Primjeri za sabiranje i oduzimanje razlomaka. Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka: pravila, primjeri. Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima

klasa: 5

Prezentacija za lekciju

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

sistematizirati znanje o običnim razlomcima;
ponoviti pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima;
ponoviti pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različiti imenioci.

edukativni:

razvijaju pažnju, govor, pamćenje, logičko mišljenje, samostalnost.

edukativni:

gajite želju za postizanjem cilja; samopouzdanje, sposobnost timskog rada.

znati: pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim i različitim nazivnicima.

Vrsta lekcije:čas generalizacije i sistematizacije znanja.

Oprema: ekran, multimedija, prezentacija „Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka” (Prilog 1), model običnog razlomka (Slika 1); obrazac sa testom, tabela odgovora (slika 2), emotikoni za razmišljanje (slika 3), nacrtana jelka (slika 4).

br.	Faza lekcije	Vrijeme	Scenski zadaci
1.	Organiziranje vremena.	3 min.	Pripremite učenike za čas.
2.	Ažuriranje znanja. Ponavljanje obrađenog materijala.	10 min.	Pregledajte pravilne i nepravilne razlomke, smanjite razlomke, dovedite razlomke na novi nazivnik, istaknite cijeli dio.
3.	Primjena pravila sabiranja i oduzimanja obične frakcije sa istim imeniocima.	10 min.	Pregledajte sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka sa sličnim nazivnicima.
4.	Minut fizičkog vaspitanja.	3 min.	Oslobodite umor djeteta, omogućite aktivan odmor i povećajte mentalni učinak učenika.
5.	Primjena pravila za sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka s različitim nazivnicima.	13 min.	Pregledajte sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka s različitim nazivnicima.
6.	Zadaća.	2 minute.	Instrukcije za domaći rad.
7.	Sažetak lekcije.	4 min.	Sažimanje. Ocjenjivanje. Refleksija.

Tokom nastave

1). Organiziranje vremena.

- "Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka."

Predlaže se formulisanje ciljeva i zadataka časa, koji se formulišu tokom diskusije (nastavnik ih može zapisati na tabli).

2). Ažuriranje znanja. Ponavljanje obrađenog materijala. (Slajd br. 1).

a) Danas ćemo započeti čas aukcijom. Dostupan je samo jedan lot: "obična frakcija" (slika 1). Prisjetimo se šta znamo o običnim razlomcima:

Numerator;

Denominator;

Razlomak - podjela;

On b delimo delove, uzimamo A takvi dijelovi;

Ispravno;

Netočno;

Odaberite cijeli dio;

Reduce;

Svesti na novi nazivnik;

Primjeri.

Ko je zadnji govorio o običnom razlomku, dobija model običnog razlomka.

b) Učvrstimo svoje znanje polaganjem testa(obrazac za odgovore, zadatak br. 1, slajd br. 2).

TEST

1. Pronađite tačan razlomak:

A); B) ; IN) .

2. Pronađite nepravilan razlomak:

A); B) ; IN) .

3. Smanjite razlomak:

A); B) ; IN) .

4. Smanjite razlomak na imenilac 28:

A); B) ; IN) .

5. Odaberite cijeli dio:

A); B) ; IN) .

Odgovori se unose u tabelu.

1 2 3 4 5

rezimirati:

5 "+" oznaka 5,
4 "+" oznaka 4,
3 "+" oznaka 3.

3).Primjena pravila za sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Koje obične razlomke možemo dodati?

Razlomci sa sličnim i različitim nazivnicima (slajd broj 3).

Ponovimo sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.

Da biste sabrali dva razlomka sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen.

Da biste oduzeli razlomke sa istim imeniocima, potrebno je da oduzmete brojilac minusa od brojnika minusa, a nazivnik ostane nepromenjen.

Učvrstimo znanje u praksi.

Od učenika se traži da usmeno izračunaju primjere i zapišu odgovore na listu za odgovore za zadatak broj 2.

