I en av de tidligere artiklene har vi allerede nevnt kraften til et tall. I dag vil vi prøve å navigere i prosessen med å finne betydningen. Vitenskapelig sett vil vi finne ut hvordan vi kan heve til en makt på riktig måte. Vi vil finne ut hvordan denne prosessen utføres, og samtidig vil vi berøre alle mulige eksponenter: naturlig, irrasjonell, rasjonell, heltall.
Så la oss se nærmere på løsningene på eksemplene og finne ut hva det betyr:
- Definisjon av konseptet.
- Oppdra til negativ kunst.
- En hel indikator.
- Å heve et tall til en irrasjonell makt.
Her er en definisjon som nøyaktig gjenspeiler betydningen: "Eksponentiering er definisjonen av verdien av en potens av et tall."
Følgelig øker tallet a i art. r og prosessen med å finne verdien av graden a med eksponenten r er identiske begreper. For eksempel, hvis oppgaven er å beregne verdien av potensen (0,6)6″, kan den forenkles til uttrykket "Høy tallet 0,6 til potensen 6."
Etter dette kan du gå direkte til byggereglene.
Heve til en negativ makt
For klarhetens skyld bør du ta hensyn til følgende kjede av uttrykk:
110=0,1=1* 10 minus 1 ss.,
1100=0,01=1*10 i minus 2 grader,
11000=0,0001=1*10 i minus 3 st.,
110000=0,00001=1*10 til minus 4 grader.
Takket være disse eksemplene kan du tydelig se muligheten til å umiddelbart beregne 10 til en hvilken som helst minusstyrke. For dette formålet er det nok å bare flytte desimalkomponenten:
- 10 til -1 grad - før en er det 1 null;
- i -3 - tre nuller før en;
- i -9 er det 9 nuller og så videre.
Det er også lett å forstå ut fra dette diagrammet hvor mye 10 minus 5 ss vil være. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Hvordan heve et tall til en naturlig kraft
Når vi husker definisjonen, tar vi hensyn til det naturlig tall a i Art. n er lik produktet av n faktorer, som hver er lik a. La oss illustrere: (a*a*...a)n, hvor n er antall tall som multipliseres. Følgelig, for å heve a til n, er det nødvendig å beregne produktet av følgende form: a*a*...a delt på n ganger.
Av dette blir det åpenbart at heve til naturlig st. er avhengig av evnen til å utføre multiplikasjon(dette materialet er dekket i avsnittet om å multiplisere reelle tall). La oss se på problemet:
Hev -2 til 4. m.
Vi har å gjøre med en naturlig indikator. Følgelig vil forløpet av vedtaket være som følger: (-2) i art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nå gjenstår det bare å multiplisere heltallene: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Vi får 16.
Svar på problemet:
(-2) i art. 4=16.
Eksempel:
Regn ut verdien: tre komma to syvendedeler i annen.
Dette eksemplet er lik følgende produkt: tre komma to syvendedeler multiplisert med tre komma to syvendedeler. Når vi husker hvordan blandede tall multipliseres, fullfører vi konstruksjonen:
- 3 poeng 2 syvendedeler multiplisert med seg selv;
- tilsvarer 23 syvendedeler multiplisert med 23 syvendedeler;
- tilsvarer 529 førti-niende deler;
- vi reduserer og vi får 10 trettini førti-niendedeler.
Svar: 10 39/49
Når det gjelder spørsmålet om å heve til en irrasjonell eksponent, bør det bemerkes at beregninger begynner å bli utført etter fullføringen av den foreløpige avrundingen av grunnlaget for graden til et hvilket som helst siffer som gjør det mulig å oppnå verdien med en gitt nøyaktighet. For eksempel må vi kvadrere tallet P (pi).
Vi starter med å runde P til hundredeler og får:
P kvadrat = (3,14)2=9,8596. Men hvis vi reduserer P til ti tusendeler, får vi P = 3,14159. Da gir kvadratur et helt annet tall: 9,8695877281.
Det skal bemerkes her at i mange problemer er det ikke nødvendig å heve irrasjonelle tall til potenser. Som regel legges svaret inn enten i form av den faktiske graden, for eksempel roten av 6 i kraften 3, eller hvis uttrykket tillater det, utføres transformasjonen: roten av 5 til 7 grader = 125 rot av 5.
Hvordan heve et tall til en heltallspotens
Denne algebraiske manipulasjonen er passende ta hensyn til følgende tilfeller:
- for heltall;
- for en nullindikator;
- for en positiv heltallseksponent.
Siden nesten alle positive heltall faller sammen med massen av naturlige tall, er innstilling til en positiv heltalls potens den samme prosessen som innstilling i Art. naturlig. Vi beskrev denne prosessen i forrige avsnitt.
La oss nå snakke om å beregne st. null. Vi har allerede funnet ut ovenfor at nullpotensen til tallet a kan bestemmes for enhver ikke-null a (reell), mens a i Art. 0 vil være lik 1.
