Trikampis yra geometrinė figūra, kurią sudaro trys tiesios linijos, jungiančios taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Linijų sujungimo taškai yra trikampio viršūnės, kurios yra nurodytos su lotyniškomis raidėmis(pvz., A, B, C). Trikampio jungiamosios tiesės vadinamos atkarpomis, kurios taip pat dažniausiai žymimos lotyniškomis raidėmis. Išskiriami šie trikampių tipai:

• Stačiakampis.
• Bukas.
• Ūmus kampinis.
• Universalus.
• Lygiakraščiai.
• Lygiašonis.

Bendrosios trikampio ploto skaičiavimo formulės

Trikampio ploto formulė pagal ilgį ir aukštį

S = a*h/2,
kur a yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, kraštinės ilgis, h yra aukščio, nubrėžto iki pagrindo, ilgis.

Garnio formulė

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kur yra √ Kvadratinė šaknis, p – trikampio pusperimetras, a,b,c – kiekvienos trikampio kraštinės ilgis. Trikampio pusperimetras gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę p=(a+b+c)/2.

Trikampio ploto formulė pagal atkarpos kampą ir ilgį

S = (a*b*sin(α))/2,
Kur b, c yra trikampio kraštinių ilgis, sin(α) yra kampo tarp dviejų kraštinių sinusas.

Trikampio ploto formulė, atsižvelgiant į įbrėžto apskritimo spindulį ir tris kraštines

S=p*r,
čia p yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, pusperimetras, r yra į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.

Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir aplink jį apibrėžto apskritimo spinduliu

S = (a*b*c)/4*R,
kur a,b,c yra kiekvienos trikampio kraštinės ilgis, R yra apskritimo, apibrėžiamo aplink trikampį, spindulys.

Trikampio ploto formulė naudojant Dekarto taškų koordinates

Dekarto taškų koordinatės yra xOy sistemos koordinatės, kur x yra abscisė, y yra ordinatė. Dekarto koordinačių sistema xOy plokštumoje yra viena kitai statmenos skaitinės ašys Ox ir Oy, turinčios bendrą pradžią taške O. Jei taškų koordinatės šioje plokštumoje pateiktos A(x1, y1), B(x2, y2) forma. ) ir C(x3, y3), tada galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami šią formulę, kuri gaunama iš dviejų vektorių vektorinės sandaugos.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kur || reiškia modulį.

Kaip rasti stačiojo trikampio plotą

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra 90 laipsnių. Trikampis gali turėti tik vieną tokį kampą.

Stačiojo trikampio iš dviejų kraštinių ploto formulė

S = a*b/2,
kur a, b yra kojų ilgis. Kojos yra šonai, besiribojantys su stačiu kampu.

Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta hipotenuze ir smailiu kampu

S = a*b*sin(α)/2,
čia a, b yra trikampio kojos, o sin(α) yra kampo, kuriuo susikerta tiesės a, b sinusas.

Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta kraštiniu ir priešingu kampu

S = a*b/2*tg(β),
čia a, b yra trikampio kojos, tan(β) yra kampo, kuriuo sujungtos kojos a, b, liestinė.

Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą

Lygiašonis trikampis yra tas, kuris turi dvi lygias kraštines. Šios pusės vadinamos šonais, o kita pusė yra pagrindas. Norėdami apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, galite naudoti vieną iš šių formulių.

Pagrindinė lygiašonio trikampio ploto skaičiavimo formulė

S=h*c/2,
čia c – trikampio pagrindas, h – trikampio, nuleisto iki pagrindo, aukštis.

Lygiašonio trikampio formulė, pagrįsta kraštine ir pagrindu

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kur c yra trikampio pagrindas, a yra vienos iš lygiašonio trikampio kraštinių dydis.

Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą

Lygiakraštis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios. Norėdami apskaičiuoti plotą lygiakraštis trikampis galite naudoti šią formulę:
S = (√3*a*a)/4,
kur a lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis.

