في سياق الحساب المدرسي ، يتم إجراء جميع العمليات الحسابية بأرقام حقيقية. مجموعة هذه الأرقام (أو الحقل المرتب المستمر) لها عدد من الخصائص (البديهيات): التبادلية وترابط الضرب والجمع ، وجود صفر ، واحد ، عناصر معاكسة وعكسية. كما تطبق على بديهيات النظام والاستمرارية تحليل مقارن، تسمح لك بتحديد جميع خصائص الأعداد الحقيقية.
نظرًا لأن القسمة هي معكوس الضرب ، تنشأ حتمًا مشكلتان غير قابلتين للحل عند قسمة الأعداد الحقيقية على صفر. أولاً ، التحقق من نتيجة القسمة على الصفر باستخدام الضرب لا يحتوي على تعبير رقمي. مهما كان عدد حاصل القسمة ، إذا ضرب في صفر ، فلا يمكن الحصول على المقسوم. ثانيًا ، في مثال 0: 0 ، أي رقم يمكن أن يكون بمثابة الجواب ، والذي يتحول دائمًا إلى الصفر عند ضرب القاسم.
القسمة على الصفر في الرياضيات العليا
وأضاف أن الصعوبات المذكورة في القسمة على الصفر أدت إلى تحريم هذه العملية على الاكثر، في إطار الدورة المدرسية. ومع ذلك ، في الرياضيات العليا ، وجدوا طرقًا للالتفاف على هذا الحظر.
على سبيل المثال ، ببناء هيكل جبري آخر يختلف عن خط الأعداد المألوف. مثال على هذا الهيكل هو العجلة. هناك قوانين ولوائح هنا. على وجه الخصوص ، لا ترتبط القسمة بالضرب ويتم تحويلها من عملية ثنائية (مع وسيطتين) إلى عملية أحادية (مع وسيطة واحدة) ، يُشار إليها بالرمز / x.
يحدث توسع مجال الأعداد الحقيقية بسبب إدخال أعداد فائقة الواقعية ، والتي تغطي كميات لا متناهية من الكميات الكبيرة والصغيرة بشكل لا نهائي. يتيح لنا هذا الأسلوب اعتبار مصطلح "اللانهاية" كرقم معين. علاوة على ذلك ، فإن هذا الرقم ، عندما يتوسع خط الأعداد ، يفقد علامته ، ويتحول إلى نقطة مثالية تربط طرفي هذا الخط. يمكن مقارنة هذا النهج بخط تغيير التاريخ ، عندما يمكنك التنقل بين منطقتين زمنيتين UTC + 12 و UTC-12 اليوم التاليأو في السابق. في هذه الحالة ، تصبح العبارة x / 0 = ∞ صحيحة لأي x ≠ 0.
للقضاء على عدم اليقين 0/0 ، يتم إدخال عنصر جديد ⏊ = 0/0 للعجلة. في نفس الوقت ، لهذه البنية الجبرية الفروق الدقيقة الخاصة بها: 0 x ≠ 0؛ x-x ≠ 0 بوصة الحالة العامة. أيضًا x · / x ≠ 1 ، نظرًا لأن القسمة والضرب لم يعدا يعتبران عمليات عكسية. لكن هذه الميزات للعجلة موضحة جيدًا باستخدام هويات قانون التوزيع ، الذي يعمل في مثل هذه البنية الجبرية بشكل مختلف نوعًا ما. يمكن العثور على تفسيرات أكثر تفصيلاً في الأدبيات المتخصصة.
الجبر ، الذي اعتاد عليه الجميع ، هو في الواقع حالة خاصة لما هو أكثر أنظمة معقدة، على سبيل المثال ، نفس العجلة. كما ترى ، من الممكن القسمة على صفر في الرياضيات الأعلى. هذا يتطلب تجاوز حدود الأفكار المعتادة حول الأرقام والعمليات الجبرية والقوانين التي تخضع لها. على الرغم من أن هذا لا بأس به عملية طبيعيةيرافق أي بحث عن معرفة جديدة.
يقولون إنه يمكنك القسمة على صفر إذا حددت نتيجة القسمة على صفر. فقط بحاجة إلى توسيع الجبر. بمحض الصدفة الغريبة ، ليس من الممكن العثور على بعض الأمثلة على هذا الامتداد ، ولكن يمكن فهمها بشكل أفضل وبسيطة. لإصلاح الإنترنت ، تحتاج إما إلى عرض توضيحي لإحدى طرق هذا الامتداد ، أو وصف سبب عدم إمكانية ذلك.
المقال مكتوب استمرارًا للاتجاه:
تنصل
الغرض من هذه المقالة هو الشرح لغة بشرية"، كيف تعمل الأسس الأساسية للرياضيات ، وهيكل المعرفة واستعادة علاقات السبب والنتيجة المفقودة بين أقسام الرياضيات. جميع الحجج فلسفية ، من حيث الأحكام التي تختلف عن تلك المقبولة عمومًا (وبالتالي ، لا تدعي أنها صارمة من الناحية الرياضية). المقال مصمم لمستوى القارئ "مر على البرج منذ سنوات عديدة".من المستحسن فهم مبادئ الجبر الحسابي والابتدائي والعام والخطي والتحليل الرياضي وغير القياسي ونظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة والهندسة الإسقاطية والهندسة الأفينية ، ولكن ليس مطلوبًا.
