पिरामिड का आधार एक नियमित त्रिभुज है। पिरामिड. पिरामिड के सूत्र और गुण

हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल कार्यों पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही उन समस्याओं का अध्ययन कर चुके हैं जहां शर्त दी गई है और दो दिए गए बिंदुओं या कोण के बीच की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका आधार एक बहुभुज है, शेष फलक त्रिभुज हैं, और उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष है।

एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और इसका शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड - आधार एक वर्ग है। पिरामिड का शीर्ष आधार (वर्ग) के विकर्णों के चौराहे के बिंदु पर प्रक्षेपित होता है।

एमएल - एपोथेम
∠MLO - पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण
∠MCO - पिरामिड के पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण

इस लेख में हम एक नियमित पिरामिड को हल करने के लिए समस्याओं पर गौर करेंगे। आपको कुछ तत्व, पार्श्व सतह क्षेत्र, आयतन, ऊंचाई खोजने की आवश्यकता है। बेशक, आपको पाइथागोरस प्रमेय, पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र और पिरामिड का आयतन ज्ञात करने का सूत्र जानना होगा।

लेख में "" वे सूत्र प्रस्तुत करता है जो स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक हैं। तो, कार्य:

एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र,एसशिखर, इसलिए = 51, एसी।= 136. पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिएअनुसूचित जाति।.

में इस मामले मेंआधार एक वर्ग है. इसका मतलब यह है कि विकर्ण AC और BD बराबर हैं, वे प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित होते हैं। ध्यान दें कि एक नियमित पिरामिड में उसके शीर्ष से गिरी हुई ऊंचाई पिरामिड के आधार के केंद्र से होकर गुजरती है। अतः SO ऊँचाई और त्रिभुज हैसमाजआयताकार. फिर पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

जड़ कैसे निकाले बड़ी संख्या में.

उत्तर: 85

अपने लिए तय करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, इसलिए = 4, एसी।= 6. पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए अनुसूचित जाति।.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, अनुसूचित जाति। = 5, एसी।= 6. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए इसलिए.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, इसलिए = 4, अनुसूचित जाति।= 5. खंड की लंबाई ज्ञात करें एसी।.

एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 7, ए एस.आर.= 16. पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है (एपोथेम इसके शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है):

या हम यह कह सकते हैं: पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल योग के बराबर है तीन वर्गपार्श्व किनारे. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में पार्श्व फलक समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज होते हैं। इस मामले में:

उत्तर: 168

अपने लिए तय करें:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 1, ए एस.आर.= 2. पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 1, और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एस.आर..

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी एल- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि क्र= 2, और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए अब.

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी एम. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 25 है, पिरामिड का आयतन 100 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एमएस.

पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है. इसीलिए एमआधार का केंद्र है, औरएमएस- एक नियमित पिरामिड की ऊंचाईएसएबीसी. पिरामिड का आयतन एसएबीसीबराबर: समाधान देखें

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार की माध्यिकाएं बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 3 के बराबर है, एमएस= 1. पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार की माध्यिकाएं बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. पिरामिड का आयतन 1 है, एमएस= 1. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये एबीसी.

आइए यहीं समाप्त करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं का समाधान एक या दो चरणों में हो जाता है। भविष्य में, हम इस भाग की अन्य समस्याओं पर विचार करेंगे, जहाँ क्रांति के शव दिए गए हैं, इसे देखने से न चूकें!

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

• एपोटेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो नियमित बहुभुज के मध्य से उसके एक तरफ तक कम होती है);
• पार्श्व चेहरे (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिभुज जो शीर्ष पर मिलते हैं;
• पार्श्व पसलियाँ ( जैसा , बी.एस. , सी.एस. , डी.एस. ) — सामान्य पहलूपार्श्व किनारे;
• पिरामिड के शीर्ष (टी. एस) - एक बिंदु जो पार्श्व पसलियों को जोड़ता है और जो आधार के तल में स्थित नहीं होता है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड (ऐसे खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का एक भाग जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) - एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

पिरामिड के गुण.

1. जब सभी पार्श्व किनारों का आकार समान हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार के तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व पसलियाँ आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोण, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि पिरामिड के सभी किनारे एक ही आकार के हैं।

2. जब पार्श्व फलकों का आधार के तल पर झुकाव का कोण समान मान का हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊंचाई समान लंबाई की है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पार्श्व पृष्ठ की ऊंचाई के गुणनफल के ½ के बराबर है।

3. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के आधार पर एक बहुभुज हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो पिरामिड के लंबवत किनारों के मध्य से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक गोले को किसी भी त्रिकोणीय और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

4. यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान पहले बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा.

सबसे सरल पिरामिड.

कोणों की संख्या के आधार पर, पिरामिड के आधार को त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, इत्यादि में विभाजित किया गया है।

एक पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिकोण, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुष्कोणीय - पंचकोणीय इत्यादि।

ज्यामिति का अध्ययन करने से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का सामना करना पड़ता है। यह दोष विश्व के प्रसिद्ध मिस्र के महान अजूबों में है। इसलिए, इस अद्भुत बहुफलक का अध्ययन शुरू करते समय, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपर्युक्त सभी आकर्षणों का आकार सही है। क्या हुआ है नियमित पिरामिड, और इसमें क्या गुण हैं इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की बहुत सारी परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से ही यह बहुत लोकप्रिय रहा है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक भौतिक आकृति के रूप में परिभाषित किया है जिसमें विमान शामिल हैं, जो एक से शुरू होकर, एक निश्चित बिंदु पर एकत्रित होते हैं।

हेरॉन ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यही वह आंकड़ा है त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर एकत्रित होना।

पर भरोसा आधुनिक व्याख्या, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में दर्शाया गया है जिसमें एक निश्चित के-गॉन और के फ्लैट आंकड़े शामिल हैं त्रिकोणीय आकार, एक सामान्य बात है।

आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं:

• के-गॉन को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-गोनल आकृतियाँ पार्श्व भाग के किनारों के रूप में उभरी हुई हैं;
• ऊपरी भाग, जहाँ से पार्श्व तत्वों की उत्पत्ति होती है, शीर्ष कहलाता है;
• किसी शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड किनारों कहलाते हैं;
• यदि एक सीधी रेखा को शीर्ष से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो आंतरिक स्थान में निहित इसका भाग पिरामिड की ऊंचाई है;
• किसी भी पार्श्व तत्व में, एक लंबवत, जिसे एपोथेम कहा जाता है, हमारे बहुफलक के किनारे पर खींचा जा सकता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2*k का उपयोग करके की जाती है, जहां k, k-गोन की भुजाओं की संख्या है। पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक होते हैं यह अभिव्यक्ति k+1 का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण!नियमित आकार का पिरामिड एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति है जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-गॉन है।

