Dirbkime su kvadratines lygtis. Tai labai populiarios lygtys! Paprasčiausia kvadratinė lygtis atrodo taip:
Pavyzdžiui:
Čia A =1; b = 3; c = -4
Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2
Čia A =-3; b = 6; c = -18
Na, supranti...
Kaip išspręsti kvadratines lygtis? Jei šioje formoje turite kvadratinę lygtį, tada viskas paprasta. Prisiminkite magišką žodį diskriminuojantis . Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Tai paprasta ir be problemų naudoti. Taigi kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:
Išraiška po šaknies ženklu yra ta diskriminuojantis. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Tai yra formulė, kurią mes apskaičiuojame. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, pirmajai lygčiai A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:
Pavyzdys beveik išspręstas:
Tai viskas.
Kokie atvejai galimi naudojant šią formulę? Yra tik trys atvejai.
1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgauta gerai, ar blogai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du įvairių sprendimų.
2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Tačiau tai turi įtakos nelygybėms, kur mes šią problemą išnagrinėsime išsamiau.
3. Diskriminantas yra neigiamas. Iš neigiamo skaičiaus Kvadratinė šaknis neišgautas. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.
Viskas labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...
Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. Arba, tiksliau, ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su neigiamų verčių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia padeda išsamus formulės įrašymas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, padaryti, kad!
Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:
Čia a = -6; b = -5; c = -1
Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.
Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti užtruks apie 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:
Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Pabandyk. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!
Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėme. Arba jie išmoko, o tai taip pat yra gerai. Jūs žinote, kaip teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįČia - dėmesingai?
Tačiau kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:
Tai nepilnos kvadratinės lygtys . Jas taip pat galima išspręsti naudojant diskriminantą. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. a, b ir c.
Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; A c? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio Su, A b !
Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokios diskriminacijos. Panagrinėkime pirmąją nepilną lygtį. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.
Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Viskas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x = 0, arba x = 4
Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant diskriminantą.
Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelkite 9 į dešinę pusę. Mes gauname:
Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės:
Taip pat dvi šaknys . x = +3 ir x = -3.
Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.
Labai sunku supainioti šiuos metodus. Vien dėl to, kad pirmu atveju teks ištraukti X šaknį, kuri kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ką ištraukti iš skliaustų...
Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...
Pirmas susitikimas. Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:
Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. Kaip šitas:
Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:
Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys. Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1.
Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu
. Jei nepavyksta, vadinasi, jie jau kažkur susisuko. Ieškokite klaidos. Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti b Su priešingas
pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Klaidų bus vis mažiau.
Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta ankstesniame skyriuje. Dirbant su trupmenomis, klaidų kažkodėl vis atsiranda...
Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.
Kad nesusipainiotume su minusais, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:
Tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!
Taigi, apibendrinkime temą.
1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome Teisingai.
2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.
3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.
4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti naudojant Vietos teoremą. Daryk!
Trupmenų lygtys. ODZ.
Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Liko paskutinis vaizdas - trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug garbingiau - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats.
Trupmenų lygtys.
Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklis nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:
Leiskite jums priminti, kad jei vardikliai yra tik numeriai, tai tiesinės lygtys.
Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Tai paminėsiu žemiau.
Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant tas pačias identiškas transformacijas.
Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai būtų sumažinti! Viskas iš karto taps lengviau. Leiskite paaiškinti pavyzdžiu. Turime išspręsti lygtį:
Kaip jus mokė pradinėje mokykloje? Viską perkeliame į vieną pusę, suvedame į bendrą vardiklį ir t.t. Pamiršk kaip baisus sapnas! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimsite trupmenas. Arba dirbate su nelygybėmis. O lygtyse iš karto padauginame abi puses iš išraiškos, kuri suteiks galimybę sumažinti visus vardiklius (t. y. iš esmės iš bendro vardiklio). Ir kas yra ši išraiška?
