Aritmetinės progresijos suma.
Suma aritmetinė progresija- tai paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo pagrindinio iki gana tvirto.
Pirmiausia supraskime sumos prasmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos reikšmė paprasta kaip moo. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos terminus. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju gelbsti formulė.
Sumos formulė paprasta:
Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.
S n - aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas Visi nariai, su Pirmas Autorius paskutinis. Svarbu. Jie tiksliai sumuojasi Visi nariai iš eilės, nepraleidžiant ir nepraleidžiant. Ir, būtent, pradedant nuo Pirmas. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštunto terminų sumos arba terminų nuo penkto iki dvidešimto sumos radimas - tiesioginis taikymas formulės nuvils.)
a 1 - Pirmas progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta Pirmas eilutės numeris.
a n- paskutinis progresijos narys. Paskutinis serijos numeris. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.
n - paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų terminų skaičiumi.
Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Sudėtingas klausimas: kuris narys bus Paskutinis jei duota begalinis aritmetinė progresija?)
Norint atsakyti užtikrintai, reikia suprasti elementarią aritmetinės progresijos prasmę ir... atidžiai perskaityti užduotį!)
Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju galutinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, ar progresija pateikta: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių serija ar n-ojo nario formulė.
Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progreso nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Užduotyje visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip... Bet nesvarbu, toliau pateiktuose pavyzdžiuose atskleidžiame šias paslaptis.)
Užduočių, susijusių su aritmetinės progresijos suma, pavyzdžiai.
Pirmiausia, naudingos informacijos:
Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis, susijusias su aritmetinės progresijos suma, yra teisingas apibrėžimas formulės elementai.
Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja su beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka juos tiesiog iššifruoti. Išsamiai pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.
1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 jo terminų sumą.
Šaunuolis. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, Paskutinis terminas a n, taip paskutinio nario numeris n.
Kur galiu gauti paskutinio nario numerį? n? Taip, čia, su sąlyga! Sakoma: surask sumą pirmieji 10 narių. Na, su kokiu numeriu bus? paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n Mes pakeisime į formulę a 10, ir vietoj to n- dešimt. Pasikartosiu, paskutinio nario skaičius sutampa su narių skaičiumi.
Belieka nustatyti a 1 Ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama naudojant n-ojo nario formulę, kuri pateikta problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Dalyvaukite ankstesnėje pamokoje, be šios nėra jokio būdo.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:
Viskas. Atsakymas: 75.
Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:
2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 = 2,3. Raskite pirmųjų 15 jo terminų sumą.
Iš karto parašome sumos formulę:
Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio termino reikšmę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Belieka visus elementus pakeisti aritmetinės progresijos sumos formulėje ir apskaičiuoti atsakymą:
Atsakymas: 423.
Beje, jei sumos formulėje vietoj a n Mes tiesiog pakeičiame formulę n-tuoju nariu ir gauname:
Pateiksime panašius ir gaukime naują aritmetinės progresijos narių sumos formulę:
 |
Kaip matote, čia to nereikia n-asis terminas a n. Kai kuriose problemose ši formulė labai padeda, taip... Galite prisiminti šią formulę. Arba galite tiesiog parodyti jį tinkamu laiku, kaip čia. Juk visada reikia atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)
Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):
3. Raskite visų teigiamų dviženklių skaičių, kurie yra trijų kartotiniai, sumą.
Oho! Nei pirmas tavo narys, nei paskutinis, nei progresas... Kaip gyventi!?
Teks mąstyti galva ir iš sąlygos ištraukti visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Mes žinome, kas yra dviženkliai skaičiai. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks bus dviženklis skaičius Pirmas? 10, tikriausiai.) A paskutinis dalykas dviženklis skaičius? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...
Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite užsirašyti seriją pagal problemos sąlygas:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ar ši serija bus aritmetinė progresija? tikrai! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridėsite 2 ar 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebedalinamas iš 3. Iš karto galite nustatyti aritmetinės progresijos skirtumą: d = 3. Tai pravers!)
Taigi, galime saugiai užrašyti kai kuriuos progreso parametrus:
Koks bus skaičius? n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai visada eina iš eilės, bet mūsų nariai peršoka per tris. Jie nesutampa.
Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite užsirašyti progresą, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti narių skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei pritaikysime formulę savo problemai, pamatysime, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.
Pažiūrėkime į aritmetinės progresijos sumos formulę:
Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos teiginio ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Lieka tik elementari aritmetika. Pakeičiame skaičius į formulę ir apskaičiuojame:
Atsakymas: 1665 m
Kitas populiarus galvosūkių tipas:
4. Pateikta aritmetinė progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt keturių.
Žiūrime į sumos formulę ir... susinerviname.) Formulė, priminsiu, apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.