बुनियादी गुण

सही पिरामिड अनेक गुण हैं,जो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार सही आकार की आकृति है।
2. पिरामिड के किनारे जो पार्श्व तत्वों को सीमित करते हैं, उनके संख्यात्मक मान समान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र पर पड़ता है, जबकि यह एक साथ अंकित और परिचालित का केंद्रीय बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार के तल पर झुकी हुई हैं।
6. सभी पार्श्व सतहों का आधार के सापेक्ष झुकाव का कोण समान होता है।

सभी सूचीबद्ध गुणों के लिए धन्यवाद, तत्व गणना करना बहुत आसान है। उपरोक्त गुणों के आधार पर हम ध्यान देते हैं दो संकेत:

1. ऐसी स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट बैठता है, तो पार्श्व फलकों का आधार के साथ समान कोण होगा।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से निकलने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई समान होगी और आधार के साथ कोण समान होंगे।

आधार एक वर्ग है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक बहुफलक जिसका आधार वर्ग हो।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक वर्ग को एक समतल पर दर्शाया गया है, लेकिन यह एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ना आवश्यक है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें: विकर्ण वर्ग की भुजा और दो के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर है।

यह एक नियमित त्रिभुज पर आधारित है

सही त्रिकोणीय पिरामिड- एक बहुफलक जिसका आधार नियमित 3-गॉन है।

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है और पार्श्व किनारे आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानना होगा और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना होगा:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी आंतरिक चेहरों का आकार भी 60 डिग्री है;
• कोई भी चेहरा आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• , आकृति के अंदर खींचा गया, ये समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के अनुभाग

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के अनुभागसमतल। अक्सर स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम में वे दो के साथ काम करते हैं:

• अक्षीय;
• आधार के समानांतर.

एक अक्षीय खंड एक पॉलीहेड्रॉन को एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करके प्राप्त किया जाता है जो शीर्ष, पार्श्व किनारों और अक्ष से होकर गुजरता है। इस मामले में, अक्ष शीर्ष से खींची गई ऊँचाई है। काटने वाला तल सभी फलकों के प्रतिच्छेदन रेखाओं द्वारा सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज बनता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

यदि काटने वाला विमान आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक क्रॉस-अनुभागीय आकृति है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार पर एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आयामों का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, वे आकृतियों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग करते हैं, थेल्स प्रमेय पर आधारित. सबसे पहले, समानता गुणांक निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान को आधार के समानांतर खींचा जाता है और वह कट जाता है सबसे ऊपर का हिस्साबहुफलक, फिर निचले भाग में एक नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड प्राप्त होता है। तब एक काटे गए बहुफलक के आधारों को समान बहुभुज कहा जाता है। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, अक्षीय खंड में, यानी ट्रेपेज़ॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतही क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं पिरामिड का सतह क्षेत्र और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र मान दो प्रकार के होते हैं:

• पार्श्व तत्वों का क्षेत्र;
• संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल.

नाम से ही पता चल रहा है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। पार्श्व सतह में केवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। इससे यह पता चलता है कि इसे खोजने के लिए, आपको बस पार्श्व तलों के क्षेत्रफलों को जोड़ना होगा, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्रफलों को। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str=1/2(aL) है, जहां a आधार का पक्ष है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर के-गॉन के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार आकृतियों Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L का क्षेत्रफल जोड़ना आवश्यक है। अभिव्यक्ति को इस तरह से सरल बनाया गया है क्योंकि मान 4a = Rosn है, जहां Rosn आधार की परिधि है। और अभिव्यक्ति 1/2*रोसन इसकी अर्ध-परिधि है।
3. तो, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल आधार के अर्ध-परिधि और एपोथेम के उत्पाद के बराबर है: Sside = Rosn * L.

पिरामिड की कुल सतह का क्षेत्रफल पार्श्व तलों और आधार के क्षेत्रफलों के योग से बनता है: Sp.p. = Sside + Sbas।

जहाँ तक आधार के क्षेत्रफल की बात है तो यहाँ बहुभुज के प्रकार के अनुसार सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनआधार तल के क्षेत्रफल और ऊंचाई को तीन से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर: V=1/3*Sbas*H, जहां H बहुफलक की ऊंचाई है।

ज्यामिति में नियमित पिरामिड क्या है?

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

परिकल्पना:हमारा मानना ​​है कि पिरामिड के आकार की पूर्णता उसके आकार में निहित गणितीय नियमों के कारण है।

लक्ष्य:एक ज्यामितीय पिंड के रूप में पिरामिड का अध्ययन करके इसके स्वरूप की पूर्णता स्पष्ट कीजिए।

कार्य:

1. पिरामिड की गणितीय परिभाषा दीजिए।

2. पिरामिड का एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करें।

3. समझें कि मिस्रवासियों ने अपने पिरामिडों में किस गणितीय ज्ञान को शामिल किया था।

निजी प्रश्न:

1. एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड क्या है?

2. पिरामिड की अनोखी आकृति को गणितीय दृष्टिकोण से कैसे समझाया जा सकता है?

3. पिरामिड के ज्यामितीय चमत्कारों की क्या व्याख्या है?

4. पिरामिड आकार की पूर्णता क्या बताती है?

पिरामिड की परिभाषा.

पिरामिड (ग्रीक पिरामिड से, जनरल। पिरामिडोस) - एक बहुफलक जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष (ड्राइंग) वाले त्रिकोण हैं। आधार के कोनों की संख्या के आधार पर पिरामिडों को त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में वर्गीकृत किया जाता है।

पिरामिड - एक स्मारकीय संरचना जिसमें पिरामिड का ज्यामितीय आकार होता है (कभी-कभी सीढ़ीदार या मीनार के आकार का भी)। पिरामिड तीसरी-दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के प्राचीन मिस्र के फिरौन की विशाल कब्रों को दिया गया नाम है। ई., साथ ही ब्रह्माण्ड संबंधी पंथों से जुड़े प्राचीन अमेरिकी मंदिर कुरसी (मेक्सिको, ग्वाटेमाला, होंडुरास, पेरू में)।

यह संभव है कि ग्रीक शब्द "पिरामिड" मिस्र की अभिव्यक्ति प्रति-एम-अस से आया है, यानी, एक शब्द से जिसका अर्थ पिरामिड की ऊंचाई है। उत्कृष्ट रूसी मिस्रविज्ञानी वी. स्ट्रुवे का मानना ​​था कि ग्रीक "पुरम...जे" प्राचीन मिस्र के "पी"-एमआर" से आया है।

