Pretvaranje snaga u cijele brojeve. Kako podići broj na negativan stepen

Od škole svi znamo pravilo o eksponencijalnosti: bilo koji broj sa eksponentom N jednak je rezultatu množenja ovog broja sam sa sobom N broj puta. Drugim riječima, 7 na stepen od 3 je 7 pomnoženo sam sa sobom tri puta, odnosno 343. Drugo pravilo je da podizanje bilo koje količine na stepen od 0 daje jedan, a povećanje negativne količine rezultat je običnog povećanja na stepen ako je paran, a isti rezultat sa predznakom minus ako je neparan.

Pravila također daju odgovor na to kako podići broj do negativan stepen. Da biste to učinili, potrebno je podići potrebnu vrijednost za modul indikatora na uobičajeni način, a zatim podijeliti jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da je implementacija stvarni problemi rukovanje velikim količinama će zahtijevati dostupnost tehnička sredstva. Ručno možete sami pomnožiti maksimalan raspon brojeva do dvadeset do trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo da ne spominjemo dijeljenje jedan s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativan stepen u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Za rješavanje problema koji uključuju eksponencijaciju, Excel vam omogućava korištenje jedne od dvije opcije.

Prvi je upotreba formule sa standardnim znakom “poklopac”. Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način, možete podići željenu vrijednost na bilo koji stepen - negativan, razlomak. Hajde da to uradimo sledeće radnje i odgovori na pitanje kako podići broj na negativan stepen. primjer:

Možete ispraviti =B2^-C2 direktno u formuli.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije “Degree”, koja uzima dva potrebna argumenta - broj i eksponent. Da biste ga počeli koristiti, samo stavite znak jednakosti (=) u bilo koju slobodnu ćeliju, što označava početak formule, i unesite gornje riječi. Ostaje samo odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Formula

Rezultat

STEPEN(B2;C2)

STEPEN(B3;C3)

0,002915

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u tome kako podići broj na negativan stepen i na običan stepen koristeći Excel. Uostalom, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i ugrađenu funkciju programa, koju je lako zapamtiti. Ovo je definitivno plus!

Idemo dalje složeni primjeri. Prisjetimo se pravila kako podići broj na negativan razlomak, pa ćemo vidjeti da se ovaj problem vrlo lako rješava u Excelu.

Frakcioni indikatori

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja sa frakcijskim eksponentom je sljedeći.

Pretvorite razlomak u pravilan ili nepravilan razlomak.
Podignite naš broj na brojnik rezultirajućeg pretvorenog razlomka.
Iz broja dobijenog u prethodnom pasusu izračunajte korijen, uz uvjet da eksponent korijena bude imenilac razlomka dobijenog u prvoj fazi.

Slažete se da čak i kada radite s malim brojevima i tačne razlomke Takvi proračuni mogu potrajati dosta vremena. Dobro je da Excel tabelarni procesor ne brine koji se broj podiže na koji stepen. Pokušajte riješiti sljedeći primjer na Excel radnom listu:

Koristeći gore navedena pravila, možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun ispravno obavljen.

Na kraju našeg članka predstavit ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativan stepen, kao i nekoliko primjera rada s razlomcima i potencijama.

Primjer tabele

Pogledajte sljedeće primjere u svom Excel radnom listu. Da bi sve funkcionisalo ispravno, potrebno je da koristite mešovitu referencu kada kopirate formulu. Popravite broj kolone koja sadrži broj koji se podiže i broj reda koji sadrži indikator. Vaša formula bi trebala izgledati otprilike ovako: "=$B4^C$3."

Broj/stepen

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i necijeli brojevi) mogu izračunati bez problema za bilo koji eksponent. Nema problema sa podizanjem brojeva na cele brojeve. Ali konstrukcija negativan broj na razlomak će se za vas pretvoriti u grešku, jer je nemoguće poštovati pravilo navedeno na početku našeg članka o podizanju negativnih brojeva, jer je parnost karakteristika isključivo CELOG broja.

Nastavljajući razgovor o moći broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost stepena. Ovaj proces se zove eksponencijacija. U ovom članku ćemo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost i dotaknut ćemo se svega mogući pokazatelji stepeni – prirodni, celi, racionalni i iracionalni. A prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera dizanja brojeva na različite stepene.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija- ovo je pronalaženje vrijednosti stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena broja a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r su ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5."

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podiže na razlomak m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se rezultirajući rezultat podiže na cijeli broj m.

Pogledajmo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Pokazaćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena ispod predznaka korijena, a zatim izdvajamo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na osnovu svojstava korena, tačne su sledeće jednakosti: . Sada izvlačimo korijen , konačno, podižemo ga na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na stepen.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2.5.

Rješenje.

Napišimo eksponent u obliku običan razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično radno intenzivan proces (posebno kada brojnik i nazivnik razlomka eksponenta sadrže dosta veliki brojevi), što se obično izvodi pomoću kompjuterska tehnologija.