Aukščiau pateiktos formulės leis jums apskaičiuoti reikiamą trikampio plotą. Svarbu atsiminti, kad norint apskaičiuoti trikampių plotą, reikia atsižvelgti į trikampio tipą ir turimus duomenis, kuriuos galima naudoti skaičiuojant.

Instrukcijos

Vakarėliai o kampai laikomi pagrindiniais elementais A. Trikampis yra visiškai apibrėžtas bet kuriuo iš šių pagrindinių elementų: arba trys kraštinės, arba viena kraštinė ir du kampai, arba dvi kraštinės ir kampas tarp jų. Už egzistavimą trikampis pateiktos iš trijų kraštinių a, b, c, tai būtina ir pakanka nelygybėms, vadinamoms nelygybėmis, patenkinti trikampis:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Statymui trikampis iš trijų pusių a, b, c iš atkarpos CB = a taško C kompasu reikia nubrėžti b spindulio apskritimą. Tada panašiu būdu nubrėžkite apskritimą iš taško B spinduliu lygus šonui c. Jų susikirtimo taškas A yra trečioji norimos viršūnė trikampis ABC, kur AB=c, CB=a, CA=b - pusės trikampis. Problema turi , jei kraštinės a, b, c tenkina nelygybes trikampis nurodyta 1 veiksme.

Tokiu būdu sukonstruota S sritis trikampis ABC su žinomomis kraštinėmis a, b, c apskaičiuojamas pagal Herono formulę:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kur a, b, c yra kraštinės trikampis, p – pusperimetras.
p = (a+b+c)/2

Jei trikampis yra lygiakraštis, tai yra, visos jo kraštinės yra lygios (a=b=c). Plotas trikampis apskaičiuojamas pagal formulę:
S=(a^2 v3)/4

Jei trikampis yra stačiakampis, tai yra, vienas iš jo kampų yra lygus 90°, o jį sudarančios kraštinės yra kojos, trečioji kraštinė yra hipotenuzė. IN tokiu atveju kvadratas lygus kojų sandaugai, padalytai iš dviejų.
S=ab/2

Rasti kvadratas trikampis, galite naudoti vieną iš daugelio formulių. Pasirinkite formulę atsižvelgdami į tai, kokie duomenys jau žinomi.

Jums reikės

• trikampio ploto nustatymo formulių išmanymas

Instrukcijos

Jei žinote vienos iš kraštų dydį ir aukščio, nuleisto į šią pusę nuo priešingo kampo, vertę, galite rasti plotą naudodami šiuos metodus: S = a*h/2, kur S yra plotas trikampio a yra viena iš trikampio kraštinių, o h - aukštis, į kraštinę a.

Yra žinomas trikampio ploto nustatymo metodas, jei žinomos trys jo kraštinės. Tai Herono formulė. Jo įrašymui supaprastinti įvedama tarpinė reikšmė – pusperimetras: p = (a+b+c)/2, kur a, b, c - . Tada Herono formulė yra tokia: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponencija.

Tarkime, kad žinote vieną iš trikampio kraštinių ir tris kampus. Tada nesunku rasti trikampio plotą: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kur β yra kampas, priešingas kraštinei a, o α ir γ yra kampai, esantys šalia kraštinės.

Video tema

pastaba

Labiausiai bendroji formulė, kuri tinka visais atvejais yra Herono formulė.

Šaltiniai:

3 patarimas: kaip rasti trikampio plotą pagal tris puses

Trikampio ploto radimas yra viena iš labiausiai paplitusių mokyklos planimetrijos problemų. Norint nustatyti bet kurio trikampio plotą, pakanka žinoti tris trikampio kraštines. Ypatingais lygiašonių trikampių atvejais pakanka žinoti atitinkamai dviejų ir vienos kraštinių ilgius.

Jums reikės

• trikampių kraštinių ilgiai, Herono formulė, kosinuso teorema

Instrukcijos

Trikampio ploto Herono formulė yra tokia: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jei parašytume pusperimetrą p, gautume: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Galite išvesti trikampio ploto formulę iš svarstymų, pavyzdžiui, taikydami kosinuso teoremą.