इतिहास से. अतानास्यान के लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" में सामग्री का अध्ययन करने के बाद। बुटुज़ोव और अन्य, हमने सीखा कि: एक एन-गॉन A1A2A3 ... An और n त्रिकोण PA1A2, PA2A3, ..., PANA1 से बना एक बहुफलक पिरामिड कहलाता है। बहुभुज A1A2A3...An पिरामिड का आधार है, और त्रिकोण PA1A2, PA2A3,..., PANA1 पिरामिड के पार्श्व फलक हैं, P पिरामिड का शीर्ष है, खंड PA1, PA2,.. हैं। ., PAN पार्श्व किनारे हैं।

हालाँकि, पिरामिड की यह परिभाषा हमेशा मौजूद नहीं थी। उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ, गणित पर सैद्धांतिक ग्रंथों के लेखक जो हमारे पास आए हैं, यूक्लिड, एक पिरामिड को उन विमानों द्वारा सीमित एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित करता है जो एक विमान से एक बिंदु तक परिवर्तित होते हैं।

लेकिन इस परिभाषा की आलोचना प्राचीन काल में ही की गई थी। इसलिए हेरॉन ने पिरामिड की निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तावित की: "यह एक बिंदु पर एकत्रित त्रिभुजों से घिरी एक आकृति है और जिसका आधार एक बहुभुज है।"

हमारा समूह, इन परिभाषाओं की तुलना करते हुए, इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि उनके पास "नींव" की अवधारणा का स्पष्ट सूत्रीकरण नहीं है।

हमने इन परिभाषाओं की जांच की और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे की परिभाषा पाई, जिन्होंने 1794 में अपने काम "एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री" में एक पिरामिड को इस प्रकार परिभाषित किया है: "एक पिरामिड एक ठोस आकृति है जो त्रिकोणों द्वारा एक बिंदु पर एकत्रित होने और विभिन्न पक्षों पर समाप्त होने से बनती है।" एक सपाट आधार।"

हमें ऐसा लगता है कि अंतिम परिभाषा पिरामिड का स्पष्ट विचार देती है, क्योंकि यह इस तथ्य की बात करती है कि आधार समतल है। पिरामिड की एक और परिभाषा 19वीं सदी की पाठ्यपुस्तक में दिखाई देती है: "पिरामिड एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित एक ठोस कोण है।"

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड।

वह। पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक फलक (आधार) एक बहुभुज है, शेष फलक (भुजाएँ) त्रिभुज हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष (पिरामिड का शीर्ष) है।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक खींचे गये लम्ब को कहा जाता है ऊंचाईएचपिरामिड.

मनमाना पिरामिड के अलावा, वहाँ भी हैं सही पिरामिडजिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और छोटा पिरामिड.

चित्र में एक पिरामिड PABCD है, ABCD इसका आधार है, PO इसकी ऊंचाई है।

कुल सतह क्षेत्रफल पिरामिड उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।

फुल = साइड + स्मैन,कहाँ ओर- पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग।

पिरामिड का आयतन सूत्र द्वारा पाया जाता है:

V=1/3Sbas. एच, जहां Sbas. - आधार क्षेत्र, एच- ऊंचाई।

एक नियमित पिरामिड की धुरी उसकी ऊंचाई वाली सीधी रेखा होती है।
एपोथेम एसटी एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: साइड। =1/2पी एच, जहां P आधार का परिमाप है, एच- पार्श्व फलक की ऊंचाई (नियमित पिरामिड का एपोथेम)। यदि पिरामिड को आधार के समानांतर समतल A'B'C'D' द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो:

1) पार्श्व पसलियों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) क्रॉस-सेक्शन में आधार के समान एक बहुभुज A'B'C'D' प्राप्त होता है;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width=”287” ऊंचाई=”151”>

एक काटे गए पिरामिड के आधार– समान बहुभुज ABCD और A`B`C`D`, पार्श्व फलक समलंब चतुर्भुज हैं।

ऊंचाईकाटे गए पिरामिड - आधारों के बीच की दूरी।

छोटा किया गया आयतनपिरामिड सूत्र द्वारा पाया जाता है:

वी=1/3 एच(एस + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "91" ऊंचाई = "96"> एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: Sside. = ½(P+P') एच, जहां P और P' आधारों की परिधि हैं, एच- पार्श्व चेहरे की ऊँचाई (नियमित रूप से काटे गए पिरामी का प्रतीक)।

पिरामिड के खंड.

किसी पिरामिड के शीर्ष से गुजरने वाले तलों द्वारा उसके खंड त्रिभुज होते हैं।

पिरामिड के दो गैर-आसन्न पार्श्व किनारों से गुजरने वाले खंड को कहा जाता है विकर्ण खंड.

यदि अनुभाग पार्श्व किनारे और आधार के किनारे पर एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो पिरामिड के आधार के तल पर इसका निशान इस तरफ होगा।

एक खंड पिरामिड के मुख पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरता है और आधार तल पर एक दिए गए खंड का पता लगाता है, तो निर्माण निम्नानुसार किया जाना चाहिए:

· किसी दिए गए चेहरे के तल के प्रतिच्छेदन बिंदु और पिरामिड के अनुभाग के निशान को ढूंढें और इसे नामित करें;

· किसी दिए गए बिंदु और परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें;

· अगले चेहरों के लिए इन चरणों को दोहराएं।

, जो एक समकोण त्रिभुज के पैरों के अनुपात 4:3 से मेल खाता है। पैरों का यह अनुपात 3:4:5 भुजाओं वाले प्रसिद्ध समकोण त्रिभुज से मेल खाता है, जिसे "संपूर्ण", "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण कहा जाता है। इतिहासकारों के अनुसार, "मिस्र" त्रिकोण को एक जादुई अर्थ दिया गया था। प्लूटार्क ने लिखा कि मिस्रवासियों ने ब्रह्मांड की प्रकृति की तुलना एक "पवित्र" त्रिकोण से की; उन्होंने प्रतीकात्मक रूप से ऊर्ध्वाधर पैर की तुलना पति से, आधार की तुलना पत्नी से और कर्ण की तुलना उस पैर से की जो दोनों से पैदा होता है।

त्रिभुज 3:4:5 के लिए, समानता सत्य है: 32 + 42 = 52, जो पाइथागोरस प्रमेय को व्यक्त करता है। क्या यह वह प्रमेय नहीं था जिसे मिस्र के पुजारी त्रिभुज 3:4:5 के आधार पर एक पिरामिड बनाकर कायम रखना चाहते थे? पाइथागोरस प्रमेय को स्पष्ट करने के लिए इससे अधिक सफल उदाहरण खोजना कठिन है, जो पाइथागोरस द्वारा इसकी खोज से बहुत पहले मिस्रवासियों को ज्ञात था।

इस प्रकार, प्रतिभाशाली रचनाकार मिस्र के पिरामिडअपने ज्ञान की गहराई से दूर के वंशजों को आश्चर्यचकित करने की कोशिश की, और उन्होंने चेप्स पिरामिड के लिए "मुख्य ज्यामितीय विचार" के रूप में "सुनहरा" चुनकर इसे हासिल किया। सही त्रिकोण, और खफरे के पिरामिड के लिए - "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण।

अक्सर वैज्ञानिक अपने शोध में सुनहरे अनुपात वाले पिरामिडों के गुणों का उपयोग करते हैं।

गणित में विश्वकोश शब्दकोशगोल्डन सेक्शन की निम्नलिखित परिभाषा दी गई है - यह एक हार्मोनिक डिवीजन है, चरम और औसत अनुपात में विभाजन - खंड एबी को दो भागों में इस तरह विभाजित करना कि इसका बड़ा हिस्सा एसी पूरे खंड एबी और उसके बीच औसत आनुपातिक हो छोटा भाग NE.