Kairėje pusėje, norint sumažinti vardiklį, reikia padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2. Tai reiškia, kad lygtis turi būti padauginta iš 2 (x+2). Padauginti:
Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet aš tai išsamiai aprašysiu:
Atkreipkite dėmesį, kad aš dar neatidarau laikiklio (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:
Kairėje pusėje jis visiškai susitraukia (x+2), o dešinėje 2. Ko ir reikėjo! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:
Ir kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.
Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:
Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1, galime rašyti:
Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – trupmenomis.
Matome, kad norėdami sumažinti vardiklį su X, turime trupmeną padauginti iš (x – 2). O kelios mums netrukdo. Na, padauginkime. Visi kairė pusė Ir visi dešinioji pusė:
Vėl skliausteliuose (x – 2) Aš neatskleisiu. Aš dirbu su skliaustu kaip visuma taip, lyg tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.
Su gilaus pasitenkinimo jausmu sumažiname (x – 2) ir gauname lygtį be jokių trupmenų, su liniuote!
Dabar atidarykime skliaustus:
Atvežame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:
Klasikinė kvadratinė lygtis. Bet minusas į priekį nėra geras. Visada galite jo atsikratyti padauginę arba padalydami iš -1. Bet jei atidžiai pažvelgsite į pavyzdį, pastebėsite, kad geriausia šią lygtį padalyti iš -2! Vienu ypu minusas išnyks, o šansai taps patrauklesni! Padalinkite iš -2. Kairėje pusėje - terminas po termino, o dešinėje - tiesiog padalinkite nulį iš -2, nulį ir gausime:
Išsprendžiame per diskriminantą ir patikriname naudodami Vietos teoremą. Mes gauname x = 1 ir x = 3. Dvi šaknys.
Kaip matote, pirmuoju atveju lygtis po transformacijos tapo tiesinė, tačiau čia ji tampa kvadratine. Pasitaiko, kad atsikračius trupmenų, sumažėja visi X. Kažkas lieka, pavyzdžiui, 5=5. Tai reiškia kad x gali būti bet kas. Kad ir kas tai būtų, jis vis tiek bus sumažintas. Ir pasirodo, kad tai gryna tiesa, 5=5. Tačiau, atsikračius trupmenų, tai gali pasirodyti visiškai netiesa, pavyzdžiui, 2=7. O tai reiškia, kad jokių sprendimų! Bet koks X pasirodo esantis netiesa.
Supratau pagrindinis būdas sprendimus trupmenines lygtis? Tai paprasta ir logiška. Mes keičiame pradinę išraišką, kad viskas, kas mums nepatinka, išnyktų. Arba trukdo. IN tokiu atveju tai trupmenos. Tą patį darysime su visomis rūšimis sudėtingų pavyzdžių su logaritmais, sinusais ir kitais baisumais. Mes Visada Atsikratykime viso šito.
Tačiau turime pakeisti pradinę išraišką mums reikalinga kryptimi pagal taisykles, taip... Kurio įvaldymas – pasiruošimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui. Taigi mes jį įvaldome.
Dabar mes išmoksime apeiti vieną iš pagrindinės pasalos dėl vieningo valstybinio egzamino! Bet pirmiausia pažiūrėkime, ar jūs į jį patenkate, ar ne?
Pažvelkime į paprastą pavyzdį:
Reikalas jau pažįstamas, padauginame iš abiejų pusių (x – 2), mes gauname:
Primenu, su skliaustais (x – 2) Dirbame tarsi su viena, vientisa išraiška!
Čia aš jau neberašiau vieno vardikliuose, tai neoru... Ir vardikliuose skliaustų netraukiau, išskyrus x – 2 nieko nėra, piešti nereikia. Sutrumpinkime:
Atidarykite skliaustus, perkelkite viską į kairę ir nurodykite panašius:
Išsprendžiame, patikriname, gauname dvi šaknis. x = 2 Ir x = 3. Puiku.
Tarkime, kad užduotis sako užrašyti šaknį arba jų sumą, jei yra daugiau nei viena šaknis. Ką rašysime?
