भिन्न। दशमलव को गुणा करना. दशमलव भिन्न और उनके साथ संक्रियाएँ। दशमलव को विभाजित करना और गुणा करना

दशमलव का उपयोग तब किया जाता है जब आपको गैर-पूर्णांक संख्याओं के साथ संचालन करने की आवश्यकता होती है। यह अतार्किक लग सकता है. लेकिन इस प्रकार की संख्याएँ उन गणितीय कार्यों को बहुत सरल बनाती हैं जिन्हें उनके साथ निष्पादित करने की आवश्यकता होती है। यह समझ समय के साथ आती है, जब उन्हें लिखना परिचित हो जाता है, और उन्हें पढ़ने में कठिनाई नहीं होती है, और दशमलव भिन्नों के नियमों में महारत हासिल हो जाती है। इसके अलावा, सभी क्रियाएं पहले से ज्ञात क्रियाओं को दोहराती हैं, जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं से सीखा गया है। आपको बस कुछ विशेषताएं याद रखने की जरूरत है।

दशमलव परिभाषा

दशमलव एक गैर-पूर्णांक संख्या का एक विशेष प्रतिनिधित्व है जिसमें एक हर होता है जो 10 से विभाज्य होता है, जिसका उत्तर एक और संभवतः शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हर 10, 100, 1000, इत्यादि है, तो अल्पविराम का उपयोग करके संख्या को फिर से लिखना अधिक सुविधाजनक है। फिर संपूर्ण भाग उसके सामने स्थित होगा, और फिर भिन्नात्मक भाग। इसके अलावा, संख्या के दूसरे भाग की रिकॉर्डिंग हर पर निर्भर करेगी। भिन्नात्मक भाग में मौजूद अंकों की संख्या हर के अंक के बराबर होनी चाहिए।

उपरोक्त को इन संख्याओं से स्पष्ट किया जा सकता है:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

दशमलव का उपयोग करने के कारण

गणितज्ञों को कई कारणों से दशमलव की आवश्यकता थी:

रिकॉर्डिंग को सरल बनाना. ऐसा अंश हर और अंश के बीच डैश के बिना एक पंक्ति में स्थित होता है, जबकि स्पष्टता प्रभावित नहीं होती है।

तुलना में सरलता. यह केवल उन संख्याओं को सहसंबंधित करने के लिए पर्याप्त है जो समान स्थिति में हैं, जबकि सामान्य भिन्नों के साथ आपको उन्हें एक सामान्य हर में कम करना होगा।

गणनाओं को सरल बनाएं.

कैलकुलेटर भिन्नों को स्वीकार करने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं; वे सभी कार्यों के लिए दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।

ऐसे नंबरों को सही तरीके से कैसे पढ़ें?

इसका उत्तर सरल है: एक साधारण मिश्रित संख्या की तरह जिसमें हर 10 का गुणज होता है। एकमात्र अपवाद पूर्णांक मान के बिना भिन्न है, फिर पढ़ते समय आपको "शून्य पूर्णांक" का उच्चारण करना होगा।

उदाहरण के लिए, 45/1000 का उच्चारण इस प्रकार किया जाना चाहिए पैंतालीस हज़ारवां, उसी समय 0.045 जैसा ध्वनि होगा शून्य दशमलव पैंतालीस हज़ारवां.

के साथ मिश्रित संख्या संपूर्ण भाग 7 के बराबर और भिन्न 17/100, जिसे 7.17 लिखा जाएगा, दोनों स्थितियों में इसे पढ़ा जाएगा सात दशमलव सत्रह.

भिन्न लिखने में अंकों की भूमिका

रैंक को सही ढंग से अंकित करना गणित की आवश्यकता है। यदि आप अंक को गलत स्थान पर लिखते हैं तो दशमलव और उनका अर्थ महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है। हालाँकि, यह पहले भी सच था।

किसी पूर्णांक भाग के अंक पढ़ने के लिए दशमलवआपको बस प्राकृतिक संख्याओं के लिए ज्ञात नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। और दाहिनी ओर वे प्रतिबिंबित होते हैं और अलग ढंग से पढ़े जाते हैं। यदि पूरा भाग "दहाई" लगता है, तो दशमलव बिंदु के बाद यह "दसवां" होगा।

इसे इस तालिका में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

दशमलव स्थानों की तालिका

कक्षा	हजारों			इकाइयां			,	अंश
स्राव होना	कक्ष	दिसम्बर	इकाइयां	कक्ष	दिसम्बर	इकाइयां		दसवां	सौवां	हज़ारवां	दस-हजारवां

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव के रूप में सही ढंग से कैसे लिखें?

यदि हर में 10 या 100 और अन्य के बराबर कोई संख्या हो, तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए, यह प्रश्न कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, इसके सभी घटकों को अलग-अलग तरीके से फिर से लिखना पर्याप्त है। निम्नलिखित बिंदु इसमें सहायता करेंगे:

अंश के अंश को थोड़ा किनारे पर लिखें, इस समय दशमलव बिंदु अंतिम अंक के बाद दाईं ओर स्थित होता है;

अल्पविराम को बाईं ओर ले जाएं, यहां सबसे महत्वपूर्ण बात संख्याओं को सही ढंग से गिनना है - आपको इसे उतने ही स्थानों पर ले जाना होगा जितने हर में शून्य हों;

यदि वे पर्याप्त नहीं हैं, तो रिक्त स्थानों पर शून्य होना चाहिए;

अंश के अंत में जो शून्य थे, अब उनकी आवश्यकता नहीं है और उन्हें काटा जा सकता है;

अल्पविराम से पहले पूरा भाग जोड़ें, यदि नहीं था तो यहां भी शून्य होगा।

ध्यान। आप अन्य संख्याओं से घिरे शून्य को नहीं काट सकते।

आप नीचे पढ़ सकते हैं कि ऐसी स्थिति में क्या करना चाहिए जहां हर में न केवल इकाई और शून्य से मिलकर एक संख्या होती है, और भिन्न को दशमलव में कैसे परिवर्तित किया जाए। यह महत्वपूर्ण सूचना, जो निश्चित रूप से जांचने लायक है।

यदि हर एक मनमाना संख्या है तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?

यहां दो विकल्प हैं:

जब हर को एक संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जो किसी भी घात के दस के बराबर है।

यदि ऐसा कोई ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है।

मैं इसकी जाँच कैसे कर सकता हूँ? आपको हर का गुणनखंड करना होगा। यदि उत्पाद में केवल 2 और 5 मौजूद हैं, तो सब कुछ ठीक है, और अंश आसानी से अंतिम दशमलव में परिवर्तित हो जाता है। अन्यथा, यदि 3, 7 और अन्य अभाज्य संख्याएँ आती हैं, तो परिणाम अनंत होगा। गणितीय संक्रियाओं में उपयोग में आसानी के लिए ऐसे दशमलव अंश को गोल करने की प्रथा है। इस पर थोड़ा नीचे चर्चा की जाएगी।

दशमलव कैसे बनते हैं, इसकी पड़ताल, 5वीं कक्षा। यहां उदाहरण बहुत मददगार होंगे.