किसी खंड के स्वर्ण खंड का बीजगणितीय निर्धारण एबी = एसमीकरण a: x = x: (a - x) को हल करने के लिए कम करता है, जिसमें से x लगभग 0.62a के बराबर है। अनुपात x को भिन्न 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 2, 3, 5, 8, 13, 21 फाइबोनैचि संख्याएं हैं।

खंड AB के सुनहरे खंड का ज्यामितीय निर्माण निम्नानुसार किया जाता है: बिंदु B पर, AB पर एक लंबवत बहाल किया जाता है, खंड BE = 1/2 AB उस पर बिछाया जाता है, A और E जुड़े हुए हैं, DE = बीई को हटा दिया गया है और, अंत में, एसी = एडी, फिर समानता एबी संतुष्ट है: सीबी = 2:3।

सुनहरा अनुपातअक्सर कला, वास्तुकला के कार्यों में उपयोग किया जाता है और प्रकृति में पाया जाता है। ज्वलंत उदाहरणअपोलो बेलवेडेर, पार्थेनन की मूर्तियां हैं। पार्थेनन के निर्माण के दौरान इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई के अनुपात का उपयोग किया गया था और यह अनुपात 0.618 है। हमारे आस-पास की वस्तुएँ भी स्वर्णिम अनुपात का उदाहरण प्रदान करती हैं, उदाहरण के लिए, कई पुस्तकों की बाइंडिंग का चौड़ाई-से-लंबाई अनुपात 0.618 के करीब है। पौधों के सामान्य तने पर पत्तियों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, आप देख सकते हैं कि पत्तियों के प्रत्येक दो जोड़े के बीच तीसरा स्वर्ण अनुपात (स्लाइड) पर स्थित होता है। हम में से प्रत्येक अपने साथ "अपने हाथों में" स्वर्णिम अनुपात रखता है - यह उंगलियों के फालेंजों का अनुपात है।

कई गणितीय पपीरी की खोज के लिए धन्यवाद, मिस्र के वैज्ञानिकों ने गणना और माप की प्राचीन मिस्र प्रणालियों के बारे में कुछ सीखा है। उनमें निहित कार्यों को शास्त्रियों द्वारा हल किया जाता था। सबसे प्रसिद्ध में से एक है रिहंद मैथमेटिकल पेपिरस। इन समस्याओं का अध्ययन करके, मिस्र के वैज्ञानिकों ने सीखा कि प्राचीन मिस्रवासी वजन, लंबाई और आयतन के मापों की गणना करते समय उत्पन्न होने वाली विभिन्न मात्राओं से कैसे निपटते थे, जिसमें अक्सर अंश शामिल होते थे, साथ ही वे कोणों को कैसे संभालते थे।

प्राचीन मिस्रवासी एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई और आधार के अनुपात के आधार पर कोणों की गणना करने की एक विधि का उपयोग करते थे। वे किसी भी कोण को ढाल की भाषा में व्यक्त करते थे। ढलान प्रवणता को पूर्णांक अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया जिसे "सेकेड" कहा जाता है। फ़राओ के युग में गणित में, रिचर्ड पिलिन्स बताते हैं: "एक नियमित पिरामिड का सेक्ड आधार के तल पर चार त्रिकोणीय चेहरों में से किसी एक का झुकाव है, जिसे वृद्धि की प्रति ऊर्ध्वाधर इकाई क्षैतिज इकाइयों की nवीं संख्या द्वारा मापा जाता है। . इस प्रकार, माप की यह इकाई झुकाव के कोण के हमारे आधुनिक कोटैंजेंट के बराबर है। इसलिए, मिस्र का शब्द "सेकेड" हमारे से संबंधित है आधुनिक शब्द"ढाल""।

पिरामिडों की संख्यात्मक कुंजी उनकी ऊंचाई और आधार के अनुपात में निहित है। व्यावहारिक रूप से, पिरामिड के निर्माण के दौरान झुकाव के सही कोण की लगातार जांच करने के लिए आवश्यक टेम्पलेट बनाने का यह सबसे आसान तरीका है।

मिस्रविज्ञानी हमें यह समझाने में प्रसन्न होंगे कि प्रत्येक फिरौन अपनी वैयक्तिकता को व्यक्त करने के लिए उत्सुक रहता है, इसलिए प्रत्येक पिरामिड के झुकाव के कोणों में अंतर होता है। लेकिन एक और कारण भी हो सकता है. शायद वे सभी अलग-अलग अनुपात में छिपे अलग-अलग प्रतीकात्मक संघों को मूर्त रूप देना चाहते थे। हालाँकि, खफरे के पिरामिड का कोण (त्रिभुज (3:4:5) पर आधारित) रिहंद गणितीय पेपिरस में पिरामिड द्वारा प्रस्तुत तीन समस्याओं में दिखाई देता है। इसलिए यह दृष्टिकोण प्राचीन मिस्रवासियों को अच्छी तरह से ज्ञात था।

मिस्र के वैज्ञानिकों के प्रति निष्पक्ष रहें जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रवासी 3:4:5 त्रिकोण के बारे में नहीं जानते थे, कर्ण 5 की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था। लेकिन पिरामिडों से जुड़ी गणितीय समस्याएं हमेशा सेसिडा कोण के आधार पर हल की जाती हैं - ऊंचाई और आधार का अनुपात। चूँकि कर्ण की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया कि मिस्रवासियों ने कभी भी तीसरी भुजा की लंबाई की गणना नहीं की।

गीज़ा पिरामिडों में प्रयुक्त ऊंचाई-से-आधार अनुपात निस्संदेह प्राचीन मिस्रवासियों को ज्ञात था। यह संभव है कि प्रत्येक पिरामिड के लिए ये रिश्ते मनमाने ढंग से चुने गए हों। हालाँकि, यह सभी प्रकार के मिस्र में संख्या प्रतीकवाद से जुड़े महत्व का खंडन करता है दृश्य कला. यह बहुत संभव है कि ऐसे रिश्ते महत्वपूर्ण थे क्योंकि वे विशिष्ट धार्मिक विचार व्यक्त करते थे। दूसरे शब्दों में, संपूर्ण गीज़ा परिसर एक निश्चित दिव्य विषय को प्रतिबिंबित करने के लिए डिज़ाइन किए गए सुसंगत डिजाइन के अधीन था। इससे पता चलेगा कि डिज़ाइनरों ने तीनों पिरामिडों के लिए अलग-अलग कोण क्यों चुने।