Følgelig, heve ethvert reelt tall til null st. vil gi en.
For eksempel, 10 i st. 0=1, (-3,65)0=1 og 0 i st. 0 kan ikke bestemmes.
For å fullføre heving til en heltalls potens, gjenstår det å bestemme alternativene for negative heltallsverdier. Vi husker at Art. fra a med en heltallseksponent -z vil bli definert som en brøk. Nevneren til brøken er st. med en positiv heltallsverdi, verdien som vi allerede har lært å finne. Nå gjenstår det bare å vurdere et eksempel på konstruksjon.
Eksempel:
Beregn verdien av tallet 2 i terninger med en negativ heltallseksponent.
Løsningsprosess:
I henhold til definisjonen av en grad med negativ eksponent, betegner vi: to minus 3 grader. er lik en til to til tredje potens.
Nevneren beregnes enkelt: to terninger;
3 = 2*2*2=8.
Svar: to til minus 3. art. = en åttendedel.
Å heve til en negativ makt er et av de grunnleggende elementene i matematikk og støtes ofte på når man løser algebraiske problemer. Nedenfor er detaljerte instruksjoner.
Hvordan heve til en negativ makt - teori
Når vi hever et tall til en vanlig potens, multipliserer vi verdien flere ganger. For eksempel, 3 3 = 3×3×3 = 27. Med en negativ brøk er det motsatte sant. Formelens generelle form vil være neste visning: a -n = 1/a n . For å heve et tall til en negativ potens, må du dele en på det gitte tallet, men til en positiv potens.
Hvordan heve til en negativ potens - eksempler på vanlige tall
Med regelen ovenfor i tankene, la oss løse noen få eksempler.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Svar: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Svar -4 -2 = 1/16.
Men hvorfor er svarene i det første og andre eksemplet like? Faktum er at når man bygger negativt tall til en jevn styrke (2, 4, 6 osv.), blir tegnet positivt. Hvis graden var jevn, ville minus forbli:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Hvordan heve til en negativ potens - tall fra 0 til 1
Husk at når et tall mellom 0 og 1 heves til en positiv potens, synker verdien når potensen øker. Så for eksempel, 0,5 2 = 0,25. 0,25
Eksempel 3: Regn ut 0,5 -2
Løsning: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Svar: 0,5 -2 = 4
Analyse (handlingssekvens):
- Konverter desimalbrøken 0,5 til brøkdelen 1/2. Det er lettere på den måten.
Øk 1/2 til en negativ styrke. 1/(2) -2. Del 1 med 1/(2) 2, vi får 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Eksempel 4: Regn ut 0,5 -3
Løsning: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Eksempel 5: Regn ut -0,5 -3
Løsning: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Svar: -0,5 -3 = -8
Basert på det fjerde og femte eksemplet kan vi trekke flere konklusjoner:
- For et positivt tall i området fra 0 til 1 (eksempel 4), hevet til negativ potens, om potensen er partall eller oddetall er ikke viktig, vil verdien av uttrykket være positiv. Dessuten, jo større grad, jo større verdi.
- For et negativt tall i området fra 0 til 1 (eksempel 5), hevet til negativ potens, om potensen er partall eller oddetall er ikke viktig, vil verdien av uttrykket være negativ. I dette tilfellet, jo høyere grad, jo lavere verdi.
Hvordan heve til en negativ potens - en potens i form av et brøktall
Uttrykkene av denne typen ha følgende form: a -m/n, der a er et vanlig tall, m er telleren for graden, n er nevneren for graden.
La oss se på et eksempel:
Regn ut: 8 -1/3
Løsning (handlingssekvens):
- La oss huske regelen for å heve et tall til en negativ potens. Vi får: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Legg merke til at nevneren har tallet 8 i en brøkpotens. Den generelle formen for å beregne en brøkpotens er som følger: a m/n = n √8 m.
- Dermed er 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Vi får terningroten av åtte, som er lik 2. Herfra er 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Svar: 8 -1/3 = 2
Fra skolen kjenner vi alle regelen om eksponentiering: ethvert tall med eksponent N er lik resultatet av multiplikasjon gitt nummer på deg selv N antall ganger. Med andre ord, 7 i potensen 3 er 7 multiplisert med seg selv tre ganger, det vil si 343. En annen regel er at å heve en hvilken som helst mengde til 0, gir en, og å heve en negativ mengde er resultatet av vanlig heving til styrken hvis den er partall, og samme resultat med et minustegn hvis den er oddetall.
Reglene gir også svaret på hvordan man hever et tall til en negativ potens. For å gjøre dette må du øke den nødvendige verdien med modulen til indikatoren på vanlig måte, og deretter dele enheten med resultatet.
