هناك مثلثات في الزوايا. مثلث. دروس كاملة - هايبر ماركت المعرفة

المثلث - التعريف والمفاهيم العامة

المثلث هو مثل هذا المضلع البسيط ، يتكون من ثلاثة جوانب وله نفس عدد الزوايا. طائراتها محدودة بـ 3 نقاط و 3 أجزاء تربط هذه النقاط في أزواج.

يشار إلى جميع رؤوس أي مثلث ، بغض النظر عن نوعه ، بأحرف كبيرة. بأحرف لاتينية، وجوانبها تُصوَّر بالتعيينات المقابلة للرؤوس المتقابلة ، لكن لا بأحرف كبيرة، لكنها صغيرة. إذن ، على سبيل المثال ، مثلث برؤوس مكتوب عليها أ ، ب ، ج ، أضلاعه أ ، ب ، ج.

إذا اعتبرنا مثلثًا في الفضاء الإقليدي ، فهذا هو الحال الشكل الهندسي، والتي تم تشكيلها باستخدام ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد.

انظر عن كثب إلى الصورة أعلاه. عليها ، النقاط أ ، ب ، ج هي رؤوس هذا المثلث ، وأجزاءه تسمى أضلاع المثلث. يشكل كل رأس من هذا المضلع زوايا بداخله.

أنواع المثلثات

وفقًا لحجم وزوايا المثلثات ، يتم تقسيمها إلى أصناف مثل:
زاوية حادة
منفرج الزاوية.

المثلثات القائمة الزاوية هي مثلثات لها زاوية قائمة والاثنان الآخران لهما زوايا حادة.

المثلثات الحادة الزاوية هي تلك التي تكون فيها جميع زواياها حادة.

وإذا كان للمثلث زاوية منفرجة ، وكانت الزاويتان الأخريان حادتين ، فإن هذا المثلث ينتمي إلى زاويتين منفرجتين.

كل واحد منكم يفهم جيدًا أنه ليست كل المثلثات موجودة جوانب متساوية. وبحسب أطوال أضلاعها يمكن تقسيم المثلثات إلى:

متساوي الساقين؛
متساوي الاضلاع؛
متعدد الجوانب والاستعمالات.

المهمة: ارسم أنواعًا مختلفة من المثلثات. امنحهم تعريفًا. ما الفرق الذي تراه بينهما؟

الخصائص الأساسية للمثلثات

على الرغم من أن هذه المضلعات البسيطة قد تختلف عن بعضها البعض في حجم الزوايا أو الجوانب ، إلا أنه يوجد في كل مثلث خصائص أساسية مميزة لهذا الشكل.

في أي مثلث:

مجموع زواياها 180º.
إذا كانت تنتمي إلى متساوية الأضلاع ، فإن كل زاوية من زواياها تساوي 60 درجة.
مثلث متساوي الأضلاع له زوايا متطابقة ومتساوية مع بعضها البعض.
كلما كان ضلع المضلع أصغر ، كانت الزاوية المقابلة له أصغر ، والعكس صحيح ، كانت الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأكبر.
إذا كانت الجوانب متساوية ، فعندئذٍ تقع مقابلها زوايا متساويةوالعكس صحيح.
إذا أخذنا مثلثًا وقمنا بتوسيع جانبه ، فسنشكل في النهاية زاوية خارجية. إنه يساوي مجموع الزوايا الداخلية.
في أي مثلث ، سيظل ضلعه ، بغض النظر عن الجانب الذي تختاره ، أقل من مجموع ضلعين آخرين ، ولكنه سيكون أكثر من اختلافهما:

1.a< b + c, a >قبل الميلاد؛
2. ب< a + c, b >أ ج.
3. ج< a + b, c >أ-ب.

المهمة

يوضح الجدول زاويتين معروفتين بالفعل للمثلث. بمعرفة المجموع الكلي لجميع الزوايا ، أوجد ما تساوي الزاوية الثالثة للمثلث وأدخل في الجدول:

1. كم درجة للزاوية الثالثة؟
2. إلى أي نوع من المثلثات تنتمي؟

مثلثات التكافؤ

أنا أوقع

أنا علامة

الثالث علامة

ارتفاع ومنصف ومتوسط ​​المثلث

ارتفاع المثلث - العمودي المرسوم من أعلى الشكل إلى جانبه المقابل ، يسمى ارتفاع المثلث. تتقاطع جميع ارتفاعات المثلث عند نقطة واحدة. نقطة التقاطع لجميع الارتفاعات الثلاثة للمثلث هي مركزه العمودي.

المقطع المرسوم من رأس معين ويربطه في منتصف الجانب المقابل هو الوسيط. للوسطاء ، وكذلك ارتفاعات المثلث ، نقطة تقاطع واحدة مشتركة ، ما يسمى بمركز ثقل المثلث أو النقطه الوسطى.

منصف المثلث هو قطعة تصل رأس الزاوية بنقطة في الضلع المقابل ، كما تقسم هذه الزاوية إلى النصف. تتقاطع جميع منصفات المثلث عند نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المدرجة في المثلث.