द ओरियन मिस्ट्री में, बाउवल और गिल्बर्ट ने गीज़ा पिरामिडों को ओरियन तारामंडल, विशेष रूप से ओरियन बेल्ट के सितारों से जोड़ने के लिए आकर्षक साक्ष्य प्रस्तुत किए। वही तारामंडल आइसिस और ओसिरिस के मिथक में मौजूद है, और प्रत्येक पिरामिड को एक के रूप में देखने का कारण है तीन मुख्य देवताओं में से एक का प्रतिनिधित्व - ओसिरिस, आइसिस और होरस।

"ज्यामितीय" चमत्कार।

मिस्र के भव्य पिरामिडों के बीच विशेष स्थानलेता है फिरौन चेओप्स का महान पिरामिड (खुफू). इससे पहले कि हम चेप्स पिरामिड के आकार और आकार का विश्लेषण करना शुरू करें, हमें यह याद रखना चाहिए कि मिस्रवासियों ने माप की कौन सी प्रणाली का उपयोग किया था। मिस्रवासियों की लंबाई की तीन इकाइयाँ थीं: एक "हाथ" (466 मिमी), जो सात "हथेलियों" (66.5 मिमी) के बराबर थी, जो बदले में, चार "उंगलियों" (16.6 मिमी) के बराबर थी।

आइए हम यूक्रेनी वैज्ञानिक निकोलाई वासुतिन्स्की की अद्भुत पुस्तक "द गोल्डन प्रोपोर्शन" (1990) में दिए गए तर्कों का पालन करते हुए चेप्स पिरामिड (चित्र 2) के आयामों का विश्लेषण करें।

अधिकांश शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि उदाहरण के लिए, पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई, जीएफके बराबर एल= 233.16 मीटर। यह मान लगभग 500 "कोहनी" से मेल खाता है। 500 "कोहनी" का पूर्ण अनुपालन तब होगा जब "कोहनी" की लंबाई 0.4663 मीटर के बराबर मानी जाए।

पिरामिड की ऊंचाई ( एच) शोधकर्ताओं द्वारा विभिन्न प्रकार से 146.6 से 148.2 मीटर तक का अनुमान लगाया गया है। और पिरामिड की स्वीकृत ऊंचाई के आधार पर, इसके ज्यामितीय तत्वों के सभी संबंध बदल जाते हैं। पिरामिड की ऊंचाई के अनुमान में अंतर का क्या कारण है? तथ्य यह है कि, कड़ाई से बोलते हुए, चेप्स पिरामिड को छोटा कर दिया गया है। इसका ऊपरी मंच आज लगभग 10 ´ 10 मीटर मापता है, लेकिन एक शताब्दी पहले यह 6 ´ 6 मीटर था। जाहिर है, पिरामिड के शीर्ष को नष्ट कर दिया गया था, और यह मूल के अनुरूप नहीं है।

पिरामिड की ऊंचाई का आकलन करते समय इस बात का ध्यान रखना आवश्यक है भौतिक कारक, संरचना के "मसौदे" के रूप में। पीछे लंबे समय तकभारी दबाव (निचली सतह के प्रति 1 मी2 पर 500 टन तक पहुंचने) के प्रभाव में, पिरामिड की ऊंचाई इसकी मूल ऊंचाई की तुलना में कम हो गई।

पिरामिड की मूल ऊँचाई कितनी थी? पिरामिड के मूल "ज्यामितीय विचार" को ढूंढकर इस ऊंचाई को फिर से बनाया जा सकता है।

चित्र 2।

1837 में, अंग्रेज कर्नल जी. वाइज़ ने पिरामिड के चेहरों के झुकाव के कोण को मापा: यह बराबर निकला ए= 51°51"। यह मान आज भी अधिकांश शोधकर्ताओं द्वारा मान्यता प्राप्त है। निर्दिष्ट कोण मान स्पर्शरेखा (टीजी) से मेल खाता है ए), 1.27306 के बराबर। यह मान पिरामिड की ऊंचाई के अनुपात से मेल खाता है एसीइसके आधे आधार तक सी.बी.(चित्र 2), अर्थात् एसी। / सी.बी. = एच / (एल / 2) = 2एच / एल.

और यहां शोधकर्ता बड़े आश्चर्य में थे! ए= 1.27306, हम देखते हैं कि ये मान एक दूसरे के बहुत करीब हैं। अगर हम कोण लें ए= 51°50", अर्थात इसे केवल एक चाप मिनट कम करें, फिर मान ए 1.272 के बराबर हो जाएगा, यानी यह मान के साथ मेल खाएगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1840 में जी. वाइज ने अपने माप को दोहराया और स्पष्ट किया कि कोण का मूल्य ए=51°50"।

इन मापों ने शोधकर्ताओं को निम्नलिखित बहुत ही दिलचस्प परिकल्पना की ओर अग्रसर किया: चेप्स पिरामिड का त्रिभुज ACB संबंध AC पर आधारित था / सी.बी. = = 1,272!

अब समकोण त्रिभुज पर विचार करें एबीसी, जिसमें पैरों का अनुपात है एसी। / सी.बी.= (चित्र 2). यदि अब आयत की भुजाओं की लंबाई एबीसीद्वारा नामित करें एक्स, य, जेड, और उस अनुपात को भी ध्यान में रखें य/एक्स= , तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई जेडसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

अगर हम स्वीकार करें एक्स = 1, य= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png' width='143' ऊंचाई='27'>

चित्र तीन।"स्वर्णिम" समकोण त्रिभुज.

एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं टी:सुनहरा" समकोण त्रिभुज।

फिर, यदि हम इस परिकल्पना को आधार के रूप में लेते हैं कि चेप्स पिरामिड का मुख्य "ज्यामितीय विचार" एक "सुनहरा" समकोण त्रिभुज है, तो यहां से हम आसानी से चेप्स पिरामिड की "डिज़ाइन" ऊंचाई की गणना कर सकते हैं। यह इसके बराबर है:

एच = (एल/2) ´ = 148.28 मीटर।

आइए अब हम चेप्स पिरामिड के लिए कुछ अन्य संबंध प्राप्त करें, जो "सुनहरे" परिकल्पना से अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से, हम पिरामिड के बाहरी क्षेत्रफल और उसके आधार के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम पैर की लंबाई लेते हैं सी.बी.प्रति इकाई, अर्थात्: सी.बी.= 1. लेकिन फिर पिरामिड के आधार की भुजा की लंबाई जीएफ= 2, और आधार का क्षेत्रफल ईएफजीएचबराबर होगा SEFGH = 4.

