дроби. Умножение на десетични знаци. Десетични дроби и действия с тях. Деление и умножение на десетични знаци

Десетичната запетая се използва, когато трябва да извършвате операции с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този тип числа значително опростяват математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им стане познато и четенето им не създава затруднения и правилата за десетичните дроби са усвоени. Освен това всички действия повтарят вече познати, които са научени с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.

Десетично определение

Десетичният дроб е специално представяне на нецяло число със знаменател, който се дели на 10, давайки отговор като едно и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и т.н., тогава е по-удобно числото да се пренапише със запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди него, а след това дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на цифрата на знаменателя.

Горното може да се илюстрира със следните числа:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини за използване на десетични знаци

Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:

Опростяване на записа. Такава фракция е разположена на една линия без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.

Простота в сравнение. Достатъчно е просто да съпоставите числата, които са на еднакви позиции, докато с обикновените дроби ще трябва да ги сведете до общ знаменател.

Опростете изчисленията.

Калкулаторите не са проектирани да приемат дроби; те използват десетичен запис за всички операции.

Как да четем правилно такива числа?

Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, който е кратен на 10. Единственото изключение са дроби без цяло число, тогава, когато четете, трябва да произнесете „нула цели числа“.

Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хиляди, в същото време 0,045 ще звучи като нула точка четиридесет и пет хилядни.

Смесено число с цяла частравно на 7 и дробта 17/100, която ще бъде написана като 7.17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет.

Ролята на цифрите при записване на дроби

Правилното отбелязване на ранга е това, което математиката изисква. Десетичните знаци и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете цифрата на грешното място. Това обаче беше вярно преди.

За четене на цифрите на цяла част десетичен знакпросто трябва да използвате правилата, известни за естествените числа. А от дясната страна са огледални и се четат различно. Ако цялата част звучи "десетки", тогава след десетичната запетая ще бъде "десети".

Това може ясно да се види в тази таблица.

Таблица на десетичните знаци

Клас	хиляди			единици			,	фракция
освобождаване от отговорност	клетка	дек.	единици	клетка	дек.	единици		десети	стотна	хилядна	десетхиляден

Как правилно да напишете смесено число като десетична запетая?

Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът как да преобразувате дроб в десетична не е труден. За да направите това, достатъчно е да пренапишете всички негови компоненти по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:

напишете числителя на дроба малко встрани, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;

преместете запетаята наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да я преместите с толкова позиции, колкото нули има в знаменателя;

ако няма достатъчно от тях, тогава трябва да има нули в празните позиции;

нулите, които бяха в края на числителя, сега не са необходими и могат да бъдат задраскани;

Преди запетаята добавете цялата част; ако не е била там, тогава тук също ще има нула.

внимание. Не можете да задраскате нули, които са заобиколени от други числа.

Можете да прочетете по-долу какво да направите в ситуация, в която знаменателят има число, състоящо се не само от единици и нули, и как да преобразувате дроб в десетичен знак. Това важна информация, което определено си заслужава да се провери.

Как да преобразувам дроб в десетична, ако знаменателят е произволно число?

Тук има два варианта:

Когато знаменателят може да бъде представен като число, равно на десет на произволна степен.

Ако такава операция не може да бъде извършена.

Как мога да проверя това? Трябва да разложите знаменателя на множители. Ако в продукта присъстват само 2 и 5, тогава всичко е наред и дробта лесно се преобразува в краен десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Обичайно е такава десетична дроб да се закръгля за по-лесно използване при математически операции. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.

Изследва как се правят десетични знаци, 5. клас. Примерите тук ще бъдат много полезни.

Нека знаменателите съдържат числата: 40, 24 и 75. Разлагането на прости множители за тях ще бъде както следва:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

В тези примери само първата фракция може да бъде представена като крайна фракция.

Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в крайна десетична дроб

Проверете разлагането на знаменателя на прости множители и се уверете, че ще се състои от 2 и 5.

Добавете толкова 2s и 5s към тези числа, така че да има равен брой от тях. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.

Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под чертата на която има 10 до някаква степен.

Ако в задачата тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да се представи като неправилна дроб. И едва тогава действайте според описания сценарий.

