Példák törtek összeadására és kivonására. Algebrai törtek összeadása és kivonása: szabályok, példák. Algebrai törtek összeadása és kivonása különböző nevezőkkel

Osztály: 5

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra céljai:

Nevelési:

rendszerezi a közönséges törtekkel kapcsolatos ismereteket;
ismételje meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadási és kivonási szabályait;
ismételje meg a törtek összeadás és kivonás szabályait -val különböző nevezők.

Nevelési:

fejleszti a figyelmet, a beszédet, a memóriát, a logikus gondolkodást, az önállóságot.

Nevelési:

ápolják a vágyat a cél elérése érdekében; önbizalom, csapatmunka képessége.

Tud: hasonló és eltérő nevezőt tartalmazó törtek összeadásának és kivonásának szabályai.

Az óra típusa: az ismeretek általánosításának és rendszerezésének órája.

Felszerelés: képernyő, multimédia, bemutató „Közönséges törtek összeadása és kivonása” (1. melléklet), közönséges tört modellje (1. ábra); űrlap teszttel, választáblázat (2. ábra), hangulatjelek az elmélkedéshez (3. ábra), rajzolt karácsonyfa (4. ábra).

Nem.	Lecke szakasz	Idő	Színpadi feladatok
1.	Idő szervezése.	3 perc	Készítse fel a tanulókat a leckére.
2.	Az ismeretek frissítése. Fedett anyag ismétlése.	10 perc.	A megfelelő és nem megfelelő törtek áttekintése, a törtek csökkentése, a törtek új nevezőre hozása, a teljes rész kiemelése.
3.	Az összeadás és kivonás szabályainak alkalmazása közönséges törtek ugyanazokkal a nevezőkkel.	10 perc.	Tekintse át a közös törtek összeadását és kivonását hasonló nevezőkkel.
4.	Testnevelés perc.	3 perc	Enyhítse a gyermek fáradtságát, biztosítson aktív pihenést és növelje a tanulók szellemi teljesítőképességét.
5.	Különböző nevezőjű közös törtek összeadási és kivonási szabályainak alkalmazása.	13 perc.	Tekintse át a különböző nevezőkkel rendelkező közönséges törtek összeadását és kivonását.
6.	Házi feladat.	2 perc.	Házi feladat oktatás.
7.	Óra összefoglalója.	4 perc.	Összegezve. Osztályozás. Visszaverődés.

Az órák alatt

1). Idő szervezése.

- "Közönséges törtek összeadása és kivonása."

Javasoljuk az óra céljait és célkitűzéseit megfogalmazni, a beszélgetés során megfogalmazni (a tanár felírhatja a táblára).

2). Az ismeretek frissítése. Fedett anyag ismétlése. (1. sz. dia).

a) Ma aukcióval kezdjük a leckét. Csak egy tétel áll rendelkezésre: "közös tört" (1. kép). Emlékezzünk arra, amit a közönséges törtekről tudunk:

Számláló;

Névadó;

Törtsáv - osztás;

Tovább b részeket osztunk, veszünk A ilyen részek;

Helyes;

Helytelen;

Válassza ki a teljes részt;

Csökkenteni;

Csökkentse új nevezőre;

Példák.

Aki utoljára beszélt a közönséges törtről, megkapja a közönséges tört modelljét.

b) Erősítsük meg tudásunkat a teszt kitöltésével(válaszlap, 1. sz. feladat, 2. sz. dia).

TESZT

1. Keresse meg a megfelelő törtet:

A); B) ; BAN BEN) .

2. Keresse meg a nem megfelelő törtet:

A); B) ; BAN BEN) .

3. Csökkentse a törtet:

A); B) ; BAN BEN) .

4. Csökkentse a törtet a 28-as nevezőre:

A); B) ; BAN BEN) .

5. Válassza ki a teljes részt:

A); B) ; BAN BEN) .

A válaszokat beírjuk a táblázatba.

1 2 3 4 5

Összesít:

5 "+" jel 5,
4 "+" jel 4,
3 "+" jel 3.

3).A hasonló nevezővel rendelkező közönséges törtek összeadási és kivonási szabályainak alkalmazása.

Milyen közönséges törteket adhatunk hozzá?

Hasonló és eltérő nevezővel rendelkező törtek (3. dia).