Av disse reglene blir det klart at gjennomføringen reelle problemer håndtering av store mengder vil kreve tilgjengelighet tekniske midler. Manuelt kan du multiplisere med deg selv en maksimal rekkevidde av tall opp til tjue til tretti, og deretter ikke mer enn tre eller fire ganger. Dette er ikke å nevne å dele en på resultatet. Derfor, for de som ikke har en spesiell ingeniørkalkulator for hånden, vil vi fortelle deg hvordan du øker et tall til en negativ potens i Excel.
Løse problemer i Excel
For å løse problemer som involverer eksponentiering, lar Excel deg bruke ett av to alternativer.
Den første er bruken av en formel med et standard "lokk"-tegn. Skriv inn følgende data i regnearkcellene:
På samme måte kan du heve ønsket verdi til hvilken som helst potens - negativ, brøkdel. La oss gjøre det følgende handlinger og svar på spørsmålet om hvordan du hever et tall til en negativ potens. Eksempel:
Du kan korrigere =B2^-C2 direkte i formelen.
Det andre alternativet er å bruke den ferdige "Degree" -funksjonen, som tar to nødvendige argumenter - et tall og en eksponent. For å begynne å bruke det, legg bare likhetstegnet (=) i en hvilken som helst ledig celle, som indikerer begynnelsen av formelen, og skriv inn ordene ovenfor. Alt som gjenstår er å velge to celler som skal delta i operasjonen (eller spesifisere spesifikke tall manuelt) og trykke på Enter-tasten. La oss se på noen få enkle eksempler.
Formel | Resultat |
||||
GRAD(B2;C2) | |||||
GRAD(B3;C3) |
|
Som du kan se, er det ikke noe komplisert med hvordan du hever et tall til en negativ potens og til en vanlig potens ved hjelp av Excel. Tross alt, for å løse dette problemet, kan du bruke både det kjente "lokk"-symbolet og programmets innebygde funksjon, som er lett å huske. Dette er et klart pluss!
La oss gå videre til mer komplekse eksempler. La oss huske regelen om hvordan du hever et tall til en negativ brøkpotens, og vi vil se at dette problemet er veldig enkelt å løse i Excel.
Brøkindikatorer
Kort fortalt er algoritmen for å beregne et tall med en brøkeksponent som følger.
- Konverter en brøk til en riktig eller uekte brøk.
- Hev tallet vårt til telleren for den resulterende konverterte brøken.
- Beregn roten fra tallet oppnådd i forrige avsnitt, med betingelsen om at eksponenten til roten vil være nevneren til brøken oppnådd i det første trinnet.
Enig i at selv når man opererer med små tall og egenbrøk, kan slike beregninger ta mye tid. Det er bra at Excel-regnearkprosessoren ikke bryr seg om hvilket tall som er hevet til hvilken kraft. Prøv å løse følgende eksempel på et Excel-regneark:
Ved å bruke reglene ovenfor kan du kontrollere og forsikre deg om at beregningen ble utført riktig.
På slutten av artikkelen vår vil vi presentere i form av en tabell med formler og resultater flere eksempler på hvordan man hever et tall til en negativ potens, samt flere eksempler på å operere med brøktall og potenser.
Eksempeltabell
Sjekk ut følgende eksempler i Excel-regnearket. For at alt skal fungere riktig, må du bruke en blandet referanse når du kopierer formelen. Fest nummeret på kolonnen som inneholder tallet som heves og nummeret på raden som inneholder indikatoren. Formelen din skal se omtrent slik ut: "=$B4^C$3."
Antall/grad | |||||
Vær oppmerksom på at positive tall (selv ikke-heltall) kan beregnes uten problemer for noen eksponent. Det er ingen problemer med å heve noen tall til heltall. Men å heve et negativt tall til en brøkpotens vil vise seg å være en feil for deg, siden det er umulig å følge regelen som er angitt i begynnelsen av artikkelen vår om å heve negative tall, fordi paritet er en karakteristikk utelukkende for et HELE tall.
Et tall hevet til en makt De ringer et nummer som multipliseres med seg selv flere ganger.
Potensen til et tall med negativ verdi (a - n) kan bestemmes på en lignende måte som hvordan kraften til samme tall med en positiv eksponent bestemmes (a n) . Det krever imidlertid også ytterligere definisjon. Formelen er definert som:
a-n = (1/a n)
Egenskapene til negative potenser av tall ligner potenser med en positiv eksponent. Presentert ligning en m/a n= en m-n kan være rettferdig som
« Ingen steder, som i matematikk, lar klarheten og nøyaktigheten til konklusjonen en person vrikke seg ut av et svar ved å snakke rundt spørsmålet».
