लघुगणकीय पहचान का आधार. बुनियादी लघुगणकीय पहचान

(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्याएं बीपर आधारित ए(लॉग α बी) ऐसी संख्या कहलाती है सी, और बी= एसी, यानी, रिकॉर्ड लॉग α बी=सीऔर बी=एसीसमतुल्य हैं. यदि a > 0, a ≠ 1, b > 0 हो तो लघुगणक समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीपर आधारित एएक प्रतिपादक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।

उदाहरण के लिए:

लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8 = 2 3।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मान, जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति के रूप में कार्य करती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है किसी संख्या की शक्तियां.

लघुगणक की गणना करना कहलाता है लोगारित्म. लघुगणक लघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद पदों के योग में बदल जाते हैं।

पोटेंशिएशनलघुगणक की व्युत्क्रम गणितीय संक्रिया है। पोटेंशिएशन के दौरान, किसी दिए गए आधार को अभिव्यक्ति की डिग्री तक बढ़ाया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस स्थिति में, पदों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।

अक्सर, वास्तविक लघुगणक का उपयोग आधार 2 (बाइनरी), यूलर संख्या ई ≈ 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ किया जाता है।

इस स्तर पर इस पर विचार करना उचित है लघुगणक नमूनेलॉग 7 2 , एल.एन √ 5, एलजी0.0001.

और प्रविष्टियाँ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या रखी गई है, दूसरे में - एक ऋणात्मक संख्याआधार में, और तीसरे में - लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या और आधार में एक इकाई दोनों।

लघुगणक निर्धारित करने की शर्तें.

शर्तों a > 0, a ≠ 1, b > 0 पर अलग से विचार करना उचित है, जिसके तहत हमें मिलता है लघुगणक की परिभाषा.आइये विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिये गये। x = log α के रूप की समानता इसमें हमारी सहायता करेगी बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करती है।

आइए शर्त लेते हैं a≠1. चूँकि एक से किसी भी घात का मान एक के बराबर होता है, तो समानता x=log α बीतभी अस्तित्व में रह सकता है जब बी=1, लेकिन लॉग 1 1 कोई वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, हम लेते हैं a≠1.

आइए हम शर्त की आवश्यकता सिद्ध करें ए>0. पर ए=0लघुगणक के निरूपण के अनुसार तभी अस्तित्व में रह सकता है बी=0. और तदनुसार फिर लॉग 0 0कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य होता है। इस अस्पष्टता को शर्त द्वारा समाप्त किया जा सकता है a≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाली डिग्री केवल गैर-नकारात्मक आधारों के लिए परिभाषित की जाती है। इसी कारण से यह शर्त निर्धारित की गई है ए>0.

और अंतिम शर्त बी>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, चूँकि x=log α बी, और सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मूल्य एहमेशा ही सकारात्मक।

लघुगणक की विशेषताएँ.

लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" जाने पर, गुणन को बहुत आसान जोड़ में बदल दिया जाता है, विभाजन को घटाव में बदल दिया जाता है, और घातांक और मूल निष्कर्षण को क्रमशः घातांक द्वारा गुणन और विभाजन में बदल दिया जाता है।

लघुगणक का निरूपण और उनके मानों की तालिका (के लिए)। त्रिकोणमितीय कार्य) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित किया गया था। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तारित और विस्तृत लॉगरिदमिक तालिकाओं का वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, और इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर के उपयोग तक प्रासंगिक बने रहे।

हम लघुगणक का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक की गणना, इस प्रक्रिया को कहा जाता है लोगारित्म. सबसे पहले हम परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना को समझेंगे। आगे, आइए देखें कि लघुगणक के मान उनके गुणों का उपयोग करके कैसे पाए जाते हैं। इसके बाद, हम अन्य लघुगणक के आरंभिक निर्दिष्ट मानों के माध्यम से लघुगणक की गणना पर ध्यान केंद्रित करेंगे। अंत में, आइए जानें कि लघुगणक तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। संपूर्ण सिद्धांत विस्तृत समाधानों के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

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परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना

सबसे सरल मामलों में इसे बहुत जल्दी और आसानी से निष्पादित करना संभव है परिभाषा के अनुसार लघुगणक ज्ञात करना. आइए विस्तार से देखें कि यह प्रक्रिया कैसे होती है।

इसका सार संख्या b को a c के रूप में प्रस्तुत करना है, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, संख्या c लघुगणक का मान है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लघुगणक खोजने से मेल खाती है: log a b=log a a c =c।

तो, परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना एक संख्या सी खोजने के लिए नीचे आती है जैसे कि ए सी = बी, और संख्या सी स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले पैराग्राफ में दी गई जानकारी को ध्यान में रखते हुए, जब लघुगणक चिह्न के तहत संख्या लघुगणक आधार की एक निश्चित शक्ति द्वारा दी जाती है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि लघुगणक किसके बराबर है - यह घातांक के बराबर है। आइए उदाहरणों से समाधान दिखाएं.

उदाहरण।

लघुगणक 2 2 −3 ज्ञात कीजिए और संख्या e 5,3 का प्राकृतिक लघुगणक भी परिकलित कीजिए।

समाधान।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि लघुगणक 2 2 −3 =−3. दरअसल, लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार 2 से −3 घात के बराबर है।

इसी प्रकार, हम दूसरा लघुगणक पाते हैं: lne 5.3 =5.3.

उत्तर:

लघुगणक 2 2 −3 =−3 और lne 5,3 =5,3.

यदि लघुगणक चिन्ह के नीचे संख्या b को लघुगणक के आधार की शक्ति के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो आपको यह देखने के लिए ध्यान से देखने की आवश्यकता है कि क्या a c के रूप में संख्या b का प्रतिनिधित्व करना संभव है। अक्सर यह प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की घात 1, या 2, या 3 के बराबर होती है, ...

उदाहरण।

लघुगणक लॉग 5 25, और की गणना करें।

समाधान।

यह देखना आसान है कि 25=5 2, यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: लॉग 5 25=लॉग 5 5 2 =2।

आइए दूसरे लघुगणक की गणना के लिए आगे बढ़ें। संख्या को 7 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है: (यदि आवश्यक हो तो देखें)। इस तरह, .

आइए तीसरे लघुगणक को फिर से लिखें निम्नलिखित प्रपत्र. अब आप वह देख सकते हैं , जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं . इसलिए, लघुगणक की परिभाषा के द्वारा .

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:।

उत्तर:

लॉग 5 25=2 , और .

जब लघुगणक चिन्ह के नीचे पर्याप्त रूप से बड़ा हो प्राकृतिक संख्या, तो इसे अभाज्य कारकों में शामिल करने से कोई नुकसान नहीं होगा। यह अक्सर लघुगणक के आधार की कुछ शक्ति के रूप में ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए परिभाषा के अनुसार इस लघुगणक की गणना करता है।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक का मान तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक का गुण और आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण शामिल है: log 1 1=log a 0 =0 और log a a=log a a 1 =1। अर्थात्, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे कोई संख्या 1 या लघुगणक के आधार के बराबर कोई संख्या हो, तो इन मामलों में लघुगणक क्रमशः 0 और 1 के बराबर होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और लघुगणक 10 किसके बराबर हैं?

समाधान।

चूँकि, तब लघुगणक की परिभाषा से यह अनुसरण करता है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या 10 इसके आधार से मेल खाती है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात, lg10=lg10 1 =1.

उत्तर:

और एलजी10=1 .

ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना (जिसकी हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) में समानता लॉग ए एपी = पी का उपयोग शामिल है, जो लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक चिह्न और लघुगणक के आधार के नीचे की संख्या को एक निश्चित संख्या की शक्ति के रूप में आसानी से दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है , जो लघुगणक के गुणों में से एक से मेल खाता है। आइए एक लघुगणक खोजने का एक उदाहरण देखें जो इस सूत्र के उपयोग को दर्शाता है।

उदाहरण।

लघुगणक की गणना करें.

समाधान।

उत्तर:

.