Ismételjük meg az azonos nevezőjű törtek összeadását.

Két azonos nevezőjű tört hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni.

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonni a minuend számlálóját a minuend számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni.

Erősítsük meg tudásunkat a gyakorlatban.

A tanulókat megkérjük, hogy szóban számolják ki a példákat, és írják le a válaszokat a 2. feladat válaszlapjára.

Cserélje ki a jegyzetfüzeteket és végezzen kölcsönös ellenőrzéseket.

Összesít:

9-8 "+" jel 5,
7-6 "+" jel 4,
5 "+" jel 3.

4). Testnevelés perc.

5). Különböző nevezőjű közös törtek összeadási és kivonási szabályainak alkalmazása.

Azonos nevezőjű törteket adtunk hozzá. Mit kell tenni a különböző nevezőkkel rendelkező közönséges törtek hozzáadásához?(4. dia).

A különböző nevezőjű törtek összeadásához és kivonásához a törteket közös nevezőre kell redukálni további tényezők keresésével. Végezze el az azonos nevezővel rendelkező közönséges törtek összeadását és kivonását.

Műveletek törtekkel.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Térjünk rá a fő kérdésre.

Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Mindezek a műveletek decimális a törtekkel való munka nem különbözik az egész számokkal való munkavégzéstől. Tulajdonképpen ez a jó bennük, a tizedesjegyek. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.

Vegyes számok, mint már mondtam, a legtöbb művelethez kevés hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.

De a műveletek közönséges törtek ravaszabbak lesznek. És még sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük ezt az egész aritmetikát.

Törtek összeadása és kivonása.

A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, a teljesen feledékenyeket hadd emlékeztessem: összeadásnál (kivonásnál) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:

Röviden, be Általános nézet:

Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört alaptulajdonságát felhasználva (itt megint jól jön!) a nevezőket azonosra tesszük! Például:

Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Minden esetre hadd jegyezzem meg, hogy 2/5 és 4/10 ugyanaz a tört! Csak 2/5 kellemetlen számunkra, és 4/10 tényleg rendben van.

Egyébként minden matematikai feladat megoldásának ez a lényege. Amikor mi tőlünk kényelmetlen kifejezéseket csinálunk ugyanaz, de megoldása kényelmesebb.

Egy másik példa:

Hasonló a helyzet. Itt 16-ból 48-at adunk. Egyszerű szorzással 3-mal. Mindez világos. De valami ilyesmivel találkoztunk:

Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt hívják „közös nevezőre redukálni”:

Azta! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyszerre osztható 7-tel és 9-cel. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredmény biztosan osztható 7-tel!

Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia az összes törtre közös nevezőt, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie. Például:

És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal. Ezért ezekből a számokból könnyű 16-ot kapni. Ez a szám lesz a közös nevező. Váltsunk 1/2-ből 8/16-ra, 3/4-ből 12/16-ra, és így tovább.

Egyébként ha az 1024-et veszed közös nevezőnek, akkor minden sikerül, a végén minden lecsökken. De nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...

Egészítse ki a példát. Nem valamiféle logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.

Szóval a törtek összeadása (kivonása) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azoknak jár, akik becsületesen dolgoztak az alsó tagozaton... És nem felejtettek el semmit.

És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt derül ki az új rake, igen...

Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:

A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Ezt diktálja a tört fő tulajdonsága. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az X-hez a nevező első törtjében. (az jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:

És persze nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitjuk ki a zárójelet! És most, a jobb oldali közös nevezőt nézve rájövünk: ahhoz, hogy az x(x+1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szorozni ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x+1) . És a második frakcióban - x-hez. Ezt kapod:

Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Persze nem a zárójeleket, hanem a hiányukat. A zárójelek azért jelennek meg, mert szorozunk minden számláló és minden névadó! És nem az egyes darabjaik...

A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törtekben, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. Mindent megszorozunk és hasonlókat adunk. Nem kell a nevezőkben a zárójelet kinyitni, vagy bármit szorozni! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:

Tehát megkaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Ha egyszer megoldod a példákat, megszokod, minden egyszerűvé válik. Azok, akik kellő időben elsajátították a törteket, ezeket a műveleteket egy bal kézzel, automatikusan elvégzik!