Pagal kosinuso teoremą AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Naudojant įvestus žymėjimus, juos taip pat galima parašyti tokia forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Vadinasi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Trikampio plotas taip pat randamas pagal formulę S = a*c*sin(ABC)/2, naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų. Kampo ABC sinusas gali būti išreikštas juo naudojant bazinį trigonometrinė tapatybė: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Pakeitę sinusą į ploto formulę ir ją užrašę, galite gauti trikampio ABC ploto formulę.

Video tema

Norint atlikti remonto darbus, gali tekti išmatuoti kvadratas sienos Taip lengviau apskaičiuoti reikiamą dažų ar tapetų kiekį. Matavimui geriausia naudoti matavimo juostą arba matavimo juostą. Matavimai turėtų būti atliekami po sienos buvo išlyginti.

Jums reikės

• - ruletė;
• - kopėčios.

Instrukcijos

Skaičiuoti kvadratas sienos, turite žinoti tikslų lubų aukštį, taip pat išmatuoti ilgį išilgai grindų. Tai daroma taip: paimkite centimetrą ir padėkite jį ant grindjuostės. Paprastai centimetro neužtenka visam ilgiui, todėl pritvirtinkite jį kampe, tada atsukite iki maksimalaus ilgio. Šiuo metu pažymėkite pieštuku, užrašykite gautą rezultatą ir atlikite tolesnius matavimus tuo pačiu būdu, pradedant nuo paskutinio matavimo taško.

Standartinės lubos yra 2 metrai 80 centimetrų, 3 metrai ir 3 metrai 20 centimetrų, priklausomai nuo namo. Jei namas buvo pastatytas iki 50-ųjų, greičiausiai tikrasis aukštis yra šiek tiek mažesnis nei nurodyta. Jei skaičiuojate kvadratas remonto darbams, tada nedidelė pasiūla nepakenks - apsvarstykite pagal standartą. Jei vis tiek reikia žinoti tikrąjį ūgį, išmatuokite. Principas panašus į ilgio matavimą, tačiau jums reikės kopėčių.

Padauginkite gautus rodiklius - tai yra kvadratas tavo sienos. Tiesa, dažant ar dažymui reikia atimti kvadratas durų ir langų angos. Norėdami tai padaryti, padėkite centimetrą išilgai angos. Jei kalbame apie duris, kurias vėliau ketinate keisti, tada nuimkite durų staktą, atsižvelgdami tik į kvadratas tiesiai į pačią angą. Lango plotas skaičiuojamas išilgai jo rėmo perimetro. Po to kvadratas apskaičiuojant langą ir duris, atimkite rezultatą iš bendro kambario ploto.

Atkreipkite dėmesį, kad kambario ilgį ir plotį turėtų išmatuoti du žmonės, todėl lengviau pritvirtinti centimetrą ar matavimo juostą ir atitinkamai gauti daugiau tikslus rezultatas. Kelis kartus atlikite tą patį matavimą, kad įsitikintumėte, jog gauti skaičiai yra tikslūs.

Video tema

Rasti trikampio tūrį yra tikrai nebanali užduotis. Faktas yra tas, kad trikampis yra dvimatė figūra, t.y. jis yra visiškai vienoje plokštumoje, o tai reiškia, kad jis tiesiog neturi tūrio. Žinoma, jūs negalite rasti to, ko nėra. Bet nepasiduokime! Galime sutikti su tokia prielaida: dvimatės figūros tūris yra jos plotas. Ieškosime trikampio ploto.

Jums reikės

• popieriaus lapas, pieštukas, liniuotė, skaičiuotuvas

Instrukcijos

Pieškite ant popieriaus lapo naudodami liniuotę ir pieštuką. Atidžiai ištyrę trikampį galite įsitikinti, kad jame tikrai nėra trikampio, nes jis nupieštas plokštumoje. Pažymėkite trikampio kraštines: tegul viena kraštinė yra „a“, kita – „b“, o trečioji – „c“. Pažymėkite trikampio viršūnes raidėmis "A", "B" ir "C".