خلال التجارب ، لم تتأثر أي لانهاية واحدة.
مقدمة
يعد الذهاب إلى "ما بعد" عملية طبيعية للبحث عن معرفة جديدة. ولكن ليس كل بحث يجلب معرفة جديدة وبالتالي يستفيد.1. بشكل عام ، تم تقسيم كل شيء إلينا بالفعل!
1.1 التقريب تمديد خط الأعداد
لنبدأ من حيث ربما يبدأ جميع المغامرين عند القسمة على صفر. أذكر الرسم البياني للوظيفة
.
إلى يسار ويمين الصفر ، تدخل الدالة جوانب مختلفة"عدم وجود". عند نقطة الصفر ، يوجد "دوامة" بشكل عام ولا يوجد شيء مرئي.
بدلاً من إلقاء أنفسنا بتهور في "البركة" ، دعنا نرى ما يتدفق وما يتدفق من هناك. للقيام بذلك ، نستخدم الحد - الأداة الرئيسية للتحليل الرياضي. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في أن الحد يسمح لك بالانتقال إلى نقطة معينة في أقرب وقت ممكن ، ولكن لا يسمح لك "بالخطوة". مثل هذا "السياج" أمام "الدوامة".
إبداعي
حسنًا ، تم نصب "السياج". لم يعد الأمر مخيفًا بعد الآن. لدينا طريقان إلى "الدوامة". دعنا نذهب إلى اليسار - منحدر حاد ، إلى اليمين - صعود شديد الانحدار. مهما ذهبت إلى "السياج" ، فإنه لا يقترب. لا توجد طريقة لعبور "عدم الوجود" الأدنى والأعلى. أثيرت شكوك ، ربما نحن نسير في دوائر؟ على الرغم من الجواب ، فإن الأرقام تتغير ، لذلك ليس في دائرة. دعونا نفتش في الصندوق بأدوات التحليل الرياضي حتى الآن. بالإضافة إلى الحدود مع "السياج" ، تأتي المجموعة مع اللانهاية الإيجابية والسلبية. القيم مجردة تمامًا (وليست أرقامًا) ، ذات طابع رسمي جيد وجاهزة للاستخدام! يناسبنا. دعنا نكمل "وجودنا" (مجموعة الأعداد الحقيقية) مع اثنين من اللانهايات الموقعة.
اللغة الرياضية:
هذا الامتداد هو الذي يسمح لك بأخذ الحد عندما تميل الحجة إلى اللانهاية والحصول على اللانهاية كنتيجة لأخذ الحد.يوجد فرعين للرياضيات يصفان الشيء نفسه باستخدام مصطلحات مختلفة.
كي تختصر:
في بقايا جافة. الأساليب القديمة لم تعد تعمل. زاد تعقيد النظام ، في شكل مجموعة من "ifs" ، "للجميع ما عدا" ، إلخ. كان لدينا شكلين فقط من عدم اليقين 1/0 و 0/0 (لم نفكر في عمليات الطاقة) ، لذلك كان هناك خمسة. وقد أدى الكشف عن حالة عدم يقين واحدة إلى المزيد من حالات عدم اليقين.
1.2 عجلة
لم يتوقف كل شيء عند إدخال اللانهاية غير الموقعة. من أجل الخروج من حالة عدم اليقين ، تحتاج إلى ريح ثانية.إذن ، لدينا مجموعة من الأعداد الحقيقية ووجهتي عدم التيقن 1/0 و 0/0. للتخلص من الأول ، أجرينا امتدادًا إسقاطيًا للخط الحقيقي (أي أننا أدخلنا اللانهاية غير الموقعة). دعنا نحاول التعامل مع الارتياب الثاني في الشكل 0/0. لنفعل الشيء نفسه. دعنا نكمل مجموعة الأرقام بعنصر جديد يمثل الارتياب الثاني.
يعتمد تعريف القسمة على الضرب. لا يناسبنا. دعونا نفك ربط العمليات ببعضها البعض ، لكن مع الحفاظ على السلوك المعتاد للأرقام الحقيقية. دعنا نحدد عملية القسمة الأحادية ، التي يُرمز إليها بـ "/".
دعونا نحدد العمليات.
هذا الهيكل يسمى "العجلة". تم أخذ المصطلح بسبب التشابه مع الصورة الطوبولوجية للامتداد الإسقاطي للخط الحقيقي والنقطة 0/0.
كل شيء يبدو على ما يرام ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل:
لتسوية جميع الميزات ، بالإضافة إلى توسيع مجموعة العناصر ، تتم إضافة مكافأة في شكل ليس واحد ، ولكن هويتين لوصف قانون التوزيع.