Представяне на дроб като заоблен десетичен знак

Този метод за преобразуване на дроб в десетичен знак може да изглежда дори по-лесен за някои. Защото няма голямо количестводействия. Просто трябва да разделите числителя на знаменателя.

Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Този имот е това, от което трябва да се възползвате.

Първо запишете цялата част и поставете запетая след нея. Ако дробта е правилна, напишете нула.

След това трябва да разделите числителя на знаменателя. Така че да имат еднакъв брой цифри. Тоест добавете необходимия брой нули отдясно на числителя.

Извършете дълго деление, докато се достигне необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да бъде 3. Като цяло трябва да има едно число повече, отколкото трябва да получите накрая.

Запишете междинния отговор след десетичната запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра- от 0 до 4, тогава просто трябва да го изхвърлите. И когато е равно на 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с единица, като се изхвърли последният.

Връщане от десетична към обикновена дроб

В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.

За тази процедура трябва да направите следното:

запишете цялата част, ако е равна на нула, тогава няма нужда да пишете нищо;

начертайте дробна линия;

над него запишете числата от дясната страна, ако нулите са на първо място, те трябва да бъдат задраскани;

Под чертата напишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в оригиналната дроб.

Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетичен знак в дроб.

Какво можете да правите с десетичните знаци?

В математиката това ще бъдат определени операции с десетични знаци, които преди са били извършвани за други числа.

Те са:

сравнение;

събиране и изваждане;

умножение и деление.

Първото действие, сравнението, е подобно на начина, по който е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на цялата част. Ако се окажат равни, тогава преминават към дробните и също ги сравняват по цифри. Числото с най-голямата цифра в най-значимата цифра ще бъде отговорът.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Това са може би най-простите стъпки. Защото се извършват по правилата за естествените числа.



И така, за да добавите десетични дроби, те трябва да бъдат записани една под друга, като се поставят запетаи в колона. При тази нотация цели части се появяват отляво на запетаите, а дробни части отдясно. И сега трябва да събирате числата малко по малко, както се прави с естествените числа, като местите запетаята надолу. Трябва да започнете да добавяте от най-малката цифра на дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно числа, тогава се добавят нули.

Същото важи и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за вземане на единица от най-висок ранг. Ако в намалената дроб има десетична запетая по-малко числаотколкото този на субтрахенда, тогава към него просто се присвояват нули.

Ситуацията е малко по-сложна със задачи, в които трябва да умножавате и разделяте десетични дроби.

Как да умножим десетична дроб в различни примери?

Правилото за умножение на десетични дроби по естествено число, като този:

запишете ги в колона, без да обръщате внимание на запетаята;

размножават се, сякаш са естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробната част на оригиналното число.

Специален случай е примерът, в който естествено число е равно на 10 на произволна степен. След това, за да получите отговора, просто трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова позиции, колкото нули има в другия фактор. С други думи, когато се умножи по 10, десетичната точка се премества с една цифра, със 100 - вече ще има две от тях и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно числа, тогава трябва да напишете нули в празните позиции.

Правилото, което се използва, когато дадена задача изисква умножаване на десетични дроби с друго същото число:

запишете ги един след друг, без да обръщате внимание на запетаите;

размножават се като естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробните части на двете първоначални дроби заедно.

Специален случай са примерите, при които един от множителите е равен на 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на цифрите в представените фактори. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава десетичната точка се измества с една позиция.

Как се дели десетична дроб в различни задачи?

Разделянето на десетични дроби на естествено число се извършва по следното правило:

запишете ги за разделяне в колона като натурални;

разделете според обичайното правило, докато цялата част свърши;

поставете запетая в отговора;

продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът стане нула;

ако е необходимо, можете да добавите необходимия брой нули.

Ако цялата част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.

Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива задачи трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на нулите в делителя. Случва се в цяла част да няма достатъчно числа, тогава вместо тях се използват нули. Можете да видите, че тази операция е подобна на умножение по 0,1 и подобни числа.

За да разделите десетични числа, трябва да използвате това правило:

превърнете делителя в естествено число и за целта преместете запетаята в него надясно до края;

преместете десетичната запетая в дивидента със същия брой цифри;

действайте според предишния сценарий.