Zamijenite sveske i izvršite međusobne provjere.

rezimirati:

9-8 "+" oznaka 5,
7-6 "+" oznaka 4,
5 "+" oznaka 3.

4). Minut fizičkog vaspitanja.

5). Primjena pravila za sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka s različitim nazivnicima.

Sabrali smo razlomke sa istim nazivnicima. Šta treba učiniti da se zbroje obični razlomci s različitim nazivnicima?(slajd broj 4).

Da biste zbrajali i oduzimali razlomke sa različitim nazivnicima, morate razlomke svesti na zajednički imenilac pronalaženjem dodatnih faktora. Izvršite sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka sa istim nazivnicima.

Radnje sa razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajdemo na glavno pitanje.

Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.

Sve ove radnje sa decimalni rad sa razlomcima se ne razlikuje od rada sa celim brojevima. Zapravo, to je ono što je dobro kod njih, decimalnih. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.

Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.

Ali akcije sa obične frakcije biće lukaviji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka.

Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da podsjetim one koji su potpuno zaboravni: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:

Ukratko, in opšti pogled:

Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći osnovnu osobinu razlomka (ovdje nam opet dobro dođe!), činimo nazivnike istim! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da imenioci budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neprijatno, a 4/10 je zaista u redu.

Inače, ovo je suština rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kada smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali pogodnija za rješavanje.

Drugi primjer:

Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":

Vau! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je istovremeno djeljiv sa 7 i 9. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako pomnožimo broj sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!

Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik zajednički za sve razlomke i svesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:

A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.

Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički imenitelj, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...

Sami dopunite primjer. Ne neka vrsta logaritma... Trebalo bi da bude 29/16.

Dakle, sabiranje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Novi rake će biti otkriven ovdje, da...

Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:

Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! To nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na X u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:

I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac na desnoj strani, shvatamo: da biste dobili imenilac x(x+1) u prvom razlomku, morate pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x+1) . A u drugom razlomku - na x. Ovo dobijate:

Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihovo odsustvo. Zagrade se pojavljuju jer se množimo sve brojilac i sve imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo šta množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:

Tako da smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Kada riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno savladali razlomke sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!

I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zaglave na primjerima cijeli brojevi. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne morate ga nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali veoma jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa, osvježeno je znanje o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Ponavljalo se pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Također se možete provjeriti. Hoćemo li to malo riješiti?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve operacije sa razlomcima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Ovaj članak započinje proučavanje operacija s algebarskim razlomcima: detaljno ćemo razmotriti takve operacije kao što su zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka. Hajde da analiziramo šemu za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa istim i različitim nazivnicima. Naučimo kako sabrati algebarski razlomak s polinomom i kako ih oduzeti. On konkretnim primjerima Objasnit ćemo svaki korak u pronalaženju rješenja za probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Operacije sabiranja i oduzimanja sa jednakim nazivnicima

Šema za sabiranje običnih razlomaka primjenjiva je i na algebarske. Znamo da kada sabirate ili oduzimate obične razlomke sa sličnim nazivnicima, morate sabirati ili oduzimati njihove brojnike, ali nazivnik ostaje isti.

Na primjer: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 i 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Shodno tome, pravilo za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa sličnim nazivnicima zapisuje se na sličan način:

Definicija 1

Da biste sabrali ili oduzeli algebarske razlomke sa sličnim nazivnicima, potrebno je da saberete ili oduzmete brojioce originalnih razlomaka, respektivno, i da zapišete nazivnik nepromenjen.

Ovo pravilo omogućava da se zaključi da je rezultat sabiranja ili oduzimanja algebarskih razlomaka novi algebarski razlomak (u konkretnom slučaju: polinom, monom ili broj).

Navedimo primjer primjene formulisanog pravila.

Primjer 1

Dati algebarski razlomci su: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 i 3 - x · y x 2 · y - 2 . Potrebno ih je dodati.

