Görbe trapéznek nevezzük azt az ábrát, amelyet egy folytonos, nem negatív $f(x)$ függvény grafikonja határol a $$ szakaszon, valamint a $y=0, \ x=a$ és $x=b$ egyeneseket.

A megfelelő görbe vonalú trapéz területét a következő képlettel számítjuk ki:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Feltételesen felosztjuk a problémákat, hogy megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét 4 dolláros típusokra. Nézzük meg részletesebben az egyes típusokat.

I. típus: egy íves trapéz kifejezetten meg van adva. Ezután azonnal alkalmazza a képletet (*).

Például keresse meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a $y=4-(x-2)^(2)$ függvény grafikonja és a $y=0, \ x=1$ és $x vonalak határolnak. = 3 dollár.

Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.

A (*) képlet segítségével megtaláljuk ennek a görbe vonalú trapéznek a területét.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\jobbra|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\jobb)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\bal((1)^(3)-(-1)^(3)\jobb) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

II. típus: az ívelt trapéz implicit módon van megadva. Ebben az esetben az $x=a, \ x=b$ egyenesek általában nincsenek megadva, vagy csak részben vannak megadva. Ebben az esetben meg kell találni az $y=f(x)$ és $y=0$ függvények metszéspontjait. Ezek a pontok $a$ és $b$ pontok lesznek.

Például keresse meg egy ábra területét, amelyet a $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.

Keressük meg a metszéspontokat. Ehhez a függvények jobb oldalát egyenlővé tesszük.

Így $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.

Keressük meg ennek az ívelt trapéznak a területét.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\bal(1^(3)-(-1)^(3)\jobb)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

III. típus: egy ábra területe, amelyet két folytonos, nem negatív függvény metszéspontja korlátoz. Ez az ábra nem ívelt trapéz, ami azt jelenti, hogy nem számíthatja ki a területét a (*) képlet segítségével. Hogyan legyen? Kiderült, hogy ennek az ábrának a területe megtalálható a felső függvény és a $y=0$ ($S_(uf)$ ($S_(uf)$) által határolt görbe vonalú trapézok területeinek különbségeként, és alsó funkcióés $y=0$ ($S_(lf)$), ahol $x=a, \ x=b$ szerepét ezen függvények metszéspontjainak $x$ koordinátái játsszák, azaz.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Az ilyen területek kiszámításakor a legfontosabb dolog az, hogy ne „elhagyja” a felső és az alsó funkciók kiválasztását.

Például keresse meg a $y=x^(2)$ és $y=x+6$ függvényekkel határolt ábra területét.

Keressük meg ezeknek a grafikonoknak a metszéspontjait:

Vieta tétele szerint

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Azaz $a=-2,\b=3$. Rajzoljunk egy ábrát:

Így a felső függvény $y=x+6$, az alsó függvény pedig $y=x^(2)$. Ezután megtaláljuk a $S_(uf)$ és $S_(lf)$ a (*) képlet segítségével.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\bal.\frac(x^(2))(2)\jobb|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (egységek$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (egységek$^(2)$).

Helyettesítsük be a találtakat (**)-ra, és kapjuk:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (egységek$^(2)$).

IV. típus: az ábra azon területe, amelyet olyan függvény(ek) határolnak, amelyek nem teljesítik a nem-negativitás feltételét. Egy ilyen ábra területének meghatározásához szimmetrikusnak kell lennie a $Ox$ tengelyre ( más szavakkal, Tegyen „mínuszokat” a függvények elé) jelenítse meg a területet, és az I-III. típusokban vázolt módszerekkel keresse meg a megjelenített terület területét. Ez a terület lesz a szükséges terület. Először is meg kell találnia a függvénygrafikonok metszéspontjait.

Például keresse meg egy ábra azon területét, amelyet a $y=x^(2)-1$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.

Keressük meg a függvénygrafikonok metszéspontjait:

azok. $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg a területet.