اللغة الرياضية:من وجهة نظر الجبر العام ، عملنا في الميدان. وفي الميدان ، كما تعلم ، يتم تحديد عمليتين فقط (الجمع والضرب). يُشتق مفهوم القسمة من خلال العناصر المعكوسة ، وإذا كانت أعمق ، فإن العناصر المفردة. التغييرات التي تم إجراؤها تحول نظامنا الجبري إلى أحادي من خلال عملية الجمع (مع الصفر كعنصر محايد) وعن طريق عملية الضرب (مع الوحدة كعنصر محايد).في أعمال المكتشفين ، لا يتم استخدام الرموز ∞ و دائمًا. بدلاً من ذلك ، يمكنك رؤية الإدخال بالشكل / 0 و 0/0.
لم يعد العالم جميلاً بعد الآن ، أليس كذلك؟ مع ذلك ، لا تتعجل. لنتحقق مما إذا كانت الهويات الجديدة لقانون التوزيع ستتكيف مع مجموعتنا الموسعة.
هذه المرة كانت النتيجة أفضل بكثير.كي تختصر:
في بقايا جافة. يعمل الجبر بشكل رائع. ومع ذلك ، تم أخذ مفهوم "غير محدد" كأساس ، والذي بدأ يعتبر شيئًا موجودًا ويعمل به. في يوم من الأيام سيقول شخص ما أن كل شيء سيء وأنك بحاجة إلى تقسيم هذا "غير المحدد" إلى عدة "غير محددة" ولكن أصغر. سيقول الجبر العام: "لا مشكلة يا أخي!".
هذه هي الطريقة التي يتم بها افتراض إضافة علامات إضافة للوحدات التخيلية الإضافية (ي و ك) في المربعات
يفجيني شيرييف ، محاضر ورئيس مختبر الرياضيات في متحف البوليتكنيك، أخبر AiF.ru عن القسمة على صفر:
1. اختصاص القضية
موافق ، الحظر يعطي استفزازا خاصا للقاعدة. كيف هو مستحيل؟ الذي حظر؟ لكن ماذا عن حقوقنا المدنية؟
لا دستور الاتحاد الروسي ولا القانون الجنائي ولا حتى ميثاق مدرستك يعترضان على العمل الفكري الذي يهمنا. هذا يعني أنه لا يوجد حظر. أثر قانوني، ولا شيء يمنع هنا ، على صفحات AiF.ru ، من محاولة قسمة شيء ما على صفر. على سبيل المثال ، ألف.
2. تقسيم كما علمنا
تذكر ، عندما تعلمت كيفية القسمة لأول مرة ، تم حل الأمثلة الأولى عن طريق التحقق من الضرب: النتيجة مضروبة في القاسم يجب أن تتطابق مع القسمة. لم تتطابق - لم تقرر.
مثال 1 1000: 0 =...
دعنا ننسى القاعدة المحظورة لمدة دقيقة ونقوم بعدة محاولات لتخمين الإجابة.
خطأ سيقطع الشيك. كرر على الخيارات: 100 ، 1 ، −23 ، 17 ، 0 ، 10000. لكل منها ، سيعطي الاختبار نفس النتيجة:
100 0 = 1 0 = - 23 0 = 0 17 = 0 0 = 10000 0 = 0
الصفر عن طريق الضرب يحول كل شيء إلى نفسه وليس إلى ألف. الاستنتاج سهل الصياغة: لن يجتاز أي رقم الاختبار. أي أنه لا يمكن لأي رقم أن يكون نتيجة قسمة عدد غير صفري على صفر. مثل هذا التقسيم ليس محظورًا ، لكن ببساطة ليس له نتيجة.
3. فارق بسيط
كادت أن تضيع فرصة واحدة لدحض الحظر. نعم ، نحن ندرك أن الرقم غير الصفري لن يقبل القسمة على 0. ولكن ربما يمكن للصفر نفسه؟
مثال 2 0: 0 = ...
اقتراحاتك للخصوصية؟ مائة؟ من فضلك: حاصل قسمة 100 مضروبًا في المقسوم عليه 0 يساوي القسمة على 0.
المزيد من الخيارات! واحد؟ مناسب أيضًا. و -23 و 17 وجميع الكل. في هذا المثال ، سيكون فحص النتيجة موجبًا لأي رقم. ولكي نكون صادقين ، لا ينبغي تسمية الحل في هذا المثال برقم ، بل مجموعة من الأرقام. الجميع. ولن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للاتفاق على أن أليس ليست أليس ، بل ماري آن ، وكلاهما حلم أرنب.
4. ماذا عن الرياضيات العليا؟
تم حل المشكلة ، وأخذ الفروق الدقيقة في الاعتبار ، ووضع النقاط ، وكل شيء واضح - لا يوجد رقم يمكن أن يكون الجواب في المثال مع القسمة على صفر. حل مثل هذه المشاكل ميؤوس منه ومستحيل. مثير جدا! ضعف اثنين.
مثال 3 اكتشف كيفية قسمة 1000 على 0.