يسمى المقطع الذي يربط بين نقطتي المنتصف في جانبي المثلث بالخط الوسطي.

مرجع التاريخ

كان مثل هذا الشكل مثل المثلث معروفًا في العصور القديمة. ورد هذا الرقم وخصائصه في أوراق البردي المصرية منذ أربعة آلاف عام. بعد ذلك بقليل ، بفضل نظرية فيثاغورس وصيغة هيرون ، تحولت دراسة خاصية المثلث إلى المزيد مستوى عال، ولكن مع ذلك ، حدث ذلك منذ أكثر من ألفي عام.

في القرنين الخامس عشر والسادس عشر ، بدأ الكثير من الأبحاث حول خصائص المثلث ، ونتيجة لذلك نشأ علم مثل قياس الكواكب ، والذي أطلق عليه اسم "هندسة المثلث الجديد".

قدم عالم من روسيا N.I Lobachevsky مساهمة كبيرة في معرفة خصائص المثلثات. وجدت أعماله فيما بعد تطبيقًا في كل من الرياضيات والفيزياء وعلم التحكم الآلي.

بفضل معرفة خصائص المثلثات ، نشأ علم مثل علم المثلثات. اتضح أنه ضروري للإنسان في احتياجاته العملية ، لأن استخدامه ضروري ببساطة عند تجميع الخرائط وقياس المساحات وحتى عند تصميم الآليات المختلفة.

وما هو أكثر المثلث الشهيرأنت تعرف؟ هذا بالطبع مثلث برمودا! حصلت على اسمها في الخمسينيات بسبب موقع جغرافيالنقاط (رؤوس المثلث) ، والتي ، وفقًا للنظرية الحالية ، نشأت الحالات الشاذة المرتبطة بها. قمم مثلث برمودا هي برمودا وفلوريدا وبورتوريكو.

المهمة: ما هي النظريات مثلث برموداهل سمعتي؟

هل تعلم أنه في نظرية Lobachevsky ، عند جمع زوايا المثلث ، فإن مجموعها دائمًا ما يكون له نتيجة أقل من 180 درجة. في الهندسة الريمانية ، يكون مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 درجة ، بينما في كتابات إقليدس يساوي 180 درجة.

واجب منزلي

حل لغز الكلمات المتقاطعة حول موضوع معين

أسئلة الكلمات المتقاطعة:

1. ما اسم الخط العمودي المرسوم من رأس المثلث إلى الخط المستقيم الواقع على الجانب المقابل؟
2. كيف ، بكلمة واحدة ، يمكنك استدعاء مجموع أطوال أضلاع المثلث؟
3. اسم مثلث ضلعه متساويان؟
4. اسم مثلث زاوية تساوي 90 درجة؟
5. ما اسم أضلاع المثلث الأكبر؟
6. اسم ضلع مثلث متساوي الساقين؟
7. هناك دائمًا ثلاثة منهم في أي مثلث.
8. ما اسم المثلث الذي تتجاوز إحدى زواياه 90 درجة؟
9. اسم القطعة التي تربط أعلى الشكل بمنتصف الضلع المقابل؟
10. في شكل مضلع بسيط ABC ، الحرف الكبيروهو...؟
11. ما هو اسم المقطع الذي يقسم زاوية المثلث إلى نصفين.

أسئلة حول المثلثات:

1. إعطاء تعريف.
2. كم ارتفاع لديها؟
3. كم عدد منصفات المثلث؟
4. ما هو مجموع زواياه؟
5. ما أنواع هذا المضلع البسيط التي تعرفها؟
6. قم بتسمية نقاط المثلثات التي تسمى رائعة.
7. ما هي الأداة التي يمكن قياس الزاوية؟
8. إذا كانت عقارب الساعة تظهر 21 ساعة. ما الزاوية التي يتشكلها عقرب الساعات؟
9. في أي زاوية يستدير الشخص إذا أُعطي الأمر "إلى اليسار" ، "يدور"؟
10. ما هي التعريفات الأخرى المرتبطة بالشكل الذي له ثلاث زوايا وثلاثة جوانب؟

المواد> الرياضيات> الرياضيات للصف السابع علامات المساواة في مثلثات الحق

أنواع المثلث

ضع في اعتبارك ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وثلاثة أجزاء تربط هذه النقاط (الشكل 1).

يسمى المثلث بجزء من المستوى الذي تحده هذه المقاطع ، وتسمى المقاطع جوانب المثلث ، وتسمى نهايات المقاطع (ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد) رؤوس المثلث.

يسرد الجدول 1 جميع الأنواع الممكنة من المثلثات حسب حجم زواياهم .

