En trekant er en geometrisk figur som består av tre rette linjer som kobles sammen på punkter som ikke ligger på samme rette linje. Forbindelsespunktene til linjene er hjørnene til trekanten, som er utpekt med latinske bokstaver(f.eks. A, B, C). De forbindende rette linjene i en trekant kalles segmenter, som også vanligvis betegnes med latinske bokstaver. Følgende typer trekanter skilles ut:

• Rektangulær.
• Stumpet.
• Akutt kantete.
• Allsidig.
• Likesidet.
• Likebent.

Generelle formler for å beregne arealet av en trekant

Formel for arealet av en trekant basert på lengde og høyde

S= a*h/2,
der a er lengden på siden av trekanten hvis areal må finnes, h er lengden på høyden trukket til basen.

Herons formel

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
hvor √ er Kvadratrot, p er halvomkretsen til trekanten, a,b,c er lengden på hver side av trekanten. Halvomkretsen til en trekant kan beregnes ved å bruke formelen p=(a+b+c)/2.

Formel for arealet av en trekant basert på vinkelen og lengden på segmentet

S = (a*b*sin(α))/2,
Hvor b,c er lengden på sidene i trekanten, sin(α) er sinusen til vinkelen mellom de to sidene.

Formel for arealet av en trekant gitt radiusen til den innskrevne sirkelen og tre sider

S=p*r,
der p er halvperimeteren til trekanten hvis areal må finnes, r er radiusen til sirkelen som er skrevet inn i denne trekanten.

Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt den

S= (a*b*c)/4*R,
der a,b,c er lengden på hver side av trekanten, R er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten.

Formel for arealet av en trekant ved å bruke de kartesiske koordinatene til punktene

Kartesiske koordinater av punkter er koordinater i xOy-systemet, der x er abscissen, y er ordinaten. Det kartesiske koordinatsystemet xOy på et plan er de innbyrdes perpendikulære numeriske aksene Ox og Oy med felles origo i punktet O. Hvis koordinatene til punktene på dette planet er gitt på formen A(x1, y1), B(x2, y2 ) og C(x3, y3 ), så kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke følgende formel, som er hentet fra vektorproduktet til to vektorer.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
hvor || står for modul.

Hvordan finne arealet av en rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant med én vinkel som måler 90 grader. En trekant kan bare ha én slik vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant på to sider

S= a*b/2,
hvor a,b er lengden på beina. Ben er sidene ved siden av en rett vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på hypotenusen og den spisse vinkelen

S = a*b*sin(α)/ 2,
hvor a, b er trekantens ben, og sin(α) er sinusen til vinkelen der linjene a, b skjærer hverandre.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på siden og motsatt vinkel

S = a*b/2*tg(β),
der a, b er bena til trekanten, tan(β) er tangenten til vinkelen som bena a, b er forbundet med.

Hvordan beregne arealet av en likebenet trekant

En likebenet trekant er en som har to like sider. Disse sidene kalles sidene, og den andre siden er basen. For å beregne arealet til en likebenet trekant, kan du bruke en av følgende formler.

Grunnleggende formel for å beregne arealet av en likebenet trekant

S=h*c/2,
der c er trekantens grunnflate, h er høyden til trekanten senket til grunnflaten.

Formel for en likebenet trekant basert på side og base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
der c er basisen til trekanten, a er størrelsen på en av sidene i den likebenede trekanten.

Hvordan finne arealet til en likesidet trekant

En likesidet trekant er en trekant der alle sider er like. For å beregne areal likesidet trekant du kan bruke følgende formel:
S = (√3*a*a)/4,
hvor a er lengden på siden av den likesidede trekanten.

Ovennevnte formler lar deg beregne det nødvendige arealet av trekanten. Det er viktig å huske at for å beregne arealet av trekanter, må du vurdere typen trekant og tilgjengelige data som kan brukes til beregningen.

Bruksanvisning

Fester og vinkler regnes som grunnleggende elementer EN. En trekant er fullstendig definert av et av de følgende grunnelementene: enten tre sider, eller en side og to vinkler, eller to sider og en vinkel mellom dem. For tilværelsen triangel gitt av tre sider a, b, c, er det nødvendig og tilstrekkelig å tilfredsstille ulikhetene kalt ulikheter triangel:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

For å bygge triangel på tre sider a, b, c, er det nødvendig fra punkt C i segmentet CB = a å tegne en sirkel med radius b med et kompass. Tegn deretter en sirkel fra punkt B med en radius på lignende måte lik side c. Deres skjæringspunkt A er det tredje toppunktet til ønsket triangel ABC, hvor AB=c, CB=a, CA=b - sider triangel. Problemet har , hvis sidene a, b, c tilfredsstiller ulikhetene triangel spesifisert i trinn 1.

