Reizēm dzīvē gadās situācijas, kad, meklējot sen aizmirstas skolas zināšanas, nākas iedziļināties savā atmiņā. Piemēram, jums ir jānosaka trīsstūrveida zemes gabala platība vai ir pienācis laiks kārtējai renovācijai dzīvoklī vai privātmājā un jāaprēķina, cik daudz materiāla būs nepieciešams virsmai ar trīsstūra forma. Bija laiks, kad šādu problēmu varējāt atrisināt pāris minūtēs, bet tagad jūs izmisīgi mēģināt atcerēties, kā noteikt trīsstūra laukumu?
Neuztraucieties par to! Galu galā, tas ir gluži normāli, ja cilvēka smadzenes nolemj sen neizmantotās zināšanas kaut kur pārcelt uz attālu nostūri, no kuras dažreiz nav tik viegli tās iegūt. Lai jums nebūtu jācīnās ar aizmirstu skolas zināšanu meklēšanu, lai atrisinātu šādu problēmu, šis raksts satur dažādas metodes, kas ļauj viegli atrast vajadzīgo trīsstūra laukumu.
Ir labi zināms, ka trīsstūris ir daudzstūra veids, kas ir ierobežots līdz minimālajam iespējamajam malu skaitam. Principā jebkuru daudzstūri var sadalīt vairākos trīsstūros, savienojot tā virsotnes ar segmentiem, kas nekrustojas tā malas. Tāpēc, zinot trīsstūri, jūs varat aprēķināt gandrīz jebkuras figūras laukumu.
Starp visiem iespējamie trīsstūri kas sastopami dzīvē, var izdalīt šādus konkrētus veidus: un taisnstūrveida.
Vienkāršākais veids, kā aprēķināt trīsstūra laukumu, ir tad, ja viens no tā leņķiem ir taisns, tas ir, taisnleņķa trijstūra gadījumā. Ir viegli redzēt, ka tas ir puse taisnstūra. Tāpēc tā laukums ir vienāds ar pusi no to malu reizinājuma, kas veido taisnu leņķi viena ar otru.
Ja zinām trijstūra augstumu, kas nolaista no vienas tā virsotnēm uz pretējo malu, un šīs malas garumu, ko sauc par pamatu, tad laukumu aprēķina kā pusi no augstuma un pamatnes reizinājuma. Tas tiek uzrakstīts, izmantojot šādu formulu:
S = 1/2*b*h, kurā
S ir nepieciešamais trīsstūra laukums;
b, h - attiecīgi trijstūra augstums un pamatne.
Tik viegli aprēķināt platību vienādsānu trīsstūris, jo augstums sadalīsies uz pusēm pretējā pusē un to var viegli izmērīt. Ja laukums ir noteikts, tad par augstumu ir ērti ņemt vienas taisnu leņķi veidojošo malu garumu.
Tas viss, protams, ir labi, bet kā noteikt, vai viens no trijstūra leņķiem ir taisns vai nē? Ja mūsu figūras izmērs ir mazs, tad varam izmantot konstrukcijas leņķi, zīmēšanas trīsstūri, pastkarti vai citu taisnstūra formas priekšmetu.
Bet ko darīt, ja mums ir trīsstūris zemes gabals? Tādā gadījumā rīkojieties šādi: vienā pusē no iespējamā taisnā leņķa augšas saskaitiet attāluma reizinājumu ar 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), un no otras puses izmēriet attālumu, kas reizināts ar 4. proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Tagad jums ir jāizmēra attālums starp galapunktiemšie divi segmenti. Ja rezultāts ir reizināts ar 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tad mēs varam teikt, ka leņķis ir pareizs.
Ja ir zināms katras no trīs mūsu figūras malu garums, tad trīsstūra laukumu var noteikt, izmantojot Herona formulu. Lai tam būtu vienkāršāka forma, tiek izmantota jauna vērtība, ko sauc par pusperimetru. Šī ir visu mūsu trīsstūra malu summa, kas sadalīta uz pusēm. Pēc pusperimetra aprēķināšanas varat sākt noteikt laukumu, izmantojot formulu:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur
sqrt - Kvadrātsakne;
p - pusperimetra vērtība (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - trijstūra malas (malas).
