Ecuații echivalente, transformarea ecuațiilor. Curs școlar „Ecuații echivalente Ecuație-consecință Ecuație consecință

Prelegerea școlii

„Ecuații echivalente. Ecuația consecințelor»

Comentarii metodologice. Conceptele de ecuații echivalente, ecuații corolare, teoreme privind echivalența ecuațiilor sunt probleme importante legate de teoria rezolvării ecuațiilor.

Până în clasa a 10-a, elevii au dobândit ceva experiență în rezolvarea ecuațiilor. În clasele 7-8, ecuațiile liniare și pătratice sunt rezolvate aici nu există transformări inegale; În plus, în clasele a 8-a și a IX-a, se rezolvă ecuațiile raționale și cele mai simple iraționale, se dovedește că, în legătură cu eliminarea numitorului și pătrarea ambelor părți ale ecuației, pot apărea rădăcini străine. Astfel, este nevoie de introducerea unor concepte noi: echivalența ecuațiilor, transformările echivalente și neechivalente ale ecuațiilor, rădăcinile străine și verificarea rădăcinilor. Pe baza experienței acumulate de studenți în rezolvarea claselor de ecuații enumerate mai sus, este posibilă determinarea unei noi relații de echivalență a ecuațiilor și „descoperirea” împreună cu studenții teoreme privind echivalența ecuațiilor.

Lecția, al cărei rezumat este prezentat mai jos, precede luarea în considerare a subiectelor legate de rezolvarea ecuațiilor iraționale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice. Materialul teoretic din această lecție servește drept bază pentru rezolvarea tuturor claselor de ecuații. În această lecție, este necesar să definim conceptul de ecuații echivalente, ecuații corolare și să luăm în considerare teoreme privind transformările care conduc la aceste tipuri de ecuații. Materialul luat în considerare, așa cum s-a menționat mai sus, este un fel de sistematizare a cunoștințelor elevilor despre transformările ecuațiilor, se caracterizează printr-o anumită complexitate, prin urmare cel mai acceptabil tip de lecție este o prelegere școlară; Particularitatea acestei lecții este că sarcina (obiectivele) educaționale stabilite în ea sunt rezolvate pe parcursul multor lecții ulterioare (identificarea transformărilor peste ecuații care conduc la dobândirea rădăcinilor străine și pierderea rădăcinilor).

Fiecare etapă a lecției ocupă un loc important în structura sa.

Pe etapa de actualizare elevii își amintesc principiile teoretice de bază asociate cu ecuația: ce este o ecuație, rădăcina ecuației, ce înseamnă rezolvarea ecuației, intervalul de valori acceptabile (ADV) ale ecuației. Găsiți ODZ a ecuațiilor specifice care vor servi ca bază pentru „descoperirea” teoremelor din lecție.

Ţintă etapa de motivare– creați o situație problemă, care constă în găsirea soluției corecte la ecuația propusă.

Soluţie sarcina educațională (etapa operațională-cognitivă)în lecția prezentată este să „descoperiți” teoreme privind echivalența ecuațiilor și demonstrarea lor. La prezentarea materialului, atenția principală este acordată definirii ecuațiilor echivalente, ecuațiilor corolare și teoremelor de „găsire” privind echivalența ecuațiilor.

Notele pe care le face profesorul în timpul lecției sunt prezentate direct în note. Formatarea notițelor elevilor în caiete este dată la sfârșitul notelor de lecție.

Rezumatul lecției

Subiect. Ecuații echivalente. Ecuație-consecință.

(Algebra și începuturile analizei: Manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ general / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov și alții - M.: Prosveshchenie, 2003).

Obiectivele lecției.În activitățile comune cu elevii, identificați relația de echivalență pe un set de ecuații, „descoperiți” teoreme privind echivalența ecuațiilor.

Drept urmare, studentul

stie

Determinarea ecuațiilor echivalente,

Definiții ale ecuației consecințelor,

Enunțuri ale principalelor teoreme;

poate sa

Din ecuațiile propuse, selectați ecuații echivalente și ecuații corolare,

Aplicați definițiile ecuațiilor echivalente și a ecuațiilor corolare în situații standard;

intelege

Ce transformări conduc la ecuații echivalente sau la ecuații corolare?

Că există transformări în urma cărora ecuația poate dobândi rădăcini străine,

Că, în urma unor transformări, poate apărea pierderea rădăcinilor.