Rješenje

Originalni razlomci sadrže iste nazivnike. Po pravilu ćemo izvršiti sabiranje brojilaca datih razlomaka, a imenilac ostaviti nepromijenjen.

Zbrajanjem polinoma koji su brojioci originalnih razlomaka, dobijamo: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Tada će se traženi iznos napisati kao: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

U praksi, kao iu mnogim slučajevima, rješenje je dato lancem jednakosti, jasno pokazujući sve faze rješenja:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

odgovor: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Rezultat sabiranja ili oduzimanja može biti razlomak koji se može smanjiti, u kom slučaju ga je optimalno smanjiti.

Primjer 2

Od algebarskog razlomka x x 2 - 4 · y 2 potrebno je oduzeti razlomak 2 · y x 2 - 4 · y 2 .

Rješenje

Imenioci originalnih razlomaka su jednaki. Izvodimo operacije s brojiocima, naime: oduzmimo brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a zatim zapišemo rezultat, ostavljajući imenilac nepromijenjen:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Vidimo da je rezultujući razlomak reducibilan. Smanjimo ga transformacijom nazivnika koristeći formulu kvadratne razlike:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

odgovor: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Koristeći isti princip, tri ili više algebarskih razlomaka sa istim nazivnicima se sabiraju ili oduzimaju. npr.:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Operacije sabiranja i oduzimanja sa različitim nazivnicima

Pogledajmo ponovo shemu operacija s običnim razlomcima: da biste dodali ili oduzeli obične razlomke s različitim nazivnicima, morate ih dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim dodati rezultujuće razlomke s istim nazivnicima.

Na primjer, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 ili 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Također, analogno, formuliramo pravilo za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

Definicija 2

Da biste dodali ili oduzeli algebarske razlomke s različitim nazivnicima, morate:

dovesti originalne razlomke na zajednički nazivnik;
izvršiti sabiranje ili oduzimanje rezultujućih razlomaka sa istim nazivnicima.

Očigledno, ključ će ovdje biti vještina svođenja algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik. Pogledajmo izbliza.

Svođenje algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik

Da bi se algebarski razlomci doveli do zajedničkog nazivnika, potrebno je izvršiti identičnu transformaciju datih razlomaka, zbog čega imenioci originalnih razlomaka postaju isti. Ovdje je optimalno djelovati prema sljedećem algoritmu Svođenje algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik:

prvo odredimo zajednički nazivnik algebarskih razlomaka;
tada pronalazimo dodatne faktore za svaki od razlomaka dijeljenjem zajedničkog imenioca sa nazivnicima originalnih razlomaka;
Posljednja radnja je množenje brojilaca i nazivnika datih algebarskih razlomaka odgovarajućim dodatnim faktorima.

Primjer 3

Dati su algebarski razlomci: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a i a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Potrebno ih je dovesti do zajedničkog imenioca.

Rješenje

Radimo prema gore navedenom algoritmu. Odredimo zajednički imenilac originalnih razlomaka. U tu svrhu rastavljamo nazivnike datih razlomaka: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) i 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Odavde možemo napisati zajednički imenilac: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Sada moramo pronaći dodatne faktore. Podijelimo, prema algoritmu, pronađeni zajednički nazivnik na nazivnike originalnih razlomaka:

za prvi razlomak: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
za drugi razlomak: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
za treći razlomak: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Sljedeći korak je pomnožiti brojioce i nazivnike datih razlomaka s dodatnim pronađenim faktorima:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

odgovor: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Dakle, sveli smo originalne razlomke na zajednički nazivnik. Ako je potrebno, onda možete pretvoriti rezultirajući rezultat u oblik algebarskih razlomaka množenjem polinoma i monoma u brojiocima i nazivnicima.

Pojasnimo i ovu stvar: optimalno je pronađeni zajednički nazivnik ostaviti u obliku proizvoda u slučaju da je potrebno smanjiti konačni razlomak.