Område S konstruert på denne måten triangel ABC med kjente sider a, b, c, beregnes ved hjelp av Herons formel:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
hvor a, b, c er sider triangel, p – semi-perimeter.
p = (a+b+c)/2

Hvis en trekant er likesidet, det vil si at alle sidene er like (a=b=c).Areal triangel beregnet med formelen:
S=(a^2 v3)/4

Hvis trekanten er rettvinklet, det vil si at en av vinklene er lik 90°, og sidene som danner den er ben, er den tredje siden hypotenusen. I i dette tilfellet torget er lik produktet av bena delt på to.
S=ab/2

Å finne torget triangel, kan du bruke en av de mange formlene. Velg en formel avhengig av hvilke data som allerede er kjent.

Du vil trenge

• kunnskap om formler for å finne arealet av en trekant

Bruksanvisning

Hvis du kjenner størrelsen på en av sidene og verdien av høyden senket til denne siden fra vinkelen motsatt av den, kan du finne arealet ved å bruke følgende: S = a*h/2, hvor S er arealet av trekanten er a en av sidene i trekanten, og h - høyde, til side a.

Det er en kjent metode for å bestemme arealet av en trekant hvis dens tre sider er kjent. Det er Herons formel. For å forenkle registreringen, introduseres en mellomverdi - semi-perimeter: p = (a+b+c)/2, hvor a, b, c - . Da er Herons formel som følger: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponentiering.

La oss anta at du kjenner en av sidene i en trekant og tre vinkler. Da er det lett å finne arealet av trekanten: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), der β er vinkelen motsatt side a, og α og γ er vinkler ved siden av siden.

Video om emnet

Merk

Det meste generell formel, som passer for alle tilfeller er Herons formel.

Kilder:

Tips 3: Hvordan finne arealet til en trekant basert på tre sider

Å finne arealet til en trekant er et av de vanligste problemene i skoleplanimetri. Å kjenne de tre sidene av en trekant er nok til å bestemme arealet til en hvilken som helst trekant. I spesielle tilfeller av likesidede trekanter er det nok å kjenne lengdene på henholdsvis to og en side.

Du vil trenge

• lengder av sider av trekanter, Herons formel, cosinus-teorem

Bruksanvisning

Herons formel for arealet av en trekant er som følger: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Hvis vi skriver halvperimeteren p, får vi: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Du kan utlede en formel for arealet av en trekant fra betraktninger, for eksempel ved å bruke cosinus-teoremet.

Ved cosinussetningen, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Ved å bruke de introduserte notasjonene kan disse også skrives på formen: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Derfor, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Arealet av en trekant er også funnet av formelen S = a*c*sin(ABC)/2 ved å bruke to sider og vinkelen mellom dem. Sinus til vinkel ABC kan uttrykkes i form av det ved å bruke det grunnleggende trigonometrisk identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Ved å erstatte sinusen i formelen for arealet og skrive den ut, kan du komme frem til formelen for arealet av trekanten ABC.

Video om emnet

For å utføre reparasjonsarbeid kan det være nødvendig å måle torget vegger Dette gjør det lettere å beregne nødvendig mengde maling eller tapet. For mål er det best å bruke et målebånd eller målebånd. Måling bør tas etter vegger ble jevnet med jorden.

Du vil trenge

• -rulett;
• -stige.

Bruksanvisning

Å telle torget vegger, må du vite den nøyaktige høyden på takene, og også måle lengden langs gulvet. Dette gjøres på følgende måte: ta en centimeter og legg den over fotlisten. Vanligvis er ikke en centimeter nok for hele lengden, så fest den i hjørnet, og rull den deretter av til maksimal lengde. På dette punktet, sett et merke med en blyant, skriv ned resultatet og utfør ytterligere målinger på samme måte, med start fra det siste målepunktet.

Standard tak er 2 meter 80 centimeter, 3 meter og 3 meter 20 centimeter, avhengig av huset. Hvis huset ble bygget før 50-tallet, er den faktiske høyden mest sannsynlig litt lavere enn angitt. Hvis du regner torget for reparasjonsarbeid, så vil ikke en liten forsyning skade - vurder basert på standarden. Hvis du fortsatt trenger å vite den virkelige høyden, ta mål. Prinsippet ligner på å måle lengde, men du trenger en trappestige.