Делението на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери десетичната точка се измества надясно с броя на цифрите в дробната част. Ако те свършат, тогава трябва да добавите липсващия брой нули. Струва си да се отбележи, че това действие повтаря делене на 10 и подобни числа.



Заключение: Всичко е въпрос на практика

Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Надеждното овладяване на нов материал изисква време и практика. Математиката не прави изключение.

За да сте сигурни, че темата за десетичните дроби не създава затруднения, трябва да решите възможно най-много примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше задънена улица. И сега всичко е наред.

Следователно, да перифразираме известна фраза: решавайте, решавайте и пак решавайте. Тогава задачите с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като поредния пъзел.

Между другото, пъзелите са трудни за решаване в началото и след това трябва да правите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: след като сте вървели по една и съща пътека няколко пъти, тогава вече няма да мислите къде да завиете.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

• По забавен начин запознайте учениците с правилото за умножаване на десетична дроб по естествено число, с единица за стойност на място и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развийте способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
• Развийте и активирайте логично мисленеучениците, способността да идентифицират модели и да ги обобщават, укрепват паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват собствената си работа и работата един на друг.
• Култивирайте интерес към математиката, активност, мобилност и комуникативни умения.

Оборудване: интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математици.

По време на часовете

1. Организиране на времето.
2. Устна аритметика – обобщение на вече изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
3. Обяснение на нов материал.
4. Домашна работа.
5. Математическо физическо възпитание.
6. Обобщаване и систематизиране на усвоените знания по игрова формаизползване на компютър.
7. Класиране.

2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го преподавам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: „Казвам се Компоша.“ Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.

Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да решим и дешифрираме заедно. (На дъската е окачен плакат с устно смятане за събиране и изваждане на десетични дроби, в резултат на което децата получават следния код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha помага за дешифрирането на получения код. Резултатът от декодирането е думата УМНОЖЕНИЕ. Умножението е ключова думатеми от днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“

Момчета, знаем как да умножаваме естествени числа. Днес ще разгледаме умножението десетични числадо естествено число. Умножаването на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63Това означава 5,21·3 = 15,63. Представяйки 5,21 като обикновена дроб към естествено число, получаваме

И в този случай получихме същия резултат: 15,63. Сега, пренебрегвайки запетаята, вместо числото 5,21, вземете числото 521 и го умножете по това естествено число. Тук трябва да припомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега в този пример преместваме запетаята на две места вляво. По този начин, с колко пъти е увеличен един от факторите, с колко пъти е намален продуктът. Въз основа на приликите на тези методи ще направим заключение.

За да умножите десетична дроб по естествено число, трябва:
1) без да обръщате внимание на запетаята, умножете естествените числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има в десетичната дроб.

На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21·3 = 15.63 и 7.624·15 = 114.34. След това показвам умножение по кръгло число 12,6·50 = 630. След това преминавам към умножаване на десетична дроб по единица за място. Показвам следните примери: 7.423 ·100 = 742.3 и 5.2·1000 = 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб по цифрова единица:

За да умножите десетична дроб по разрядни единици 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб надясно с толкова места, колкото нули има в разрядната единица.

Завършвам обяснението си, като изразявам десетичната дроб като процент. Представям правилото:

За да изразите десетична дроб като процент, трябва да я умножите по 100 и да добавите знака %.

Ще дам пример на компютър: 0,5 100 = 50 или 0,5 = 50%.

4. В края на обяснението давам на момчетата домашна работа, което се показва и на монитора на компютъра: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да могат момчетата да си починат малко, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша, за да консолидираме темата. Всички се изправят, показват решените примери на класа и те трябва да отговорят дали примерът е решен правилно или неправилно. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце встрани и опъват пръстите си.

6. А сега си починахте малко, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205, № 1029. В тази задача трябва да изчислите стойността на изразите:

Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която изплува, когато е напълно сглобена.

№ 1031 Изчислете:

Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се сгъва, след решаването на последния пример ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат от космодрума Байконур от земята на Казахстан към звездите. Казахстан строи новия си космодрум Байтерек близо до Байконур.

No 1035. Задача.

Какво разстояние ще измине лек автомобил за 4 часа, ако скоростта на лекия автомобил е 74,8 km/h.