आइए अब चेप्स पिरामिड के पार्श्व फलक के क्षेत्रफल की गणना करें एसडी. क्योंकि ऊंचाई अबत्रिकोण एईएफके बराबर टी, तो पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होगा एसडी = टी. तब पिरामिड के चारों पार्श्व फलकों का कुल क्षेत्रफल 4 के बराबर होगा टी, और पिरामिड के कुल बाहरी क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होगा! यह वही है - चेप्स पिरामिड का मुख्य ज्यामितीय रहस्य!

चेप्स पिरामिड के "ज्यामितीय चमत्कारों" के समूह में पिरामिड के विभिन्न आयामों के बीच संबंधों के वास्तविक और दूरगामी गुण शामिल हैं।

एक नियम के रूप में, वे कुछ "स्थिरांक" की खोज में प्राप्त किए जाते हैं, विशेष रूप से, संख्या "पाई" (लुडोल्फो की संख्या), 3.14159 के बराबर...; मैदान प्राकृतिक लघुगणक"ई" (नेपर की संख्या), 2.71828 के बराबर...; संख्या "एफ", "गोल्डन सेक्शन" की संख्या, उदाहरण के लिए, 0.618... आदि के बराबर।

उदाहरण के लिए, आप नाम बता सकते हैं: 1) हेरोडोटस की संपत्ति: (ऊंचाई)2 = 0.5 कला। बुनियादी एक्स एपोथेम; 2) वी. की संपत्ति कीमत: ऊंचाई: 0.5 कला. आधार = "एफ" का वर्गमूल; 3) एम. ईस्ट की संपत्ति: आधार की परिधि: 2 ऊंचाई = "पाई"; एक अलग व्याख्या में - 2 बड़े चम्मच। बुनियादी : ऊँचाई = "पाई"; 4) जी. एज की संपत्ति: अंकित वृत्त की त्रिज्या: 0.5 कला. बुनियादी = "एफ"; 5) के. क्लेपिश की संपत्ति: (कला. मुख्य.)2: 2(कला. मुख्य. एक्स एपोथेम) = (कला. मुख्य. डब्ल्यू. एपोथेमा) = 2(कला. मुख्य. एक्स एपोथेम) : ((2 कला. .आधार एक्स एपोथेम) + (कला. आधार)2). वगैरह। आप ऐसी कई संपत्तियों के बारे में सोच सकते हैं, खासकर यदि आप दो आसन्न पिरामिडों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, "ए. अरेफ़ेयेव के गुण" के रूप में यह उल्लेख किया जा सकता है कि चेप्स के पिरामिड और खफ़्रे के पिरामिड के आयतन में अंतर मिकेरिन के पिरामिड के आयतन के दोगुने के बराबर है...

अनेक दिलचस्प प्रावधानविशेष रूप से, "गोल्डन रेशियो" के अनुसार पिरामिडों के निर्माण का वर्णन डी. हैम्बिज की पुस्तकों "वास्तुकला में गतिशील समरूपता" और एम. गिक "प्रकृति और कला में अनुपात का सौंदर्यशास्त्र" में किया गया है। आइए याद रखें कि "सुनहरा अनुपात" एक खंड का इस अनुपात में विभाजन है कि भाग ए, भाग बी से कई गुना बड़ा है, ए पूरे खंड ए + बी से कितना गुना छोटा है। अनुपात ए/बी संख्या "एफ" == 1.618 के बराबर है। .. "गोल्डन रेशियो" का उपयोग न केवल व्यक्तिगत पिरामिडों में, बल्कि गीज़ा के पिरामिडों के पूरे परिसर में भी दर्शाया गया है।

हालाँकि, सबसे दिलचस्प बात यह है कि एक ही चेप्स पिरामिड में इतने सारे अद्भुत गुण बस "नहीं" हो सकते हैं। एक निश्चित संपत्ति को एक-एक करके लेते हुए, इसे "फिट" किया जा सकता है, लेकिन वे सभी एक साथ फिट नहीं होते हैं - वे मेल नहीं खाते हैं, वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं। इसलिए, यदि, उदाहरण के लिए, सभी गुणों की जाँच करते समय, हम शुरू में पिरामिड के आधार का एक ही पक्ष (233 मीटर) लेते हैं, तो विभिन्न गुणों वाले पिरामिडों की ऊँचाई भी भिन्न होगी। दूसरे शब्दों में, पिरामिडों का एक निश्चित "परिवार" है जो बाह्य रूप से चेप्स के समान है, लेकिन मेल खाता है विभिन्न गुण. ध्यान दें कि "ज्यामितीय" गुणों में कुछ भी विशेष रूप से चमत्कारी नहीं है - आकृति के गुणों से, बहुत कुछ पूरी तरह से स्वचालित रूप से उत्पन्न होता है। एक "चमत्कार" को केवल कुछ ऐसा माना जाना चाहिए जो प्राचीन मिस्रवासियों के लिए स्पष्ट रूप से असंभव था। इसमें, विशेष रूप से, "ब्रह्मांडीय" चमत्कार शामिल हैं, जिसमें चेप्स पिरामिड या गीज़ा के पिरामिड परिसर की माप की तुलना कुछ खगोलीय मापों से की जाती है और "सम" संख्याएं इंगित की जाती हैं: एक लाख गुना कम, एक अरब गुना कम, और जल्द ही। आइए कुछ "लौकिक" रिश्तों पर विचार करें।

कथनों में से एक है: "यदि आप पिरामिड के आधार के किनारे को वर्ष की सटीक लंबाई से विभाजित करते हैं, तो आपको पृथ्वी की धुरी का ठीक 10 मिलियनवां भाग मिलता है।" गणना करें: 233 को 365 से विभाजित करें, हमें 0.638 मिलता है। पृथ्वी की त्रिज्या 6378 किमी है।

एक अन्य कथन वास्तव में पिछले कथन के विपरीत है। एफ. नोएटलिंग ने बताया कि यदि हम उनके द्वारा आविष्कार किए गए "मिस्र के क्यूबिट" का उपयोग करते हैं, तो पिरामिड का किनारा "सौर वर्ष की सबसे सटीक अवधि, एक दिन के निकटतम एक अरबवें हिस्से के लिए व्यक्त" - 365.540 के अनुरूप होगा। 903.777.

पी. स्मिथ का कथन: "पिरामिड की ऊंचाई पृथ्वी से सूर्य की दूरी का ठीक एक अरबवां हिस्सा है।" हालाँकि आमतौर पर ऊँचाई 146.6 मीटर ली जाती है, स्मिथ ने इसे 148.2 मीटर लिया। आधुनिक रडार माप के अनुसार, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी 149,597,870 + 1.6 किमी है। यह पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी है, लेकिन पेरिहेलियन पर यह एपहेलियन की तुलना में 5,000,000 किलोमीटर कम है।

एक आखिरी दिलचस्प बयान:

"हम यह कैसे समझा सकते हैं कि चेप्स, खाफ़्रे और मायकेरिनस के पिरामिडों का द्रव्यमान पृथ्वी, शुक्र, मंगल ग्रह के द्रव्यमान की तरह एक दूसरे से संबंधित है?" चलिए हिसाब लगाते हैं. तीन पिरामिडों का द्रव्यमान इस प्रकार है: खफरे - 0.835; चेप्स - 1,000; मिकेरिन - 0.0915। तीन ग्रहों के द्रव्यमान का अनुपात: शुक्र - 0.815; पृथ्वी - 1,000; मंगल - 0.108.