Multipliser de resulterende indikatorene - dette er torget din vegger. Riktignok er det nødvendig å trekke fra når du maler eller for maling torget dør- og vindusåpninger. For å gjøre dette, legg en centimeter langs åpningen. Hvis vi snakker om en dør som du senere skal endre, fortsett med dørkarmen fjernet, og bare ta hensyn til torget direkte til selve åpningen. Arealet av vinduet beregnes langs omkretsen av rammen. Etter torget vindu og døråpning beregnet, trekk resultatet fra det totale resulterende arealet av rommet.

Vær oppmerksom på at to personer bør måle lengden og bredden på rommet, dette gjør det lettere å fikse en centimeter eller målebånd og følgelig få mer eksakt resultat. Ta den samme målingen flere ganger for å sikre at tallene du får er nøyaktige.

Video om emnet

Å finne volumet til en trekant er virkelig en ikke-triviell oppgave. Faktum er at en trekant er en todimensjonal figur, dvs. den ligger helt i ett plan, noe som betyr at den rett og slett ikke har noe volum. Selvfølgelig kan du ikke finne noe som ikke eksisterer. Men la oss ikke gi opp! Vi kan akseptere følgende antagelse: volumet til en todimensjonal figur er arealet. Vi vil se etter arealet av trekanten.

Du vil trenge

• ark papir, blyant, linjal, kalkulator

Bruksanvisning

Tegn på et stykke papir med linjal og blyant. Ved å undersøke trekanten nøye, kan du forsikre deg om at den virkelig ikke har en trekant, siden den er tegnet på et plan. Merk sidene av trekanten: la den ene siden være side "a", den andre siden "b", og den tredje siden "c". Merk toppunktene i trekanten med bokstavene "A", "B" og "C".

Mål hvilken som helst side av trekanten med en linjal og skriv ned resultatet. Etter dette, gjenopprett en vinkelrett på den målte siden fra toppunktet motsatt av den, en slik vinkelrett vil være høyden på trekanten. I tilfellet vist på figuren, blir den vinkelrette "h" gjenopprettet til side "c" fra toppunktet "A". Mål den resulterende høyden med en linjal og skriv ned måleresultatet.

Det kan være vanskelig for deg å gjenopprette den nøyaktige perpendikulæren. I dette tilfellet bør du bruke en annen formel. Mål alle sider av trekanten med en linjal. Etter dette, beregn halvomkretsen til trekanten "p" ved å legge til de resulterende lengdene på sidene og dele summen deres i to. Når du har verdien av halvperimeteren til din disposisjon, kan du bruke Herons formel. For å gjøre dette, må du ta kvadratroten av følgende: p(p-a)(p-b)(p-c).

Du har fått det nødvendige arealet av trekanten. Problemet med å finne volumet til en trekant er ikke løst, men som nevnt ovenfor er ikke volumet det. Du kan finne et volum som egentlig er en trekant i den tredimensjonale verden. Hvis vi forestiller oss at den opprinnelige trekanten vår har blitt en tredimensjonal pyramide, vil volumet til en slik pyramide være produktet av lengden på basen med arealet av trekanten vi har oppnådd.

Merk

Jo mer nøye du måler, desto mer nøyaktige blir beregningene dine.

Kilder:

• Kalkulator "Alt til alt" - en portal for referanseverdier
• trekantvolum i 2019

De tre punktene som unikt definerer en trekant i det kartesiske koordinatsystemet er dens toppunkter. Når du kjenner deres posisjon i forhold til hver av koordinataksene, kan du beregne alle parametere for denne flate figuren, inkludert de som er begrenset av dens omkrets torget. Dette kan gjøres på flere måter.

Bruksanvisning

Bruk Herons formel for å beregne areal triangel. Det involverer dimensjonene til de tre sidene av figuren, så start beregningene med . Lengden på hver side må være lik roten av summen av kvadratene av lengdene av dens projeksjoner på koordinataksene. Hvis vi betegner koordinatene A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) og C(X₃,Y₃,Z₃), kan lengdene på sidene deres uttrykkes som følger: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

For å forenkle beregninger, introduser en hjelpevariabel - semiperimeter (P). Fra det faktum at dette er halve summen av lengdene til alle sider: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trekanten er en figur kjent for alle. Og dette til tross for den rike variasjonen av dens former. Rektangulær, likesidet, akutt, likebenet, stump. Hver av dem er forskjellige på en eller annen måte. Men for alle må du finne ut arealet til en trekant.