لكن بأي حال من الأحوال. لكن يمكن بسهولة قسمة 1000 على أرقام أخرى. حسنًا ، دعنا على الأقل نفعل ما ينجح ، حتى لو قمنا بتغيير المهمة. وهناك ، كما ترى ، سننجرف ، وستظهر الإجابة من تلقاء نفسها. انسَ الصفر تقريبًا ودقيقة واقسم على مائة:
مائة بعيدة عن الصفر. لنأخذ خطوة نحوها بتقليل المقسوم عليه:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
ديناميات واضحة: كلما اقترب المقسوم عليه من الصفر ، زاد حاصل القسمة. يمكن ملاحظة الاتجاه بشكل أكبر ، والانتقال إلى الكسور والاستمرار في تقليل البسط:
يبقى أن نلاحظ أنه يمكننا الاقتراب من الصفر بقدر ما نحب ، مما يجعل حاصل القسمة كبيرًا بشكل تعسفي.
لا يوجد صفر في هذه العملية ولا حاصل قسمة أخير. أشرنا إلى الحركة تجاههم من خلال استبدال الرقم بتسلسل يتقارب مع الرقم الذي يهمنا:
هذا يعني استبدالًا مشابهًا للأرباح:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
الأسهم على الوجهين لسبب: بعض التسلسلات يمكن أن تتقارب مع الأرقام. ثم يمكننا ربط متتالية بحدها العددي.
لنلقِ نظرة على تسلسل حواصل القسمة:
إنها تنمو إلى أجل غير مسمى ، وتسعى جاهدة بلا عدد وتتفوق على أي منها. يضيف علماء الرياضيات رموزًا إلى الأرقام ∞ لتتمكن من وضع سهم على الوجهين بجوار مثل هذا التسلسل:
تسمح لنا مقارنة أعداد التسلسلات بحدود باقتراح حل للمثال الثالث:
بقسمة تسلسل يتقارب إلى 1000 عنصر من خلال سلسلة من الأرقام الموجبة المتقاربة مع 0 ، نحصل على تسلسل يتقارب مع ∞.
5. وهنا فارق بسيط مع اثنين من الأصفار
ماذا ستكون نتيجة قسمة متتابعين من الأعداد الموجبة التي تقترب من الصفر؟ إذا كانت هي نفسها ، ثم الوحدة المتطابقة. إذا تقارب المقسوم المتسلسل إلى الصفر أسرع ، ثم في تسلسل معين بحد صفر. وعندما تنخفض عناصر المقسوم عليه بشكل أسرع بكثير من المقسوم ، فإن تسلسل حاصل القسمة ينمو بقوة:
حالة غير مؤكدة. وهكذا يطلق عليه: الشك في الشكل 0/0 . عندما يرى علماء الرياضيات متواليات تندرج تحت عدم اليقين هذا ، فإنهم لا يسارعون إلى تقسيم رقمين متطابقين على بعضهما البعض ، لكنهم يكتشفون أي التسلسل يصل إلى الصفر بشكل أسرع وكيف. ولكل مثال إجابته الخاصة!
6. في الحياة
يتعلق قانون أوم بالتيار والجهد والمقاومة في الدائرة. غالبًا ما يتم كتابته بهذا الشكل:
دعونا نهمل الفهم المادي الدقيق وننظر رسميًا إلى الجانب الأيمن على أنه حاصل قسمة رقمين. تخيل أننا نحل مشكلة مدرسية تتعلق بالكهرباء. تُعطى الحالة الجهد بالفولت والمقاومة بالأوم. السؤال واضح ، القرار في فعل واحد.
الآن دعونا نلقي نظرة على تعريف الموصلية الفائقة: هذه خاصية لبعض المعادن أن يكون لها مقاومة كهربائية صفرية.
حسنًا ، دعنا نحل مشكلة الدائرة فائقة التوصيل؟ فقط ضعها هكذا ص = 0 لن تنجح الفيزياء مهمة مثيرة للاهتمام، والتي من الواضح أنها تقف وراءها اكتشاف علمي. والأشخاص الذين تمكنوا من القسمة على صفر في هذه الحالة حصلوا عليها جائزة نوبل. من المفيد أن تكون قادرًا على تجاوز أي محظورات!
يقولون إنه يمكنك القسمة على صفر إذا حددت نتيجة القسمة على صفر. فقط بحاجة إلى توسيع الجبر. بمحض الصدفة الغريبة ، ليس من الممكن العثور على بعض الأمثلة على هذا الامتداد ، ولكن يمكن فهمها بشكل أفضل وبسيطة. لإصلاح الإنترنت ، تحتاج إما إلى عرض توضيحي لإحدى طرق هذا الامتداد ، أو وصف سبب عدم إمكانية ذلك.
المقال مكتوب استمرارًا للاتجاه:
تنصل
الغرض من هذه المقالة هو شرح كيفية عمل الأسس الأساسية للرياضيات في "اللغة البشرية" ، وبناء المعرفة واستعادة علاقات السبب والنتيجة المفقودة بين أقسام الرياضيات. جميع الحجج فلسفية ، من حيث الأحكام التي تختلف عن تلك المقبولة عمومًا (وبالتالي ، لا تدعي أنها صارمة من الناحية الرياضية). المقال مصمم لمستوى القارئ "مر على البرج منذ سنوات عديدة".من المستحسن فهم مبادئ الجبر الحسابي والابتدائي والعام والخطي والتحليل الرياضي وغير القياسي ونظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة والهندسة الإسقاطية والهندسة الأفينية ، ولكن ليس مطلوبًا.