ऊपर वर्णित लघुगणक के गुणों का उपयोग गणना में भी किया जाता है, लेकिन हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणक के माध्यम से लघुगणक ढूँढना

इस पैराग्राफ की जानकारी लघुगणक की गणना करते समय उनके गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहां मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को दूसरे लघुगणक के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मान ज्ञात होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण दें। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि लघुगणक 2 3≈1.584963 है, तो हम, उदाहरण के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके थोड़ा परिवर्तन करके लघुगणक 2 6 पा सकते हैं: लॉग 2 6=लॉग 2 (2 3)=लॉग 2 2+लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे लिए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना पर्याप्त था। हालाँकि, अक्सर दिए गए लघुगणक के माध्यम से मूल लघुगणक की गणना करने के लिए लघुगणक के गुणों के व्यापक शस्त्रागार का उपयोग करना आवश्यक होता है।

उदाहरण।

यदि आप जानते हैं कि लघुगणक 60 2=ए और लघुगणक 60 5=बी, तो 27 से आधार 60 के लघुगणक की गणना करें।

समाधान।

इसलिए हमें लॉग 60 27 खोजने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि 27 = 3 3, और मूल लघुगणक, घात के लघुगणक के गुण के कारण, 3·लॉग 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब आइए देखें कि लॉग 60 3 को ज्ञात लघुगणक के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए। आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण हमें समानता लघुगणक 60 60=1 लिखने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, लॉग 60 60=लॉग60(2 2 3 5)= लॉग 60 2 2 +लॉग 60 3+लॉग 60 5= 2·लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5। इस प्रकार, 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5=1. इस तरह, लॉग 60 3=1−2·लॉग 60 2−लॉग 60 5=1−2·ए−बी.

अंत में, हम मूल लघुगणक की गणना करते हैं: लघुगणक 60 27=3 लघुगणक 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

उत्तर:

लॉग 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

अलग से, प्रपत्र के लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र के अर्थ का उल्लेख करना उचित है . यह आपको किसी भी आधार वाले लघुगणक से एक विशिष्ट आधार वाले लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, जिसके मान ज्ञात हैं या उन्हें ढूंढना संभव है। आमतौर पर, मूल लघुगणक से, संक्रमण सूत्र का उपयोग करते हुए, वे आधार 2, ई या 10 में से किसी एक में लघुगणक में चले जाते हैं, क्योंकि इन आधारों के लिए लघुगणक की तालिकाएँ होती हैं जो एक निश्चित डिग्री के साथ उनके मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं शुद्धता। अगले पैराग्राफ में हम दिखाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक तालिकाएँ और उनके उपयोग

लघुगणक की अनुमानित गणना के लिए मानों का उपयोग किया जा सकता है लघुगणक तालिकाएँ. सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली आधार 2 लघुगणक तालिका है प्राकृतिक लघुगणकऔर दशमलव लघुगणक की एक तालिका। दशमलव संख्या प्रणाली में काम करते समय, आधार दस पर आधारित लघुगणक की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी सहायता से हम लघुगणक का मान ज्ञात करना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका आपको एक दस-हज़ारवें हिस्से की सटीकता के साथ 1,000 से 9,999 (तीन दशमलव स्थानों के साथ) संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान खोजने की अनुमति देती है। हम दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक का मान ज्ञात करने के सिद्धांत का विश्लेषण करेंगे विशिष्ट उदाहरण- यह इस तरह से स्पष्ट है। आइए लॉग 1.256 खोजें।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएं कॉलम में हमें संख्या 1.256 के पहले दो अंक मिलते हैं, यानी, हमें 1.2 मिलता है (स्पष्टता के लिए यह संख्या नीले रंग में सर्कल है)। संख्या 1.256 (अंक 5) का तीसरा अंक दोहरी रेखा के बाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में गोलाकार होती है)। मूल संख्या 1.256 (अंक 6) का चौथा अंक दोहरी रेखा के दाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या हरे रंग की रेखा से घिरी होती है)। अब हम लघुगणक तालिका के कक्षों में चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर संख्याएँ पाते हैं (ये संख्याएँ हाइलाइट की गई हैं) नारंगी). अंकित संख्याओं का योग दशमलव लघुगणक का वांछित मान दशमलव के चौथे स्थान तक सटीक देता है, अर्थात लॉग1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