Išmatuokite bet kurią trikampio kraštinę liniuote ir užrašykite rezultatą. Po to atkurkite statmeną išmatuotai pusei iš priešingos viršūnės, toks statmuo bus trikampio aukštis. Paveiksle pavaizduotu atveju statmenas "h" atkuriamas į "c" pusę nuo viršūnės "A". Išmatuokite gautą aukštį liniuote ir užrašykite matavimo rezultatą.

Jums gali būti sunku atkurti tikslų statmeną. Tokiu atveju turėtumėte naudoti kitą formulę. Išmatuokite visas trikampio kraštines liniuote. Po to apskaičiuokite trikampio „p“ pusperimetrą, pridėdami gautus kraštinių ilgius ir padalydami jų sumą per pusę. Turėdami pusperimetro vertę, galite naudoti Herono formulę. Norėdami tai padaryti, turite paimti kvadratinę šaknį iš šių: p(p-a)(p-b)(p-c).

Gavote reikiamą trikampio plotą. Trikampio tūrio nustatymo problema nebuvo išspręsta, tačiau, kaip minėta aukščiau, tūrio nėra. Galite rasti tūrį, kuris iš esmės yra trikampis trimačiame pasaulyje. Jei įsivaizduosime, kad mūsų pradinis trikampis tapo trimate piramide, tada tokios piramidės tūris bus jos pagrindo ilgio sandauga su gauto trikampio plotu.

pastaba

Kuo kruopščiau matuosite, tuo tikslesni jūsų skaičiavimai.

Šaltiniai:

• Skaičiuoklė „Viskas prie visko“ – pamatinių verčių portalas
• trikampio apimtis 2019 m

Trys taškai, vienareikšmiškai apibrėžiantys trikampį Dekarto koordinačių sistemoje, yra jo viršūnės. Žinodami jų padėtį kiekvienos koordinačių ašies atžvilgiu, galite apskaičiuoti bet kokius šios plokščios figūros parametrus, įskaitant tuos, kuriuos riboja jos perimetras. kvadratas. Tai galima padaryti keliais būdais.

Instrukcijos

Norėdami apskaičiuoti plotą, naudokite Herono formulę trikampis. Tai apima trijų figūros pusių matmenis, todėl skaičiavimus pradėkite nuo . Kiekvienos kraštinės ilgis turi būti lygus jos projekcijų į koordinačių ašis ilgių kvadratų sumos šaknei. Jei pažymime koordinates A(X1,Y1,Z₁), B(X2,Y2,Z2) ir C(X3,Y3,Z3), jų kraštinių ilgiai gali būti išreikšti taip: AB = √((X₁- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, įveskite pagalbinį kintamąjį - pusperimetrą (P). Iš to, kad tai yra pusė visų kraštinių ilgių sumos: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Trikampis yra visiems pažįstama figūra. Ir tai nepaisant gausios jo formų įvairovės. Stačiakampis, lygiakraštis, smailus, lygiašonis, bukas. Kiekvienas iš jų tam tikra prasme skiriasi. Bet kam reikia sužinoti trikampio plotą.

Formulės, bendros visiems trikampiams, kuriuose naudojami kraštinių arba aukščių ilgiai

Juose priimti pavadinimai: šonai - a, b, c; aukščiai atitinkamose pusėse ant a, n in, n su.

1. Trikampio plotas apskaičiuojamas kaip ½, kraštinės ir iš jos atimto aukščio sandauga. S = ½ * a * n a. Kitų dviejų pusių formulės turėtų būti parašytos panašiai.

2. Garnio formulė, kurioje atsiranda pusperimetras (dažniausiai ji žymima mažąja raide p, priešingai nei visas perimetras). Pusperimetras turi būti apskaičiuojamas taip: sudėkite visas kraštines ir padalinkite jas iš 2. Pusperimetro formulė yra: p = (a+b+c) / 2. Tada lygybė plotui ​​paveikslas atrodo taip: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jei nenorite naudoti pusperimetro, pravers formulė, kurioje yra tik kraštinių ilgiai: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Jis yra šiek tiek ilgesnis nei ankstesnis, bet tai padės, jei pamiršote, kaip rasti pusperimetrą.