Detaljno smo ispitali shemu za svođenje početnih algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik; sada možemo početi analizirati primjere sabiranja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 4

Dati algebarski razlomci su: 1 - 2 x x 2 + x i 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Potrebno je provesti akciju njihovog dodavanja.

Rješenje

Originalni razlomci imaju različite nazivnike, pa je prvi korak da ih dovedemo do zajedničkog nazivnika. Faktorimo nazivnike: x 2 + x = x · (x + 1) , i x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , jer korijeni kvadratnog trinoma x 2 + 3 x + 2 ovi brojevi su: - 1 i - 2. Određujemo zajednički imenilac: x (x + 1) (x + 2), tada će dodatni faktori biti: x+2 I – x za prvu i drugu frakciju, respektivno.

Dakle: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) i 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Sada dodajmo razlomke koje smo doveli do zajedničkog nazivnika:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Rezultirajuća frakcija se može smanjiti za zajednički faktor x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

I, konačno, zapisujemo dobiveni rezultat u obliku algebarskog razlomka, zamjenjujući proizvod u nazivniku polinomom:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Zapišimo ukratko rješenje u obliku lanca jednakosti:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

odgovor: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Obratite pažnju na ovaj detalj: prije sabiranja ili oduzimanja algebarskih razlomaka, ako je moguće, preporučljivo je da ih transformišete radi pojednostavljenja.

Primjer 5

Potrebno je oduzeti razlomke: 2 1 1 3 · x - 2 21 i 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Rješenje

Hajde da transformišemo originalne algebarske razlomke da pojednostavimo dalje rešenje. Izvadimo numeričke koeficijente varijabli u nazivniku iz zagrada:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 i 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Ova transformacija nam je jasno donela korist: jasno vidimo prisustvo zajedničkog faktora.

Oslobodimo se numeričkih koeficijenata u nazivnicima. Da bismo to učinili, koristimo glavno svojstvo algebarskih razlomaka: pomnožimo brojilac i nazivnik prvog razlomka sa 3 4, a drugog sa - 1 2, tada dobijamo:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 i 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Izvršimo radnju koja će nam omogućiti da se riješimo razlomaka koeficijenata: pomnožimo rezultirajuće razlomke sa 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 i - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Na kraju, izvršimo radnju potrebnu u iskazu problema – oduzimanje:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

odgovor: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka i polinoma

Ova radnja se također svodi na dodavanje ili oduzimanje algebarskih razlomaka: potrebno je originalni polinom predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1.

Primjer 6

Potrebno je dodati polinom x 2 − 3 sa algebarskim razlomkom 3 x x + 2.

Rješenje

Zapišimo polinom kao algebarski razlomak sa nazivnikom 1: x 2 - 3 1

Sada možemo izvršiti sabiranje prema pravilu za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

odgovor: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Razlomci su obični brojevi i mogu se sabirati i oduzimati. Ali budući da imaju nazivnik, zahtijevaju složenija pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka sa istim nazivnicima. onda:

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen.

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostavite nepromijenjen.

Unutar svakog izraza imenioci razlomaka su jednaki. Po definiciji sabiranja i oduzimanja razlomaka dobijamo:

Kao što vidite, nije ništa komplikovano: samo zbrojimo ili oduzmemo brojioce i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Ono što se najčešće zaboravlja jeste da se imenilac ne menja. Na primjer, kada ih se dodaju, oni također počinju da se zbrajaju, a to je u osnovi pogrešno.

Riješite se loša navika Sabiranje nazivnika je prilično jednostavno. Pokušajte istu stvar prilikom oduzimanja. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak će (odjednom!) izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom za svagda: pri sabiranju i oduzimanju imenilac se ne menja!

Mnogi ljudi također griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje staviti plus.