Tipul de lecție. Prelecție școlară (2 ore).

Structura lecției.

I. Partea motivațională și orientare:

Actualizarea cunoștințelor

Motivație, stabilirea unei sarcini de învățare.

II. Partea operațional-cognitivă:

Rezolvarea unei probleme educaționale și de cercetare (scopul lecției).

III. Partea reflecto-evaluative:

Rezumând lecția,

Impartirea temelor.

În timpul orelor

eu. Partea motivațională și orientare.

Astăzi, la clasă, vom vorbi despre ecuații, dar nu vom scrie subiectul deocamdată. Să ne amintim conceptele de bază asociate cu ecuația. În primul rând, ce este o ecuație?

(O ecuație este o reprezentare analitică a problemei de a găsi valorile argumentelor pentru care valorile unei funcții sunt egale cu valorile unei alte funcții).

Ce alte concepte sunt asociate cu ecuația?

(Rădăcina unei ecuații și ce înseamnă să rezolvi o ecuație. Rădăcina unei ecuații este un număr care, atunci când este înlocuit într-o ecuație, produce o egalitate numerică corectă. Rezolvați o ecuație - găsiți toate rădăcinile acesteia sau stabiliți că există nici unul).

Cum se numește ecuația ODZ?

(Setul tuturor numerelor pentru care funcțiile din stânga și din dreapta ecuației au sens în același timp).

Găsiți ODZ a următoarelor ecuații.

6)
.

Soluția ecuației este scrisă pe tablă

Care este procesul de rezolvare a unei ecuații?

(Efectuarea de transformări care conduc această ecuație la o ecuație de formă mai simplă, adică o ecuație ale cărei rădăcini nu sunt greu de găsit).

Adevărat, adică există o succesiune de simplificări de la ecuație la ecuație
etc. La
. Să vedem ce se întâmplă cu rădăcinile ecuației la fiecare etapă de transformare. În soluția prezentată se obțin două rădăcini ale ecuației
. Verificați dacă numerele sunt și numere și
rădăcinile ecuației inițiale.

(Numerele , și sunt rădăcini ale ecuației originale, iar - nu sunt).

Aceasta înseamnă că aceste rădăcini s-au pierdut în timpul procesului de soluție. În general, transformările efectuate au dus la pierderea a două rădăcini
și dobândirea unei rădăcini străine.

Cum poți scăpa de rădăcinile străine?

(Fă o verificare).

Este acceptabilă pierderea rădăcinii? De ce?

(Nu, pentru că a rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate rădăcinile ei).

Cum să evitați pierderea rădăcinii?

(Probabil, atunci când rezolvați o ecuație, nu efectuați transformări care duc la pierderea rădăcinilor).

Deci, pentru ca procesul de rezolvare a unei ecuații să producă rezultate corecte, ce este important de știut atunci când se efectuează transformări pe ecuații?

(Probabil, să știți ce transformări peste ecuații păstrează rădăcini, care duc la pierderea rădăcinilor sau la dobândirea rădăcinilor străine. Aflați ce transformări le pot înlocui astfel încât să nu existe pierdere sau achiziție de rădăcini).

Asta vom face în această lecție. Cum ați formula scopul activității viitoare în lecția de astăzi?

(Identificați transformări peste ecuații care păstrează rădăcinile, duc la pierderea rădăcinilor sau la dobândirea rădăcinilor străine. Aflați ce transformări le pot înlocui astfel încât să nu existe pierdere sau achiziție de rădăcini).

II . Partea operațional-cognitivă.

Să ne uităm din nou la ecuația scrisă pe tablă. Să urmărim în ce stadiu și ca urmare a ce transformări s-au pierdut două rădăcini și a apărut un străin. (Profesorul din dreapta fiecărei ecuații pune numerele).

Numiți ecuații care au aceleași rădăcini (multiple) de aceeași mulțime.

(Ecuații , , ,
Și ,).

Astfel de ecuații se numesc echivalent.Încercați să formulați o definiție a ecuațiilor echivalente.

(Ecuațiile care au același set de rădăcini se numesc echivalente).

Să scriem definiția.

Definiție 1. Ecuații
Și
se numesc echivalente daca multimile radacinilor lor coincid.

Trebuie remarcat faptul că ecuațiile fără cai sunt de asemenea echivalente.