خلال التجارب ، لم تتأثر أي لانهاية واحدة.
مقدمة
يعد الذهاب إلى "ما بعد" عملية طبيعية للبحث عن معرفة جديدة. ولكن ليس كل بحث يجلب معرفة جديدة وبالتالي يستفيد.1. بشكل عام ، تم تقسيم كل شيء إلينا بالفعل!
1.1 التقريب تمديد خط الأعداد
لنبدأ من حيث ربما يبدأ جميع المغامرين عند القسمة على صفر. أذكر الرسم البياني للوظيفة.
إلى يسار ويمين الصفر ، تذهب الوظيفة في اتجاهات مختلفة من "عدم الوجود". عند نقطة الصفر ، يوجد "دوامة" بشكل عام ولا يوجد شيء مرئي.
بدلاً من إلقاء أنفسنا بتهور في "البركة" ، دعنا نرى ما يتدفق وما يتدفق من هناك. للقيام بذلك ، نستخدم الحد - الأداة الرئيسية للتحليل الرياضي. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في أن الحد يسمح لك بالانتقال إلى نقطة معينة في أقرب وقت ممكن ، ولكن لا يسمح لك "بالخطوة". مثل هذا "السياج" أمام "الدوامة".
إبداعي
حسنًا ، تم نصب "السياج". لم يعد الأمر مخيفًا بعد الآن. لدينا طريقان إلى "الدوامة". دعنا نذهب إلى اليسار - منحدر حاد ، إلى اليمين - صعود شديد الانحدار. مهما ذهبت إلى "السياج" ، فإنه لا يقترب. لا توجد طريقة لعبور "عدم الوجود" الأدنى والأعلى. أثيرت شكوك ، ربما نحن نسير في دوائر؟ على الرغم من الجواب ، فإن الأرقام تتغير ، لذلك ليس في دائرة. دعونا نفتش في الصندوق بأدوات التحليل الرياضي حتى الآن. بالإضافة إلى الحدود مع "السياج" ، تأتي المجموعة مع اللانهاية الإيجابية والسلبية. القيم مجردة تمامًا (وليست أرقامًا) ، ذات طابع رسمي جيد وجاهزة للاستخدام! يناسبنا. دعنا نكمل "وجودنا" (مجموعة الأعداد الحقيقية) مع اثنين من اللانهايات الموقعة.
اللغة الرياضية:
هذا الامتداد هو الذي يسمح لك بأخذ الحد عندما تميل الحجة إلى اللانهاية والحصول على اللانهاية كنتيجة لأخذ الحد.يوجد فرعين للرياضيات يصفان الشيء نفسه باستخدام مصطلحات مختلفة.
كي تختصر:
في بقايا جافة. الأساليب القديمة لم تعد تعمل. زاد تعقيد النظام ، في شكل مجموعة من "ifs" ، "للجميع ما عدا" ، إلخ. كان لدينا شكلين فقط من عدم اليقين 1/0 و 0/0 (لم نفكر في عمليات الطاقة) ، لذلك كان هناك خمسة. وقد أدى الكشف عن حالة عدم يقين واحدة إلى المزيد من حالات عدم اليقين.
1.2 عجلة
لم يتوقف كل شيء عند إدخال اللانهاية غير الموقعة. من أجل الخروج من حالة عدم اليقين ، تحتاج إلى ريح ثانية.إذن ، لدينا مجموعة من الأعداد الحقيقية ووجهتي عدم التيقن 1/0 و 0/0. للتخلص من الأول ، أجرينا امتدادًا إسقاطيًا للخط الحقيقي (أي أننا أدخلنا اللانهاية غير الموقعة). دعنا نحاول التعامل مع الارتياب الثاني في الشكل 0/0. لنفعل الشيء نفسه. دعنا نكمل مجموعة الأرقام بعنصر جديد يمثل الارتياب الثاني.
يعتمد تعريف القسمة على الضرب. لا يناسبنا. دعونا نفك ربط العمليات ببعضها البعض ، لكن مع الحفاظ على السلوك المعتاد للأرقام الحقيقية. دعنا نحدد عملية القسمة الأحادية ، التي يُرمز إليها بـ "/".
دعونا نحدد العمليات.
هذا الهيكل يسمى "العجلة". تم أخذ المصطلح بسبب التشابه مع الصورة الطوبولوجية للامتداد الإسقاطي للخط الحقيقي والنقطة 0/0.
كل شيء يبدو على ما يرام ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل:
لتسوية جميع الميزات ، بالإضافة إلى توسيع مجموعة العناصر ، تتم إضافة مكافأة في شكل ليس واحد ، ولكن هويتين لوصف قانون التوزيع.