Bendrosios formulės, apimančios trikampio kampus

Žymėjimai, reikalingi formulėms perskaityti: α, β, γ - kampai. Jie yra atitinkamai priešingose ​​pusėse a, b, c.

1. Pagal jį pusė dviejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos yra lygi trikampio plotui. Tai yra: S = ½ a * b * sin γ. Panašiu būdu turėtumėte užsirašyti kitų dviejų atvejų formules.

2. Trikampio plotą galima apskaičiuoti iš vienos kraštinės ir trijų žinomų kampų. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Taip pat yra formulė su viena žinoma kraštine ir dviem gretimais kampais. Tai atrodo taip: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Paskutinės dvi formulės nėra pačios paprasčiausios. Gana sunku juos prisiminti.

Bendrosios formulės situacijoms, kai žinomi įbrėžtųjų arba apibrėžtųjų apskritimų spinduliai

Papildomi žymėjimai: r, R – spinduliai. Pirmasis naudojamas įrašyto apskritimo spinduliui. Antrasis skirtas aprašytam.

1. Pirmoji formulė, pagal kurią apskaičiuojamas trikampio plotas, yra susijusi su pusperimetru. S = r * r. Kitas būdas jį parašyti yra: S = ½ r * (a + b + c).

2. Antruoju atveju reikės padauginti visas trikampio kraštines ir padalyti jas iš apibrėžto apskritimo spindulio keturis kartus. Pažodine išraiška tai atrodo taip: S = (a * b * c) / (4R).

3. Trečioji situacija leidžia apsieiti nežinant pusių, bet reikės visų trijų kampų verčių. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Ypatingas atvejis: stačiakampis trikampis

Tai pati paprasčiausia situacija, nes reikalingas tik abiejų kojų ilgis. Jie žymimi lotyniškomis raidėmis a ir b. Kvadratas taisyklingas trikampis lygus pusei prie jo pridėto stačiakampio ploto.

Matematiškai tai atrodo taip: S = ½ a * b. Tai lengviausia atsiminti. Kadangi tai atrodo kaip stačiakampio ploto formulė, pasirodo tik trupmena, nurodanti pusę.

Ypatingas atvejis: lygiašonis trikampis

Kadangi jis turi dvi lygias puses, kai kurios jo ploto formulės atrodo šiek tiek supaprastintos. Pavyzdžiui, Herono formulė, apskaičiuojanti lygiašonio trikampio plotą, yra tokia:

S = ½ colio √((a + ½ colio)*(a - ½ colio)).

Jei jį pakeisite, jis taps trumpesnis. Šiuo atveju lygiašonio trikampio Herono formulė parašyta taip:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Ploto formulė atrodo šiek tiek paprastesnė nei savavališko trikampio, jei žinomos kraštinės ir kampas tarp jų. S = ½ a 2 * sin β.

Ypatingas atvejis: lygiakraštis trikampis

Dažniausiai problemose yra žinoma pusė apie tai arba ją galima kaip nors išsiaiškinti. Tada tokio trikampio ploto nustatymo formulė yra tokia:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemos ieškant ploto, jei trikampis pavaizduotas ant languoto popieriaus

Paprasčiausia situacija, kai stačiakampis trikampis nubrėžiamas taip, kad jo kojos sutaptų su popieriaus linijomis. Tada jums tereikia suskaičiuoti ląstelių, kurios telpa į kojas, skaičių. Tada padauginkite juos ir padalinkite iš dviejų.

Kai trikampis yra smailus arba bukas, jį reikia nubrėžti į stačiakampį. Tada gautoje figūroje bus 3 trikampiai. Vienas yra tas, kuris pateiktas užduotyje. O kiti du yra pagalbiniai ir stačiakampiai. Paskutiniųjų dviejų sričių plotus reikia nustatyti aukščiau aprašytu metodu. Tada apskaičiuokite stačiakampio plotą ir iš jo atimkite pagalbiniams apskaičiuotus. Nustatomas trikampio plotas.

Situacija, kai nė viena iš trikampio kraštinių nesutampa su popieriaus linijomis, yra daug sudėtingesnė. Tada jį reikia įrašyti į stačiakampį, kad pradinės figūros viršūnės būtų jos šonuose. Šiuo atveju bus trys pagalbiniai stačiakampiai trikampiai.