Bet ko darīt, ja trīsstūrim ir neregulāra forma? Šeit ir divi iespējamie veidi. Pirmais ir mēģināt sadalīt šādu figūru divās daļās taisnleņķa trīsstūris, kuras platību summu aprēķina atsevišķi un pēc tam saskaita. Vai arī, ja ir zināms leņķis starp divām malām un šo malu lielums, izmantojiet formulu:
S = 0,5 * ab * sinC, kur
a,b - trijstūra malas;
c ir leņķa lielums starp šīm malām.
Pēdējais gadījums praksē ir reti sastopams, taču, neskatoties uz to, dzīvē viss ir iespējams, tāpēc iepriekš minētā formula nebūs lieka. Veiksmi aprēķinos!
Trijstūris ir viena no visizplatītākajām ģeometriskajām formām, ar kuru mēs jau iepazināmies pamatskola. Katrs skolēns ģeometrijas stundās saskaras ar jautājumu, kā atrast trīsstūra laukumu. Tātad, kādas ir dotās figūras laukuma atrašanas iezīmes? Šajā rakstā mēs apskatīsim pamata formulas, kas nepieciešamas šāda uzdevuma veikšanai, kā arī analizēsim trīsstūru veidus.
Trīsstūru veidi
Jūs varat pilnībā atrast trīsstūra laukumu Dažādi ceļi, jo ģeometrijā ir vairāk nekā viena veida figūras, kas satur trīs leņķus. Šie veidi ietver:
- Stulbs.
- Vienādmalu (pareizi).
- Taisns trīsstūris.
- Vienādsānu.
Apskatīsim tuvāk katru no esošajiem trijstūra veidiem.
Šī ģeometriskā figūra tiek uzskatīta par visizplatītāko, risinot ģeometriskās problēmas. Kad rodas nepieciešamība uzzīmēt patvaļīgu trīsstūri, šī iespēja nāk palīgā.
Akūtā trijstūrī, kā norāda nosaukums, visi leņķi ir asi un kopā veido 180°.
Šāda veida trīsstūris ir arī ļoti izplatīts, taču tas ir nedaudz retāk nekā akūts trīsstūris. Piemēram, risinot trijstūrus (tas ir, ir zināmas vairākas tā malas un leņķi un jāatrod atlikušie elementi), dažreiz ir jānosaka, vai leņķis ir neass vai nē. Kosinuss ir negatīvs skaitlis.
B, viena leņķa vērtība pārsniedz 90°, tāpēc pārējiem diviem leņķiem var būt nelielas vērtības (piemēram, 15° vai pat 3°).
Lai atrastu trīsstūra laukumu šāda veida, jums jāzina dažas nianses, par kurām mēs runāsim tālāk.
Regulāri un vienādsānu trīsstūri
Regulārs daudzstūris ir figūra, kas ietver n leņķus un kuras malas un leņķi ir vienādi. Lūk, kāds ir regulārs trīsstūris. Tā kā trijstūra visu leņķu summa ir 180°, tad katrs no trim leņķiem ir 60°.
Regulāru trīsstūri tā īpašības dēļ sauc arī par vienādmalu figūru.
Ir arī vērts atzīmēt, ka regulārā trīsstūrī var ierakstīt tikai vienu apli, un ap to var aprakstīt tikai vienu apli, un to centri atrodas vienā punktā.
Papildus vienādmalu tipam var atšķirt arī vienādsānu trīsstūri, kas nedaudz atšķiras no tā. Šādā trīsstūrī divas malas un divi leņķi ir vienādi viens ar otru, bet trešā mala (kurai blakus atrodas vienādi leņķi) ir bāze.
Attēlā parādīts vienādsānu trīsstūris DEF, kura leņķi D un F ir vienādi un DF ir bāze.
Taisns trīsstūris
Taisnstūris ir nosaukts tā, jo viens no tā leņķiem ir taisns, tas ir, vienāds ar 90°. Pārējie divi leņķi kopā veido 90°.
Šāda trīsstūra lielākā mala, kas atrodas pretī 90° leņķim, ir hipotenūza, bet pārējās divas malas ir kājas. Šāda veida trijstūrim tiek piemērota Pitagora teorēma:
Kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas garuma kvadrātu.
Attēlā parādīts taisnleņķa trīsstūris BAC ar hipotenūzu AC un kājiņām AB un BC.
Lai atrastu trijstūra laukumu ar taisnu leņķi, jums tas jāzina skaitliskās vērtības tās kājas.