Тази задача е придружена от звуков дизайн и кратко условие на задачата, показано на монитора. Ако проблемът е решен правилно, тогава колата започва да се движи напред до флага на финала.

№ 1033. Запишете десетичните знаци като проценти.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

При решаването на всеки пример, когато се появи отговорът, се появява буква, което води до дума Много добре.

Учителят пита Компоша защо се появява тази дума? Компоша отговаря: „Браво, момчета!“ и се сбогува с всички.

Учителят обобщава урока и поставя оценки.

Умножаване на десетични числапротича в три етапа.

Десетичните дроби се записват в колона и се умножават като обикновените числа.

Преброяваме броя на десетичните знаци за първата десетична дроб и за втората. Събираме броя им.

В получения резултат преброяваме отдясно наляво същия брой числа, както в горния абзац, и поставяме запетая.

Как да умножаваме десетични числа

Записваме десетичните дроби в колона и ги умножаваме като естествени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест считаме 3,11 за 311 и 0,01 за 1.

Получихме 311. Сега преброяваме броя на знаците (цифрите) след десетичната запетая за двете дроби. Първият десетичен знак има две цифри, а вторият има две. Общ брой знаци след десетичната запетая:

Преброяваме отдясно наляво 4 знака (цифри) от полученото число. Полученият резултат съдържа по-малко числа, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая. В този случай имате нужда от наляводобавете липсващия брой нули.

Липсва ни една цифра, затова добавяме една нула отляво.

При умножаване на всяка десетична дробна 10; 100; 1000 и т.н. Десетичната точка се премества надясно с толкова места, колкото нули има след единицата.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 · 1000 = 5600

За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб наляво с толкова места, колкото нули има преди единицата.

Ние броим нула цели числа!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

За да разберете как да умножавате десетични числа, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за умножение на десетични дроби

1) Умножете без да обръщате внимание на запетаята.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата фактора заедно.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест умножаваме не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата множителя заедно. В първия фактор има една цифра след десетичната запетая, във втория също има една. Общо разделяме две числа след десетичната запетая и така получаваме крайния отговор: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаваме десетични числа, без да вземаме предвид десетичната запетая. Тоест всъщност, вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо отделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа има нула след десетичната запетая, не я записваме в отговора: 36,85∙1,4=51,59.

За да умножим тези десетични дроби, нека умножим числата, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест, умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото са в двата множителя заедно (по две във всеки). Краен отговор: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. Полученият резултат трябва да съдържа същия брой знаци след десетичната запетая, колкото има в двата множителя заедно - един. Така 75∙1,6=120,0=120.

Започваме да умножаваме десетични дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има два знака след десетичната запетая, второто също има два. Общо резултатът трябва да бъде четири цифри след десетичната запетая: 4,72∙5,04=23,7888.

И още няколко примера за умножаване на десетични дроби:

www.for6cl.uznateshe.ru

Умножение с десетични знаци, правила, примери, решения.

Да преминем към учене следващо действиес десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно умножение на десетични знаци. Нека първо да поговорим основни принципиумножение на десетични дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб по десетична дроб, ще покажем как да умножаваме десетични дроби по колона и ще разгледаме решения на примери. След това ще разгледаме умножението на десетични дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. И накрая, нека поговорим за умножаването на десетични числа с дроби и смесени числа.

Нека кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножаване на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи на умножение на десетични знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при умножение с десетични знаци.

Тъй като крайните десетични знаци и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични знаци по същество е умножаване на обикновени дроби. С други думи, умножаване на крайни десетични числа, умножаване на крайни и периодични десетични дроби, и умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични дроби в обикновени.

Нека да разгледаме примери за прилагане на посочения принцип за умножаване на десетични дроби.

Умножете десетичните знаци 1,5 и 0,75.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава. Можете да намалите дроб и след това да изберете цялата част от неправилна дроб, и е по-удобно да запишете получената обикновена дроб 1 125/1 000 като десетична дроб 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона; ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в следващия параграф.

Нека да разгледаме пример за умножение на периодични десетични дроби.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0,(3) и 2,(36) .

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:


Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числата), и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Умножете десетичните знаци 5,382... и 0,2.