मान लें कि हर में संख्याएँ हैं: 40, 24 और 75। उनके लिए अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन इस प्रकार होगा:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

इन उदाहरणों में, केवल प्रथम भिन्न को अंतिम भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्य भिन्न को अंतिम दशमलव में बदलने के लिए एल्गोरिदम

अभाज्य गुणनखंडों में हर के गुणनखंडन की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि इसमें 2 और 5 शामिल होंगे।

इन संख्याओं में अधिक से अधिक 2s और 5s जोड़ें ताकि उनकी संख्या बराबर हो जाए। वे अतिरिक्त गुणक का मान देंगे.

इस संख्या से हर और अंश को गुणा करें। परिणाम एक साधारण भिन्न होगा, जिसकी रेखा के नीचे कुछ हद तक 10 है।

यदि समस्या में ये क्रियाएं मिश्रित संख्या के साथ की जाती हैं, तो इसे पहले एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। और उसके बाद ही वर्णित परिदृश्य के अनुसार कार्य करें।

किसी भिन्न को पूर्णांकित दशमलव के रूप में प्रदर्शित करना

भिन्न को दशमलव में बदलने की यह विधि कुछ लोगों को और भी आसान लग सकती है। क्योंकि उसके पास नहीं है बड़ी मात्राकार्रवाई. आपको बस अंश को हर से विभाजित करना होगा।

दशमलव बिंदु के दाईं ओर दशमलव भाग वाली किसी भी संख्या को शून्य की अनंत संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है। यह संपत्ति वह है जिसका आपको लाभ उठाने की आवश्यकता है।

सबसे पहले पूरा भाग लिखें और उसके बाद अल्पविराम लगाएं। यदि भिन्न सही है तो शून्य लिखें।

फिर आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। ताकि उनके अंकों की संख्या समान हो. अर्थात्, अंश के दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें।

अंकों की आवश्यक संख्या तक पहुंचने तक लंबा विभाजन करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको सौवें तक पूर्णांक बनाने की आवश्यकता है, तो उत्तर 3 होना चाहिए। सामान्य तौर पर, आपको अंत में प्राप्त करने के लिए आवश्यक संख्या से एक अधिक संख्या होनी चाहिए।

दशमलव बिंदु के बाद मध्यवर्ती उत्तर लिखें और नियमों के अनुसार गोल करें। अगर पिछले अंक- 0 से 4 तक, तो आपको बस इसे त्यागने की जरूरत है। और जब यह 5-9 के बराबर हो तो आखिरी वाले को छोड़कर उसके आगे वाले को एक बढ़ाना होगा।

दशमलव से सामान्य भिन्न पर लौटें

गणित में, ऐसी समस्याएँ होती हैं जब दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसमें हर के साथ एक अंश होता है। आप राहत की सांस ले सकते हैं: यह ऑपरेशन हमेशा संभव है।

इस प्रक्रिया के लिए आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

पूरा भाग लिखो, यदि वह शून्य के बराबर है, तो कुछ भी लिखने की आवश्यकता नहीं है;

एक भिन्न रेखा खींचें;

इसके ऊपर दाहिनी ओर से संख्याएँ लिखें, यदि शून्य पहले आते हैं, तो उन्हें काट देना होगा;

पंक्ति के नीचे उतने ही शून्य वाले एक को लिखें जितने मूल भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों।

दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आपको बस इतना ही करना है।

आप दशमलव के साथ क्या कर सकते हैं?

गणित में, ये दशमलव के साथ कुछ निश्चित संक्रियाएँ होंगी जो पहले अन्य संख्याओं के लिए की जाती थीं।

वे हैं:

तुलना;

जोड़ना और घटाना;

गुणन और भाग।

पहली क्रिया, तुलना, वैसी ही है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए की गई थी। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा बड़ा है, आपको पूरे भाग के अंकों की तुलना करने की आवश्यकता है। यदि वे बराबर हो जाते हैं, तो वे भिन्नात्मक की ओर बढ़ते हैं और अंकों के आधार पर उनकी तुलना भी करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण अंक में सबसे बड़े अंक वाली संख्या उत्तर होगी।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

ये शायद सबसे सरल कदम हैं. क्योंकि इन्हें प्राकृत संख्याओं के नियमों के अनुसार क्रियान्वित किया जाता है।



इसलिए, दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, उन्हें एक कॉलम में अल्पविराम लगाकर, एक के नीचे एक लिखना होगा। इस अंकन के साथ, पूर्ण भाग अल्पविराम के बाईं ओर और आंशिक भाग दाईं ओर दिखाई देते हैं। और अब आपको संख्याओं को थोड़ा-थोड़ा करके जोड़ना होगा, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के साथ किया जाता है, अल्पविराम को नीचे ले जाकर। आपको संख्या के भिन्नात्मक भाग के सबसे छोटे अंक से जोड़ना शुरू करना होगा। यदि दाहिने आधे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो शून्य जोड़ दिया जाता है।

यही बात घटाने पर भी लागू होती है। और यहां एक नियम है जो उच्चतम रैंक से एक इकाई लेने की संभावना का वर्णन करता है। यदि घटाए जा रहे अंश में दशमलव बिंदु हो कम संख्यासबट्रेंड की तुलना में, तो शून्य को बस इसे सौंपा गया है।

उन कार्यों में स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है जहां आपको दशमलव अंशों को गुणा और विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

विभिन्न उदाहरणों में दशमलव भिन्न को कैसे गुणा करें?

दशमलव भिन्नों को गुणा करने का नियम प्राकृतिक संख्या, इस कदर:

अल्पविराम को अनदेखा करते हुए उन्हें एक कॉलम में लिखें;

ऐसे गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;

मूल संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।

विशेष मामला वह उदाहरण है जिसमें एक प्राकृतिक संख्या किसी भी घात के 10 के बराबर होती है। फिर उत्तर पाने के लिए आपको बस दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने अन्य कारक में शून्य हों। दूसरे शब्दों में, जब 10 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु एक अंक से बढ़ जाता है, 100 से - उनमें से दो पहले से ही होंगे, और इसी तरह। यदि भिन्नात्मक भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको रिक्त स्थानों पर शून्य लिखना होगा।

वह नियम जिसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी कार्य के लिए दशमलव अंशों को किसी अन्य समान संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है:

अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए उन्हें एक के बाद एक लिखें;

गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक थे;

दोनों मूल भिन्नों के आंशिक भागों में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।

एक विशेष मामला ऐसे उदाहरण हैं जिनमें गुणकों में से एक 0.1 या 0.01 के बराबर है और इसी तरह। उनमें आपको प्रस्तुत गुणनखंडों में अंकों की संख्या के अनुसार दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। अर्थात यदि इसे 0.1 से गुणा किया जाए तो दशमलव बिंदु एक स्थान खिसक जाता है।

विभिन्न कार्यों में दशमलव भिन्न को कैसे विभाजित करें?

दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:

उन्हें विभाजन के लिए एक कॉलम में इस तरह लिखें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;

सामान्य नियम के अनुसार विभाजित करें जब तक कि पूरा भाग समाप्त न हो जाए;

उत्तर में अल्पविराम लगाएं;

भिन्नात्मक घटक को तब तक विभाजित करना जारी रखें जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए;

यदि आवश्यक हो, तो आप आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं।

यदि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है तो वह उत्तर में भी नहीं होगा।

अलग-अलग, दस, सौ, इत्यादि के बराबर संख्याओं में विभाजन होता है। ऐसी समस्याओं में, आपको भाजक में शून्य की संख्या से दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। ऐसा होता है कि किसी पूरे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं होती तो उसके स्थान पर शून्य का प्रयोग किया जाता है। आप देख सकते हैं कि यह ऑपरेशन 0.1 और समान संख्याओं से गुणा करने के समान है।

दशमलव को विभाजित करने के लिए, आपको इस नियम का उपयोग करना होगा:

भाजक को एक प्राकृतिक संख्या में बदलें, और ऐसा करने के लिए, इसमें अल्पविराम को दाईं ओर अंत तक ले जाएँ;

लाभांश में दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या से आगे बढ़ाएं;

पिछले परिदृश्य के अनुसार कार्य करें.

0.1 से विभाजन पर प्रकाश डाला गया है; 0.01 और अन्य समान संख्याएँ। ऐसे उदाहरणों में, दशमलव बिंदु को भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या से दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि वे समाप्त हो जाते हैं, तो आपको शून्य की लुप्त संख्या को जोड़ना होगा। यह ध्यान देने योग्य है कि यह क्रिया 10 और समान संख्याओं से विभाजन को दोहराती है।



निष्कर्ष: यह सब अभ्यास के बारे में है

सीखने में कुछ भी आसानी से या बिना प्रयास के नहीं मिलता। नई सामग्री पर विश्वसनीय रूप से महारत हासिल करने के लिए समय और अभ्यास की आवश्यकता होती है। गणित कोई अपवाद नहीं है.

यह सुनिश्चित करने के लिए कि दशमलव भिन्नों के विषय में कठिनाई न हो, आपको उनके साथ यथासंभव अधिक से अधिक उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, एक समय था जब प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ना एक गतिरोध था। और अब सब कुछ ठीक है.

इसलिए, व्याख्या करने के लिए प्रसिद्ध वाक्यांश: निर्णय लें, निर्णय लें और पुनः निर्णय लें। फिर ऐसे नंबरों वाले कार्य किसी अन्य पहेली की तरह आसानी से और स्वाभाविक रूप से पूरे हो जाएंगे।

वैसे, पहेलियों को पहले हल करना मुश्किल होता है, और फिर आपको सामान्य गतिविधियाँ करने की ज़रूरत होती है। गणितीय उदाहरणों में भी ऐसा ही है: एक ही रास्ते पर कई बार चलने के बाद, आप यह नहीं सोचेंगे कि कहाँ मुड़ना है।

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ का उद्देश्य:

• मज़ेदार तरीके से, छात्रों को दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने, स्थानीय मान इकाई से गुणा करने के नियम और दशमलव अंश को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के नियम से परिचित कराएं। उदाहरणों और समस्याओं को हल करते समय अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करें।
• विकसित एवं सक्रिय करें तर्कसम्मत सोचछात्रों, पैटर्न की पहचान करने और उन्हें सामान्यीकृत करने की क्षमता, स्मृति को मजबूत करना, सहयोग करने की क्षमता, सहायता प्रदान करना, अपने स्वयं के काम और एक दूसरे के काम का मूल्यांकन करना।
• गणित, गतिविधि, गतिशीलता और संचार कौशल में रुचि पैदा करें।

उपकरण: इंटरैक्टिव बोर्ड, एक सिफरग्राम वाला पोस्टर, गणितज्ञों के बयानों वाले पोस्टर।

कक्षाओं के दौरान

1. आयोजन का समय.
2. मौखिक अंकगणित - पहले अध्ययन की गई सामग्री का सामान्यीकरण, नई सामग्री का अध्ययन करने की तैयारी।
3. नई सामग्री की व्याख्या.
4. होमवर्क असाइनमेंट।
5. गणितीय शारीरिक शिक्षा.
6. अर्जित ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण खेल का रूपकंप्यूटर का उपयोग करना।
7. ग्रेडिंग.

2. दोस्तों, आज हमारा पाठ कुछ अनोखा होगा, क्योंकि मैं इसे अकेले नहीं, बल्कि अपने दोस्त के साथ पढ़ाऊंगा। और मेरा दोस्त भी अनोखा है, तुम उसे अभी देखोगे. (स्क्रीन पर एक कार्टून कंप्यूटर दिखाई देता है।) मेरे दोस्त का नाम है और वह बात कर सकता है। तुम्हारा नाम क्या है दोस्त? कोम्पोशा उत्तर देता है: "मेरा नाम कोम्पोशा है।" क्या आप आज मेरी मदद करने के लिए तैयार हैं? हाँ! तो फिर, चलिए पाठ शुरू करते हैं।

दोस्तों, आज मुझे एक एन्क्रिप्टेड साइफरग्राम प्राप्त हुआ, जिसे हमें मिलकर हल करना और समझना होगा। (दशमलव अंशों को जोड़ने और घटाने के लिए मौखिक गणना के साथ एक पोस्टर बोर्ड पर लटका दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप बच्चों को निम्नलिखित कोड प्राप्त होता है 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

कोम्पोशा प्राप्त कोड को समझने में मदद करता है। डिकोडिंग का परिणाम मल्टीप्लिकेशन शब्द है। गुणन है कीवर्डआज के पाठ के विषय. पाठ का विषय मॉनिटर पर प्रदर्शित होता है: "दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से गुणा करना"

दोस्तों, हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। आज हम गुणा देखेंगे दशमलव संख्याएंएक प्राकृतिक संख्या के लिए. किसी दशमलव भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने को पदों के योग के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक इस दशमलव भिन्न के बराबर है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63इसका मतलब है 5.21·3 = 15.63. 5.21 को एक प्राकृत संख्या के सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने पर, हमें प्राप्त होता है

और इस मामले में हमें वही परिणाम मिला: 15.63. अब अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्या 5.21 के स्थान पर संख्या 521 लें और इसे इस प्राकृतिक संख्या से गुणा करें। यहां हमें यह याद रखना चाहिए कि किसी एक कारक में अल्पविराम दो स्थान दाईं ओर चला गया है। संख्याओं 5, 21 और 3 को गुणा करने पर हमें 15.63 के बराबर गुणनफल मिलता है। अब इस उदाहरण में हम अल्पविराम को बाएँ दो स्थानों पर ले जाते हैं। इस प्रकार, किसी एक कारक को कितनी बार बढ़ाया गया, कितनी बार उत्पाद को कम किया गया। इन विधियों की समानता के आधार पर हम एक निष्कर्ष निकालेंगे।

किसी दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको यह करना होगा:
1) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करें;
2) परिणामी गुणनफल में दाहिनी ओर से उतने ही अंक अल्पविराम से अलग करें जितने दशमलव भिन्न में होते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण मॉनिटर पर प्रदर्शित होते हैं, जिनका हम कोम्पोशा और लोगों के साथ मिलकर विश्लेषण करते हैं: 5.21·3 = 15.63 और 7.624·15 = 114.34। बाद में मैं गुणा करके दिखाता हूँ गोल संख्या 12.6·50 = 630. इसके बाद, मैं दशमलव अंश को स्थानीय मान इकाई से गुणा करने के लिए आगे बढ़ता हूं। मैं निम्नलिखित उदाहरण दिखाता हूं: 7.423 ·100 = 742.3 और 5.2·1000 = 5200। इसलिए, मैं दशमलव भिन्न को एक अंक इकाई से गुणा करने का नियम प्रस्तुत करता हूँ:

किसी दशमलव अंश को अंक इकाइयों 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको इस अंश में दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने अंक इकाई में शून्य हैं।

मैं दशमलव अंश को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करके अपनी व्याख्या समाप्त करता हूँ। मैं नियम प्रस्तुत करता हूँ:

दशमलव अंश को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको इसे 100 से गुणा करना होगा और % चिह्न जोड़ना होगा।

मैं कंप्यूटर पर एक उदाहरण दूंगा: 0.5 100 = 50 या 0.5 = 50%।

4. स्पष्टीकरण के अंत में मैं लोगों को देता हूँ गृहकार्य, जो कंप्यूटर मॉनीटर पर भी प्रदर्शित होता है: № 1030, № 1034, № 1032.