És még egy megjegyzés. Sokan okosan foglalkoznak a törtekkel, de elakadnak a példákon egész számok. Tetszik: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a két darabot? Nem kell sehova rögzíteni, kettőből törtet kell csinálni. Nem könnyű, de nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.

Nos, felfrissült a törtek összeadás és kivonás ismerete. A törtek egyik típusból a másikba való átalakítása megismétlődött. Ellenőrizni is lehet. rendezzük egy kicsit?)

Kiszámítja:

Válaszok (rendetlenségben):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Törtek szorzása/osztása – a következő leckében. Minden törtekkel végzett művelethez vannak feladatok is.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Ez a cikk elkezdi az algebrai törtekkel végzett műveletek tanulmányozását: részletesen megvizsgáljuk az olyan műveleteket, mint az algebrai törtek összeadása és kivonása. Elemezzük az azonos és eltérő nevezőjű algebrai törtek összeadási és kivonási sémáját. Tanuljuk meg, hogyan adjunk össze algebrai törtet polinommal, és hogyan vonjuk ki őket. Tovább konkrét példák Elmagyarázzuk a problémák megoldásának minden lépését.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Összeadás és kivonás műveletek egyenlő nevezővel

A közönséges törtek összeadásának séma algebrai törtek esetén is alkalmazható. Tudjuk, hogy a hasonló nevezőkkel rendelkező közönséges törtek összeadásakor vagy kivonásakor hozzá kell adni vagy ki kell vonni a számlálóikat, de a nevező változatlan marad.

Például: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 és 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Ennek megfelelően a hasonló nevezővel rendelkező algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabálya hasonló módon van felírva:

1. definíció

A hasonló nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásához vagy kivonásához hozzá kell adni vagy ki kell vonni az eredeti törtek számlálóit, és a nevezőt változatlanul kell írni.

Ez a szabály lehetővé teszi azt a következtetést, hogy az algebrai törtek összeadásának vagy kivonásának eredménye egy új algebrai tört (egy adott esetben polinom, monom vagy szám).

Mutassunk példát a megfogalmazott szabály alkalmazására.

1. példa

A megadott algebrai törtek a következők: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 és 3 - x · y x 2 · y - 2 . Hozzá kell adni őket.

Megoldás

Az eredeti törtek ugyanazokat a nevezőket tartalmazzák. A szabály szerint az adott törtek számlálóit összeadjuk, a nevezőt változatlanul hagyjuk.

Összeadva azokat a polinomokat, amelyek az eredeti törtek számlálói, a következőt kapjuk: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Ezután a szükséges összeget a következőképpen írjuk fel: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

A gyakorlatban, mint sok esetben, a megoldást egyenlőségek láncolata adja, amely egyértelműen mutatja a megoldás minden szakaszát:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Válasz: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Az összeadás vagy kivonás eredménye lehet redukálható tört, ilyenkor optimális a csökkentése.

2. példa

Az x x 2 - 4 · y 2 algebrai törtből ki kell vonni a 2 · y x 2 - 4 · y 2 törtet.

Megoldás

Az eredeti törtek nevezői egyenlők. Végezzünk el műveleteket a számlálókkal, nevezetesen: vonjuk ki a második számlálóját az első tört számlálójából, majd írjuk fel az eredményt, a nevezőt változatlanul hagyva:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Látjuk, hogy a kapott tört redukálható. Csökkentsük úgy, hogy a nevezőt a négyzetes különbség képlettel alakítjuk át:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Válasz: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Ugyanezen elv alapján három vagy több, azonos nevezővel rendelkező algebrai törtet összeadunk vagy kivonunk. Például:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Összeadás és kivonás műveletek különböző nevezőkkel

Nézzük meg újra a közönséges törtekkel végzett műveleti sémát: a különböző nevezőjű közönséges törtek összeadásához vagy kivonásához közös nevezőre kell hozni őket, majd össze kell adni a kapott törteket azonos nevezőkkel.

Például 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 vagy 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Hasonlóképpen megfogalmazzuk a szabályt a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadására és kivonására:

2. definíció

A különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásához vagy kivonásához a következőket kell tennie:

hozzuk közös nevezőre az eredeti törteket;
végezze el az azonos nevezővel kapott törtek összeadását vagy kivonását.

Nyilvánvaló, hogy itt a kulcs az algebrai törtek közös nevezőre való redukálása. Nézzük meg közelebbről.