الجدول 1 - أنواع المثلثات حسب حجم الزوايا

صورة	نوع المثلث	تعريف
	مثلث حاد الزوايا	المثلث الذي لديه كل الزوايا حادة ، يسمى الحاد
	مثلث قائم	المثلث الذي لديه إحدى الزوايا القائمة ، يسمى مستطيل
	مثلث منفرج الزاوية	المثلث الذي لديه أحد الزوايا منفرجة ، يسمى منفرجة

مثلث حاد الزوايا

تعريف: المثلث الذي لديه كل الزوايا حادة ، يسمى الحاد

مثلث قائم

تعريف: المثلث الذي لديه إحدى الزوايا القائمة ، يسمى مستطيل

مثلث منفرج الزاوية

تعريف: المثلث الذي لديه أحد الزوايا منفرجة ، يسمى منفرجة

حسب طول الجوانب هناك نوعان مهمان من المثلثات.

الجدول 2 - المثلثات متساوية الساقين والمتساوية الأضلاع

صورة	نوع المثلث	تعريف
	مثلث متساوي الساقين	الجوانب، والجانب الثالث يسمى قاعدة مثلث متساوي الساقين
	متساوي الأضلاع (صحيح)مثلث	يسمى المثلث الذي تتساوى فيه الأضلاع الثلاثة بمثلث متساوي الأضلاع أو مثلث قائم الزاوية.

مثلث متساوي الساقين

تعريف: يسمى المثلث الذي له ضلعان متساويان بمثلث متساوي الساقين. في هذه الحالة ، يتم استدعاء جانبين متساويين الجوانب، والجانب الثالث يسمى قاعدة مثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الأضلاع (عادي)

تعريف: يسمى المثلث الذي تتساوى فيه الأضلاع الثلاثة بمثلث متساوي الأضلاع أو مثلث قائم الزاوية.

علامات المساواة بين المثلثات

تسمى المثلثات متساوية إذا كانت يمكن دمجه مع تراكب .

يبين الجدول 3 علامات المساواة في المثلثات.

الجدول 3 - علامات المساواة بين المثلثات

صورة	اسم الميزة	صياغة الميزة
	على وجهان والزاوية بينهما
	علامة المساواة بين المثلثات على جانب وزاويتان متجاورتان
	علامة المساواة بين المثلثات على ثلاثة أحزاب

علامة المساواة بين المثلثات على الجانبين والزاوية بينهما

صياغة الميزة. إذا كان ضلعان لمثلث واحد والزاوية بينهما متساوية على التوالي مع ضلعين من مثلث آخر والزاوية بينهما ، فإن هذه المثلثات متساوية

علامة المساواة بين المثلثات على طول جانب وزاويتين متاخمتين له

صياغة الميزة. إذا كان أحد الأضلاع وزاويتان متجاورتان لمثلث واحد متساويين على التوالي مع ضلع وزاويتين متجاورتين لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متساوية

علامة المساواة بين المثلثات من ثلاث جهات

صياغة الميزة. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة

علامات المساواة في مثلثات الحق

للحفلات مثلثات قائمةيتم استخدام الأسماء التالية.

الوتر هو ضلع مثلث قائم الزاوية يقع مقابل الزاوية اليمنى (الشكل 2) ، ويسمى الضلعان الآخران بالأرجل.

الجدول 4 - علامات المساواة في المثلثات القائمة على حق

صورة	اسم الميزة	صياغة الميزة
	على ساقين
	علامة المساواة في المثلثات القائمة على الساق والزاوية الحادة المجاورة
	علامة المساواة في المثلثات القائمة على الساق والزاوية الحادة المعاكسة	إذا كانت الضلع والزاوية الحادة المقابلة لمثلث قائم الزاوية متساويتان على التوالي مع الرجل والزاوية الحادة المقابلة لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات القائمة متساوية
	علامة المساواة في المثلثات القائمة على وتر الزاوية الحادة	إذا كان الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية متساويين على التوالي مع الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات القائمة متساوية
	علامة المساواة في المثلثات القائمة على الساق والوتر	إذا كانت الساق والوتر لمثلث قائم الزاوية متساويتان على التوالي مع الساق والوتر لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات القائمة على اليمين تكون متساوية

علامة المساواة بين المثلثات القائمة على قدمين

صياغة الميزة. إذا كان ساقان لمثلث قائم الزاوية يساويان على التوالي قدمين لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات القائمة على اليمين تكون متساوية

علامة المساواة في المثلثات القائمة على طول الساق والزاوية الحادة المجاورة

صياغة الميزة. إذا كانت الضلع والزاوية الحادة المجاورة لها لمثلث قائم الزاوية تساوي على التوالي الرجل والزاوية الحادة المجاورة لها لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات القائمة متساوية

علامة المساواة في المثلثات القائمة على طول الساق والزاوية الحادة المقابلة

الرموز القياسية

مثلث برؤوس أ, بو جيشار إليه باسم (انظر الشكل). للمثلث ثلاثة جوانب:

تتم الإشارة إلى أطوال أضلاع المثلث بأحرف لاتينية صغيرة (أ ، ب ، ج):

المثلث له الزوايا التالية:

يُشار تقليديًا إلى قيم الزوايا عند الرؤوس المقابلة الحروف اليونانية (α, β, γ).

