यह कैसे किया जाता है इसके बारे में हमने एक अलग लेख लिखा है। हम आपको इसे पढ़ने की सलाह देते हैं।

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