Първо, нека закръглим една безкрайна непериодична десетична дроб, закръглянето може да се направи до стотни, имаме 5,382...≈5,38. Последната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръгля до най-близката стотна. Така 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Остава да изчислим произведението на крайните десетични дроби: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножаването на крайни десетични дроби може да се извърши в колона, подобно на умножаването на естествени числа в колона.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби по колона. За да умножите десетични дроби по колона, трябва:

• без да обръщате внимание на запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото са десетичните знаци в двата фактора заедно, а ако няма достатъчно цифри в произведението, тогава трябва да добавите необходимия брой нули отляво.

Нека да разгледаме примери за умножаване на десетични дроби по колони.

Умножете десетичните знаци 63,37 и 0,12.

Нека умножим десетични дроби в колона. Първо умножаваме числата, като игнорираме запетаите:


Остава само да добавите запетая към получения продукт. Тя трябва да раздели 4 цифри вдясно, защото множителите имат общо четири знака след десетичната запетая (два в дробта 3,37 и две в дробта 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули отляво. Да завършим записа:


В резултат на това имаме 3,37·0,12=7,6044.

Изчислете произведението на десетичните знаци 3,2601 и 0,0254.

След като извършихме умножение в колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:


Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри отдясно със запетая, тъй като обща сумаДесетичните знаци на дробите, които се умножават, са равни на осем. Но има само 7 цифри в продукта, следователно трябва да добавите толкова нули отляво, така че да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:


Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Умножаване на десетични знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб с тези числа, което следва от принципите на умножаване на десетични дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, който се получава от оригиналния, ако в нейния запис запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н. цифри и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава трябва да добавете необходимия брой нули отляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая в дробта 54,34 наляво с 1 цифра, което ще ви даде дроб 5,434, тоест 54,34·0,1=5,434. Нека дадем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дробта 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно, трябва да присвоим толкова много нули отляво на дробта 9,3, така че да можем лесно да преместим десетичната запетая до 4 цифри, имаме 9,3·0,0001=0,00093.

Обърнете внимание, че посоченото правило за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0.(18)·0.01=0.00(18) или 93.938…·0.1=9.3938… .

Умножение на десетична запетая по естествено число

В основата си умножаване на десетични числа с естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб с естествено число в колона; в този случай трябва да се придържате към правилата за умножаване на десетични дроби в колона, разгледани в един от предишните параграфи.

Изчислете произведението 15·2,27.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:


При умножаване на периодична десетична дроб с естествено число, периодичната дроб трябва да се замени с обикновена дроб.

Умножете десетичната дроб 0.(42) по естественото число 22.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този резултат като десетична запетая е 9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да извършите закръгляване.

Умножете 4·2,145….

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и крайна десетична дроб. Имаме 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Умножение на десетична запетая по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Нека го озвучим правило за умножение на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейната нотация, трябва да преместите десетичната запетая надясно до съответно 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; ако нотацията на дробта, която се умножава, няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Умножете десетичната дроб 0,0783 по 100.

Нека преместим дробта 0,0783 две цифри надясно и получаваме 007,83. Пускането на двете нули отляво дава десетичната дроб 7,38. Така 0,0783·100=7,83.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри надясно. Очевидно в дробта 0,02 няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая с 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може да се премести десетичната запетая. В нашия пример е достатъчно да добавите три нули, имаме 0,02000. След като преместим запетаята, получаваме записа 00200.0. Като изхвърлим нулите отляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Посоченото правило е вярно и за умножаване на безкрайни десетични дроби по 10, 100, ... Когато умножавате периодични десетични дроби, трябва да внимавате с периода на дробта, която е резултат от умножението.

Умножете периодичната десетична дроб 5,32(672) по 1000.

Преди да умножим, нека запишем периодичната десетична дроб като 5,32672672672..., това ще ни позволи да избегнем грешки. Сега преместете запетаята надясно с 3 места, имаме 5 326.726726…. Така след умножение се получава периодичната десетична дроб 5 326,(726).

5,32(672)·1000=5326,(726) .

Когато умножавате безкрайни непериодични дроби по 10, 100, ..., първо трябва да закръглите безкрайна дробдо определена цифра, след което се извършва умножение.

Умножение на десетична дроб с дроб или смесено число

За да умножите крайна десетична дроб или безкрайна периодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, трябва да представите десетичната дроб като обикновена дроб и след това да извършите умножението.