اللغة الرياضية:من وجهة نظر الجبر العام ، عملنا في الميدان. وفي الميدان ، كما تعلم ، يتم تحديد عمليتين فقط (الجمع والضرب). يُشتق مفهوم القسمة من خلال العناصر المعكوسة ، وإذا كانت أعمق ، فإن العناصر المفردة. التغييرات التي تم إجراؤها تحول نظامنا الجبري إلى أحادي من خلال عملية الجمع (مع الصفر كعنصر محايد) وعن طريق عملية الضرب (مع الوحدة كعنصر محايد).في أعمال المكتشفين ، لا يتم استخدام الرموز ∞ و دائمًا. بدلاً من ذلك ، يمكنك رؤية الإدخال بالشكل / 0 و 0/0.
لم يعد العالم جميلاً بعد الآن ، أليس كذلك؟ مع ذلك ، لا تتعجل. لنتحقق مما إذا كانت الهويات الجديدة لقانون التوزيع ستتكيف مع مجموعتنا الموسعة
هذه المرة كانت النتيجة أفضل بكثير.كي تختصر:
في بقايا جافة. يعمل الجبر بشكل رائع. ومع ذلك ، تم أخذ مفهوم "غير محدد" كأساس ، والذي بدأ يعتبر شيئًا موجودًا ويعمل به. في يوم من الأيام سيقول شخص ما أن كل شيء سيء وأنك بحاجة إلى تقسيم هذا "غير المحدد" إلى عدة "غير محددة" ولكن أصغر. سيقول الجبر العام: "لا مشكلة يا أخي!".
هذه هي الطريقة التي يتم بها افتراض إضافة علامات إضافة للوحدات التخيلية الإضافية (ي و ك) في المربعات
- درس تعليمي
ابنتي صوفيا البالغة من العمر 3 سنوات مؤخراغالبًا ما يذكر "صفر" ، على سبيل المثال ، في هذا السياق:
- سونيا ، يبدو أنك لم تطيع في البداية ، ثم أطعت ، ماذا حدث؟ ..
- حسنا ... صفر!
أولئك. شعور أرقام سالبةوحياد الصفر قد حدث بالفعل ، آه كيف. سرعان ما يسأل: لماذا يستحيل القسمة على صفر؟
ولذا قررت بعبارات بسيطةاكتب كل شيء ما زلت أتذكره عن القسمة على صفر وكل ذلك.
من الأفضل عمومًا رؤية الانقسام مرة واحدة بدلاً من سماعها مائة مرة.
حسنًا ، أو واحدًا مقسومًا على x مرة لنرى ...
يتضح هنا على الفور أن الصفر هو مركز الحياة والكون وكل ذلك. إجابة على السؤال الرئيسيحول كل هذا ، اسمح لنفسك أن تكون 42 ، لكن المركز - بأي شكل من الأشكال 0. ليس لديه حتى علامة ، لا زائد (مطيع) ، ولا سالب (لم يطيع) ، إنه صفر حقًا. وهو يعرف الكثير عن الخنازير.
لأنه إذا تم ضرب أي خنزير في صفر ، فسيتم امتصاص الخنزير في هذا الثقب الأسود المستدير ، ويتم الحصول على الصفر مرة أخرى. هذا الصفر ليس محايدًا عندما يتعلق الأمر بالجمع والطرح للضرب ، ناهيك عن القسمة ... هناك ، إذا كان الصفر أعلى "0 / س" ، ثم مرة أخرى ثقب أسود. كل شيء يذهب إلى الصفر. ولكن إذا كان أثناء التقسيم ، وحتى من الأسفل - "x / 0" ، فإنه يبدأ ... اتبع الأرنب الأبيض ، سونيا!
في المدرسة ، سيقولون لك "لا يمكنك القسمة على صفر" ولن يستحيوا. كدليل على ذلك ، نقروا "1/0 =" على الآلة الحاسبة ، وستكتب الآلة الحاسبة المعتادة ، بدون خجل أيضًا ، "E" ، و "خطأ" ، كما يقولون ، "هذا مستحيل - هذا يعني أنه مستحيل". على الرغم من أن ما يعتبر آلة حاسبة عادية ، إلا أن هناك سؤالًا آخر. الآن ، في عام 2014 ، كتبت آلة حاسبة قياسية على هاتف android شيئًا مختلفًا تمامًا بالنسبة لي:
نجاح باهر اللانهاية. حرك عينيك وقطع الدوائر. هنا لا يمكنك. اتضح أنك تستطيع. إذا بعناية. نظرًا لعدم توخي الحذر ، فإن جهاز Android الخاص بي لا يوافق حتى الآن: "0/0 = خطأ" ، مرة أخرى لا يمكنك ذلك. لنحاول مرة أخرى: "-1/0 =-" ، أوه كيف. رأي ممتع لكني لا أتفق معه. لأنني لا أتفق مع "0/0 = خطأ".