Algebrai törtek redukálása közös nevezőre

Az algebrai törtek közös nevezőre hozásához az adott törtek azonos transzformációját kell végrehajtani, melynek eredményeként az eredeti törtek nevezői azonosakká válnak. Itt az optimális cselekedni a következő algoritmushoz Az algebrai törtek közös nevezőre redukálása:

először meghatározzuk az algebrai törtek közös nevezőjét;
majd minden törthez további tényezőket találunk úgy, hogy a közös nevezőt elosztjuk az eredeti törtek nevezőivel;
Utolsó műveletként meg kell szorozni az adott algebrai törtek számlálóit és nevezőit a megfelelő további tényezőkkel.

3. példa

Az algebrai törtek a következők: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2, a + 3 3 · a 2 - 6 · a és a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Közös nevezőre kell hozni őket.

Megoldás

A fenti algoritmus szerint járunk el. Határozzuk meg az eredeti törtek közös nevezőjét! Ehhez az adott törtek nevezőit faktorizáljuk: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) ill. 4 a 5 - 16 a 3 = 4 a 3 (a - 2) (a + 2). Innen már felírhatjuk a közös nevezőt: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).

Most további tényezőket kell találnunk. A talált közös nevezőt az algoritmus szerint osszuk fel az eredeti törtek nevezőire:

az első törtre: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
a második törtre: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
a harmadik törthez: 12 a 3 (a - 2) (a + 2) : (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) = 3 .

A következő lépésben meg kell szorozni az adott törtek számlálóit és nevezőit a további talált tényezőkkel:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a) 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Válasz: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Tehát az eredeti törteket közös nevezőre csökkentettük. Ha szükséges, a kapott eredményt átválthatja algebrai törtek formájába úgy, hogy a számlálókban és a nevezőkben lévő polinomokat és monomokat megszorozza.

Tisztázzuk ezt is: optimális a talált közös nevezőt szorzat formájában hagyni arra az esetre, ha csökkenteni kell a végtörtet.

Részletesen megvizsgáltuk a kezdeti algebrai törtek közös nevezőre való redukálásának sémáját, most elkezdhetjük a különböző nevezőjű törtek összeadási és kivonási példáinak elemzését.

4. példa

A megadott algebrai törtek: 1 - 2 x x 2 + x és 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. El kell végezni a hozzáadásuk műveletét.

Megoldás

Az eredeti törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, ezért az első lépés az, hogy közös nevezőre hozzuk őket. Tényezzük a nevezőket: x 2 + x = x · (x + 1) , és x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2), mert négyzetes trinom gyökerei x 2 + 3 x + 2 ezek a számok: - 1 és - 2. Meghatározzuk a közös nevezőt: x (x + 1) (x + 2), akkor a további tényezők a következők lesznek: x+2És - x az első és a második törtre.

Így: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) és 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Most adjuk hozzá az általunk hozott törteket egy közös nevezőhöz:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

A kapott tört egy közös tényezővel csökkenthető x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

És végül a kapott eredményt algebrai tört formájában írjuk fel, a nevezőben lévő szorzatot polinomra cserélve:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Írjuk le röviden a megoldást egyenlőséglánc formájában:

1-2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Válasz: 1-2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Ügyeljen erre a részletre: az algebrai törtek összeadása vagy kivonása előtt, ha lehetséges, az egyszerűsítés érdekében célszerű átalakítani őket.

5. példa

Törteket kell kivonni: 2 1 1 3 · x - 2 21 és 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Megoldás

A további megoldás egyszerűsítésére alakítsuk át az eredeti algebrai törteket. Vegyük ki a nevezőben lévő változók numerikus együtthatóit a zárójelből:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 és 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Ez az átalakulás egyértelműen előnyhöz juttatta: világosan látjuk egy közös tényező jelenlétét.

Teljesen megszabaduljunk a nevezőkben szereplő numerikus együtthatóktól. Ehhez az algebrai törtek fő tulajdonságát használjuk: az első tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 3 4-gyel, a másodiké pedig - 1 2-vel, majd kapjuk:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 és 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Végezzünk el egy műveletet, amely lehetővé teszi számunkra, hogy megszabaduljunk a törtegyütthatóktól: szorozzuk meg a kapott törteket 14-gyel:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 és - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Végül végezzük el a problémafelvetésben megkövetelt műveletet – a kivonást:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Válasz: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Algebrai törtek és polinomok összeadása és kivonása

Ez a művelet az algebrai törtek összeadásával vagy kivonásával is jár: az eredeti polinomot 1-es nevezőjű törtként kell ábrázolni.