Умножете десетичната дроб 0,4 по смесено число.

Тъй като 0,4=4/10=2/5 и тогава. Полученото число може да бъде записано като периодична десетична дроб 1,5(3).

Когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с дроб или смесено число, заменете дробта или смесеното число с десетична дроб, след това закръглете умножените дроби и завършете изчислението.

Тъй като 2/3=0,6666..., тогава. След като закръглим умножените дроби до хилядни, стигаме до произведението на две последни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека направим колонно умножение:


Полученият резултат трябва да се закръгли до най-близката хилядна, тъй като умножените дроби са взети с точност до хилядна, имаме 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Умножение на десетични знаци. правила




Намерете площта на правоъгълник с равни страни
1,4 dm и 0,3 dm. Нека преобразуваме дециметри в сантиметри:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Сега нека изчислим площта в сантиметри.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Преобразувайте квадратни сантиметри в квадратни сантиметри
дециметри:

d m 2 = 0,42 d m 2.

Това означава S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

Умножаването на две десетични дроби се извършва по следния начин:
1) числата се умножават, без да се вземат предвид запетаите.
2) запетаята в продукта се поставя така, че да го отделя отдясно
същият брой знаци, които са разделени в двата фактора
комбинирани. Например:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Примери за умножение на десетични дроби в колона:



Вместо да умножавате произволно число по 0,1; 0,01; 0,001
можете да разделите това число на 10; 100 ; или съответно 1000.
Например:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Когато умножаваме десетична дроб с естествено число, трябва:

1) умножете числа, без да обръщате внимание на запетаята;

2) в получения продукт поставете запетая, така че вдясно
имаше същия брой цифри като десетична дроб.

Да намерим продукта 3.12 10. Съгласно горното правило
Първо умножаваме 312 по 10. Получаваме: 312 10 = 3120.
Сега разделяме двете цифри отдясно със запетая и получаваме:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Това означава, че при умножаване на 3,12 по 10 сме преместили десетичната запетая с единица
номер вдясно. Ако умножим 3,12 по 100, получаваме 312, т.е
Запетаята беше преместена с две цифри вдясно.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н., трябва
в тази дроб преместете десетичната запетая надясно с толкова места, колкото са нулите
струва множителя. Например:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Задачи по темата „Умножение на десетични знаци“

school-assistant.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на десетични дроби

Добавянето и изваждането на десетични числа е подобно на събирането и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

правило. се извършва според цифрите на целите и дробните части като естествени числа.

Писмено събиране и изваждане на десетични знацизапетаята, разделяща цялата част от дробната част, трябва да се намира при събираемите и сумата или при умаляваното, изваждаемото и разликата в една колона (запетая под запетаята от изписването на условието до края на изчислението).

Събиране и изваждане на десетични знацикъм реда:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Събиране и изваждане на десетични знацив колона:

Добавянето на десетични знаци изисква допълнителен горен ред за записване на числа, когато сумата на стойността на мястото надхвърля десет. Изваждането на десетичните знаци изисква допълнителен горен ред, за да маркира мястото, където е заето 1.

Ако няма достатъчно цифри от дробната част отдясно на събираемото или умаляваното, тогава вдясно в дробната част можете да добавите толкова нули (увеличете цифрата на дробната част), колкото цифри има в другото събираемо или минуенд.

Умножаване на десетични числасе извършва по същия начин като умножението на естествени числа, по същите правила, но в произведението се поставя запетая според сумата от цифрите на множителите в дробната част, като се брои отдясно наляво (сумата от цифри на множителите е броят на цифрите след десетичната запетая на факторите, взети заедно).

При умножение на десетични знацив колоната първа от дясно значителна фигураподписан под първата значима цифра вдясно, както при естествени числа:

Записвайте умножение на десетични знацив колона:

Записвайте деление на десетични дробив колона:

Подчертаните знаци са знаците, последвани от запетая, тъй като делителят трябва да е цяло число.

правило. При деление на дробиДесетичният делител се увеличава с толкова цифри, колкото цифри има в дробната част. За да се гарантира, че дробта не се променя, дивидентът се увеличава със същия брой цифри (при дивидента и делителя десетичната точка се премества на същия брой цифри). Запетая се поставя в частното на този етап от деленето, когато се разделя цялата част от дробта.