Jei nuspręsite, kad atsakymas yra 5, jūs buvo užpulti. Ir užduotis jums nebus įskaityta. Jie dirbo veltui... Teisingas atsakymas yra 3.
Kas nutiko?! Ir tu pabandyk patikrinti. Nežinomo reikšmes pakeiskite į originalus pavyzdys. O jei at x = 3 viskas suaugs nuostabiai, gauname 9 = 9, tada kada x = 2 Tai bus padalijimas iš nulio! Ko tu visiškai negali padaryti. Reiškia x = 2 nėra sprendimas ir į jį neatsižvelgiama atsakant. Tai vadinamoji pašalinė arba papildoma šaknis. Mes tiesiog jį išmetame. Galutinė šaknis yra viena. x = 3.
Kaip tai?! – girdžiu pasipiktinusius šūksnius. Mus mokė, kad lygtį galima padauginti iš išraiškos! Tai identiška transformacija!
Taip, identiškas. At nedidelė būklė– išraiška, iš kurios mes dauginame (daliname) – skiriasi nuo nulio. A x – 2 adresu x = 2 lygus nuliui! Taigi viskas sąžininga.
O dabar ką aš galiu padaryti?! Nedauginti pagal išraišką? Ar turėčiau tikrinti kiekvieną kartą? Ir vėl neaišku!
ramiai! Nepanikuokite!
Šioje sudėtingoje situacijoje mus išgelbės trys stebuklingos raidės. Aš žinau, ką tu galvoji. Teisingai! Tai ODZ . Priimtinų vertybių sritis.
Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.
Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).
Be to, atsakymas rodomas kaip tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:
Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite išleisti savo savo mokymą ir (arba) mokyti savo jaunesnius brolius ar seseris, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje didėja.
Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.
Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio kaip šis: 2,5x - 3,5x^2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas.
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis atskirtas nuo trupmenos ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Nuspręskite
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys
Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
atrodo kaip
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.
Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtimi, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).
Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra laisvasis terminas.
Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a\neq 0\), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.
Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.
Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas x 2 lygus 1 duota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.
Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) kirvis 2 =0.
Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.
Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Jei \(-\frac(c)(a)>0\), tada lygtis turi dvi šaknis.
Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +bx=0 su \(b \neq 0 \) koeficientu, padėkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \right. \)
Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.
Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 =0, yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, todėl turi vieną šaknį 0.
Kvadratinės lygties šaknų formulė
Dabar panagrinėkime, kaip išspręsti kvadratines lygtis, kuriose ir nežinomųjų, ir laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.
Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada ši formulė gali būti naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.
Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0
Abi puses padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformuokime šią lygtį pasirinkdami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)
Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)
Dabar, naudodami diskriminacinį žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)
Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę; jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad nėra šaknų.
Vietos teorema
Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.
Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.
Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)
Kvadratinės lygtys dažnai atsiranda sprendžiant įvairius fizikos ir matematikos uždavinius. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip šias lygybes išspręsti universaliu būdu „per diskriminantą“. Straipsnyje taip pat pateikiami įgytų žinių panaudojimo pavyzdžiai.
Apie kokias lygtis mes kalbėsime?
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta formulė, kurioje x yra nežinomas kintamasis, o lotyniški simboliai a, b, c reiškia kai kuriuos žinomus skaičius.
Kiekvienas iš šių simbolių vadinamas koeficientu. Kaip matote, skaičius „a“ yra prieš kintamąjį x kvadratu. Tai yra didžiausia vaizduojamos išraiškos galia, todėl ji vadinama kvadratine lygtimi. Dažnai naudojamas kitas jo pavadinimas: antros eilės lygtis. Pati reikšmė a yra kvadratinis koeficientas (stovi su kintamuoju kvadratu), b yra tiesinis koeficientas (jis yra šalia kintamojo, pakelto į pirmą laipsnį), ir galiausiai skaičius c yra laisvasis narys.
Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje parodytas lygties tipas yra bendra klasikinė kvadratinė išraiška. Be jo, yra ir kitų antros eilės lygčių, kuriose koeficientai b ir c gali būti lygūs nuliui.