6. példa

Szükséges egy polinom hozzáadása x 2-3 a 3 x x + 2 algebrai törttel.

Megoldás

Írjuk fel a polinomot algebrai törtként 1-es nevezővel: x 2 - 3 1

Most már elvégezhetjük az összeadást a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának szabálya szerint:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Válasz: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A törtek közönséges számok, összeadhatók és kivonhatók. De mivel van nevezőjük, összetettebb szabályokat igényelnek, mint az egész számokhoz.

Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor két azonos nevezővel rendelkező tört van. Akkor:

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni.

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt ismét változatlanul kell hagyni.

Az egyes kifejezéseken belül a törtek nevezői egyenlőek. A törtek összeadása és kivonása definíciója szerint a következőket kapjuk:

Amint látja, semmi bonyolult: csak összeadjuk vagy kivonjuk a számlálókat, és kész.

De még ilyen egyszerű cselekedetekben is sikerül hibázni az embereknek. Leggyakrabban azt felejtik el, hogy a nevező nem változik. Például amikor hozzáadják őket, akkor is elkezdenek összeadni, és ez alapvetően rossz.

Megszabadul rossz szokás A nevezők összeadása meglehetősen egyszerű. Próbáld meg ugyanezt a kivonásnál. Ennek eredményeként a nevező nulla lesz, és a tört (hirtelen!) értelmét veszti.

Ezért ne feledjük egyszer s mindenkorra: összeadáskor és kivonáskor a nevező nem változik!

Sokan hibáznak több negatív tört összeadásakor is. Zavar a jelekkel: hova tegyen mínuszt és hova pluszt.

Ez a probléma is nagyon könnyen megoldható. Elég megjegyezni, hogy a tört előjele előtti mínusz mindig átvihető a számlálóba - és fordítva. És persze ne felejts el két egyszerű szabályt:

Plusz mínuszra mínuszt ad;
Két negatívum igenlővé tesz.

Nézzük mindezt konkrét példákkal:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Az első esetben minden egyszerű, de a másodikban mínuszokat vezetünk be a törtek számlálóiba:

Mi a teendő, ha a nevezők eltérőek

Nem adhat hozzá közvetlenül különböző nevezőjű törteket. Által legalább, Nem ismerem ezt a módszert. Az eredeti törtek azonban mindig átírhatók, így a nevezők azonosakká válnak.

A törtek átszámításának számos módja van. Ezek közül hármat a „Törtek redukálása közös nevezőre” című leckében tárgyalunk, ezért itt nem foglalkozunk velük. Nézzünk néhány példát:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Az első esetben a törteket közös nevezőre redukáljuk a „criss-cross” módszerrel. A másodikban a NOC-t fogjuk keresni. Vegye figyelembe, hogy 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ezekben a bővítésekben az utolsó tényezők egyenlőek, az elsők pedig viszonylag prímek. Ezért LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Mi a teendő, ha egy törtnek egész része van

A kedvedre tehetek: nem a különböző nevezők a törtben a legnagyobb baj. Sokkal több hiba fordul elő, ha a teljes rész kiemelve van az összeadási törtekben.

Természetesen vannak ilyen törtek szabadalmaztatott algoritmusokösszeadás és kivonás, de ezek meglehetősen összetettek és sok tanulást igényelnek. Jobb használat egyszerű diagram, alább megadva:

Alakítsa át az egész részt tartalmazó törteket nem megfelelő törtekké. Normál tagokat kapunk (akár eltérő nevezővel is), amelyeket a fent tárgyalt szabályok szerint számítunk ki;
Valójában számítsa ki a kapott törtek összegét vagy különbségét. Ennek eredményeként gyakorlatilag meg fogjuk találni a választ;
Ha a feladatban csak ennyi kellett, akkor végrehajtjuk az inverz transzformációt, azaz. Egy helytelen törttől az egész rész kiemelésével szabadulunk meg.