क्या ऊपर दी गई तालिका का उपयोग करके, उन संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान ज्ञात करना संभव है जिनमें दशमलव बिंदु के बाद तीन से अधिक अंक हैं, साथ ही वे संख्याएँ जो 1 से 9.999 तक की सीमा से आगे जाती हैं? हाँ तुम कर सकते हो। आइए एक उदाहरण से दिखाएं कि यह कैसे किया जाता है।

आइए lg102.76332 की गणना करें। सबसे पहले आपको लिखना होगा मानक रूप में संख्या: 102.76332=1.0276332·10 2. इसके बाद, मंटिसा को दशमलव के तीसरे स्थान तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, हमारे पास है 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक लगभग परिणामी संख्या के लघुगणक के बराबर है, अर्थात, हम log102.76332≈lg1.028·10 2 लेते हैं। अब हम लघुगणक के गुण लागू करते हैं: एलजी1.028·10 2 =एलजी1.028+एलजी10 2 =एलजी1.028+2. अंत में, हम दशमलव लघुगणक lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 की तालिका से लघुगणक lg1.028 का मान पाते हैं। परिणामस्वरूप, लघुगणक की गणना की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखती है: लॉग102.76332=लॉग1.0276332 10 2 ≈एलजी1.028 10 2 = लॉग1.028+एलजी10 2 =लॉग1.028+2≈0.012+2=2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लघुगणक पर जाने, तालिका में उनके मान खोजने और शेष गणना करने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आइए लॉग 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है। दशमलव लघुगणक की तालिका से हम log3≈0.4771 और log2≈0.3010 पाते हैं। इस प्रकार, .

ग्रंथ सूची.

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

संख्या b (b > 0) से आधार a (a > 0, a ≠ 1) का लघुगणक- घातांक जिससे संख्या a को b प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए।

बी का आधार 10 लघुगणक इस प्रकार लिखा जा सकता है लॉग(बी), और आधार ई का लघुगणक (प्राकृतिक लघुगणक) है एलएन(बी).

लघुगणक के साथ समस्याओं को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है:

लघुगणक के गुण

ये चार मुख्य हैं लघुगणक के गुण.

मान लीजिए a > 0, a ≠ 1, x > 0 और y > 0.

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणकलघुगणक के योग के बराबर:

लॉग ए (एक्स ⋅ वाई) = लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई

गुण 2. भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणकलघुगणक के अंतर के बराबर:

लॉग ए (एक्स / वाई) = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई

संपत्ति 3. शक्ति का लघुगणक

डिग्री का लघुगणकघात और लघुगणक के गुणनफल के बराबर:

यदि लघुगणक का आधार डिग्री में है, तो दूसरा सूत्र लागू होता है:

गुण 4. मूल का लघुगणक

यह गुण किसी घात के लघुगणक के गुण से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि घात का nवाँ मूल 1/n की घात के बराबर है:

एक आधार के लघुगणक को दूसरे आधार के लघुगणक में बदलने का सूत्र

लघुगणक पर विभिन्न समस्याओं को हल करते समय भी इस सूत्र का उपयोग अक्सर किया जाता है:

विशेष मामला:

लघुगणक (असमानताएं) की तुलना करना

आइए हमारे पास समान आधार वाले लघुगणक के तहत 2 फ़ंक्शन f(x) और g(x) हैं और उनके बीच एक असमानता चिह्न है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको सबसे पहले लघुगणक के आधार को देखना होगा:

• यदि a > 0, तो f(x) > g(x) > 0
• यदि 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक के साथ समस्याएँकार्य 5 और कार्य 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल, आप हमारी वेबसाइट पर उपयुक्त अनुभागों में समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। साथ ही, गणित कार्य बैंक में लघुगणक वाले कार्य पाए जाते हैं। आप साइट पर खोज कर सभी उदाहरण पा सकते हैं।