علامات المساواة بين المثلثات

يمكن تحديد المثلث على المستوى الإقليدي بشكل فريد (حتى التطابق) من خلال الثلاثة توائم التالية من العناصر الأساسية:

1. أ ، ب ، γ (المساواة على الجانبين والزاوية بينهما) ؛
2. أ ، β ، γ (مساواة في الضلع وزاويتان متجاورتان) ؛
3. أ ، ب ، ج (المساواة من ثلاث جهات).

علامات المساواة في مثلثات الحق:

1. على طول الساق والوتر.
2. على قدمين
3. على طول الساق والزاوية الحادة.
4. وتر الزاوية الحادة.

يتم "إقران" بعض النقاط في المثلث. على سبيل المثال ، هناك نقطتان يمكن من خلالهما رؤية جميع الجوانب بزاوية 60 درجة أو بزاوية 120 درجة. انهم يسمى النقاط توريشيلي. هناك أيضًا نقطتان تقع إسقاطاتهما على الجانبين عند الرؤوس مثلث قائم. هذه - نقاط أبولونيوس. النقاط ومثل تسمى نقاط بروكار.

مباشر

في أي مثلث ، يقع مركز الثقل ومركز تقويم العظام ومركز الدائرة المحددة على نفس الخط المستقيم ، المسمى خط أويلر.

يسمى الخط الذي يمر عبر مركز الدائرة المقيدة ونقطة Lemoine محور بروكار. نقاط أبولونيوس تكمن عليها. تقع نقاط Torricelli ونقطة Lemoine أيضًا على نفس الخط المستقيم. تقع قواعد المنصات الخارجية لزوايا المثلث على نفس الخط المستقيم ، المسمى محور المنصات الخارجية. نقاط تقاطع الخطوط التي تحتوي على جوانب المثلث مع الخطوط التي تحتوي على جوانب المثلث تقع أيضًا على نفس الخط. هذا الخط يسمى المحور العمودي، فهو عمودي على خط أويلر.

إذا أخذنا نقطة على الدائرة المحددة للمثلث ، فإن إسقاطاتها على جانبي المثلث ستقع على خط مستقيم واحد ، يسمى خط سيمسون المستقيمنقطة معينة. خطوط سيمسون من النقاط المتقابلة تمامًا متعامدة.

مثلثات

• يسمى المثلث ذو الرؤوس عند قواعد cevians المرسومة من خلال نقطة معينة مثلث سيفيانهذه النقطة.
• يسمى المثلث برؤوس في إسقاطات نقطة معينة على الجانبين تحت الجلدأو مثلث دواسةهذه النقطة.
• يسمى المثلث برؤوسه عند نقاط التقاطع الثانية للخطوط المرسومة من خلال الرؤوس والنقطة المعطاة ، مع الدائرة المقيدة ، مثلث سيفيان. مثلث سيفيان مشابه لمثلث تحت الجلد.

الدوائر

• دائرة منقوشة- دائرة مماس للجميع ثلاث جهاتمثلث. هي الوحيدة. يسمى مركز الدائرة المنقوشة incenter.
• دائرة مقيدة- دائرة تمر عبر رؤوس المثلث الثلاثة. الدائرة المقيدة هي أيضًا فريدة من نوعها.
• Excircle- مماس دائرة إلى جانب واحد من المثلث وامتداد الضلعين الآخرين. هناك ثلاث دوائر في المثلث. مركزهم الجذري هو مركز الدائرة المنقوشة للمثلث المتوسط ​​، المسماة نقطة شبيكر.

تقع نقاط المنتصف للجوانب الثلاثة للمثلث ، وقواعد ارتفاعاته الثلاثة ، ونقاط المنتصف لأجزاء الخطوط الثلاثة التي تربط رؤوسه بالمركز العمودي على دائرة واحدة تسمى دائرة من تسع نقاطأو دائرة أويلر. يقع مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط على خط أويلر. دائرة من تسع نقاط تلامس دائرة منقوشة وثلاث دوائر. تسمى نقطة الاتصال بين دائرة منقوشة ودائرة من تسع نقاط نقطة فيورباخ. إذا وضعنا من كل رأس مثلثات على خطوط مستقيمة تحتوي على جوانب ، وتقويم متساوي في الطول مع الأضلاع المتقابلة ، فإن النقاط الست الناتجة تقع على دائرة واحدة - دوائر كونواي. في أي مثلث ، يمكن كتابة ثلاث دوائر بطريقة تلامس كل منها ضلعين من ضلعي المثلث ودائرتين أخريين. تسمى هذه الدوائر دوائر Malfatti. تقع مراكز الدوائر المحددة للمثلثات الستة التي يقسم فيها المثلث على المتوسطات على دائرة واحدة تسمى دائرة لامون.

يحتوي المثلث على ثلاث دوائر تلامس ضلعين من ضلعي المثلث والدائرة المحصورة. تسمى هذه الدوائر شبه منقوشةأو دوائر Verrier. تتقاطع الأجزاء التي تربط نقاط الاتصال لدوائر Verrier مع الدائرة المحددة عند نقطة واحدة ، تسمى نقطة فيرير. إنه بمثابة مركز التماثل ، الذي يأخذ الدائرة المقيدة إلى الدائرة. تقع نقاط التماس دوائر Verrier مع الجوانب على خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة المنقوشة.