بالمناسبة ، فإن JavaScript الذي يدعم مواقع اليوم لا يتوافق أيضًا مع آلة حاسبة android: انتقل إلى وحدة تحكم المتصفح (لا يزال F12؟) واكتب هناك: "0/0" (إدخال). سوف يجيبك JS: "NaN". هذا ليس خطأ. هذا "ليس رقمًا" - أي شيء من هذا القبيل ، ولكن ليس رقمًا. بينما يُفهم "1/0" JS أيضًا بأنه "إنفينيتي". إنه أقرب. ولكن طالما أنها دافئة ...
في الجامعة - رياضيات عليا. هناك حدود وأعمدة وشامانية أخرى. وكل شيء يصبح أكثر تعقيدًا وتعقيدًا ، فهم يتفوقون على الأدغال ، لكن فقط ليسوا لخرق القوانين الكريستالية للرياضيات. لكن إذا لم تحاول أن تدخل القسمة صفرًا في هذه القوانين الحالية ، فيمكنك أن تشعر بهذا الخيال - على أصابعك.
للقيام بذلك ، دعونا ننظر إلى القسمة مرة أخرى:
إتبع الخط الصحيح، من اليمين إلى اليسار. كلما اقتربت x من الصفر ، زادت قوة القسمة على x. وفي مكان ما في الغيوم "زائد اللانهاية". هي دائما أبعد ، مثل الأفق ، لن تلحق بها.
الآن اتبع الخط الأيسر ، من اليسار إلى اليمين. نفس القصة ، الآن فقط يطير المقسّم إلى أسفل ، إلى أسفل بلا حدود ، إلى "ناقص ما لا نهاية". ومن هنا جاء الرأي القائل بأن "1/0 = +" ، و "-1/0 = 1 / -0 =-".
لكن الحيلة هي أن "0 = -0" ، الصفر ليس له علامة ، إذا لم تعقد مع الحدود. وإذا قسمت واحدًا على مثل هذا الصفر "البسيط" بدون علامة ، فليس من المنطقي أن نفترض أن اللانهاية ستظهر أيضًا - اللانهاية "فقط" ، بدون علامة ، مثل الصفر. أين هي - فوق أم أسفل؟ إنه في كل مكان - بعيدًا تمامًا عن الصفر في كل الاتجاهات. هذا هو الصفر قلب رأسا على عقب. صفر - لا شيء. اللانهاية هي كل شيء. كلاهما إيجابي وسلبي. بشكل عام ، كل شيء. وعلى الفور. مطلق.
ولكن كان هناك شيء حول "0/0" ، شيء آخر ، وليس ما لا نهاية ... لنفعل هذه الخدعة: "2 * 0 = 0" ، نعم ، سيقول المعلم في المدرسة. أيضًا: "3 * 0 = 0" - مرة أخرى ، نعم. وبعد أن أبصقت قليلاً على "لا يمكنك القسمة على صفر" ، كما يقولون ، فإن العالم كله ينقسم ببطء بالفعل ، نحصل على: "2 = 0/0" و "3 = 0/0". في أي فئة تقام ، فقط بدون صفر بالطبع.
انتظر لحظة ، اتضح أن "2 = 0/0 = 3" ، "2 = 3" ؟! لهذا السبب يخافون ، ولهذا "لا يستطيعون". فقط "0/0" أسوأ من "1/0" ، حتى آلة حاسبة Android تخشى ذلك.
ولسنا خائفين! لأننا نمتلك قوة الخيال في الرياضيات. يمكننا أن نتخيل أنفسنا كمطلق لانهائي في مكان ما في النجوم ، وننظر من هناك إلى العالم الخاطئ للأعداد المحدودة والناس ونفهم أنهم جميعًا متماثلون من وجهة النظر هذه. و "2" c "3" ، وحتى "-1" ، وربما أيضًا المعلم في المدرسة.
لذلك ، أفترض بتواضع أن 0/0 هو العالم المحدود بأكمله ، أو بالأحرى كل شيء ليس لانهائيًا وليس فراغًا.
هذا ما يبدو عليه صفر مقسومًا على x في تخيلاتي ، بعيدًا عن الرياضيات الرسمية. في الواقع ، يبدو أن 1 / x ، فقط الانعطاف ليس عند واحد ، ولكن عند الصفر. بالمناسبة ، 2 / س لها انعطاف في اثنين ، و 0.5 / س لها انعطاف في 0.5.
اتضح أن 0 / x عند x = 0 تأخذ جميع القيم المحدودة - ليس اللانهاية ، وليس الفراغ. هناك ثقب عند الصفر في الرسم البياني ، المحاور مرئية.
بالطبع ، يمكن للمرء أن يعترض على أن "0 * 0 = 0" ، مما يعني أن الصفر (الفراغ) يقع أيضًا في الفئة 0/0. سوف أمضي قدمًا قليلاً - ستكون هناك درجات من الصفر وسيتفكك هذا الاعتراض إلى أجزاء.
عفوًا ، يمكن أيضًا كتابة الواحد في اللانهاية كـ 0/0 ، اتضح أن (0/0) / 0 - ما لا نهاية. الآن الترتيب ، يمكن التعبير عن كل شيء بنسبة الأصفار.