Da zaključimo ovu poentu, zadržimo se na podizanju broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku nule oblika: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, nula do razlomka pozitivne moći je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena tačnu na određeni predznak. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektronskih računara, jer je za ručno podizanje na iracionalnu snagu potrebno velika količina glomazne kalkulacije. Ali ipak ćemo opisati u generalni nacrt suštinu akcije.

Da bi se dobila približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost stepena. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to je više tačna vrijednost diploma će se steći na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1.17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1.17 ≈2.250116. dakle, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, onda ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne institucije.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Podizanje na negativan stepen jedan je od osnovnih elemenata matematike i često se susreće u rješavanju algebarskih problema. U nastavku su detaljna uputstva.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kada broj podignemo na običan stepen, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa negativnim razlomkom je suprotno. Opšti oblik formule će biti sledeći: a -n = 1/a n. Dakle, da biste broj podigli na negativan stepen, trebate podijeliti jedan sa datim brojem, ali na pozitivan stepen.

Kako podići na negativan stepen - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gore navedeno pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Ali zašto su odgovori u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na paran stepen (2, 4, 6, itd.), predznak postaje pozitivan. Da je stepen paran, minus bi ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako podići brojeve od 0 do 1 na negativan stepen

Podsjetimo da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivan stepen, vrijednost se smanjuje kako se snaga povećava. Tako, na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (slijed radnji):

Mi prevodimo decimalni 0,5 do razlomaka 1/2. Tako je lakše.
Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelite 1 sa 1/(2) 2, dobijamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na osnovu 4. i 5. primjera možemo izvući nekoliko zaključaka:

Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativan stepen, nije važno da li je stepen paran ili neparan, vrijednost izraza će biti pozitivna. Štaviše, što je veći stepen, to je veća vrednost.
Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), podignut na negativan stepen, nije važno da li je potencija paran ili neparan, vrijednost izraza će biti negativna. U ovom slučaju, što je veći stepen, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativan stepen - stepen u obliku razlomka

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a regularan broj, m je brojilac stepena, n je imenilac stepena.

Pogledajmo primjer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

Prisjetimo se pravila za podizanje broja na negativan stepen. Dobijamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Obratite pažnju da imenilac ima broj 8 u razlomku. Opšti oblik izračunavanja frakcionog stepena je sledeći: a m/n = n √8 m.
Dakle, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobijamo kubni korijen od osam, koji je jednak 2. Odavde je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Odgovor: 8 -1/3 = 2

U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli moć broja. Danas ćemo pokušati da se krećemo kroz proces pronalaženja njegovog značenja. Naučno gledano, shvatićemo kako pravilno dizati na stepen. Shvatit ćemo kako se ovaj proces izvodi, a ujedno ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata: prirodnih, iracionalnih, racionalnih, cjelobrojnih.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

Definicija pojma.
Uzdizanje do negativne umjetnosti.
Cijeli indikator.
Podizanje broja na iracionalni stepen.

Evo definicije koja tačno odražava značenje: “Postavljanje u eksponencijal je definicija vrijednosti stepena broja.”

Shodno tome, podizanje broja a u čl. r i proces nalaženja vrijednosti stepena a sa eksponentom r su identični koncepti. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost stepena (0,6)6″, onda se može pojednostaviti na izraz „Podignite broj 0,6 na stepen 6.“

Nakon toga možete nastaviti direktno na pravila izgradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, obratite pažnju na sljedeći lanac izraza:

110=0,1=1* 10 minus 1 kašika,

1100=0,01=1*10 u minus 2 stepena,

11000=0,0001=1*10 u minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stepena.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koji minus stepen. U tu svrhu dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu komponentu:

10 do -1 stepen - ispred jedan je 1 nula;
u -3 - tri nule prije jedan;
u -9 ima 9 nula i tako dalje.

Iz ovog dijagrama je također lako razumjeti koliko će biti 10 minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodni stepen

Sjećajući se definicije, uzimamo to u obzir prirodni broj a u čl. n je jednako proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrujmo: (a*a*…a)n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati proizvod sledeći tip: a*a*…a podijeljeno sa n puta.

Iz ovoga postaje očigledno da podizanje do prirodne sv. oslanja se na sposobnost množenja(ovaj materijal je obrađen u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Povećajte -2 do 4. st.

Imamo posla sa prirodnim indikatorom. Shodno tome, tok odluke će biti sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo da pomnožite cijele brojeve: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobijamo 16.