Formler som er felles for alle trekanter som bruker lengdene på sider eller høyder

Betegnelsene som er vedtatt i dem: sider - a, b, c; høyder på de tilsvarende sidene på a, n in, n med.

1. Arealet av en trekant beregnes som produktet av ½, en side og høyden trukket fra den. S = ½ * a * n a. Formlene for de to andre sidene bør skrives på samme måte.

2. Herons formel, der semi-perimeteren vises (den er vanligvis betegnet med den lille bokstaven p, i motsetning til hele omkretsen). Halvperimeteren må beregnes som følger: legg sammen alle sidene og del dem på 2. Formelen for halvperimeteren er: p = (a+b+c) / 2. Deretter er likheten for arealet av ​​figuren ser slik ut: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Hvis du ikke vil bruke en semi-perimeter, vil en formel som bare inneholder lengdene på sidene være nyttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Den er litt lengre enn den forrige, men det vil hjelpe hvis du har glemt hvordan du finner halvperimeteren.

Generelle formler som involverer vinklene til en trekant

Notasjoner som kreves for å lese formlene: α, β, γ - vinkler. De ligger på motsatt side av henholdsvis a, b, c.

1. I følge det er halvparten av produktet av to sider og sinusen til vinkelen mellom dem lik arealet av trekanten. Det vil si: S = ½ a * b * sin γ. På lignende måte du bør skrive ned formlene for de to andre tilfellene.

2. Arealet av en trekant kan beregnes fra én side og tre kjente vinkler. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Det er også en formel med én kjent side og to tilstøtende vinkler. Det ser slik ut: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De to siste formlene er ikke de enkleste. Det er ganske vanskelig å huske dem.

Generelle formler for situasjoner der radiene til innskrevne eller omskrevne sirkler er kjent

Ytterligere betegnelser: r, R - radier. Den første brukes for radiusen til den innskrevne sirkelen. Den andre er for den som er beskrevet.

1. Den første formelen som arealet til en trekant beregnes med, er relatert til halvperimeteren. S = r * r. En annen måte å skrive det på er: S = ½ r * (a + b + c).

2. I det andre tilfellet må du multiplisere alle sidene i trekanten og dele dem med firedoblet radiusen til den omskrevne sirkelen. I bokstavelig uttrykk ser det slik ut: S = (a * b * c) / (4R).

3. Den tredje situasjonen lar deg gjøre uten å kjenne sidene, men du trenger verdiene til alle tre vinklene. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Spesialtilfelle: rettvinklet trekant

Dette er den enkleste situasjonen, siden bare lengden på begge bena er nødvendig. De er betegnet med de latinske bokstavene a og b. Torget høyre trekant lik halve arealet av rektangelet lagt til det.

Matematisk ser det slik ut: S = ½ a * b. Det er lettest å huske. Fordi det ser ut som formelen for arealet av et rektangel, vises bare en brøkdel, som indikerer halvparten.

Spesialtilfelle: likebenet trekant

Siden den har to like sider, ser noen formler for området noe forenklet ut. For eksempel har Herons formel, som beregner arealet av en likebenet trekant, følgende form:

S = ½ tommer √((a + ½ tommer)*(a - ½ tommer)).

Hvis du forvandler den, blir den kortere. I dette tilfellet er Herons formel for en likebenet trekant skrevet som følger:

S = ¼ i √(4 * a 2 - b 2).

Arealformelen ser noe enklere ut enn for en vilkårlig trekant hvis sidene og vinkelen mellom dem er kjent. S = ½ a 2 * sin β.

Spesialtilfelle: likesidet trekant

Vanligvis i problemer er siden om det kjent eller det kan bli funnet ut på en eller annen måte. Da er formelen for å finne arealet til en slik trekant som følger:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemer med å finne området hvis trekanten er avbildet på rutete papir

Den enkleste situasjonen er når en rettvinklet trekant tegnes slik at bena sammenfaller med linjene på papiret. Da trenger du bare å telle antall celler som passer inn i bena. Multipliser dem deretter og del på to.

Når trekanten er spiss eller stump, må den tegnes til et rektangel. Da vil den resulterende figuren ha 3 trekanter. Den ene er den som er gitt i problemet. Og de to andre er hjelpe- og rektangulære. Arealene av de to siste må bestemmes ved å bruke metoden beskrevet ovenfor. Beregn deretter arealet av rektangelet og trekk fra det de som er beregnet for de ekstra. Arealet av trekanten bestemmes.