Kai užduotis yra išspręsta aptariamai lygybei, tai reiškia, kad reikia rasti tokias kintamojo x reikšmes, kurios ją tenkintų. Pirmas dalykas, kurį čia reikia atsiminti, yra kitas dalykas: kadangi didžiausia X galia yra 2, tada Šis tipas išraiškos negali turėti daugiau nei 2 sprendinius. Tai reiškia, kad jei sprendžiant lygtį būtų rastos 2 ją tenkinančios x reikšmės, tuomet galite būti tikri, kad 3-ojo skaičiaus nėra, jį pakeitus x, lygybė taip pat būtų teisinga. Matematikos lygties sprendiniai vadinami jos šaknimis.
Antros eilės lygčių sprendimo metodai
Norint išspręsti tokio tipo lygtis, reikia žinoti tam tikrą teoriją apie jas. Mokyklos algebros kurse jie laiko 4 įvairių metodų sprendimus. Išvardinkime juos:
- naudojant faktorizaciją;
- naudojant tobulo kvadrato formulę;
- taikant atitinkamos kvadratinės funkcijos grafiką;
- naudojant diskriminantinę lygtį.
Pirmojo metodo pranašumas yra jo paprastumas, tačiau jis negali būti naudojamas visoms lygtims. Antrasis metodas yra universalus, bet šiek tiek sudėtingas. Trečiasis metodas išsiskiria aiškumu, tačiau jis ne visada patogus ir pritaikomas. Ir galiausiai, diskriminacinės lygties naudojimas yra universalus ir gana paprastas būdas rasti absoliučiai bet kokios antros eilės lygties šaknis. Todėl šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik tai.
Formulė lygties šaknims gauti
Kreipkimės į bendra išvaizda kvadratinė lygtis. Užsirašykime: a*x²+ b*x + c =0. Prieš naudodami metodą, kaip jį išspręsti „per diskriminantą“, visada turėtumėte lygybę paversti rašytiniu pavidalu. Tai reiškia, kad jį turi sudaryti trys terminai (arba mažiau, jei b arba c yra 0).
Pavyzdžiui, jei yra išraiška: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², pirmiausia turėtumėte perkelti visus jos terminus į vieną lygybės pusę ir pridėti terminus, kuriuose yra kintamasis x. tos pačios galios.
Šiuo atveju ši operacija sukels tokią išraišką: -6*x²-4*x+8=0, kuri atitinka lygtį 6*x²+4*x-8=0 (čia padauginome kairę ir dešinės lygybės pusės -1) .
Aukščiau pateiktame pavyzdyje a = 6, b = 4, c = -8. Atkreipkite dėmesį, kad visos nagrinėjamos lygybės sąlygos visada sumuojamos, taigi, jei atsiranda „-“ ženklas, tai reiškia, kad atitinkamas koeficientas yra neigiamas, kaip šiuo atveju skaičius c.
Išnagrinėję šį tašką, pereikime prie pačios formulės, kuri leidžia gauti kvadratinės lygties šaknis. Tai atrodo taip, kaip parodyta žemiau esančioje nuotraukoje.
Kaip matyti iš šios išraiškos, ji leidžia jums gauti dvi šaknis (atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą). Norėdami tai padaryti, pakanka į jį pakeisti koeficientus b, c ir a.
Diskriminanto samprata
Ankstesnėje pastraipoje buvo pateikta formulė, leidžianti greitai išspręsti bet kurią antros eilės lygtį. Jame radikali išraiška vadinama diskriminantu, tai yra, D = b²-4*a*c.
Kodėl ši formulės dalis paryškinta ir kodėl ji netgi turi savo pavadinimą? Faktas yra tas, kad diskriminantas sujungia visus tris lygties koeficientus į vieną išraišką. Paskutinis faktas reiškia, kad ji visiškai neša informaciją apie šaknis, kurią galima išreikšti šiame sąraše:
- D>0: lygybė turi 2 skirtingus sprendinius, kurie abu yra realieji skaičiai.