Žinoma, galite surašyti visą eigą iš eilės ir pridėti terminus nuo 20 iki 34. Bet... tai kažkaip kvaila ir užtrunka ilgai, tiesa?)
Yra elegantiškesnis sprendimas. Padalinkime seriją į dvi dalis. Pirma dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antra dalis - nuo dvidešimt iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime jį prie antrosios dalies terminų suma S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. Kaip šitas:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Iš to matome, kad suraskite sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Svarstomos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Pradėkime?
Progresavimo parametrus ištraukiame iš problemos teiginio:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Apskaičiuojame juos naudodami n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Atsakymas: 262,5
Viena svarbi pastaba! Yra labai naudingas triukas sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome kažkas, ko, atrodo, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, mesti iš pilnas rezultatas nereikalingas. Toks „apgaulė su ausimis“ dažnai gelbsti nuo baisių problemų.)
Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)
Sprendžiant bet kokį uždavinį, susijusį su aritmetinės progresijos suma, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.
N-ojo termino formulė:
Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti ir kokia kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.
O dabar savarankiško sprendimo užduotys.
5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.
Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje apie 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.
6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 jo terminų sumą.
Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokios problemos dažnai aptinkamos Valstybinėje mokslų akademijoje.
7. Vasja sutaupė pinigų atostogoms. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau savo mylimam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?
Ar sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 užduoties.
Atsakymai (netvarkingai): 7, 3240, 6.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Arba aritmetika yra sutvarkytos skaitinės sekos tipas, kurio savybės tiriamos mokykliniame algebros kurse. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.
Kokia tai progresija?
Prieš pereinant prie klausimo (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, apie ką mes kalbame.
Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematinę kalbą, įgyja tokią formą:
Čia i yra eilutės elemento a i serijos numeris. Taigi, žinodami tik vieną pradinį numerį, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.
Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę eilės tvarka, skirtumą d prie pirmojo elemento a turėtumėte pridėti 1 n-1 kartą.
Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė
Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta apsvarstyti paprastą ypatinga byla. Pateikiama progresija natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 10, reikia rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Verta pagalvoti apie vieną įdomų dalyką: kadangi kiekvienas narys nuo kito skiriasi ta pačia reikšme d = 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtuoju, antrojo su devintuoju ir t.t., bus gautas toks pat rezultatas. Tikrai:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada padauginę sumų skaičių (5) iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite rezultatą, gautą pirmame pavyzdyje.
Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę, taip pat iš viso n terminai.
Manoma, kad Gaussas pirmasis pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo tam tikros problemos sprendimo. mokyklos mokytojas Užduotis: susumuokite pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.
Elementų suma nuo m iki n: formulė
Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą (pirmuosius elementus), tačiau dažnai uždaviniuose reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?
Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m-osios iki n-osios. Norėdami išspręsti problemą, nurodytą progreso atkarpą nuo m iki n turėtumėte pavaizduoti kaip naują skaičių serija. Šiame požiūryje m-asis terminas a m bus pirmas, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Tokiu atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Formulių naudojimo pavyzdys
Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.
Žemiau yra skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos terminų sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:
Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5 ir 12 progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kokius skaičius serijoje jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Tai paaiškės:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją.
Internetinis skaičiuotuvas.
Aritmetinės progresijos sprendimas.
Duota: a n , d, n
Raskite: 1
Ši matematinė programa randa aritmetinės progresijos \(a_1\), pagrįstą vartotojo nurodytais skaičiais \(a_n, d\) ir \(n\).
Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos. Be to, trupmeninį skaičių galima įvesti dešimtainės trupmenos (\(2,5\)) ir formos bendroji trupmena(\(-5\frac(2)(7)\)).
Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.
Šis internetinis skaičiuotuvas gali būti naudingas besiruošiantiems aukštųjų mokyklų studentams bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite išleisti savo savo mokymą ir (arba) mokyti savo jaunesnius brolius ar seseris, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje didėja.
Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.
Skaičių įvedimo taisyklės
Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos.
Skaičius \(n\) gali būti tik teigiamas sveikasis skaičius.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio taigi 2,5 ar daugiau 2,5
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas.
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis:
Rezultatas: \(-\frac(2) (3)\)
Visa dalis atskirtas nuo trupmenos ampersandu: &
Įvestis:
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3)\)
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Skaičių seka
IN kasdienė praktikaĮvairių daiktų numeracija dažnai naudojama norint nurodyti jų išdėstymo tvarką. Pavyzdžiui, kiekvienoje gatvėje esantys namai yra sunumeruoti. Bibliotekoje skaitytojų abonementai numeruojami ir suskirstomi priskirtų numerių tvarka specialiose kortelių bylose.