Pentru a indica ecuații echivalente, puteți folosi simbolul „”. Procesul de rezolvare a unei ecuații folosind un nou concept poate fi reflectat după cum urmează:

Astfel, trecerea de la această ecuație la una echivalentă nu afectează setul de rădăcini ale ecuației rezultate.

Ce transformări de bază au fost efectuate la rezolvarea ecuațiilor liniare?

(Deschiderea parantezelor; transferarea termenilor dintr-o parte a ecuației în alta, schimbarea semnului în opus; adăugarea unei expresii care conține o necunoscută de ambele părți ale ecuației).

S-au schimbat rădăcinile lor în același timp?

Pe baza uneia dintre aceste transformări, și anume: transferarea termenilor dintr-o parte a ecuației în alta, schimbând semnul în invers, în clasa a VII-a au formulat proprietatea ecuațiilor. Formulați-l folosind un nou concept.

(Dacă orice membru al ecuației este transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu aceasta).

Ce altă proprietate a ecuației cunoașteți?

(Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite cu același număr, altul decât zero.)

Aplicarea acestei proprietăți înlocuiește și ecuația originală cu una echivalentă. Să ne întoarcem din nou la ecuația scrisă pe tablă. Comparați setul de rădăcini ale ecuațiilor și ?

(Rădăcina unei ecuații este rădăcina unei ecuații).

Adică, în timpul trecerii de la o ecuație la alta, deși setul de rădăcini s-a extins, pierderea rădăcinilor nu a avut loc. În acest caz, ecuația se numește o consecință a ecuației. Încercați să formulați o definiție a unei ecuații care este o consecință a acestei ecuații.

(Dacă nu are loc pierderea rădăcinilor la trecerea de la o ecuație la alta, atunci a doua ecuație se numește o consecință a primei ecuații).

Definiția 2. O ecuație se numește o consecință a unei ecuații dacă fiecare rădăcină a ecuației este o rădăcină a ecuației.

- În urma ce transformări ați obținut ecuația din ecuație?

(Pătratarea ambelor părți ale ecuației).

Aceasta înseamnă că această transformare poate duce la apariția rădăcinilor străine, adică. ecuația inițială este transformată într-o ecuație corolar. Există alte ecuații corolare în lanțul de transformări de ecuații prezentate?

(Da, de exemplu, o ecuație este o consecință a unei ecuații, iar o ecuație este o consecință a unei ecuații).

Care sunt aceste ecuații?

(Echivalent).

Încercați, folosind conceptul de ecuație corolar, să formulați o definiție echivalentă a ecuațiilor echivalente.

(Ecuațiile se numesc echivalente dacă fiecare dintre ele este o consecință a celeilalte).

Există alte ecuații corolare în soluția propusă pentru ecuație?

(Da, ecuația este o consecință a ecuației).

Ce se întâmplă cu rădăcinile când treceți de la la?

(Se pierd două rădăcini).

În urma ce transformări s-a întâmplat aceasta?

(Eroare la aplicarea identității
)..

Sarcina 1. Sunt ecuațiile fiecărui grup (a, b) echivalente? Numiți transformarea în urma căreia prima ecuație a grupului este înlocuită cu a doua.

A)
b)

Să fie date două ecuații

Dacă fiecare rădăcină a ecuației (2.1) este și o rădăcină a ecuației (2.2), atunci ecuația (2.2) se numește o consecință a ecuației(2.1). Rețineți că echivalența ecuațiilor înseamnă că fiecare dintre ecuații este o consecință a celeilalte.

În procesul de rezolvare a unei ecuații, este adesea necesar să se aplice transformări care conduc la o ecuație care este o consecință a celei originale. Ecuația corolară este satisfăcută de toate rădăcinile ecuației inițiale, dar, pe lângă acestea, ecuația corolară poate avea și soluții care nu sunt rădăcini ale ecuației originale, acestea sunt așa-numitele străinii rădăcini. Pentru a identifica și elimina rădăcinile străine, de obicei fac acest lucru: toate rădăcinile găsite ale ecuației corolare sunt verificate prin înlocuire în ecuația originală.

Dacă, atunci când rezolvăm o ecuație, am înlocuit-o cu o ecuație corolar, atunci verificarea de mai sus este parte integrantă a rezolvării ecuației. Prin urmare, este important să știm sub ce transformări devine această ecuație o consecință.

