Depuis l'école, nous connaissons tous la règle de l'exponentiation : tout nombre d'exposant N est égal au résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même N nombre de fois. En d'autres termes, 7 à la puissance 3 est 7 multiplié par lui-même trois fois, soit 343. Une autre règle est qu'élever n'importe quelle quantité à la puissance 0 en donne un, et élever une quantité négative est le résultat d'une augmentation ordinaire à la puissance si elle est paire, et le même résultat avec un signe moins si elle est impaire.
Les règles donnent également la réponse sur la façon d'élever un nombre à degré négatif. Pour ce faire, vous devez augmenter la valeur requise du module de l'indicateur de la manière habituelle, puis diviser l'unité par le résultat.
Il ressort clairement de ces règles que la mise en œuvre de vrais problèmes la manipulation de grandes quantités nécessitera de la disponibilité moyens techniques. Manuellement, vous pouvez multiplier vous-même une plage maximale de nombres allant de vingt à trente, puis pas plus de trois ou quatre fois. Cela ne veut pas dire qu’il faut ensuite diviser un par le résultat. Par conséquent, pour ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous vous expliquerons comment élever un nombre à une puissance négative dans Excel.
Résoudre des problèmes dans Excel
Pour résoudre des problèmes impliquant une exponentiation, Excel vous permet d'utiliser l'une des deux options suivantes.
La première est l’utilisation d’une formule avec un signe « couvercle » standard. Entrez les données suivantes dans les cellules de la feuille de calcul :
De la même manière, vous pouvez augmenter la valeur souhaitée à n'importe quelle puissance - négative, fractionnaire. Faisons-le les actions suivantes et répondez à la question de savoir comment élever un nombre à une puissance négative. Exemple:
Vous pouvez corriger =B2^-C2 directement dans la formule.
La deuxième option consiste à utiliser la fonction « Degré » prête à l'emploi, qui prend deux arguments obligatoires : un nombre et un exposant. Pour commencer à l'utiliser, placez simplement le signe égal (=) dans n'importe quelle cellule libre, indiquant le début de la formule, et entrez les mots ci-dessus. Il ne reste plus qu'à sélectionner deux cellules qui participeront à l'opération (ou à spécifier manuellement des numéros spécifiques) et à appuyer sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.
Formule | Résultat |
||||
DIPLÔME(B2;C2) | |||||
DIPLÔME(B3;C3) |
|
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué sur la façon d’élever un nombre à une puissance négative et à une puissance régulière à l’aide d’Excel. Après tout, pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser à la fois le symbole familier du « couvercle » et la fonction intégrée du programme, facile à retenir. C'est un plus indéniable !
Passons à plus exemples complexes. Rappelons-nous la règle sur la façon d'élever un nombre à une puissance fractionnaire négative, et nous verrons que ce problème est très facilement résolu dans Excel.
Indicateurs fractionnaires
En bref, l'algorithme de calcul d'un nombre avec un exposant fractionnaire est le suivant.
- Convertir une fraction en fraction propre ou impropre.
- Élevons notre nombre au numérateur de la fraction convertie résultante.
- A partir du nombre obtenu dans le paragraphe précédent, calculez la racine, à condition que l'exposant de la racine soit le dénominateur de la fraction obtenue à la première étape.
Convenez que même en opérant avec un petit nombre et fractions correctes De tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. C’est bien que le tableur Excel ne se soucie pas de savoir quel nombre est élevé à quelle puissance. Essayez de résoudre l'exemple suivant sur une feuille de calcul Excel :
En utilisant les règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul a été effectué correctement.
A la fin de notre article, nous présenterons sous forme de tableau avec formules et résultats plusieurs exemples de comment élever un nombre à une puissance négative, ainsi que plusieurs exemples d'opérations avec des nombres fractionnaires et des puissances.
Exemple de tableau
Consultez les exemples suivants dans votre feuille de calcul Excel. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser une référence mixte lors de la copie de la formule. Fixez le numéro de la colonne contenant le numéro à augmenter et le numéro de la ligne contenant l'indicateur. Votre formule devrait ressembler à ceci : "=$B4^C$3".
Numéro/Degré | |||||
Veuillez noter que les nombres positifs (même non entiers) peuvent être calculés sans problème pour n'importe quel exposant. Il n'y a aucun problème à élever des nombres à des nombres entiers. Mais la construction nombre négatifà une puissance fractionnaire se transformera pour vous en erreur, puisqu'il est impossible de suivre la règle indiquée au début de notre article sur l'augmentation des nombres négatifs, car la parité est une caractéristique exclusivement d'un nombre ENTIER.