5. लोगों को थोड़ा आराम करने के लिए, हम विषय को समेकित करने के लिए कोम्पोशा के साथ मिलकर गणितीय शारीरिक शिक्षा सत्र कर रहे हैं। हर कोई खड़ा होता है, हल किए गए उदाहरण कक्षा को दिखाता है, और उन्हें जवाब देना होगा कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया था या गलत। यदि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, तो वे अपनी बाहों को अपने सिर के ऊपर उठाते हैं और अपनी हथेलियों को ताली बजाते हैं। यदि उदाहरण सही ढंग से हल नहीं किया गया है, तो लोग अपनी भुजाओं को बगल की ओर फैलाते हैं और अपनी उंगलियों को फैलाते हैं।

6. और अब आपने थोड़ा आराम कर लिया है, आप कार्यों को हल कर सकते हैं। अपनी पाठ्यपुस्तक को पृष्ठ 205 पर खोलें, № 1029. इस कार्य में आपको भावों के मान की गणना करने की आवश्यकता है:

कार्य कंप्यूटर पर दिखाई देते हैं. जैसे ही उन्हें हल किया जाता है, एक तस्वीर एक नाव की छवि के साथ दिखाई देती है जो पूरी तरह से इकट्ठे होने पर तैरती है।

संख्या 1031 गणना:

इस कार्य को कंप्यूटर पर हल करने से रॉकेट धीरे-धीरे मुड़ जाता है; अंतिम उदाहरण को हल करने के बाद रॉकेट उड़ जाता है। शिक्षक छात्रों को थोड़ी जानकारी देते हैं: “हर साल, कजाकिस्तान की धरती से सितारों के लिए अंतरिक्ष यान बैकोनूर कोस्मोड्रोम से उड़ान भरते हैं। कजाकिस्तान बैकोनूर के पास अपना नया बैतेरेक कॉस्मोड्रोम बना रहा है।

क्रमांक 1035. समस्या.

यदि यात्री कार की गति 74.8 किमी/घंटा है तो एक यात्री कार 4 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?

यह कार्य ध्वनि डिज़ाइन और मॉनिटर पर प्रदर्शित कार्य की संक्षिप्त स्थिति के साथ होता है। यदि समस्या सही ढंग से हल हो जाती है, तो कार अंतिम ध्वज तक आगे बढ़ना शुरू कर देती है।

№ 1033. दशमलव को प्रतिशत के रूप में लिखें।

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

प्रत्येक उदाहरण को हल करने पर, जब उत्तर सामने आता है, तो एक अक्षर प्रकट होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक शब्द बनता है बहुत अच्छा.

शिक्षक कोम्पोशा से पूछते हैं कि यह शब्द क्यों आएगा? कॉम्पोशा उत्तर देता है: "बहुत बढ़िया, दोस्तों!" और सभी को अलविदा कहता है.

शिक्षक पाठ का सारांश देता है और ग्रेड देता है।

दशमलव को गुणा करनातीन चरणों में होता है.

दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखा जाता है और सामान्य संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है।

हम पहले दशमलव भिन्न और दूसरे के लिए दशमलव स्थानों की संख्या गिनते हैं। हम उनकी संख्या जोड़ते हैं।

परिणामी परिणाम में, हम दाएँ से बाएँ उतनी ही संख्याएँ गिनते हैं जितनी हमें ऊपर पैराग्राफ में मिली थीं और अल्पविराम लगाते हैं।

दशमलव को गुणा कैसे करें

हम दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं और अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। यानी हम 3.11 को 311 और 0.01 को 1 मानते हैं।

हमें 311 प्राप्त हुए। अब हम दोनों भिन्नों के लिए दशमलव बिंदु के बाद चिह्नों (अंकों) की संख्या गिनते हैं। पहले दशमलव में दो अंक होते हैं और दूसरे में दो अंक होते हैं। दशमलव स्थानों की कुल संख्या:

हम परिणामी संख्या के दाएं से बाएं 4 चिह्न (अंक) गिनते हैं। परिणामी परिणाम में अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता से कम संख्याएँ हैं। ऐसे में आपको चाहिए बाएंशून्य की लुप्त संख्या जोड़ें.

हमसे एक अंक छूट गया है, इसलिए हम बाईं ओर एक शून्य जोड़ते हैं।

किसी भी दशमलव अंश को गुणा करते समय 10 पर; 100; 1000, आदि. दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने स्थानों तक चला जाता है जितने स्थानों पर एक के बाद शून्य होते हैं।

70.1 10 = 701

0.023 100 = 2.3

5.6 · 1,000 = 5,600

दशमलव को 0.1 से गुणा करने के लिए; 0.01; 0.001, आदि, आपको इस अंश में दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने स्थानों पर उसके पहले शून्य हों।

हम शून्य पूर्णांक गिनते हैं!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 · 0.1 = 0.005
• 1.256 · 0.01 = 0.012 56

दशमलव को गुणा करने के तरीके को समझने के लिए, आइए विशिष्ट उदाहरण देखें।

दशमलव को गुणा करने का नियम

1) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना गुणा करें।

2) परिणामस्वरूप, हम दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक अलग करते हैं जितने दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं।

दशमलव भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए हम अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना गुणा करते हैं। अर्थात्, हम 6.8 और 3.4 को नहीं, बल्कि 68 और 34 को गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हम दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक अलग करते हैं जितने दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। पहले कारक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे में भी एक होता है। कुल मिलाकर, हम दशमलव बिंदु के बाद दो संख्याओं को अलग करते हैं। इस प्रकार, हमें अंतिम उत्तर मिला: 6.8∙3.4=23.12।

हम दशमलव बिंदु को ध्यान में रखे बिना दशमलव को गुणा करते हैं। यानी वास्तव में, हम 36.85 को 1.14 से गुणा करने के बजाय, 3685 को 14 से गुणा करते हैं। हमें 51590 मिलता है। अब इस परिणाम में हमें उतने अंकों को अल्पविराम से अलग करना होगा, जितने दोनों कारकों में एक साथ हैं। पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, दूसरी में एक अंक होता है। कुल मिलाकर, हम तीन अंकों को अल्पविराम से अलग करते हैं। चूँकि प्रविष्टि के अंत में दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य है, हम इसे उत्तर में नहीं लिखते हैं: 36.85∙1.4=51.59.