A helytelen törtekre való áttérés és a teljes rész kiemelésének szabályait a „Mi a numerikus tört” című leckében ismertetjük részletesen. Ha nem emlékszik, feltétlenül ismételje meg. Példák:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Itt minden egyszerű. Az egyes kifejezéseken belüli nevezők egyenlőek, így nincs más hátra, mint az összes törtet helytelenné alakítani, és megszámolni. Nekünk van:

A számítások egyszerűsítése érdekében az utolsó példákban kihagytam néhány nyilvánvaló lépést.

Egy kis megjegyzés az utolsó két példához, ahol a kiemelt törteket kivonjuk egész rész. A második tört előtti mínusz azt jelenti, hogy a teljes tört kivonásra kerül, nem csak a teljes része.

Olvasd el újra ezt a mondatot, nézd meg a példákat – és gondolkozz el rajta. Itt ismerik be a kezdők nagy mennyiség hibákat. Szeretnek ilyen feladatokat adni tesztek. Többször találkozhatsz velük a rövidesen közzétett lecke tesztjein is.

Összegzés: általános számítási séma

Befejezésül megadom általános algoritmus, amely segít megtalálni két vagy több tört összegét vagy különbségét:

Ha egy vagy több törtnek egész része van, alakítsa át ezeket a törteket nem megfelelő törtekké;
Hozd az összes tört közös nevezőt az Ön számára megfelelő módon (kivéve persze, ha a problémák írói tették ezt);
Adja össze vagy vonja ki a kapott számokat a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadási és kivonási szabályai szerint;
Ha lehetséges, rövidítse le az eredményt. Ha a tört helytelen, válassza ki a teljes részt.

Ne feledje, hogy jobb, ha az egész részt kiemeli a feladat legvégén, közvetlenül a válasz lejegyzése előtt.

Az óra tartalma

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása

A törtek összeadásának két típusa van:

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
Különböző nevezőjű törtek összeadása

Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz nem volt megfelelő tört. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.

Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.

A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjuk össze a törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:

Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:

Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajz egy töredéket ábrázol (hatból négy darab), a második rajz pedig egy törtet (hatból három darab). Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen leírtuk. BAN BEN oktatási intézmények Nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:

De van olyan is hátoldalérmeket. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki annak teljes részét

A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:

Választ kaptunk

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása

A törtek kivonásának két típusa van:

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most térjünk vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:

Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:

Választ kaptunk

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz

Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):

Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.

A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:

Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel

Választ kaptunk

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlanul kell hagynia.

1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz

És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

A törttel szorozandó szám és a tört nevezője akkor lesz feloldva, ha közös osztó, nagyobb, mint egy.

Például egy kifejezést kétféleképpen lehet kiértékelni.

Első út. Szorozzuk meg a 4-et a tört számlálójával, és hagyjuk változatlanul a tört nevezőjét:

Második út. A négy szorozva és a négy a tört nevezőjében csökkenthető. Ezek a négyesek csökkenthetők 4-gyel, mivel két négyes legnagyobb közös osztója maga a négy:

Ugyanezt az eredményt kaptuk 3. A négyesek lecsökkentése után új számok alakulnak ki helyettük: két egyes. De ha egyet megszorozunk hárommal, majd oszt eggyel, az nem változtat semmit. Ezért a megoldást röviden leírhatjuk:

A csökkentés akkor is elvégezhető, ha az első módszer alkalmazása mellett döntöttünk, de a 4-es szám és a 3-as számláló szorzásának szakaszában a csökkentés mellett döntöttünk:

De például a kifejezés csak az első módon számítható ki - szorozza meg 7-et a tört nevezőjével, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a 7-es számnak és a tört nevezőjének nincs egynél nagyobb közös osztója, és ennek megfelelően nem törlődnek.

Egyes tanulók tévedésből lerövidítik a szorzandó számot és a tört számlálóját. Ezt nem tudod megtenni. Például a következő bejegyzés nem helyes:

A töredék csökkentése azt jelenti számlálót és nevezőt is osztva lesz ugyanazzal a számmal. A kifejezéssel kapcsolatos helyzetben az osztás csak a számlálóban történik, mivel ennek írása megegyezik az írással. Látjuk, hogy az osztás csak a számlálóban történik, a nevezőben nem történik osztás.

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a félből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:

Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:

Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel

Egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:

Reciprok számok

Most megismerkedünk nagyon érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.

Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:

Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.

Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.

Tört elosztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?

Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.