Jelenítsük meg a területet szimmetrikusan:

$y=0 \ \Jobbra \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Jobbra \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Az eredmény egy görbe vonalú trapéz, amelyet az $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvény grafikonja határol. Ez egy probléma a második típusú íves trapéz megtalálása során. Már megoldottuk. A válasz a következő volt: $S= 1\frac(1)(3)$ (egységek $^(2)$). Ez azt jelenti, hogy a szükséges görbe vonalú trapéz területe egyenlő:

$S=1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).

A görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő egy határozott integrállal

Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van. Az órán azt mondtam, hogy a határozott integrál egy szám. És most itt az ideje, hogy kijelentsünk még egyet hasznos tény. Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET.

vagyis a határozott integrál (ha létezik) geometriailag megfelel egy bizonyos ábra területének. Vegyük például a határozott integrált. Az integrandus egy bizonyos görbét határoz meg a síkon (szükség esetén mindig megrajzolható), maga a határozott integrál pedig numerikusan területtel egyenlő megfelelő ívelt trapéz.

1. példa

Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. Először és a legfontosabb pillanat megoldások - rajz. Ezenkívül a rajzot meg kell építeni JOBB.

A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először jobb minden egyenest megszerkeszteni (ha van ilyen) és csak Akkor– parabolák, hiperbolák, egyéb függvények grafikonjai. Kifizetődőbb a függvénygrafikonok készítése pontról pontra, a pontonkénti építési technika a referenciaanyagban található.

Ott nagyon hasznos anyagokat is találhat leckénkhez - hogyan építsünk gyorsan egy parabolát.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Rajzoljuk meg a rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):

Nem árnyékolom az ívelt trapézt, itt nyilvánvaló, hogy milyen területről van szó. A megoldás így folytatódik:

A szegmensen a függvény grafikonja található tengelye felett, Ezért:

Válasz:

Akinek nehézségei vannak a határozott integrál kiszámításával és a Newton-Leibniz formula alkalmazásával , hivatkozzon az előadásra Határozott integrál. Példák megoldásokra.

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. BAN BEN ebben az esetben„szemmel” megszámoljuk a cellák számát a rajzon - nos, körülbelül 9 lesz, úgy tűnik, igaz. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

2. példa

Számítsa ki egy alakzat területét, amelyet vonalak , , és tengely határol

Ez egy példa erre önálló döntés. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Mi a teendő, ha az ívelt trapéz található a tengely alatt?

3. példa

Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha egy ívelt trapéz teljesen a tengely alatt helyezkedik el, akkor a területe a következő képlettel kereshető:
Ebben az esetben:

Figyelem! A két feladattípust nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani geometriai jelentése, akkor lehet negatív is.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet a vonalak határolnak.

Megoldás: Először rajzot kell készítenie. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola és az egyenes metszéspontját. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa , az integráció felső határa .
Jobb, ha nem használja ezt a módszert, ha lehetséges.

Sokkal kifizetődőbb és gyorsabb pontról pontra építeni a vonalakat, az integráció határai pedig „önmaguktól” válnak egyértelművé. A súgó részletesen tárgyalja a különböző gráfok pontonkénti szerkesztési technikáját Grafikonok és Tulajdonságok elemi függvények . Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például a gráf elég nagy, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.

Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest, majd csak utána parabolát szerkeszteni. Készítsük el a rajzot:

Ismétlem, hogy pontszerű konstrukciónál az integráció határait legtöbbször „automatikusan” találjuk ki.

És most a munkaképlet: Ha egy szakaszon van valamilyen folytonos függvény nagyobb vagy egyenlő valamilyen folytonos függvényt, akkor a megfelelő ábra területét a következő képlettel találjuk meg:

Itt már nem kell azon gondolkodnia, hol található az ábra - a tengely felett vagy a tengely alatt, és durván szólva, számít, hogy melyik grafikon magasabb(egy másik grafikonhoz képest), és melyik van ALUL.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A kész megoldás így nézhet ki:

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Valójában az alsó félsíkban lévő görbe vonalú trapéz területének iskolai képlete (lásd a 3. egyszerű példát) különleges eset képletek . Mivel a tengelyt az egyenlet adja meg és a függvény grafikonja a tengely alatt helyezkedik el, akkor

És most néhány példa a saját megoldásodhoz

5. példa

6. példa

Keresse meg az ábra vonalak által határolt területét, .