Taupymo kasoje, naudodamiesi asmeniniu indėlininko sąskaitos numeriu, galite lengvai rasti šią sąskaitą ir pamatyti, koks indėlis joje yra. Tegul sąskaitoje Nr.1 yra a1 rublio depozitas, 2 sąskaitoje - a2 rublis ir t.t.. Pasirodo skaičių seka
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kur N yra visų sąskaitų skaičius. Čia kiekvienas natūralusis skaičius n nuo 1 iki N yra susietas su skaičiumi a n.
Taip pat mokėsi matematikos begalinės skaičių sekos:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Skaičius a 1 vadinamas pirmasis sekos terminas, numeris a 2 - antrasis sekos terminas, numeris a 3 - trečiasis sekos narys ir tt
Skaičius a n vadinamas n-asis (n-asis) sekos narys, o natūralusis skaičius n yra jo numerį.
Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ir 1 = 1 kvadratų sekoje yra pirmasis sekos narys; ir n = n2 yra n-asis terminas sekos; a n+1 = (n + 1) 2 yra (n + 1)-asis (n plius pirmasis) sekos narys. Dažnai seka gali būti nurodyta jos n-ojo nario formule. Pavyzdžiui, formulė \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) apibrėžia seką \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4), \taškai,\frac(1)(n), \taškai \)
Aritmetinė progresija
Metų ilgis yra maždaug 365 dienos. Daugiau tiksli vertė yra lygus \(365\frac(1)(4)\) dienoms, todėl kas ketverius metus kaupiasi vienos dienos paklaida.
Siekiant atsižvelgti į šią klaidą, prie kas ketvirtų metų pridedama diena, o pratęsti metai vadinami keliamaisiais metais.
Pavyzdžiui, trečiajame tūkstantmetyje keliamieji metai yra 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Šioje sekoje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, pridedamas prie to paties skaičiaus 4. Tokios sekos vadinamos aritmetinės progresijos.
Apibrėžimas.
Vadinama skaičių seka a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetinė progresija, jei visiems natūraliems n lygybė
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d yra koks nors skaičius.
Iš šios formulės išplaukia, kad a n+1 – a n = d. Skaičius d vadinamas skirtumu aritmetinė progresija.
Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą turime:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)
Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus dviejų gretimų jos narių aritmetiniam vidurkiui. Tai paaiškina pavadinimą „aritmetinė“ progresija.
Atkreipkite dėmesį, kad jei pateikti a 1 ir d, tai likusius aritmetinės progresijos narius galima apskaičiuoti naudojant pasikartojančią formulę a n+1 = a n + d. Tokiu būdu nesunku suskaičiuoti keletą pirmųjų progresijos terminų, tačiau, pavyzdžiui, 100 jau reikės daug skaičiuoti. Paprastai tam naudojama n-oji termino formulė. Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ir tt
Iš viso,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kadangi n-asis aritmetinės progresijos narys gaunamas iš pirmojo nario pridedant (n-1) skaičių d.
Ši formulė vadinama aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma
Raskite visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 100 sumą.
Parašykime šią sumą dviem būdais:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridėkime šias lygybes po termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šią sumą sudaro 100 terminų
Todėl 2S = 101 * 100, taigi S = 101 * 50 = 5050.
Dabar panagrinėkime savavališką aritmetinę progresiją
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Tegul S n yra pirmųjų n šios progresijos narių suma:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tada aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma lygi
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Kadangi \(a_n=a_1+(n-1)d\), tai pakeitę n šioje formulėje gauname kitą formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Studijuodami algebrą vidurinė mokykla(9 klasė) vienas iš svarbiomis temomis yra skaičių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.
Kas yra aritmetinė progresija?
Norint tai suprasti, būtina apibrėžti nagrinėjamą progresą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios vėliau bus naudojamos sprendžiant problemas.
Aritmetinis arba yra sutvarkytų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.
Pateikime pavyzdį. Ši skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17–12).
Svarbios formulės
Dabar pateiksime pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Simboliu a n pažymėkime n-tąjį sekos narį, kur n yra sveikas skaičius. Mes pažymime skirtumą lotyniška raidė d. Tada galioja šios išraiškos:
- N-ojo nario reikšmei nustatyti tinka tokia formulė: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n +a 1)*n/2.
Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su sprendimais pavyzdžius 9 klasėje, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes bet kokios nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat turėtumėte atsiminti, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1.
1 pavyzdys: nežinomo nario radimas
Pateiksime paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti norint ją išspręsti.
Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis terminus.
Iš uždavinio sąlygų jau išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:
- Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galite paimti bet kuriuos kitus du narius, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d = a n - a n-1, tai d = a 5 - a 4, iš kurio gauname: a 5 = a 4 + d. Pakeiskime žinomos vertės: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kaip matote, abu sprendimai davė tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiama reikšmė. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas kitas narys yra mažesnis nei ankstesnis.
2 pavyzdys: progresijos skirtumas
Dabar šiek tiek apsunkinkime problemą, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.
Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.
Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pakeiskime į ją žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) /6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją uždavinio dalį.
Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, ty a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Pavyzdys Nr. 3: progresijos sudarymas
Dar labiau apsunkinkime stipresnė būklė užduotys. Dabar turime atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikiami du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina sukurti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dedami dar trys nariai.
Prieš pradėdami spręsti šią problemą, turite suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tai, ką mes čia gavome, yra ne sveikoji skirtumo reikšmė, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.
Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progreso terminus. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos sąlygomis.
Pavyzdys Nr. 4: pirmasis progresavimo terminas
Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendiniais pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar panagrinėkime kitokio tipo uždavinį: duoti du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, kuriuo skaičiumi ši seka prasideda.
Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam terminui, apie kurį turima informacija, užrašysime išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.
Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).
Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Maža paklaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.
Pavyzdys Nr. 5: suma
Dabar pažvelkime į kelis pavyzdžius su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.
Tegu pateikiama skaitinė progresija tokio tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?
Plėtros dėka Kompiuterinė technologija galite išspręsti šią problemą, tai yra, sudėti visus skaičius iš eilės, o tai Skaičiavimo mašina padarys, kai tik asmuo paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Taikydami sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Įdomu tai, kad ši problema vadinama „gausišku“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, kuriam dar tik 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei sudėsite skaičius sekos galuose poromis, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.
Pavyzdys Nr. 6: terminų suma nuo n iki m
Dar vieną tipinis pavyzdys aritmetinės progresijos suma yra tokia: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokiai bus jos narių suma nuo 8 iki 14.
Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų nedaug, šis metodas nėra gana daug darbo reikalaujantis. Nepaisant to, šią problemą siūloma išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.
Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Kadangi n > m, akivaizdu, kad 2-oji suma apima ir pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad paėmę skirtumą tarp šių sumų ir prie jo pridėję terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), gausime reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.
Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n-ojo nario išraišką ir pirmųjų narių aibės sumos formulę. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.
Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendiniu Nr. 6 pavyzdyje galima būtų sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir pertrauka bendra užduotisį atskiras papildomas užduotis (in tokiu atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).
Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Sužinojome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.
Skaičių sekos sąvoka reiškia, kad kiekvienas natūralusis skaičius atitinka tam tikrą realią reikšmę. Tokia skaičių serija gali būti arba savavališka, arba turėti tam tikras savybes – progresiją. Pastaruoju atveju kiekvienas paskesnis sekos elementas (narys) gali būti apskaičiuojamas naudojant ankstesnįjį.
Aritmetinė progresija – seka skaitinės reikšmės, kuriame jo kaimyniniai nariai skiriasi vienas nuo kito tuo pačiu skaičiumi (visi serijos elementai, pradedant nuo 2-ojo, turi panašią savybę). Šis skaičius– skirtumas tarp ankstesnių ir paskesnių terminų yra pastovus ir vadinamas progresijos skirtumu.
Progresavimo skirtumas: apibrėžimas
Apsvarstykite seką, susidedančią iš j reikšmių A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j priklauso natūraliųjų skaičių aibei N. Aritmetika progresija pagal jos apibrėžimą yra seka , kurioje a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Reikšmė d yra norimas šios progresijos skirtumas.
d = a(j) – a(j-1).
Paryškinkite:
- Didėjanti progresija, tokiu atveju d > 0. Pavyzdys: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Mažėjanti progresija, tada d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Skirtumų progresija ir savavališki jo elementai
Jei žinomi 2 savavališki progresijos nariai (i-oji, k-oji), tada skirtumas tam tikrai sekai gali būti nustatytas remiantis ryšiu:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, o tai reiškia d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Progresavimo skirtumas ir pirmasis jo terminas
Ši išraiška padės nustatyti nežinomą reikšmę tik tais atvejais, kai žinomas sekos elemento numeris.
Progresijos skirtumas ir jo suma
Progresijos suma yra jos sąlygų suma. Norėdami apskaičiuoti bendrą pirmųjų j elementų vertę, naudokite atitinkamą formulę:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, bet kadangi a(j) = a(1) + d(j – 1), tada S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
Įkeliama...