I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojilac - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

Plus po minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Pogledajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

U prvom slučaju, sve je jednostavno, ali u drugom, dodajmo minuse brojiocima razlomaka:

Šta učiniti ako su imenioci različiti

Ne možete direktno sabirati razlomke s različitim nazivnicima. By najmanje, ne poznajem ovu metodu. Međutim, originalni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da imenioci postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. Tri od njih su obrađene u lekciji „Svođenje razlomaka na zajednički imenilac“, tako da se ovde nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

U prvom slučaju razlomke svodimo na zajednički nazivnik metodom “križ-križ”. U drugom ćemo tražiti NOC. Imajte na umu da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Poslednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su relativno prosti. Dakle, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Šta učiniti ako razlomak ima cijeli broj

Mogu vam ugoditi: različiti imenioci u razlomcima nisu najveće zlo. Mnogo više grešaka se javlja kada je cijeli dio istaknut u razlomcima sabiranja.

Naravno, za takve frakcije postoje vlasnički algoritmi sabiranje i oduzimanje, ali su prilično složeni i zahtijevaju dosta učenja. Bolje koristiti jednostavan dijagram, dato u nastavku:

Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobijamo normalne članove (čak i sa različitim nazivnicima), koji su izračunati prema gore navedenim pravilima;
Zapravo, izračunajte zbir ili razliku rezultujućih razlomaka. Kao rezultat toga, praktično ćemo pronaći odgovor;
Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, vršimo inverznu transformaciju, tj. Riješimo se nepravilnog razlomka tako što ćemo istaći cijeli dio.

Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog dijela detaljno su opisana u lekciji „Šta je brojčani razlomak“. Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Imenioci unutar svakog izraza su jednaki, tako da ostaje samo da prevedete sve razlomke u nepravilne i prebrojite. Imamo:

Da bih pojednostavio proračune, preskočio sam neke očigledne korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena o posljednja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijeli dio. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.

Ponovo pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere - i razmislite o tome. To je ono što početnici priznaju velika količina greške. Oni vole davati takve zadatke testovi. Također ćete ih nekoliko puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: opća shema proračuna

U zaključku ću dati opšti algoritam, koji će vam pomoći da pronađete zbir ili razliku dva ili više razlomaka:

Ako jedan ili više razlomaka imaju cijeli broj, pretvorite te razlomke u nepravilne;
Dovedite sve razlomke u zajednički imenilac na bilo koji način koji vam odgovara (osim, naravno, ako to nisu uradili pisci problema);
Dobivene brojeve sabirati ili oduzimati prema pravilima za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima;
Ako je moguće, skratite rezultat. Ako je razlomak netačan, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije nego što zapišete odgovor.

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Odgovor nije bio pravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji također stražnja strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

Naći LCM nazivnika razlomaka;
Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste razlomak pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite brojilac razlomka s tim brojem i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Broj koji se množi razlomkom i imenilac razlomka rješavaju se ako imaju zajednički djelitelj, veće od jedan.

Na primjer, izraz se može procijeniti na dva načina.

Prvi način. Pomnožite broj 4 sa brojicom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjen:

Drugi način. Četiri koja se množe i četiri u nazivniku razlomka mogu se smanjiti. Ove četvorke se mogu smanjiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:

Dobili smo isti rezultat 3. Nakon smanjenja četvorki, na njihovom mjestu se formiraju novi brojevi: dva jedinica. Ali množenjem jedan sa tri, a zatim dijeljenjem sa jedan ne mijenja se ništa. Stoga se rješenje može ukratko napisati:

Smanjenje se može izvesti čak i kada smo odlučili da koristimo prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojila 3 odlučili smo se za smanjenje:

Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 sa nazivnikom razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj veći od jedan, pa se prema tome ne poništavaju.

Neki učenici greškom skraćuju broj koji se množi i brojilac razlomka. Ne možeš to da uradiš. Na primjer, sljedeći unos nije tačan:

Smanjenje razlomka to znači i brojnik i imenilacće biti podijeljena istim brojem. U situaciji sa izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojiocu, jer je pisanje isto što i pisanje . Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojiocu, a da se dijeljenje ne događa u nazivniku.

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Deljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidi se da su nakon podjele polovine pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.