Odgovor na problem:

(-2) u čl. 4=16.

primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zareze dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer je jednak sljedećem proizvodu: tri zareze dvije sedme pomnožene sa tri zareze dvije sedme. Podsjećajući kako se množe mješoviti brojevi, završavamo konstrukciju:

3 bod 2 sedme pomnožene same sa sobom;
jednako 23 sedmine pomnoženo sa 23 sedmine;
iznosi 529 četrdeset devetih;
smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni eksponent, treba napomenuti da se proračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stepena na bilo koju cifru koja bi omogućila dobivanje vrijednosti sa datom tačnošću. Na primjer, trebamo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobijamo:

P na kvadrat = (3,14)2=9,8596. Međutim, ako smanjimo P na deset hiljaditih, dobićemo P = 3,14159. Tada kvadriranje daje potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim zadacima nema potrebe za izgradnjom iracionalni brojevi do stepena. U pravilu, odgovor se unosi ili u obliku stvarnog stepena, na primjer, korijen od 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dozvoljava, vrši se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stupnjeva = 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cijeli broj

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sledećim slučajevima:

za cijele brojeve;
za nulti indikator;
za pozitivan cijeli broj eksponent.

Budući da se gotovo svi pozitivni cijeli brojevi poklapaju sa masom prirodnih brojeva, postavljanje na pozitivni cijeli broj je isti proces kao i postavljanje u čl. prirodno. Ovaj proces smo opisali u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o izračunavanju st. null. Iznad smo već saznali da se nulti stepen broja a može odrediti za bilo koji ne-nula a (realan), dok a u čl. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, podizanje bilo kojeg realnog broja na nulu st. će dati jedan.

Na primjer, 10 u st. 0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo završili podizanje na cijeli broj, ostaje da se odlučimo za opcije za negativne cjelobrojne vrijednosti. Podsjećamo da je čl. iz a sa celobrojnim eksponentom -z će biti definisan kao razlomak. Imenilac razlomka je st. sa pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo da razmotrimo primjer konstrukcije.

primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s negativnim cijelim eksponentom.

Proces rješenja:

Prema definiciji stepena sa negativnim eksponentom, označavamo: dva minus 3 stepena. jednako jedan prema dva na treći stepen.

Imenilac se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva na minus 3. čl. = jedna osmina.

može se naći pomoću množenja. Na primjer: 5+5+5+5+5+5=5x6. Za takav izraz se kaže da je zbir jednakih članova savijen u proizvod. I obrnuto, ako ovu jednakost čitamo s desna na lijevo, nalazimo da smo proširili zbir jednakih članova. Slično, možete skupiti proizvod nekoliko jednakih faktora 5x5x5x5x5x5=5 6.

Odnosno, umjesto da pomnože šest identičnih faktora 5x5x5x5x5x5, pišu 5 6 i kažu "pet na šesti stepen".

Izraz 5 6 je stepen broja, gdje je:

5 - osnova stepena;

6 - eksponent.

Zovu se radnje kojima se proizvod jednakih faktora svodi na stepen podizanje na stepen.

IN opšti pogled stepen sa osnovom "a" i eksponentom "n" piše se ovako

Podići broj a na stepen n znači pronaći proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a

Ako je osnova stepena “a” jednaka 1, tada će vrijednost stepena za bilo koji prirodni broj n biti jednaka 1. Na primjer, 1 5 =1, 1 256 =1

Ako podignete broj “a” na prvi stepen, tada dobijamo sam broj a: a 1 = a

Ako podignete bilo koji broj do nulti stepen, onda kao rezultat proračuna dobijamo jedan. a 0 = 1

Druga i treća potencija broja smatraju se posebnim. Smislili su im imena: drugi stepen se zove kvadrat broj, treći - kocka ovaj broj.

Bilo koji broj se može podići na stepen - pozitivan, negativan ili nula. U ovom slučaju ne važe sljedeća pravila:

Kada se pronađe stepen pozitivnog broja, rezultat je pozitivan broj.

Kada računamo nulu na prirodnu snagu, dobijamo nulu.

x m · x n = x m + n

na primjer: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

To podijeliti ovlasti sa istim osnovama Ne mijenjamo bazu, nego oduzimamo eksponente:

x m / x n = x m - n , Gdje, m > n,

na primjer: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Prilikom izračunavanja podizanje moći u moć Ne mijenjamo bazu, nego množimo eksponente jedan s drugim.

(kod m ) n = y m n

na primjer: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

na primjer:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Prilikom izvođenja proračuna prema dizanje razlomka na stepen podižemo brojilac i imenilac razlomka na dati stepen

(x/y)n = x n / y n

na primjer: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.

Redoslijed izračunavanja pri radu s izrazima koji sadrže stepen.

Prilikom izvođenja računanja izraza bez zagrada, ali koji sadrže stepene, prije svega izvode eksponencijaciju, zatim množenje i dijeljenje, a tek onda operacije sabiranja i oduzimanja.

Ako trebate izračunati izraz koji sadrži zagrade, onda prvo izvršite proračune u zagradama gore navedenim redoslijedom, a zatim preostale radnje istim redoslijedom s lijeva na desno.

Vrlo široko u praktičnim proračunima, gotove tablice snaga koriste se za pojednostavljenje proračuna.