Luați în considerare ecuația

și înmulțiți ambele părți cu aceeași expresie, ceea ce are sens pentru toate valorile. Obținem ecuația

ale căror rădăcini sunt atât rădăcinile ecuației (2.3) cât și rădăcinile ecuației . Aceasta înseamnă că ecuația (2.4) este o consecință a ecuației (2.3). Este clar că ecuațiile (2.3) și (2.4) sunt echivalente dacă ecuația „străină” nu are rădăcini.

Deci, dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu expresia care are sens pentru orice valoare a lui , atunci obținem o ecuație care este o consecință a celei originale. Ecuația rezultată va fi echivalentă cu cea inițială dacă ecuația nu are rădăcini. Rețineți că transformarea inversă, i.e. trecerea de la ecuația (2.4) la ecuația (2.3) prin împărțirea ambelor părți ale ecuației (2.4) la expresie este, de regulă, inacceptabilă, deoarece poate duce la o pierdere de soluții (în acest caz, rădăcinile ecuației poate fi „pierdut”). De exemplu, o ecuație are două rădăcini: 3 și 4. Împărțirea ambelor părți ale ecuației la duce la o ecuație care are o singură rădăcină 4, adică. a avut loc pierderea rădăcinii.

Să luăm din nou ecuația (2.3) și să pătram ambele părți. Obținem ecuația

ale căror rădăcini sunt atât rădăcinile ecuației (2.3) cât și rădăcinile ecuației „străine”, i.e. ecuația (2.5) este o consecință a ecuației (2.3).

De exemplu, o ecuație are rădăcina de 4. Dacă ambele părți ale acestei ecuații sunt la pătrat, obțineți o ecuație care are două rădăcini: 4 și -2. Aceasta înseamnă că ecuația este o consecință a ecuației. La trecerea de la ecuație la ecuație, a apărut o rădăcină străină -2.

Deci, când ambele părți ale ecuației sunt la pătrat (și în general la orice putere pară), obținem o ecuație care este o consecință a celei originale. Aceasta înseamnă că prin această transformare este posibilă apariția rădăcinilor străine. Rețineți că ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere impară are ca rezultat o ecuație echivalentă cu cea dată.

Instituție de învățământ municipală

„Școala secundară Novoukolovskaya”

Districtul Krasnensky, regiunea Belgorod

Lecție de algebră în clasa a XI-a

„Aplicarea mai multor transformări care conduc la o ecuație corolară”

Pregătit și realizat

Profesor de matematică

Harkovskaia Valentina Grigorievna

Algebră clasa a XI-a

Subiect: Aplicarea mai multor transformări care conduc la ecuația corolară.

Ţintă: creați condiții pentru consolidarea materialului pe tema: „Aplicarea mai multor transformări care conduc la o ecuație-consecință”; Rdezvoltarea independenței, îmbunătățirea alfabetizării vorbirii; pentru a dezvolta abilitățile de calcul ale elevilor; finaliza sarcinile corespunzătoare nivelului de examinare unificată de stat.

Echipament: manual, calculator, carduri

Tip de lecție: lecție despre aplicarea complexă a ZUN

În timpul orelor

    Moment organizatoric (Diapozitivul 1)

Buna ziua prieteni! Privește aceste imagini și alege care ți-a plăcut cel mai mult. Văd că și tu, la fel ca mine, ai venit la clasă bine dispus și cred că va rămâne la fel până la sfârșitul lecției. Aș dori să vă urez muncă fructuoasă.

Băieți, fiecare dintre voi aveți pe birou fișe de evaluare în care vă veți evalua la fiecare etapă a lecției.

    Verificarea temelor (Diapozitivul 2)

Evidențiați soluțiile pe diapozitiv și copiii își dau note

foaie de autocontrol. Fără erori – „5”, dacă 1 eroare – „4”, 2

erori – „3”. Dacă ai o mulțime de copii care au 2

greșeli, apoi rezolvați această sarcină la bord.

Anunțarea subiectului lecției (Diapozitivul 3). stabilirea obiectivelor lecției

Puteți vedea subiectul lecției noastre pe slide. Ce crezi decat

Vom studia cu tine în clasă astăzi?

Ei bine, băieți, să ne amintim materialul pe care l-am acoperit. .

Să începem cu munca orală :

    Lucrare orală (diapozitivul 4)

    Ce ecuații se numesc ecuații corolare? (dacă orice rădăcină a primei ecuații este o rădăcină a celei de-a doua, atunci a doua ecuație se numește o consecință a primei);

    Ce se numește trecerea la o ecuație corolară? (înlocuirea unei ecuații cu o altă ecuație, care este consecința acesteia);

    Ce transformări duc la ecuația corolară? Dă exemple. (ridicarea unei ecuații la o putere pare; potențarea unei ecuații logaritmice; eliberarea ecuației de la numitor; aducerea termenilor similari ai ecuației; aplicarea formulelor).