- D=0: lygtis turi tik vieną šaknį ir yra tikrasis skaičius.
Diskriminanto nustatymo užduotis
Pateiksime paprastą pavyzdį, kaip rasti diskriminantą. Tegu yra tokia lygybė: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Perkelkime į standartinę formą, gausime: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iš kurios gauname lygybę : -2*x² +2*x-11 = 0. Čia a=-2, b=2, c=-11.
Dabar galite naudoti aukščiau pateiktą diskriminanto formulę: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Gautas skaičius yra užduoties atsakymas. Kadangi pavyzdyje diskriminantas mažiau nei nulis, tada galime pasakyti, kad ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų. Jo sprendimas bus tik kompleksinio tipo skaičiai.
Nelygybės per diskriminantą pavyzdys
Išspręskime kiek kitokio tipo uždavinius: esant lygybei -3*x²-6*x+c = 0. Reikia rasti c reikšmes, kurioms D>0.
Šiuo atveju yra žinomi tik 2 koeficientai iš 3, todėl neįmanoma apskaičiuoti tikslios diskriminanto reikšmės, tačiau žinoma, kad ji yra teigiama. Sudarant nelygybę naudojame paskutinį faktą: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Išsprendus gautą nelygybę, gaunamas rezultatas: c>-3.
Patikrinkime gautą skaičių. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame D 2 atvejams: c=-2 ir c=-4. Skaičius -2 tenkina gautą rezultatą (-2>-3), atitinkamas diskriminantas turės reikšmę: D = 12>0. Savo ruožtu skaičius -4 netenkina nelygybės (-4. Taigi bet kokie skaičiai c, didesni už -3, tenkins sąlygą.
Lygties sprendimo pavyzdys
Pateiksime problemą, kuri apima ne tik diskriminanto suradimą, bet ir lygties sprendimą. Būtina rasti lygybės -2*x²+7-9*x = 0 šaknis.
Šiame pavyzdyje diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada lygties šaknys nustatomos taip: x = (9±√137)/(- 4). Tai tikslios vertėsšaknis, jei apytiksliai apskaičiuosite šaknį, tada gausite skaičius: x = -5,176 ir x = 0,676.
Geometrinė problema
Išspręskime uždavinį, kuriam prireiks ne tik gebėjimo skaičiuoti diskriminantą, bet ir panaudoti abstraktaus mąstymo įgūdžius bei žinių, kaip rašyti kvadratines lygtis.
Bobas turėjo 5 x 4 metrų antklodę. Berniukas norėjo prie jo prisiūti ištisinę gražaus audinio juostelę per visą perimetrą. Kokio storio bus ši juostelė, jei žinosime, kad Bobas turi 10 m² audinio.
Tegul juostelės storis yra x m, tada audinio plotas išilgai ilgosios antklodės pusės bus (5+2*x)*x, o kadangi yra 2 ilgi kraštai, turime: 2*x *(5+2*x). Trumpojoje pusėje pasiūto audinio plotas bus 4*x, kadangi šių pusių yra 2, gauname 8*x reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad vertė 2*x buvo pridėta prie ilgosios pusės, nes antklodės ilgis padidėjo šiuo skaičiumi. Bendras prie antklodės prisiūto audinio plotas 10 m². Todėl gauname lygybę: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Šiame pavyzdyje diskriminantas yra lygus: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jo šaknis yra 22. Naudodami formulę randame reikiamas šaknis: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Akivaizdu, kad pagal problemos sąlygas iš dviejų šaknų tinka tik skaičius 0,5.
Taigi, audinio juostelė, kurią Bobas prisiuva prie savo antklodės, bus 50 cm pločio.
Daugiau paprastu būdu. Norėdami tai padaryti, įdėkite z iš skliaustų. Gausite: z(аz + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir аz + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.
Jei yra nepilna az² + c = 0 formos lygtis, šiuo atveju jos randamos tiesiog perkeliant laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Rezultatas bus az² = -с. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinę šaknį.
pastaba
Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.