المقاطع الخطية التي تربط نقاط الظل للدائرة المنقوشة مع الرؤوس تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى نقطة جيرجون، والأجزاء التي تربط الرؤوس بنقاط التلامس الخاصة بالحواف - في نقطة ناجل.

القطع الناقص والقطوع المكافئة والقطوع الزائدة

محفور مخروطي الشكل (القطع الناقص) ومنظوره

يمكن كتابة عدد لا حصر له من الأشكال المخروطية (القطع الناقصة أو القطوع المكافئة أو القطوع الزائدة) في مثلث. إذا أدخلنا مخروطًا تعسفيًا في مثلث وقمنا بتوصيل نقاط الاتصال بالرؤوس المتقابلة ، فإن الخطوط الناتجة ستتقاطع عند نقطة واحدة ، تسمى إنطباعمخروطات. لأي نقطة من المستوي لا تقع على جانب أو على امتداده ، يوجد مخروطي محفور بمنظور عند تلك النقطة.

قطع ناقص شتاينر و cevians يمر عبر بؤره

يمكن نقش القطع الناقص في مثلث يلامس الجوانب عند نقاط المنتصف. يسمى هذا القطع الناقص شتاينر منقوش ناقص(سيكون منظورها هو النقطه الوسطى للمثلث). يسمى القطع الناقص الموصوف ، والذي يكون مماسًا للخطوط التي تمر عبر الرؤوس الموازية للجوانب محصور بقطع ناقص شتاينر. إذا كان التحويل الأفيني ("الانحراف") يترجم المثلث إلى مثلث منتظم ، فإن قطع شتاينر الناقص المحفور والمحدود سينتقل إلى دائرة منقوشة ومحدودة. Cevians المرسومة من خلال بؤر قطع ناقص شتاينر الموصوفة (نقاط سكوتين) متساوية (نظرية سكوتين). من بين جميع الأشكال البيضاوية المقيدة ، فإن القطع الناقص المحدود شتاينر لديه أصغر مساحة، ومن بين جميع الأشكال البيضاوية المنقوشة ، فإن القطع الناقص المنقوش على شكل شتاينر يحتوي على أكبر مساحة.

القطع الناقص لبروكارد ومنظاره - نقطة ليموين

يسمى القطع الناقص مع البؤر في نقاط بروكار القطع الناقص Brocard. منظورها هو نقطة Lemoine.

خصائص القطع المكافئ المنقوش

Kiepert القطع المكافئ

تكمن مناظير القطع المكافئة المنقوشة على القطع الناقص المحدود لشتاينر. يقع تركيز القطع المكافئ المنقوش على الدائرة المُحددة ، ويمر الدليل عبر المركز التقويمي. يسمى القطع المكافئ المدرج في مثلث دليله هو خط أويلر القطع المكافئ كيبرت. منظورها هو النقطة الرابعة للتقاطع بين الدائرة المحصورة والقطع الناقص المحدود شتاينر ، والتي تسمى نقطة شتاينر.

المبالغة في Cypert

إذا كان القطع الزائد الموصوف يمر عبر نقطة تقاطع الارتفاعات ، فإنه يكون متساوي الأضلاع (أي أن خطوطه المقاربة متعامدة). تقع نقطة تقاطع الخطوط المقاربة للقطع الزائد المتساوي الأضلاع على دائرة من تسع نقاط.

التحولات

إذا كانت الخطوط التي تمر عبر الرؤوس ونقطة ما غير ملقاة على الجوانب وانعكست امتداداتها فيما يتعلق بالمنصرات المقابلة ، فإن صورها ستتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة ، وهو ما يسمى مترافق متساويالنقطة الأصلية (إذا كانت النقطة تقع على الدائرة المحددة ، فستكون الخطوط الناتجة متوازية). العديد من الأزواج من النقاط الرائعة مترابطة بشكل متساوي: مركز الدائرة المُحددة والمركز العمودي ، والنقطة الوسطى ونقطة Lemoine ، ونقاط Brocard. نقاط Apollonius مرتبطة بشكل متساوي مع نقاط Torricelli ، ويكون مركز الدائرة مترافقًا بشكل متساوي مع نفسه. تحت تأثير الاقتران المتساوي ، تنتقل الخطوط المستقيمة إلى مخروطيات محدودة ، وتتحول إلى خطوط مستقيمة. وهكذا ، فإن القطع الزائد Kiepert ومحور Brocard ، والقطع الزائد Enzhabek وخط Euler ، و Feuerbach الزائد وخط مراكز الدائرة المنقوشة مترافقان بشكل متساوي. تتطابق الدوائر المقيدة للمثلثات تحت الأدمة لنقاط مترافقة متساوية الأضلاع. بؤر الحذف المنقوشة مترافقة بشكل متساوي.