Situasjonen der ingen av sidene i trekanten faller sammen med linjene på papiret, viser seg å være mye mer komplisert. Deretter må den skrives inn i et rektangel slik at toppunktene til den opprinnelige figuren ligger på sidene. I dette tilfellet vil det være tre hjelpetrekanter.

Eksempel på et problem som bruker Herons formel

Betingelse. Noen trekanter har kjente sider. De er lik 3, 5 og 6 cm. Du må finne ut området.

Nå kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke formelen ovenfor. Under kvadratroten er produktet av fire tall: 7, 4, 2 og 1. Det vil si at arealet er √(4 * 14) = 2 √(14).

Hvis større nøyaktighet ikke er nødvendig, kan du ta kvadratroten av 14. Det er lik 3,74. Da blir arealet 7,48.

Svar. S = 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.

Eksempeloppgave med rettvinklet trekant

Betingelse. Ett ben i en rettvinklet trekant er 31 cm større enn det andre. Du må finne ut lengden på dem hvis arealet av trekanten er 180 cm 2.
Løsning. Vi må løse et system med to ligninger. Den første er relatert til areal. Den andre er med forholdet mellom bena, som er gitt i oppgaven.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Først må verdien av "a" settes inn i den første ligningen. Det viser seg: 180 = ½ (in + 31) * in. Den har bare ett ukjent antall, så det er enkelt å løse. Etter å ha åpnet parentesene får vi kvadratisk ligning: i 2 + 31 i - 360 = 0. Det gir to verdier for "in": 9 og - 40. Det andre tallet er ikke egnet som svar, siden lengden på siden av en trekant ikke kan være negativ verdi.

Det gjenstår å beregne den andre etappen: legg til 31 til det resulterende tallet. Det viser seg 40. Dette er mengdene som søkes i problemet.

Svar. Trekantens ben er 9 og 40 cm.

Problem med å finne en side gjennom arealet, siden og vinkelen til en trekant

Betingelse. Arealet til en viss trekant er 60 cm 2. Det er nødvendig å beregne en av sidene hvis den andre siden er 15 cm og vinkelen mellom dem er 30º.

Løsning. Basert aksepterte notasjoner, den ønskede siden "a", den kjente siden "b", den gitte vinkelen "γ". Deretter kan arealformelen skrives om som følger:

60 = ½ a * 15 * synd 30º. Her er sinusen på 30 grader 0,5.

Etter transformasjoner viser "a" seg å være lik 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Altså 16.

Svar. Den nødvendige siden er 16 cm.

Oppgave om et kvadrat innskrevet i en rettvinklet trekant

Betingelse. Toppunktet til en firkant med en side på 24 cm faller sammen med den rette vinkelen til trekanten. De to andre ligger på sidene. Den tredje tilhører hypotenusen. Lengden på det ene bena er 42 cm. Hva er arealet av den rette trekanten?

Løsning. Tenk på to rette trekanter. Den første er den som er spesifisert i oppgaven. Den andre er basert på den kjente delen av den opprinnelige trekanten. De er like fordi de har en felles vinkel og er dannet av parallelle linjer.

Da er forholdet mellom bena deres like. Benene til den mindre trekanten er lik 24 cm (siden av kvadratet) og 18 cm (gitt ben 42 cm trekker siden av kvadratet 24 cm). De tilsvarende bena til en stor trekant er 42 cm og x cm. Det er denne "x" som trengs for å beregne arealet av trekanten.

18/42 = 24/x, det vil si x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Da er arealet lik produktet av 56 og 42 delt på to, det vil si 1176 cm 2.

Svar. Det nødvendige arealet er 1176 cm 2.

Areal av en trekant - formler og eksempler på problemløsning

Nedenfor er formler for å finne arealet av en vilkårlig trekant som er egnet for å finne arealet til en hvilken som helst trekant, uavhengig av dens egenskaper, vinkler eller størrelser. Formlene presenteres i form av et bilde, med forklaringer for deres anvendelse eller begrunnelse for deres korrekthet. Korrespondanser er også angitt i en egen figur bokstavbetegnelser i formler og grafiske symboler i tegningen.