Rezolvați ecuațiile (diapozitivul 5)

(ecuațiile sunt afișate pe ecran):

1) = 6; (răspuns: 36)

2) = 3; (răspuns: 11)

3) = 4; (raspuns: 6)

4) = - 2; (răspuns: fără soluții, deoarece partea stângă a ecuației ia doar valori nenegative)

5) = 9; (răspuns: -9 și 9)

6) = -2; (răspuns: fără soluții, deoarece suma a doi

numerele nenegative nu pot fi negative)

Băieți, cred că ați observat că atunci când facem teme și lucru oral, am dat peste sarcini care corespundeau versiunii demo, specificației și codificatorului USE.

4. Finalizarea sarcinilor

Băieți, să lucrăm în caietele noastre:

№8.26 (a) – la tablă

№8.14 (c) – la tablă

Exerciții pentru ochi (muzică)

№8.8 (c)-la consiliu

№8.9-(e)-la consiliu

5. Munca independentă (Diapozitivul 6)

Soluție pentru munca independentă (diapozitivul 7)

6. Tema pentru acasă: finalizați sarcina nr. 8.14 (d), examenul de stat unificat B5 din opțiunile 21,23,25 (diapozitivul 8)

7. Rezumatul lecției (Diapozitivul 9)

8. Reflecție (diapozitivul 10)

Chestionar.

1. Am lucrat în timpul lecției

2. Prin munca mea din clasa I

3. Lecția mi s-a părut

4. Pentru lecția I

5. Starea mea de spirit

6. Am avut materialul de lecție

7. Crezi că poți face față unor astfel de sarcini la examen?

8. Tema pentru acasă mi se pare

activ pasiv

mulțumit/nemulțumit

scurt lung

nu obosit / obosit

a devenit mai bine/a devenit mai rău

clar / nu clar

util/inutil

interesant plictisitor

da/nu/nu stiu

usor / dificil

interesant/neinteresant

Resurse folosite:

    Nikolsky S.M., Potapov K.M., . Algebra și începuturile analizei matematice, clasa a 11-a M.: Prosveshcheniye, 2010

    Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică

Poate duce la apariția așa-numitelor rădăcini străine. În acest articol, vom analiza mai întâi în detaliu ce este rădăcini străine. În al doilea rând, să vorbim despre motivele apariției lor. Și în al treilea rând, folosind exemple, vom lua în considerare principalele metode de filtrare a rădăcinilor străine, adică verificând rădăcinile pentru prezența celor străine printre ele pentru a le exclude din răspuns.

Rădăcini străine ale ecuației, definiție, exemple

Manualele școlare de algebră nu oferă o definiție a unei rădăcini străine. Acolo, ideea unei rădăcini străine se formează prin descrierea următoarei situații: cu ajutorul unor transformări ale ecuației, se face o tranziție de la ecuația inițială la ecuația corolară, se găsesc rădăcinile ecuației corolare rezultate. , iar rădăcinile găsite sunt verificate prin înlocuirea în ecuația originală, ceea ce arată că unele dintre rădăcinile găsite nu sunt rădăcini ale ecuației originale, aceste rădăcini sunt numite rădăcini străine pentru ecuația originală.

Pornind de la această bază, puteți accepta pentru dvs. următoarea definiție a unei rădăcini străine:

Definiție

Rădăcini străine- acestea sunt rădăcinile ecuației corolare obținute ca urmare a transformărilor, care nu sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Să dăm un exemplu. Să considerăm ecuația și consecința acestei ecuații x·(x−1)=0, obținute prin înlocuirea expresiei cu expresia identic egală x·(x−1) . Ecuația originală are o singură rădăcină 1. Ecuația obținută în urma transformării are două rădăcini 0 și 1. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină pentru ecuația originală.

Motive pentru posibila apariție a rădăcinilor străine

Dacă pentru a obține ecuația corolară nu folosiți transformări „exotice”, ci folosiți doar transformări de bază ale ecuațiilor, atunci rădăcinile străine pot apărea doar din două motive:

  • datorită extinderii ODZ şi
  • datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară.