इसलिए, संदेह के बावजूद, हम बयानों के निर्माण के प्रसिद्ध सामंजस्य पर ध्यान देते हैं: 1) पिरामिड की ऊंचाई, "अंतरिक्ष में जाने वाली" रेखा की तरह, पृथ्वी से सूर्य तक की दूरी से मेल खाती है; 2) पिरामिड के आधार का किनारा, "सब्सट्रेट के सबसे करीब", यानी पृथ्वी के, पृथ्वी की त्रिज्या और पृथ्वी के परिसंचरण के लिए जिम्मेदार है; 3) पिरामिड का आयतन (पढ़ें - द्रव्यमान) पृथ्वी के निकटतम ग्रहों के द्रव्यमान के अनुपात के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, कार्ल वॉन फ्रिस्क द्वारा विश्लेषण की गई मधुमक्खी भाषा में एक समान "सिफर" का पता लगाया जा सकता है। हालाँकि, हम अभी इस मामले पर टिप्पणी करने से बचेंगे।

पिरामिड आकार

पिरामिडों की प्रसिद्ध चतुष्फलकीय आकृति तुरंत उत्पन्न नहीं हुई। सीथियनों ने मिट्टी की पहाड़ियों - टीलों के रूप में दफ़नियाँ बनाईं। मिस्रवासियों ने पत्थर की "पहाड़ियाँ" बनाईं - पिरामिड। यह पहली बार 28वीं शताब्दी ईसा पूर्व में ऊपरी और निचले मिस्र के एकीकरण के बाद हुआ, जब तीसरे राजवंश के संस्थापक, फिरौन जोसर (ज़ोसर) को देश की एकता को मजबूत करने के कार्य का सामना करना पड़ा।

और यहाँ, इतिहासकारों के अनुसार, राजा की "देवीकरण की नई अवधारणा" ने केंद्रीय शक्ति को मजबूत करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। हालाँकि शाही दफ़नाने अधिक भव्यता से प्रतिष्ठित थे, सिद्धांत रूप में, वे दरबारी रईसों की कब्रों से भिन्न नहीं थे; वे एक ही संरचनाएँ थीं - मस्तबास। ममी वाले ताबूत वाले कक्ष के ऊपर, छोटे पत्थरों की एक आयताकार पहाड़ी डाली गई थी, जहाँ बड़े पत्थर के खंडों से बनी एक छोटी इमारत - एक "मस्तबा" (अरबी में - "बेंच") रखी गई थी। फिरौन जोसर ने अपने पूर्ववर्ती सनाख्त के मस्तबा के स्थान पर पहला पिरामिड बनवाया। यह कदम रखा गया था और एक वास्तुशिल्प रूप से दूसरे वास्तुशिल्प रूप में, एक मस्तबा से पिरामिड तक एक दृश्यमान संक्रमणकालीन चरण था।

इस तरह, ऋषि और वास्तुकार इम्होटेप, जिन्हें बाद में एक जादूगर माना गया और यूनानियों द्वारा भगवान एस्क्लेपियस के साथ पहचाना गया, ने फिरौन को "बढ़ाया"। ऐसा लग रहा था मानो एक पंक्ति में छह मस्तबा खड़े किये गये हों। इसके अलावा, पहले पिरामिड का क्षेत्रफल 1125 x 115 मीटर था, जिसकी अनुमानित ऊंचाई 66 मीटर (मिस्र के मानकों के अनुसार - 1000 "हथेलियाँ") थी। सबसे पहले, वास्तुकार ने एक मस्तबा बनाने की योजना बनाई, लेकिन आयताकार नहीं, बल्कि योजना में चौकोर। बाद में इसका विस्तार किया गया, लेकिन चूंकि विस्तार नीचे किया गया था, इसलिए ऐसा लगा कि इसमें दो चरण हैं।

इस स्थिति ने वास्तुकार को संतुष्ट नहीं किया, और विशाल सपाट मस्तबा के ऊपरी मंच पर, इम्होटेप ने तीन और रख दिए, जो धीरे-धीरे शीर्ष की ओर कम हो रहे थे। यह कब्र पिरामिड के नीचे स्थित थी।

कई और चरण पिरामिड ज्ञात हैं, लेकिन बाद में बिल्डरों ने टेट्राहेड्रल पिरामिड बनाना शुरू कर दिया जो हमारे लिए अधिक परिचित हैं। हालाँकि, त्रिकोणीय या कहें तो अष्टकोणीय क्यों नहीं? एक अप्रत्यक्ष उत्तर इस तथ्य से मिलता है कि लगभग सभी पिरामिड चार प्रमुख दिशाओं के साथ पूरी तरह से उन्मुख हैं, और इसलिए उनकी चार भुजाएँ हैं। इसके अलावा, पिरामिड एक "घर" था, जो एक चतुर्भुज दफन कक्ष का खोल था।

लेकिन चेहरों के झुकाव का कोण किसने निर्धारित किया? "अनुपात का सिद्धांत" पुस्तक में एक पूरा अध्याय इस पर समर्पित है: "पिरामिडों के झुकाव के कोणों को क्या निर्धारित किया जा सकता था।" विशेष रूप से, यह संकेत दिया गया है कि “पुराने साम्राज्य के महान पिरामिड जिस छवि की ओर आकर्षित होते हैं वह शीर्ष पर समकोण वाला एक त्रिकोण है।

अंतरिक्ष में, यह एक अर्ध-अष्टफलकीय है: एक पिरामिड जिसमें आधार के किनारे और किनारे बराबर होते हैं, फलक समान होते हैं समबाहु त्रिभुज". हैम्बिज, गिक और अन्य की पुस्तकों में इस विषय पर कुछ विचार दिए गए हैं।

अर्ध-अष्टफलकीय कोण का क्या लाभ है? पुरातत्वविदों और इतिहासकारों के विवरण के अनुसार, कुछ पिरामिड अपने ही वजन के कारण ढह गए। जिस चीज़ की आवश्यकता थी वह थी "दीर्घायु कोण", एक ऐसा कोण जो ऊर्जावान रूप से सबसे विश्वसनीय था। विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य रूप से, इस कोण को सूखी रेत के ढेर में शीर्ष कोण से लिया जा सकता है। लेकिन सटीक डेटा प्राप्त करने के लिए, आपको एक मॉडल का उपयोग करने की आवश्यकता है। चार मजबूती से तय की गई गेंदों को लेते हुए, आपको उन पर पांचवीं गेंद रखनी होगी और झुकाव के कोण को मापना होगा। हालाँकि, आप यहां गलती कर सकते हैं, इसलिए एक सैद्धांतिक गणना मदद करती है: आपको गेंदों के केंद्रों को रेखाओं से जोड़ना चाहिए (मानसिक रूप से)। आधार एक वर्ग होगा जिसकी भुजा त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी। वर्ग पिरामिड का सिर्फ आधार होगा, जिसके किनारों की लंबाई भी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी।