Problemos pavyzdys naudojant Herono formulę

Būklė. Kai kurie trikampiai turi žinomų kraštinių. Jie lygūs 3, 5 ir 6 cm Reikia išsiaiškinti jo plotą.

Dabar galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami aukščiau pateiktą formulę. Po kvadratine šaknimi yra keturių skaičių sandauga: 7, 4, 2 ir 1. Tai yra, plotas yra √(4 * 14) = 2 √(14).

Jei nereikia didesnio tikslumo, galite paimti kvadratinę šaknį iš 14. Jis lygus 3,74. Tada plotas bus 7.48.

Atsakymas. S = 2 √14 cm 2 arba 7,48 cm 2.

Stačiakampio trikampio problemos pavyzdys

Būklė. Viena stačiojo trikampio kojelė yra 31 cm didesnė už antrąją. Turite sužinoti jų ilgį, jei trikampio plotas yra 180 cm 2.
Sprendimas. Turėsime išspręsti dviejų lygčių sistemą. Pirmasis yra susijęs su sritimi. Antrasis – su kojų santykiu, kuris nurodytas užduotyje.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pirma, „a“ reikšmė turi būti pakeista pirmoje lygtyje. Pasirodo: 180 = ½ (in + 31) * in. Jame yra tik vienas nežinomas kiekis, todėl jį lengva išspręsti. Atidarę skliaustus gauname kvadratinė lygtis: in 2 + 31 in - 360 = 0. Tai suteikia dvi "in" reikšmes: 9 ir - 40. Antrasis skaičius netinka kaip atsakymas, nes trikampio kraštinės ilgis negali būti neigiamas vertė.

Belieka suskaičiuoti antrąją koją: prie gauto skaičiaus pridėkite 31. Pasirodo, 40. Tai yra dydžiai, kurių ieškoma uždavinyje.

Atsakymas. Trikampio kojos yra 9 ir 40 cm.

Problema rasti kraštinę per trikampio plotą, kraštinę ir kampą

Būklė. Tam tikro trikampio plotas yra 60 cm 2. Būtina apskaičiuoti vieną iš jos kraštinių, jei antroji pusė yra 15 cm, o kampas tarp jų yra 30º.

Sprendimas. Pagrįstas priimtus užrašus, norima kraštinė „a“, žinoma pusė „b“, nurodytas kampas „γ“. Tada ploto formulę galima perrašyti taip:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Čia 30 laipsnių sinusas yra 0,5.

Po transformacijų „a“ yra lygus 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Tai yra 16.

Atsakymas. Reikalinga pusė 16 cm.

Uždavinys apie kvadratą, įrašytą į stačią trikampį

Būklė. Kvadrato, kurio kraštinė yra 24 cm, viršūnė sutampa su stačiu trikampio kampu. Kiti du guli ant šonų. Trečiasis priklauso hipotenuzei. Vienos kojelės ilgis 42 cm. Koks yra stačiojo trikampio plotas?

Sprendimas. Apsvarstykite du stačiuosius trikampius. Pirmasis yra tas, kuris nurodytas užduotyje. Antrasis yra pagrįstas žinoma pradinio trikampio kojele. Jie yra panašūs, nes turi bendrą kampą ir yra sudaryti iš lygiagrečių linijų.

Tada jų kojų santykiai yra vienodi. Mažesnio trikampio kojos yra lygios 24 cm (kvadrato kraštinė) ir 18 cm (duota 42 cm kojelė, atimkite kvadrato kraštinę 24 cm). Atitinkamos didelio trikampio kojelės yra 42 cm ir x cm. Būtent šis „x“ reikalingas norint apskaičiuoti trikampio plotą.

18/42 = 24/x, tai yra, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Tada plotas lygus sandaugai iš 56 ir 42, padalijus iš dviejų, tai yra, 1176 cm 2.

Atsakymas. Reikalingas plotas yra 1176 cm2.

Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Atskirame paveikslėlyje nurodyti ir atitikmenys raidžių pavadinimai formulėse ir grafiniuose simboliuose brėžinyje.

Pastaba . Jei trikampis turi ypatingos savybės(lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

• "Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formulės

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateikti užrašai atitinka aukščiau esantį paveikslą, todėl sprendžiant tikra problema Kalbant apie geometriją, vizualiai buvo lengviau jį pakeisti tinkamas vietas formulės yra teisingos reikšmės.

• Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
• Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nors atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal stačiakampio sinuso savybes yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
• Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
• 5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
• Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdavimas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
• Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
• Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
• Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
• 11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kuris čia nėra panašus, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į problemos klausimą, randame sritį duotas trikampis, tada raskite trikampio, kurio kraštinės yra keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Tie, kurie domisi, gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal Bendrosios taisyklės matematikos.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Trikampis yra vienas iš labiausiai paplitusių geometrines figūras, su kuriuo jau susipažinome pradinė mokykla. Kiekvienas mokinys geometrijos pamokose susiduria su klausimu, kaip rasti trikampio plotą. Taigi, kokias tam tikros figūros ploto radimo ypatybes galima nustatyti? Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindines formules, reikalingas tokiai užduočiai atlikti, taip pat išanalizuosime trikampių tipus.

Trikampių tipai

Galite visiškai rasti trikampio plotą Skirtingi keliai, nes geometrijoje yra daugiau nei vieno tipo figūros, turinčios tris kampus. Šie tipai apima:

• Bukas.
• Lygiakraščiai (teisinga).
• Taisyklingas trikampis.
• Lygiašonis.

Pažvelkime atidžiau į kiekvieną iš esamų trikampių tipų.

Ši geometrinė figūra laikoma labiausiai paplitusi sprendžiant geometrines problemas. Kai iškyla poreikis nubrėžti savavališką trikampį, ši parinktis ateina į pagalbą.

Smailiame trikampyje, kaip rodo pavadinimas, visi kampai yra smailūs ir sudaro 180°.

Šis trikampio tipas taip pat yra labai paplitęs, tačiau yra šiek tiek retesnis nei ūminis trikampis. Pavyzdžiui, sprendžiant trikampius (tai yra žinomos kelios jo kraštinės ir kampai ir reikia surasti likusius elementus), kartais reikia nustatyti, ar kampas bukas, ar ne. Kosinusas yra neigiamas skaičius.

B, vieno iš kampų vertė viršija 90°, todėl likę du kampai gali turėti mažas vertes (pavyzdžiui, 15° ar net 3°).

Norėdami rasti trikampio plotą šio tipo, reikia žinoti kai kuriuos niuansus, apie kuriuos kalbėsime toliau.

Taisyklingasis ir lygiašonis trikampis

Taisyklingas daugiakampis yra figūra, kurią sudaro n kampų ir kurios visos kraštinės ir kampai yra lygūs. Štai kas yra taisyklingas trikampis. Kadangi visų trikampio kampų suma yra 180°, tai kiekvienas iš trijų kampų yra 60°.

Taisyklingas trikampis dėl savo savybių dar vadinamas lygiakrašte figūra.

Taip pat verta paminėti, kad į taisyklingą trikampį galima įrašyti tik vieną apskritimą, o aplink jį – tik vieną apskritimą, o jų centrai yra tame pačiame taške.

Be lygiašonio tipo, galima išskirti ir lygiašonį trikampį, kuris nuo jo šiek tiek skiriasi. Tokiame trikampyje dvi kraštinės ir du kampai yra lygūs vienas kitam, o trečioji kraštinė (prie kurios gretimas vienodi kampai) yra pagrindas.

Paveikslėlyje parodytas lygiašonis trikampis DEF, kurio kampai D ir F yra lygūs, o DF yra pagrindas.

Taisyklingas trikampis

Statusis trikampis taip pavadintas, nes vienas iš jo kampų yra stačias, tai yra lygus 90°. Kiti du kampai sudaro 90°.

Didžiausia tokio trikampio kraštinė, esanti priešais 90° kampą, yra hipotenuzė, o likusios dvi kraštinės yra kojos. Šio tipo trikampiams taikoma Pitagoro teorema:

Kojų ilgių kvadratų suma lygi hipotenuzės ilgio kvadratui.