إذا ، بدلاً من cevian المتماثل ، أخذنا cevian الذي تكون قاعدته بعيدة عن منتصف الجانب مثل قاعدة القاعدة الأصلية ، فإن مثل هذه cevians ستتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة. التحول الناتج يسمى الاقتران النظيري. كما أنه يرسم خطوطًا لمخروطات محددة. نقطتا Gergonne و Nagel متقارنتان نظريًا. في ظل التحولات الأفينية ، تمر النقاط المترافقة نظريًا إلى نقاط مترافقة نظريًا. عند الاقتران المتماثل ، يمر قطع شتاينر الناقص الموصوف في الخط المستقيم عند اللانهاية.

إذا كانت المقاطع المقطوعة بجوانب المثلث من الدائرة المقيدة ، يتم نقش الدوائر التي تلمس الجوانب الموجودة في قواعد cevians المرسومة عبر نقطة معينة ، ثم يتم توصيل نقاط التلامس لهذه الدوائر بالمحيط دائرة ذات رءوس معاكسة ، ثم تتقاطع هذه الخطوط عند نقطة واحدة. يسمى تحويل المستوى ، الذي يطابق النقطة الأصلية بالنقطة الناتجة تحويل دائري. تكوين الاقتران متساوي و متساوي الذرات هو تكوين التحول متساوي الدوران مع نفسه. هذا التكوين عبارة عن تحويل إسقاطي يترك جوانب المثلث في مكانها ، ويترجم محور المنصات الخارجية إلى خط مستقيم عند اللانهاية.

إذا واصلنا جوانب مثلث سيفيان من نقطة ما وأخذنا نقاط تقاطعها مع الجوانب المقابلة ، فإن نقاط التقاطع الناتجة ستقع على خط مستقيم واحد ، يسمى قطبي ثلاثي السطورنقطة البداية. المحور العمودي - قطبي ثلاثي الخطوط لمركز تقويم العظام ؛ القطب ثلاثي السطور لمركز الدائرة المنقوشة هو محور المنصات الخارجية. تتقاطع الأقطاب الثلاثية الخطوط للنقاط الواقعة على المخروطي المحدود عند نقطة واحدة (بالنسبة للدائرة المقيدة ، هذه هي نقطة Lemoine ، أما بالنسبة للقطع الناقص لشتاينر فهي النقطة الوسطى). تكوين الاقتران متساوي (أو متساوي الذرات) والقطبي ثلاثي الخطوط عبارة عن تحويل ثنائي (إذا كانت النقطة مترافقة (متماثلًا) مع النقطة تقع على قطبي ثلاثي الخطوط للنقطة ، فإن القطبية ثلاثية الخطوط للنقطة متساوية (متساويًا) اقتران إلى النقطة تقع على قطبي ثلاثي الخطوط للنقطة).

مكعبات

العلاقات في المثلث

ملحوظة:في هذا القسم، ، هي أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ، و ، هي الزوايا الواقعة على التوالي مقابل هذه الأضلاع الثلاثة (الزوايا المتقابلة).

عدم المساواة المثلث

في المثلث غير المتحلل ، يكون مجموع أطوال ضلعه أكبر من طول الضلع الثالث ، وفي المثلث المنحل يكون متساويًا. بمعنى آخر ، أطوال أضلاع المثلث مرتبطة بالمتباينات التالية:

عدم مساواة المثلث هي إحدى بديهيات المقاييس.

مجموع المثلث لنظرية الزوايا

نظرية الجيب

,

حيث R هو نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث. ويترتب على النظرية أنه إذا كان أ< b < c, то α < β < γ.

نظرية جيب التمام

نظرية الظل

نسب أخرى

يتم إعطاء النسب المترية في المثلث من أجل:

حل المثلثات

حساب الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث ، بناءً على المعروفة ، يسمى تاريخياً "حلول المثلث". في هذه الحالة ، يتم استخدام النظريات المثلثية العامة المذكورة أعلاه.

مساحة المثلث

تدوين الحالات الخاصة

تنطبق التفاوتات التالية على المنطقة:

حساب مساحة المثلث في الفراغ باستخدام المتجهات

اجعل رؤوس المثلث عند النقاط ، ،.

دعنا نقدم متجه المنطقة. طول هذا المتجه يساوي مساحة المثلث ، ويتم توجيهه على طول المستوى العمودي إلى مستوى المثلث:

اسمحوا أين ، هي إسقاطات المثلث على مستويات الإحداثيات. حيث

وبالمثل

مساحة المثلث هي.

البديل هو حساب أطوال الأضلاع (باستخدام نظرية فيثاغورس) ثم استخدام صيغة هيرون.

نظريات المثلث

نظرية Desargues: إذا كان هناك مثلثا منظورًا (تتقاطع الخطوط التي تمر عبر الرؤوس المقابلة للمثلثين عند نقطة واحدة) ، فإن ضلعيهما يتقاطعان على خط مستقيم واحد.

نظرية السوند: إذا كان المثلثان منظوريين ومتعامدين (تسقط الخطوط العمودية من رؤوس مثلث واحد إلى الجوانب المقابلة للرؤوس المقابلة للمثلث ، والعكس بالعكس) ، فإن كلا من مراكز تقويم العظام (نقاط تقاطع هذه الخطوط العمودية) ومركز المنظور تقع على خط مستقيم واحد عمودي على محور المنظور (خط مستقيم من نظرية Desargues).