على سبيل المثال ، إذا أضفت المحدود إلى ما لا نهاية ، فستمتص اللانهاية المحدود وتبقى اللانهاية:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
وإذا ضربت اللانهاية بالفراغ ، فإنهم يمتصون بعضهم البعض ، وينشأ عالم محدود:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
لكن هذا ليس سوى المستوى الأول من الأحلام. يمكنك حفر أعمق.
إذا كنت تعرف بالفعل مفهوم "قوة الرقم" ، وأن "1 / x = x ^ -1" ، فبإمكانك ، ببعض التفكير ، الانتقال من كل هذه الأقسام والأقواس (مثل (0/0) / 0) للقوى العادلة:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
فكرة.
هنا ، مع اللانهاية والفراغ ، كل شيء بسيط ، كما هو الحال في المدرسة. والعالم المحدود يذهب إلى درجات مثل هذه:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
يوف!
اتضح أن القوى الموجبة للصفر هي أصفار ، درجات سلبيةالصفر هو اللانهاية ، والقوة الصفرية للصفر هي عالم محدود.
هذه هي الطريقة التي يتضح بها الكائن العالمي "0 ^ x". تتفاعل هذه الأشياء تمامًا مع بعضها البعض ، مرة أخرى تخضع للعديد من القوانين والجمال بشكل عام.
كانت معرفتي المتواضعة بالرياضيات كافية لاستخلاص مجموعة أبيليان منها ، والتي ، عندما تكون معزولة في فراغ ("مجرد أشياء مجردة ، مثل هذا الشكل من التدوين ، مثل الأس") ، صمدت حتى أمام اختبار أروع معلم رياضيات مع الحكم "مثير للاهتمام ، ولكن لن ينجح شيء". مع ذلك ، سيظهر شيء ما هنا ، هذا موضوع محظور - القسمة على صفر. بشكل عام ، لا تهتم.
دعنا نحاول ببساطة ضرب اللانهاية في رقم محدد:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
مرة أخرى ، ابتلعت اللانهاية عددًا محدودًا بنفس الطريقة التي يبتلع بها الصفر المضاد أرقامًا محدودة ، نفس الثقب الأسود:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
واتضح أن الدرجات تشبه القوة. أولئك. صفر من الدرجة الثانية أقوى من الصفر المعتاد (من الدرجة الأولى ، 0 ^ 1). واللانهاية ناقص الدرجة الثانية أقوى من اللانهاية العادية (0 ^ -1).
وعندما يصطدم الفراغ بالمطلق ، فإنهم يقيسون قوتهم - من لديه أكثر ، سيفوز:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
إذا كانوا متساوين في القوة ، فإنهم يهلكون ويبقى العالم المحدود:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
بالمناسبة ، الرياضيات الرسمية قريبة بالفعل. يعرف ممثلوها عن "القطبين" وأن الأقطاب لها نقاط قوة (ترتيب) مختلفة ، وكذلك عن "صفر الترتيب k". لكنهم ما زالوا يدوسون على السطح الصلب "بجوار" ويخشون القفز إلى الثقب الأسود.
والأخير بالنسبة لي هو المستوى الثالث من الأحلام. على سبيل المثال ، هذه كلها 0 ^ -1 و 0 ^ -2 - لانهايات لقوى مختلفة. أو 0 ^ 1 ، 0 ^ 2 - أصفار مختلفة القوة. ولكن بعد كل شيء ، "-1" و "-2" و "+1" و "+2" - هذا كل شيء - لقد تم تجاوز 0/0 ، يساوي 0 ^ 0. اتضح أنه من هذا المستوى من الأحلام ، لا يهم ما هو - الأصفار ، واللانهايات ، وحتى العالم المحدود يصل إلى هناك ببعض التنوير. في نقطة واحدة. في فئة واحدة. هذه السعادة تسمى التفرد.
يجب الاعتراف بأنني خارج حالة التنوير لا ألاحظ نقطة واحدة ، ولكن هناك فئة واحدة - الاتحاد "0 ^ 0 U 0 ^ (0 ^ 0)" - تمامًا.
ما الفائدة التي يمكن الحصول عليها من كل هذا؟ بعد كل شيء ، حتى "الأرقام التخيلية" الأقل جنونًا ، والتي تمزق أيضًا الآلات الحاسبة في Error = √-1 ، ويمكن أن تصبح رياضيات رسمية والآن تبسط حسابات صناعة الصلب.
تبدو الأوراق كما هي على شجرة من مسافة بعيدة ، لكن إذا نظرت إليها بعناية ، فجميعها مختلفة. وإذا فكرت في الأمر ، فحينئذٍ نفس الشيء. ولا يختلف كثيرًا عنك أو عني. أو بالأحرى ، لا يختلفون إطلاقا ، إذا فكرت مليا.
الفائدة هنا هي القدرة على التركيز على الاختلافات والتجريدية. هذا مفيد جدًا في العمل والحياة ، وحتى فيما يتعلق بالموت.
مثل هذه الرحلات أسفل جحر الأرانب ، سونيا!
جار التحميل...