Pāriesim pie formulām dotās figūras laukuma atrašanai.
Pamatformulas apgabala atrašanai
Ģeometrijā ir divas formulas, kas ir piemērotas vairuma veidu trijstūra laukuma noteikšanai, proti, akūtiem, neasiem, regulāriem un vienādsānu trijstūriem. Apskatīsim katru no tiem.
Pēc sāniem un augstuma
Šī formula ir universāla, lai atrastu aplūkojamās figūras laukumu. Lai to izdarītu, pietiek zināt sānu garumu un tai pievilktā augstuma garumu. Pati formula (puse no pamatnes un augstuma reizinājuma) ir šāda:
kur A ir dotā trijstūra mala, un H ir trijstūra augstums.
Piemēram, lai atrastu apgabalu akūts trīsstūris ACB, jums jāreizina tā puse AB ar augstumu CD un iegūtā vērtība jādala ar divi.
Tomēr šādā veidā ne vienmēr ir viegli atrast trīsstūra laukumu. Piemēram, lai izmantotu šo formulu strupam trijstūrim, jāpaplašina viena no tā malām un tikai pēc tam jānovelk augstums virs jūras līmeņa.
Praksē šī formula tiek izmantota biežāk nekā citas.
Abās pusēs un stūrī
Šī formula, tāpat kā iepriekšējā, ir piemērota lielākajai daļai trijstūri un savā nozīmē ir formulas, kas ļauj atrast trijstūra laukumu un augstumu, sekas. Tas ir, attiecīgo formulu var viegli iegūt no iepriekšējās. Tās formulējums izskatās šādi:
S = ½*sinO*A*B,
kur A un B ir trijstūra malas, un O ir leņķis starp malām A un B.
Atgādināsim, ka leņķa sinusu var aplūkot īpašā tabulā, kas nosaukta izcilā padomju matemātiķa V. M. Bradisa vārdā.
Tagad pāriesim pie citām formulām, kas ir piemērotas tikai izņēmuma veida trijstūriem.
Taisnstūra trīsstūra laukums
Papildus universālajai formulai, kas ietver nepieciešamību atrast augstumu trijstūrī, no tā kājām var atrast trijstūra laukumu, kurā ir taisns leņķis.
Tādējādi trijstūra laukums, kurā ir taisns leņķis, ir puse no tā kāju reizinājuma vai:
kur a un b ir taisnleņķa trijstūra kājas.
Regulārs trīsstūris
Šis tipsģeometriskās figūras atšķiras ar to, ka tās laukumu var atrast ar norādīto vērtību tikai vienai tās malai (jo visas malas regulārs trīsstūris ir vienādi). Tātad, saskaroties ar uzdevumu “atrast trijstūra laukumu, kad malas ir vienādas”, jums ir jāizmanto šāda formula:
S = A 2 *√3/4,
kur A ir vienādmalu trijstūra mala.
Gārņa formula
Pēdējā iespēja trijstūra laukuma atrašanai ir Herona formula. Lai to izmantotu, jums jāzina figūras trīs malu garumi. Herona formula izskatās šādi:
S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),
kur a, b un c ir dotā trijstūra malas.
Dažreiz tiek dota problēma: "regulāra trīsstūra laukums ir atrast tā malas garumu." IN šajā gadījumā mums ir jāizmanto formula, ko mēs jau zinām, lai atrastu regulāra trijstūra laukumu un no tā atvasinātu malas (vai tās kvadrāta) vērtību:
A 2 = 4S / √3.
Eksāmenu uzdevumi
Matemātikā GIA uzdevumos ir daudz formulu. Turklāt diezgan bieži uz rūtainā papīra ir jāatrod trīsstūra laukums.
Šajā gadījumā visērtāk ir novilkt augstumu vienā no figūras malām, noteikt tā garumu no šūnām un izmantot universāla formula lai atrastu apgabalu:
Tātad, izpētot rakstā sniegtās formulas, jums nebūs problēmu atrast jebkāda veida trīsstūra laukumu.
Apgabala jēdziens
Jebkuras ģeometriskas figūras, jo īpaši trīsstūra, laukuma jēdziens tiks saistīts ar tādu figūru kā kvadrāts. Jebkuras ģeometriskas figūras laukuma vienībai mēs ņemsim kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar vienu. Pilnības labad atcerēsimies divas ģeometrisko figūru laukumu jēdziena pamatīpašības.