A. D. Alexandrov
på n mer m , og med m mer n . La oss se på et eksempel: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Først må du bestemme tallet som fungerer som en definisjon av graden. b=a(-n) . I dette eksemplet -n er en eksponent b - ønsket numerisk verdi, en - grunnlaget for graden i form av en naturlig numerisk verdi. Bestem deretter modulen, det vil si den absolutte verdien av et negativt tall, som fungerer som en eksponent. Beregn graden av et gitt tall i forhold til et absolutt tall, som en indikator. Verdien av graden finner du ved å dele en på det resulterende tallet.
Ris. 1
Tenk på potensen til et tall med en negativ brøkeksponent. La oss forestille oss at tallet a er et hvilket som helst positivt tall, tall n Og m - heltall. I følge definisjonen en , som er hevet til makten - er lik en delt på samme tall med en positiv potens (Figur 1). Når potensen til et tall er en brøk, brukes i slike tilfeller bare tall med positive eksponenter.
Verdt å huske at null aldri kan være en eksponent for et tall (regelen om divisjon med null).
Spredningen av et slikt konsept som et tall ble slike manipulasjoner som måleberegninger, så vel som utviklingen av matematikk som vitenskap. Innføringen av negative verdier skyldtes utviklingen av algebra, som ga generelle løsninger aritmetiske problemer, uavhengig av deres spesifikke betydning og innledende numeriske data. I India, tilbake på 600-1100-tallet, ble negative tall systematisk brukt ved problemløsning og ble tolket på samme måte som i dag. I europeisk vitenskap begynte negative tall å bli mye brukt takket være R. Descartes, som ga en geometrisk tolkning av negative tall som retningene til segmenter. Det var Descartes som foreslo betegnelsen på et tall hevet til en makt som skulle vises som en to-etasjers formel en n .
Kalkulatoren hjelper deg raskt å heve et tall til en potens på nettet. Grunnlaget for graden kan være et hvilket som helst tall (både heltall og reelle tall). Eksponenten kan også være et heltall eller reell, og kan også være positiv eller negativ. Husk at for negative tall er det udefinert å heve til en ikke-heltalls potens, så kalkulatoren vil rapportere en feil hvis du prøver det.
Gradskalkulator
Hev til makten
Eksponentiseringer: 20880
Hva er en naturlig kraft til et tall?
Tallet p kalles den n-te potensen av et tall hvis p er lik tallet a multiplisert med seg selv n ganger: p = a n = a·...·a
n - kalt eksponent, og tallet a er gradsgrunnlag.
Hvordan heve et tall til en naturlig kraft?
For å forstå hvordan du øker forskjellige tall til naturlige krefter, kan du vurdere noen eksempler:
Eksempel 1. Hev tallet tre til fjerde potens. Det vil si at det er nødvendig å beregne 3 4
Løsning: som nevnt ovenfor, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Svar: 3 4 = 81 .
Eksempel 2. Hev tallet fem til femte potens. Det vil si at det er nødvendig å beregne 5 5
Løsning: tilsvarende, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Svar: 5 5 = 3125 .
For å heve et tall til en naturlig potens, trenger du bare å multiplisere det med seg selv n ganger.
Hva er en negativ potens av et tall?
Den negative potensen -n av a er en dividert med a til potensen av n: a -n = .I dette tilfellet eksisterer en negativ potens bare for tall som ikke er null, siden deling med null ellers ville forekomme.
Hvordan heve et tall til en negativ heltallspotens?
For å heve et tall som ikke er null til en negativ potens, må du beregne verdien av dette tallet til samme positive potens og dele en på resultatet.
Eksempel 1. Hev tallet to til den negative fjerde potensen. Det vil si at du må beregne 2 -4
Løsning: som angitt ovenfor, 2 -4 = = = 0,0625.Svar: 2 -4 = 0.0625 .
Som du vet, i matematikk er det ikke bare positive tall, men også negative. Hvis bekjentskap med positive krefter begynner med å bestemme arealet til en firkant, er alt noe mer komplisert med negative krefter.
Dette bør du vite:
- Å heve et tall til en naturlig potens er multiplikasjonen av et tall (i artikkelen vil vi vurdere begrepene tall og sifferekvivalenter) i seg selv i en slik mengde som eksponenten (i fremtiden vil vi bruke parallelt og ganske enkelt ordet eksponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. I generelt syn det ser slik ut: m^n = m*m*m*…*m (n ganger).
- Det må tas i betraktning at når et negativt tall heves til en naturlig potens, vil det bli positivt hvis eksponenten er partall.
- Å heve et tall til en eksponent av 0 gir én, forutsatt at det ikke er lik null. Null til null potens anses som udefinert. 17^0 = 1.
- Å trekke ut roten til en viss potens fra et tall er å finne et tall som, når det heves til den riktige eksponenten, vil gi den ønskede verdien. Så, terningroten av 125 er 5, siden 5^3 = 125.
- Hvis du vil heve et tall til en positiv brøkpotens, må du heve tallet til nevnereksponenten og trekke ut roten av tellereksponenten fra den. 6^5/7 = den syvende roten av produktet 6*6*6*6*6.