इन दशमलवों को गुणा करने के लिए, आइए अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना संख्याओं को गुणा करें। अर्थात्, हम प्राकृतिक संख्याओं 2315 और 7 को गुणा करते हैं। हमें 16205 मिलता है। इस संख्या में, आपको दशमलव बिंदु के बाद चार अंकों को अलग करना होगा - जितने कि दोनों कारकों में एक साथ हैं (प्रत्येक में दो)। अंतिम उत्तर: 23.15∙0.07=1.6205।

दशमलव भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करना इसी प्रकार किया जाता है। हम अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना संख्याओं को गुणा करते हैं, यानी हम 75 को 16 से गुणा करते हैं। परिणामी परिणाम में दशमलव बिंदु के बाद संकेतों की समान संख्या होनी चाहिए क्योंकि दोनों कारकों में एक साथ होते हैं - एक। इस प्रकार, 75∙1.6=120.0=120.

हम दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके गुणा करना शुरू करते हैं, क्योंकि हम अल्पविरामों पर ध्यान नहीं देते हैं। इसके बाद दशमलव बिंदु के बाद उतने अंक अलग कर लेते हैं जितने दोनों गुणनखंडों में मिलाकर होते हैं। पहली संख्या में दो दशमलव स्थान हैं, दूसरी में भी दो हैं। कुल मिलाकर, परिणाम दशमलव बिंदु के बाद चार अंकों का होना चाहिए: 4.72∙5.04=23.7888.

और दशमलव भिन्नों को गुणा करने पर कुछ और उदाहरण:

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दशमलवों का गुणन, नियम, उदाहरण, समाधान।

चलिए पढ़ाई की ओर बढ़ते हैं अगला कदमदशमलव भिन्नों के साथ, अब हम एक व्यापक नज़र डालेंगे दशमलव को गुणा करना. आइये पहले बात करते हैं सामान्य सिद्धांतोंदशमलव भिन्नों को गुणा करना। इसके बाद, हम दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ेंगे, हम दिखाएंगे कि दशमलव भिन्न को एक कॉलम से कैसे गुणा किया जाता है, और हम उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे। इसके बाद, हम दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करने पर ध्यान देंगे, विशेष रूप से 10, 100, आदि से। अंत में, आइए दशमलव को भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से गुणा करने के बारे में बात करें।

आइए तुरंत कहें कि इस लेख में हम केवल सकारात्मक दशमलव अंशों को गुणा करने के बारे में बात करेंगे (सकारात्मक और देखें)। नकारात्मक संख्याएँ). शेष मामलों पर परिमेय संख्याओं के गुणन तथा लेख में चर्चा की गई है वास्तविक संख्याओं को गुणा करना.

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दशमलव को गुणा करने के सामान्य सिद्धांत

आइए उन सामान्य सिद्धांतों पर चर्चा करें जिनका दशमलव से गुणा करते समय पालन किया जाना चाहिए।

चूँकि परिमित दशमलव और अनंत आवर्त भिन्न सामान्य भिन्नों का दशमलव रूप हैं, इसलिए ऐसे दशमलवों को गुणा करना अनिवार्य रूप से सामान्य भिन्नों को गुणा करना है। दूसरे शब्दों में, परिमित दशमलव को गुणा करना, परिमित और आवधिक दशमलव भिन्नों को गुणा करना, और आवधिक दशमलवों को गुणा करनादशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने के बाद साधारण भिन्नों को गुणा करना आता है।

आइए दशमलव भिन्नों को गुणा करने के बताए गए सिद्धांत को लागू करने के उदाहरण देखें।

दशमलव को 1.5 और 0.75 से गुणा करें।

आइए गुणा किए जा रहे दशमलव भिन्नों को संगत साधारण भिन्नों से प्रतिस्थापित करें। चूँकि 1.5=15/10 और 0.75=75/100, तो। आप भिन्न को छोटा कर सकते हैं और फिर उसमें से संपूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं अनुचित अंश, और परिणामी साधारण भिन्न 1 125/1 000 को दशमलव भिन्न 1.125 के रूप में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी कॉलम में अंतिम दशमलव अंशों को गुणा करना सुविधाजनक है; हम अगले पैराग्राफ में दशमलव अंशों को गुणा करने की इस विधि के बारे में बात करेंगे।

आइए आवर्त दशमलव भिन्नों को गुणा करने का एक उदाहरण देखें।

आवर्त दशमलव भिन्नों 0,(3) और 2,(36) के गुणनफल की गणना करें।

आइए आवर्त दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

तब। आप परिणामी साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं:


यदि गुणा किए गए दशमलव अंशों में अनंत गैर-आवधिक अंश हैं, तो परिमित और आवधिक सहित सभी गुणित भिन्नों को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए (देखें) संख्याओं को पूर्णांकित करना), और फिर पूर्णांकन के बाद प्राप्त अंतिम दशमलव अंशों को गुणा करें।

दशमलव को 5.382... और 0.2 से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को पूर्णांकित करें, पूर्णांकन सौवें तक किया जा सकता है, हमारे पास 5.382...≈5.38 है। अंतिम दशमलव अंश 0.2 को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, 5.382...·0.2≈5.38·0.2. अंतिम दशमलव अंशों के उत्पाद की गणना करना बाकी है: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1.076.

दशमलव भिन्नों को स्तंभ से गुणा करना

किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान, एक कॉलम में परिमित दशमलव भिन्नों को गुणा किया जा सकता है।

आइए सूत्रबद्ध करें दशमलव भिन्नों को कॉलम से गुणा करने का नियम. दशमलव भिन्नों को स्तंभ से गुणा करने के लिए, आपको यह करना होगा:

• अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना, प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ के साथ गुणन के सभी नियमों के अनुसार गुणन करें;
• परिणामी संख्या में, दशमलव बिंदु के साथ दाईं ओर जितने अंक हैं, उन्हें अलग करें क्योंकि दोनों कारकों में एक साथ दशमलव स्थान हैं, और यदि उत्पाद में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आवश्यक संख्या में शून्य को बाईं ओर जोड़ा जाना चाहिए।

आइए दशमलव भिन्नों को स्तंभों से गुणा करने के उदाहरण देखें।

दशमलव को 63.37 और 0.12 से गुणा करें।

आइए एक कॉलम में दशमलव भिन्नों को गुणा करें। सबसे पहले, हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करते हैं:


जो कुछ बचा है वह परिणामी उत्पाद में अल्पविराम जोड़ना है। उसे दाईं ओर के 4 अंकों को अलग करने की आवश्यकता है क्योंकि गुणनखंड में कुल चार दशमलव स्थान होते हैं (दो अंश 3.37 में और दो अंश 0.12 में)। वहां पर्याप्त संख्याएं हैं, इसलिए आपको बाईं ओर शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है। आइए रिकॉर्डिंग समाप्त करें:


परिणामस्वरूप, हमारे पास 3.37·0.12=7.6044 है।

दशमलव 3.2601 और 0.0254 के गुणनफल की गणना करें।

अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना किसी कॉलम में गुणा करने पर, हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:


अब उत्पाद में आपको दाईं ओर के 8 अंकों को अल्पविराम से अलग करना होगा, क्योंकि कुलगुणा किए जाने वाले भिन्नों का दशमलव स्थान आठ के बराबर होता है। लेकिन उत्पाद में केवल 7 अंक हैं, इसलिए, आपको बाईं ओर अधिक से अधिक शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि आप 8 अंकों को अल्पविराम से अलग कर सकें। हमारे मामले में, हमें दो शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है:


इससे स्तंभ द्वारा दशमलव भिन्नों का गुणन पूरा हो जाता है।

दशमलव को 0.1, 0.01 आदि से गुणा करना।

अक्सर आपको दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.01 इत्यादि से गुणा करना पड़ता है। इसलिए, दशमलव अंश को इन संख्याओं से गुणा करने के लिए एक नियम बनाने की सलाह दी जाती है, जो ऊपर चर्चा किए गए दशमलव अंशों को गुणा करने के सिद्धांतों का पालन करता है।

इसलिए, किसी दिए गए दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001, इत्यादि से गुणा करनाएक अंश देता है जो मूल से प्राप्त होता है यदि इसके अंकन में अल्पविराम को क्रमशः 1, 2, 3 और इसी तरह के अंकों द्वारा बाईं ओर ले जाया जाता है, और यदि अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको इसकी आवश्यकता है बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 54.34 को 0.1 से गुणा करने के लिए, आपको अंश 54.34 में दशमलव बिंदु को 1 अंक से बाईं ओर ले जाना होगा, जिससे आपको अंश 5.434 मिलेगा, यानी 54.34·0.1=5.434। चलिए एक और उदाहरण देते हैं. दशमलव भिन्न 9.3 को 0.0001 से गुणा करें। ऐसा करने के लिए, हमें दशमलव बिंदु 4 अंकों को गुणा किए गए दशमलव भिन्न 9.3 में बाईं ओर ले जाना होगा, लेकिन भिन्न 9.3 के अंकन में उतने अंक नहीं होते हैं। इसलिए, हमें अंश 9.3 के बाईं ओर इतने सारे शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ताकि हम दशमलव बिंदु को 4 अंकों तक आसानी से ले जा सकें, हमारे पास 9.3·0.0001=0.00093 है।

ध्यान दें कि दशमलव भिन्न को 0.1, 0.01, ... से गुणा करने का बताया गया नियम अनंत दशमलव भिन्नों के लिए भी मान्य है। उदाहरण के लिए, 0.(18)·0.01=0.00(18) या 93.938…·0.1=9.3938…।

दशमलव को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

मूलतः दशमलव को प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करनादशमलव को दशमलव से गुणा करने से कोई भिन्न नहीं।

किसी कॉलम में अंतिम दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना सबसे सुविधाजनक है; इस मामले में, आपको किसी कॉलम में दशमलव अंशों को गुणा करने के नियमों का पालन करना चाहिए, जिनकी चर्चा पिछले पैराग्राफ में से एक में की गई है।

उत्पाद की गणना 15·2.27 करें।

आइए एक कॉलम में एक प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से गुणा करें:


किसी आवर्त दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, आवर्त भिन्न को एक साधारण भिन्न से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

दशमलव भिन्न 0.(42) को प्राकृतिक संख्या 22 से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए आवर्त दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें:

अब गुणा करते हैं: . दशमलव के रूप में यह परिणाम 9,(3) है।

और किसी अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, आपको पहले पूर्णांकन करना होगा।

4·2.145 को गुणा करें...

मूल अनंत दशमलव अंश को सौवें तक पूर्णांकित करने के बाद, हम एक प्राकृतिक संख्या और अंतिम दशमलव अंश के गुणन पर पहुंचते हैं। हमारे पास 4·2.145…≈4·2.15=8.60 है।

दशमलव को 10, 100 से गुणा करने पर...

अक्सर आपको दशमलव भिन्नों को 10, 100 से गुणा करना पड़ता है... इसलिए, इन मामलों पर विस्तार से ध्यान देने की सलाह दी जाती है।

आइए इसे आवाज दें दशमलव भिन्न को 10, 100, 1,000 आदि से गुणा करने का नियम।दशमलव अंश को 10, 100, ... से गुणा करते समय, इसके अंकन में, आपको दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3, ... अंकों तक दाईं ओर ले जाना होगा, और बाईं ओर के अतिरिक्त शून्य को हटा देना होगा; यदि गुणा किए जा रहे अंश के नोटेशन में दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है।

दशमलव भिन्न 0.0783 को 100 से गुणा करें।

आइए अंश 0.0783 को दो अंकों में दाईं ओर ले जाएं, और हमें 007.83 मिलता है। बाईं ओर के दो शून्य को हटाने पर दशमलव भिन्न 7.38 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 0.0783·100=7.83.

दशमलव अंश 0.02 को 10,000 से गुणा करें।

0.02 को 10,000 से गुणा करने के लिए, हमें दशमलव बिंदु 4 अंकों को दाईं ओर ले जाना होगा। जाहिर है, अंश 0.02 में दशमलव बिंदु को 4 अंकों से स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, इसलिए हम दाईं ओर कुछ शून्य जोड़ देंगे ताकि दशमलव बिंदु को स्थानांतरित किया जा सके। हमारे उदाहरण में, तीन शून्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है, हमारे पास 0.02000 है। अल्पविराम हटाने के बाद, हमें प्रविष्टि 00200.0 मिलती है। बाईं ओर के शून्य को हटाने पर, हमारे पास संख्या 200.0 है, जो प्राकृतिक संख्या 200 के बराबर है, जो दशमलव अंश 0.02 को 10,000 से गुणा करने का परिणाम है।

बताया गया नियम अनंत दशमलव भिन्नों को 10, 100 से गुणा करने के लिए भी सत्य है... आवधिक दशमलव भिन्नों को गुणा करते समय, आपको भिन्न की अवधि से सावधान रहने की आवश्यकता है जो गुणन का परिणाम है।

आवधिक दशमलव भिन्न 5.32(672) को 1,000 से गुणा करें।

गुणा करने से पहले आइए आवर्त दशमलव अंश को 5.32672672672 लिखें..., इससे हम गलतियों से बच सकेंगे। अब अल्पविराम को 3 स्थानों तक दाईं ओर ले जाएं, हमारे पास 5 326.726726 है…। इस प्रकार गुणन के बाद आवर्त दशमलव भिन्न 5 326,(726) प्राप्त होता है।

5.32(672)·1,000=5,326,(726) .

अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को 10, 100, ... से गुणा करते समय, आपको पहले राउंड करना होगा अनंत अंशएक निश्चित अंक तक, जिसके बाद गुणा किया जाता है।

दशमलव को भिन्न या मिश्रित संख्या से गुणा करना

एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश या मिश्रित संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव अंश को एक सामान्य अंश के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणा करना होगा।

दशमलव अंश 0.4 को मिश्रित संख्या से गुणा करें।

चूँकि 0.4=4/10=2/5 और फिर। परिणामी संख्या को आवधिक दशमलव भिन्न 1.5(3) के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न को भिन्न या मिश्रित संख्या से गुणा करते समय, भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न से बदलें, फिर गुणा किए गए भिन्नों को गोल करें और गणना समाप्त करें।

चूँकि 2/3=0.6666..., तो। गुणा किए गए भिन्नों को हजारवें भाग तक पूर्णांकित करने के बाद, हम दो अंतिम दशमलव अंशों 3.568 और 0.667 के गुणनफल पर पहुंचते हैं। आइए स्तंभकार गुणन करें:


प्राप्त परिणाम को निकटतम हजारवें तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, क्योंकि गुणा किए गए अंशों को हजारवें तक सटीक लिया गया था, हमारे पास 2.379856≈2.380 है।

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29. दशमलव को गुणा करना। नियम




समान भुजाओं वाले एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
1.4 डीएम और 0.3 डीएम। आइए डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदलें:

1.4 डीएम = 14 सेमी; 0.3 डीएम = 3 सेमी.