1. īpašums: Ja ģeometriskas figūras ir vienādi, tad arī to platības ir vienādas.
2. īpašums: Jebkuru figūru var iedalīt vairākās figūrās. Turklāt sākotnējās figūras laukums ir vienāds ar visu to veidojošo figūru laukumu summu.
Apskatīsim piemēru.
1. piemērs
Acīmredzot viena no trijstūra malām ir taisnstūra diagonāle, kuras vienas malas garums ir $5$ (jo ir $5$ šūnas), bet otra ir $6$ (jo ir $6$ šūnas). Tāpēc šī trīsstūra laukums būs vienāds ar pusi no šāda taisnstūra. Taisnstūra laukums ir
Tad trīsstūra laukums ir vienāds ar
Atbilde: 15 ASV dolāri.
Tālāk mēs apsvērsim vairākas metodes trijstūra laukumu atrašanai, proti, izmantojot augstumu un pamatni, izmantojot Herona formulu un vienādmalu trīsstūra laukumu.
Kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot tā augstumu un pamatni
1. teorēma
Trijstūra laukumu var atrast kā pusi no malas garuma un šīs malas augstuma reizinājuma.
Matemātiski tas izskatās šādi
$S=\frac(1)(2)αh$
kur $a$ ir malas garums, $h$ ir tai pievilktais augstums.
Pierādījums.
Apsveriet trīsstūri $ABC$, kurā $AC=α$. Uz šo pusi tiek novilkts augstums $BH$, kas ir vienāds ar $h$. Izveidosim to līdz kvadrātam $AXYC$, kā parādīts 2. attēlā.
Taisnstūra $AXBH$ laukums ir $h\cdot AH$, bet taisnstūra $HBYC$ laukums ir $h\cdot HC$. Tad
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Tāpēc nepieciešamais trijstūra laukums pēc īpašības 2 ir vienāds ar
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorēma ir pierādīta.
2. piemērs
Atrodiet trijstūra laukumu zemāk esošajā attēlā, ja šūnas laukums ir vienāds ar vienu
Šī trijstūra pamatne ir vienāda ar $9$ (jo $9$ ir $9$ kvadrāti). Augstums arī ir 9 USD. Tad ar 1. teorēmu mēs iegūstam
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Atbilde: $ 40,5 $.
Gārņa formula
2. teorēma
Ja mums ir dotas trīs trijstūra malas $α$, $β$ un $γ$, tad tā laukumu var atrast šādi
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
šeit $ρ$ nozīmē šī trijstūra pusperimetru.
Pierādījums.
Apsveriet šādu attēlu:
Ar Pitagora teorēmu iegūstam no trijstūra $ABH$
No trijstūra $CBH$ saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
No šīm divām attiecībām mēs iegūstam vienlīdzību
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Tā kā $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tad $α+β+γ=2ρ$, kas nozīmē
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Ar 1. teorēmu mēs iegūstam
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Trijstūris ir visiem pazīstama figūra. Un tas neskatoties uz bagātīgo formu dažādību. Taisnstūrveida, vienādmalu, akūts, vienādsānu, strups. Katrs no tiem savā ziņā ir atšķirīgs. Bet jebkuram tas ir nepieciešams uzzināt trīsstūra laukumu.
Formulas, kas kopīgas visiem trijstūriem, kas izmanto malu vai augstumu garumus
Tajos pieņemtie apzīmējumi: malas - a, b, c; augstumi attiecīgajās malās uz a, n in, n ar.
1. Trijstūra laukumu aprēķina kā ½, malas un no tās atņemtā augstuma reizinājumu. S = ½ * a * n a. Formulas pārējām divām pusēm jāraksta līdzīgi.
2. Herona formula, kurā parādās pusperimetrs (to parasti apzīmē ar mazo burtu p, atšķirībā no pilna perimetra). Pusperimetrs jāaprēķina šādi: saskaitiet visas malas un sadaliet tās ar 2. Pusperimetra formula ir: p = (a+b+c) / 2. Tad vienādība laukumam attēls izskatās šādi: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Ja nevēlaties izmantot pusperimetru, tad noderēs formula, kas satur tikai malu garumus: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Tas ir nedaudz garāks par iepriekšējo, taču tas palīdzēs, ja esat aizmirsis, kā atrast pusperimetru.