Merită amintit aici că extinderea ODZ ca urmare a transformării ecuației are loc în principal

  • La reducerea fracțiilor;
  • Când înlocuiți un produs cu unul sau mai mulți factori zero cu zero;
  • Când înlocuiți o fracție cu un numărător zero cu zero;
  • Când se folosesc unele proprietăți ale puterilor, rădăcinilor, logaritmilor;
  • La folosirea unor formule trigonometrice;
  • Când ambele părți ale unei ecuații sunt înmulțite cu aceeași expresie, aceasta dispare cu ODZ pentru acea ecuație;
  • La eliberarea de semne logaritmice în procesul de soluție.

Exemplul din paragraful anterior al articolului ilustrează apariția unei rădăcini străine din cauza expansiunii ODZ, care apare la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x·(x−1)=0. ODZ pentru ecuația originală este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui zero, ODZ pentru ecuația rezultată este mulțimea R, adică ODZ este extins cu numărul zero. Acest număr se dovedește în cele din urmă a fi o rădăcină străină.

Vom da, de asemenea, un exemplu de apariție a unei rădăcini străine datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pare. Ecuația irațională are o singură rădăcină 4, iar consecința acestei ecuații, obținută din aceasta prin punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației, adică ecuația , are două rădăcini 1 și 4. Din aceasta este clar că pătrarea ambelor părți ale ecuației a condus la apariția unei rădăcini străine pentru ecuația originală.

Rețineți că extinderea ODZ și ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă nu duce întotdeauna la apariția rădăcinilor străine. De exemplu, când treceți de la ecuație la ecuația corolară x=2, ODZ se extinde de la mulțimea tuturor numerelor nenegative la mulțimea tuturor numerelor reale, dar nu apar rădăcini străine. 2 este singura rădăcină a primei și a doua ecuații. De asemenea, nu apar rădăcini străine atunci când treceți de la o ecuație la o ecuație corolar. Singura rădăcină a primei și a doua ecuații este x=16. De aceea nu vorbim despre motivele apariției rădăcinilor străine, ci despre motivele posibilei apariții a rădăcinilor străine.

Ce înseamnă eliminarea rădăcinilor străine?

Termenul „cernerea rădăcinilor străine” poate fi numit stabilit, nu se găsește în toate manualele de algebră, dar este intuitiv, motiv pentru care este de obicei folosit. Ceea ce se înțelege prin cernerea rădăcinilor străine devine clar din următoarea frază: „... verificarea este un pas obligatoriu în rezolvarea unei ecuații, care va ajuta la detectarea rădăcinilor străine, dacă există, și la eliminarea lor (de obicei se spune „elimină buruienile ”).”

Prin urmare,

Definiție

Eliminarea rădăcinilor străine- aceasta este detectarea și eliminarea rădăcinilor străine.

Acum puteți trece la metode de eliminare a rădăcinilor străine.

Metode pentru eliminarea rădăcinilor străine

Verificarea înlocuirii

Principala modalitate de a filtra rădăcinile străine este un test de substituție. Vă permite să îndepărtați rădăcinile străine care ar putea apărea atât din cauza extinderii ODZ, cât și din cauza ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă.

Testul de substituție este următorul: rădăcinile găsite ale ecuației corolare sunt înlocuite la rândul lor în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta, cele care dau egalitatea numerică corectă sunt rădăcinile ecuației inițiale, iar cele care dau egalitatea numerică sau expresia incorectă sunt rădăcinile ecuației originale fără sens, sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să arătăm cu un exemplu cum să filtram rădăcinile străine prin substituție în ecuația originală.

În unele cazuri, este mai convenabil să se filtreze rădăcinile străine folosind alte metode. Acest lucru se aplică în principal cazurilor în care verificarea prin substituție este asociată cu dificultăți de calcul semnificative sau când metoda standard de rezolvare a ecuațiilor de un anumit tip necesită o altă verificare (de exemplu, eliminarea rădăcinilor străine atunci când rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale se realizează conform condiția ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero ). Să ne uităm la modalități alternative de a îndepărta rădăcinile străine.