Merk . Hvis trekanten har spesielle egenskaper(likebenet, rektangulær, likesidet), kan du bruke formlene gitt nedenfor, samt ytterligere spesialformler som bare er gyldige for trekanter med disse egenskapene:

• "Formel for arealet av en likesidet trekant"

Trekantarealformler

Forklaringer til formler:
a, b, c- lengdene på sidene i trekanten hvis areal vi ønsker å finne
r- radius av sirkelen innskrevet i trekanten
R- radius av sirkelen omskrevet rundt trekanten
h- høyden på trekanten senket til siden
s- halvomkretsen av en trekant, 1/2 summen av sidene (omkretsen)
α - vinkel motsatt side a av trekanten
β - vinkel motsatt side b av trekanten
γ - vinkel motsatt side c av trekanten
h en, h b , h c- høyden på trekanten senket til sidene a, b, c

Vær oppmerksom på at notasjonene ovenfor samsvarer med figuren ovenfor, slik at når du løser reelt problem når det gjelder geometri, var det visuelt lettere for deg å bytte inn de rette stedene formler er riktige verdier.

• Arealet av trekanten er halvparten av produktet av høyden på trekanten og lengden på siden som denne høyden senkes med(Formel 1). Riktigheten av denne formelen kan forstås logisk. Høyden senket til basen vil dele en vilkårlig trekant i to rektangulære. Hvis du bygger hver av dem inn i et rektangel med dimensjonene b og h, vil åpenbart arealet til disse trekantene være lik nøyaktig halvparten av rektangelets areal (Spr = bh)
• Arealet av trekanten er halvparten av produktet av de to sidene og sinusen til vinkelen mellom dem(Formel 2) (se et eksempel på å løse et problem ved å bruke denne formelen nedenfor). Selv om den virker annerledes enn den forrige, kan den lett forvandles til den. Hvis vi senker høyden fra vinkel B til side b, viser det seg at produktet av side a og sinus av vinkel γ, i henhold til egenskapene til sinus i en rettvinklet trekant, er lik høyden til trekanten vi tegnet , som gir oss den forrige formelen
• Arealet til en vilkårlig trekant kan bli funnet gjennom arbeid halvparten av radiusen til sirkelen som er innskrevet i den med summen av lengdene på alle sidene(Formel 3), enkelt sagt, du må multiplisere halvomkretsen av trekanten med radiusen til den innskrevne sirkelen (dette er lettere å huske)
• Arealet til en vilkårlig trekant kan bli funnet ved å dele produktet av alle sidene med 4 radier av sirkelen som er omskrevet rundt den (formel 4)
• Formel 5 er å finne arealet til en trekant gjennom lengdene på sidene og halvperimeteren (halvsummen av alle sidene)
• Herons formel(6) er en representasjon av samme formel uten å bruke begrepet semi-perimeter, bare gjennom lengdene på sidene
• Arealet til en vilkårlig trekant er lik produktet av kvadratet på siden av trekanten og sinusen til vinklene ved siden av denne siden delt på den doble sinusen til vinkelen motsatt denne siden (formel 7)
• Arealet til en vilkårlig trekant kan bli funnet som produktet av to kvadrater av sirkelen som er omskrevet rundt den av sinusene til hver av vinklene. (Formel 8)
• Hvis lengden på en side og verdiene til to tilstøtende vinkler er kjent, kan arealet av trekanten finnes som kvadratet på denne siden delt på den doble summen av cotangensene til disse vinklene (formel 9)
• Hvis bare lengden på hver av høydene til trekanten er kjent (formel 10), så er arealet av en slik trekant omvendt proporsjonal med lengdene på disse høydene, som i henhold til Herons formel
• Formel 11 lar deg beregne område av en trekant basert på koordinatene til dens toppunkter, som er spesifisert som (x;y) verdier for hver av toppunktene. Vær oppmerksom på at den resulterende verdien må tas modulo, siden koordinatene til individuelle (eller til og med alle) hjørner kan være i området med negative verdier

Merk. Følgende er eksempler på å løse geometriproblemer for å finne arealet til en trekant. Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke ligner her, skriv om det i forumet. I løsninger, i stedet for "kvadratrot"-symbolet, kan funksjonen sqrt() brukes, der sqrt er kvadratrotsymbolet, og det radikale uttrykket er angitt i parentes.Noen ganger for enkle radikale uttrykk kan symbolet brukes √

Oppgave. Finn arealet gitt to sider og vinkelen mellom dem

Sidene i trekanten er 5 og 6 cm. Vinkelen mellom dem er 60 grader. Finn arealet av trekanten.

Løsning.