- Hvis du vil heve et tall til en negativ eksponent, må du finne inversen til det gitte tallet. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.
Heve et tall modulo null til en til en negativ potens
Først må vi huske hva er en modul. Dette er avstanden på koordinatlinjen fra verdien vi har valgt til origo (null på koordinatlinjen). Per definisjon kan det aldri være negativt.
Verdi større enn null
Når verdien av et siffer er mellom null og én, gir en negativ indikator en økning i selve sifferet. Dette skjer fordi nevneren minker mens den forblir positiv.
La oss se på eksempler:
- 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
- 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.
Dessuten, jo større modulen til indikatoren er, jo mer aktivt vokser figuren. Ettersom nevneren har en tendens til null, har selve brøken en tendens til pluss uendelig.
Verdi mindre enn null
La oss nå se på hvordan du kan heve den til en negativ potens hvis tallet mindre enn null. Prinsippet er det samme som i forrige del, men her er indikatorens tegn viktig.
La oss se på eksemplene igjen:
- -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
- -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.
I i dette tilfellet, det ser vi modulen fortsetter å vokse, men tegnet avhenger av om indikatoren er partall eller oddetall.
Det skal bemerkes at hvis vi bygger en enhet, vil den alltid forbli av seg selv. Hvis du trenger å heve et tall minus én, vil det med en partallseksponent bli en, og med en oddetallseksponent forblir det minus én.
Heving til en negativ heltallspotens hvis modulen er større enn én
For tall hvis modul er større enn én, har sine egne særegenheter ved handlinger. Først av alt må du konvertere hele delen av brøken til telleren, det vil si konvertere den til en upassende brøk. Hvis vi har en desimalbrøk, så må den konverteres til en vanlig brøk. Dette gjøres som følger:
- 6 heltall 7/17 = 109/17;
- 2,54 = 254/100.
La oss nå se på hvordan du hever et tall til en negativ styrke under disse forholdene. Allerede ut fra ovenstående kan vi anta hva vi kan forvente av resultatet av beregningene. Siden en dobbel brøk blir invertert under forenklinger, vil modulen i figuren reduseres jo raskere, jo større modulen til eksponenten er.
Først, la oss vurdere situasjonen når tallet gitt i oppgaven er positivt.
Først og fremst blir det klart at endelig resultat vil være større enn null, fordi å dele to positive gir alltid en positiv. La oss se igjen på eksempler på hvordan dette gjøres:
- 6 heltall 1/20 til minus femte potens = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
- 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.
Som du kan se, utgjør ikke handlingene noen spesielle vanskeligheter, og alle våre første antagelser viste seg å være sanne.
La oss nå gå til tilfellet med et negativt siffer.
Til å begynne med kan vi anta at hvis indikatoren er partall, så vil resultatet være positivt, hvis indikatoren er oddetall, så vil resultatet være negativt. Alle våre tidligere beregninger i denne delen vil bli ansett som gyldige nå. La oss se på eksempler igjen:
- -3 hele 1/2 til minus sjette potens = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
- -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.
Dermed viste alle våre resonnement seg å være riktige.
Konstruksjon ved negativ brøkeksponent
Her må du huske at en slik konstruksjon eksisterer trekke ut roten av potensen til nevneren fra et tall til potensen av telleren. Alle våre tidligere resonnementer forblir sanne denne gangen. La oss forklare handlingene våre med et eksempel:
- 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.
I dette tilfellet må du huske på å trekke ut røtter høy level er bare mulig i en spesielt valgt form, og mest sannsynlig vil du ikke være i stand til å bli kvitt tegnet på radikalen (kvadratrot, kubikkrot, etc.) med nøyaktige beregninger.
Likevel, etter å ha studert de foregående kapitlene i detalj, bør du ikke forvente vanskeligheter med skoleberegninger.
Det skal bemerkes at beskrivelsen av dette kapittelet også inkluderer konstruksjon med en bevisst irrasjonell indikator, for eksempel hvis indikatoren er lik minus PI. Du må handle i henhold til prinsippene beskrevet ovenfor. Imidlertid blir beregninger i slike tilfeller så komplekse at bare kraftige elektroniske datamaskiner kan gjøre det.
Konklusjon
Handlingen vi studerte er et av de vanskeligste problemene i matematikk(spesielt når det gjelder brøk-rasjonell eller irrasjonell betydning). Men ved å studere disse instruksjonene i detalj og trinn for trinn, kan du lære hvordan du gjør dette helt automatisk uten problemer.
I dette materialet skal vi se på hva en potens av et tall er. I tillegg til de grunnleggende definisjonene vil vi formulere hva potenser med naturlige, heltalls, rasjonelle og irrasjonelle eksponenter er. Som alltid vil alle konsepter bli illustrert med eksempeloppgaver.