Potrivit DL

Spre deosebire de testarea prin substituție, filtrarea rădăcinilor străine folosind ODZ nu este întotdeauna adecvată. Faptul este că această metodă vă permite să filtrați numai rădăcinile străine care apar din cauza expansiunii ODZ și nu garantează separarea rădăcinilor străine care ar putea apărea din alte motive, de exemplu, datorită ridicării ambelor părți. a ecuației la aceeași putere pară . Mai mult, nu este întotdeauna ușor să găsiți OD pentru ecuația care se rezolvă. Cu toate acestea, metoda de separare a rădăcinilor străine folosind ODZ merită menținută în funcțiune, deoarece utilizarea sa necesită adesea mai puțină muncă de calcul decât utilizarea altor metode.

Îndepărtarea rădăcinilor străine conform ODZ se efectuează după cum urmează: toate rădăcinile găsite ale ecuației corolare sunt verificate pentru a vedea dacă aparțin intervalului de valori permise ale variabilei pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă acesteia, cele care aparțin ODZ sunt rădăcini ale ecuației originale, iar cele care aparțin ODZ sunt rădăcini ale ecuației originale, iar cele care nu aparțin ODZ sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Analiza informațiilor furnizate duce la concluzia că este recomandabil să se elimine rădăcinile străine folosind ODZ dacă în același timp:

  • este ușor să găsiți ODZ pentru ecuația originală,
  • rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită extinderii ODZ,
  • Testarea de substituție este asociată cu dificultăți de calcul semnificative.

Vom arăta cum se efectuează în practică îndepărtarea rădăcinilor străine.

Conform termenilor DL

După cum am spus în paragraful anterior, dacă rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită expansiunii ODZ, atunci ele pot fi eliminate folosind ODZ pentru ecuația originală. Dar nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ sub forma unui set numeric. În astfel de cazuri, este posibil să se elimine rădăcinile străine nu în funcție de ODZ, ci în funcție de condițiile care determină ODZ. Să explicăm cum se efectuează îndepărtarea rădăcinilor străine în condițiile ODZ.

Rădăcinile găsite sunt la rândul lor substituite în condițiile care determină ODZ pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă cu aceasta. Cele care îndeplinesc toate condițiile sunt rădăcinile ecuației. Iar acelea dintre ele care nu satisfac cel puțin o condiție sau dau o expresie care nu are sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să dăm un exemplu de eliminare a rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Îndepărtarea rădăcinilor străine rezultate din ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere uniformă

Este clar că îndepărtarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară se poate face prin substituirea acesteia în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta. Dar o astfel de verificare poate implica dificultăți de calcul semnificative. În acest caz, merită să cunoașteți o metodă alternativă de separare a rădăcinilor străine, despre care vom vorbi acum.

Eliminarea rădăcinilor străine care pot apărea la ridicarea ambelor părți ale ecuațiilor iraționale ale formei la aceeași putere pară , unde n este un număr par, poate fi efectuat conform condiției g(x)≥0. Aceasta rezultă din definiția unei rădăcini de grad par: o rădăcină de un grad par n este un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu numărul radical, de unde . Astfel, abordarea exprimată este un fel de simbioză a metodei de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere și a metodei de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii. Adică ecuația , unde n este un număr par, se rezolvă prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară, iar eliminarea rădăcinilor străine se realizează conform condiției g(x)≥0, luată din metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii.

Unele transformări ne permit să trecem de la ecuația în curs de rezolvare la cele echivalente, precum și la ecuații corolar, ceea ce simplifică soluția ecuației inițiale. În acest material vă vom spune care sunt aceste ecuații, vom formula definițiile de bază, le vom ilustra cu exemple clare și vă vom explica exact cum sunt calculate rădăcinile ecuației inițiale din rădăcinile ecuației corolare sau ale unei ecuații echivalente.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de ecuații echivalente

Definiția 1

Echivalent astfel de ecuații se numesc cele care au aceleași rădăcini sau cele în care nu există rădăcini.

Definiții de acest tip se găsesc adesea în diverse manuale. Să dăm câteva exemple.

Definiția 2

Ecuația f(x) = g(x) este considerată echivalentă cu ecuația r(x) = s(x) dacă au aceleași rădăcini sau ambele nu au rădăcini.

Definiția 3

Ecuațiile cu aceleași rădăcini sunt considerate echivalente. Ele sunt, de asemenea, considerate a fi două ecuații care în mod egal nu au rădăcini.

Definiția 4

Dacă ecuația f (x) = g (x) are același set de rădăcini ca și ecuația p (x) = h (x), atunci acestea sunt considerate echivalente între ele.