Paveikslėlyje parodytas stačiakampis trikampis BAC su hipotenuze AC ir kojomis AB ir BC.

Norėdami rasti trikampio plotą stačiu kampu, turite žinoti skaitines reikšmes jo kojos.

Pereikime prie formulių, kaip rasti nurodytos figūros plotą.

Pagrindinės ploto paieškos formulės

Geometrijoje yra dvi formulės, tinkamos rasti daugelio tipų trikampių plotus, būtent smailių, bukųjų, taisyklingųjų ir lygiašonių trikampių. Pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Iš šono ir aukščio

Ši formulė yra universali norint rasti figūros plotą, kurį svarstome. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti šono ilgį ir į jį nubrėžto aukščio ilgį. Pati formulė (pusė pagrindo ir aukščio sandaugos) yra tokia:

kur A yra nurodyto trikampio kraštinė, o H yra trikampio aukštis.

Pavyzdžiui, norint rasti sritį aštrus trikampis ACB, reikia padauginti jos pusę AB iš aukščio CD ir gautą reikšmę padalyti iš dviejų.

Tačiau tokiu būdu ne visada lengva rasti trikampio plotą. Pavyzdžiui, norint naudoti šią formulę buku trikampiui, reikia išplėsti vieną iš jo kraštinių ir tik tada nubrėžti aukštį.

Praktikoje ši formulė naudojama dažniau nei kitos.

Iš abiejų pusių ir kampe

Ši formulė, kaip ir ankstesnė, tinka daugumai trikampių ir savo prasme yra trikampio ploto ir aukščio nustatymo formulės pasekmė. Tai yra, aptariamą formulę galima lengvai išvesti iš ankstesnės. Jo formuluotė atrodo taip:

S = ½*sinO*A*B,

kur A ir B yra trikampio kraštinės, o O yra kampas tarp kraštinių A ir B.

Prisiminkime, kad kampo sinusą galima pamatyti specialioje lentelėje, pavadintoje iškilaus sovietinio matematiko V. M. Bradžio vardu.

Dabar pereikime prie kitų formulių, kurios tinka tik išskirtinio tipo trikampiams.

Stačiojo trikampio plotas

Be universalios formulės, kuri apima poreikį rasti trikampio aukštį, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotą galima rasti iš jo kojų.

Taigi, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotas yra pusė jo kojų sandaugos arba:

kur a ir b yra stačiojo trikampio kojos.

Taisyklingas trikampis

Šis tipas geometrinės figūros skiriasi tuo, kad jos plotą galima rasti su nurodyta tik vienos jos kraštinės reikšme (nes visos pusės taisyklingas trikampis yra lygūs). Taigi, kai susiduriate su užduotimi „rasti trikampio plotą, kai kraštinės yra lygios“, turite naudoti šią formulę:

S = A 2 *√3 / 4,

kur A lygiakraščio trikampio kraštinė.

Garnio formulė

Paskutinis trikampio ploto nustatymo variantas yra Herono formulė. Norint juo naudotis, reikia žinoti trijų figūros kraštinių ilgius. Herono formulė atrodo taip:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kur a, b ir c yra nurodyto trikampio kraštinės.

Kartais pateikiama užduotis: „Taisyklingo trikampio plotas yra rasti jo kraštinės ilgį“. Šiuo atveju, norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turime naudoti jau žinomą formulę ir iš jos išvesti kraštinės (arba jos kvadrato) reikšmę:

A 2 = 4S / √3.

Egzamino užduotys

Matematikos GIA uždaviniuose yra daug formulių. Be to, gana dažnai ant languoto popieriaus reikia rasti trikampio plotą.

Šiuo atveju patogiausia nubrėžti aukštį į vieną iš figūros kraštų, nustatyti jo ilgį iš langelių ir naudoti universali formulė Norėdami rasti sritį:

Taigi, išstudijavę straipsnyje pateiktas formules, neturėsite problemų ieškant bet kokio trikampio ploto.