इस प्रकार, 1:4 जैसी गेंदों की एक करीबी पैकिंग हमें एक नियमित अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन देगी।

हालाँकि, कई पिरामिड, एक समान आकार की ओर आकर्षित होते हुए भी इसे बरकरार क्यों नहीं रखते? पिरामिड संभवतः पुराने हो रहे हैं। प्रसिद्ध कहावत के विपरीत:

"दुनिया में हर चीज समय से डरती है, और समय पिरामिड से डरता है," पिरामिड की इमारतों की उम्र होनी चाहिए, न केवल बाहरी अपक्षय की प्रक्रियाएं उनमें हो सकती हैं और होनी भी चाहिए, बल्कि आंतरिक "संकोचन" की प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिससे पिरामिड निचले हो सकते हैं। सिकुड़न इसलिए भी संभव है क्योंकि, जैसा कि डी. डेविडोविट्स के काम से पता चला है, प्राचीन मिस्रवासी चूने के चिप्स से, दूसरे शब्दों में, "कंक्रीट" से ब्लॉक बनाने की तकनीक का इस्तेमाल करते थे। यह बिल्कुल ऐसी ही प्रक्रियाएं हैं जो काहिरा से 50 किमी दक्षिण में स्थित मेडम पिरामिड के विनाश का कारण बता सकती हैं। यह 4600 वर्ष पुराना है, आधार का आयाम 146 x 146 मीटर, ऊंचाई 118 मीटर है। वी. ज़मारोव्स्की पूछते हैं, "यह इतना विकृत क्यों है?" "समय के विनाशकारी प्रभावों और "अन्य इमारतों के लिए पत्थर के उपयोग" के सामान्य संदर्भ यहां उपयुक्त नहीं हैं।

आख़िरकार, इसके अधिकांश ब्लॉक और फेसिंग स्लैब आज तक अपनी जगह पर बने हुए हैं, इसके तल पर खंडहर हैं।" जैसा कि हम देखेंगे, कई प्रावधान हमें यह सोचने पर भी मजबूर करते हैं कि चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड भी "सिकुड़ा हुआ" है। किसी भी स्थिति में, सभी प्राचीन छवियों में पिरामिड नुकीले होते हैं...

पिरामिडों का आकार नकल द्वारा भी तैयार किया जा सकता था: कुछ प्राकृतिक नमूने, "चमत्कारिक पूर्णता", कहते हैं, अष्टफलक के रूप में कुछ क्रिस्टल।

समान क्रिस्टल हीरे और सोने के क्रिस्टल हो सकते हैं। विशेषता एक बड़ी संख्या कीफिरौन, सूर्य, सोना, हीरा जैसी अवधारणाओं के लिए "अतिव्यापी" संकेत। हर जगह - महान, प्रतिभाशाली (शानदार), महान, त्रुटिहीन, इत्यादि। समानताएं आकस्मिक नहीं हैं.

जैसा कि ज्ञात है, सौर पंथ ने धर्म का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाया प्राचीन मिस्र. आधुनिक मैनुअल में से एक, "द स्काई ऑफ खुफू" या "द स्काईवर्ड खुफू" में कहा गया है, "इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम सबसे महान पिरामिड के नाम का अनुवाद कैसे करते हैं," इसका मतलब था कि राजा सूर्य है। यदि खुफ़ु ने अपनी शक्ति के तेज में स्वयं को दूसरा सूर्य होने की कल्पना की, तो उसका पुत्र जेडेफ़-रा खुद को "रा का पुत्र" यानी सूर्य का पुत्र कहने वाला मिस्र का पहला राजा बन गया। लगभग सभी लोगों के बीच सूर्य का प्रतीक "सौर धातु", सोना था। "चमकीले सोने की एक बड़ी डिस्क" - जिसे मिस्रवासी हमारा दिन का प्रकाश कहते थे। मिस्रवासी सोने को भली-भांति जानते थे, वे इसके मूल स्वरूप को जानते थे, जहाँ सोने के क्रिस्टल अष्टफलक के रूप में प्रकट हो सकते हैं।

"सूरज पत्थर" - हीरा - यहाँ "रूपों के नमूने" के रूप में भी दिलचस्प है। हीरे का नाम बिल्कुल अरब जगत से आया है, "अल्मास" - सबसे कठोर, सबसे कठोर, अविनाशी। प्राचीन मिस्रवासी हीरे और उसके गुणों को अच्छी तरह से जानते थे। कुछ लेखकों के अनुसार, उन्होंने ड्रिलिंग के लिए हीरे के कटर के साथ कांस्य ट्यूबों का भी उपयोग किया।

वर्तमान में हीरे का मुख्य आपूर्तिकर्ता है दक्षिण अफ्रीका, लेकिन पश्चिमी अफ़्रीका हीरों से भी समृद्ध है। माली गणराज्य के क्षेत्र को "डायमंड लैंड" भी कहा जाता है। इस बीच, यह माली के क्षेत्र में है कि डोगोन रहते हैं, जिनके साथ पेलियो-विज़िट परिकल्पना के समर्थकों को कई उम्मीदें हैं (नीचे देखें)। इस क्षेत्र के साथ प्राचीन मिस्रवासियों के संपर्क का कारण हीरे नहीं हो सकते थे। हालाँकि, एक तरह से या किसी अन्य, यह संभव है कि हीरे और सोने के क्रिस्टल के अष्टफलक की नकल करके, प्राचीन मिस्रवासियों ने फिरौन को, हीरे की तरह "अविनाशी" और सोने की तरह "शानदार", सूर्य के पुत्रों की तुलना में ही देवता बना दिया। प्रकृति की सबसे अद्भुत रचनाओं के लिए.

निष्कर्ष:

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड का अध्ययन करने, उसके तत्वों और गुणों से परिचित होने के बाद, हम पिरामिड के आकार की सुंदरता के बारे में राय की वैधता के बारे में आश्वस्त हुए।

हमारे शोध के परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि मिस्रवासियों ने, सबसे मूल्यवान गणितीय ज्ञान एकत्र करके, इसे एक पिरामिड में समाहित किया। इसलिए, पिरामिड वास्तव में प्रकृति और मनुष्य की सबसे उत्तम रचना है।

ग्रंथ सूची

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इंटरनेट संसाधन

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