За десетичните дроби, както и за естествените числа, правилото остава: Не можете да разделите десетична дроб на нула!

В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични знаци (вижте урока „Събиране и изваждане на десетични знаци“). В същото време ние оценихме колко изчисления са опростени в сравнение с обикновените „двуетажни“ фракции.

За съжаление, този ефект не се получава при умножение и деление на десетични дроби. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.

Първо, нека въведем нова дефиниция. Ще го виждаме доста често и не само в този урок.

Значимата част от числото е всичко между първата и последната различна от нула цифра, включително краищата. Говорим само за числа, десетичната запетая не се взема предвид.

Цифрите, включени в значимата част на числото, се наричат ​​значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.

Например, помислете за няколко десетични дроби и напишете съответните значими части:

1. 91.25 → 9125 (значещи цифри: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (значещи цифри: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (значещи цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (значещи цифри: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).

Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).

Тази точка е толкова важна и тук се правят грешки толкова често, че в близко бъдеще ще публикувам тест по тази тема. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значимата част, ще продължим всъщност към темата на урока.

Умножаване на десетични числа

Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:

1. За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
2. Умножете тези числа по всяко по удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната фракция;
3. Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени за значителната част, получена в предишната стъпка.

Нека ви напомня още веднъж, че нулите отстрани на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.

1. 0,28 ± 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работим с първия израз: 0,28 · 12,5.

1. Нека изпишем значимите части за числата от този израз: 28 и 125;
2. Техният продукт: 28 · 125 = 3500;
3. При първия фактор десетичната запетая се измества с 2 цифри надясно (0,28 → 28), а при втория се измества с още 1 цифра. Общо се нуждаете от преместване наляво с три цифри: 3500 → 3500 = 3,5.

Сега нека да разгледаме израза 6.3 · 1.08.

1. Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
2. Техният продукт: 63 · 108 = 6804;
3. Отново две измествания надясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри вляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.

Стигнахме до третия израз: 132,5 · 0,0034.

1. Значителни части: 1325 и 34;
2. Техният продукт: 1325 · 34 = 45 050;
3. В първата дроб десетичната запетая се премества надясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 надясно. Изместваме с 5 наляво: 45 050 → .45050 = 0.4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична точка.

Следният израз е: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значещите части: 108 и 16 005;
2. Умножаваме ги: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто е 1. Общо отново е 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.

И накрая, последният израз: 5,25 10 000.

1. Значими части: 525 и 1;
2. Умножаваме ги: 525 · 1 = 525;
3. Първата дроб е изместена с 2 цифри надясно, а втората дроб е изместена с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри надясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).

Забележка в последния пример: тъй като десетичната точка се движи в различни посоки, общото изместване се намира чрез разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:

Помислете за числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (преместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (преместване 2 наляво). „Стъпваме“ 1 цифра надясно и след това 2 наляво. В резултат пристъпихме 2 − 1 = 1 цифра наляво.

Десетично деление

Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната точка. Но в този случай има много тънкости, които отричат ​​потенциалните спестявания.

Затова нека да разгледаме един универсален алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:

1. Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
2. Разделете получените дроби по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по „обърнатата“ втора (вижте урока „Умножаване и деление на числови дроби“);
3. Ако е възможно, представете резултата отново като десетична дроб. Тази стъпка също е бърза, тъй като знаменателят често вече е степен на десет.

Задача. Намерете значението на израза:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Нека разгледаме първия израз. Първо, нека преобразуваме дроби в десетични:

Нека направим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново ще бъде факторизиран:

В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървем от десетичната нотация, се появяват редуцируеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.

Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб съдържа просто число. Тук просто няма какво да се факторизира, така че го разглеждаме веднага:

Понякога делението води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се изпълнява.

Освен това при разделянето често възникват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Това разграничава делението от умножението, където резултатите винаги са представени в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.

Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях не съкращаваме умишлено обикновени дроби, получени от десетични знаци. В противен случай това ще усложни обратната задача - представяне на крайния отговор отново в десетична форма.

Запомнете: основното свойство на дробта (както всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.