लघुगणक क्या है

लघुगणक पर सदैव विचार किया गया है जटिल विषयस्कूल के गणित पाठ्यक्रम में। वहां कई हैं अलग-अलग परिभाषाएँलघुगणक, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और असफल का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल एवं स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x का आधार a वह शक्ति है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाया जाना चाहिए।

पदनाम: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ, लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक अंतराल पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

लघुगणक कैसे गिनें

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात्। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

1. तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य (ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब आइये विचार करें सामान्य योजनालघुगणक की गणना. इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। के जैसा दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत नियमित में परिवर्तित करते हैं, तो बहुत कम त्रुटियां होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒(5 1) बी = 5 2 ⇒5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒(2 2) बी = 2 6 ⇒2 2बी = 2 6 ⇒2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒(2 4) बी = 2 0 ⇒2 4बी = 2 0 ⇒4बी = 0 ⇒ बी = 0;
3. हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घातें होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

तर्क का x आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। हम प्राकृतिक लघुगणक के बारे में बात कर रहे हैं।

तर्क का x आधार e का लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

बहुत से लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह अपरिमेय संख्या, उसका सही मूल्यढूंढना और रिकॉर्ड करना असंभव है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459…

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक. लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे निरूपित करें?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लघुगणक एक घातांक है जिसके आधार को लघुगणक चिह्न के अंतर्गत संख्या प्राप्त करने के लिए ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, एक निश्चित संख्या c को आधार a के लघुगणक के रूप में दर्शाने के लिए, आपको लघुगणक के आधार के समान आधार वाली एक घात को लघुगणक के चिह्न के नीचे रखना होगा, और इस संख्या c को घातांक के रूप में लिखना होगा:

बिल्कुल किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है - सकारात्मक, नकारात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक, तर्कसंगत, अपरिमेय:

किसी परीक्षण या परीक्षा की तनावपूर्ण परिस्थितियों में ए और सी को भ्रमित न करने के लिए, आप निम्नलिखित याद रखने के नियम का उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आपको संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3. ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिह्न के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या नीचे लिखी जानी चाहिए, डिग्री के आधार तक, और कौन सी - ऊपर, घातांक तक।

लघुगणक के अंकन में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम आधार 3 के लघुगणक के रूप में दो का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम आधार के नीचे 3 भी लिखेंगे।

2 तीन से अधिक है. और डिग्री दो के अंकन में हम तीन के ऊपर लिखते हैं, यानी एक प्रतिपादक के रूप में:

लघुगणक. प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीपर आधारित ए, कहाँ ए > 0, ए ≠ 1, वह घातांक कहलाता है जिससे संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ए, प्राप्त करने के लिए बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी > 0, ए > 0, ए ≠ 1.इसे आमतौर पर कहा जाता है लघुगणकीय पहचान.
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक द्वारा.

लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

भागफल का लघुगणक:

लघुगणक आधार को बदलना:

डिग्री का लघुगणक:

मूल का लघुगणक:

शक्ति आधार के साथ लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक.

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ इस संख्या के लघुगणक को आधार 10 पर कॉल करें और   lg लिखें बी
प्राकृतिकसंख्याओं को आधार से उस संख्या का लघुगणक कहा जाता है इ, कहाँ इ- एक अपरिमेय संख्या लगभग 2.7 के बराबर। साथ ही वे एलएन लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
2. लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद वे काफी हद तक बदल जाते हैं सामान्य संख्या. कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉग ए 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0, a≠1 के लिए। प्रमाण कठिन नहीं है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो साबित करने के लिए समानता लॉग a 1=0 लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

आइए हम विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0, लॉग1=0 और।

चलिए आगे बढ़ते हैं निम्नलिखित संपत्ति के लिए: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0, a≠1 के लिए। वास्तव में, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 है।

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण समानताएं लॉग 5 5 = 1, लॉग 5.6 5.6 और एलएनई = 1 हैं।

उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (x y)=लॉग ए x+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम किसी उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x·a log a y, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार एक लॉग a x =x और एक लॉग a y =y है, तो एक लॉग a x ·a लॉग a y =x·y है। इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x·y, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, समानता सिद्ध की जा रही है।

आइए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और .

किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 ·x 2 ·…·x n)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +...+लॉग ए एक्स एन . यह समानता बिना किसी समस्या के सिद्ध की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक की संपत्ति फॉर्म के एक सूत्र से मेल खाती है, जहां a>0, a≠1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता किसी उत्पाद के लघुगणक के सूत्र के साथ-साथ सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।

यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं घात के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। आइए किसी घात के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखें: लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी|, जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।

पहले हम इस गुण को सकारात्मक बी के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति के गुण के कारण, a p·log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p = a p·log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p·log a b।

इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी। तब बी पी =|बी| पी =(ए लॉग ए |बी|) पी =ए पी·लॉग ए |बी|, जहां से लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक का गुण: nवें मूल का लघुगणक मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक द्वारा अंश 1/n के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, , जहां a>0, a≠1, n एक प्राकृतिक संख्या है जो एक से बड़ी है, b>0।

प्रमाण समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक बी और शक्ति के लघुगणक की संपत्ति के लिए मान्य है: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

अब आइए साबित करें नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्रदयालु . ऐसा करने के लिए, समानता लॉग सी बी=लॉग ए बी·लॉग सी ए की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इससे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध हो गया है।

आइए लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और .

नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर जाने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्र, कुछ मामलों में, किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

बार-बार प्रयोग किया जाता है विशेष मामलाप्रपत्र के c=b के साथ लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र . इससे पता चलता है कि लॉग ए बी और लॉग बी ए -। जैसे, .

सूत्र का प्रयोग भी प्रायः किया जाता है , जो लघुगणक मान ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए कैसे किया जा सकता है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए लघुगणक a के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक की तुलना के गुणों को सिद्ध करना बाकी है।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी सकारात्मक संख्या b 1 और b 2, b 1 के लिए लॉग ए बी 2, और ए>1 के लिए - असमानता लॉग ए बी 1

अंत में, लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को सिद्ध करना बाकी है। आइए हम खुद को इसके पहले भाग के प्रमाण तक सीमित रखें, यानी हम साबित करेंगे कि यदि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत के अनुसार सिद्ध किये जाते हैं।

आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि 1 >1, 2 >1 और 1 के लिए 1 सत्य है लॉग ए 1 बी≤लॉग ए 2 बी। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली शक्तियों के गुणों के अनुसार, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 कायम रहनी चाहिए, यानी a 1 ≥a 2। अत: हम शर्त 1 के विरोधाभास पर पहुँचे

ग्रंथ सूची.

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

निर्देश

दिया गया लघुगणकीय व्यंजक लिखिए। यदि अभिव्यक्ति 10 के लघुगणक का उपयोग करती है, तो इसका अंकन छोटा हो जाता है और इस तरह दिखता है: एलजी बी दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो अभिव्यक्ति लिखें: ln b - प्राकृतिक लघुगणक। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए।

दो कार्यों का योग ज्ञात करते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करके जोड़ना आवश्यक है: (u*v)" = u"*v +v"*u;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से लाभांश के फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को घटाना और विभाजित करना आवश्यक है यह सब विभाजक फलन द्वारा वर्गित किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि कोई जटिल फ़ंक्शन दिया गया है, तो आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। मान लीजिए y=u(v(x)), तो y"(x)=y"(u)*v"(x).

ऊपर प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करने में भी समस्याएं हैं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिया गया है, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें y"(1)=8*e^0=8

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मददगार सलाह

प्राथमिक व्युत्पन्नों की तालिका जानें. इससे समय की काफी बचत होगी.