Când vorbim despre un set coincident de rădăcini, ne referim la faptul că, dacă un anumit număr este rădăcina unei ecuații, atunci acesta va fi potrivit ca soluție pentru o altă ecuație. Niciuna dintre ecuațiile care sunt echivalente nu poate avea o rădăcină care nu este potrivită pentru cealaltă.

Să dăm câteva exemple de astfel de ecuații.

Exemplul 1

De exemplu, 4 x = 8, 2 x = 4 și x = 2 vor fi echivalente, deoarece fiecare dintre ele are o singură rădăcină - două. De asemenea, x · 0 = 0 și 2 + x = x + 2 vor fi echivalente, deoarece rădăcinile lor pot fi orice numere, adică seturile lor de soluții coincid. De asemenea, echivalente vor fi ecuațiile x = x + 5 și x 4 = − 1, fiecare dintre acestea neavând o singură soluție.

Pentru claritate, luați în considerare câteva exemple de ecuații neechivalente.

Exemplul 2

De exemplu, acestea ar fi x = 2 și x 2 = 4, deoarece rădăcinile lor sunt diferite. Același lucru este valabil și pentru ecuațiile x x = 1 și x 2 + 5 x 2 + 5, deoarece în a doua soluția poate fi orice număr, iar în a doua rădăcina nu poate fi 0.

Definițiile date mai sus sunt potrivite și pentru ecuațiile cu mai multe variabile, dar în cazul în care vorbim de două, trei sau mai multe rădăcini, expresia „rezolvarea ecuației” este mai potrivită. Astfel, pentru a rezuma: ecuațiile echivalente sunt acele ecuații care au aceleași soluții sau nu au deloc.

Să luăm exemple de ecuații care conțin mai multe variabile și sunt echivalente între ele. Astfel, x 2 + y 2 + z 2 = 0 și 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 includ fiecare trei variabile și au o singură soluție, egală cu 0, în toate cele trei cazuri. Și perechea de ecuații x + y = 5 și x · y = 1 nu va fi echivalentă între ele, deoarece, de exemplu, valorile 5 și 3 sunt potrivite pentru prima, dar nu vor fi o soluție pentru al doilea: când le înlocuim în prima ecuație, vom obține egalitatea corectă, iar în a doua - incorectă.

Conceptul de ecuații corolare

Să cităm câteva exemple de definiții ale ecuațiilor corolare luate din manuale.

Definiția 5

O consecință a ecuației f (x) = g (x) va fi ecuația p (x) = h (x), cu condiția ca fiecare rădăcină a primei ecuații să fie în același timp o rădăcină a celei de-a doua.

Definiția 6

Dacă prima ecuație are aceleași rădăcini ca a doua, atunci a doua va fi o ecuație de consecință a primei.

Să luăm câteva exemple de astfel de ecuații.

Exemplul 3

Deci, x · 2 = 32 va fi o consecință a lui x − 3 = 0, deoarece prima are o singură rădăcină, egală cu trei, și va fi și rădăcina celei de-a doua ecuații, prin urmare, în contextul acestei definiții , o ecuație va fi o consecință a celeilalte. Un alt exemplu: ecuația (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 va fi consecința lui x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 deoarece a doua ecuație are două rădăcini, egale cu 2 și 3, care în același timp vor fi rădăcinile primei.

Din definiția dată mai sus, putem concluziona că consecința oricărei ecuații care nu are rădăcini va fi și orice ecuație. Iată câteva alte consecințe din toate regulile formulate în acest articol:

Definiția 7

  1. Dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci fiecare dintre ele va fi o consecință a celeilalte.
  2. Dacă fiecare dintre cele două ecuații este o consecință a celeilalte, atunci aceste ecuații vor fi echivalente una cu cealaltă.
  3. Ecuațiile vor fi echivalente între ele numai dacă fiecare dintre ele este o consecință a celeilalte.

Cum să găsiți rădăcinile unei ecuații din rădăcinile unei ecuații corolare sau a unei ecuații echivalente

Pe baza a ceea ce am scris în definiții, în cazul în care cunoaștem rădăcinile unei ecuații, atunci cunoaștem și rădăcinile celor echivalente, deoarece acestea vor coincide.

Dacă cunoaștem toate rădăcinile ecuației corolare, atunci putem determina rădăcinile celei de-a doua ecuații a cărei consecință este. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să îndepărtați rădăcinile străine. Am scris un articol separat despre cum se face acest lucru. Vă sfătuim să o citiți.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Se încarcă...Se încarcă...