Területszámítási feladatok határozott integrál használatával történő megoldása során néha előfordul vicces eset. A rajz helyesen készült, a számítások helyesek voltak, de figyelmetlenség miatt... rossz figura területét találtuk, pontosan így cseszte el alázatos szolgája többször is. Itt valós eset az életből:

7. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.

Először készítsünk egy rajzot:

Az a figura, amelynek területét meg kell találnunk, kék színű(Nézze meg figyelmesen a feltételt - hogyan korlátozott a szám!). A gyakorlatban azonban a figyelmetlenség miatt gyakran felmerül, hogy meg kell találni egy alak árnyékolt területét. zöld!

Ez a példa azért is hasznos, mert egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki. Igazán:

1) A tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikonja;

2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.

Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Válasz:

8. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét,
Mutassuk be az egyenleteket „iskola” formában, és készítsünk pontról pontra rajzot:

A rajzból jól látszik, hogy a felső határunk „jó”: .
De mi az alsó határ?! Világos, hogy ez nem egész szám, de mi ez? Lehet ? De hol a garancia, hogy a rajz tökéletes pontossággal készül, könnyen kiderülhet, hogy... Vagy a gyökér. Mi van, ha rosszul építjük fel a gráfot?

Ilyen esetekben több időt kell fordítani, és analitikusan tisztázni kell az integráció határait.

Keressük meg egy egyenes és egy parabola metszéspontját.
Ehhez megoldjuk a következő egyenletet:

Ennélfogva, .

A további megoldás triviális, a lényeg, hogy ne keveredjünk össze a helyettesítésekben és az előjelekben, a számítások itt nem a legegyszerűbbek.

A szegmensen , a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Nos, a lecke zárásaként nézzünk meg két nehezebb feladatot.

9. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a vonalak határolnak,

Megoldás: Ábrázoljuk ezt az ábrát a rajzon.

Pontos rajz rajzolásához tudnia kell kinézet szinuszoidok (és általában hasznos tudni az összes elemi függvény grafikonja), valamint néhány szinuszérték is megtalálhatók benne trigonometrikus táblázat. Egyes esetekben (mint ebben az esetben is) lehet vázlatos rajzot készíteni, amelyen alapvetően helyesen kell megjeleníteni az integráció grafikonjait és határait.

Az integráció határaival itt nincs gond, ezek közvetlenül a feltételből következnek: „x” nulláról „pi”-re változik. Hozzunk egy további döntést:

A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:

(1) A leckében láthatja, hogyan épülnek be a szinuszok és koszinuszok páratlan hatványokba Integrálok innen trigonometrikus függvények . Ez egy tipikus technika, lecsípünk egy szinust.

(2) Használja az alap trigonometrikus azonosság mint

(3) Változtassuk meg a változót, majd:

Az integráció új területei:

Aki nagyon rosszul áll a helyettesítésekkel, kérem, vegye le a leckét. Csere módszer in határozatlan integrál . Azok számára, akik nem egészen értik a cserealgoritmust egy határozott integrálban, látogassa meg az oldalt Határozott integrál. Példák megoldásokra.

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan találhatja meg egy vonallal határolt ábra területét integrálszámítások segítségével. Ilyen probléma megfogalmazásával először középiskolában találkozunk, amikor éppen befejeztük a határozott integrálok tanulmányozását, és itt az ideje, hogy a gyakorlatban elkezdjük a megszerzett tudás geometriai értelmezését.

Tehát mi szükséges ahhoz, hogy sikeresen megoldjuk az ábra területének integrálok segítségével történő megtalálását:

Képes hozzáértő rajzok készítésére;
Határozott integrál megoldásának képessége használatával híres képlet Newton-Leibniz;
A jövedelmezőbb megoldási lehetőség „látásának” képessége - pl. megérti, hogyan lesz kényelmesebb az integráció végrehajtása egyik vagy másik esetben? Az x tengely (OX) vagy az y tengely (OY) mentén?
Nos, hol lennénk helyes számítások nélkül?) Ez magában foglalja a más típusú integrálok megoldásának megértését és a helyes numerikus számításokat.