आइए अब क्षेत्रफल की गणना सेंटीमीटर में करें।

एस = 14 3 = 42 सेमी 2.

वर्ग सेंटीमीटर को वर्ग सेंटीमीटर में बदलें
डेसीमीटर:

डी एम 2 = 0.42 डी एम 2.

इसका मतलब है S = 1.4 dm 0.3 dm = 0.42 dm 2.

दो दशमलव भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार किया जाता है:
1) संख्याओं को अल्पविरामों को ध्यान में रखे बिना गुणा किया जाता है।
2) उत्पाद में अल्पविराम इस प्रकार लगाया जाता है कि उसे दाईं ओर अलग किया जा सके
दोनों कारकों में समान संख्या में चिह्न अलग किए गए हैं
संयुक्त. उदाहरण के लिए:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण:



किसी भी संख्या को 0.1 से गुणा करने के बजाय; 0.01; 0.001
आप इस संख्या को 10 से विभाजित कर सकते हैं; 100 ; या क्रमशः 1000.
उदाहरण के लिए:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

किसी दशमलव भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, हमें यह करना होगा:

1) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना संख्याओं को गुणा करें;

2) परिणामी उत्पाद में अल्पविराम लगाएं ताकि दाईं ओर
इसमें दशमलव भिन्न के समान अंकों की संख्या थी।

आइए उत्पाद 3.12 10 खोजें। उपरोक्त नियम के अनुसार
सबसे पहले हम 312 को 10 से गुणा करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 312 10 = 3120।
अब हम दाईं ओर के दो अंकों को अल्पविराम से अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

इसका मतलब यह है कि 3.12 को 10 से गुणा करते समय, हमने दशमलव बिंदु को एक से बढ़ा दिया
दाईं ओर का नंबर. यदि हम 3.12 को 100 से गुणा करते हैं, तो हमें 312 प्राप्त होता है, अर्थात
अल्पविराम को दो अंक दाईं ओर ले जाया गया।

3,12 100 = 312,00 = 312 .

किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करते समय, आपको यह करना होगा
इस भिन्न में दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाएँ जितने शून्य हों
गुणक के लायक है. उदाहरण के लिए:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

"दशमलव को गुणा करना" विषय पर समस्याएँ

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दशमलव को जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना

दशमलव को जोड़ना और घटाना प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के समान है, लेकिन कुछ शर्तों के साथ।

नियम। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के अंकों के अनुसार प्राकृतिक संख्याओं के रूप में किया जाता है।

लेखन में दशमलव को जोड़ना और घटानापूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम जोड़ और योग पर या एक कॉलम में लघुअंत, उपप्रकार और अंतर पर स्थित होना चाहिए (शर्त लिखने से लेकर गणना के अंत तक अल्पविराम के नीचे एक अल्पविराम)।

दशमलव को जोड़ना और घटानापंक्ति के लिए:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

दशमलव को जोड़ना और घटानाएक कॉलम में:

जब स्थानीय मान का योग दस से अधिक हो जाता है तो दशमलव जोड़ने के लिए संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष पंक्ति की आवश्यकता होती है। दशमलव को घटाने के लिए उस स्थान को चिह्नित करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष रेखा की आवश्यकता होती है जहां 1 उधार लिया गया है।

यदि परिशिष्ट या लघुअंत के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग के पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में दाईं ओर आप उतने ही शून्य जोड़ सकते हैं (भिन्नात्मक भाग का अंक बढ़ाएँ) जितने अन्य परिशिष्ट में अंक हैं। या minuend.

दशमलव को गुणा करनासमान नियमों के अनुसार प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान ही किया जाता है, लेकिन उत्पाद में भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार एक अल्पविराम लगाया जाता है, दाएं से बाएं तक गिनती (योग का योग) गुणक के अंक कारकों के दशमलव बिंदु के बाद एक साथ लिए गए अंकों की संख्या है)।

पर दशमलव को गुणा करनादाएँ से पहले कॉलम में महत्वपूर्ण आंकड़ादाईं ओर पहले महत्वपूर्ण अंक के नीचे हस्ताक्षरित, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं में होता है:

अभिलेख दशमलव को गुणा करनाएक कॉलम में:

अभिलेख दशमलव का विभाजनएक कॉलम में:

रेखांकित वर्ण वे वर्ण हैं जिनके बाद अल्पविराम लगता है क्योंकि भाजक एक पूर्णांक होना चाहिए।

नियम। पर भिन्नों को विभाजित करनादशमलव विभाजक को उतने ही अंकों से बढ़ाया जाता है जितने भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंश नहीं बदलता है, लाभांश को अंकों की समान संख्या से बढ़ाया जाता है (लाभांश और भाजक में, दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या पर ले जाया जाता है)। विभाजन के उस चरण में भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है जब भिन्न का पूरा भाग विभाजित हो जाता है।

दशमलव भिन्नों के लिए, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के लिए, नियम रहता है: आप दशमलव अंश को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

पिछले पाठ में, हमने दशमलव को जोड़ना और घटाना सीखा (देखें पाठ "दशमलव को जोड़ना और घटाना")। उसी समय, हमने मूल्यांकन किया कि सामान्य "दो-कहानी" अंशों की तुलना में गणना कितनी सरल है।

दुर्भाग्य से, यह प्रभाव दशमलव को गुणा करने और विभाजित करने पर नहीं होता है। कुछ मामलों में, दशमलव अंकन इन परिचालनों को और भी जटिल बना देता है।

सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा प्रस्तुत करें। हम उसे अक्सर देखेंगे, न कि केवल इस पाठ में।

किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग पहले और अंतिम गैर-शून्य अंक के बीच का सब कुछ है, जिसमें अंत भी शामिल है। हम केवल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, दशमलव बिंदु को ध्यान में नहीं रखा गया है।

किसी संख्या के सार्थक भाग में सम्मिलित अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उन्हें दोहराया जा सकता है और शून्य के बराबर भी किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कई दशमलव अंशों पर विचार करें और संबंधित महत्वपूर्ण भागों को लिखें:

1. 91.25 → 9125 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (केवल एक महत्वपूर्ण अंक है: 3)।

कृपया ध्यान दें: संख्या के महत्वपूर्ण भाग के अंदर का शून्य कहीं नहीं जाता है। हम पहले ही कुछ इसी तरह का सामना कर चुके हैं जब हमने दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना सीखा था (पाठ "दशमलव" देखें)।

यह बिंदु इतना महत्वपूर्ण है, और यहां गलतियाँ इतनी बार की जाती हैं कि निकट भविष्य में मैं इस विषय पर एक परीक्षण प्रकाशित करूंगा। अभ्यास अवश्य करें! और हम, महत्वपूर्ण भाग की अवधारणा से लैस होकर, वास्तव में, पाठ के विषय पर आगे बढ़ेंगे।