Yandex.RTB R-A-339285-1
La oss først formulere den grunnleggende definisjonen av en grad med en naturlig eksponent. For å gjøre dette må vi huske de grunnleggende reglene for multiplikasjon. La oss avklare på forhånd at for nå vil vi ta et reelt tall som en base (betegnet med bokstaven a), og et naturlig tall som en indikator (betegnet med bokstaven n).
Definisjon 1
Potensen til et tall a med naturlig eksponent n er produktet av det n-te antall faktorer, som hver er lik tallet a. Graden er skrevet slik: en n, og i form av en formel kan sammensetningen representeres som følger:
For eksempel, hvis eksponenten er 1 og grunntallet er a, skrives første potens av a som en 1. Gitt at a er verdien av faktoren og 1 er antall faktorer, kan vi konkludere med det a 1 = a.
Generelt kan vi si at en grad er praktisk form poster stor kvantitet like faktorer. Så en oversikt over skjemaet 8 8 8 8 kan forkortes til 8 4 . På omtrent samme måte hjelper et verk oss med å unngå opptak stort nummer termer (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Vi har allerede diskutert dette i artikkelen viet til multiplikasjon av naturlige tall.
Hvordan lese gradoppføringen riktig? Det generelt aksepterte alternativet er "a til makten av n". Eller du kan si "nth power of a" eller "ant anth power". Hvis for eksempel i eksemplet vi møtte oppføringen 8 12 , kan vi lese "8 i 12. potens", "8 i 12. potens" eller "12. potens av 8".
Den andre og tredje potensen av tall har sine egne etablerte navn: kvadrat og terning. Hvis vi ser den andre potensen, for eksempel tallet 7 (7 2), kan vi si "7 i rute" eller "kvadrat av tallet 7". På samme måte leses tredje grad slik: 5 3 - dette er "kuben av tallet 5" eller "5 terninger." Du kan imidlertid også bruke standardformuleringen «til andre/tredje makt»; dette vil ikke være en feil.
Eksempel 1
La oss se på et eksempel på en grad med en naturlig eksponent: for 5 7 fem vil være basen, og syv vil være eksponenten.
Basen trenger ikke å være et heltall: for graden (4 , 32) 9 basen vil være brøken 4, 32, og eksponenten vil være ni. Vær oppmerksom på parentesene: denne notasjonen er laget for alle potenser hvis baser er forskjellige fra naturlige tall.
For eksempel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
Hva er parenteser for? De bidrar til å unngå feil i beregninger. La oss si at vi har to oppføringer: (− 2) 3 Og − 2 3 . Den første av disse betyr et negativt tall minus to hevet til en potens med en naturlig eksponent på tre; den andre er tallet som tilsvarer den motsatte verdien av graden 2 3 .
Noen ganger i bøker kan du finne en litt annen stavemåte av kraften til et tall - a^n(hvor a er grunntallet og n er eksponenten). Det vil si at 4^9 er det samme som 4 9 . I tilfelle n er flersifret nummer, er det tatt i parentes. For eksempel, 15 ^ (21), (− 3, 1) ^ (156) . Men vi skal bruke notasjonen en n som mer vanlig.
Det er lett å gjette hvordan du beregner verdien av en eksponent med en naturlig eksponent fra dens definisjon: du trenger bare å multiplisere et n-te antall ganger. Vi skrev mer om dette i en annen artikkel.
Gradbegrepet er det motsatte av et annet matematisk begrep - roten til et tall. Hvis vi vet verdien av potensen og eksponenten, kan vi beregne grunntallet. Graden har noen spesifikke egenskaper som er nyttige for å løse problemer, som vi omtalte i et eget materiale.
Eksponenter kan inkludere ikke bare naturlige tall, men også alle heltallsverdier generelt, inkludert negative og nuller, fordi de også tilhører settet med heltall.
Definisjon 2
Kraften til et tall med en positiv heltallseksponent kan representeres som en formel: 
.
I dette tilfellet er n et hvilket som helst positivt heltall.
La oss forstå konseptet med null grader. For å gjøre dette bruker vi en tilnærming som tar hensyn til kvotientegenskapen for potenser med like baser. Den er formulert slik:
Definisjon 3
Likestilling a m: a n = a m − n vil være sann under følgende forhold: m og n er naturlige tall, m< n , a ≠ 0 .
Siste tilstand viktig fordi den unngår deling med null. Hvis verdiene til m og n er like, får vi neste resultat: a n: a n = a n − n = a 0
Men samtidig er a n: a n = 1 kvotienten av like tall en n og a. Det viser seg at nullpotensen til ethvert tall som ikke er null er lik en.
Et slikt bevis gjelder imidlertid ikke for null til null potens. For å gjøre dette trenger vi en annen maktegenskap - egenskapen til produkter av makter med like baser. Det ser slik ut: a m · a n = a m + n .