Algoritmus egy vonallal határolt ábra területének kiszámításának problémájának megoldására:

1. Rajzot építünk. Célszerű ezt kockás papírlapon, nagy méretben megtenni. Minden grafikon felett ceruzával írjuk alá ennek a függvénynek a nevét. A grafikonok aláírása kizárólag a további számítások kényelmét szolgálja. Miután megkaptuk a kívánt ábra grafikonját, a legtöbb esetben azonnal világossá válik, hogy az integráció mely korlátait fogják használni. Így a feladatot grafikusan oldjuk meg. Előfordul azonban, hogy a határértékek töredékesek vagy irracionálisak. Ezért további számításokat végezhet, folytassa a második lépéssel.

2. Ha az integráció határai nincsenek kifejezetten megadva, akkor megkeressük a gráfok metszéspontjait egymással, és megnézzük, hogy grafikus megoldás elemzővel.

3. Ezután elemeznie kell a rajzot. A függvénygrafikonok elrendezésétől függően különböző megközelítések léteznek az ábra területének megkeresésére. Mérlegeljük különböző példák egy ábra területének megtalálásáról integrálok segítségével.

3.1. A probléma legklasszikusabb és legegyszerűbb változata az, amikor meg kell találnia egy ívelt trapéz területét. Mi az ívelt trapéz? Ez egy lapos ábra, amelyet az x tengely határol (y = 0), egyenes x = a, x = bés tetszőleges görbe folytonos a tól intervallumon a előtt b. Ráadásul ez az ábra nem negatív, és nem az x tengely alatt található. Ebben az esetben a görbe vonalú trapéz területe számszerűen megegyezik egy bizonyos integrállal, amelyet a Newton-Leibniz képlet alapján számítanak ki:

1. példa y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milyen vonalak határolják az ábrát? Van egy parabolánk y = x2 – 3x + 3, amely a tengely felett helyezkedik el Ó, ez nem negatív, mert ennek a parabolának minden pontja pozitív értékű. Következő, adott egyenes vonalak x = 1És x = 3, amelyek a tengellyel párhuzamosan futnak OU, az ábra bal és jobb oldali határvonalai. Jól y = 0, ez egyben az x tengely is, amely alulról határolja az ábrát. A kapott ábra árnyékolt, amint az a bal oldali ábrán látható. Ebben az esetben azonnal megkezdheti a probléma megoldását. Előttünk áll egy egyszerű példa egy görbe trapézre, amelyet aztán a Newton-Leibniz képlet segítségével oldunk meg.

3.2. Az előző 3.1. bekezdésben azt az esetet vizsgáltuk, amikor egy ívelt trapéz helyezkedik el az x tengely felett. Tekintsük most azt az esetet, amikor a probléma feltételei azonosak, kivéve, hogy a függvény az x tengely alatt van. A standard Newton-Leibniz képlethez mínusz kerül. Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani egy ilyen problémát.

2. példa . Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Ebben a példában van egy parabola y = x2 + 6x + 2, amely a tengelyből ered Ó, egyenes x = -4, x = -1, y = 0. Itt y = 0 felülről korlátozza a kívánt alakot. Közvetlen x = -4És x = -1 ezek azok a határok, amelyeken belül a határozott integrál kiszámításra kerül. Az ábra területének megtalálásának elve szinte teljesen egybeesik az 1. számú példával. Az egyetlen különbség az, hogy az adott függvény nem pozitív, hanem folytonos az intervallumon [-4; -1] . Mit értesz azon, hogy nem pozitív? Amint az ábrán látható, az adott x-eken belüli alaknak kizárólag „negatív” koordinátái vannak, amit látnunk kell és emlékeznünk kell a feladat megoldása során. Az ábra területét a Newton-Leibniz képlet segítségével keressük, csak mínuszjellel az elején.

A cikk nincs befejezve.