दशमलव को गुणा करना

गुणन संक्रिया में तीन क्रमिक चरण होते हैं:

1. प्रत्येक भिन्न के लिए, महत्वपूर्ण भाग लिखिए। आपको दो साधारण पूर्णांक मिलेंगे - बिना किसी हर और दशमलव बिंदु के;
2. इन संख्याओं को किसी से गुणा करें सुविधाजनक तरीके से. सीधे तौर पर, यदि संख्याएँ छोटी हैं, या किसी कॉलम में हैं। हमें वांछित भिन्न का महत्वपूर्ण भाग प्राप्त होता है;
3. पता लगाएं कि संबंधित महत्वपूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए मूल भिन्नों में दशमलव बिंदु को कहां और कितने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है। पिछले चरण में प्राप्त महत्वपूर्ण भाग के लिए रिवर्स शिफ्ट निष्पादित करें।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि महत्वपूर्ण भाग के किनारों पर शून्य को कभी भी ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम की अनदेखी करने से त्रुटियां होती हैं।

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

हम पहली अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं: 0.28 · 12.5।

1. आइए इस अभिव्यक्ति से संख्याओं के महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 28 और 125;
2. उनका उत्पाद: 28 · 125 = 3500;
3. पहले कारक में दशमलव बिंदु 2 अंक दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (0.28 → 28), और दूसरे में यह 1 और अंक स्थानांतरित हो जाता है। कुल मिलाकर, आपको तीन अंकों द्वारा बाईं ओर बदलाव की आवश्यकता है: 3500 → 3,500 = 3.5।

अब आइए व्यंजक 6.3 · 1.08 को देखें।

1. आइए महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 63 और 108;
2. उनका उत्पाद: 63 · 108 = 6804;
3. पुनः, दाईं ओर दो बदलाव: क्रमशः 2 और 1 अंक से। कुल - फिर से दाईं ओर 3 अंक, इसलिए विपरीत बदलाव बाईं ओर 3 अंक होगा: 6804 → 6.804। इस बार कोई पिछला शून्य नहीं है.

हम तीसरी अभिव्यक्ति पर पहुँचे: 132.5 · 0.0034।

1. महत्वपूर्ण भाग: 1325 और 34;
2. उनका उत्पाद: 1325 · 34 = 45,050;
3. पहले अंश में, दशमलव बिंदु 1 अंक से दाईं ओर चला जाता है, और दूसरे में - 4 से अधिक। कुल: दाईं ओर 5। हम 5 से बायीं ओर शिफ्ट होते हैं: 45,050 → .45050 = 0.4505। शून्य को अंत में हटा दिया गया, और सामने जोड़ दिया गया ताकि कोई "नग्न" दशमलव बिंदु न छूटे।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: 0.0108 · 1600.5.

1. हम महत्वपूर्ण भाग लिखते हैं: 108 और 16005;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. हम दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को गिनते हैं: पहली संख्या में 4 हैं, दूसरी में 1 हैं। कुल फिर 5 है। हमारे पास है: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854। अंत में, "अतिरिक्त" शून्य हटा दिया गया।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति: 5.25 10,000।

1. महत्वपूर्ण भाग: 525 और 1;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 525 · 1 = 525;
3. पहला अंश 2 अंकों में दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, और दूसरा अंश 4 अंकों में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (10,000 → 1.0000 = 1)। बाईं ओर कुल 4 − 2 = 2 अंक। हम दाईं ओर 2 अंकों का रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 525, → 52,500 (हमें शून्य जोड़ना पड़ा)।

पिछले उदाहरण में ध्यान दें: चूँकि दशमलव बिंदु अलग-अलग दिशाओं में चलता है, कुल बदलाव अंतर के माध्यम से पाया जाता है। ये बहुत महत्वपूर्ण बिंदु! यहाँ एक और उदाहरण है:

संख्याओं 1.5 और 12,500 पर विचार करें। हमारे पास है: 1.5 → 15 (दाहिनी ओर 1 से बदलाव); 12,500 → 125 (बाईं ओर 2 शिफ्ट करें)। हम 1 अंक को दाईं ओर और फिर 2 को बाईं ओर "कदम" बढ़ाते हैं। परिणामस्वरूप, हमने बायीं ओर 2 − 1 = 1 अंक बढ़ाया।

दशमलव विभाजन

विभाजन शायद सबसे कठिन ऑपरेशन है। बेशक, यहां आप गुणन के अनुरूप कार्य कर सकते हैं: महत्वपूर्ण भागों को विभाजित करें, और फिर दशमलव बिंदु को "स्थानांतरित" करें। लेकिन इस मामले में कई बारीकियां हैं जो संभावित बचत को नकार देती हैं।

इसलिए, आइए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम देखें, जो थोड़ा लंबा है, लेकिन अधिक विश्वसनीय है:

1. सभी दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें। थोड़े से अभ्यास के साथ, यह कदम आपको कुछ ही सेकंड में पूरा कर देगा;
2. परिणामी भिन्नों को शास्त्रीय तरीके से विभाजित करें। दूसरे शब्दों में, पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करें (पाठ देखें "संख्यात्मक भिन्नों को गुणा और विभाजित करना");
3. यदि संभव हो, तो परिणाम को दशमलव अंश के रूप में दोबारा प्रस्तुत करें। यह कदम भी त्वरित है, क्योंकि हर अक्सर पहले से ही दस की घात होता है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

आइए पहली अभिव्यक्ति पर विचार करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को दशमलव में बदलें:

आइए दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करें। पहले भिन्न के अंश को फिर से गुणनखंडित किया जाएगा:

तीसरे और चौथे उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बिंदु है: दशमलव अंकन से छुटकारा पाने के बाद, कम करने योग्य अंश दिखाई देते हैं। हालाँकि, हम यह कटौती नहीं करेंगे.

अंतिम उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि दूसरे भिन्न के अंश में एक अभाज्य संख्या होती है। यहाँ पर कारक बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, इसलिए हम इस पर सीधे विचार करते हैं:

कभी-कभी विभाजन का परिणाम पूर्णांक होता है (मैं अंतिम उदाहरण के बारे में बात कर रहा हूं)। इस स्थिति में, तीसरा चरण बिल्कुल भी निष्पादित नहीं किया जाता है।

इसके अलावा, विभाजित करते समय, "बदसूरत" अंश अक्सर उत्पन्न होते हैं जिन्हें दशमलव में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह विभाजन को गुणन से अलग करता है, जहां परिणाम हमेशा दशमलव रूप में दर्शाए जाते हैं। बेशक, इस मामले में अंतिम चरण फिर से नहीं किया जाता है।

तीसरे और चौथे उदाहरण पर भी ध्यान दें। उनमें हम जानबूझकर छोटा नहीं करते साधारण अंश, दशमलव से व्युत्पन्न। अन्यथा, यह व्युत्क्रम कार्य को जटिल बना देगा - अंतिम उत्तर को फिर से दशमलव रूप में प्रस्तुत करना।

याद रखें: भिन्न का मूल गुण (गणित के किसी भी अन्य नियम की तरह) अपने आप में यह मतलब नहीं है कि इसे हर जगह और हमेशा, हर अवसर पर लागू किया जाना चाहिए।