Hvis n er lik 0, da a m · a 0 = a m(denne likheten beviser også for oss det a 0 = 1). Men hvis og også er lik null, tar vår likhet formen 0 m · 0 0 = 0 m, Det vil være sant for enhver naturverdi av n, og det spiller ingen rolle hva nøyaktig verdien av graden er lik 0 0 , det vil si at det kan være lik et hvilket som helst tall, og dette vil ikke påvirke nøyaktigheten av likheten. Derfor en notasjon av formen 0 0 har ikke sin egen spesielle betydning, og vi vil ikke tillegge den til den.
Om ønskelig er det enkelt å sjekke det a 0 = 1 konvergerer med gradegenskapen (a m) n = a m n forutsatt at grunntallet for graden ikke er null. Dermed er potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null én.
Eksempel 2
La oss se på et eksempel med spesifikke tall: Så, 5 0 - enhet, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , og verdien 0 0 udefinert.
Etter nullgraden må vi bare finne ut hva en negativ grad er. For å gjøre dette trenger vi den samme egenskapen til produktet av potenser med like baser som vi allerede brukte ovenfor: a m · a n = a m + n.
La oss introdusere betingelsen: m = − n, da skal a ikke være lik null. Det følger at a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Det viser seg at en n og a−n vi har gjensidige tall.
Som et resultat er a til den negative hele potensen ikke mer enn brøken 1 a n.
Denne formuleringen bekrefter at for en grad med negativ heltallseksponent er alle de samme egenskapene gyldige som en grad med naturlig eksponent har (forutsatt at grunntallet ikke er lik null).
Eksempel 3
En potens a med en negativ heltallseksponent n kan representeres som en brøk 1 a n . Dermed er a - n = 1 a n underlagt a ≠ 0 og n er et hvilket som helst naturlig tall.
La oss illustrere ideen vår med spesifikke eksempler:
Eksempel 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
I den siste delen av avsnittet vil vi prøve å skildre alt som er sagt tydelig i en formel:
Definisjon 4
Potensen til et tall med en naturlig eksponent z er: a z = a z, e med l og z - positivt heltall 1, z = 0 og a ≠ 0, (for z = 0 og a = 0 er resultatet 0 0, verdier av uttrykket 0 0 er ikke definert) 1 a z, hvis og z er et negativt heltall og a ≠ 0 (hvis z er et negativt heltall og a = 0 får du 0 z, egoz verdien er ubestemt)
Hva er potenser med en rasjonell eksponent?
Vi undersøkte tilfeller der eksponenten inneholder et heltall. Du kan imidlertid heve et tall til en potens selv når eksponenten inneholder et brøktall. Dette kalles en potens med en rasjonell eksponent. I denne delen skal vi bevise at den har de samme egenskapene som andre krefter.
Hva er rasjonelle tall? Settet deres inkluderer både hele og brøktall, og brøktall kan representeres som vanlige brøker (både positive og negative). La oss formulere definisjonen av potensen til et tall a med en brøkeksponent m / n, der n er et naturlig tall og m er et heltall.
Vi har en viss grad med en brøkeksponent a m n . For at makten til å makte eiendom skal holde, må likheten a m n n = a m n · n = a m være sann.
Gitt definisjonen av den n-te roten og at a m n n = a m, kan vi akseptere betingelsen a m n = a m n hvis a m n gir mening for de gitte verdiene til m, n og a.
De ovennevnte egenskapene til en grad med en heltallseksponent vil være sanne under betingelsen a m n = a m n .
Hovedkonklusjonen fra resonnementet vårt er dette: potensen til et visst tall a med en brøkeksponent m / n er den n-te roten av tallet a til potensen m. Dette er sant hvis uttrykket a m n forblir meningsfullt for gitte verdier av m, n og a.
1. Vi kan begrense verdien av gradens basis: la oss ta a, som for positive verdier av m vil være større enn eller lik 0, og for negative verdier - strengt tatt mindre (siden for m ≤ 0 vi får 0 m, men en slik grad er ikke definert). I dette tilfellet vil definisjonen av en grad med en brøkeksponent se slik ut:
En potens med en brøkeksponent m/n for et positivt tall a er den n-te roten av a hevet til potensen m. Dette kan uttrykkes som en formel:
For en potens med null base er denne bestemmelsen også egnet, men bare hvis eksponenten er et positivt tall.
En potens med en grunntall null og en brøkdel positiv eksponent m/n kan uttrykkes som
0 m n = 0 m n = 0 forutsatt at m er et positivt heltall og n er et naturlig tall.
For et negativt forhold m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
La oss merke oss ett poeng. Siden vi introduserte betingelsen om at a er større enn eller lik null, endte vi opp med å forkaste noen tilfeller.
Uttrykket a m n gir noen ganger fortsatt mening for noen negative verdier av a og noen m. Dermed er de riktige oppføringene (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, der grunntallet er negativt.