For å løse dette problemet bruker vi formel nummer to fra den teoretiske delen av leksjonen.
Arealet til en trekant kan finnes gjennom lengdene på to sider og sinusen til vinkelen mellom dem og vil være lik
S=1/2 ab sin γ

Siden vi har alle nødvendige data for løsningen (i henhold til formelen), kan vi bare erstatte verdiene fra problemforholdene i formelen:
S = 1/2 * 5 * 6 * synd 60

I tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner vil vi finne og erstatte verdien av sinus 60 grader i uttrykket. Det vil være lik roten av tre ganger to.
S = 15 √3 / 2

Svar: 7,5 √3 (avhengig av lærerens krav, kan du sannsynligvis legge igjen 15 √3/2)

Oppgave. Finn arealet til en likesidet trekant

Finn arealet av en likesidet trekant med siden 3 cm.

Løsning .

Arealet til en trekant kan bli funnet ved å bruke Herons formel:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Siden a = b = c, har formelen for arealet av en likesidet trekant formen:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Svar: 9 √3 / 4.

Oppgave. Endring i areal ved endring av lengden på sidene

Hvor mange ganger vil arealet av trekanten øke hvis sidene økes med 4 ganger?

Løsning.

Siden dimensjonene til sidene i trekanten er ukjente for oss, vil vi for å løse problemet anta at lengdene på sidene er henholdsvis lik vilkårlige tall a, b, c. Så, for å svare på spørsmålet om problemet, finner vi området gitt trekant, og finn deretter arealet til en trekant hvis sider er fire ganger større. Forholdet mellom arealene til disse trekantene vil gi oss svaret på problemet.

Nedenfor gir vi en tekstlig forklaring av løsningen på problemet trinn for trinn. Men helt til slutt presenteres den samme løsningen i en mer praktisk grafisk form. Interesserte kan umiddelbart gå ned på løsningene.

For å løse bruker vi Herons formel (se ovenfor i den teoretiske delen av leksjonen). Det ser slik ut:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se første linje på bildet nedenfor)

Lengden på sidene i en vilkårlig trekant er spesifisert av variablene a, b, c.
Hvis sidene økes med 4 ganger, vil arealet til den nye trekanten c være:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(se andre linje i bildet nedenfor)

Som du ser er 4 en felles faktor som kan tas ut av parentes fra alle fire uttrykk iht generelle regler matematikk.
Deretter

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - på tredje linje i bildet
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - fjerde linje

Kvadratroten av tallet 256 er perfekt trukket ut, så la oss ta den ut under roten
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se femte linje på bildet nedenfor)

For å svare på spørsmålet som stilles i oppgaven, trenger vi bare å dele arealet til den resulterende trekanten med arealet til den opprinnelige.
La oss bestemme arealforholdene ved å dele uttrykkene med hverandre og redusere den resulterende brøken.

Trekant er en av de vanligste geometriske former, som vi allerede blir kjent med i grunnskole. Hver student står overfor spørsmålet om hvordan man finner arealet til en trekant i geometritimer. Så, hvilke funksjoner for å finne området til en gitt figur kan identifiseres? I denne artikkelen vil vi se på de grunnleggende formlene som er nødvendige for å fullføre en slik oppgave, og også analysere typene trekanter.

Typer trekanter

Du kan finne arealet til en trekant absolutt forskjellige måter, fordi det i geometri er mer enn én type figurer som inneholder tre vinkler. Disse typene inkluderer:

• Stumpet.
• Likesidet (riktig).
• Høyre trekant.
• Likebent.

La oss se nærmere på hver av de eksisterende typene trekanter.

Denne geometriske figuren regnes som den vanligste når man løser geometriske problemer. Når behovet oppstår for å tegne en vilkårlig trekant, kommer dette alternativet til unnsetning.

I en spiss trekant, som navnet antyder, er alle vinklene spisse og summerer seg til 180°.

Denne typen trekant er også svært vanlig, men er noe mindre vanlig enn en spiss trekant. For eksempel, når du løser trekanter (det vil si at flere av sidene og vinklene er kjent, og du må finne de gjenværende elementene), må du noen ganger finne ut om vinkelen er stump eller ikke. Cosinus er et negativt tall.

B, verdien av en av vinklene overstiger 90°, så de resterende to vinklene kan ha små verdier (for eksempel 15° eller til og med 3°).

For å finne arealet til en trekant av denne typen, du trenger å vite noen nyanser, som vi vil snakke om neste gang.

Regelmessige og likebenede trekanter

En vanlig polygon er en figur som inkluderer n vinkler og hvis sider og vinkler er like. Dette er hva en vanlig trekant er. Siden summen av alle vinklene i en trekant er 180°, er hver av de tre vinklene 60°.