Poursuivant la conversation sur la puissance d'un nombre, il est logique de comprendre comment trouver la valeur de la puissance. Ce processus est appelé exponentiation. Dans cet article, nous étudierons comment s'effectue l'exponentiation et nous aborderons tout indicateurs possibles degrés – naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et selon la tradition, nous examinerons en détail des solutions à des exemples d'augmentation du nombre à divers pouvoirs.
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Que signifie « exponentiation » ?
Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.
Définition.
Exponentiation- c'est trouver la valeur de la puissance d'un nombre.
Ainsi, trouver la valeur de la puissance d’un nombre a d’exposant r et élever le nombre a à la puissance r sont la même chose. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».
Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.
Élever un nombre à une puissance naturelle
Dans la pratique, l'égalité basée sur est généralement appliquée sous la forme . Autrement dit, lorsqu'on élève un nombre a à une puissance fractionnaire m/n, on prend d'abord la nième racine du nombre a, après quoi le résultat résultant est élevé à une puissance entière m.
Examinons des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.
Exemple.
Calculez la valeur du diplôme.
Solution.
Nous allons montrer deux solutions.
Première façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. On calcule la valeur du degré sous le signe racine, puis on extrait la racine cubique : 
.
Deuxième façon. Par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et basée sur les propriétés des racines, les égalités suivantes sont vraies : 
. Maintenant, nous extrayons la racine 
, enfin, on l'élève à une puissance entière 
.
Évidemment, les résultats obtenus en élevant à une puissance fractionnaire coïncident.
Répondre:
Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous forme de fraction décimale ou de nombre fractionnaire, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, puis élevé à une puissance.
Exemple.
Calculez (44,89) 2,5.
Solution.
Écrivons l'exposant sous la forme fraction commune(si nécessaire, voir l'article) : 
. Maintenant, nous effectuons l'élévation à une puissance fractionnaire : 
Répondre:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Il faut également dire qu'élever des nombres à des puissances rationnelles est un processus plutôt laborieux (surtout lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire contiennent plusieurs gros chiffres), qui est généralement réalisée à l'aide la technologie informatique.
Pour conclure ce point, attardons-nous sur l’élévation du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante à la puissance fractionnaire de zéro de la forme : quand on a 
, et à zéro à la puissance m/n n'est pas définie. Ainsi, zéro à une puissance fractionnaire positive est nul, par exemple : 
. Et zéro dans une puissance fractionnaire négative n'a pas de sens, par exemple, les expressions 0 -4,3 n'ont pas de sens.
S'élever à une puissance irrationnelle
Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur de la puissance d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, pour des raisons pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du degré avec une précision d'un certain signe. Notons tout de suite qu'en pratique cette valeur est calculée à l'aide de calculateurs électroniques, puisque l'élever à une puissance irrationnelle nécessite manuellement grande quantité calculs fastidieux. Mais nous décrirons quand même dans Plan général l'essence de l'action.
Pour obtenir une valeur approximative de la puissance d'un nombre a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de la puissance est calculée. Cette valeur est une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale d'un nombre est initialement prise avec précision, plus valeur exacte le diplôme sera finalement obtenu.
A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1,174367... . Prenons l'approximation décimale suivante de l'exposant irrationnel : . Maintenant, nous élevons 2 à la puissance rationnelle 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈2,250116. Ainsi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons par exemple une approximation décimale plus précise de l’exposant irrationnel, alors nous obtenons une valeur plus précise de l’exposant d’origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliographie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. les établissements d'enseignement.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).
L'élévation à une puissance négative est l'un des éléments de base des mathématiques et est souvent rencontrée dans la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.
Comment élever à une puissance négative - théorie
Lorsqu’on élève un nombre à une puissance ordinaire, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3×3×3 = 27. Avec une fraction négative, l’inverse est vrai. La forme générale de la formule sera la suivante : a -n = 1/a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser un par le nombre donné, mais à une puissance positive.
Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires
En gardant à l'esprit la règle ci-dessus, résolvons quelques exemples.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 = 1/16.
Mais pourquoi les réponses dans le premier et le deuxième exemples sont-elles les mêmes ? Le fait est que lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le diplôme était pair, alors le moins resterait :
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Comment élever les nombres de 0 à 1 à une puissance négative
Rappelons que lorsqu'un nombre compris entre 0 et 1 est élevé à une puissance positive, la valeur diminue à mesure que la puissance augmente. Ainsi par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Exemple 3 : Calculer 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4
Analyse (séquence d'actions) :
- Nous traduisons décimal 0,5 à fractionnaire 1/2. C'est plus facile ainsi.