2. Den andre tilnærmingen er å vurdere roten a m n separat med partall og oddetall eksponenter. Så må vi introdusere en annen betingelse: graden a, i eksponenten som det er en reduserbar ordinær brøk av, anses å være graden a, i eksponenten som det er den tilsvarende irreduserbare brøken av. Senere vil vi forklare hvorfor vi trenger denne tilstanden og hvorfor den er så viktig. Altså, hvis vi har notasjonen a m · k n · k , så kan vi redusere den til a m n og forenkle beregningene.
Hvis n er et oddetall og verdien av m er positiv og a er et hvilket som helst ikke-negativt tall, så er a m n fornuftig. Betingelsen for at a skal være ikke-negativ er nødvendig fordi en rot av en partallsgrad ikke kan trekkes ut fra et negativt tall. Hvis verdien av m er positiv, kan a være både negativ og null, fordi Odderoten kan tas fra et hvilket som helst reelt tall.
La oss kombinere alle definisjonene ovenfor i én oppføring:
Her betyr m/n en irreduserbar brøk, m er et hvilket som helst heltall, og n er et hvilket som helst naturlig tall.
Definisjon 5
For enhver vanlig reduserbar brøk m · k n · k kan graden erstattes med en m n .
Potensen til et tall a med en irreduserbar brøkeksponent m / n – kan uttrykkes som en m n i følgende tilfeller: - for alle reelle a, positive heltallsverdier m og odde naturverdier n. Eksempel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
For enhver reell a som ikke er null, negative heltallsverdier av m og oddeverdier av n, for eksempel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7
For alle ikke-negative a, positive heltall m og partall n, for eksempel, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
For alle positive a, negative heltall m og selv n, for eksempel, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
Ved andre verdier bestemmes ikke graden med brøkeksponent. Eksempler på slike grader: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
La oss nå forklare viktigheten av tilstanden diskutert ovenfor: hvorfor erstatte en brøk med en reduserbar eksponent med en brøk med en irreduserbar eksponent. Hvis vi ikke hadde gjort dette, ville vi hatt følgende situasjoner, for eksempel 6/10 = 3/5. Da bør det være sant (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , men - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , og (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Definisjonen av en grad med en brøkeksponent, som vi presenterte først, er mer praktisk å bruke i praksis enn den andre, så vi vil fortsette å bruke den.
Definisjon 6
Dermed er potensen til et positivt tall a med en brøkeksponent m/n definert som 0 m n = 0 m n = 0. Ved negativ en notasjonen a m n gir ikke mening. Nullpotens for positive brøkeksponenter m/n er definert som 0 m n = 0 m n = 0 , for negative brøkeksponenter definerer vi ikke nullgraden.
I konklusjoner merker vi at enhver brøkindikator kan skrives både i form av et blandet tall og i form desimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
Ved beregning er det bedre å erstatte eksponenten vanlig brøkdel og fortsett å bruke definisjonen av grad med en brøkeksponent. For eksemplene ovenfor får vi:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Hva er potenser med irrasjonelle og reelle eksponenter?
Hva er reelle tall? Settet deres inkluderer både rasjonelle og irrasjonelle tall. Derfor, for å forstå hva en grad med en reell eksponent er, må vi definere grader med rasjonelle og irrasjonelle eksponenter. Vi har allerede nevnt rasjonelle ovenfor. La oss håndtere irrasjonelle indikatorer trinn for trinn.
Eksempel 5
La oss anta at vi har et irrasjonelt tall a og en sekvens av dets desimaltilnærminger a 0 , a 1 , a 2 , . . . . La oss for eksempel ta verdien a = 1,67175331. . . , Deretter
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .
Vi kan assosiere sekvenser av tilnærminger med en sekvens av grader a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Hvis vi husker det vi sa tidligere om å heve tall til rasjonelle potenser, så kan vi selv beregne verdiene til disse potensene.
La oss ta for eksempel a = 3, deretter a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.
Rekkefølgen av potenser kan reduseres til et tall, som vil være verdien av potensen med base a og irrasjonell eksponent a. Som et resultat: en grad med en irrasjonell eksponent av formen 3 1, 67175331. . kan reduseres til tallet 6, 27.
Definisjon 7
Kraften til et positivt tall a med en irrasjonell eksponent a skrives som a . Dens verdi er grensen for sekvensen a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , hvor a 0 , a 1 , a 2 , . . . er suksessive desimaltilnærminger irrasjonelt tall en. En grad med null base kan også defineres for positive irrasjonelle eksponenter, med 0 a = 0 Så, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Men dette kan ikke gjøres for negative, siden for eksempel verdien 0 - 5, 0 - 2 π ikke er definert. En enhet hevet til en hvilken som helst irrasjonell kraft forblir for eksempel en enhet, og 1 2, 1 5 i 2 og 1 - 5 vil være lik 1.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Laster inn...