En vanlig trekant, på grunn av sin egenskap, kalles også en likesidet figur.

Det er også verdt å merke seg at bare en sirkel kan skrives inn i en vanlig trekant, og bare en sirkel kan beskrives rundt den, og sentrene deres er plassert på samme punkt.

I tillegg til den likesidede typen, kan man også skille en likebenet trekant, som er litt forskjellig fra den. I en slik trekant er to sider og to vinkler lik hverandre, og den tredje siden (som den tilstøtende like vinkler) er basen.

Figuren viser en likebenet trekant DEF hvis vinkler D og F er like og DF er grunnflaten.

Høyre trekant

En rettvinklet trekant heter det fordi en av vinklene er rett, det vil si lik 90°. De to andre vinklene summerer seg til 90°.

Den største siden av en slik trekant, som ligger motsatt 90°-vinkelen, er hypotenusen, mens de resterende to sidene er bena. For denne typen trekant gjelder Pythagoras teorem:

Summen av kvadratene av benlengdene er lik kvadratet av lengden på hypotenusen.

Figuren viser en rettvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og bena AB og BC.

For å finne arealet av en trekant med rett vinkel, må du vite det numeriske verdier sine ben.

La oss gå videre til formlene for å finne arealet til en gitt figur.

Grunnformler for å finne areal

I geometri er det to formler som er egnet for å finne arealet til de fleste typer trekanter, nemlig for akutte, stumpe, vanlige og likebenede trekanter. La oss se på hver av dem.

Ved side og høyde

Denne formelen er universell for å finne arealet av figuren vi vurderer. For å gjøre dette er det nok å vite lengden på siden og lengden på høyden trukket til den. Selve formelen (halve produktet av basen og høyden) er som følger:

der A er siden av en gitt trekant, og H er høyden på trekanten.

For eksempel for å finne området spiss trekant ACB, du må multiplisere siden AB med høyden CD og dele den resulterende verdien med to.

Det er imidlertid ikke alltid lett å finne arealet til en trekant på denne måten. For eksempel, for å bruke denne formelen for en stump trekant, må du utvide en av sidene og først deretter tegne en høyde til den.

I praksis brukes denne formelen oftere enn andre.

På begge sider og hjørne

Denne formelen, som den forrige, passer for de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens av formelen for å finne arealet ved side og høyden til en trekant. Det vil si at den aktuelle formelen lett kan utledes fra den forrige. Formuleringen ser slik ut:

S = ½*sinO*A*B,

hvor A og B er sidene i trekanten, og O er vinkelen mellom sidene A og B.

La oss huske at sinusen til en vinkel kan sees i en spesiell tabell oppkalt etter den fremragende sovjetiske matematikeren V. M. Bradis.

La oss nå gå videre til andre formler som bare er egnet for eksepsjonelle typer trekanter.

Arealet av en rettvinklet trekant

I tillegg til den universelle formelen, som inkluderer behovet for å finne høyden i en trekant, kan området til en trekant som inneholder en rett vinkel finnes fra bena.

Dermed er arealet av en trekant som inneholder en rett vinkel halvparten av produktet av bena, eller:

hvor a og b er bena i en rettvinklet trekant.

Vanlig trekant

Denne typen geometriske figurer er forskjellige ved at området kan finnes med den angitte verdien av bare en av sidene (siden alle sider vanlig trekant er like). Så når du står overfor oppgaven med å "finne arealet til en trekant når sidene er like," må du bruke følgende formel:

S = A 2 *√3 / 4,

hvor A er siden av den likesidede trekanten.

Herons formel

Det siste alternativet for å finne arealet til en trekant er Herons formel. For å bruke det, må du kjenne lengdene på de tre sidene av figuren. Herons formel ser slik ut:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

hvor a, b og c er sidene i en gitt trekant.

Noen ganger er problemet gitt: "området til en vanlig trekant er å finne lengden på siden." I dette tilfellet må vi bruke formelen vi allerede kjenner for å finne arealet til en vanlig trekant og utlede verdien av siden (eller kvadratet):

A 2 = 4S / √3.

Eksamensoppgaver

Det er mange formler i GIA-oppgaver i matematikk. I tillegg er det ganske ofte nødvendig å finne området til en trekant på rutete papir.

I dette tilfellet er det mest praktisk å tegne høyden til en av sidene av figuren, bestemme lengden fra cellene og bruke universell formel for å finne området:

Så, etter å ha studert formlene presentert i artikkelen, vil du ikke ha noen problemer med å finne arealet til en trekant av noe slag.