أبسط مضلع تمت دراسته في المدرسة هو المثلث. إنه مفهوم أكثر للطلاب ويواجه صعوبات أقل. على الرغم من حقيقة أن هناك أنواع مختلفةمثلثات لها خصائص خاصة.

ما هو الشكل الذي يسمى المثلث؟

تتكون من ثلاث نقاط ومقاطع خطية. الأولى تسمى الرؤوس ، والأخيرة تسمى الأضلاع. علاوة على ذلك ، يجب توصيل جميع الأجزاء الثلاثة بحيث تتشكل الزوايا بينها. ومن هنا جاء اسم الشكل "المثلث".

الاختلافات في الأسماء في الزوايا

نظرًا لأنها يمكن أن تكون حادة ومنفرجة ومستقيمة ، يتم تحديد أنواع المثلثات بهذه الأسماء. وفقًا لذلك ، هناك ثلاث مجموعات من هذه الأرقام.

• أولا. إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة ، فسيطلق عليها اسم المثلث الحاد. كل شيء منطقي.

• ثانيا. إحدى الزوايا منفرجة ، لذا فإن المثلث منفرج. أسهل في أي مكان.

• ثالث. هناك زاوية تساوي 90 درجة وتسمى الزاوية القائمة. يصبح المثلث مستطيلاً.

الاختلافات في الأسماء على الجانبين

اعتمادًا على ميزات الجوانب ، يتم تمييز أنواع المثلثات التالية:

الحالة العامة متعددة الاستخدامات ، حيث يكون طول جميع الجوانب عشوائيًا ؛

متساوي الساقين ، وجهان لهما نفس القيم العددية ؛

متساوية الأضلاع ، أطوال جميع جوانبها متساوية.

إذا لم تحدد المهمة نوعًا معينًا من المثلث ، فأنت بحاجة إلى رسم مثلث عشوائي. حيث تكون جميع الزوايا حادة ، ويكون للأضلاع أطوال مختلفة.

الخصائص المشتركة لجميع المثلثات

1. إذا جمعت كل زوايا المثلث ، تحصل على رقم يساوي 180º. ولا يهم نوعه. تنطبق هذه القاعدة دائمًا.
2. القيمة العددية لأي جانب من أضلاع المثلث أقل من القيمة العددية لأي جانب من ضلعي المثلث. علاوة على ذلك ، فهو أكبر من اختلافهم.
3. كل ركن خارجي له قيمة يتم الحصول عليها عن طريق إضافة زاويتين داخليتين غير متجاورتين. علاوة على ذلك ، فهو دائمًا أكبر من الداخل المجاور.
4. يكون أصغر ضلع في المثلث دائمًا مقابل أصغر زاوية. على العكس من ذلك ، إذا كان الضلع كبيرًا ، فستكون الزاوية هي الأكبر.

هذه الخصائص صالحة دائمًا ، بغض النظر عن أنواع المثلثات التي تعتبر في المشاكل. كل ما تبقى يتبع من ميزات محددة.

خصائص مثلث متساوي الساقين

• الزوايا المجاورة للقاعدة متساوية.
• الارتفاع المرسوم للقاعدة هو أيضًا الوسيط والمنصف.
• المرتفعات والمتوسطات والمنصفات ، المبنية على جانبي المثلث ، على التوالي ، متساوية مع بعضها البعض.

خصائص مثلث متساوي الأضلاع

إذا كان هناك مثل هذا الرقم ، فستكون جميع الخصائص الموضحة أعلاه صحيحة. لأن متساوي الأضلاع سيكون دائمًا متساوي الساقين. ولكن ليس العكس ، لن يكون المثلث متساوي الساقين متساوي الأضلاع بالضرورة.

• كل زواياه متساوية وقيمتها 60º.
• أي متوسط ​​لمثلث متساوي الأضلاع هو ارتفاعه ومنصفه. وجميعهم متساوون. لتحديد قيمهما ، توجد صيغة تتكون من حاصل ضرب الضلع والجذر التربيعي لـ 3 مقسومًا على 2.

خصائص المثلث القائم

• مجموع زاويتين حادتين يصل إلى 90 درجة.
• دائمًا ما يكون طول الوتر أكبر من طول أي من الساقين.
• القيمة العددية للوسيط المرسوم على الوتر تساوي نصفه.
• الساق تساوي نفس القيمة إذا كانت تقابل زاوية قياسها 30º.
• الارتفاع ، الذي يتم رسمه من الأعلى بقيمة 90 درجة ، له اعتماد رياضي معين على الأرجل: 1 / n 2 \ u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. هنا: أ ، ج - أرجل ، ن - ارتفاع.

مشاكل مع أنواع مختلفة من المثلثات

رقم 1. بالنظر إلى مثلث متساوي الساقين. محيطه معروف ويساوي 90 سم ومطلوب معرفة أضلاعه. كما حالة إضافية: الضلع الجانبي أقل بمقدار 1.2 مرة من القاعدة.