Példa1 . Számítsa ki az ábra területét, amelyet a következő vonalak határolnak: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 és x = 2

Készítsünk egy ábrát (lásd az ábrát) Két A(4;0) és B(0;2) pontból készítünk x + 2y – 4 = 0 egyenest. Az y-t x-en keresztül kifejezve y = -0,5x + 2-t kapunk. Az (1) képlet segítségével, ahol f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, megkapjuk

S = = [-0,25 = 11,25 négyzetméter egységek

2. példa Számítsd ki az ábra területét, amelyet a következő egyenesek határolnak: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 és y = 0.

Megoldás. Építsük meg az ábrát.

Készítsünk egy egyenest x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Készítsünk egy egyenest x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Keressük meg az egyenesek metszéspontját az egyenletrendszer megoldásával:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

A szükséges terület kiszámításához az AMC háromszöget két AMN és NMC háromszögre osztjuk, mivel amikor x A-ból N-be változik, a területet egy egyenes korlátozza, és amikor x változik N-ből C-be - egy egyenes.

Az AMN háromszöghez a következőkkel rendelkezünk: ; y = 0,5x + 2, azaz f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.

Az NMC háromszögre a következő: y = - x + 5, azaz f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Az egyes háromszögek területének kiszámításával és az eredmények összeadásával a következőket kapjuk:

négyzetméter egységek

9 + 4, 5 = 13,5 négyzetméter egységek Ellenőrzés: = 0,5 AC = 0,5 négyzetméter. egységek

3. példa Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Ebben az esetben ki kell számítania egy görbe trapéz területét, amelyet az y = x parabola határol. 2 , x = 2 és x = 3 egyenesek és az Ox tengely (lásd az ábrát) Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét

= = 6 négyzetméter egységek

4. példa Számítsd ki az ábra területét, amelyet a vonalak határolnak: y = - x 2 + 4 és y = 0

Építsük meg az ábrát. A szükséges területet az y = - x parabola közé zárjuk 2 + 4 és az Ox tengely.

Keressük meg a parabola metszéspontjait az Ox tengellyel. Feltételezve, hogy y = 0, azt kapjuk, hogy x = Mivel ez az ábra szimmetrikus az Oy tengelyre, kiszámítjuk az Oy tengelytől jobbra található ábra területét, és megduplázzuk a kapott eredményt: = +4x] négyzetméter. egységek 2 = 2 négyzetméter egységek

5. példa Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Itt ki kell számítania egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a parabola felső ága határol 2 = x, Ox tengely és egyenesek x = 1 és x = 4 (lásd az ábrát)

Az (1) képlet szerint, ahol f(x) = a = 1 és b = 4, van = (= négyzetméter egységünk).

6. példa . Számítsa ki az ábra területét, amelyet a vonalak határolnak: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

A szükséges területet a szinusz félhulláma és az Ox tengely korlátozza (lásd az ábrát).

Van - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 négyzetméter. egységek

7. példa. Számítsa ki az ábra területét, amelyet a következő vonalak határolnak: y = - 6x, y = 0 és x = 4.

Az ábra az Ox tengely alatt található (lásd az ábrát).

Ezért a területét a (3) képlet segítségével találjuk meg.

= =

8. példa. Számítsa ki az ábra területét, amelyet az y = és x = 2 vonalak határolnak. Szerkessze meg a pontokból az y = görbét (lásd az ábrát). Így a (4) képlet segítségével megtaláljuk az ábra területét.

9. példa .

x 2 + y 2 = r 2 .

Itt ki kell számítani az x kör által bezárt területet 2 + y 2 = r 2 , azaz egy r sugarú kör területe, amelynek középpontja az origóban van. Keressük meg ennek a területnek a negyedik részét úgy, hogy az integráció határait 0-ból vesszük

előtt; nekünk van: 1 = = [

Ennélfogva, 1 =

10. példa. Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y= x 2 és y = 2x

Ezt a számot az y = x parabola korlátozza 2 és az y = 2x egyenes (lásd ábra) Az adott egyenesek metszéspontjainak meghatározásához az egyenletrendszert oldjuk meg: x 2 – 2x = 0 x = 0 és x = 2

Az (5) képlet segítségével megtaláljuk a területet

= }