स्रोत:

• एक स्थिरांक का व्युत्पन्न

तो, एक अपरिमेय समीकरण और एक तर्कसंगत समीकरण के बीच क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के नीचे है, तो समीकरण अपरिमेय माना जाता है।

निर्देश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों के निर्माण की विधि है समीकरणएक वर्ग में. तथापि। यह स्वाभाविक है, सबसे पहली चीज़ जो आपको करने की ज़रूरत है वह है संकेत से छुटकारा पाना। यह तरीका तकनीकी रूप से कठिन नहीं है, लेकिन कभी-कभी इससे परेशानी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7) है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। ऐसे समीकरण को हल करना कठिन नहीं है; एक्स=1. लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में x के मान के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात। यह मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है. इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

तो, एक अपरिमेय समीकरण को उसके दोनों पक्षों का वर्ग करने की विधि का उपयोग करके हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, पाए गए मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

दूसरे पर विचार करें.
2х+vх-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यौगिकों को स्थानांतरित करें समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर रखें और फिर वर्ग विधि का उपयोग करें। परिणामी तर्कसंगत समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुंदर भी। एक नया चर दर्ज करें; vх=y. तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 के रूप का एक समीकरण प्राप्त होगा। यानी एक साधारण द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो को हल करें समीकरण vх=1; vх=-3/2. दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है; पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करना न भूलें.

पहचान को हल करना काफी सरल है। ऐसा करने के लिए, निर्धारित लक्ष्य प्राप्त होने तक समान परिवर्तन करना आवश्यक है। इस प्रकार, सरल अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से उत्पन्न समस्या का समाधान हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

निर्देश

ऐसे परिवर्तनों में सबसे सरल बीजगणितीय संक्षिप्त गुणन हैं (जैसे कि योग (अंतर) का वर्ग, वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर))। इसके अलावा, कई त्रिकोणमितीय सूत्र हैं, जो मूलतः समान पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहले और दूसरे के गुणनफल का दोगुना और दूसरे के वर्ग का योग होता है, यानी (a+b)^2= (a+ बी)(ए+बी)=ए^2+एबी +बीए+बी ^2=ए^2+2एबी+बी^2।

दोनों को सरल कीजिये

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक से दोहराएँ कि एक निश्चित अभिन्न अंग क्या है। जैसा कि ज्ञात है, एक निश्चित समाकलन का समाधान एक फलन है जिसका व्युत्पन्न एक समाकलन देगा। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के आधार पर, मुख्य अभिन्न अंग का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के प्रकार से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसका तुरंत निर्धारण करना हमेशा संभव नहीं होता है. अक्सर, इंटीग्रैंड को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि इंटीग्रैंड एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक बहुपद है, तो चर परिवर्तन विधि का उपयोग करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, इंटीग्रैंड के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चरों के बीच संबंधों के आधार पर एकीकरण की नई सीमाएँ निर्धारित करें। इस अभिव्यक्ति को अलग करके, नया अंतर खोजें। इस प्रकार, आपको पिछले इंटीग्रल का एक नया रूप मिलेगा, किसी तालिका के करीब या उसके अनुरूप।

दूसरे प्रकार के अभिन्नों को हल करना

यदि इंटीग्रल दूसरे प्रकार का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का एक वेक्टर रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल्स से स्केलर में संक्रमण के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस संबंध। यह कानून हमें एक निश्चित वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर फ्लक्स से किसी दिए गए वेक्टर फ़ील्ड के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल तक जाने की अनुमति देता है।

एकीकरण सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन ज्ञात करने के बाद समाकलन की सीमाएँ प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, प्रतिअवकलन के लिए व्यंजक में ऊपरी सीमा का मान रखें। आपको कुछ नंबर मिलेंगे. इसके बाद, परिणामी संख्या से निचली सीमा से प्राप्त अन्य संख्या को प्रतिअवकलन में घटाएं। यदि एकीकरण की सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे प्रतिअवकलन फलन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस ओर प्रवृत्त होती है।
यदि अभिन्न द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको अभिन्न का मूल्यांकन करने के तरीके को समझने के लिए ज्यामितीय रूप से एकीकरण की सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा। दरअसल, त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो एकीकृत होने की मात्रा को सीमित करती हैं।