Vispārīgas formulas, kas ietver trīsstūra leņķus
Formulu nolasīšanai nepieciešamie apzīmējumi: α, β, γ - leņķi. Tie atrodas attiecīgi pretējās pusēs a, b, c.
1. Saskaņā ar to puse no divu malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām ir vienāda ar trīsstūra laukumu. Tas ir: S = ½ a * b * sin γ. Līdzīgā veidā jums vajadzētu pierakstīt formulas pārējiem diviem gadījumiem.
2. Trijstūra laukumu var aprēķināt no vienas malas un trim zināmiem leņķiem. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Ir arī formula ar vienu zināmu malu un diviem blakus leņķiem. Tas izskatās šādi: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Pēdējās divas formulas nav no vienkāršākajām. Ir diezgan grūti tos atcerēties.
Vispārīgas formulas situācijām, kad ir zināmi ierakstīto vai ierobežoto apļu rādiusi
Papildu apzīmējumi: r, R - rādiusi. Pirmais tiek izmantots ierakstītā apļa rādiusam. Otrais ir paredzēts aprakstītajam.
1. Pirmā formula, pēc kuras aprēķina trijstūra laukumu, ir saistīta ar pusperimetru. S = r * r. Vēl viens veids, kā to rakstīt, ir: S = ½ r * (a + b + c).
2. Otrajā gadījumā jums vajadzēs reizināt visas trijstūra malas un sadalīt tās ar četrkārtīgu ierobežotā apļa rādiusu. Burtiskā izteiksmē tas izskatās šādi: S = (a * b * c) / (4R).
3. Trešā situācija ļauj iztikt, nezinot malas, bet jums būs nepieciešamas visu trīs leņķu vērtības. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Īpašs gadījums: taisnleņķa trīsstūris
Šī ir vienkāršākā situācija, jo ir nepieciešams tikai abu kāju garums. Tie ir norādīti ar latīņu burtiem a un c. Taisnstūra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no tam pievienotā taisnstūra laukuma.
Matemātiski tas izskatās šādi: S = ½ a * b. To ir visvieglāk atcerēties. Tā kā tas izskatās pēc taisnstūra laukuma formulas, parādās tikai daļa, kas norāda uz pusi.
Īpašs gadījums: vienādsānu trīsstūris
Tā kā tai ir divas vienādas malas, dažas tā apgabala formulas izskatās nedaudz vienkāršotas. Piemēram, Herona formulai, kas aprēķina vienādsānu trīsstūra laukumu, ir šāda forma:
S = ½ collas √((a + ½ collas)*(a - ½ collas)).
Ja jūs to pārveidosit, tas kļūs īsāks. Šajā gadījumā Herona formula vienādsānu trīsstūrim ir uzrakstīta šādi:
S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).
Laukuma formula izskatās nedaudz vienkāršāka nekā patvaļīgam trīsstūrim, ja ir zināmas malas un leņķis starp tām. S = ½ a 2 * sin β.
Īpašs gadījums: vienādmalu trīsstūris
Parasti problēmās puse par to ir zināma vai arī to var kaut kā noskaidrot. Tad formula šāda trīsstūra laukuma atrašanai ir šāda:
S = (a 2 √3) / 4.
Problēmas atrast laukumu, ja trijstūris ir attēlots uz rūtainā papīra
Vienkāršākā situācija ir tad, kad taisnleņķa trijstūri uzzīmē tā, lai tā kājas sakrīt ar papīra līnijām. Tad jums vienkārši jāsaskaita šūnu skaits, kas iekļaujas kājās. Pēc tam reiziniet tos un sadaliet ar diviem.
Ja trīsstūris ir akūts vai strups, tas jāvelk līdz taisnstūrim. Tad iegūtajā figūrā būs 3 trīsstūri. Viens ir tas, kas norādīts uzdevumā. Un pārējās divas ir palīgierīces un taisnstūrveida. Pēdējo divu apgabali jānosaka, izmantojot iepriekš aprakstīto metodi. Pēc tam aprēķiniet taisnstūra laukumu un atņemiet no tā tos, kas aprēķināti palīgierīcēm. Tiek noteikts trīsstūra laukums.