تعتمد قيمة المحيط بشكل مباشر على الكميات التي يجب إيجادها. مجموع الأضلاع الثلاثة يساوي 90 سم ، والآن عليك أن تتذكر علامة المثلث الذي وفقًا له يكون متساوي الساقين. أي أن الجانبين متساويان. يمكنك عمل معادلة ذات مجهولين: 2 أ + ب \ u003d 90. هنا أ هو الجانب ، ب هي القاعدة.

حان الوقت لشرط إضافي. بعد ذلك ، يتم الحصول على المعادلة الثانية: ب \ u003d 1.2a. يمكنك استبدال هذا التعبير في التعبير الأول. اتضح: 2a + 1.2a \ u003d 90. بعد التحولات: 3.2a \ u003d 90. ومن هنا أ \ u003d 28.125 (سم). من السهل الآن معرفة السبب. من الأفضل القيام بذلك من الشرط الثاني: v \ u003d 1.2 * 28.125 \ u003d 33.75 (سم).

للتحقق ، يمكنك إضافة ثلاث قيم: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (سم). حسنا.

الجواب: أضلاع المثلث 28.125 سم ، 28.125 سم ، 33.75 سم.

رقم 2. طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع هو 12 سم ، وعليك حساب ارتفاعه.

المحلول. للبحث عن إجابة ، يكفي العودة إلى اللحظة التي تم فيها وصف خصائص المثلث. هذه هي صيغة إيجاد الطول والوسيط والمنصف لمثلث متساوي الأضلاع.

n \ u003d a * √3 / 2 ، حيث n هو الارتفاع ، و a هو الجانب.

يعطي التعويض والحساب النتيجة التالية: n = 6 √3 (cm).

هذه الصيغة لا تحتاج إلى الحفظ. يكفي أن نتذكر أن الارتفاع يقسم المثلث إلى قسمين مستطيلين. علاوة على ذلك ، فقد تبين أنها ساق ، والوتر فيها هو جانب الضلع الأصلي ، والضلع الثاني هو نصف الضلع المعروف. الآن عليك كتابة نظرية فيثاغورس واشتقاق صيغة للارتفاع.

الجواب: الطول 6 - 3 سم.

رقم 3. MKR معطى - مثلث 90 درجة يصنع زاوية K. الجانبين MP و KR معروفان وهما 30 و 15 سم على التوالي تحتاج إلى معرفة قيمة الزاوية P.

المحلول. إذا قمت بعمل رسم ، يتضح أن MP هو الوتر. علاوة على ذلك ، فهو ضعف حجم ضلع القرص المضغوط. مرة أخرى ، تحتاج إلى الرجوع إلى الخصائص. واحد منهم مرتبط فقط بالزوايا. من الواضح أن زاوية KMR هي 30º. إذن فالزاوية المطلوبة P ستساوي 60º. هذا يتبع خاصية أخرى تنص على أن مجموع زاويتين حادتين يجب أن يساوي 90º.

الجواب: الزاوية R تساوي 60 درجة.

رقم 4. تحتاج إلى إيجاد جميع زوايا مثلث متساوي الساقين. ومعلوم عنه أن الزاوية الخارجية من الزاوية عند القاعدة تساوي 110º.

المحلول. نظرًا لأنه يتم إعطاء الزاوية الخارجية فقط ، يجب استخدام هذا. تتشكل بزاوية داخلية متطورة. لذا فإن مجموعهم يصل إلى 180 درجة. أي أن قياس الزاوية عند قاعدة المثلث يساوي 70º. نظرًا لأنها متساوية الساقين ، فإن الزاوية الثانية لها نفس القيمة. يبقى حساب الزاوية الثالثة. وفقًا لخاصية مشتركة بين جميع المثلثات ، يكون مجموع الزوايا 180º. إذن ، يتم تعريف الثالث على أنه 180º - 70º - 70º = 40º.

الجواب: الزوايا 70 درجة ، 70 درجة ، 40 درجة.

رقم 5. من المعروف أن في مثلث متساوي الساقينقياس الزاوية المقابلة للقاعدة 90º. نقطة محددة على القاعدة. المقطع الذي يربطه بزاوية قائمة يقسمه بنسبة 1 إلى 4. أنت بحاجة إلى معرفة جميع زوايا المثلث الأصغر.

المحلول. يمكن تحديد أحد الزوايا على الفور. بما أن المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين ، فإن المثلث الذي يقع في قاعدته سيكون 45º ، أي 90º / 2.

والثاني سيساعد في إيجاد العلاقة المعروفة في الحالة. بما أنها تساوي 1 إلى 4 ، فلا يوجد سوى 5 أجزاء يتم تقسيمها إليها ، لذا ، لمعرفة الزاوية الأصغر للمثلث ، تحتاج إلى 90º / 5 = 18º. يبقى معرفة الثالث. للقيام بذلك ، من 180 درجة (مجموع كل زوايا المثلث) ، عليك طرح 45º و 18º. الحسابات بسيطة وقد اتضح أن: 117º.