Élevez 1/2 à une puissance négative. 1/(2)-2 . Divisez 1 par 1/(2) 2, nous obtenons 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Exemple 4 : Calculer 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8
Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :
- Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
- Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. Dans ce cas, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.
Comment élever à une puissance négative - une puissance sous la forme d'un nombre fractionnaire
Expressions de ce genre avoir la forme suivante : a -m/n, où a est un nombre régulier, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.
Regardons un exemple :
Calculer : 8 -1/3
Solution (séquence d'actions) :
- Rappelons la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Notez que le dénominateur a le nombre 8 dans une puissance fractionnaire. La forme générale de calcul d’une puissance fractionnaire est la suivante : a m/n = n √8 m.
- Ainsi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est égale à 2. D’ici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Réponse : 8 -1/3 = 2
Dans l’un des articles précédents, nous avons déjà évoqué le pouvoir des nombres. Aujourd'hui, nous allons essayer de naviguer dans le processus visant à trouver son sens. Scientifiquement parlant, nous verrons comment élever correctement une puissance. Nous découvrirons comment ce processus se déroule, et en même temps nous aborderons tous les exposants possibles : naturel, irrationnel, rationnel, entier.
Examinons donc de plus près les solutions des exemples et découvrons ce que cela signifie :
- Définition du concept.
- S'élever à l'art négatif.
- Tout un indicateur.
- Élever un nombre à une puissance irrationnelle.
Voici une définition qui reflète fidèlement le sens : « L’exponentiation est la définition de la valeur d’une puissance d’un nombre. »
En conséquence, l'augmentation du chiffre a à l'art. r et le processus de recherche de la valeur du degré a avec l'exposant r sont des concepts identiques. Par exemple, si la tâche consiste à calculer la valeur de la puissance (0,6)6″, elle peut alors être simplifiée par l’expression « Élever le nombre 0,6 à la puissance 6 ».
Après cela, vous pouvez passer directement aux règles de construction.
Élever à une puissance négative
Pour plus de clarté, vous devez faire attention à la chaîne d'expressions suivante :
110=0,1=1* 10 moins 1 cuillère à soupe,
1100=0,01=1*10 en moins 2 degrés,
11000=0,0001=1*10 en moins 3 st.,
110000=0,00001=1*10 à moins 4 degrés.
Grâce à ces exemples, vous pouvez clairement voir la possibilité de calculer instantanément 10 à n'importe quelle puissance moins. Pour cela, il suffit de décaler simplement la composante décimale :
- 10 au degré -1 - avant un il y a 1 zéro ;
- en -3 - trois zéros avant un ;
- en -9 il y a 9 zéros et ainsi de suite.
Il est également facile de comprendre à partir de ce diagramme combien représenteront 10 moins 5 cuillères à soupe. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Comment élever un nombre à une puissance naturelle
En nous souvenant de la définition, nous prenons en compte que entier naturel a à l'art. n est égal au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Illustrons : (a*a*…a)n, où n est le nombre de nombres multipliés. En conséquence, pour élever a à n, il est nécessaire de calculer le produit le type suivant: a*a*…a divisé par n fois.
De là, il devient évident que s'élevant au st naturel. repose sur la capacité d'effectuer des multiplications(ce matériel est traité dans la section sur la multiplication des nombres réels). Regardons le problème :
Relever -2 jusqu'à la 4ème m.
Nous avons affaire à un indicateur naturel. En conséquence, le déroulement de la décision sera le suivant : (-2) à l'art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Il ne reste plus qu'à multiplier les entiers : (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nous en obtenons 16.
Réponse au problème :
(-2) à l'art. 4=16.
Exemple:
Calculez la valeur : trois virgule deux septièmes au carré.
Cet exemple est égal au produit suivant : trois virgule deux septièmes multiplié par trois virgule deux septièmes. En rappelant comment les nombres fractionnaires sont multipliés, nous terminons la construction :
- 3 virgule 2 septièmes multipliés par eux-mêmes ;
- est égal à 23 septièmes multiplié par 23 septièmes ;
- est égal à 529 quarante-neuvièmes ;
- on réduit et on obtient 10 trente-neuf quarante-neuvième.
Répondre: 10 39/49
Concernant la question de l'élévation à un exposant irrationnel, il convient de noter que les calculs commencent à être effectués après l'arrondi préliminaire de la base du degré à n'importe quel chiffre permettant d'obtenir la valeur avec une précision donnée. Par exemple, nous devons mettre au carré le nombre P (pi).