Situācija, kurā neviena no trijstūra malām nesakrīt ar papīra līnijām, izrādās daudz sarežģītāka. Pēc tam tas jāieraksta taisnstūrī, lai sākotnējās figūras virsotnes atrodas tā sānos. Šajā gadījumā būs trīs papildu taisnleņķa trīsstūri.
Problēmas piemērs, izmantojot Herona formulu
Stāvoklis. Dažam trīsstūrim ir zināmas malas. Tie ir vienādi ar 3, 5 un 6 cm.Jums jānoskaidro tā platība.
Tagad jūs varat aprēķināt trīsstūra laukumu, izmantojot iepriekš minēto formulu. Zem kvadrātsaknes ir četru skaitļu reizinājums: 7, 4, 2 un 1. Tas ir, laukums ir √(4 * 14) = 2 √(14).
Ja lielāka precizitāte nav nepieciešama, varat iegūt Kvadrātsakne no 14. Tas ir vienāds ar 3,74. Tad laukums būs 7.48.
Atbilde. S = 2 √14 cm 2 vai 7,48 cm2.
Problēmas piemērs ar taisnleņķa trīsstūri
Stāvoklis. Taisnleņķa trijstūra viena kāja ir par 31 cm lielāka nekā otrā. Jānoskaidro to garums, ja trijstūra laukums ir 180 cm 2.
Risinājums. Mums būs jāatrisina divu vienādojumu sistēma. Pirmais ir saistīts ar apgabalu. Otrais ir ar kāju attiecību, kas norādīta problēmā.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Pirmkārt, "a" vērtība ir jāaizvieto pirmajā vienādojumā. Izrādās: 180 = ½ (in + 31) * collas. Tam ir tikai viens nezināms daudzums, tāpēc to ir viegli atrisināt. Pēc iekavās atvēršanas mēs iegūstam kvadrātvienādojums: in 2 + 31 in - 360 = 0. Tas dod divas vērtības "in": 9 un - 40. Otrais skaitlis nav piemērots kā atbilde, jo trijstūra malas garums nevar būt negatīvs vērtību.
Atliek aprēķināt otro posmu: iegūtajam skaitlim pievieno 31. Izrādās 40. Tie ir uzdevumā meklētie daudzumi.
Atbilde. Trijstūra kājas ir 9 un 40 cm.
Problēma, kā atrast malu caur trijstūra laukumu, malu un leņķi
Stāvoklis. Noteikta trīsstūra laukums ir 60 cm2. Ir jāaprēķina viena no tās malām, ja otrā mala ir 15 cm un leņķis starp tām ir 30º.
Risinājums. Pamatojoties pieņemti apzīmējumi, vēlamā mala “a”, zināmā puse “b”, dotais leņķis “γ”. Tad laukuma formulu var pārrakstīt šādi:
60 = ½ a * 15 * sin 30º. Šeit 30 grādu sinuss ir 0,5.
Pēc transformācijām “a” izrādās vienāds ar 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Tas ir 16.
Atbilde. Nepieciešamā mala ir 16 cm.
Uzdevums par kvadrātu, kas ierakstīts taisnleņķa trijstūrī
Stāvoklis. Kvadrāta virsotne ar malu 24 cm sakrīt ar trijstūra taisno leņķi. Pārējie divi atrodas uz sāniem. Trešais pieder pie hipotenūzas. Vienas kājas garums ir 42 cm. Kāds ir taisnleņķa trīsstūra laukums?
Risinājums. Apsveriet divus taisnleņķa trīsstūrus. Pirmais ir uzdevumā norādītais. Otrais ir balstīts uz zināmo sākotnējā trīsstūra kāju. Tie ir līdzīgi, jo tiem ir kopīgs leņķis un tos veido paralēlas līnijas.
Tad viņu kāju attiecības ir vienādas. Mazākā trijstūra kājas ir vienādas ar 24 cm (kvadrāta mala) un 18 cm (no 42 cm kājiņas atņemiet kvadrāta malu 24 cm). Lielā trīsstūra atbilstošās kājas ir 42 cm un x cm. Tieši šis “x” ir nepieciešams, lai aprēķinātu trīsstūra laukumu.
18/42 = 24/x, tas ir, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).
Tad laukums ir vienāds ar reizinājumu ar 56 un 42, dalītu ar divi, tas ir, 1176 cm 2.
Atbilde. Nepieciešamā platība ir 1176 cm2.
Notiek ielāde...