Žinios, kaip spręsti kvadratines lygtis, reikalingos ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti ir suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.
Kvadratinių lygčių sprendimas
A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x – norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.Norint išspręsti šią lygtį, reikia panaudoti Vietos teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs metodas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vietos teoremos.
Norint rasti diskriminantą (D), reikia parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys; jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis; tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Į formulę pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c ir apskaičiuokite reikšmę.
Suradę diskriminantą, naudokite formules, kad surastumėte x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kur sqrt yra funkcija, reiškianti paimti kvadratinę šaknį duotas numeris. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.
Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Mokykloje šį skyrių praktiškai nestudijavo. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Jie jo atsikrato paryškindami įsivaizduojamą dalį, tai yra, -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui „i“, kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gauname D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radimo, kaip aprašyta aukščiau.
Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių pasirinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Ir labai svarbus punktas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygties ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad teks atsirinkti skaičius.
Kvadratinių lygčių sprendimo elementai
Pagal matematikos taisykles kai kurios gali būti suskirstytos faktoriais: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jei pavyko konvertuoti naudojant matematines formules Panašiu būdu duota kvadratinė lygtis, tada drąsiai užsirašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Gali būti, kad trūksta kai kurių terminų; jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nieko nėra, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.
Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus žymėjimus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso gaunamos trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.
Bendras kvadratinės lygties vaizdas
Čia mes siūlome jų aiškų įrašymą, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o tada mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai sąlygos yra nesuderinamos. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.
Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.
Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.
Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta numeriu vienas.
Kai pateikiama lygtis, neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:
- tirpalas turės dvi šaknis;
- atsakymas bus vienas skaičius;
- lygtis iš viso neturės šaknų.
O kol sprendimas nėra galutinai priimtas, sunku suprasti, koks variantas atsiras konkrečiu atveju.
Kvadratinių lygčių įrašų tipai
Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys bendroji formulė kvadratinė lygtis. Kartais trūksta kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.
Be to, gali išnykti tik terminai su koeficientais „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:
Taigi, yra tik du tipai; be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra du, o antroji - trys.
Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės
Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, turite žinoti šį skaičių. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kurios skaičius bus ketvirtas.
Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. At neigiamas skaičius trūks kvadratinės lygties šaknų. Jei jis lygus nuliui, bus tik vienas atsakymas.
Kaip išspręsti pilną kvadratinę lygtį?
Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.
Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.
Penkta formulė. Iš to paties įrašo aišku, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada abi šaknys įgis tas pačias reikšmes.
Jei sprendimas kvadratines lygtis dar nebuvo parengta, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.
Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį?
Čia viskas daug paprasčiau. Papildomų formulių net nereikia. O tų, kurie jau buvo užrašyti diskriminantui ir nežinomam, neprireiks.
Pirma, pažvelkime į nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje reikia iš skliaustų išimti nežinomą kiekį ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra daugiklis, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis bus gautas sprendžiant tiesinę lygtį.
Neišsami lygtis numeris trys išsprendžiamas perkeliant skaičių iš kairės lygybės pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento, nukreipto į nežinomybę. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.
Žemiau pateikiami keli žingsniai, kurie padės išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai gali lemti prastus pažymius studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė). Vėliau šių veiksmų nereikės atlikti nuolat. Nes atsiras stabilus įgūdis.
- Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.
- Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, pradedančiajam, studijuojančiam kvadratines lygtis, tai gali apsunkinti darbą. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.
- Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.
Pavyzdžiai
Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Pirmoji lygtis: x 2 − 7x = 0. Ji yra nepilna, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.
Išėmus jį iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.
Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.
Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.
Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Trečioji lygtis: 15 − 2x − x 2 = 0. Čia ir toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas standartine forma: − x 2 − 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Naudojant ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.
Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.
Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Šeštoji lygtis (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad reikia pateikti panašius terminus, pirmiausia atidarant skliaustus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia: x 2 - x = 0. Jis tapo nepilnas . Kažkas panašaus jau buvo aptarta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.
Įkeliama...