On commence par arrondir P au centième et on obtient :
P au carré = (3,14)2 = 9,8596. Cependant, si l’on réduit P à dix millièmes, on obtient P = 3,14159. La mise au carré donne alors un nombre complètement différent : 9,8695877281.
Il convient de noter ici que dans de nombreuses tâches, il n'est pas nécessaire de construire nombres irrationnelsà un degré. En règle générale, la réponse est saisie soit sous la forme du degré réel, par exemple racine de 6 puissance 3, soit, si l'expression le permet, sa transformation est effectuée : racine de 5 à 7 degrés = 125 racine de 5.
Comment élever un nombre à une puissance entière
Cette manipulation algébrique est appropriée prendre en compte pour cas suivants:
- pour les entiers ;
- pour un indicateur zéro ;
- pour un exposant entier positif.
Puisque presque tous les entiers positifs coïncident avec la masse des nombres naturels, la mise à une puissance entière positive est le même processus que la mise à l'Art. naturel. Nous avons décrit ce processus dans le paragraphe précédent.
Parlons maintenant du calcul de st. nul. Nous avons déjà découvert plus haut que la puissance nulle du nombre a peut être déterminée pour tout a non nul (réel), alors que a dans l'Art. 0 sera égal à 1.
En conséquence, élever n'importe quel nombre réel à zéro st. en donnera un.
Par exemple, 10 dans la maille 0=1, (-3,65)0=1 et 0 dans la maille. 0 ne peut pas être déterminé.
Afin de compléter l'élévation à une puissance entière, il reste à décider des options pour les valeurs entières négatives. Nous rappelons que l'Art. à partir de a avec un exposant entier -z sera défini comme une fraction. Le dénominateur de la fraction est st. avec une valeur entière positive, dont nous avons déjà appris à trouver la valeur. Il ne reste plus qu'à considérer un exemple de construction.
Exemple:
Calculez la valeur du nombre 2 au cube avec un exposant entier négatif.
Processus de résolution :
D'après la définition d'un degré avec un exposant négatif, on note : deux moins 3 degrés. est égal à un à deux à la puissance trois.
Le dénominateur se calcule simplement : deux au cube ;
3 = 2*2*2=8.
Répondre: deux puissance moins 3ème art. = un huitième.
peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple : 5+5+5+5+5+5=5x6. Une telle expression est dite que la somme de termes égaux est repliée en un produit. Et vice versa, si l’on lit cette égalité de droite à gauche, on constate que l’on a élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5=5 6.
Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent « cinq puissance six ».
L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où :
5 - base de diplômes;
6 - exposant.
Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est réduit à une puissance sont appelées élever à la puissance.
DANS vue générale le degré avec la base "a" et l'exposant "n" s'écrit ainsi
Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs dont chacun est égal à a
Si la base du degré « a » est égale à 1, alors la valeur du degré pour tout nombre naturel n sera égale à 1. Par exemple, 1 5 =1, 1 256 =1
Si vous élevez le chiffre « a » à premier degré, alors nous obtenons le nombre a lui-même : un 1 = un
Si vous augmentez un chiffre à zéro degré, puis à la suite de calculs, nous en obtenons un. un 0 = 1
Les deuxième et troisième puissances d’un nombre sont considérées comme spéciales. Ils leur ont trouvé des noms : le deuxième degré s'appelle mettre le nombre au carré, troisième - cube Ce nombre.
N’importe quel nombre peut être élevé à une puissance – positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne s'appliquent pas :
Lorsqu’on trouve la puissance d’un nombre positif, le résultat est un nombre positif.
En calculant zéro à la puissance naturelle, nous obtenons zéro.
xm · xn = x m + n
par exemple : 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
À diviser les pouvoirs avec les mêmes bases On ne change pas la base, mais on soustrait les exposants :
xm / x n = x m - n , Où, m > n,
par exemple : 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Lors du calcul élever un pouvoir à un pouvoir Nous ne changeons pas la base, mais multiplions les exposants les uns par les autres.
(au m ) n = oui m n
par exemple : (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) n = xn · ouais ,
par exemple :(2 3) 3 = 2 n 3 m,
Lors de l'exécution de calculs selon élever une fraction à une puissance on élève le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance donnée
(x/y)n = xn / o n
par exemple : (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.
La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un diplôme.
Lors de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des puissances, ils effectuent d'abord des exponentiations, puis des multiplications et des divisions, et ensuite seulement des opérations d'addition et de soustraction.
Si vous devez calculer une expression contenant des parenthèses, effectuez d'abord les calculs entre parenthèses dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.
Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de puissances prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.
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